1997年全国统一高考数学试卷(理科)

1997年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）

A ．{x|0≤x＜

1}

B

．

{x|0≤x＜

2}

C

．

{x|0≤x≤1}D

．

{x|0≤x≤2}

考点：交集及其运算．

分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．

解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B

点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）

A ．﹣6 B

．

﹣3 C

．

D

．

考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．

专题：计算题．

分析：

根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，

∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．

故选A．

点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）

A ．B

．

C

．

D

．

考点：正切函数的图象．

专题：综合题．

分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）

的最小正周期为2π，排除B．

解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D

∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B

故选A

点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC

﹣A的大小为（）

A ．B

．

C

．

D

．

考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．

专题：计算题．

分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的

其它边与角的关系，解三角形进行求解．

解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，

且AB=AC=，

得PB=PC=，PA=BC=2，

取BC的中点E，连接AE，PE，

则∠AEP即为所求二面角的平面角．

且AE=EP=，

∵AP2=AE2+PE2，

∴∠AEP=，

故选C．

点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过

程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）

A ．B

．

πC

．

2πD

．

4π

考点：三角函数的周期性及其求法．

分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．

解答：

解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x

=sin（2x+θ）

∴T==π

故选B．

点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（）

A ．[﹣1，﹣]B

．

[﹣，0]C

．

[0，]D

．

[，1]

考点：反三角函数的运用．

专题：计算题．

分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．

解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]

所以1﹣x≤x，即：x，

又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]

故选D．

点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（）

A ．先向左平

行移动1

个单位

B

．

先向右平

行移动1

个单位

C ．先向上平

行移动1

个单位

D

．

先向下平

行移动1

个单位

考点：反函数；函数的图象与图象变化．

分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，

作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，

这不是最佳选择，

建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．

解答：解：利用指数式和对数式的互化，

由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1

则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）

即函数y=2x平移后的函数为y=2x﹣1，

易见，只需将其向下平移1个单位即可．

故选D

点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．

8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的

表面积是（）

A ．20πB

．

25πC

．

50πD

．

200π

考点：球的体积和表面积．

专题：计算题．

分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表