用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩ppt课件
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线性代数课件2-6利用初等变换求逆矩阵
kA j Aj A m m 1 A1
定理3
任一 m n 矩阵 A ，一定存在有限
个 m 阶初等阵 P1 , P2 , , Ps 和 n 阶初等阵 Q 1 , Q 2 , , Qt , 使
Er Ps P1 AQ 1 Q t 0
E ( i k ( j ))
( i 列） ( j 列 )
初等矩阵具有下列性质 （1）初等矩阵都是可逆阵，且它们的逆阵
仍为同类初等阵，即
E (i, j ) E (i, j )
1
E ( i ( kLeabharlann )) E1(i(
1 k
))
E ( i k ( j )) E ( i ( k )(
1
j ))
（2）对m×n矩阵A作一次初等行变换，相 当于在A的左边乘上一个m阶相应的初等阵； 对m×n矩阵A作一次初等列变换，相当于在 A的右边乘上一个n阶相应的初等阵。
证明：
仅证行变换的情况。
将 m n 阵 A ( a ij ) 按行分成
a 11 a 21 A a m1
E ( i ( k ))
（ i列 ）
(3)消法初等阵 将E的第j行的k倍加到第i行
（或第i列的k倍加到第j列）得到的方阵，
记为E(i+k(j)),即
1 1 k 1 (i行 ) ( j行 ) 1
1 0 1 1 1 0 1 1
( i 行） （ j 行） 1
(2)倍法初等阵 用非零常数k乘E的第i行
（列）得到的方阵，记为E(i(k)),即
矩阵的秩与初等变换课件
基的唯一性
如果一个向量空间的基所张成的 子空间的秩等于整个向量空间的 秩，则该基是唯一的。
子空间的性质
通过研究矩阵的秩，可以得出关 于子空间的性质，如子空间的维 数、子空间的正交补空间等。
向量空间与初等变换的关系
初等变换
交换矩阵的两行、两列，或者用一个非零常数乘以矩阵的一行或一列。
向量空间与初等变换的关系
03
通过将线性方程组转化为增广矩阵，利用初等行变换化简，可
以得到方程组的解。
04
矩阵的秩与线性方程组的关系
线性方程组的解与矩阵的秩的关系
线性方程组的解与矩阵的秩有密切关 系，矩阵的秩决定了线性方程组解的 个数和性质。
若矩阵的秩等于未知数的个数，则线 性方程组有唯一解；若矩阵的秩小于 未知数的个数，则线性方程组有无穷 多解或无解。
通过矩阵的秩判断线性方程组解的情况
通过计算矩阵的秩，可以判断线性方 程组的解的情况，从而确定解的个数 和性质。
VS
若矩阵的秩小于未知数的个数，可以 通过增加或减少方程来使矩阵变为满 秩，从而得到唯一解。
线性方程组的解与初等变换的关系
01
初等变换是矩阵的一种基本操作，它可以改变矩阵的
秩和行列式值。
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。
矩阵的秩与初等变换在解题中的应用
利用矩阵的秩判断方程组是否有解
01
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有解；否则，方
程组无解。
利用初等变换化简矩阵
02
通过初等行变换或初等列变换可以将一个复杂的矩阵化简为一
个简单的矩阵，从而方便计算。
利用矩阵的秩和初等变换求解线性方程组
秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足以下性质：若$A$是$m times n$矩阵，$B$是$n times p$矩阵，则$AB$的秩不大于$A$的秩和$B$的秩，即$text{rank}(AB) leq text{rank}(A) + text{rank}(B)$。
0831矩阵的初等变换PPT课件
程 学
其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是
院 最简单的 而且是最容易求解的.
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
7
x4 x4 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
B2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1 7
922
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2.
矩阵A与B行等价 记作 A ~r B.
生 物
如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称
医 学
矩阵A与B列等价 记作 A ~c B.
工
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩
程
学 阵A与B等价 记作 A ~ B.
院 ❖等价关系的性质
(i)反身性 A~A
(ii)对称性 若A~B 则B~A
(iii)传递性 若A~B B~C 则A~C .
一个元素为非零元，即非零行的第一个非零
元．
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯形矩阵：
•各非零行首非零元素分布在不同列
生
物 医
•当有零行时，零行在矩阵的最下端
学
工 程 学 院
3 2
2 0
5 1
131
1 4 9
0 5
0 0
3 1 2 5
0 1 6 7
0 0
5 0
3 2
4 1
0 2 6 0 0 3
物
第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件
钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔 钢笔 铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
高等数学(下) 第3版课件-矩阵的初等变换与矩阵的秩
事物的现象是外在的表现形式，可能是正确的，也可能是歪 曲的。——马克思
美丽的外表，并不一定有美丽的内在；台上的光辉，台下的 汗水；地球是一个球体，并非天圆地方；苹果落地的表象蕴含着 万有引例定律的奥秘。
透过生活的表象，认识其本质的真相，这会令我们更清晰、 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
0 0
3 0
1 0
所以 rA 3
思政小课堂 矩阵的秩是矩阵的基本性质，不论对矩阵做怎样的初等变换
矩阵的秩不变。——这就是透过现象看本质。 同学们要养成透过现象看本质的习惯，不要被事物的表象所
蒙蔽，要多看、多听、多思考、多看书、多学习，做一个大格局 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
1 0 0 8
0 1 0 3
如：
C
0
0
1
5
0 0 0 0
0
0
0
0
结论：
（1）矩阵A通过初等行（列）变换为行阶梯形矩阵B，则 rA rB n ；
（2）因为线性方程组与它的增广矩阵 A 一 一对应，当 A经初等行变换 变为行最简形矩阵 C 时，有rA rC n(n为C中不为零的行的个数），
2 2 1
解
A
E
1 1
1 1
1 2
1 0
0 1
0 0
1 ((32))2(1)(1) 0
1 2
1 3
1 1
0 1
0 0
2 2 1 0 0 1
0 0 3 2 0 1
13(3)
1 0
0
1 2 0
1 3 1
1
1 2
3
1 0 0 5
1 ( 2 )
6
美丽的外表，并不一定有美丽的内在；台上的光辉，台下的 汗水；地球是一个球体，并非天圆地方；苹果落地的表象蕴含着 万有引例定律的奥秘。
透过生活的表象，认识其本质的真相，这会令我们更清晰、 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
0 0
3 0
1 0
所以 rA 3
思政小课堂 矩阵的秩是矩阵的基本性质，不论对矩阵做怎样的初等变换
矩阵的秩不变。——这就是透过现象看本质。 同学们要养成透过现象看本质的习惯，不要被事物的表象所
蒙蔽，要多看、多听、多思考、多看书、多学习，做一个大格局 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
1 0 0 8
0 1 0 3
如：
C
0
0
1
5
0 0 0 0
0
0
0
0
结论：
（1）矩阵A通过初等行（列）变换为行阶梯形矩阵B，则 rA rB n ；
（2）因为线性方程组与它的增广矩阵 A 一 一对应，当 A经初等行变换 变为行最简形矩阵 C 时，有rA rC n(n为C中不为零的行的个数），
2 2 1
解
A
E
1 1
1 1
1 2
1 0
0 1
0 0
1 ((32))2(1)(1) 0
1 2
1 3
1 1
0 1
0 0
2 2 1 0 0 1
0 0 3 2 0 1
13(3)
1 0
0
1 2 0
1 3 1
1
1 2
3
1 0 0 5
1 ( 2 )
6
线性代数课件第三章矩阵的秩
线性方程组的解 与矩阵的秩的关 系
利用矩阵的秩判 断线性方程组是 否有解
利用矩阵的秩求 解线性方程组的 步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向 量组线性相关性中 的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实 际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义：矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数非零行数或非零列 数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
利用初等列变换将矩阵化为阶梯形 矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的 正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义：所 有元素都为0的矩 阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵 相乘都等于0
零矩阵在数学中的 意义和作用
性质：矩阵的秩与行数和列数有关，且不超过行数和列数中的最小值
应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的 秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的 秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法演示精品PPT课件
返回15
互换两个方程的位置
16
返回
方程两边同乘以一个非零常数c
返回17
一个方程加上另一个方程的k倍
返回18
对调I中的两行（或两列）
对调I的两行
对调I的两列
返回19
非零数乘以I中的某行（或某列）
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
20
返回
某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）
返回21
初等矩阵左乘相当于行变换 初等矩阵右乘相当于列变换
7
变为阶梯型矩阵之后就得到了原方程组的同解方程组。
或
注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不 能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程 组的同解变换。
8
初等矩阵
定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初 等矩阵。 由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有 三种类型。 （1）对调I的两行（或两列）； （2）非零数乘以I中的某行（或某列）； （3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。 初等矩阵都是可逆的，并且
则
Pt1 P21P11 A I
Pt1 P21P11I A1
上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，
在把A化为方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，
原来的I部分就成为A的逆。
11
例题
设
，求
解：
12
小结
本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.
返回24
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
互换两个方程的位置
16
返回
方程两边同乘以一个非零常数c
返回17
一个方程加上另一个方程的k倍
返回18
对调I中的两行（或两列）
对调I的两行
对调I的两列
返回19
非零数乘以I中的某行（或某列）
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
20
返回
某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）
返回21
初等矩阵左乘相当于行变换 初等矩阵右乘相当于列变换
7
变为阶梯型矩阵之后就得到了原方程组的同解方程组。
或
注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不 能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程 组的同解变换。
8
初等矩阵
定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初 等矩阵。 由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有 三种类型。 （1）对调I的两行（或两列）； （2）非零数乘以I中的某行（或某列）； （3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。 初等矩阵都是可逆的，并且
则
Pt1 P21P11 A I
Pt1 P21P11I A1
上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，
在把A化为方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，
原来的I部分就成为A的逆。
11
例题
设
，求
解：
12
小结
本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.
返回24
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
第二章 矩阵(逆矩阵、初等变换、秩)
−1
−1 −2 −4
− 3 − 7 − 8
1 2 [( I − A ) M I ] = 3
1 3 4
3 7 9
1 0 0 1 −2 −3
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 − 1 1 0 1
1 1 3 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 3 1 −1
− 1 练习 设矩阵 A = 3
求 ( A − I ) B.
−1
5 1 , B = − 1 − 6
（15分）
− 1 解 Q A−I= 3
5 1 − 0 − 6
0 − 2 = 3 1
5 − 7
− 2 [( A − I ) M I ] = 3
1 1 −3 0 1 5 0 1
0 1 0
0 − 1 1
0 − 1 − 4 0 − 1 4
−5
1 0 0
1 0 0
故
−1
3 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
3 1 −2
0 1 −2 2 1 −5
5 1 −5
2 1 −5
− 4 − 1 4
a2
O
−1 an
§4
矩阵的初等行变换
● 矩阵的初等行变换的定义：
1）交换矩阵的某两行； 2 2）用一个非零常数 k 遍乘矩阵的某一行； 3）把矩阵的某一行遍乘常数 k 后加到另一行。 ● 矩阵 A 经过初等行变换变为矩阵 B ， 记作：
A
B
定理 任何非奇异矩阵均可用初等行变换
=− 1
0 −1 1
2
初等行变换逆矩阵(修正).ppt
求逆矩阵的初等行变换规则主要涉及三种基本变换：交换矩阵的பைடு நூலகம்行，用非零常数乘以矩阵的某一行，以及将某一行乘以常数后加到另一行上。这些变换在求矩阵的秩和逆矩阵时非常关键。通过初等行变换，可以将任意矩阵化为行阶梯形矩阵或行简化阶梯形矩阵，从而方便地求出矩阵的秩。对于满秩矩阵，即其秩等于其阶数的方阵，可以通过初等行变换化为单位阵，这样的矩阵被称为可逆矩阵。逆矩阵的存在性与矩阵是否满秩密切相关，只有满秩矩阵才存在逆矩阵。通过判断矩阵是否满秩，可以进一步判断其是否可逆。在实际应用中，可以利用这些规则通过初等行变换来求解逆矩阵。
线性代数课件第三章
的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
逆矩阵的计算ppt课件
可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB = E 。
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26
用(8)代入(10)，得 X = B( AX ) = ( BA )X
即有 BA = E。 于是有AB = BA = E。 具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B 称为 矩阵A 的逆矩阵。
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27
证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
上页 下页 返回
8
当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
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9
例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
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11
解 于是
A1
1 3
3 3
2 1
1
X A1CB1
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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12
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),
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26
用(8)代入(10)，得 X = B( AX ) = ( BA )X
即有 BA = E。 于是有AB = BA = E。 具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B 称为 矩阵A 的逆矩阵。
上页 下页 返回
27
证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
上页 下页 返回
8
当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
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9
例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
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11
解 于是
A1
1 3
3 3
2 1
1
X A1CB1
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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12
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),
用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩课件
B的所有 4阶子式全为 . 零
2 1 3
而 0 3 2 0, R (B )3.
00 4
26
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例6
设 A123
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413, 求矩阵A的
秩，并求 A的一个最高阶非零．子式
初等行变换
即 ( A |E ) ： ( E |B ) ， A 1 ＝ B .
12
1 2 3 例题 1：已A 知2 2 1，用初等行A变 1。换求
3 4 3
1 2 3 1
解：
(A
E3 ) 2
2
1
0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 r3 3r1
1 0
2 2
31 5 2
17
例2:
1 1 1 2 2 2 1 3 3 1 0 1
1 1 一个2阶 2 1 子式
1 2 3
1 2 1 3 0 1
一个3阶 子式
18
1 1 1 2 2 2 1 3 3 1 0 1
1 1 一个2阶 2 1 子式
1 1 2 2 1 3 3 0 1
一个3阶 子式
可逆矩阵的秩 ，等 故于 称阶 可数 逆矩 为满秩.奇 矩异阵 矩阵为降秩矩阵.
32
小结
1. 用初等行变换求逆矩阵 ：
( A |E ) ( E |B ) ， 则 A 1 ＝ B .
2. 用初等行变换求矩阵的 秩： 对矩阵施行初等行变换，使之成为行阶梯形
矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的 秩.
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线性代数
1
本讲内容： 1、 用 初 等 行 变 换 求 逆 矩阵 2、 矩 阵 的 秩 的 概 念 3、 用 初 等 行 变 换 求 矩 阵的 秩
线性代数
2
本讲要求： 1、 掌 握 初 等 行 变 换 求 逆矩 阵 的 方 法 2、 会 用 初 等 行 变 换 求 矩阵 的 秩
重点难点： 初等行变换
(数 k 乘第 i 行记作：kri )
(3).把 矩 阵 的 某 一 行 乘 以 一个 数 加 到 另 一 行 上
(在第 j 行加上第i 行的 k 倍记作：rj kri )
线性代数
5
如 果 把 定 义 中 的" 行" 换 成"列"， 把 记 号 中 的" r" 换 成" c"，
上 述 定 义 也 就 相 应 的 变成 了 矩阵的初等列变换。
初等行变换
即 ：( A | E ) (E | B)， A1＝B.
线性代数
12
1 2 3
例 题1： 已 知 A 2 2 1， 用 初等 行变 换 求A1。
3 4 3
解：( A
1 E3) 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 r3 3r1
1 0
r2 r3 0 1 0 4 0
2 1
0 0 1 6 1 1
A1
11 42 0Fra bibliotek2 1
6 1 1
线性代数
16
定 义1 设A是 一 个m n的 矩 阵 ， 在A中 任 取 k行 、k列 ， 位 于 这 些 行 列 相 交处 的 k 2个 元 素 ， 保 持 它 们 原 来的 相 对 位 置 不 变 ， 组 成 一 个k 阶 行 列 式 ， 称 为 矩 阵 A的 一 个k阶 子 行 列 式 （ 或k阶 子 式 ）
线性代数
3
重 点 求逆公式
回 顾
矩阵A可逆的充要条件是A 0，
并 且当A可逆时，有
A1 1 A A
线性代数
4
初等变换 矩 阵 的 以 下 三 种 变 换 ，称 为 矩 阵 的 初 等 行 变 换
(1).交 换 矩 阵 的 两 行
(互换 i, j 两行记作：ri rj )
(2).以一 个非 零的 数乘 矩阵的某 一行
线性代数
10
定理 : n阶 矩 阵A为 可 逆 的 充 分 必 要 条 件是 它
可 以 表 示 为 一 些 初 等 矩阵 的 乘 积 。
由 定 理 可 得 ， 如 果A可 逆 ， 那 么A1也 可 逆 ，
并且存在初等矩阵G1,G2 , Gk ,使得 A1 G1G2 Gk
于 是 ：A1 A G1G2 Gk A
线性代数
17
例2:
1 1 1 2 2 2 1 3 3 1 0 1
线性代数
8
定理 :
任意矩阵Amn (aij )mn经过若干次初等变换，
可 以 化 为 下 面 形 式 的 等价 矩 阵D：
1
D
1
0
第 r列
第 r行
0
Er O( m r
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
矩 阵D称 为 矩 阵A的 等 价 标 准 形 。
线性代数
9
推论1 : 对任意m n矩阵A, 存在m阶初等矩阵P1, P2 , , Ps和n阶初等矩阵Q1,Q2 , ,Qt , 使得：
1 0 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0
0 1 0 4 0 1
r2 r3
1 0
0 0
2 1
1 6
0 1
0 1
0 1 0 4 0 1
线性代数
15
r1 2r2 r2 ( 1)
1 0 0 11 2 2 0 0 1 6 1 1
0 1 0 4 0 1
1 0 0 11 2
2 2
31 5 2
0 1
0 0
0 2 6 3 0 1
r3 r2 r1 r2
1 0
0 2
2 1 5 2
1 1
0 0
0 0 1 1 1 1
线性代数
13
r2 5r3 r1 2r3
1 0
0 2
0 0
1 3
3 2 6 5
0 0 1 1 1 1
r3 ( 1)
r2
(
线性代数
7
初等矩阵
n阶 单 位 阵E经 过 一 次 初 等 变 换 所 得到 的 矩 阵 ，
称 为n阶 初 等 矩 阵 。
定理 :
设Amn (aij )mn，则有：
(1).对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 所得 的 矩 阵 ， 等于用相应的m 阶初等矩阵左乘A .
(2).对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 所得 的 矩 阵 ， 等于用相应的n 阶初等矩阵右乘A .
矩 阵 的 初 等 行 变 换 和 初等 列 变 换 统 称 为 矩 阵 的 初 等 变 换。
线性代数
6
矩阵等价 如果矩阵 A经过有限次初等变换后变成 B， 就称矩阵 A与矩阵 B等价，记为: A B.
例 如 ：
1 3
2 8
3 12
9 38
与
1 0
2 1
3 3
9 8
等
价
。
2 5 3 10 0 0 1 3
即 ：E G1G2 Gk A (1)
A1 G1G2 Gk E
(2)
(1)式 表 示 对A施 以 若 干 次 初 等 行 变 换化 为E，
(2)式 表 示 对E施 以 同 样 的 初 等 行 变 换化 为A1
线性代数
11
对 于 可 逆 矩 阵A， 我 们 用 一 个 同 阶 单 位阵 将 其 扩 充 为( A | E )， 然 后 对 新 矩 阵( A | E )施 行 初 等 行 变 换 ， 将 左 半 边 的A 化 成 E， 同 时 右 半 边 的E 所 化 成 的 矩 阵 便 是 A1， 即 最 终 化 为( E | A1 ).
1 2
)
1 0
0 1
0 0
1
3 2
3 3
2
5 2
0 0 1 1 1 1
1 3 2
A1
3 2
3
5 2
1 1 1
线性代数
14
练
习
：
求
矩
阵A
1 2
0 1
2 3
的
逆
矩
阵
。
4 1 8
解：( A
1 E3) 2
0 1
21 30
0 1
0 0
4 1 8 0 0 1
r2 2r1 r3 4r1
Ps
P2 P1 AQ1Q2
Qt
Er O
O A可逆，则左边所有矩阵
O
都可逆，因此D可逆， 故det（D）不等于0.
由 于 初 等 矩 阵 都 可 逆 ，上 式 又 可 写 为
A
P11P21
Ps
1
Er O
于是得
O O
Qt
1
Q2
Q 1 1 1
推论2 : n 阶方阵可逆的充分必要条件是A的等价
标准形为En .
1
本讲内容： 1、 用 初 等 行 变 换 求 逆 矩阵 2、 矩 阵 的 秩 的 概 念 3、 用 初 等 行 变 换 求 矩 阵的 秩
线性代数
2
本讲要求： 1、 掌 握 初 等 行 变 换 求 逆矩 阵 的 方 法 2、 会 用 初 等 行 变 换 求 矩阵 的 秩
重点难点： 初等行变换
(数 k 乘第 i 行记作：kri )
(3).把 矩 阵 的 某 一 行 乘 以 一个 数 加 到 另 一 行 上
(在第 j 行加上第i 行的 k 倍记作：rj kri )
线性代数
5
如 果 把 定 义 中 的" 行" 换 成"列"， 把 记 号 中 的" r" 换 成" c"，
上 述 定 义 也 就 相 应 的 变成 了 矩阵的初等列变换。
初等行变换
即 ：( A | E ) (E | B)， A1＝B.
线性代数
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1 2 3
例 题1： 已 知 A 2 2 1， 用 初等 行变 换 求A1。
3 4 3
解：( A
1 E3) 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 r3 3r1
1 0
r2 r3 0 1 0 4 0
2 1
0 0 1 6 1 1
A1
11 42 0Fra bibliotek2 1
6 1 1
线性代数
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定 义1 设A是 一 个m n的 矩 阵 ， 在A中 任 取 k行 、k列 ， 位 于 这 些 行 列 相 交处 的 k 2个 元 素 ， 保 持 它 们 原 来的 相 对 位 置 不 变 ， 组 成 一 个k 阶 行 列 式 ， 称 为 矩 阵 A的 一 个k阶 子 行 列 式 （ 或k阶 子 式 ）
线性代数
3
重 点 求逆公式
回 顾
矩阵A可逆的充要条件是A 0，
并 且当A可逆时，有
A1 1 A A
线性代数
4
初等变换 矩 阵 的 以 下 三 种 变 换 ，称 为 矩 阵 的 初 等 行 变 换
(1).交 换 矩 阵 的 两 行
(互换 i, j 两行记作：ri rj )
(2).以一 个非 零的 数乘 矩阵的某 一行
线性代数
10
定理 : n阶 矩 阵A为 可 逆 的 充 分 必 要 条 件是 它
可 以 表 示 为 一 些 初 等 矩阵 的 乘 积 。
由 定 理 可 得 ， 如 果A可 逆 ， 那 么A1也 可 逆 ，
并且存在初等矩阵G1,G2 , Gk ,使得 A1 G1G2 Gk
于 是 ：A1 A G1G2 Gk A
线性代数
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例2:
1 1 1 2 2 2 1 3 3 1 0 1
线性代数
8
定理 :
任意矩阵Amn (aij )mn经过若干次初等变换，
可 以 化 为 下 面 形 式 的 等价 矩 阵D：
1
D
1
0
第 r列
第 r行
0
Er O( m r
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
矩 阵D称 为 矩 阵A的 等 价 标 准 形 。
线性代数
9
推论1 : 对任意m n矩阵A, 存在m阶初等矩阵P1, P2 , , Ps和n阶初等矩阵Q1,Q2 , ,Qt , 使得：
1 0 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0
0 1 0 4 0 1
r2 r3
1 0
0 0
2 1
1 6
0 1
0 1
0 1 0 4 0 1
线性代数
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r1 2r2 r2 ( 1)
1 0 0 11 2 2 0 0 1 6 1 1
0 1 0 4 0 1
1 0 0 11 2
2 2
31 5 2
0 1
0 0
0 2 6 3 0 1
r3 r2 r1 r2
1 0
0 2
2 1 5 2
1 1
0 0
0 0 1 1 1 1
线性代数
13
r2 5r3 r1 2r3
1 0
0 2
0 0
1 3
3 2 6 5
0 0 1 1 1 1
r3 ( 1)
r2
(
线性代数
7
初等矩阵
n阶 单 位 阵E经 过 一 次 初 等 变 换 所 得到 的 矩 阵 ，
称 为n阶 初 等 矩 阵 。
定理 :
设Amn (aij )mn，则有：
(1).对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 所得 的 矩 阵 ， 等于用相应的m 阶初等矩阵左乘A .
(2).对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 所得 的 矩 阵 ， 等于用相应的n 阶初等矩阵右乘A .
矩 阵 的 初 等 行 变 换 和 初等 列 变 换 统 称 为 矩 阵 的 初 等 变 换。
线性代数
6
矩阵等价 如果矩阵 A经过有限次初等变换后变成 B， 就称矩阵 A与矩阵 B等价，记为: A B.
例 如 ：
1 3
2 8
3 12
9 38
与
1 0
2 1
3 3
9 8
等
价
。
2 5 3 10 0 0 1 3
即 ：E G1G2 Gk A (1)
A1 G1G2 Gk E
(2)
(1)式 表 示 对A施 以 若 干 次 初 等 行 变 换化 为E，
(2)式 表 示 对E施 以 同 样 的 初 等 行 变 换化 为A1
线性代数
11
对 于 可 逆 矩 阵A， 我 们 用 一 个 同 阶 单 位阵 将 其 扩 充 为( A | E )， 然 后 对 新 矩 阵( A | E )施 行 初 等 行 变 换 ， 将 左 半 边 的A 化 成 E， 同 时 右 半 边 的E 所 化 成 的 矩 阵 便 是 A1， 即 最 终 化 为( E | A1 ).
1 2
)
1 0
0 1
0 0
1
3 2
3 3
2
5 2
0 0 1 1 1 1
1 3 2
A1
3 2
3
5 2
1 1 1
线性代数
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练
习
：
求
矩
阵A
1 2
0 1
2 3
的
逆
矩
阵
。
4 1 8
解：( A
1 E3) 2
0 1
21 30
0 1
0 0
4 1 8 0 0 1
r2 2r1 r3 4r1
Ps
P2 P1 AQ1Q2
Qt
Er O
O A可逆，则左边所有矩阵
O
都可逆，因此D可逆， 故det（D）不等于0.
由 于 初 等 矩 阵 都 可 逆 ，上 式 又 可 写 为
A
P11P21
Ps
1
Er O
于是得
O O
Qt
1
Q2
Q 1 1 1
推论2 : n 阶方阵可逆的充分必要条件是A的等价
标准形为En .