用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩ppt课件

线性代数
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初等矩阵
n阶 单 位 阵E经 过 一 次 初 等 变 换 所 得到 的 矩 阵 ，
称 为n阶 初 等 矩 阵 。
定理 :
设Amn (aij )mn，则有：
(1).对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 所得 的 矩 阵 ， 等于用相应的m 阶初等矩阵左乘A .
(2).对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 所得 的 矩 阵 ， 等于用相应的n 阶初等矩阵右乘A .
(数 k 乘第 i 行记作：kri )
(3).把 矩 阵 的 某 一 行 乘 以 一个 数 加 到 另 一 行 上
(在第 j 行加上第i 行的 k 倍记作：rj kri )
线性代数
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如 果 把 定 义 中 的" 行" 换 成"列"， 把 记 号 中 的" r" 换 成" c"，
上 述 定 义 也 就 相 应 的 变成 了 矩阵的初等列变换。
1 0 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0
0 1 0 4 0 1
r2 r3
1 0
0 0
2 1
1 6
0 1
0 1
0 1 0 4 0 1
线性代数
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r1 2r2 r2 ( 1)
1 0 0 11 2 2 0 0 1 6 1 1
0 1 0 4 0 1
1 0 0 11 2
Ps
P2 P1 AQ1Q2
Qt
Er O
O A可逆，则左边所有矩阵
O
都可逆，因此D可逆， 故det（D）不等于0.
由 于 初 等 矩 阵 都 可 逆 ，上 式 又 可 写 为
A
P11P21
Ps
1
Er O
于是得
O O
Qt
1
Q2
Q 1 1 1
推论2 : n 阶方阵可逆的充分必要条件是A的等价
标准形为En .
初等行变换
即 ：( A | E ) (E | B)， A1＝B.
线性代数
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1 2 3
例 题1： 已 知 A 2 2 1， 用 初等 行变 换 求A1。
3 4 3
解：( A
1 E3) 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 r3 3r1
1 0
线性代数
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定理 :
任意矩阵Amn (aij )mn经过若干次初等变换，
可 以 化 为 下 面 形 式 的 等价 矩 阵D：
1
D
1
0
第 r列
第 r行
0
Er O( m r
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
矩 阵D称 为 矩 阵A的 等 价 标 准 形 。
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推论1 : 对任意m n矩阵A, 存在m阶初等矩阵P1, P2 , , Ps和n阶初等矩阵Q1,Q2 , ,Qt , 使得：
即 ：E G1G2 Gk A (1)
A1 G1G2 Gk E
(2)
(1)式 表 示 对A施 以 若 干 次 初 等 行 变 换化 为E，
(2)式 表 示 对E施 以 同 样 的 初 等 行 变 换化 为A1
线性代数
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对 于 可 逆 矩 阵A， 我 们 用 一 个 同 阶 单 位阵 将 其 扩 充 为( A | E )， 然 后 对 新 矩 阵( A | E )施 行 初 等 行 变 换 ， 将 左 半 边 的A 化 成 E， 同 时 右 半 边 的E 所 化 成 的 矩 阵 便 是 A1， 即 最 终 化 为( E | A1 ).
矩 阵 的 初 等 行 变 换 和 初等 列 变 换 统 称 为 矩 阵 的 初 等 变 换。
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矩阵等价 如果矩阵 A经过有限次初等变换后变成 B， 就称矩阵 A与矩阵 B等价，记为: A B.
例 如 ：
1 3
2 8
3 12
9 38
与
1 0
2 1
3 3
9 8
等
价
。
2 5 3 10 0 0 1 3
线性代数
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例2:
1 1 1 2 2 2 1 3 3 1 0 1
线性代数
1
本讲内容： 1、 用 初 等 行 变 换 求 逆 矩阵 2、 矩 阵 的 秩 的 概 念 3、 用 初 等 行 变 换 求 矩 阵的 秩
线性代数
2
本讲要求： 1、 掌 握 初 等 行 变 换 求 逆矩 阵 的 方 法 2、 会 用 初 等 行 变 换 求 矩阵 的 秩
重点难点： 初等行变换
2 2
31 5 2
0 1
0 0
0 2 6 3 0 1
r3 r2 r1 r2
1 0
0 2
2 1 5 2
1 1
0 0
0 0 1 1 1 1
线性代数
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r2 5r3 r1 2r3
1 0
0 2
0 0
1 3
3 2 6 5
0 0 1 1 1 1
r3 ( 1)
r2
(
r2 r3 0 1 0 4 0
2 1
0 0 1 6 1 1
A1
11 4
2 0
2 1
6 1 1
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定 义1 设A是 一 个m n的 矩 阵 ， 在A中 任 取 k行 、k列 ， 位 于 这 些 行 列 相 交处 的 k 2个 元 素 ， 保 持 它 们 原 来的 相 对 位 置 不 变 ， 组 成 一 个k 阶 行 列 式 ， 称 为 矩 阵 A的 一 个k阶 子 行 列 式 （ 或k阶 子 式 ）
1 2
)
1 0
0 1
0 0
1
Leabharlann Baidu
3 2
3 3
2
5 2
0 0 1 1 1 1
1 3 2
A1
3 2
3
5 2
1 1 1
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练
习
：
求
矩
阵A
1 2
0 1
2 3
的
逆
矩
阵
。
4 1 8
解：( A
1 E3) 2
0 1
21 30
0 1
0 0
4 1 8 0 0 1
r2 2r1 r3 4r1
线性代数
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重 点 求逆公式
回 顾
矩阵A可逆的充要条件是A 0，
并 且当A可逆时，有
A1 1 A A
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初等变换 矩 阵 的 以 下 三 种 变 换 ，称 为 矩 阵 的 初 等 行 变 换
(1).交 换 矩 阵 的 两 行
(互换 i, j 两行记作：ri rj )
(2).以一 个非 零的 数乘 矩阵的某 一行
线性代数
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定理 : n阶 矩 阵A为 可 逆 的 充 分 必 要 条 件是 它
可 以 表 示 为 一 些 初 等 矩阵 的 乘 积 。
由 定 理 可 得 ， 如 果A可 逆 ， 那 么A1也 可 逆 ，
并且存在初等矩阵G1,G2 , Gk ,使得 A1 G1G2 Gk
于 是 ：A1 A G1G2 Gk A