2014苏锡常镇一模数学(试题含答案)
数学_2014年江苏省无锡、苏州、常州、镇江四市联考高考数学一模试卷(含答案)
2014年江苏省无锡、苏州、常州、镇江四市联考高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={m, 4, 7}，若A ∩B ={1, 4}，则A ∪B =________．2. 若复数z =1+3i 1−i （i 为虚数单位），则|z|=________．3. 已知双曲线x 2m−y 28=1的离心率为√3，则实数m 的值为________．4. 一容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：[10, 20]，2；(20, 30]，3；(30, 40]，4；(40, 50]，5；(50, 60]，4；(60, 70]，2．则样本在(10, 50]上的频率是________．5. 执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于________．6. 设函数f(x)=αsinx +x 2，若f(1)=0，则f(−1)的值为________．7. 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA =4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为________．8. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为________．9. 已知tan(α+β)=25，tanβ=13，则tan(α+π4)的值为________．10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=−3，a k+1=32，S k =−12，则正整数k =________．11. 已知正数x ，y 满足x +2y =2，则x+8y xy的最小值为________．12. 如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →=2GO →，设CD → // AG →，若AD →=15AB →+λAC →(λ∈R)，则λ的值为________．13. 已知函数f(x)={(2x−x2)e x，x≤0，−x2+4x+3，x>0，g(x)=f(x)+2k，若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为________．14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3, 0)在圆C:x2+y2−2mx−4y+m2−28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设函数f(x)＝6cos2x−2√3sinxcosx．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cosA=45，求a和sinC．16. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60∘，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：平面A1DC⊥平面ABC；（2）求证：BC1 // 平面A1DC．17. 一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．(1)求V关于θ的函数表达式；(2)求θ的值，使体积V最大.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上不同的三点，A(3√2, 3√22)，B(−3, −3)，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM →⋅ON →为定值并求出该定值．19. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，且(S n+1+λ)a n =(S n +1)a n+1对一切n ∈N ∗都成立．（1）若λ=1，求数列{a n }的通项公式； （2）求λ的值，使数列{a n }是等差数列． 20. 已知函数f(x)=mx −αlnx −m ，g(x)=ex e x，其中m ，α均为实数．（1）求g(x)的极值；（2）设m =1，α<0，若对任意的x 1，x 2∈[3, 4](x 1≠x 2)，|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|恒成立，求a 的最小值；（3）设α=2，若对任意给定的x 0∈(0, e]，在区间(0, e]上总存在t 1、t 2(t 1≠t 2)，使得f(t 1)=f(t 2)=g(x 0)成立，求m 的取值范围．选修4-1：几何证明选讲 三、附加题【选做题】在21-24四小题中只能选做两题，每小题10分，第25题、第26题必做题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB =AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CDAB =ABBE ．选修4-2：矩阵与变换22. 已知M =|1221|，β=|17|，计算M 5β．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆的直角坐标方程； （2）圆的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)=|x +1|+|x −2|−|α2−2α|，若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数α的取值范围．[必做题]第25、26题，每题10分，共计20分。
2014年高考江苏数学试题及答案
2014 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第 14 题）、解答题（第15 题第20题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点．3．请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面洁净，不要折叠、损坏．一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参照公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，此中 s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱 =cl ，此中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．（ 1）【 2014 年江苏， 1， 5 分】已知会合A{ 2 ， 1，3，4} ， B{1，2，3} ，则A I B _______ ．【答案】 {1，3}【分析】由题意得 A I B {1,3} ．（ 2）【 2014 年江苏， 2， 5 分】已知复数z(52i)2( i 为虚数单位)，则z的实部为_______．【答案】 21【分析】由题意z(52i) 225 2 52i(2i) 22120i，其实部为 21．（ 3）【 2014 年江苏， 3， 5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 _______．【答案】 5【分析】此题本质上就是求不等式2n20的最小整数解．2n20整数解为 n5，所以输出的 n 5．（ 4）【 2014 年江苏， 4， 5 分】从 1，2 ，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 _______．【答案】132 个数共有 C42【分析】从1,2,3,6这 4 个数中任取6种取法，此中乘积为 6 的有1,6和2,3两种取法，所以所求概率为P2 1 ．63（ 5）【 2014年江苏， 5， 5 分】已知函数y cosx 与y sin(2 x)(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是 _______ ．3【答案】6【分析】由题意 cos sin(23) ，即 sin(2) 1 ， 2k( 1)k， (k Z ) ，因为 0，所33236以．6（ 6）【 2014 年江苏， 6， 5 分】为了认识一片经济林的生长状况，随机抽测了此中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频次散布直方图如下图，则在抽测的 60 株树木中，有株树木的底部周长小于 100 cm．【答案】 24【分析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025) 10 6024 ．（ 7）【 2014 年江苏， 7，5 分】在各项均为正数的等比数列 { a n } 中，若 a 2 1 ，a 8 a 6 2a 4 ，则 a 6 的值是 ________．【答案】 4【分析】设公比为 q ，因为 a 21 ，则由 a 8a 6 2a 4 得 q 6 q 42a 2 ， q 4 q 2 2 0 ，解得 q 22 ，所以a 6 a 2 q 4 4 ．（ 8）【 2014 年江苏， 8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1 ，S 2 ，体积分别为 V 1 ，V 2 ，若它们的侧面积相等，且S 19，则V 1的值是 _______．S 24V 2【答案】32r2h r 2S9 【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 1、h 1 ， r 2、h 2 ，则 2 r 1 h 12 r 2 h 2 ，1，又11，所h 2r 1S 22r 24以r 1 3V 1r 12 h 1r 12 h 1 r 12 r 2r 1 3r 22 ，则r 22 h 2 r 22 h 2 r 22 r 1 r 2 ．V 2 2（ 9）【 2014 年江苏， 9，5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2 y 3 0 被圆 ( x 2)2 ( y 1)2 4 截得的弦长为 ________．【答案】 2 555【分析】圆 (x2) 2 ( y 1)2 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为 r 2 ，点 C 到直线 x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3 ，所求弦长为 l 2 r 2 d 2 24 9 2 55 ． d12 2255 5 （ 10）【 2014 年江苏， 10， 5 分】已知函数 f ( x)x 2 mx 1 ，若对随意 x [ m ，m 1] ，都有 f (x) 0 成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【答案】2 ，2【分析】据题意 f (m)m 2 m 2 1 0，解得2 m 0 ．f (m 1) (m1)2 m(m 1) 1 0 2（ 11）【 2014 年江苏， 11， 5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax 2bx ( a ，b 为常数 ) 过点 P(2 ， 5) ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7 x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是 ________． 【答案】3【分析】曲线y ax 2b过点 P(2, 5) ，则 4ab 5 ①，又 y ' 2ax b 2 ，所以 4a b 7②，由①②解得x2x42a1，所以 ab2 ．b 1（ 12）【 2014 年江苏， 12， 5 分】如图，在平行四边形 ABCD 中，已知， AB 8，AD 5 ，uuur uuur uuur uuur uuur uuurCP 3PD ， BP 2 ，则 AB AD 的值是 ________．AP【答案】 22 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur【分析】由题意， AP AD DP AD AB ，BP BC CP BC 4 CD AD AB ，4 3 uuur 1 uuur 4uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur 3 uuur 2所以 AP BP ( AD AB) (AD AB) AD AD AB AB ，4 4 2 16即 2 1 uuur uuur 3 uuur uuur25 AD AB 16 64 ，解得 AD AB 22．21（ 13）【 2014 年江苏， 13，5 分】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数， 当 x [0 ，3) 时，2．2f ( x) x 2x若函数 y f ( x)a 在区间 [ 3 ，4] 上有 10 个零点 ( 互不同样 ) ，则实数 a 的取值范围是 ________．【答案】 10 ，2【分析】作出函数f ( x)x22x 1 , x [0,3) 的图象，可见 f (0)1，当 x 1时， f ( x)极大1 ，222f (3)7，方程 f (x) a 0 在 x [ 3,4] 上有 10 个零点，即函数y f ( x) 和图象与直线2ya 与函数ya 在 [ 3,4] 上有 10 个交点，因为函数f ( x) 的周期为 3，所以直线f ( x)x 2 2 x 1 , x [0,3) 的应当是4 个交点，则有 a (0, 1 ) ．22（ 14）【 2014 年江苏， 14， 5 分】若 ABC 的内角知足 sin A 2 sin B 2sin C ，则 cosC 的最小值是 _______ ．【答案】6 24a 2b 22a 2b 2( a2b )2【分析】由已知 sin A2sin B 2sin C 及正弦定理可得 a2b 2c ， cosCc 22ab2ab3a22b 22 2ab2 6ab 22ab6 2，当且仅当 3a 22b2，即 a2时等号成立， 所以 cosC8ab8ab4b3的最小值为6 2 ．4二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区内 作答，解答时应写出必需的文字说明、证明．．．．．．．．过程或演算步骤．（ 15）【 2014 年江苏， 15， 14 分】已知， ， sin 5 ．25（ 1）求 sin4的值；（ 2）求 cos62的值．解：（ 1）∵2， ，sin 5，∴ cos1 sin 22 5 ，55sinsin coscos sin2(cos sin)10 ．444210（ 2）∵ sin 22sincos4，cos 2cos 2 sin 23 ，55∴cos62cos 6 cos2sinsin 233 14 3 3 4 ．6 25 2 5 10（ 16）【 2014 年江苏， 16， 14 分】如图，在三棱锥 PABC 中， D ，E ，F 分别为棱 PC ，AC ，AB 的中点．已知PA AC ，PA 6，BC 8，DF 5 ．（ 1）求证：直线 PA ∥平面 DEF ；（ 2）平面 BDE ⊥平面 ABC ．解：（ 1）∵ D ，E 为 PC ，AC 中点∴ DE ∥ PA ∵ PA平面 DEF ， DE 平面 DEF ∴PA ∥平面 DEF ．（ 2）∵ D ，E 为 PC ，AC 中点，∴ DE1PA3∵E ，F 为 AC ，AB 中点，∴EF1BC 4 ，2，∴ DE ⊥ EF ，∵2∴222，∴，，∴，DEEFDFDEF90°DE //PA PA ACDEAC∵ ACI EF E ，∴ DE ⊥平面 ABC ，∵ DE 平面 BDE ，∴平面 BDE ⊥平面 ABC ．（ 17）【 2014 年江苏， 17，14 分】如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 1 2 y 21(a b 0)的左、2分别是椭圆 x22F ，Fab右焦点，极点 B 的坐标为 (0 ，b) ，连结2C ，BF 并延伸交椭圆于点 A ，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点连结 FC 1 ．（ 1）若点 C 的坐标为4 1，且 BF 22 ，求椭圆的方程；3 ，3（ 2）若 FC 1AB ，求椭圆离心率 e 的值．4 1 16 1解：（ 1）∵ C9922 2 2 2( 2)2 22，，∴ a 2b 22b c a ，∴a，∴ b 1 ，3 39，∵ BF∴椭圆方程为x 2y 2 1 ．（ 2）设焦点 212A Cx 轴对称，∴A(xy)，∵ ， ，， 对于∵2b b y ，即 bx cy bc 0 ①B ，F ，A 三点共线，∴cx∵ 1AB ，∴ x yb1 ，即xc byc20 ②ccFCx ca 2a 2 c 2bc 2 ①②联立方程组，解得b 2c 2∴ C2bc 2b 2 2 ， 2 2yc b cb 2c 2a 2c22bc 22C 在椭圆上，∴b 2c 2b 2c 222c55a 2b 2 1 ，化简得 5c a ，∴ a 5 , 故离心率为 5 ．（ 18）【 2014 年江苏， 18，16 分】如图，为保护河上古桥 ，规划建一座新桥 ，同时建立一个圆形保护区．规OABC划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的界限为圆心M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两头 O和 A 到该圆上随意一点的距离均许多于 80m ．经丈量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向170m 处 ( OC 为河岸 ) ， tan BCO 43 ．（ 1）求新桥 BC 的长；（ 2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（ 1）如图，以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，成立平面直角坐标系xOy ．由条件知 A (0, 60) ， C (170, 0) ，直线 BC 的斜率 k BC－tan BCO4 ．3又因为⊥，所以直线 的斜率k AB3．设点 B 的坐标为 ( a , b ) ，AB BCAB4则 k BC = b 04， kAB =b603，解得 a =80， b=120．a 1703a 04所以 =22．所以新桥 的长是 ．BC(17080)(0120) 150 150 mBC（ 2）设保护区的界限圆M 的半径为 r m,OM =d m,(0 ≤ d ≤60) ．由条件知，直线BC 的方程为 y4( x 170) ，即 4 x 3y680 0，3| 3d 680 |680 3d ．因为圆 M 与直线 BC 相切，故点 M (0 ，d ) 到直线 BC 的距离是 r ，即 r因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于 80 m ，5 5rd ≥ 806803dd ≥ 805，解得 10≤ d ≤35．所以 ，即r (60 d ) ≥ 80 3d680 (60 d ) ≥ 805故当 d =10 时 , r 6803d最大，即圆面积最大． 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大． 解法二： 5（ 1）如图，延伸 OA , CB 交于点 F ．因为 tan ∠ BCO = 4 ．所以 sin ∠ FCO = 4 ，cos ∠ FCO = 3．3 5 5 因为 OA =60, OC =170，所以 OF =OC tan ∠ FCO = 680． CF = OC 850 ，3 cos FCO 3进而500 ．因为 ⊥ ，所以 ∠ ∠4，又因为⊥ ，所以=AF OF OAcos AFB =sin AB BCBF AF3OA OC FCO = 5cos ∠ AFB ==400，进而 BC =CF －BF =150．所以新桥 BC 的长是 150 m ．3（ 2）设保护区的界限圆 M 与 BC 的切点为 D ，连结 MD ，则 MD ⊥BC ，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD =r m ，OM =d m(0≤ d ≤60) ．因为 OA ⊥ OC ，所以 sin ∠ CFO =cos ∠ FCO ，故由（ 1）知， sin ∠ CFO =MDMD r 3所以 r 680 3d ．MFOF OM680 d 553因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于80 m ，rd ≥ 80680 3dd ≥ 80510≤ d ≤ 35所以，即，解得 ，r (60 d ) ≥ 80 680 3d(60 d ) ≥ 805故当 d =10 时， r6805 3d最大，即圆面积最大．所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．f (x) e x e x 此中 e 是自然对数的底数．（ 19）【 2014 年江苏， 19， 16 分】已知函数（ 1）证明： f ( x) 是 R 上的偶函数；（ 2）若对于 x 的不等式 mf x ≤ e x m1在 (0 ，)上恒成立，务实数m( )的取值范围；（ 3）已知正数 a 知足：存在[1，a(x 3a 1 与a e 1的大小，并证明x) ，使得 f ( x )3x ) 成立．试比较 e你的结论．解：（ 1）xR ，f (x ) e xe xf ( )x ，∴ f (x) 是 R 上的偶函数．（ 2）由题意， xxxxxxxx(e e )≤e m 1，即m(ee 1)≤ e 1，∵x (0 ，) ，∴e e 1 0 ，m即 m ≤x e xx 1对 x(0 ， ) 恒成立．令te x ( 1)，则 m ≤21 t对随意 t (1，) 恒成立．ee1ttt 1∵t 21 t1 (t2t11) 1 11≥ 1，当且仅当 t 2 时等号成立，∴ m ≤ 1 ．t1)(tt 1t 11 33'( ) e xe x（ 3） f ，当时∴在 ，上单一增， 令 h( x)33x) ，，x 1f '( x)f (x)) a( x3ax( x 1)(1h'( x)∵ a0 ，x 1，∴ h '(x)0 ，即 h( x) 在 x (1，) 上单一减，∵存在 x 0e-1∵ lnaa 1ea1e2[1，ln a e 11e ．当 ) ，使得f ( x 0 ) a( x 0 33x 0 ) ，∴ f (1) e 1 2a ，即 a1 e 1 ． e2 eln e a 1 (e 1)ln a a 1 ， 设 m(a) (e 1)ln a a1 ， 则 m'(a)e1 1 e 1 a ，a a1 e 1a e1时， m'(a) 0 ， m(a ) 单一增；当 a e1 时， m'(a ) 0 ， m(a ) 单一2e减，所以 m(a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1 ；当1e 1 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1；当 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1 ．2 e（ 20）【 2014 年江苏，20，16 分】设数列 { n} 的前 n nn ，总存在正整数nm，a 项和为 S ．若对随意的正整数m ，使得 Sa 则称 { a n } 是“ H 数列”．（ 1）若数列 { n }nnN )na 的前 n 项和 S 2 (n ，证明： { a } 是“ H 数列”；（ 2）设 a} 是等差数列，其首项 a1，公差 d．若 { a }是“ H 数列”，求 d 的值；{ n1n（ 3）证明：对随意的等差数列{ a n}nn，使得 a nnnN)成立．解：（ 1）当 n ≥ 2 时，，总存在两个“ H 数列” { b } 和 { c }bc (na nnn 12n2 n 12n 1 ，当n 1 时，11，S Sa S 2∴n 1 时，11na n 1，∴n} 是“ H 数列”．S a ，当 n ≥ 2 时， S{ a（ 2） n1n(n 1) d nn(n 1) dn N ， m N nmn n(n1)d 1 (m 1)dS na，对，22使 Sa ，即21取 n 2 得 1 d( m 1)d ， m 2 ，∵ d 0 ，∴ m 2 ，又 m N ，∴ m 1，∴ d1．d（ 3）设 ad ，令 b a (n 1)a (2 n) a ，对 n N， b b a c (n 1)(a d)，{ n} 的公差为 n111n 1n1， n1对 n N ， c c a d ，则 b c na 1(n 1)d a ，且 { b } ，{c } 为等差数列．n 1n1nnnnn的前 n 项和 T nna 1 n( n 1) ( a 1 ) ，令n1，则 mn(n 3)2 ．{ b }2T (2m)a2当 n 1时 m1；当 n 2 时 m 1；当 n ≥ 3 时，因为 n 与 n 3 奇偶性不一样， 即 n(n 3) 非负偶数， m N ．所以对n ，都可找到 m N T b {b } 为“ H 数列”．，使 n m 成立，即 n{c n } 的前ｎ项和 R nn(n1)(a 1d ) ，令 c n(m 1)(a 1 d ) R m ，则 m n(n 1) 1n22∵对N ， n(n 1) 是非负偶数，∴ mN，即对n N，都可找到 mN，使得Rcnm成立，即 {c n } 为“ H 数列”，所以命题得证．数学Ⅱ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有 A 、 B 、 C 、 D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分．第 22、 23 题为必答题．每题10 分，共 40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前， 请您务势必自己的姓名、 准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点． 3． 请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚． 4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】此题包含A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区内作答 ，若多做，则按作答．．．．．． ．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（ 21-A ）【 2014 年江苏， 21-A ， 10 分】（选修 4-1 ：几何证明选讲）如图，AB 是圆 O 的直径， C 、 D是圆 O 上位于 AB 异侧的两点．证明：∠ OCB =∠ D ．解：因为 ， 是圆 O 上的两点，所以 = ．故∠ =∠ ．又因为 ,是圆 O 上位于 AB 异侧B COB OCOCBBC D的两点，故∠ B ，∠ D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠ D ．所以∠ OCB =∠ D ．（ 21-B ）【 2014 年江苏， 21-B ，10 分】（选修 4-2 ：矩阵与变换） 已知矩阵 A1 2112 1， B2，向量，x1yx ，y 为实数，若 A α= B α，求 x ，y 的值．解： A 2 y 2 ， B α 2 y ，由 A α= B α得2 y 2 2，1，y 4 ．y解得 x2 xy 4 y2 xy 4 y ， 2（ 21-C ）【 2014 年江苏， 21-C ， 10 分】（选修 4-4 ：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 lx1 2t ， 的参数方程为2 ( t 为参数 ) ，直线 l 与抛物线 y 2 4x 交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长． y22 t2解：直线 l ：x y 3 代入抛物线方程 y 2 4x 并整理得 x 2 10x 9 0，∴交点 A(1，2) ，B(9， 6)，故| AB | 8 2 ．（ 21-D ）【 2014 年江苏，21-D ，10 分】（选修 4-5 ：不等式选讲）已知 x 0 ，y 0 ，证明： 1 x y 21 x2 y 9 xy ．解：因为 x >0, y >0, 所以 1+x +y 2≥ 3 3 xy 2 0 ，1+x 2+y ≥ 33 x 2 y0 ，所以 (1+ x +y 2)( 1+x 2+y ) ≥ 3 3 xy 2 33 x 2 y =9xy ． 【必做】第 22、 23 题，每题 10 分，计 20 分．请把答案写在答题 卡的指定地区内 ． ．．．． ．．．．．．． （ 22）【 2014 年江苏， 22，10 分】盒中共有 9 个球，此中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完整同样．（ 1）从盒中一次随机拿出 2 个球，求拿出的 2 个球颜色同样的概率 ；P（ 2）从盒中一次随机拿出 4 个球，此中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1 ，x 2 ，x 3 ，随机变量 X 表示 x 1 ，x 2 ，x 3中的最大数，求 X 的概率散布和数学希望 E ( X ) ．解：（ 1）一次取 2 个球共有 C 92 36 种可能状况， 2 个球颜色同样共有 C 42C 32 C 22 10种可能状况，∴拿出的 2 个球颜色同样的概率P10536 18 ．43131（ 2）X 的全部可能取值为 4 ，3，2 ，则 P( X4)C 4 1；P(X 3)C 4 C 5C 3C 613 ；43C 9126C 963P( X 2) 1 P( X3) P( X4)11 ．∴ X 的概率散布列为： X142 3 4P11 13114 63126故X 的数学希望E(X )2 113 134 1 20 ．14631269（ 23）【 2014 年江苏， 23， 10 分】已知函数 f 0 ( x)sin x (x 0) ，设 f n (x) 为 f n 1 ( x) 的导数， n N ．x（ 1）求2 f 1 2 2 f 2 2的值；（ 2）证明：对随意的 n N ，等式 nf n14f n 4 2成立．42解：（ 1）由已知，得 f (x)f (x) sin xcos x sin x ，1x x x 2于是 f 2 ( x)f 1 (x)cos xsin x sin x 2cos x2sin x，所以 f 1 () 4) 216 xx 2xx 2x 32 2 , f 2 (3 ，2故 2 f 1 ( ) f 2 ( ) 1 ．2 2 2 x 求导，得（ 2）由已知，得 xf (x) sin x, 等式两边分别对 f 0(x) xf ( x) cosx ，即 f 0( x) xf ( x) cos x sin( x 2 ) ，近似可得 2 f 1(x) xf (x) sin x sin(x ) ，123 f 2 ( x) xf 3 ( x)cos x sin( x3 ) ，4 f 3 ( x) xf 4 (x) sinx sin(x 2 ) ．2下边用数学概括法证明等式nf n 1 ( x) xf n ( x) sin( xn ) 对全部的 n N * 都成立． （ i ）当 n =1 时，由上可知等式成立．2（ ii ）假定当 n =k 时等式成立 ,即 kf k 1 ( x) xf k (x) sin( x k ) ．2因为 [kf k 1 ( x) xf k (x)] kf k 1 (x) f k ( x) xf k ( x)(k 1) f k ( x) f k 1 ( x),[sin( xk )]cos( x k ) ( xk ) sin[ x ( k 1) ]，所以22( k 1) 22( k 1) f k( x) f k 1( x) sin[ x ] ．2所以当 n=k +1时, 等式也成立．综合 (i),(ii)可知等式 nf n 1 ( x) xf n ( x) sin( x n ) 对全部的 n N * 都成立．2n *2*令 x 4 ，可得 nf n 1 ( 4 )4 f n ( 4 ) sin( 42 ) ( n N ) ．所以 nf n 1 ( 4 )4 f n ( 4 )2 ( n N ) ．。
苏锡常镇高三数学一模试卷及参考答案纯word版
▲．
，若函数
C1
B1
A
O
（第 12 题）
C （第 16 题）
B
G D
D
A1
C
A
17．（本小题满分 14 分） 一个圆柱形圆木的底面半径为 1m，长为 10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中 一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形 ABCD （如图所示，其中 O 为圆心， C, D 在半圆上），设 BOC q ，木梁的体积为 V（单位：m3），表面积为 S（单位：m2）． （1）求 V 关于 θ 的函数表达式； （2）求 q 的值，使体积 V 最大； （3）问当木梁的体积 V 最大时，其表面积 S 是否也最大？请说明理由．
且 PA = 4，则 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．
8．从甲，乙，丙，丁 4 个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．
9．已知
tan(a
b)
10．设等差数列an的前 n 项和为 Sn
2 5
，
tan
b
1 3
，则
tan
，若 a1
a
+
p 4
AG
13．已知函数
，若
AD
f
(
x)
1
5
AB
(2x x 2
AC
(
x2 )ex , x ≤ 4x 3, x
g(x) 恰有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围为 ▲ ．
14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(3, 0) 在圆
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合A={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ .2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ .3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲ .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则（第3题）100 80 90 110 120 底部周长/cm（第6题）21V V 的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值X 围是▲ .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值X 围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .（第12题）PDCA17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a b y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程； (2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，某某数m 的取值X 围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明:}{n a 是“H 数列”; (2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB= ∠D ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵 1 2 1 1,1 x 2 -1A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，向量 2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，x ，y 为实数． 若Aa =Ba ，求x+y 的值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 212222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x>0，y>0，证明： 22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (l)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 123,,x x x ，随机 变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分） 已知函数 0sin ()(0)xf x x x=>，设 ()n f x 为 1()n f x -的导数，n N *∈． (1)求 122222f f πππ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2)证明：对任意的 n N *∈，等式 124442n n nf f πππ-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都成立．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1、集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,如此B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】此题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
属于根底题，难度系数较小。
2、复数2)25(i z -=(i 为虚数单位〕，如此z 的实部为▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。
【点评】此题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。
属于根底题，难度系数较小。
〔第33、右图是一个算法流程图，如此输出的n 的值是▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，此题202>n是否成立，假设不成立，如此n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；假设成立，如此输出n 的值。
此题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，如此输出的n 的值为5【点评】此题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。
属于根底题，难度系数较小。
4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，如此所取2个数的乘积为6的概率是▲ ．【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏〞的列举出来：〔1，2〕，〔1，3〕〔1，6〕，〔2，3〕，〔2，6〕，〔3，6〕，共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是〔1，6〕和〔2，3〕，如此概率为31。
【点评】此题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。
2014年苏锡常镇高三数学一模试卷及参考答案(纯word版)
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3参考公式：柱体的体积公式：V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是高．直棱柱的侧面积公式：S 直棱柱侧=ch ，其中c 是直棱柱的底面周长，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4A B =，则AB = ．2．若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则 | z | = ． 3．已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ．4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2； (]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ．5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ． 6．设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ．7．四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥底面ABCD 且P A = 4， 则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ．8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ．9．已知2tan()5+=，1tan 3=，则)4tan(π+a 的值为 ． 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ．11．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．12．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC =+λ()∈R λ，则λ的值为 ．13．已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不（第5题）（第12题）ABCDOG同的零点，则实数k 的取值范围为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）设函数2()6cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ．17．（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中111DC B AC BA （第16题）一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，,C D 在半圆上），设BOC∠=，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上不同的三点，θD CB A O（第17题）2A，(3,3)B--，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM ON⋅为定值并求出该定值．19．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a的前n项和为S n，已知11a=，且11()(1)n n n nS a S aλ+++=+对一切*n∈N 都成立．（第18题）（1）若λ = 1，求数列{}n a的通项公式；（2）求λ的值，使数列{}n a是等差数列．20．（本小题满分16分）已知函数e()ln,()e xxf x mx a x mg x=--=，其中m，a均为实数．（1）求()g x的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立， 求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB AD=，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切．求证：CD AB AB BE=．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6Mβ．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为22cos,()2sinxy=+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程．D．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影E （第21-A题）响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设01212(1)m m n n n n n m S C C C C ---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =； 当n 为奇数时，12n m -=． （1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-； （2）记01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，求S 的值．2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}1,2,3,4,7 2 3. 4 4.710 5．63 6．2 7 8. 23 9． 9810．13 11．9 12．6513.27321,{0,22e+⎛⎫--⎪⎝⎭14. [3(327,3++--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）1+cos2()622xf x x=⨯=3cos223x x+=)36x++．…………………3分所以()f x的最小正周期为22T==，…………………4分值域为[3-+．…………………6分（2）由()0f B=，得πcos(2)6B+=．B为锐角，∴ππ7π2666B<+<，π5π266B+=，∴π3B=． (9)分∵4cos5A=，(0,)A∈，∴3sin5A==．…………………10分在△ABC中，由正弦定理得32sinsinb AaB⨯===．…………………12分∴21sin sin()=sin()sin322C A B A A A=---=+=．…………………14分16．（1）证明：∵11ABB A为菱形，且160A AB∠=︒，∴△1A AB为正三角形．…………………2分D是AB的中点，∴1AB A D⊥．∵AC BC=，D是AB的中点，∴AB CD⊥．…………………4分1A D CD D=，∴AB⊥平面1A DC．…………………6分∵AB⊂平面ABC，∴平面1A DC⊥平面ABC．…………………8分（2）证明：连结1C A，设11AC AC E=，连结DE．∵三棱柱的侧面11AA C C是平行四边形，∴E为1AC中点．…………………10分在△1ABC中，又∵D是AB的中点，∴DE∥1BC．…………………12分∵DE⊂平面1A DC，1BC⊄平面1A DC，∴1BC∥平面1A DC．…………………14分17．解：（1）梯形ABCD的面积2cos 2sin 2ABCD S +=⋅=sin cos sin +，(0,)2∈． …………………2分 体积()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈． …………………3分（2）2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V '=+-=-+． 令()0V '=，得1cos 2=，或cos 1=-（舍）． ∵(0,)2∈，∴3=． …………………5分当(0,)3∈时，1cos 12<<，()0,()V V '>为增函数；当(,)32∈时，10cos 2<<，()0,()V V '<为减函数． …………………7分∴当3=时，体积V 最大． …………………8分（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2++，(0,)2∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2++++，(0,)2∈．…………………10分设()cos 2sin 12g =++，(0,)2∈．∵2()2sin 2sin 222g =-++，∴当1sin22=，即3=时，()g 最大． …………………12分 又由（2）知3=时，sin cos sin +取得最大值，所以3=时，木梁的表面积S 最大． …………………13分综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分 18．解：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y +=． …………………3分 （2）设点(,)C m n (0,0)m n <<，则BC 中点为33(,)22m n --． 由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而23m n =-．① 又∵点C 在椭圆上，∴22227m n +=．②由①②，解得3n =（舍），1n =-，从而5m =-． …………………5分 所以点C 的坐标为(5,1)--． …………………6分 （3）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．∵,,P B M 三点共线，∴011033233y y y x ++=++，整理，得001003()23y x y x y -=--．…………………8分 ∵,,P C N 三点共线，∴22011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+．…………………10分 ∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． …………………14分 所以124552OM ON y y ⋅==． …………………15分 ∴OM ON ⋅为定值，定值为452． …………………16分 19．解：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， ………………… 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=．① ………………… 4分 ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， a n = 2n -1（*n ∈N ）． …………………8分 （2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分 当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-， 整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分 从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分20．解：（1）e(1)()exx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分 列表如下：∵g (1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． …………………3分 （2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分 设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立， ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分 设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅，则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分∴11e ex x a x x---+≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]，∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在[3，4]上的最大值为v (3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3． …………………9分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． …………………10分 ∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意． ………………… 11分当0m ≠时，2()()m x m f x x-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调，所以20e m <<，即2em >．① …………………12分此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m上递增， ∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥．② 由①②，得3e 1m -≥． …………………13分 ∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m =≤成立． …………………14分下证存在2(0,]t m ∈，使得()f t ≥1．取e m t -=，先证e 2m m-<，即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立． 再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AC ．EA 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠． …………………2分AB AD =，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠． …………………4分圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠． …………………6分∴CDA ∆∽ABE ∆． …………………8分 ∴CD DAAB BE=， AB AD =，∴CD ABAB BE=． …………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----．令12()031f λλλ===-，解得，，对应的一个特征向量分别为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． …5分令12m n =+βαα，得4,3m n ==-．6666661212112913(43)4()3()433(1)112919⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦M βM ααM αM α．……………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． …………………5分 （2）把cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上述方程，得圆的极坐标方程为4cos ρθ=．…………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则(4)(5)P P x P x ==+= …………………2分=441550552222()(1)()(1)3333C C -+-=112243． …………………4分 （2）由题意1,2,3,4,5=．2(1)3P ==，122(2)339P ==⨯=，1122(3)33327P ==⨯⨯=，3122(4)3381P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(5)381P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．的分布表为…………………8分的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分23．解：（1）当n 为奇数时，1n +为偶数，1n -为偶数， ∵1101221112(1)n n n n nn S CC C+++++=-++-，110122112(1)n n n n n n S C C C---+=-++-，11012211212(1)n n n n n n S C CC------=-++-，∴1111110011222221111111222()()(1)()(1)n n n n n n n n n n n n n n S S C C C C CCC-+-++-++-++++-=---++--+-=11012212112((1))n n n n n n CCCS --------++-=-．∴当n 为奇数时，11n n n S S S +-=-成立． …………………5分 同理可证，当n 为偶数时， 11n n n S S S +-=-也成立． …………………6分 （2）由01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，得 0123100720142013201220111007201420142014201420142013201220111007S C C C C C =-+-+-=0112233100710072014201320132012201220112011100710071231007()()()()2013201220111007C C C C C C C C C -+++-++-+=0121007012100620142013201210072012201120101006()()C C C C C C C C -+----+-+=20142012S S -． …………………9分 又由11n n n S S S +-=-，得6n n S S +=， 所以20142012421S S S S -=-=-，12014S =-． …………………10分。
江苏省苏州市2014届高三第一次调研数学试卷Word版含答案
苏州市2014届高三调研测试数学Ⅰ试题 2014．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B = ▲ ．2． 已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ▲ ．3． 若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ = ▲ ．4． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = ▲ ． 5． 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ▲ ． 6． 运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是 ▲ ． （第6题）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 - 第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．7． 已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x = ▲ ． 8． 函数e ln y x x =-的值域为 ▲ ．9． 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ．若b ·c = 0，则实数t 的值为 ▲ ．10． 已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是 ▲ ．11． 已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲ ． 12． 在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P 的个数为 ▲ ．13． 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 ▲ ．14． 若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本小题满分14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=．（1）求角A 的大小； （2）若a =4b =，求边c 的大小．16． （本小题满分14分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）P A ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．PMD C（第16题）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元．（1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？18． （本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ=，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．（第18题）设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．20． （本小题满分16分）已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x b f x a x=+． （1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．苏州市2014届高三调研测试数学Ⅱ（附加题） 2014．121．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相．．．应的．．答题区域．．．．内．作答．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A ，B ，C ，D ，E ， 求证：AB ·CD = BC ·DE ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． NME D C B AB．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知a，b∈R，若M=13ab-⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y = 3变换成自身，试求实数a，b．（第21-A题）C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，求点M π(2,)6关于直线π4θ=的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥 P - ABCD的侧棱长与底边长都为，点M ，N 分别在P A ，BD 上，且13PM BN PA BD ==． （1）求证：MN ⊥AD ； （2）求MN 与平面P AD 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ= 0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．（1）求概率P （ξ= 0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．（第22题）。
2014江苏高考数学一模试卷
a3 a4 4 ，则 a5 a6 a7 a8
▲
．
6、已知| a |=3，| b |=4，( a + b )( a +3 b )=33，则 a 与 b 的夹角为 ▲ 7、在 ABC 的边 AB 上随机取一点 P , 记 CAP 和 CBP 的面积分别 为 S1 和 S2 ，则 S1 2S2 的概率是 ▲ 8、执行如右图所示的程序框图，则输出结果 S 的值为 ▲ 9、已知直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，给出下列命题： ①若 / / ，则 l m ；②若 ，则 l / / m ； ③若 l / / m ，则 ； ④若 l m ，则 / / . 其中，正确命题的序号是 ▲ 2 x y 4 10、若动点 P(m, n) 是不等式组 x 0 表示的平面区域内的动点， y 0
6
1 南京清江花苑严老师
（1）若 x
4
，求函数 f x 的值域；
2 2
5 3 A 5 （2） 设 A, B, C 为 ABC 的三个内角，若 f ，求 cos C 的值； , cos A C 14
16、 （本题 14 分）如图，在三棱锥 P ABC 中， PAB 和 CAB 都是 以 AB 为斜边的等腰直角三角形，D、E、F 分别是 PC、AC、BC 的中点. (1) 证明：平面 DEF//平面 PAB； (2) 证明： AB PC ； (3) 若 AB 2PC 2 ，求三棱锥 P ABC 的体积．
▲
13、在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 A 是半圆 x2 y 2 2 y 0 (1≤y≤2) 上的一个动点，点 C 在线段 OA 的延长线上．当 OA OC 10 时，则点 C 的横坐标的取值范围是 ▲ 14、设 f ( x) etx (t 0) ，过点 P(t ,0) 且平行于 y 轴的直线与曲线 C : y f ( x) 的交点为 Q， 曲线 C 过点 Q 的切线交 x 轴于点 R，若 S (1, f (1)) ，则 PRS 的面积的最小值是 ▲ 二、解答题： （本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ） 15、 （本题 14 分）设函数 f x sin 2 x cos 2 x 3 sin x cos x .
2014江苏数学一模南京盐城_无锡_南通_苏北四市
南京市2014届高三第一次模拟考试数学一、填空题1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Pr int S For I From To S S I End For S←←+ 5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = . 6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 . 7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 . 9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 . 13.若关于x 的不等式2(20)l g 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 . 二、解答题15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16.如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m .（1）求x 的取值范围； 1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点.（2）若点B 的坐标为8(5，试求直线PA 的方程； （3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题1．已知曲线C ：1xy =，若矩阵M ⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.2．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.）3.已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.4.设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤. （1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B2014届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i 2iz =-（其中i 是虚数单位）的虚部为 ．2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这 7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 . 3. 函数()221()4x xf x -=的值域为 ．4. 分别在集合A={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ．5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的 离心率为 . 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取 值范围是 ．7. 函数y =()πsin 23x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y =sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换： A. 图象上所有点向右平移π6个单位；B. 图象上所有点向右平移π3个单位；6 7 8 5 5 6 3 4 0 1C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ．10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若③的解集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ． 11. 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ． 12. 设平面向量a ，b满足3-≤a b a ·b 的最小值为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线22491x y+=上的点到原点O 的最短距离为 ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知 函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<． （1）若⊥a b，求+a 的值；（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．EADCFP东北16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠=，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面P AC ．17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60的方向，且在港口 A北偏西30的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30的OD 方向以20海里/小时 的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补 给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时． （1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18．设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足2371574a a S a =-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项．19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C上1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ②求AB 的最小值．20．设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）．【填空题答案】1. 252. 723. (]04，4. 345. 26. (]1921，7. BD （DA ） 8. 充分不必要 9. 221x y +=10.[)10-， 11.12. 513. 16- 14. 1515.【解】（1）因为a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，所以11==，a b ． ……2分 因为⊥a b ，所以a ·b = 0．……………………………4分于是22234=++⋅=a a b b ，故2=a ． …………6分（2）因为a + b ()(cos cos sin sin 0αβαβ=++=，，所以cos cos 0sin sin αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，…………………………8分由此得()cos cos παβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-． ………………………………10分代入sin sin αβ+=sin sin αβ==．…………………12分而0πβα<<<，所以2ππ33αβ==，．…………………14分16. 【证】（1）在△P AC 中，因为E ，F 分别是AP ，AC 的中点，所以EF // PC ．………2分 又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//EF 平面PBC ．………………5分（2）连结CD ．因为60BAC ∠=，AD AC =，所以△ACD 为正三角形． 因为F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．…………………7分因为平面P AC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，平面P AC I 平面ABC AC =， 所以DF ⊥平面P AC ． ……………………11分因为DF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面P AC ．…………………………14分 17.【解】（1）由题意知，在△OAB 中，OA =120，3060AOB OAB ∠=∠=o o ，． 于是60AB =，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时． ………………………………5分（2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合． 为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．…………………………………………………………………7分 在△OAB中，可计算得OB =而在△OCB 中，6020(2)30BC t OC t BOC ==+∠=o ，，，………………………9分 由余弦定理，得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即([]222(60)20(2)220(2)t t t =++-⨯+亦即285130t t +-=，解得1t =或138t =-（舍去）．……………………………12分故23t +=．即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇？…14分 18.【解】（1）因为{}n a 是等差数列，且77S =，而17747()72a a S a +==，于是41a =．…2分设{}n a 的公差为d ，则由23154a a a =-得(12)(1)5134d d d --=--， 化简得282790d d -+=，即(3)(83)0d d --=，解得3d =或3d =，但若38d =，由41a =知不满足“数列{}n a 的各项均为整数”，故3d =．………5分于是4(4)311n a a n d n =+-=-．……………………………………………………7分 （2）因为+12(3)(6)189m m m m m m m ma a a a a a a a +++==++，3113(4)1n a n n =-=-+， ……10分 所以要使+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项，18m a 必须是3的倍数，于是m a 在1236±±±±，，，中取值，但由于1m a -是3的倍数，所以1m a =或2m a =-．由1m a =得4m =；由2m a =-得3m =． …………………………………………13分 当4m =时，+121347m m m a a a +⨯==；当3m =时，+12314m m m a aa +⨯==． 所以所求m 的值为3和4．…………………………………………………………16分 另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18311311m m m a a m m m m a m m +---+-+==-- 1823332323113(4)1m m m m ⨯⨯=-+=-+--+，所以要使+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项，2333(4)1m ⨯⨯-+必须是3的倍数，于是3(4)1m -+只能取1或2-．（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，焦距为2c ，离心率为e ．于是2b =．设椭圆的右焦点为F ，椭圆上点P 到右准线距离为d ， 则AFe AF e d d=⇒=⋅，于是当d 最小即P 为右顶点时，PF 取得最小值，所以1a c -=．……………………………………………………………………3分因为2221221a c a b b c a b c ⎧⎧-==⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩，，，，所以椭圆方程为22154x y +=．………………………………………………………5分（2）①设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h AB⋅=．当直线OA 的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2OB OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．于是d ==．………………………………………………………………7分 当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则22222115454x y xk x y kx⎧⎪+=⇒+=⎨⎪=⎩，， 解得22222111A A x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 同理222221115411154BBx k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，．………………………………………9分 在Rt △OAB 中，22222222OA OB OA OB h AB OA OB⋅⋅==+， 则22222222222222111111115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k+++++==+=+=+⋅++++ ()()221111454511945201k k +++==+=+，所以h =． 综上，原点O 到直线AB．……………………………………11分 另解：()()()()()()22222222222222211111111155441111111114111544k kk k OA OB k k h OA OB k k k k k kk k ++⋅++++⋅===+++++++++++222212999920201020k k k k ++==++，所以h ． ②因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ⋅的最小值．22OA OB ⋅()()()()2222222111211141111204k k k k k k kk ++++=⋅=++++， 令221t k k =+，则2t ≥， 于是22OA OB ⋅=()220401202011412041204120400t t t t t ++=⋅=-+++， …………………14分 因为2t ≥，所以()22116002018181OA OB ⋅⋅-=≥，当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ⋅取得最小值409，因而min 40AB = 所以AB．…………………………………………………………16分 20. 【解】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，．()2af x bx '=-，则()2432a f b '=-=-，即86a b =-．于是()()2286bx b f x -+-'=．……………………………………………………2分①当0b =时，()60f x x-'=<，()f x 在()0+∞，上是单调减函数； ②当0b <时，令()0f x '=，得x ， 所以()f x在(0上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数； ③当0b >时，若304b <≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0+∞，上单调减函数； 若34b >，令()0f x '=，得x =， 所以()f x在(0上单调增函数，在)+∞上单调减函数； 综上，若0b <，()f x的单调减区间为(0，单调增区间为)+∞； 若304b ≤≤，()f x 的单调减区间为()0+∞，； 若34b >，()f x的单调增区间为(0，单调减区间为)+∞．……………………………………8分（2）因为286a a b ==-，，所以1b =，即()22ln g x x x kx =--．因为()g x 的两零点为1x ，2x ，则211122222ln 02ln 0x x kx x x kx ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，相减得：()()()221212122ln ln 0x x x x k x x -----=， 因为 12x x ≠，所以()()1212122ln ln x x k x x x x -=-+-，于是()()1200012122ln ln 242x x g'x x k -=--=- ()()()112211212121212221222ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦． ……………………………………14分令()1201x t t x =∈，，，()()214ln 2ln 11t t t t t t ϕ-=-=--++， 则()()()()222141011t 't t t t t ϕ--=-=<++，则()t ϕ在()01，上单调递减， 则()()10t ϕϕ>=，又1220x x <-，则()00g'x <．命题得证．………………16分附加题：21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ．【证】连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o ，． 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．因为AD = DC ，所以A C ∠=∠．于是△ADB ≅△CDO ，从而AB = CO ，即2OB = OB + BC ，得OB = BC ．故AB = 2 BC ．……………………………………10分21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-2121311，求矩阵A 的特征值． 【解】因为A1-A =E ，所以A =(A 1-)1-．因为A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1143411，所以A =(A 1-)1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232． …………………………………5分 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)1232----=λλ= λ2－3λ－4， ………………………8分令f (λ) = 0，解得A 的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．………………………………………10分21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程：221259x y +=，左焦点(40)F -，………………………………………3分直线的普通方程：220x y -+=. …………………………………………………………6分 设过焦点(40)F -，且与直线220x y -+=平行的直线为20x y λ-+= 将(40)F -，代入20x y λ-+=， 4.λ=所求直线的普通方程为240x y -+=．…………………………………………………10分 21D. 已知实数x ，y 满足：| x + y |31<，1|2|6x y -<，求证：| y |518<．【证】3|||3|2()(2)2|||2|y y x y x y x y x y ==+--++-≤．…………………………………5分 由题设知| x + y |31<，1|2|6x y -<， 从而1153||2366y ⨯+=≤．故| y |518<．…………………………………………………10分22．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率(P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ )．【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有28C 28=种．因为正方体的棱长为1 正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612⨯=条．因此(123287P ξ===． ……………………………………………3分（2）随机变量ξ的取值共有1正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是()1231287P ξ===．………………………5分从而(()(331111777P P P ξξξ=-=-==--=． …………………………………7分所以随机变量ξ的分布列是…………………………………………………………………8分因此331()1777E ξ=⨯+ …………………………………………10分23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =，F 为其焦点，点E 的坐标为(2，0)，设M为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，链接ME ，NE 并延长分别交 抛物线C 与点P ，Q ．（1）当MN ⊥Ox 时，求直线PQ 与x 轴的交点坐标；（2）当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：122k k =． 【解】（1）抛物线C ：24y x =的焦点F (1，0) ．当MN ⊥Ox 时，直线MN 的方程为 1x =．将1x =代入抛物线方程24y x =，得2y =±．不妨设(12)M ，，(12)N -，， 则直线ME 的方程为2+4y x =-，由2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1x =或4x =，于是得(44)P -，． 同理得(44)Q ，，所以直线PQ 的方程为4x =． 故直线PQ 与x 轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分 （2）设直线MN 的方程为1x my =+，并设11223344()()()()M x y N x y P x y Q x y ，，，，，，，． 由2214404x my y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 于是124y y =-①，从而221212144y y x x =⋅=②．设直线MP 的方程为2x t y =+， 由2224804x t y y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 所以138y y =-③，134x x =④． 同理248y y =-⑤，244x x =⑥．由①②③④⑤⑥，得323241412424y y x x y y x x ====，，，．4312122143121222114422y y y y y y k k x x x x x x ---===⋅=---，即122k k =．…………………………………………………………………………10分苏 北 四 市 数 学 试 题数学Ⅰ 必做题部分（本部分满分160分，时间120分钟）参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．设复数122i ,i z z m =-=+(m ∈R ，i 为虚数单位),若12z z ⋅为实数,则m 的值为 ▲ ． 2．已知集合{2}A a =+，{1,1,3}B =-，且A B ⊆，则实数a 的值是 ▲ ．3．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ．4．在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是▲ ．5．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ． 7．函数()lg(23)x xf x =-的定义域为 ▲ ．81，则此三棱锥 的体积为 ▲ ．9．在△ABC 中，已知3AB =，o 120A =，且ABC ∆的面积，则BC 边长为 ▲ ． 10．已知函数()2f x x x =-，则不等式)(1)f x f -≤的解集为 ▲ ．11．已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ▲ ．12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若435a a a ，，成等差数列，且33k S =，163k S +=-，其中k *∈N ，则2k S +的值为 ▲ ．13．在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE =，3BC BF =．若向量AB 与DC 的夹角为60，则AB EF ⋅的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1l ：y x =和2l ：2y x =-+的距离之和为则22a b +的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．(1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点． (1)求证：PA //平面BEF ；(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．（第6题图）17．(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？18．(本小题满分16分)已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ．P A B CFE （第16题图）(第17题图)(1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程； (2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．19．(本小题满分16分)已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)若数列{}n a 为等差数列．（ⅰ）求数列的通项n a ；（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b 前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小；(2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．F EDCB A (第21(A)图)数 学 试 题数学Ⅱ 附加题部分注意事项1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。
数学_2014年江苏省常州市某校高考数学模拟试卷(含答案)
2014年江苏省常州市某校高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知复数z =2+i ，其中i 为虚数单位，则z 2的实部为________．2. 已知集合A ＝{x|x ≥0}，B ＝{x|x <1}，则A ∪B ＝________．3. 如图所示的伪代码中，若输入的a ，b ，c 依次是1，2，3，则输出的c 的值为________．4. 函数y =√log 13的定义域为________．5. 为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如表．根据以上数表绘制相应的频率分布直方图时，落在[10.95, 11.15)范围内的矩形的高应为________．五个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是________．7. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →⋅BC →=1，则BC ＝________．8. 已知某正三棱锥的高为1，体积为√33，则该正三棱锥的侧面积为________． 9. 在锐角三角形ABC 中，sinA =35，tan(A −B)=−13，则tanC 的值为________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l:2x +3y −10=0与圆C ：(x −a)2+(y −b)2=13切于点P(2, 2)，则a +b 的值构成的集合是________． 11. 已知一个“三角形数阵”（如图），则第(n ≥9, n ∈N ∗)行前9项的和为________．12. 在△ABC 中，AE →=13AB →，AF →=23AC →．设BF ，CE 交于点P ，且EP →=λEC →，FP →=μFB →(λ, μ∈R)，则λ+μ的值为________．13. 已知函数f(x)=sinx −√3cosx 在点A 处的切线为l 1，函数g(x)=12x 2+lnx 在点B 处的切线为l 2．若l 1 // l 2，则|OA →⋅OB →|的最小值为________．14. 已知函数f(x)=31+|x|+31+|x−2|，则函数g(x)=f[f(x)]−3有________个零点．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量m →=(12, 12sin2x +√32cos2x)与n →=(1, y)共线，且有函数y =f(x)．(1)求函数y =f(x)的周期及单调增区间；(2)若锐角△ABC ，三内角分别为A ，B ，C ，f(A −π3)=√3，边BC =√7，cosB =2√77，求AC 的长．16. 如图，四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，且∠ABC =π2．(1)求证：BC // 平面AB 1C 1；(2)求证：平面A 1ABB 1⊥平面AB 1C 1．17. 如图，半径为1的圆O ，∠AOB =∠BOC =∠COA =2π3，点A 0，B 0，C 0分别是半径OA 、OB 、CO 上的动点，且OA 0=OB 0=OC 0，分别过A 0，B 0，C 0作半径OA 、OB 、CO 的垂线，交圆O 与A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2，过A 2，B 1分别作OA 、OB 的平行线A 2M 和B 1M 交于点M ，过B 2，C 1分别作OB 、OC 的平行线B 2N 和C 1N 交于点N ，过C 2，A 1分别作OC 、OA 的平行线C 2P 和A 1P 交于点P ，由A 1A 2MB 1B 2NC 1C 2P 围成图所示的平面区域（阴影部分），记它的面积为y ，设∠A 2OA =θ，用y =f(θ)表示y 关于θ的函数． （1）设θ∈(0, π3]，求y =f(θ)的解析式；（2）在（1）的条件下，求y =f(θ)的最大值，并求出当函数取最大值是时tan2θ的值．18. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(−4, 0)作直线交椭圆C:x 2a 2+y 23=1(a >0)于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′，点F(−1, 0)为椭圆C的左焦点，且PB →=λPA →(λ>1)． （1）求实数a 的值；（2）若λ=2，求线段BB′的长； （3）证明：B′F →=λFA →．19. 定义：若数列{a n }满足对任意的n ∈N ∗，2a n+1>a n +a n+2，且存在最小的上界S ，使得a n ≤S ，则称{a n }为“S 型”数列．（1）若正项等比数列{a n }的前n 项和为T n ，且a 3=14，T 3=74，试判断数列{T n }是否为“S 型”数列，并说明理由；（2）若{a n }为“S 型”数列，且任意一项均不为S ，求证：对任意的n ∈N ∗，a n+1>a n ． 20. 设a ，b ，c 为实数，函数f(x)=x 3−ax 2−bx +c 为R 上的奇函数，且在区间[1, +∞)上单调．（1）求a ，b ，c 应满足的条件； （2）求函数f(x)的单调区间；（3）设x 0≥1，f(x 0)≥1，且f[f(x 0)]=x 0，求证：f(x 0)=x 0．选做题：在第21、22、23、24四个小题中任选两题作答，每小题10分，共20分.【选修4一l ：几何证明选讲】21. 如图，已知AD 为圆O 的直径，直线BA 与圆O 相切于点A ，直线OB与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M ，连接DC ，AB =10，AC =12． （1）求证：BA ⋅DC =GC ⋅AD ； （2）求OA ．【选修4-2：矩阵与变换】22. 二阶矩阵M 对应的变换将点(1, −1)与(−2, 1)分别变换成点(−1, −1)与(0, −2)． （1）求矩阵M 的逆矩阵M −1；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m:2x −y =4，求l 的方程．【选修4-3：坐标系与参数方程】23. 已知直线L:{x =2+tcosαy =1+ysinα（t 为参数，α为直线的倾斜角）交椭圆x 216+y 24=1于A 、B 两点，若点M(2, 1)恰好为线段AB 的中点，求直线L 的斜率．【选修4-5：不等式选讲】24. 若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1． （1）求证：13≤a 2+b 2+c 2<1； （2）求12a+1+12b+1+12c+1的最小值．必做题：第25、26两题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25. 如图，在三棱锥P −ABC ，AB ⊥BC ，AB =BC =kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．（1）若k =1，试求异面直线PA 与BD 所成角余弦值的大小； （2）当k 取何值时，二面角O −PC −B 的大小为π3？26. 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n +m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类试题的数量．求X =n +2的概率；设m =n ，求X 的分布列和均值（数学期望）.2014年江苏省常州市某校高考数学模拟试卷答案1. 32. R3. 134. (12, 1)5. 1.456. 257. √38. 2√39. 79310. {−1, 9}11. 5113n12. 5713. π3 14. 415. 解：由已知可得12y−(12sin2x+√32cos2x)=0，∴ y=f(x)=2sin(2x+π3)．(1)函数y=f(x)的周期为T=2π2=π，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，可解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，∴ 函数y=f(x)的单调增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，k∈Z；(2)f(A−π3)=2sin(2A−π3)=√3，∴ sin(2A−π3)=√32，∵ A为锐角，∴ A=π3，又∵ cosB=2√77，∴ sinB=√217，由正弦定理可得BCsinA =ACsinB，∴ AC=BC⋅sinBsinA =√7×√217√32=216. 证明：(1)∵ BC // B1C1，且B1C1⊂平面AB1C1，BC⊄平面AB1C1，∴ BC // 平面AB1C1．(2)∵ 平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面ABCD // 平面A1B1C1D1，∴ 平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，∵ 平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1⊥C1B1，∴ C1B1⊂平面AB1C1，∴ 平面A1ABB1⊥平面AB1C1．17. 解：（1）由题意，y=6S OA0A2M ，A0A2=OA2sinθ=sinθ，OA0=cosθ，由图可知，四边形OA 0A 2M 为直角梯形， ∴ 6S OA 0A 2M =12(MA 2+OA 0)⋅A 0A 2由图知，M ，N ，P 对称，∴ ∠MOP =120∘， ∴ ∠MOH =60∘， ∴ 在Rt △OMH 中，OH =√3=√3，∴ S OA 0A 2M =12[(cosθ√3)+cosθ]sinθ=12sin2θ−22√3，∴ y =3sin2θ+√32cos2θ−√32(θ∈（0, π3]），（2）f(θ)=√392sin(2θ+φ)−√32(tanφ=2√3)∵ θ∈(0, π3]，tanφ=2√3<√3，∴ φ∈(0, π6)∴ 2θ+φ=π2时，y =f(θ)的最大值为√39−√32， 此时2θ=π2−φ，tan2θ=tan(π2−φ)=1tanθ=2√3．18. 解：（1）依题意，c =1， 又c 2=a 2−b 2，其中b 2=3， ∴ a =2．（2）当λ=2时，PB →=2PA →，即A 为PB 的中点， 设A(x 0, y 0)，则B(2x 0+4, 2y 0)， 此时x 024+y 023=1，且(2x 0+4)24+(2y 0)23=1，解得x 0=−74，y 0=±3√58， ∴ 线段BB′的长为3√54； （3）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则B′(x 2, −y 2)，由PB →=λPA →得(x 2+4, y 2)=λ(x 1+4, y 1)，则x 2+4=λ(x 1+4)，y 2=λy 1，①又{x 124+y 123=1②x 224+y 223=1③， ③-②×λ2得(x 2−λx 1)(x 2+λx 1)4+y 22−λ2y 123=1−λ2，④将①代入④得−1−x 2−λ(x 1+1)=0，则B′F →−λFA →=(−1−x 2−λ(x 1+1)，y 2−λy 1)=(0, 0)，即证明B′F →=λFA →．19. 设正项等比数列{a n }的首项为a 1，(a 1>0)公比为q ，(q >0)， ∵ a 3=14，T 3=74，∴ q 2a 1=14，a 1+a 1q +a 1q 2=74，解得a 1＝1，q =12， 从而T n ＝2(1−12n)，∵ 2T n+1−T n −T n+2＝4(1−12n+1)−2(1−12n )−2(1−12n+2)=12n+1>0， ∴ 2T n+1>T n +T n+2． ∵ T n ＝2(1−12n)随n 的增加而增大，故T n ∈[1, 2)，∴ 存在最小上界S ＝1，使a n ≤S ， 综上数列{T n }是“S 型”数列．假设存在n 0∈N ∗，使得a n 0+1≤a n 0，∵ 对任意的n ∈N ∗，2a n+1>a n +a n+2， ∴ 对任意的n ∈N ∗，2a n 0+1>a n 0+a n 0+2， 从而a n 0+2−a n 0+1<a n 0+1−a n 0≤0，故当n ≥n 0时，总有a n+1<a n ．又在a 1，a 2．⋯a n 0中一定存在一个最大的项，依据题意，此项必为S ，这与{a n }中任意一项均不为S 矛盾，∴ 假设不成立，即原命题成立． 20. 解：（1）∵ f(x)=x 3−ax 2−bx +c 为R 上的奇函数， ∴ f(−x)=−f(x)，即−x 3−ax 2+bx +c =−x 3+ax 2+bx −c ， 即−a =a ，c =−c ，解得a =c =0，此时f(x)=x 3−bx 在区间[1, +∞)上单调， 即为R 上的奇函数，为R 上的奇函数，则f′(x)=3x 2−b ≥0在[1, +∞)上恒成立， 胡b ≤3x 2在[1, +∞)上恒成立，即b ≤3． （2）∵ f′(x)=3x 2−b 且b ≤3，∴ 若b ≤0，则f′(x)=3x 2−b ≥0恒成立，此时函数单调递增，递增区间为(−∞, +∞)， 若b >0，由f′(x)=3x 2−b >0，得x >√b3或x <−√b3，此时函数单调递增，递增区间为(√b 3, +∞)和(−∞, −√b3)，由f′(x)=3x 2−b <0，解得−√b 3<x <√b 3，此时函数单调递减，递减区间为(−√b 3, √b3)．（3）设f(x 0)=t ，则t ≥1，f(t)=x 0≥1，即有x 03−bx 0=t 且t 3−bt =x 0，两式相减得(x 03−bx 0)−(t 3−bt)=t −x 0，即(x 0−t)(x 02+x 0t +t 2+1−b)=0， ∵ t ≥1，x 0≥1，b ≤3，∴ x 02+x 0t +t 2+1−b ≥1， 故x 0=t ，即f(x 0)=x 0．21. 解：（1）证明：∵ AC ⊥OB ，∴ ∠AGB =90∘； 又AD 是⊙O 的直径，∴ ∠DCA =90∘；又∵ ∠BAG =∠ADC （弦切角等于同弧所对的圆周角）， ∴ Rt △AGB ∽Rt △DCA ； ∴ BAAD =AGDC ；又∵ OG ⊥AC ，∴ GC =AG ； ∴ BAAD =GCDC ，即BA ⋅DC =GC ⋅AD ． （2）∵ AC =12，∴ AG =6；∵ AB =10，∴ BG =√AB 2−AG 2=8； 由（1）知，Rt △AGB ∼Rt △DCA ， ∴ ABAD =BGAC ，∴ AD =15，即圆的直径2r =15， ∴ OA =7.5． 22. 解：（1）设[ab cd ]，则有[a b cd ][1−1]=[−1−1]，[ab cd ][−21]=[0−2]， 所以{a −b =−1c −d =−1且{−2a +b =0−2c +d =−2，解得{a =1b =2c =3d =4所以M =[1234]，从而M −1=[−2132−12]（2）因为[x′y′]=[1234][xy ]=[x +2y 3x +4y ]且m:2x′−y′=4，所以2(x +2y)−(3x +4y)=4，即x +4=0，这就是直线l 的方程．23. 解：直线L:{x =2+tcosαy =1+tsinα代入椭圆x 216+y 24=1得(3sin 2α+1)t 2+4(cosα+2sinα)t −8=0，则|AM|=|t 1|，|MB|=|t 2|， ∵ M 在椭圆内， ∴ t 1+t 2=−4(cosα+2sinα)3sin 2α+1∵ 点M(2, 1)恰好为线段AB 的中点， ∴ t 1+t 2=0，∴ cosα+2sinα=0， ∴ k =tanα=−1224. （1）证明：∵ a +b +c =1，∴ 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)≤3(a2+b2+c2)，∴ a2+b2+c2≥13．∵ a−a2=a(1−a)，0<a<1，∴ a>a2，同理b>b2，c>c2，∴ a2+b2+c2<a+b+c=1，∴ 13≤a2+b2+c2<1；（2）解：由柯西不等式可得1 2a+1+12b+1+12c+1=15(12a+1+12b+1+12c+1)(2a+1+2b+1+2c+1)≥(1+1+1)2=9（当且仅当a=b=c时取等号），∴ 12a+1+12b+1+12c+1的最小值为95，当且仅当a=b=c=13时取到．25. 解：（1）连结OD，∵ 点O、D分别是AC、PC的中点，∴ OD // PA，∴ ∠ODB为异面直线PA与BD所成角，OD=12PA，设PA=1，则AB=BC=k=1，OD=12，∵ AB⊥BC，AB=BC，OP⊥底面ABC，D是PC的中点，∴ OB⊥面PAC，∴ OB⊥OD，又∵ AC=√AB2+BC2=k√2=√2，∴ OB=OC=k⋅√22=√22，∴ BD=√OB2+OD2=√k22+14=√32，∴ cos∠ODB=ODBD =√33．∴ 异面直线PA与BD所成角余弦值的大小为√33．（2）在面PAC上作OE⊥PC于点E，∵ OB⊥面PAC，∴ ∠OEB是二面角O−PC−B的平面角，PC=PA=1，AB=BC=k，OB=OC=k√22，OP =√PC 2−OC 2=√1−k 22，∵ OP ⋅OC =PC ⋅OE ，∴ OE =OP ⋅OC =OP ⋅OB ， ∴ cot∠OEB =OE OB=OP =√1−k 22=cot π3=√33， ∴ √1−k 22=√33，解得k =2√33， ∴ k 取2√33时，二面角O −PC −B 的大小为π3．26. 解 以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i =1，2. P (X =n +2)=P (A 1A 2)=n m+n⋅n+1m+n+2=n (n+1)(m+n )(m+n+2)．以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i =1，2. X 的可能取值为n ，n +1，n +2． P (X =n )=P (A 1¯A 2¯)=nn+n ⋅nn+n =14， P (X =n +1)=P (A 1A 2¯)+P (A 1¯A 2) =n n+n⋅n+1n+n+2+n n+n⋅n n+n=12，P (X =n +2)=P (A 1A 2)=nn+n ⋅n+1n+n+2=14， 从而X 的分布列是EX =n ×14+(n +1)×12+(n +2)×14=n +1．。
【2014南京盐城一模】江苏省南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学试题 Word版含答案
南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学一、填空题1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+ 5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = . 6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(l n )(l n )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16.如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m .（1）求x 的取值范围；取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为8(,55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题21.（选做题）（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题）A ．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD的长.B ．已知曲线C ：1xy =，若矩阵22M -⎢⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.C ．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.（必做题）22.已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.23.设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {1,2}2. －33.23 4. 55 5. 2656. y =、必要不充分 10. 30x y +-= 11. 23-12. 1[,]e e13.14.5972二、解答题：15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， …………2分 又因为ABC △，所以1sin 2ab C =4ab =． …………4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． …………7分（2）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =，当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b = …………10分当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =． …………13分所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==． …………14分 16．证：（1）连1AC 交1A C 于点O ，F 为AC 中点， ∴111//=2OF CC OF CC 且，E 为1BB 中点，∴111//=2BE CC BE CC 且，∴//=BE OF BE OF 且，∴四边形BEOF 是平行四边形， ………4分 ∴//BF OE ，又BF ⊄平面1A EC ，OE ⊂平面1A EC ，∴//BF 平面1A EC .……7分（2）由（1）知//BF OE ，AB CB =，F 为AC 中点，所以BF AC ⊥，所以OE AC ⊥，………9分又因为1AA ⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ，所以1AA BC ⊥， 则由//BF OE ，得1OE AA ⊥，而1,AA AC ⊂平面11ACC A ，且1AA AC A =，所以OE ⊥面11ACC A ， …………12分 又OE ⊂平面1A EC ，所以平面1A EC ⊥平面11ACC A . …………14分17．解：（1）由题意得，29,100260,122210,5x x x x ≥⎧⎪-≥⎪⎨⎪-⨯≥⨯⎪⎩…………4分解得9,20,2015,x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩即915x ≤≤. …………7分（2）记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得222422214121()(10())533115a y a x ax x x x ππππ=⨯⨯+⨯+⨯-⨯-432414[(12)1210]11253a x x x π=-+-+⨯， …………10分 令43214()12253f x x x x =-+-，则32241()4244(6)2525f x x x x x x x '=-+-=--+，由()0f x '=，解得10x =或15x =， …………12分答：当10x =m 时，可使“环岛”的整体造价最低. …………14分18．解：（1）由题意，得24a ==，即2a =， …2分又1c =，∴23b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ………5分（2）8(,)55B ，∴8(,55P--，又(1,0)F， ∴AB k = ∴直线AB ：1)y x =-， …………7分联立方程组221431)x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得(0,A ， …………9分 ∴直线PA ：4y x =-40y ++=. …………10分 （3）当AB k 不存在时，易得9m n y y =-, 当AB k 存在时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(,)P x y --，∴2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减， 得21212121()()()()43x x x x y y y y +-+-=-， ∴21212121()()3()()4PA AB y y y y k k x x x x +-=-=⋅+-，令221AB y k k x ==-，则34PA k k=-，…12分∴ 直线PA 方程：223()4y y x x k +=-+，∴223(4)4M y x y k=-+-，∴22223(4)(1)4M x x y y y +-=--， ∴ 直线PB 方程：22y y x x =⋅，∴224N yy x =， 14分 ∴222222(4)(1)43M N x x y y y x x +-=-⨯-，又2222143x y +=，∴22224123y x =-， ∴2222(4)(1)4339M N x x x y y +-+-=-⨯=-，所以M N y y 为定值9-. ……16分19．解：（1）()x f x e '=，∴(0)1f '=，又(0)1f =，∴()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+， ……………2分又()2g x ax b '=+，∴(0)g b '=，又(0)1g =，∴()y g x =在0x =处的切线方程为1y bx =+，所以当0,a a R ≠∈且1b =时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线 ………4分（2）由1a =，21()x x bx h x e ++=，∴2(2)1()x x b x b h x e -+-+-'=，∴2(2)1(1)((1))()x xx b x b x x b h x e e-+-+----'==-， ………7分 由()0h x '=，得11x =，21x b =-，∴当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞. ………10分 （3）由1a =，则()()()1xx f x g x e bx ϕ=-=--，∴()xx e b ϕ'=-，①当0b ≤时，()0x ϕ'≥，函数()x ϕ在R 单调递增，又(0)0ϕ=，∴ (,0)x ∈-∞时， ()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，………12分 ②当0b >时，∴()0x ϕ'>，ln x b >；∴()0x ϕ'<，ln x b <∴函数()x ϕ在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，（Ⅰ）当01b <<时，∴ln 0b <，又(0)0ϕ=，∴(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， （Ⅱ）当1b >时，同理(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，（Ⅲ）当1b =时， ln 0b =，∴函数()x ϕ在(,0)-∞单调递减；(0,)+∞单调递增，∴()(0)0x ϕϕ≥=，故1b =满足题意.综上所述，b 的取值的集合为{}1. ……………16分20．解：（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+⋅⋅=，解得23d =，……2分所以(5)3n n n S +=. ………4分若22=k ，则由382=a ，得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n ， 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ； ……6分 若42=k ，则由44=a ，得2=q ，此时122-⋅=n k n a ，另一方面，2(2)3n k n a k =+，所以2(2)23n n k +=，即1322n n k -=⨯-， ………8分 所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．所以最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． ………10分 （3）因为12423n n n k k a q -+==，得132n n k q -=-，而1q >， 所以当1q >且q N ∈时，所有的132n n k q -=-均为正整数，适合题意； 当2q >且q N ∉时，132n n k q N -=-∈不全是正整数，不合题意.而16n n S k +>有解，所以2(5)213nn n q ++>有解，经检验，当2q =，3q =，4q =时，1n =都是2(5)213nn n q++>的解，适合题意； ………12分 下证当5q ≥时，2(5)213n n n q ++>无解, 设2(5)23nnn n b q ++=， 则212[(1)(75)7]3n n nq n q n q b b q +-+-+--=，因为57022q q-<-，所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减， 又因为(1)0f <，所以()0f n <恒成立，所以10n n b b +-<，所以1n b b ≤恒成立， 又因为当5q ≥时，11b <，所以当5q ≥时，16n n S k +>无解. ………15分 综上所述，q 的取值为2,3,4. ……………16分附加题答案21. A 、解：P 为AB 中点，∴OP AB ⊥，∴PB ==………5分 又234PC PD PA PB PB ⋅=⋅==，由98PC =，得23PD =. ………10分B 、解：设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴22x x '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥，∴22x y x ''-=，22x y y ''+=，……5分∴x '=y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=. …10分 C 、解：易求直线l ：4320x y --=，圆C ：222()x a y a -+=，a =，解得229a =-或. ……10分D 、证：2223211231231232()2x x x x x x x x x x x x +++++≥=++=， ∴ 2223211231x x x x x x ++≥. …10分22．解：（1）由点(1,2)A 在抛物线F ，得2p =，∴抛物线F ：24y x =， …3分设211(,)4y B y ，222(,)4y C y ， ∴222212121212123121211221114444122444y y y y y y y y k k k y y y y ---+++-+=-+=-+=---. ……7分 (2)另设233(,)4y D y ，则323121123422111104444y y y y y y k k k k ++++-+-=-+-=.…10分 23．解：（1）因为对任意的1k m ≤≤，都有2121k ka a -=-，则212(,)(2,2)k k a a -=-或212(,)(2,2)k k a a -=-，共有2种，所以1232(,,,,)m a a a a ⋅⋅⋅共有2m 种不同的选择，所以2m A =. ……5分 （2）当存在一个k 时，那么这一组有12m c 种，其余的由（1）知有12m -，所有共有1122m m c -；当存在二个k 时，因为条件对任意的1k l m ≤≤≤,都有221||4li i k a =-≤∑成立得这两组共有22m c ，其余的由（1）知有22m -，所有共有2222m m c -；依次类推得：1122222222(32)m m mm m m m m B c c c --=++⋅⋅⋅+=-. ………10分。
2014苏锡常镇一模(word)
苏锡常镇四市2014届高三3月教学情况调研（一）生物 2014．3本试卷分第1卷(选择题)和第ll卷(非选择题)两部分，第1卷l～5页，第II卷6～I0页。
满分共120分．考试时间为100分钟。
注意事项：1.答第I卷前，考生务必在答题卡上写清白己的姓名、准考证号(或考试号)，并用2B铅笔涂写在答题卡上2．答第I卷时，在答题卡的对应题号后，用2B铅笔把正确答案的字母涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
答第II卷时，答案要填写在答题卡的对应题号后的指定位置。
3．考试结束后，将答题卡交回。
第I卷(选择题55分)一、单项选择题：本题包括20小题，每小题2分，共40分。
每小题只有一个选项最符合题意。
1．下列各种化合物中，不直接参与线粒体内有关代谢反应的是A．H20 B．有氧呼吸酶 C．葡萄糖 D．丙酮酸2．下列关于现代生物进化理论的叙述中。
正确的是A．共同进化与生态系统的信息传递密切相关B．无法进行基因交流的生物之间一定存在生殖隔离C．生物进化过程的实质在于保存对环境更适应的性状D．某种群的数量长期维持稳定，说明该种群的基因频率保持不变3．下列关于人体内环境及稳态调节的叙述中，正确的是A．毛细血管壁细胞生活的内环境是血浆和淋巴B．甲状腺激素和尿素等物质均可能存在于内环境中C．血浆中的蛋白质均会透过毛细血管壁到达组织液中D．细胞外液渗透压升高时，机体释放的抗利尿激素减少4．下图l表示已知的染色体，图2表示该染色体在自然状态下发生的几种变异。
上面的字母表示有关的基因。
其中不属于染色体变异的是A．① B．② C．③ D．④5．下列有关“探究酶的特性”系列实验的叙述中，正确的是A．在“探究酶的高效性”实验中，自变量是酶的种类B．在“探究酶的专一性”实验中，自变量一定是酶的种类C．在“探究温度对酶活性的影响”实验中，自变量不止一种D．在“探究pH对酶活性的影响”实验中，无关变量不止一种6．现有2个取自同一个紫色洋葱鳞片叶外表皮的大小相同、生理状态相似的成熟细胞，将它们分别浸没在甲、乙两种溶液中，测得液泡直径的变化情况如右图所示。
江苏省苏锡常镇四市2014届高三教学情况调研(二)数学试题(WORD版)
江苏省苏锡常镇四市2014届高三教学情况调研(二)数学试题(WORD版)江苏省苏锡常镇四市2014届高三5月教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：XXX注意事项：1.本试卷共4页，包含填空题（第1题~第14题）和解答题（第15题——第20题）。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后请将答题卡交回。
2.答题前请认真填写姓名和准考证号，并使用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
4.如需作图，须用2B铅笔绘制，写清楚线条、符号等，须加黑、加粗。
5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、填空题：1.函数y=x-1的定义域为A，函数y=lg(2-x)的定义域为B，则A∩B=（-∞，1）。
2.设z=2-i（i是虚数单位），则|z|=√5.3.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x^2/9-y^2/16=1的一个焦点为（5，0），则实数m=2.4.样本容量为100的频率分布直方图如右图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为25.5.“φ=π/2”是“函数y=sin(x+φ)的图象关于y轴对称”的充分必要条件。
6.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=-1，S3=6，则S6=0.7.函数y=lnx（x≥e）的值域是R。
8.执行右面的程序图，那么输出n的值为5.9.在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“a是整数”的概率为1/2.10.已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C-ABD的体积为4/3.11.直线y=kx与曲线y=2ex相切，则实数k=2.1.设函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，问是否存在正数a，使得“函数f(x)在x=1处存在长度为a的对称点”？请说明理由。
苏锡常镇一模数学
2014～2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学 本试卷共4页包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)．本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{x|－1<x<1)，B ＝{x|x>0}，则A ∩B ＝________．2. 若复数51－2i ＋m(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝________3. 双曲线x 2－y 22＝1的离心率为________．4. 在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为________．(第6题)5. 函数y ＝ln (x 2－2)的定义域为________．6. 如图，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝3，PA ＝4，点E 为棱CD 上一点，则三棱锥EPAB 的体积为________．7. 右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为________．(第7题)8. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4＝a 22，a 2＋a 4＝516，则a 5＝________． 9. 若曲线C 1：y ＝ax 3－6x 2＋12x 与曲线C 2：y ＝e x 在x ＝1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为________．10. 设函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)＋3cos (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．(第11题)11. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16，则AB →·AD →＝________.12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．13. 已知直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝|x ＋1x |－|x －1x |恰有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为________．14. 已知实数x ，y 满足x>y>0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，3，b ＝(1，4cos α)，α∈(0，π)． (1) 若a ⊥b ，求tan α的值；(2) 若a ∥b ，求α的值．如图，四边形AA 1C 1C 为矩形，四边形CC 1B 1B 为菱形，且平面CC 1B 1B ⊥平面AA 1C 1C ，D ，E 分别为A 1B 1，C 1C 的中点．(1) 求证：BC 1⊥平面AB 1C ； (2) 求证：DE ∥平面AB 1C .(第16题)17. (本小题满分14分)如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为103米的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB (不计B 离河岸的距离)，且OB 的连线恰好与岸岸l 垂直，设OB 与圆弧CD ︵的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45°，30°和60°.(1) 求烟囱AB 的高度：(2) 如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．(第17题)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点⎝⎛⎭⎫1，62，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点(点M 与点A 不重合)，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 求证：AP ⊥OM ；(3) 试问OP →·OM →是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．(第18题)已知函数f(x)＝e x|x2－a|(a≥0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调减区间；(2)若方程f(x)＝m恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值．已知数列{a n}的前n项和为S n，设数列{b n}满足b n＝2(S n＋1－S n)S n－n(S n＋1＋S n)(n∈N*)．(1) 若数列{a n}为等差数列，且b n＝0，求数列{a n}的通项公式；(2) 若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n－1)，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n<b2n－1的所有正整数n的集合．(这是边文，请据需要手工删加)2014～2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED (E 在C ，D 之间)，求证：∠CBE ＝∠BDE .(第21A 题)B. 选修4-2：矩阵与变换求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l被曲线C 所截得的弦长．D. 选修4-5：不等式选讲求函数y ＝1－x ＋3x ＋2最大值．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PA ＝6，M 为PC 的中点．(1) 求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；(2) 求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．(第22题)23. (本小题满分10分)若存在n 个不同的正整数a 1，a 2，…，a n ，对任意1≤i<j ≤n ，都有a i ＋a ja i －a j∈Z ，则称这n个不同的正整数a 1，a 2，…，a n 为“n 个好数”．(1) 请分别对n ＝2，n ＝3构造一组“好数”：(2) 证明：对任意正整数n (n ≥2)，均存在“n 个好数”．(这是边文，请据需要手工删加)。
2014年江苏数学试题及答案word版
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的侧面积公式：clS=圆柱侧，其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.圆柱的体积公式：ShV=圆柱, 其中S是圆柱的底面积,h为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合A={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B，则=BA ▲.2. 已知复数2)i25(+=z(i为虚数单位),则z的实部为▲.（第3题）3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲.4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲.5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲.100 80 90 110 120 底部周长/cm6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.【考点】频率分布直方图．7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是▲.11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ .（第12题）13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA.5,8==DFBC求证: (1)直线//PA平面DEF；(2)平面⊥BDE平面ABC.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,21,FF分别是椭圆)0(12322>>=+babyax的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b，连结2BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结CF1.(1)若点C的坐标为)31,34(,且22=BF,求椭圆的方程；(2)若,1ABCF⊥求椭圆离心率e的值.（第16题）PDCEFBAF1 F2O xyBCA18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立.【解析】（1）首先112a S ==，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 所。
(高考风向标)2014年苏锡常镇一模14题的再探究--王举
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．
径的圆.则 S ABC
1 2 r sin ACB 16sin ACB 16 ，当且仅当 ACB = 时，不 2 2
等 式等号成立，此时 ABC 为 等腰直角三角形，故圆心到直线的距离应为
d
2 r 4. 2
当 动直 线 AB 的 斜率 不存 在 时， 直线 方程 为 x 3 ， 圆心 到直 线 的距 离
， S 2 d 2 r2 d 2 =
S 2 k 2 1 D 2 r 2 k 2 1 D 4 0 . 因 为 当 k 2 1 1 ， 即 k 0 时 ， 方 程 左 边 为 S 2 D 2 r 2 D 4 0 .故 k 2 1 只存在一个大于 1 的值使得方程成立，即 k 可取得互
种取值，即满足三角形面积 S 0, D D 2 r 2 的直线存在三条.
5、在的情况下， 当 D
2r r2 且 S D D 2 r 2， 时，圆心到直线的 2 2 D2 2 D2 r ，对此式整理易得方程 k 2 1 k 2 1 r 2 1 . 2 r 2 D2
2 2 2 2
r
2
D 2 k 2 1 r 2 k 2 1 D 2 0 .因为当 k 2 1 1 ，即 k 0 时，此方程成立,
2
且
r 2 1 ，故 k 2 1 又必存在一个大于 1 的值使得方程成立，此时 k 有三 2 2 2r D
Байду номын сангаас
当 D 2
r2 r2 2r ， 即D 时， 函数 S 2 x 2 r 2 x, x 0, D 2 在区间 0, 上 2 2 2
2014年苏锡常镇一模试卷试题及参考答案（20143）
苏锡常镇四市2014届高三教学情况调研(一)政治2014．3第Ⅰ卷（选择题共66分）一、单项选择题：本大题共33小题，每小题2分，共66分。
在每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题意的。
1．2014年2月，中国人民银行表示，将保持适度流动性，实现货币信贷及社会融资规模合理增长。
这意味着今后央行货币供应既不会大开闸门放水，也不会紧缩以致闹“钱荒”。
保持适度流动性A.可以避免通货膨胀的出现B.是纸币流通规律的客观要求C.会直接影响商业银行利润D.是国家运用财政政策的表现2．在不考虑其它因素的情况下，下列选项中与图1需求曲线变化相吻合的是A.汽油价格上调后，新能源汽车需求量的变化B.政府取消汽车购置税优惠后，汽车需求量的变化C.人民币汇率下降后，进口汽车需求量的变化D.政府优先发展公共交通后，汽车需求量的变化图13. 随着消费者对移动网络宽带化需求的日益迫切，第四代移动通信技术（4G）应运而生。
4G能够快速传输高质量视频图像，更好地满足用户对于无线服务的要求。
这表明①消费对生产的调整和升级起导向作用②消费是经济增长的根本动力③企业要坚持“高精尖”的战略定位④生产决定消费的质量和水平A.①②B.①④C.②③D.③④4．《中国劳动力动态调研：2013年报告》显示，有38.42%的职工在调查的上个月加过班，但其中只有45.57%拿到了加班工资。
劳动者因担心“不加班、或者要加班工资可能丢饭碗”而选择忍气吞声。
解决这一问题需要A.完善市场机制，改善就业结构B.加强劳动保护，改善劳动条件C.规范劳动制度，加强监管力度D.健全社会保障，依法维护权利5. 赵某花5万元在银行购买了一款理财产品，工作人员称收益率在5.5%，而且无风险。
产品到期后，赵某只获得300多元收益。
银行解释说，这款理财产品收益率是0.36%—5.5%。
经消协调解，银行以高于当前的银行定期利率补偿了赵某损失。
这说明①存款业务是商业银行的基础业务②诚实守信是规范市场秩序的治本之策③市场调节存在自发性的固有缺陷④银行理财产品的收益与风险是并存的A.①②B. ②③C. ②④D.③④2014年中央一号文件——《关于全面深化农村改革加快推进农业现代化的若干意见》全面定调2014年及今后一个时期农业农村工作。
江苏省2014届高三高考模拟专家卷 数学(1) 含答案
2014年江苏高考数学模拟试题(一)数学Ⅰ 必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{}0,1A =，集合{}1,0,B x =-, 且A B ⊆，则实数x 的值为 ．1．答案：1，解析：根据子集的定义知x 的值为1．2．已知复数(1)(1)i bi +⋅+为纯虚数，则实数b 的值为 ．2．答案：1，解析：(1)(1)(1)(1)i bi b b i +⋅+=-++ ，(1)(1)i bi +⋅+是纯虚数，10b ∴-=，且10b +≠ ，1b ∴=．3．一个算法的流程图如下图所示，则输出s 的结果为 ．3．答案:11，解析:第一次循环后，3Y =，第二次循环后,5Y =，第三次循环后，7Y =,⋅⋅⋅,所以输出11Y =．4．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页,包含填空题（第1题-第14题)、解答题（第15题-第20题）．本卷满分160分,考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0。
5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整,笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．I←1While I ＜6Y ←2I+1图,则甲、乙得分的中位数分别是,a b ，则a b += ． 4．答案：57.5，解析：由茎叶图知甲的中位数为32a =，乙的中位数为25.5a =，．57.5a b ∴+=．5．一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球，编号分别为1,2,3，4，5，6，甲先摸出一个球,记下编号，放回后乙再摸一个球，甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是 ．5．答案：56，解析：设“编号不相同”为事件B ，则“编号相同"为其对立事件B ，事件B 包含的基本事件为（1，1），（2,2），(3，3)，(4，4)，（5,5)，(6，6），61()366P B ==， 所以15()1()166P B P B =-=-=，编号不同的概率为56． 6．在△ABC 中，角A ,B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=,则角A 的大小为 ．6．答案：π3，解析：tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B +=⇒+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=, ∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．7．已知质点P 在半径为10cm 的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是1rad/s ，设(10,0)A 为起始点，记点P 在y 轴上的射影为M ，则10π秒时点M 的速度是cm/s ．7．答案:10，解析：运动t s 后，(10cos ,10sin ),P t t 则M 的位移()10sin S t t =，10cos v S t '∴==，则10π秒时点M 的速度是10cm/s ．瞬时变化率就是导数是解题的关键． 轴为8．如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴为AB ，短CD ，E 是椭圆弧BD 上的一点,AE 交CD 于K ，CExyAM OP交AB 于L ，则22EK EL AK CL ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 。
2014江苏数学试题及标准答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ圆柱的体积公式：V sh =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：=S cl 圆柱，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =_______．【答案】{13}-，【解析】由题意得{1,3}A B =-．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为_______． 【答案】21【解析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． （3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥，因此输出的5n =． （4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______． 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是_______． 【答案】6π【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________． 【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______． 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为d ==，所求弦长为l =． （10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】0⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得02m <<． （11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________． 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是________．【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-， 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-，即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()102，【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大， 7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数 21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈． （14）【2014年江苏，14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是_______．【解析】由已知sin 2sin A B C =及正弦定理可得2a c =，2222222cos 22a b a b c C ab ab +-+-==22328a b ab +-=，当且仅当2232a b =，即a b =所以cos C二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，，sin α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()sin 2ααπ∈π=，，，∴cos α==， ()s i n s i n c o s c o s (c o s )4440αααααπππ+=++． （2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-=．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，， 的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ． 解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且2BF = （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．解：（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=，∵22222BF b c a =+=，∴222a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=． （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =，∴c a =． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？． 解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC150=．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠，从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由（1）知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明 你的结论．解：（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤． （3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--，∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==，∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=． （20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+，∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-．（3）设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+． 当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N ．因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ，即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立， 即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．数学Ⅱ．．．．．．．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α， x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．解：222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||8AB = （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥． 解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>，1+x 2+y ≥0，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy ． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，， 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．解：（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭， 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x xf x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+， 故122()()1222f f πππ+=-．（2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． （i ）当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+． 所以当n=k +1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N )．所以1()()444n n nf f πππ-+n ∈*N )．。