常微分方程课件：4_2常系数齐次线性微分方程的解法

lim z(t) lim(t) i lim (t).
t t0
t t0
t t0
●复值函数的连续性及可微性定义
类似于实函数的连续性、可微性的定义,
limቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t t0
z(t)
z(t0 )
z(t)
在t=t0连续.
lim
t t0
z (t ) t
z(t0 )存在
t0
称z(t)
在t=t0可微
d z(t0 ) d (t0 ) i d (t0 ) .
的复值解. 性质
定理1 设a1(t),…,an(t)均为实函数,z(t)=
φ(t)+iψ(t)是(4.2)的复值解,那么Re{z(t)}=
φ(t),Im{z(t)}=ψ(t)及 z(t)=φ(t)-iψ(t)都
是(4.2)的解.
定理2 设x=z(t)=φ(t)+iψ(t)是 L[x]=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,…n)均为实函数,那么 x=Re{z(t)}=φ(t) 是L[x]=u(t)的解, x=Im{z(t)}=ψ(t)是L[x]=v(t)的解.
ekt≡e αt(cos β t+isin βt).
(或者用 ekt (kt)n 来定义)
n0 n!
复指数函数ekt有下述性质:
① e(k1k2 )t ek1t ek2t ;
② (ekt ) kekt ;
证③明d:nd(①tenkt记) k1k=neαkt1;+iβ1,
④ ekt ekt . k2= α2+iβ2则
1i jn
n1 n
所以 e1t , e2t , , ent 在任何区间[a,b]
内线性无关.
①当λj(1≤
通解是
j ≤n)均为实数时,方程(1)的
n
x
c jejt .
j 1
②如果F(λ)=0存在复根λ1=α+iβ,那么 1 =α-iβ也是 F(λ)=0的根.根据定理1,
et cos t, et sin t
dt
dt
dt
且有类似于实函数的求导运算性质,如
(z1(t) z2 (t)) z1(t) z2(t), (cz(t)) cz1(t),
(z1(t)z2 (t)) z1(t)z2(t) z1(t)z2(t).
●复指数函数ekt,(t∈R,k ∈ C)
在讨论常系数线性方程时, ekt起着重要作 用.这是由于,此类方程的形式是某函数的 各阶导数的线性组合为0,而ekt的各阶导数 是它自身的常数倍. 下面用Euler公式给出k=α+iβ, α,β ∈R 时的ekt的定义
e e (k1k2 )t
(1 2 )t i(1 2 )t
e(12 )t[cos(1 2 )t i sin(1 2 )t] e(12 )t[cos 1t cos 2t sin 1t sin 2t
i( sin 1t cos 2t cos 1t sin 2t)] e(12 )t (cos 1t i sin 1t) (cos 2t i sin 2t)
]
(dn y dtn
b1
dn1 y d t n1
b n1
dy dt
bn y)e1t
L1[ y]e1t .
因此方程(1)可化为 L1[y]=0 … … (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是
G(μ)≡ μ n+b1 μ n-1+…+bn-1 μ +bn=0.
是方程(1)的两个实值解,这是对应于特征
根λ= α±iβ的一对实值解.
▲特征根是重根
设存在k重根λ=λ1,则
F (1) F (1) F (k1) (1) 0, F (k ) (1) 0.
① λ1=0时,则特征方程有因子 k,即an= an-
1 =…=an-k+1=0,此时特征方程是 F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-kλn-k=0.
对应的(1)是
dn x dtn
a1
dn1 x d t n1
a nk
dk x dtk
0,
显然1,t,…,tk-1是它的k个线性无关的解.
② λ1≠0时,作变量替换
x(m) ( ye1t )(m)
x ye1t ,因
e1t [ y(m)
m1 y(m1)
m(m 1) 2!
12
y(m2)
1m
y],
故
L[ ye1t
█ 常系数齐次线性微分方程
本节先讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 L[x]=0 … … (1)
下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定指数函数法(特征根法).
试求形如x=eλt的解,λ∈C为待定常数.将 x=eλt代入L[x]=0得 L[eλt]=(λn+a1λn-1+…+an-1λ+an)eλt=0. 显然,x=eλt是(1)的解等价于F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.
ek1t ek2t .
●复值解
d
n (z(t dtn
))
a
1(t
)
d
n1 ( z (t d t n1
))
a n1(t)
d(z(t)) dt
a n(t)z(t)
f
(t),t [a,b]
称x=z(t)是方程(4.1)
dn x
dn1 x
dx
L[x] d tn a1(t) d tn1 a n1(t) d t a n (t)x f (t),
定义 称F(λ)=0为(1)的特征方程,它的根称
为(1)的特征根.
▲特征根为单根
设λ1,… λn是F(λ)=0的单根,则(1)有个解
e1t , e2t , , ent ,
其Wronski行列式
11
1
e W (t) 1t2t nt 1
2
n
n1
n1
1
2
n
t j
e j1
( j i ) 0
§4.2 常系数齐次线性微分方程的解法
上节已经解决了线性方程的通解的结构问 题, 但未给出求通解的方法.事实上,对 一般的方程是没有普遍适用的方法.本节 介绍求解问题能彻底解决的一类方程— 常系数线性方程及可化为此类方程的方 程.
对常系数线性方程,只需解一个代数方程 (特征方程);而对某些特殊的非线性方程 也可通过代数运算求得通解.
█ 复值函数与复值解
因讨论常系数线性方程的解法时,需涉及实 变量的复值函数及复指数函数的问题,故在 介绍解法前先给出有关概念及性质. ●复值函数(实自变量)z(t) 定义于[a,b]上的两实值函数φ(t),ψ(t)就 给出了[a,b]上的一个实自变量的复值函数
Z(t)≡ φ(t)+iψ(t). ●复值函数的极限