中国股市运行的分形特征实证解析

经济研究导刊
ECONOMIC RESEARCH GUIDE
总第54期2009年第16期Serial No．54
No．16，2009中国股市在2007—2008年度出现了罕见的暴涨暴跌过程，从最高6100多点跌到1600多点，跌幅达75%以上，给中国的广大投资者带来了巨大的损失。

同时，
使得中国的资本市场几乎丧失基本的融资功能。

暴涨或暴跌都不正常，无论是管理者还是投资者都应该从中吸取教训，清楚地认识中国股市运行的规律，以作前车之鉴。

为此，本文对暴涨暴跌期间的上证指数序列进行了分形估计，并对估计结果进行了进一步的分析研究。

一、分形分布及其参数估计
在经济文献中，分形分布（fractaldistribution ）又称为Pareto 分布、Pareto-Levy 分布或Stable-Pareto 或stable （稳定或平稳）分布。

该分布的性质最早是由Levy （1937）推导出来的，而他的工作又是以Pareto （1896）有关收入分布的研究工作为基础的。

若正数，s 1，s 2，s 具有加法平稳性s 1a +s 2a =s a ，则称满足关系f （s 1X +s 2X ）=f （sX ）的随机变量为X 平稳过程，其分布称为平稳分布。

柯西分布和高斯分布分别是a =1和a =2时的解，因此，柯西分布和高斯分布都是平稳分布。

Levy 发现，当0＜a ≤2时，满足f （s 1X +s 2X ）=f （sX ）的通解的对数特征函数为：
ln φ（t ）=ln （E exp （itX ））
=
i δt -γa t a
1-i βt
t
tan πa 2
，a ≠1i δt -γt
1+i β2π
t t
ln t t t
，a =t
t t t t t t t t t t
1（1）
其中X 为随机变量，t 为任意实数，i 为虚数单位。

分形分布的特征函数由四个参数决定，即α、β、γ、δ，并且α、β是两个关键参数，四个参数的不同组合产生不同的分形分布形式。

所以分形分布就是一种平稳分布，而分形分布的尾分布（尾部概率或尾部概率密度）具有负幂形式，而负幂分布又具有标度不变性，即分形，与后来M andelbrot 发现的分形概念具有相同的内涵，以及由于M andelbrot 对Levy 平稳分布的广泛使用所起的重要作用，所以Levy 平稳分布又称为分形分布。

需要澄清的是，平稳与分形是不同的概念，比如独立正态变量相加依然服从正态分布，虽然相加以前的正态分布与相加以后的正态分布在形状上相似，但这是两个形体之间的相似，而不是形体内部之间的相似，所以平稳分布是相似的，但不是自相似。

作为平稳分布的分形分布只有在尾部区域才具有自相似性，亦即分形。

分形分布各参数的取值范围及意义:
1.稳定性指数或特征指数或尾指数a ∈[0，2]，既刻画了分布的尖峰、
厚尾程度，也决定分布的矩、随机变量之和的分布及其标准化等特征，最重要的是反应了分形分布长尾区域的自相似性或标度不变性，这一点是之所以称为“分形”分布的关键所在。

当a =2时，分形分布退化成正态分布；当0＜a ＜2时，分形分布具有比正态分布更厚更长的尾部，而且a 值越小，远离中心位置的观察值越多，分布的尾部相比正态分布而言就越厚，尾部也越长。

当1≤a ＜2时，有稳定均值，但方差不确定或无穷，只有当a =2时，方差有限且稳定，且方差为2γ2。

因此，当a ＜2时，作为离中趋势或风险尺度的样本方差近乎无意义；当0＜a ≤1时，连均值都不存在，此范围中的a 较为罕见。

在
1＜a ≤2的参数范围内，有稳定均值，此范围中的非整数a 对
应于具有长程相关性和统计上自我相似特征的有偏布朗运动。

2.偏斜指数β∈[-1，+1]，决定着分形分布的对称程度。

当β=0时，分形分布关于δ对称；当α≠1，β＞0时，分形分布为左偏，分布是右厚尾的；当α≠1，β＜0时，分形分布为右偏，分布左厚尾；当α=1，β＞0时，分形分布为右偏；当α=1，β＜0时，分形分布为左偏。

β的绝对值越大，分布的偏斜程度就越大。

当α=1，β=0时，即为柯西分布。

柯西分布是均值和方差都
收稿日期：2009-02-18
作者简介：钟春仿（1977-），男，湖北天门人，博士研究生，从事数理金融研究。

中国股市运行的分形特征实证解析
钟春仿
（东北财经大学数学与数量经济学院，辽宁大连116025）
摘要：在分形分布的基础上，对中国2006—2008年来的上证指数日收益率数据进行了分形分布的参数拟合估计，估计结果表明，上证指数收益率呈现明显的尖峰厚尾的特征。

就上述现象进行详细的分析，有助于对中国股市泡沫形成的内在机理和规律获得一个更直观更贴近现实的认识。

关键词：对数收益率；分形；中国股市中图分类号：F830.91
文献标志码：A
文章编号：1673-291X （2009）16-0072-02
72——
序列分布αβγδ日序列分形分布 1.5888
-0.4073
0.01127070.00324386正态分布200.01479900.00787691周序列
分形分布 1.6436
-0.4084
0.02638730.00838257正态分布
2
0.0320431
0.00381250
发散的一种分布。

3.位置指数δ∈（-∞，+∞），表示分形分布对称的位置，当分布均值存在时，就表示该均值，否则表示分布的中心位置。

当分形分布被标准化时，
δ为均值且取值为0，即可以通过位置参数和尺度调整参数进行标准化，对一个分形分布S （X ，α，β，γ，δ）来说，通过标准化可得到S （（X-δ）/γ，α，β，1，0）。

取α=2、β=0、γ=1、δ=1代入上式即可得到正态分布的特征函数。

4.尺度参数γ∈（0，+∞）。

γ的变化反映的是在不同的尺度下度量随机变量。

γ的变化不改变分形分布的形状。

二、参数估计
本文选择上证指数收盘价格作为研究对象，样本区间为2005年6月1日至2008年10月15日的日数据和周数据。

并计算自然对数收益率R t =ln （I t +1
I t ），I t !"为指数序列，R t
!"
为对数收益率序列。

下面采用Nolan （1997、1999b ）提出的数值估计方法及其提供的参数估计软件Stable3.14，对上证指数的日收益率和周收益率序列进行分形分布拟合估计，同时，也采用正态分布进行拟合估计，并将两种估计结果进行对比。

估计结果如下表：
参考文献：
[1]黄诒蓉.中国股市收益分形分布的实证研究[J].南方经济，2006，（2）.[2]武东，等.稳定分布及其在金融中的应用[J].应用概率统计，2007，（4）.
[3]Nolan ，J.P.（1997），“Numerical computation of stable densities and distribution functions ”，Communications in Statistics Stochastic
Models 13（4）:759-774.
[4]Nolan ，J.P.，1999a ，“Maximum Likelihood Estimation and Diagnostic for Stable Distribution ”，Department of Mathematics and
Statistics ，American University.Washington.
[责任编辑吴高君]
上表中日序列和周序列的α和β都分别非常接近，这表明收益率的分布具有稳定性，因为周对数收益率可以由日对数收益率相加得到。

而a ＜2则表明收益率具有长尾特征，长尾特征意味着尾分布呈现幂律形式，从而具有标度不变性，亦即分形。

将日收益率序列的分形分布拟合密度函数和正态分布拟合密度函数以及日收益率的频数分布散点图绘制在一张图上进行对比，见下图：
分形分布拟合密度曲线
日收益数据频数散点图
正态分布拟合密度曲线很明显，分形分布对日收益率序列的拟合效果最好；相比正态分布而言，分形分布呈现明显的尖峰厚尾的特征；另外，密度函数出现右偏现象，左右尾部都比正态分布要厚；而分形分布的左尾表现出比其右尾更为肥厚。

三、对估计结果的分析
从上面的估计结果和图形来看，有关中国股市运行特征可以得到如下判断：
第一，呈现分形特征，即自相似性。

日收益率和周收益率的尾指数a 都小于2证明了这一点。

第二，分形分布拟合曲线出现右偏，即尖峰出现在大于零点的某处，这表明在大于零的某个收益率邻域里，发生的概率是最大的。

比如收益率落入邻域（0，0.025）的事件，发生的概率就非常大，所有同样大小的邻域中，该邻域发生的概率是最大的。

值得我们注意的是，发生概率最大的是“正的小收益率事件”，这些小收益率一般在2.5%以下。

这说明中国股市在本文分析的时间范围内，“小幅上涨”是最常见的。

第三，分形分布的左尾比右尾更肥厚表明，一次大跌的概率比一次大涨的概率要大得多。

比如，从图形来看，“收益率小于-5%”的概率远大于“收益率大于+5%”的概率。

准确地说，通过前述估计的累积概率分布计算得：P （“-10%<收益率<-5%”）=0.0263，P （“5%<收益率<10%”）=0.0128。

这说明，大幅下跌的概率几乎是大涨概率的两倍多。

结合第二中的分析，不难发现，中国股市“小幅慢涨，大幅下跌”特征明显。

第四，与正态分布相比较而言，正态分布认为是小概率事件的，在分形分布中则不能忽略。

通过计算，在正态分布中，P （“收益率<-2.6%”）=0.05，而在分形分布中，P （“收益率<-2.6%”）=0.083。

这说明，下跌2.6%对于正态分布而言是小概率事件，而对于分形分布而言则不是。

如果显著性水平从0.05变为0.01，即显著性水平越小，则这种关系越明显。

30.0025.0020.0015.0010.005.00
0.00
-0.20-0.15-0.10-0.05
0.000.05
0.10
0.15
0.20
73——。