应用二元一次方程组——增收节支 课件
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5.4 应用二元一次方程组——增收节支 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
∵810 000>725 000>630 000,
∴选择方案三获利最多.
4.(2024·成都七中)某校英语组组织学生进行“英语美食节”
活动,需购买甲、乙两种奖品.老师发现购买甲奖品4个和乙
奖品3个,需用去128元;购买甲奖品5个和乙奖品4个,需用去
164元.
(1)请用列二元一次方程组的方法,求甲、乙两种奖品的单价
的总支出=780万元,可列方程为 (1+20%)x-(1-10%)y=780 .
− = 200,
因此,可列方程组为 ቊ
.
(1 + 20%) − (1 − 10%) = 780
2.利润问题中常用的等量关系
(1)利润=售价-进价=进价×利润率.
利润
(2)利润率=
×100%
进价
标价×折扣−进价
− = 5 000,
= 20 000,
ቊ
解得ቊ
= 15 000.
(1 + 15%) − (1 − 10%) = 9 500.
答:去年收入20 000元,支出15 000元.
1.小李以两种形式储蓄3 000元,一种储蓄的年利率为
1.5%,另一种储蓄的年利率为2.0%,一年后本息和为3
3.存款问题中常见的等量关系
(1)利息=本金×利率×期数.
(2)本息和=本金+利息.
(3)本息和=本金×(1+利率×期数).
例:小高以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元,一
年后全部取出,得利息和为64.8元,已知两种储蓄的年
利率和为5.04%.问这两种储蓄的年利率各是多少?
解:设储蓄2 000元的年利率为x,储蓄1 000元的年利
∴选择方案三获利最多.
4.(2024·成都七中)某校英语组组织学生进行“英语美食节”
活动,需购买甲、乙两种奖品.老师发现购买甲奖品4个和乙
奖品3个,需用去128元;购买甲奖品5个和乙奖品4个,需用去
164元.
(1)请用列二元一次方程组的方法,求甲、乙两种奖品的单价
的总支出=780万元,可列方程为 (1+20%)x-(1-10%)y=780 .
− = 200,
因此,可列方程组为 ቊ
.
(1 + 20%) − (1 − 10%) = 780
2.利润问题中常用的等量关系
(1)利润=售价-进价=进价×利润率.
利润
(2)利润率=
×100%
进价
标价×折扣−进价
− = 5 000,
= 20 000,
ቊ
解得ቊ
= 15 000.
(1 + 15%) − (1 − 10%) = 9 500.
答:去年收入20 000元,支出15 000元.
1.小李以两种形式储蓄3 000元,一种储蓄的年利率为
1.5%,另一种储蓄的年利率为2.0%,一年后本息和为3
3.存款问题中常见的等量关系
(1)利息=本金×利率×期数.
(2)本息和=本金+利息.
(3)本息和=本金×(1+利率×期数).
例:小高以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元,一
年后全部取出,得利息和为64.8元,已知两种储蓄的年
利率和为5.04%.问这两种储蓄的年利率各是多少?
解:设储蓄2 000元的年利率为x,储蓄1 000元的年利
《应用二元一次方程组——增收节支》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (1)
当堂检测
1.有甲乙两种溶液,甲种溶液由酒精1升,水3升配制而成;乙种溶液由 酒精3升,水2升配制而成.现要配制浓度为50%的酒精溶液7升,甲乙两 种溶液应各取几升?
解：设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升， 则有 x + y=7,
解得:
25%x + 60%y=50%×7. x=2, y =5.
2. 某公司用30000元购进甲乙两种货物.货物卖出后,甲种 货物获利10%,乙种货物获利11%,共得利润3150元,问两种 货物各进多少钱的货? 设甲种货物进x元的货,乙种货物进 y元的货.
另一种储蓄的年利率为11%.一年到期后,他共得利息855元(没 有利息税),问两种储蓄他各存了多少钱?
设年利率为11%的存x元,年利率10%存 y元.
则
x + y=8000，
11%x+10%y=855.
x =5500,
y=2500.
拔尖自助餐
小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其他专卖店调查价格．他 看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常 将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价.在实际出售时，为 吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，你知道 上衣和裤子的成本各是多少元吗？
解：设上衣的成本价为x元，裤子的成本价为y元：
成本（元） 实际售价（元）
利润（元）
上衣 x
0.9(15% 0 x) 0.9(15% 0x )x
裤子 y 0.9(14% 0y) 0.9(14% 0y )y
x+ y =500，
x =300，
0.9(1+50%)x-x+0.9(1+40%) y - y =157. y =200．
八年级数学上册教学课件《应用二元一次方程组——增收节支》
2. 若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少 了10%,则今年的总支出是__(_1_-1_0_%__)__y万元;
3. 该厂今年的利润为780万元,那么由1, 2可得方程 ___(_1_+_2_0_%__)_x_-_(_1_-1_0_%__)__y=__7_8_0__.
探究新知 找出等量关系.
巩固练习
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
解: (1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名,y名学生就餐，
依题意得
x+2y=1680 2x+y=2280
解得:
x=960 y=360
(2)若7个餐厅同时开放，则有
5×960+2×360=5320
5320>5300 答： (1) 1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名,360名学生就 餐. (2)若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5300名学生就餐.
解：设飞机的平均速度为xkm/h,风速为y km/h,
根据题意可列方程组
解得： x = 420，
y = 60.
答：飞机的平均速度为420km/h，风速为60km/h.
课堂检测
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
能力提升题
我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千 米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用 多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.
甲
乙
相 遇
探究新知
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
表格数量分析
若设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米
第一种情况 （甲先走2
小时）
第二种情况 （乙先走2
小时）
应用二元一次方程组——增收节支课件
把③代入②，得 11x+12(1 000-2x)=8100，解得 x=300，
把 x=300 代入③，得 y=1000-2×300，解得 y=400.
= 300,
所以这个方程组的解是 ቊ
= 400.
这个实际问题的答案是什么？
销售款：8 000×300=2 400 000(元)；
原料费：1 000×400=400 000 (元) ；
5.4 应用二元一次方程组
——增收节支
知识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审：认真审题，明确等量关系
设：恰当地设未知数
列：根据等量关系列出方程组
解：解方程组，求出未知数的值
验：检验是否符合题意和实际意义
答：写出答
学习目标
1.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二
元一次方程组解决实际问题．
ቊ
1.2 × 110 + 120 = 97200．
1.5 × 20 + 10 = 15000，
解：根据题意，得 ቊ
1.2 × 110 + 120 = 97200．
2 + = 1 000, ①
化简方程组，得 ൝
11 + 12 = 8 100. ②
由①，得 y=1000-2x，③
仓库运出40%,结果乙仓库所余的食粮比甲仓库所
余的食粮多30吨,共设甲仓库原有食粮 x 吨,乙仓
+ = 450,
库原有食粮 y 吨,则可列方程组为 ቊ
.
0.6 − 0.4 = 30
2.武汉某学校原计划向贵州地区的学生捐其赠3500册
图书,实际共捐赠了4125册,其中初中学生捐赠了原计
划的120%,高中学生捐赠了原计划的115%,初中学生和
把 x=300 代入③，得 y=1000-2×300，解得 y=400.
= 300,
所以这个方程组的解是 ቊ
= 400.
这个实际问题的答案是什么？
销售款：8 000×300=2 400 000(元)；
原料费：1 000×400=400 000 (元) ；
5.4 应用二元一次方程组
——增收节支
知识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审：认真审题，明确等量关系
设：恰当地设未知数
列：根据等量关系列出方程组
解：解方程组，求出未知数的值
验：检验是否符合题意和实际意义
答：写出答
学习目标
1.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二
元一次方程组解决实际问题．
ቊ
1.2 × 110 + 120 = 97200．
1.5 × 20 + 10 = 15000，
解：根据题意，得 ቊ
1.2 × 110 + 120 = 97200．
2 + = 1 000, ①
化简方程组，得 ൝
11 + 12 = 8 100. ②
由①，得 y=1000-2x，③
仓库运出40%,结果乙仓库所余的食粮比甲仓库所
余的食粮多30吨,共设甲仓库原有食粮 x 吨,乙仓
+ = 450,
库原有食粮 y 吨,则可列方程组为 ቊ
.
0.6 − 0.4 = 30
2.武汉某学校原计划向贵州地区的学生捐其赠3500册
图书,实际共捐赠了4125册,其中初中学生捐赠了原计
划的120%,高中学生捐赠了原计划的115%,初中学生和
《应用二元一次方程组―增收节支》二元一次方程组PPT课件3
分 析：
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元， 则有
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
x
y
200
今年 (1+20%)x (1-10%)y
780
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元， 则有
x - y=200
(1+20%)x-(1-10%)y=780
整理得: x - y=200 4x - 3y=2600
分析 关键:找出等量 每餐甲原关料系中.含蛋白质量+每餐乙原料中含蛋白质量=35
每餐甲原料中含铁质量+每餐乙原料中含铁质量=40
每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量 每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量 每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量 每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量
得到两个等式： x—y=200 (1+20%)x—(1—10%)y=780
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万
元，则今年的总产值=（1+20%）x万元，今
年的总支出=（1—10%）y万元。
由题x 意y 得 2，00
(1)
(1 20%)x (110%)y 780
(2)
解这个方程组,得:x 2000
y
1800
答:去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元
变式：若条件不变，求今年的总产值、总支出
各是多少万元？
简析：如果设今年的总产值为x万元，总支出为
y万元，则
x
y
120%
90%
200
x
y
78
x y 780
受上例的启发，应0该设
x y 200 间接未知数，设去年的
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元， 则有
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
x
y
200
今年 (1+20%)x (1-10%)y
780
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元， 则有
x - y=200
(1+20%)x-(1-10%)y=780
整理得: x - y=200 4x - 3y=2600
分析 关键:找出等量 每餐甲原关料系中.含蛋白质量+每餐乙原料中含蛋白质量=35
每餐甲原料中含铁质量+每餐乙原料中含铁质量=40
每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量 每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量 每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量 每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量
得到两个等式： x—y=200 (1+20%)x—(1—10%)y=780
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万
元，则今年的总产值=（1+20%）x万元，今
年的总支出=（1—10%）y万元。
由题x 意y 得 2，00
(1)
(1 20%)x (110%)y 780
(2)
解这个方程组,得:x 2000
y
1800
答:去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元
变式：若条件不变，求今年的总产值、总支出
各是多少万元？
简析：如果设今年的总产值为x万元，总支出为
y万元，则
x
y
120%
90%
200
x
y
78
x y 780
受上例的启发，应0该设
x y 200 间接未知数，设去年的
《应用二元一次方程组—增收节支》二元一次方程组3精选优质 PPT
质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足 设甲种溶液需x升,乙种溶液需y升，
25%X + 60%y=50%×7 设甲种货物进x元的货,乙种货物进 Y元的货.
病人的需要? (1+20%)x-(1-10%)y=780
设年利率为11%的存x元,年利率10%存 y元.
求甲、乙两人每小时各走多少千米？
分析:设每餐甲、乙两种原料分别需x克和y克,那么 10%X + 11%Y=3150
35单位
所含铁质 x单位
0.4 y单位
40单位
解： 设每餐需甲种原料x克、乙种原料y克， 则有
0.5x + 0.7y=35
X + 0.4y=40
化简得: 5x + 7y=350 5x + 2y=200
解得: x=28
y =30 答:每餐需甲种原料28克、乙种原料30克
练习1 (P232/) : 一、二两班共有100名学生，他 们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%。 如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班的达 标率为75%，那么一、二两班的学生数各是多少?
应用二元一次方程组
5.4 增收节支
别忘了:增长部分=原总量×增长率
1. 某工厂去年的总产值是x万元, 今年的总产值比 去年增加了20%, 则今年的总产值是 _(_1_+_2_0_%__) _x_万元;
2. 若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比 去年减少了10%, 则今年的总支出是 __(1_-_1_0_%__)_y_万元;
分 析：
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元， 则有
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
x
y
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2x+2.5x
2.5y
36
3x
2y+3y
36
解：设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米，则有
2x +2.5x + 2.5y = 36 3X + 3y + 2y = 36
化简得: 9x + 5y=72 3x + 5y=36
解得:
x=6 y=3.6
总结
１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因 此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理 这些问题．
布置作业
教材119页习题第2、4题。
练习
直面中考
1. 张先生购买了年利率为2.7%的三年期定期存款a 元，到期后应纳税 a×2.7%×__3_×_2_0_%元，他可以得到 a×2.7%×3×_8_0_%_+_a元． 利息=本金×利率×时间
储蓄小知识！
利息税=利息×20% 本息=本金+税后利息
2. 一、二班共有100名学生,他们的体育达 标率(达到标准的百分率)为81﹪,如果一班学生 的体育达标率为87.5﹪,二班学生的体育达标率 为75﹪,那么一、二班的学生数各是多少?
其中含蛋白质 量
其中含铁质量
甲原料x 克 0.5x单位
x单位
乙原料y 克 0.7y单位
0.4y单位
所配制的营养品 (0.5x+0.7y)单位 (x+0.4y)单位
由上表可以得到的等式： 0.5x+0.7y=35 x+0.4y=40
通过解二元一次方程组即可获得所需的答案
解：设每餐需要甲、乙两种原料各x克,y克， 由题意得：
分析
关键:找出等量关系.
每餐甲原料中含蛋白 质量=0.5×每餐甲原
料的质量
每餐乙原料中含蛋 白质量=0.7×每餐
乙原料的质量
每餐甲原料中含蛋白质量+每餐乙原料中含蛋白质量=35
每餐甲原料中含铁质量+每餐乙原料中含铁质量=40
每餐甲原料中含 铁质量=1×每餐 甲原料的质量
设每餐需要甲、乙两种原料各x,y克，则有下表
0.5x 0.7 y 35
(1)
x 0.4y 40
(2)
化简得：
5x 7 y 350
(3)
10x 4 y 400
(4)
（1）×2得 10x+14y=700
(5)
(5)－(4)得 10y=300
y=30
将y=30代入(3)得 x=28
答：每餐需甲原料28克，乙原料30克。
设一、二班的学生分别为x名，y名.填写下 表并求出x,y的值.
一班
学生数
x
达标学生数 87. 5﹪x
二班 y 75﹪y
两班总和 100
81﹪×100
解:设一、二班的学生分别为x名，y名.
x+y=100
根据题意,得方程组.
87.5﹪x+75﹪y=81﹪(x+y)
X=48
解得
Y=52
所以一、二班的学生分别为48名和52名.
用表格分析等量 关系
解：设甲、乙两种溶液x升、y升，根据题意得：
ห้องสมุดไป่ตู้
x+y=7 25%x+60%y=7×50%
解得
x=2 y=5
所以需甲种溶液2升，乙种溶液5升(全部溶液)， 可配制成50%的酒精溶液7升.
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、增长（亏损）率问题的公式 2、学会用表格分析增收节支等问题的等量关系。 3、学会用数轴分析相遇问题的等量关系。
甲先行2小时走的路程 乙出发后甲、乙2.5小时共走路程
甲
乙
相 遇
分析
如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲 出发后经3小时相遇；
36千米 甲出发后甲、乙3小时共走路程
乙先行2小时走的路程
甲
乙
相 遇
若设甲每小时走x千米、乙每小时走y千米
甲先走2 小时
乙先走2 小时
甲行走的路程 乙行走的路程 甲、乙两人行 走的路程之和
【义务教育教科书北师版八年级上册】
应用二元一次方程组
——增收节支
学校：________ 教师：________
课前预习 想一想
增长（亏损）率问题的公式？
利润=总收入-总支出 原量×（1+增长率）=新量 原量×（1-亏损率）=新量
情境引入
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为 200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支 出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。 去年的总产值、总支出各是多少万元？
自主探究
相遇问题
(课本P232):甲、乙两人从相距36米的两地相向而行。 如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5 小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出 发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千 米？
分析
如果甲比乙先走2小时，那么他们在 乙出发后经2.5小时相遇；
36千米
设去年的总产值为x万元，总支出为y元
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
x
y
200
今年 (1+20%) x (1-10%) y 780
x—y=200 得到两个等式：
(1+20%)x—(1—10%)y=780
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元， 则今年的总产值（1+20%）x万元，今年的总支出 （1—10%）y万元。由题意得
x y 200
(1)
(1 20%)x (110%)y 780
(2)
解得
x 2000
y
1800
答；去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元。
探究2
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养 品。每克甲原料含0.5单位蛋白质1单位铁质，每克 乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。若病人每 餐需要35单位蛋白质40单位铁质，那么每餐甲、乙 两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
2. 小明家种植水果，去年收支相抵后，结余1 200元；今年因为改进了种植技术，他家水果获 得丰收，收入比去年增加5%，支出比去年减少 15%，今年比去年多结余1 140元．如果设小明家 去年收入x元，支出为y元。
（1）将有关的数据填写下表：
项目 收入（元） 支出（元）
去年
x
y
今年 （1+5%）x （1-15%）y
我们来拆分解释 一下这个问题。
探究1 1. 某工厂去年的总产值是x万元,今年的总产值比去
年增加了20%,则今年的总产值是(_1_+__2_0_%__)__x万元;
2. 若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去
年减少了10%,则今年的总支出是_(1__-1__0_%__)_y_万元;
3. 若该厂今年的利润为780万元,那么由1, 2可得方
结余 1 200
2340
（2）根据表格列方程组
x y 1 200， 1.15x 0.95y 2 340.
x 6000，
y
4
800.
2. 最近商家促销有促销活动，人民商场所有商 品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30 元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），爸 爸只给小明400元钱，如果他只在一家购买看中的这 两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家 都可以选择，在哪一家购买更省钱？
程_(_1_+_2__0_%__)_x_-__(_1_-_1_0_%__)_y__=_7_8__0.
分析
关键:找出等量关系.
去年的总产值—去年的总支出=200万元 今年的总产值—今年的总支出=780万元 今年的总产值=去年总产值×(1+20%） 今年的总支出=去年的总支出×(1—10%）
探究1
将以上信息转化 为表格。
在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得 到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金 360+2=362（元）。
因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买。
因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱。
应用提高
现有两种溶液，甲种溶液由酒精1升，
.
水3升配制而成，乙种溶液由酒精3升，水2 升配制而成，要配制成50%的酒精溶液7升， 问两种溶液各需多少升？
２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
分析
求解
问题
方程（组）
解答
抽象
检验
３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的， 图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题 灵活选用．
达标测试
1. 某车间要在一天内完成某种零件的生产任务， 若每人生产25个零件．尚差18个零件，若每人 生产27个零件，就可超额12个，则车间有__1_5__ 名工人，这批任务是 393 个零件．
（1）解：设书包单价为x元，则随身听单价 为y元,根据题意可列出方程：
x y 452, 4x 8 y.
解得:
x 92,
y
360.
答：书包单价92元，随身听单价360元。
（2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金 452×0.8=361.6(元).
∵361.6<400 ，∴可以选择在人民商场购买。