用MATLAB实现共轭梯度法求解实例(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】

用MATLAB 实现共轭梯度法求解实例

康福 201103710031

一．无约束优化方法

1.1 无约束优化方法的必要性

一般机械优化设计问题，都是在一定的限制条件下追求某一指标为最小，它们都属于约束优化问题。但是为什么要研究无约束优化问题?

（1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。

（2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。

（3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达

到。所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。

（4）对于多维无约束问题来说，古典极值理论中令一阶导数为零，

但要求二阶可微，且要判断海赛矩阵为正定才能求得极小点，这种方法有理论意义，但无实用价值。和一维问题一样，若多元函数F(X)不可微，亦无法求解。但古典极值理论是无约束优化方法发展的基础。

1.2共轭梯度法

目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。

（1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺

度法、共轭梯度法等。

（2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。

用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的（n ≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛矩阵。

1(0,1,2,)k k k k s k α+=+=x x

搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。

共轭梯度法是沿着共轭方向进行搜索，属于共轭方向法中的一种，该方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来。共轭梯度法作为一种实用的迭代法，它主要有下面的优点：

（1）算法中，系数矩阵Ａ的作用仅仅是用来由已知向量P产生向量W=AP，这不仅可充分利用Ａ的稀疏性，而且对某些提供

矩阵Ａ较为困难而由已知向量P产生向量W=AP又十分方便

的应用问题是很有益的。

（2）不需要预先估计任何参数就可以计算，这一点不像SOR等；（3）每次迭代所需的计算，主要是向量之间的运算，便于并行化。

共轭梯度法原理的知识较多，请详见《机械优化设计》第四章的第四、五节。

图1为共轭梯度法的程度框图

图1为共轭梯度法的程度框图

二．设计题目及要求

2.1设计题目

用共轭梯度法求二次函数

2

21212112(,)242f x x x x x x x =+--

的极小点及极小值。

2.2设计要求

（1）使用matlab 编写程序，熟练撑握matlab 编程方法。

（2）学习并撑握共轭梯度法的原理、方法及应用，并了解不同无

约束优化方法的区别、优缺点及特殊要求。

（3）编写程序，计算出二次函数的极小点及极小值，并适当选取

不同的初始点及迭代精度精度，分析比较结果。

三．计算步骤

3.1计算求解

解：已知初始点[1,1]T 迭代精度 0.001ε=

1）第一次沿负梯度方向搜寻

计算初始点处的梯度：

为一维搜索最佳步长，应满足

得：

2）第二次迭代

代入目标函数

120212244()422x x f x x ---⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x 010000014141212αααα+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x d 1002()min ()min(40203)f f ααααα=+=--x x d 00.25α=120.5⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x 11()2f -⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦x 21200()50.2520()f f β∇===∇x x 11002() 1.5f β⎡⎤=-∇+=⎢⎥⎣⎦

d x d 21122220.5 1.50.5 1.5αααα+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x d 22()(22)2(0.5 1.5)2(22)(0.5 1.5)4(22)()

f x αααααφα=+++-

++-+=

由 得 从而有：

因

收敛。

3.2运行与程序

运行：打开matlab,确定conjugate_grad_2d.m 文件夹为当前目录。

在命令窗中输入：f=conjugate_grad_2d([1,1],0.001)

选择不同的初始点坐标[0,0],[0,1],[1,0],和迭代精度0.01，

0.0001,进行运行时，需要多次调用conjugate_grad_2d 函

数。

程序及说明：

function f=conjugate_grad_2d(x0,t)

%用共轭梯度法求已知函数f(x1,x2)=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2的极值点

%已知初始点坐标：x0

%已知收敛精度：t

%求得已知函数的极值：f

x=x0;

syms xi yi a; %定义自变量，步长为符号变量

f=xi^2+2*yi^2-4*xi-2*xi*yi; %创建符号表达式f

fx=diff(f,xi); %求表达式f 对xi 的一阶求导

fy=diff(f,yi); %求表达式f 对yi 的一阶求导

fx=subs(fx,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对xi 的一阶求导实值 fy=subs(fy,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对yi 的一阶求导实值 fi=[fx,fy]; %初始点梯度向量

()0φα'=1

α=22240,()8,()20f f ⎡⎤⎡⎤==-∇=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x x 2()0f ε∇=