第2章 平面力系(工程力学)
工程力学第二章平面汇交力系
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
《工程力学》第二章平面基本力系试卷
《工程力学》第二章平面基本力系试卷一、单项选择题1.力矩不为零的条件是。
(2 分)A.作用力不等于零B.力的作用线不通过矩心C.作用力和力臂均不为零2.如下图所示梁的长度和力偶矩大小都相同,则该二梁B、D支座的约束反力大小关系为________。
(2 分)A.R B=R DB.R B>R DC.R B<R D3.平面汇交力系的合力一定等于。
(2 分)A.各分力的代数和B.各分力的矢量和C.零。
4.________是刚体最简单的受力平衡状态。
(2 分)A.平面汇交力系平衡B.三力汇交平衡C.二力平衡5.平面汇交力系平衡的充要条件是_____________。
(2 分)A.各分力对某坐标轴投影的代数和为零B.各分力在同一直线上C.合力为零D.分力总数不多于三个)6.为便于解题,力的投影平衡方程的坐标轴方向一般应按_______________方向取定(2 分)A.水平或铅垂B.任意C.与多数未知力平行或垂直7.下图所示刚体,力偶M对A点和对B点的作用效果为________。
(2 分)A.M A>M BB.M A=M BC.M A<M B8.力偶可以用另一个来平衡。
(2 分)A.力B.力矩C.力偶9.如图a,b所示两种不同的捆法(αβ)起吊起同一重物,则图的捆法绳子易断。
(2 分)A.(a)B.(b)10.如下图所示,起吊机鼓轮受力偶M和力F作用处于平衡,轮的状态表明_______。
(2 分)A.力偶可以用一个力来平衡B.力偶可以用力对某点的矩来平衡C.力偶只能用力偶来平衡D.一定条件下,力偶可以用一个力来平衡二、判断题11.( )力矩使物体绕定点转动的效果取决于力的大小和力臂的大小两个方面。
(2 分)12.( )力对物体的转动效果用力矩来度量,其常用单位符号为N·m。
(2 分)13.( )当坐标系中互垂二轴取向不同时,同一平衡问题求解的难易程度不同,解得的未知合力数值不同。
第二章-平面力系
3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可 以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或 增加 a 值这两个方面来考虑。 其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14
箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之 相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡方程 力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投 影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过 光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角 为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化
工程力学答案第2章
工程力学（第2版）第2章 平面力系题库：主观题（1-10）道 + 计算题（11-36）道 + 填空题（37-52）道 + 选择题（53-69）道 + 判断题（70-85）道 一、主观题2-1 如何利用几何法和解析法求平面汇交力系的合力？答案：利用几何法时，可根据力的平行四边形法则或作力多边形得到合力；利用解析法时，可先求Rx x Ry y F F F F ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑∑，进而得到()()()()cos ,,cos ,RRx Ry x y R Rx R R Ry RF F F F F F i F F F j F F ⎧=+=+⎪⎨⎪==⎩∑∑ 知识点：2.1节 参考页：P19-P20 学习目标：1 难度：12-2 指出思考题2-2图的各图中，哪个是力系的合力？答案：图（a ），1F 是合力；图（b ），合力为零；图（c ），2F 是合力。
知识点：2.1节 参考页：P19-P20 学习目标：1 难度：22-3 用解析法求合力时，若选不同的直角坐标轴，所得的合力是否相同？答案：当选择不同的坐标轴时，所得力的投影不同，但合力的大小和方向是相同的。
知识点：2.1节 参考页：P20 学习目标：1 难度：22-4 已知某一平面一般力系向A 点简化得到的主矢50 N AF '=，主矩20 N m A M =⋅，试求原力系向B 点简化结果。
其中20 mm AB =。
答案：50 N BA F F ''==0350cos302010 N m A B M F -⎛⎫'=⨯⨯=⋅ ⎪⎝⎭()20 N m A B A B M M M F ⎛⎫'=+=+⋅ ⎪⎝⎭知识点：2.3节参考页：P24 学习目标：3 难度：22-5 思考题2-5图所示力F 和力偶,F F ⎛⎫''' ⎪⎝⎭对轮的作用有何不同？设轮轴静止，2F F F '''=-=。
工程力学平面力系
F
' R
=
O
MO
一个力和一个力偶
2、主矢、主矩
n
n
FR Fi Fi
i1
i1
(与简化中心位置无关)
n
n
MO Mi MO(Fi)
i1
i1
(与简化中心有关)
3、结论 平面任意力系向作用面内一点简化，得到一个力和一个 力偶。此力作用在简化中心，大小、方向等于主矢；此 力偶的力偶矩等于主矩。
几点说明： 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位 置无关。
的大小和方向，即
y
b´ Fy
a´
Oa
B
F
Fx
b
x
F
F2 x
Fy2
cos Fx c, os Fy
F2 x
Fy2
F2 x
Fy2
式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
应注意
（1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量； （2) 只有在正交坐标系中力的投影才等于分力的
大小，在斜坐标系中二者的数值不相等。
2 合力投影定理 y
x 合力在任意轴上的投影，等于诸分力在同一轴上投影的代数和。
2 合力投影定理
合力在任意轴上的投影，等于诸分力在同一轴上投 影的代数和。
FRx Fx
FRy Fy
FF F R
22(
Rx Ry
F x)2 (
F y)2
tg FRy Fy
FRx
Fx
三、平面汇交力系的平衡方程
1.力在轴上的投影
力在某轴上的投影，等于力
y
的模乘以力与该轴 正向间夹角的余弦。
y
F xF cos
Fy Fcos
工程力学教案(2)
培训教案第二章平面力系和平面力偶系一、教学目标（一）掌握平面汇交力系的合成与平衡（二）掌握力矩、平面力偶系的合成与平衡（三）掌握平面任意力系的平衡方程及应用二、重点、难点及解决办法（一）重点：平面任意力系的平衡方程及应用（二）难点：平面任意力系的平衡方程应用（三）解决办法：多讲例题，多做练习。
三、教学方法及学生活动设计（一）课时安排:12（二）教学步骤1、导入新课：以实例导入新课2、明确目标：（1）掌握平面汇交力系的合成与平衡（2）掌握力矩、平面力偶系的合成与平衡（3）掌握平面任意力系的平衡方程及应用3、讲解过程（1）力在坐标轴上的投影研究平面汇交力系的前提是力在坐标轴上的投影合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。
（2）平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系的合成1.几何法1）两个共点力的合成由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。
2）任意个共点力的合成 ( 力多边形法）平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
2.解析法利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，确定合力的方向。
二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是:在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。
所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是： 力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零。
三、平面汇交力系的平衡方程注意：对力的方向判定不准的，一般用解析法。
利用平衡方程通过解析法解题时，力的方向可以任意假设，如果求出负值，说明力的方向与假设相反。
∑==0F R F（3）力矩、平面力偶系的合成与平衡一、力对点的矩1.力矩的概念和性质将力F对点O的矩定义为：力F的大小与从O点到力F的作用线的垂直距离的乘积，方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示为正），作顺时针转动为负，将O点到力O的作用线的垂直距离h称为力臂。
说明：①M0（F）是代数量；②随着力F和垂直距离h的增大，物体转动效应明显；③M0（F）是影响转动的独立因素，当F=0或h=0时，M0（F）=0；④M0（F）的国际单位N·m，或者kN·m ；⑤M0（F）=±2S△AOB=±Fh，S△AOB为△AOB的面积。
第二章 理论力学平面力系
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系) 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
2.1 平面汇交力系的合成与平衡
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 1、几何法
Y X
87.46 8.852, 83.55O 9.88
由于FRx为负，FRY为正，故 在第二象限，合力 FR的作用线通过汇交点O，如图2.12
【例2.5】
如图2.1 3所示为建筑工地使用的 井架把杆装置，杆AB的一端铰接在井架上， 另一端用钢索BC与井架连接。重物通过卷扬 机由绕过滑轮BC的钢索起吊。已知重物 Fw=2kN，把杆重量、滑轮的重量及滑轮的大 小不计，滑轮的轴承是光滑的。试求钢索BC 的拉力和把杆AB所受的力。
由图2.14(b)可知 DB CB cot l cot 30 0 tan 0.866 AB 2l 2l 40.90 将 40.90 代入方程并求解得 FA 13.2 KN FB 8.66 KN
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
2、主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和，即 主矩：力系中各力对于任选简化中心O之矩的矢量和，即
工程力学电子教案第二章
MO（FR）= FRd，力臂d=rcos a 所以MO（FR）= Fn ×rcos a=800 × 0.07 ×cos200N.m
重点：
=52.62N.m
（2） 挄合力矩定理求解 将力Fn分解成周向力Ft和
径向力Fr，则
MO（Fn）= MO（Ft）= + MO（Fr）= FRrcos a+0 =52.62N.m
（2） 力偶可以在其作用面内任意秱动和转动，而丌改
发它对物体的作用效应； （3） 只要保持力偶矩的大小和转向丌发，就可以同时 改发力偶中力的大小和力偶臂的长短，而丌改发力偶对刚体 的作用效应。
2、力偶系的合成不平衡 设在同一平面内有两个力偶(F1,F1′），（F2，F2′），它们
重点：
的力偶臂分别为d1、d2。图2-18所示。力偶矩分别为
FBC=1.366P=13.66kN FAB为负值，说明假设方向不实际方向相反。
2.2 力矩及平面力偶系的平衡 2.2.1 力矩及合力矩定理
重点：
1、力矩的概念：平面内力F使物体绕点O转动的效应。
用MO（F）表示。 MO（F）= ±Fd
力矩
d表示力F作用线不O点的垂直距离，称为F的力臂。O为
矩心。 规定：力使物体绕矩心逆时针转动时叏正号，顺时针叏负号。
转动效应，称为力偶矩。 M（F,F′）= ±Fd；戒简写M= ±Fd
重点：
规定：力偶矩逆时针为正，顺时针为负。
单位为N.m 等效力偶：作用在同一平面内的两个力偶，它们的力偶
掌握力偶矩、
等效力偶概 念
矩大小相等、转向相同，即为等效力偶。
结论：（1） 力偶在其作用面内任一坐标轴上投影的代 数和等于零，因而力偶没有合力；
例2-1 起重
工程力学 第2章 平面汇交力系
FR
y
Fi
r r r r F R = F Rx i + F Ry j + F Rz k r r r r F i = F ix i + F iy j + F iz k r r r r F R = ∑ ( F ix i + F iy j + F iz k )
x
13
FRx = ∑ Fx
FRy = ∑ Fy
FR = F + F
2 Rx 2 Ry
= 44.4 KN
θ = arctan
F Ry = 21.80 F Rx
17
( 几何法 ):
10KN
1cm
R
θ
y
F3
600
FR
θ
x
F2
300
o
F3 F2
F1
F1
测量合力 R 的大小和方向 的大小和方向. R=4.4 10=44KN θ = 220
18
三，平衡 平面力系的平衡方程： 平面力系的平衡方程：
F1 F2
F3 F4
求合力 FR
3
F1 F2
F3 F2
F3 F4 F12 F123 FR
F4
F1 F3 F2
F4
FR
F1
4
n 个力的合力: 个力的合力
Fn F3 F1 F2 Fi
FR o
5
结论
汇交力系可以合成为一个合力， 汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 即：合力矢等于各分力矢的矢量和。 合力矢等于各分力矢的矢量和。
26
理论力学第二章
F F3 F4
M Fd ( F3 F4 )d F3d F4 d M1 M 2
在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M Mi
i 1
n
2.2.4 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即
F R F 1 F 2 F n F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
Fi 0
平面力偶系的合成结果为
M O M 1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
平面汇交力系力，FR′ 平面力 偶 系力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
理论 力 学
河南科技大学建筑工程学院工程力学系
第二章 平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面的力系。 本章主要介绍平面力系的简化与平衡。 各力作用线位于同一平面且相交于一点的力系称为平面 汇交力系。
F1 A F2
F3
F4
2.1 平面汇交力系
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法
c F1 A F3 F12 FR a d F4 e
RB
2、研究对象： 整体 m N AD RB l 思考：CB杆受力情况如何？
RC
m
RB
[例6]图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
工程力学 第2版 第2章 平面力系的合成
平面汇交力系 பைடு நூலகம்主矢)
平面力偶系 (主矩)
➢ 结论
平面一般力系
➢ 合成 ① FR≠0,MO ≠0，此种情况利用力的平移定理还可以继续简化
为一个合力。
合力FR的大小等于原力系的主矢；合力FR的作用线位置d=MO/FR
② FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简 化结果就是合力，而合力的作用线恰好通过简化中心。
第2章 平面力系的合成
平面力系的合成
平面力系的分类 平面力矩和力偶
平面汇交力系的合成和平衡 平面一般力系的合成和平衡
2.1 平面力系的分类
平面汇交力系
平面力偶系
平面平行力系
平面一般力 系
2.2平面力矩和力偶
➢ 平面力矩
力对物体可以产生的运动效应：
移动效应--取决于力的大小、方向； 转动效应--取决于力矩的大小、方向。
M = m1 + m2 + ••• + mn = ∑mn
2.平衡条件 平面力偶系可合成为一个合力偶。若物体在力偶系的作 用下处于平衡状态，则必须满足合力偶矩等于零。 因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：合力偶矩
等于零。即
∑mn=0
2.3 平面汇交力系的合成和平衡
1 力在平面直角坐标轴上的投影
3 平面一般力系的合成步骤
①计算主矢的大小和方向。 ②选取一简化中心，计算主矩。 ③根据不同的简化情况，求出平面一般力系的合力。
4 平面一般力系的平衡条件
平面一般力系平衡的充分必要条件是： 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零 ，即合力为零。
Fx 0
Fy 0
M O (F ) 0
谢谢欣赏
③ FR=0,MO≠0，即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚体
考研复习—工程力学——第2章 平面力系
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
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§2.0 平面任意力系引论 §2.1 平面任意力系的简化 §2.2 平面力系的平衡方程及其应用 §2.3 静定与超静定问题 物系的平衡 §2.4 考虑摩擦时的平衡问题
小结
2.1
§2.0 平面任意力系引论 ※平面力系：力系中各力的作用线都在同一平面内。
可化为平面力系的空间力系 条件：1.构件具有一对称平面；
Ry
1y
2y
ny
F ' F F F F
y
1y
2y
ny
y
2.4
§2.1 平面任意力系的简化
主矢大小： FR' (FR'x )2 (FR'y )2 (Fx )2 (Fy )2
主矢方向： tan Fy FX
注意：（1）主矢方向角α是 FR'与x轴夹的锐角，FR' 的指向由 Fx 和 Fy
2.力系的分布又对称于此平面。
2.2
§2.0 平面任意力系引论 ※平面力系的分类 1.平面汇交力系：各个力的作用线都汇交于一点。
2．平面平行力系：各个力的作用线都相互平行。 3．平面力偶系：平面内各个力组成了一组力偶。
4.平面任意力系：各个力的作用线在平面内任意分布。
2.3
§2.1 平面任意力系的简化 2.1.1 平面任意力系向一点简化
2.14
§2.2 平面力系的平衡方程及其应用
三矩式:
M A(F ) 0
2.8
， 简F化R中心O恰好选在
§2.1 平面任意力系的简化
3．主矢 FR' 0 ，主矩 M o 0
原力系简化的最后的结果为一个力
偶（主矩
M
），此力偶称为平面力系
o
的合力偶；因此，主矩与简化中心的位
置无关。
2.9
§2.1 平面任意力系的简化
4．主矢 FR' 0，主矩 M o 0
原力系合成为零力系，则原力系是平衡力系。 平面任意力系平衡的必要和充分条
tan
Fy Fx
- 882.8N - 382.8N
2.3062, 66°33'
主矢 FR' 指向第三象限
力系向A点简化的主矩MA为：
M A M A (F ) M A (F1) M A (F2 ) M A (F3 )
-F1 0.4m 0 (-F3 sin 45 0.8m F3 cos 45 0.3m
1.主矢 FR'(平面汇交力系各力的矢量和)：
F' F' F' F'
R
1
2
n
F ' F F F F
1
2
n
在平面直角坐标系oxy中，根据合力投影 定理有
F' F' F' F'
Rx
1x
2x
nx
F ' F F F F
x
x1
2x
nx
x
F' FBiblioteka F' F'件为：主矢 FR' 0 ，主矩 M o 0
2.10
§2.1 平面任意力系的简化 例2.1 一端固定于墙内的管线上受力情况及尺寸如图2.3a所示，已知 F1=600N，F2=100N，F3=400N。试分析力系向固定端A点的简化结果，并求该 力系的合力。
解：力系向A点简化的主矢为：
FR'x Fx -F2 - F3 cos 45°
1．主矢 FR' 0 ，主矩 M o 0 (一般情况)
合力的大小FR、方向与主矢 FR' 相
同；合力F 的作用线与简化中心O点
R
的垂直距离 d
M O
F'
R
2.7
§2.1 平面任意力系的简化
2．主矢 FR' 0，主矩 M o 0
作用于简化中心的主矢 F 就是R' 原力系的合力 了原力系的合力 的作用线F上R。
0.57
m
§2.2 平面力系的平衡方程及其应用 2.2.1 平面任意力系的平衡方程 1.平面任意力系平衡方程的基本形式
平面任意力系平衡的必要和充分条件为：主矢 FR' 0，主矩 M o 0
即
FR'
(
Fx )2 (
Fy )2 0
M O M O (F ) 0
2．平面任意力系平衡方程的其它形式
-600N 0.4m - 400Nsin 45 0.8m 400N cos 45 0.3m
-551.1N m
主矩MA方向为顺时针；
主矢FR' 和主矩MA继续简化可得到力系的合力FR ，合力FR与
主矢 FR 的大小相等，方向相同，作用线与A点的垂直距离
2.12
d
MA FR'
- 551.1N m 962.2N
Fx 0
Fy 0
M O (F ) 0
基本形式
Fx 0(或 Fy 0)
二矩式: M A (F ) 0
MB(F) 0
附加条件：投影轴x(或y)不能与矩心A、B两点的连线相垂直。
2.13
§2.2 平面力系的平衡方程及其应用 问题：在应用平面力系二矩式平衡方程时,所选择的矩心A、B，投影轴x为 什么要满足附加条件？
-100N - 400Ncos 45° -382.8N
FR'y Fy -F1 - F3 sin 45°
-600N - 400N sin 45° -882.8N
FR' (FR'x )2 (FR'y )2 (-382.8N)2 (-882.8N)2 962.2N
2.11
§2.1 平面任意力系的简化
2.5
§2.1 平面任意力系的简化 3. 结论：平面力系向一点（简化中心）简化的一般结果是一个力 和一个力偶；这个力作用于简化中心，称为原力系的主矢，它等于 原力系中所有各力的矢量和；这个力偶称为原力系对简化中心的主 矩，它等于原力系中所有各力对于简化中心力矩的代数和。
2.6
§2.1 平面任意力系的简化 2.1.2 简化结果的讨论
如右图所示，一刚体只受一个力F作用（显然刚体不
平衡，二矩式平衡方程不能成立），若所选的矩心A、B
和投影轴x，违背附加条件的要求，则二矩式平衡方程也
Fx 0
M
A (F
)
0
成立，因此就出现了错误。所以，
M B (F ) 0
在使用二矩式平衡方程时，选择矩心和投影轴时必须满足附加条件
即：投影轴不能与矩心A、B两点的连线相垂直。
的正负号决定；
（2）主矢FR与' 简化中心O位置的选择无关。
2.主矩
M
(附加平面力偶系的合力偶):
o
M M M M
o
1
2
n
M (F ) M (F ) M (F )
o
1
o
2
o
n
M o (F ) M
注意：(1)一般情况下主矩 M o与简化中心O位置的 选择有关。
(2)原力系与主矢和主矩的联合作用等效。