求解曲线的离心率的值或范围问题

求解曲线的离心率的值或范围问题

一．方法综述

离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几

种情况：2222

2

22

e ===1()c a b b a a a

-- ①根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义椭圆、

双曲线2222

2

22

e ===1()c a b b a a a

++直接求解； ②由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于椭圆222b a c ＝－、双曲线

222b c a ＝－消去b ，构造,a c 的齐次式，求出e ；

③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解．

解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标

0a x a -≤≤等．

二．解题策略

类型一 直接求出c a ,或求出a 与b 的比值，以求解e 【例1】 已知双曲线

的右焦点为抛物线

的

焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，若点在该双曲线上，

则双曲线的离心率为( ) A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】

设，则，所以抛物线的方程为.

因为点到双曲线的一条渐近线的距离为，

不妨设这条渐近线的方程为，即，则，

又点在双曲线上，所以，解得，

故，即.

故选B.

【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或

化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．

【举一反三】

1.设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个

交点分别是，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

因为抛物线，所以，准线为，

将代入得，不妨设为右支上的点，

则，

因为是等边三角形，则，即，

所以，

因此双曲线的离心率为.

故选A

2. 平面直角坐标系xOy中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为

A．B．C．2 D．

【答案】B

【解析】

解：联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为，由三角形垂心的性质，得，即，

所以，所以，

所以，所以的离心率为．

故选：B．

类型二构造a c

，的齐次式，解出e

【例2】已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线

MN过F

2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F

1

MN＝cos∠F

1

F

2

M，，

则双曲线的离心率等于_______．【答案】2

【解析】

如图，由可得，

∴，，

由双曲线的定义可得，，

∴

在中由余弦定理得

在中由余弦定理得

，

∵，

∴，

整理得，

∴，解得或（舍去）．

∴双曲线的离心率等于2．

故答案为：2．

【指点迷津】本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量（）来表示，然后根据余弦定理建立起间的关系式，再根据离

心率的定义求解即可.对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程， 化简整理的运算能力是解决此题的关键.

【举一反三】已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F ， P 是它们的一个交点，且

123

F PF π

∠=

，记椭圆和双曲线的离心率分别为1

2,e e ，则

12

1

e e 的最大值是（ ） A.

233 B. 43

3

C. 2

D. 3 【答案】A

【指点迷津】本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出12a a 、与1PF 、2PF 的数量关系，然后再利用余弦定理求出与c 的数量关系，最后利用基本不等式求得范围. 类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形

【例3】【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】椭圆：

的左、右焦点分别为

，，为椭圆上任一点，且

的最大值的取值范围是

，其中

，则椭圆的离心率

的取值范围是_____. 【答案】

【解析】

的最大值为

由题意知

故椭圆的离心率的取值范围

本题正确结果：

【指点迷津】（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论. （2）图象特征的运用，本题根据题意，从

的最大值为

，由题意知

，由此能够导出椭圆的离心率的取值范围.

【举一反三】

1.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线虚轴为直径的圆相切于点，且切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为( )

A．B．5 C．D．3

【答案】A

【解析】

如图，由题意知=，且⊥，

又为线段的中点，则||=，⊥，由双曲线的定义知||—

||=，∴||=－，又+=，即，即==，即=，∴==，

∴双曲线的离心率为=，故选：A．

2.已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

延长交椭圆于点，设椭圆右焦点为，连接.

根据题意，，