航空重力梯度测量的基本理论及应用

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张永明等：航空重力梯度测量的基本理论及应用
第 ７ 卷 第 ６ 期
重力本身更高的分辨率。
通过反变换标量位可表示为：
３ ２－Ｄ 傅立叶变换和重力勘探 重力标量位是一个很关键的物理量，一旦确定
了重力标量位，所有的重力分量都可以由它导出。 下面介绍如何将测得的地球上方一定高度上大面积 的重力位的任意导数，通过 ２－Ｄ 傅立叶变换的方式 转换成与其相对应的标量位。由标量位就可以直接 导出所有的重力分量和梯度张量分量。这在航空重 力梯度数据处理过程中特别是不同参考坐标系之间 梯度张量转换时有着重要的应用。在下面的推导过 程中，所有的量都是在高度为 的 ｘ－ｙ 平面内。标 量位 的 ２－Ｄ 傅立叶变换为：
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航空重力梯度测量的基本理论及应用
张永明 张贵宾 盛 君
（中国地质大学地球物理与信息技术学院 北京 １０００８３）
摘 要：文章由重力和重力梯度的基本理论出发，讨论了重力分量和重力梯度张量分量的 ２－Ｄ 傅立叶变换 与重力位的傅立叶变换之间的关系。推导了航空重力梯度仪的测量原理，并对航空重力梯度测量的 应用做了简要的介绍。 关键词：重力梯度 ２－Ｄ 傅立叶变换 航空重力梯度测量 原理 应用
图 ４ 南非某地区经地形改正后的 Ｔ Ｚ Ｚ 、Ｔ Ｘ Ｙ 、Ｔ Ｘ Ｚ 和 Ｔ Ｙ Ｚ ，
（２）寻找固体矿产资源以及水文和工程地质等 方面的应用。如澳大利亚 ＢＨＰ 公司的 Ｆａｌｃｏｎ 航空 重力梯度测量系统已在澳大利亚开展了大面积的航 空重力测量，并发现了多处异常区域，图 ５ 为 Ｂｅｌｌ 公司使用 Ａｉｒ－ＦＴＧ 在非洲某一地区的 Ｔｚｚ 平面等 值线图，图中清晰地反映出 ３５０ｍ 的异常。
（１ ６ ）
因此，只要测出 平面上沿 ｘ、ｙ 的任意导数， 就能推导出 ，反之亦然。
下面进一步讨论如何由标量位沿 ｚ 坐标轴的方 向导数推导标量位。就重力梯度而言，拉普拉斯方 程的傅立叶变换满足：
０
（１ ７ ）
通过类似的变换可推导出：
（１ ８ ）
通过对上式的傅立叶变换部分积分可得：
（３）
图 １ 重力场矢量及重力梯度张量分量示意图
在球坐标系中，对质量为 Ｍ 的均质球体，其密 度仅为半径的函数，有：
（６）
式中：ｒ 为到目标体中心的距离。从上式可以看出， 重力与 ｒ２ 成反比，而重力梯度与 ｒ３ 成反比，因此重 力梯度比重力衰减的快，重力梯度相对重力而言能 更好的估计异常体的边界位置，即重力梯度具有比
（３）用于区域地质填图，包括确定区域构造形 态、类型和分布，划分断裂构造，区分火成岩特征 和地下地质体密度特征等。目前多采用航空重力测
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出重力的空间变化，开展航空重力梯度测量对国防 建设，地球科学的研究具有重要的意义。目前国内 对航空重力梯度测量技术的研究正进行跟踪论证和 预先研究。
式中，Ｇ为万有引力常数， 为 处 物质的密度。在笛卡儿坐标系中重力和重力梯度很 容易由重力位推算出来。重力为重力位 的一阶 导数，即：
（２）
重力梯度是用来描述重力分量随位置的变化， 重力梯度为重力位 的二阶导数，即：
图 ５ 非洲某一地区 Ｔｚｚ 平面等值线图
量与航空磁测相结合的方式。
６ 结语 由于航空重力梯度测量比传统的航空重力测量
分辨率高，具有快速、经济、灵活等特点，能反映
参考文献： １ 罗孝宽．郭绍雍．应用地球物理教程－重力 磁法［Ｍ］．北
京：中国地质出版社，１９９１ ２ 曾华霖．重力梯度测量的现状及复兴［Ｊ］．物探与化探，
（２６）
s
（２７）
（２８）
（２９）
将 ａ 、ａ 这两个加速度计的输出相加，得：
１
３
（３０） 将 ａ２、ａ４ 这两个加速度计的输出相加，得：
将上两式相减得：
（３１）
图 ２ 加速度计安装及转盘运动示意图
定义旋转轴与转盘交点 Ｏ 处的重力沿 Ｘ、Ｙ 轴 的分量分别为 ａｏｘ、ａｏｙ，Ｒ 为旋转盘的中心到加速度 计的距离，ａｉｘ、ａｉｙ（ｉ＝１，２，３，４）分别为四个加速度 计沿 Ｘ 和 Ｙ 轴方向敏感到的加速度读数， 为转盘 旋转角速度，ｔ 为时间序列，有：
（２３）
同理，可得到下列各式：
（２４）
（２５）
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Ｙ Ｏ Ｚ 平面和 Ｚ Ｏ Ｘ 平面上的四个加速度计输出的线 性组合方程为：
（３３）
（３４） 由（１－５）式知：
（３５） 另外，梯度张量分量的 ２－Ｄ 傅立叶变换和标量 位的傅立叶变换存在着简单的数学关系，因此可导 出梯度张量分量的傅立叶变换之间存在一定的数学 关系。由以上数学关系即可解出五个独立的张量分 量 。 以上即为全张量梯度测量系统 Ａ ｉ ｒ － Ｆ Ｔ ＧＴＭ 的 测量原理，对部分梯度张量测量系统 Ｆ Ａ Ｌ Ｃ Ｏ Ｎ 而 言，只由一套 ＧＧＩ 组成。这套系统可以直接测量出 ，通过面积性测量和数学变换可得 到 ｇｚ 和 ，如需要还可以由水平张量分量 换算 出其它的张量分量，也就是说部分梯度张量测量系 统 Ｆ Ａ Ｌ Ｃ Ｏ Ｎ 通过数学变换也可得到梯度张量的所 有分量。
５ 航空重力梯度测量的应用 航空重力梯度测量除具有快速、经济、灵活等
特点外，与航空重力标量测量和航空重力矢量测量 相比，不仅可以测量重力位的一阶导数及其分量， 还可以测量重力位的二阶导数，即重力梯度张量的 各个分量。重力梯度异常能够反映出异常体的细节， 即具有比重力本身高的分辨率，这是重力梯度测量 的主要优点。综合利用各梯度张量分量信息能够提 高地质解释的准确性。另外，航空重力梯度测量能 最大限度地减少飞机等运动载体加速度对观测结果 的影响，不受垂直起伏及 Ｅｏｔｖｏｓ 改正误差的影响。 近十几年来航空重力梯度测量在军事、大地测量和 地球物理勘探等领域的应用越来越广泛。 ５．１ 航空重力梯度测量在军事和大地测量中的应用
（１ ３ ）
通过与上面类似的变换可得出：
（１ ４ ）
其它的ｚ方向导数的推导结果与（１６）相似，即：
（１９）
由（１６）和（１９）可得通式为：
（２０）
平面上标量位的导数可以测量出来，标量位导数 的 ２－Ｄ 傅立叶变换和标量位的傅立叶变换存在着简 单的数学关系。因此通过 ２－Ｄ 傅立叶逆变换可推导 出标量位。由（２０）式可得：
（１）寻找陆地、海洋中与石油、天然气有关的 地质构造和断层，推断盆地和隆起形状、类型、基 底深度，划分断裂构造，圈定盐丘的位置和形态，区 分火成岩特征，分析地质体的密度特征，确定油气 远景区及钻探井位等。美国、加拿大、澳大利亚、俄 罗斯等国家在探测储油和天然气构造方面均取得了 很好的效果。图 ４ 为 Ｂｅｌｌ 公司使用 Ａｉｒ－ＦＴＧＴＭ 在南 非某地区得到的经地形改正后的 Ｔ ＺＺ、Ｔ ＸＹ、Ｔ ＸＺ 和 ＴＹＺ，黑色的椭圆区域为与地下空穴相对应的异常， 白线为推断的区域线性构造。
（２１）
也就是说：ｘ，ｙ，ｚＯ 平面上标量位的所有导数都 可以通过标量位或其任意导数的傅立叶变换得到。
通过以上分析可以得出：通过泰勒级数展开就 能推出地球表面外任意点（满足拉普拉斯方程）的 标量位。位论中的格林恒等式就表明了这一点。
（２ ２ ）
ｓ０
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（收稿日期：２００６ 年 ４ 月 ２６ 日）
Fundamental Theory and Application of Airborne Gravity Gradiometry
地球外部空间扰动重力场是影响惯性制导导弹 落点精度的一个重要因素，通过重力梯度仪将测量 得到的重力梯度张量分量信息提供给惯性导航系统， 用来实时修正导弹的速度和位置偏差，从而达到精 确制导的目的。正是由于重力梯度测量其自主性强， 独立性好，抗干扰能力强，在飞机、舰艇以及地面 大型武器的辅助导航和定位方面具有重要的军事应
ｅ
对比（１０）和（７）可推出：
（１０） （１１）
从上面的公式可以看出：重力的傅立叶变换和 标量位的傅立叶变换存在着一定的相关性。因此标 量位可以表示为：
（１ ２ ）
从（１２）式可以看出：通过测量某一平面上重力 的一个水平分量就可以推导出该平面上的标量位。
水平梯度张量分量 的傅立叶变换
１ 引言 １８９０年匈牙利物理学家厄否发明了用扭称进行
重力梯度测量，在随后的三四十年里，许多国家用 扭称进行油气和矿产资源的勘探，发现了许多油气 田和固体矿。直到 ２０ 世纪 ５０ 年代，随着重力仪精 度的提高，扭称完全被重力仪取代。上世纪７０年代， 出于对导航和导弹发射的需要，美国军方投入数十 亿美元研制开发了动态环境下重力梯度测量技术。 随着冷战的结束，美国军方将这项技术部分解密， 转为民用。目前，航空重力梯度测量已广泛应用于 军事、大地测量和地球物理勘探等领域。本文首先 介绍了重力梯度测量的基本理论，然后讨论了航空 重力梯度测量的原理及应用。
２ 重力和重力梯度 三度体在 ｒ＝（ｘ，ｙ，ｚ）处的重力场可用重力位标
量函数 表示为
上式为一对称张量，即： 由场论可知 和 满足拉普拉斯方 程，即：
（５） 因此梯度张量 中只有五个独立的分量，即 。图 １ 为重力场矢量及其梯度 示意图。
１９９９，２３（１） ３ 管志宁．郝天珧．姚长利．２１世纪重力与磁法勘探展望［Ｊ］．
地球物理学进展，２００２，１７（２） ４ 张昌达．航空重力测量和航空重力梯度测量问题［Ｊ］．工程
地球物理学报，２００５，２（４） ５ 周坚鑫．刘浩军．王守坦等．国外航空重力测量在地学中
的应用［Ｊ］．物探与化探，２００４，２８（２）
用价值。 航空重力梯度测量在大地测量领域中的应用主
要是根据梯度测量数据确定地球形状、精确求定地 面控制点的坐标和高程基准，用来修正地球重力场 模型。 ５．２ 航空重力梯度测量在地球物理勘探中的应用