2015年浙江省高考数学(文科)模拟试题
2015年湖南省高考数学试卷(文科)
2015 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（每题 5 分，共 50 分）1．（5 分）已知=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣ 1+i D．﹣ 1﹣ i2．（ 5 分）在一次马拉松竞赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图以下图．若将运动员按成绩由好到差编为 1﹣ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则此中成绩在区间 [ 139，151] 上的运动员人数是（）A．3B．4C．5D．633．（5 分）设 x∈R，则“x＞1“是“x＞1”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件4．（5 分）若变量 x， y 知足拘束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣ 1 B．0C．1D．25．（5 分）履行以下图的程序框图，假如输入n=3，则输出的 S=（）A．B．C．D．6．（5 分）若双曲线﹣=1 的一条渐近线经过点（ 3，﹣ 4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5 分）若实数 a，b 知足 + =，则 ab 的最小值为（）A．B．2 C．2 D．48．（5 分）设函数 f（ x）=ln（1+x）﹣ ln（1﹣x），则 f（x）是（）A．奇函数，且在（ 0， 1）上是增函数B．奇函数，且在（ 0，1）上是减函数C．偶函数，且在（ 0，1）上是增函数D．偶函数，且在（ 0， 1）上是减函数．（分）已知，，在圆x 2+y2=1上运动，且⊥ ，若点P的坐标为（，9 5 A B C AB BC2 0），则 || 的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．910．（ 5 分）某工件的三视图以下图，现将该工件经过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件资料的利用率为（资料利用率=）（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（5 分）已知会合 U={ 1，2，3，4} ，A={ 1，3} ，B={ 1，3，4} ，则 A ∪（?U B ）= ．12．（5 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立 极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sin ，θ则曲线 C 的直角坐标方程为．22 213．（5 分）若直线 3x ﹣4y+5=0与圆 x+y（r ＞0）订交于 A ，B 两点，且∠ AOB=120°，=r（ O 为坐标原点），则 r= ．14（．5 分）已知函数 （fx ）=| 2x﹣2| ﹣b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ．15．（ 5 分）已知 ω＞0，在函数 y=2sin ωx 与 y=2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2，则 ω=．三、解答题16．（ 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购置必定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 A 1，A 2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a 1， a 2 和 2 个白球 b 1，b 2 的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，不然不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出全部可能的摸出结果；（Ⅱ）有人以为：两个箱子中的红球比白球多， 因此中奖的概率大于不中奖的概率，你以为正确吗？请说明原因．17．（ 12 分）设△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明： sinB=cosA；（Ⅱ）若 sinC﹣sinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A， B， C．18．（ 12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形， E，F 分别是 BC，CC 的中点，1（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）若直线 A1 C 与平面 A1ABB1所成的角为 45°，求三棱锥 F﹣ AEC的体积．19．（ 13 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 a1=1，a2=2，a n+2=3S n﹣ S n+1+3，n∈N*，（Ⅰ）证明 a n+2=3a n；（Ⅱ）求 S n．20．（13 分）已知抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2： +=1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点， C1与 C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1订交于A，B两点，与 C2订交于 C，D 两点，且与同向．（Ⅰ）求 C2的方程；（Ⅱ）若 | AC| =| BD| ，求直线 l 的斜率．21．（ 13 分）已知 a＞ 0，函数 f（x）=ae x cosx（x∈[ 0， +∞ ] ），记 x n为 f（x）的从小到大的第 n（ n∈N*）个极值点．（Ⅰ）证明：数列 { f（x n）} 是等比数列；（Ⅱ）若对全部n∈N*，x n≤ | f （x n）| 恒成立，求 a 的取值范围．2015 年湖南省高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题（每题 5 分，共 50 分）1．（5 分）已知=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣ 1+i D．﹣ 1﹣ i【剖析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法例，求得z 的值．【解答】解：∵已知=1+i（i 为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，应选： D．【评论】此题主要考察两个复数代数形式的乘除法法例的应用，属于基础题．2．（ 5 分）在一次马拉松竞赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则此中成绩在区间 [ 139，151] 上的运动员人数是（）A．3B．4C．5D．6【剖析】对各数据分层为三个区间，而后依据系统抽样方法从中抽取7 人，获得抽取比率为，而后各层依据此比率抽取．【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[ 130，138] ，[ 139，151] ，[ 152，153] ，依据系统抽样方法从中抽取7 人，获得抽取比率为，因此成绩在区间 [ 139，151] 中共有 20 名运动员，抽取人数为20×=4；应选： B．【评论】此题考察了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；重点是正确分层，明确抽取比率．33．（5 分）设 x∈R，则“x＞1“是“x＞1”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【剖析】利用充要条件的判断方法判断选项即可．3【解答】解：因为 x∈R，“x＞1“? “x＞1”，3因此“x＞1“是“x＞ 1”的充要条件．应选： C．【评论】此题考察充要条件的判断，基本知识的考察．4．（5 分）若变量 x， y 知足拘束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣ 1 B．0C．1D．2【剖析】由拘束条件作出可行域，由图获得最优解，求出最优解的坐标，数形联合得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得 A（ 0，1）．∴z=2x﹣y 的最小值为 2×0﹣1=﹣ 1．应选： A．【评论】此题考察了简单的线性规划，考察了数形联合的解题思想方法，是中档题．5．（5 分）履行以下图的程序框图，假如输入n=3，则输出的 S=（）A．B．C．D．【剖析】列出循环过程中 S 与 i 的数值，知足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前 i=1，n=3， s=0，第 1 次循环， S=，i=2，第 2 次循环， S=，i=3，第 3 次循环， S=，i=4，此时， i＞n，知足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===应选： B．【评论】此题考察循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考察计算能力6．（5 分）若双曲线﹣=1 的一条渐近线经过点（ 3，﹣ 4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【剖析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，获得a、b 关系式，而后求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1 的一条渐近线经过点（ 3，﹣ 4），可得 3b=4a，即 9（c2﹣a2） =16a2，解得=．应选： D．【评论】此题考察双曲线的简单性质的应用，基本知识的考察．7．（5 分）若实数 a，b 知足+ =，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．4【剖析】由+ =，可判断a＞0，b＞0，而后利用基础不等式即可求解 ab 的最小值【解答】解：∵+ =，∴a＞ 0，b＞ 0，∵（当且仅当 b=2a 时取等号），∴，解可得， ab，即ab的最小值为2，应选： C．【评论】此题主要考察了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题8．（5 分）设函数 f（ x）=ln（1+x）﹣ ln（1﹣x），则 f（x）是（）A．奇函数，且在（ 0， 1）上是增函数B．奇函数，且在（ 0，1）上是减函数C．偶函数，且在（ 0，1）上是增函数D．偶函数，且在（ 0， 1）上是减函数【剖析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单一性推出结果即可．【解答】解：函数 f （x） =ln（ 1+x）﹣ ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣ 1， 1），函数 f （﹣ x）=ln（1﹣x）﹣ ln（ 1+x）=﹣[ ln （1+x）﹣ ln（ 1﹣ x）] =﹣f （x），所以函数是奇函数．清除 C，D，正确结果在 A，B，只要判断特别值的大小，即可推出选项， x=0 时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，明显f（0）＜f（），函数是增函数，因此 B 错误， A 正确．应选： A．【评论】此题考察函数的奇偶性以及函数的单一性的判断与应用，考察计算能力．，，在圆x 2+y2=1上运动，且⊥ ，若点P的坐标为（，9．（5 分）已知 A B C AB BC2 0），则 || 的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【剖析】由题意， AC为直径，因此 ||=|2+| ．B 为（﹣ 1，0）时，| 2+| ≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意， AC为直径，因此 ||=|2+|因此 B 为（﹣ 1，0）时， | 2+| ≤7．因此 || 的最大值为 7．另解：设 B（cosα， sin α），| 2+| =| 2 （﹣ 2 ， 0 ） + （ cosα﹣ 2 ， sin α） | =| （ cosα﹣ 6 ， sin α） | ==，当 cosα=﹣1 时， B 为（﹣ 1，0），获得最大值7．应选： B．【评论】此题考察向量知识的运用，考察学生剖析解决问题的能力，比较基础．10．（ 5 分）某工件的三视图以下图，现将该工件经过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件资料的利用率为（资料利用率=）（）A．B．C．D．【剖析】由题意，原资料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．【解答】解：由题意，由工件的三视图获得原资料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为 3，因此圆锥的高为2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，则，解得x=，因此正方体的体积为，因此原工件资料的利用率为：=；应选： A．【评论】此题考察了由几何体的三视图获得几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确复原几何体以及计算内接正方体的体积是重点，属于中档题．二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（5 分）已知会合 U={ 1，2，3，4} ，A={ 1，3} ，B={ 1，3，4} ，则 A∪（?U B）= { 1，2，3}．【剖析】第一求出会合 B 的补集，而后再与会合 A 取并集．【解答】解：会合 U={ 1，2，3，4} ， A={ 1，3} ， B={ 1， 3，4} ，因此 ?U B={ 2} ，因此 A∪（ ?U B）={ 1，2，3} ．故答案为： { 1， 2，3} ．【评论】此题考察了会合的交集、补集、并集的运算；依据定义解答，属于基础题．12．（5 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为ρ=2sin，θ则曲线 C 的直角坐标方程为 x2+（y﹣ 1）2=1 ．【剖析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可．2【解答】解：曲线 C 的极坐标方程为ρ=2sn，θ即ρ=2ρ sn，θ它的直角坐标方程为： x2+y2 =2y，即 x2+（y﹣1）2=1．故答案为： x2+（ y﹣ 1）2=1．【评论】此题考察极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考察．2 2 213．（5 分）若直线 3x﹣4y+5=0与圆 x +y =r（r＞0）订交于 A，B两点，且∠AOB=120°，（ O 为坐标原点），则 r= 2 ．【剖析】若直线 3x﹣4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（ r＞0）交于 A、B 两点，∠AOB=120°，则△ AOB为顶角为 120°的等腰三角形，极点（圆心）到直线 3x﹣4y+5=0 的距离d= r，代入点到直线距离公式，可结构对于r 的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线 3x﹣4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（r＞ 0）交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，且∠ AOB=120°，则圆心（ 0， 0）到直线 3x﹣4y+5=0 的距离 d=rcos= r，即= r，解得 r=2，故答案为： 2．【评论】此题考察的知识点是直线与圆订交的性质，此中剖析出圆心（0，0）到直线 3x﹣ 4y+5=0 的距离 d=r 是解答的重点．14．（5 分）已知函数 f（x）=| 2x﹣2| ﹣b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是0＜b＜ 2 ．【剖析】由函数 f（ x） =| 2x﹣2| ﹣b 有两个零点，可得 | 2x﹣ 2| =b 有两个零点，进而可得函数 y=| 2x﹣ 2| 函数 y=b 的图象有两个交点，联合函数的图象可求 b 的范围【解答】解：由函数 f（x）=| 2x﹣2| ﹣ b 有两个零点，可得 | 2x﹣2| =b 有两个零点，进而可得函数 y=| 2x﹣ 2| 函数 y=b 的图象有两个交点，联合函数的图象可得，0＜b＜2 时切合条件，故答案为：0＜b＜2【评论】此题主要考察函数的零点以及数形联合方法，数形联合是数学解题中常用的思想方法，可以变抽象思想为形象思想，有助于掌握数学识题的实质．15．（ 5 分）已知ω＞0，在函数 y=2sin ωx与 y=2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=．【剖析】依据正弦线，余弦线得出交点（（k1，），（（k2，）， k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离近来，即可得出方程求解即可．【解答】解：∵函数 y=2sin ωx与 y=2cosωx的图象的交点，∴依据三角函数线可得出交点（（k1，），（（k2，），k1， k2都为整数，∵距离最短的两个交点的距离为2，∴这两个交点在同一个周期内，∴ 12=（）2+（）2，ω=故答案为：【评论】此题考察了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦．三、解答题16．（ 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购置必定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1，A2和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1， a2和 2 个白球 b1，b2的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，不然不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出全部可能的摸出结果；（Ⅱ）有人以为：两个箱子中的红球比白球多，因此中奖的概率大于不中奖的概率，你以为正确吗？请说明原因．【剖析】（Ⅰ）中奖利用列举法列出全部可能的摸出结果；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的 2 个球都是红球的结果数，而后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．【解答】解：（Ⅰ）全部可能的摸出的结果是：{ A1，a1} ， { A1， a2} ， { A1，b1} ，{ A1，b2} ，{ A2，a1} ，{ A2， a2} ，{ A2，b1} ， { A2， b2} ，{ B，a1} ， { B，a2} ，{ B，b1} ，{ B， b2 } ；（Ⅱ）不正确．原因以下：由（Ⅰ）知，全部可能的摸出结果共 12 种，此中摸出的 2 个球都是红球的结果为：{ A1，a1} ， { A1， a2} ， { A2，a1} ，{ A2，a2} ，共 4 种，∴中奖的概率为．不中奖的概率为： 1﹣．故这类说法不正确．【评论】此题考察了古典概型及其概率计算公式，训练了列举法求基本领件个数，是基础题．17．（ 12 分）设△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明： sinB=cosA；（Ⅱ）若 sinC﹣sinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A， B， C．【剖析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣ sinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，可得 sin2B= ，联合范围可求 B，由 sinB=cosA及 A 的范围可求 A，由三角形内角和定理可求 C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又 tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵ sinC=sin[ π﹣（ A+B）] =sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB= ，由（ 1）sinB=cosA，∴sin2B= ，∵0＜ B＜π，∴ sinB= ，∵B 为钝角，∴B= ，又∵ cosA=sinB=，∴A= ，∴C=π﹣A﹣B= ，综上， A=C=，B=．【评论】此题主要考察了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．18．（ 12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2 的正三角形， E，F 分别是 BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）若直线 A1 C 与平面 A1ABB1所成的角为 45°，求三棱锥 F﹣ AEC的体积．【剖析】（Ⅰ）证明 AE⊥ BB1， AE⊥BC，BC∩ BB1=B，推出 AE⊥平面 B1 BCC1，利用平面余平米垂直的判断定理证明平面AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）取 AB 的中点 G，说明直线 A1C与平面 A1ABB1所成的角为 45°，就是∠ CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面 ABC，AE? 底面 ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形， E 分别是 BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵ AE? 平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）解：取 AB 的中点 G，连接 A1G，CG，由（Ⅰ）可知 CG⊥平面 A1ABB1，直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角为 45°，就是∠ CA1G，则 A1G=CG= ，∴AA1== ，CF=．三棱锥 F﹣AEC的体积：×== ．【评论】此题考察几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考察空间想象能力以及计算能力．19．（ 13 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 a1=1，a2=2，a n+2=3S n﹣ S n+1+3，n∈N*，（Ⅰ）明 a n+2=3a n；（Ⅱ）求 S n．【剖析】（Ⅰ）当 n≥2 ，通 a n+2=3S n S n+1+3 与 a n+1=3S n﹣1 S n+3 作差，而后当 n=1 命也成立刻可；（Ⅱ）通（ I）写出奇数、偶数的通公式，分奇数的和、偶数的和算即可．【解答】（Ⅰ）明：当 n≥2 ，由 a n+2=3S n S n+1+3，可得 a n+1=3S n﹣1S n+3，两式相减，得 a n+2a n+1=3a n a n+1，∴a n+2=3a n，当 n=1 ，有 a3 =3S1 S2+3=3×1（ 1+2）+3=3，∴ a3=3a1，命也成立，上所述： a n+2=3a n；（Ⅱ）解：由（ I）可得，此中k是随意正整数，∴S2k﹣1=（a1+a2）+（a3+a4）+⋯+（a2k﹣3+a2k﹣2）+a2k﹣1=3+32+⋯+3k﹣1+3k﹣1=+3k﹣ 1=×3k﹣1，k﹣ 1k﹣ 1S2k=S2k﹣1+a2k= ×3+2×3=，上所述， S n=．【点】本考求数列的通及乞降，考分的思想，注意解方法的累，属于中档．20．（13 分）已知抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2： +=1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点， C1与 C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1订交于A，B两点，与 C2订交于 C，D 两点，且与同向．（Ⅰ）求 C2的方程；（Ⅱ）若 | AC| =| BD| ，求直线 l 的斜率．【剖析】（Ⅰ）经过 C1方程可知 a2﹣b2=1，经过 C1与 C2的公共弦的长为2且C1与 C2的图象都对于 y 轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），经过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2 =（ x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为 y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由 C1方程可知 F（0，1），∵ F 也是椭圆 C2的一个焦点，∴ a2﹣b2=1，又∵ C1与 C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都对于y轴对称，∴易得 C1与 C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵ a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+ =1；（Ⅱ）如图，设A（ x1，y1），B（x2， y2），C（ x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且| AC| =| BD|，∴= ，∴ x1﹣x2=x3﹣x4，∴（ x1+x2）2﹣ 4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线 l 的斜率为 k，则 l 方程： y=kx+1，由，可得 x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k， x1x2=﹣ 4，由，得（ 9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（ x1+x2）2﹣4x1x2=（ x3+x4）2﹣4x3x4，∴ 16（k2+1）=+，化简得 16（k2+1）=，∴（ 9+8k2）2=16×9，解得 k=±，即直线 l 的斜率为±．【评论】此题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考察求椭圆方程以及直线的斜率，波及到达定理等知，考算能力，注意解方法的累，属于中档．21．（ 13 分）已知 a＞ 0，函数 f（x）=ae x cosx（x∈[ 0， +∞ ] ）， x n f（x）的从小到大的第 n（ n∈N*）个极点．（Ⅰ）明：数列 { f（x n）} 是等比数列；（Ⅱ）若全部n∈N*，x n≤ | f （x n）| 恒成立，求 a 的取范．【剖析】（Ⅰ）求出函数的数，令数 0，求得极点，再由等比数列的定，即可得；（Ⅱ）由 n=1 可得 a 的范，运用数学法8n＞4n+3，当 a≥π，得 | f（ x n+1） | ＞ x n+1，即可获得 a 的范．【解答】（Ⅰ）明：函数f（x）=ae x cosx的数 f （′x） =ae x（cosx sinx），a＞0，x≥0， e x≥1，由 f ′（x） =0，可得 cosx=sinx，即 tanx=1，解得 x=kπ+，k=0， 1， 2，⋯，当 k 奇数， f ′（x）在 kπ+邻近左右正，当 k 偶数， f ′（x）在 kπ+邻近左正右．故 x=kπ+，k=0，1，2，⋯，均极点，x n=（n 1）π+ =nπ ，f（x n）=a cos（ nπ ），f（x n+1）=a cos（ nπ+），π当 n 偶数， f（x n+1）= e f（x n），π当 n 奇数， f（x n+1）= e f（x n），即有数列 { f（x n）} 是等比数列；（Ⅱ）解：因为x1≤| f（ x1） | ，≤a，解得 a≥π，下边明 8n＞4n+3．2015年湖南省高考数学试卷(文科)当 n=1 时， 8＞7 明显成立，假定 n=k 时， 8k＞ 4k+3，当 n=k+1 时， 8k+1=8?8k＞8（4k+3）=32k+24=4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3，即有 n=k+1 时，不等式成立．综上可得 8n＞4n+3（n∈N+），π由 e ＞8，当 a≥ π时，πn由（Ⅰ）可得 | f（ x n+1） | =| （﹣ e ） || f（x1）|＞8n| f （x1）| =8n f（ x1）＞（ 4n+3）x1＞x n+1，n∈N+，综上可得 a≥π成立．【评论】此题考察导数的运用：求极值，主要考察不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学概括法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题．第 21 页（共 21 页）。
2015高考真题：文科数学(湖南卷)试卷(含答案)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知2(1)iz-=1+i（i为虚数单位），则复数z=( )A、1+iB、1-iC、-1+iD、-1-i 【答案】D【解析】试题分析：.由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z的代数式；由题22(1)(1)22(1i)1,1112i i i ii z iz i i-----=+∴====--++，故选D.考点：复数的运算2、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示;若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )A、3B、4C、5D、6【答案】B考点：茎叶图3、设x∈R，则“x>1”是“2x>1”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：.由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系；由题易知“x>1”可以推得“2x>1”，“2x>1”可以得到“x>1”，所以“x>1”是“2x>1”的充要条件，故选C.考点：命题与条件4、若变量x、y满足约束条件111x yy xx+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z=2x-y的最小值为( )A、-1B、0C、1D、2 【答案】A考点：简单的线性规划5、执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )A、67B、37C、89D、49【答案】B考点：程序框图6、若双曲线22221x ya b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为A B、54C、43D、53【答案】D【解析】试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线22221x ya b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=． 故选D.考点：双曲线的简单性质7、若实数a ，b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B 、2 C 、 D 、4 【答案】C考点：基本不等式8、设函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），则f （x ）是( )A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可． 函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），函数的定义域为（-1，1），函数f （-x ）=ln （1-x ）-ln （1+x ）=-[ln （1+x ）-ln （1-x ）]=-f （x ），所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x =+=+-- ，已知在（0,1）上()'0f x > ，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.考点：利用导数研究函数的性质9、已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++ 的最大值为A 、6B 、7C 、8D 、9 【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB +取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A 、89πB 、827πC 、21)πD 、21)π【答案】A考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11、已知集合U={}1,2,3,4，A={}1,3,B={}1,3,4,则A (U B ð)=_____.【答案】{1，2，3}.考点：集合的运算12、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____.【答案】2211x y +-=（） 【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可．曲线C 的极坐标方程为222sn sn ρθρρθ=∴=，，它的直角坐标方程为222x y y += ， 2211x y ∴+-=（）． 故答案为：2211x y +-=（）． 考点：圆的极坐标方程13. 若直线3x-4y+5=0与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r=_____. 【答案】 【解析】试题分析：直线3x-4y+5=0与圆2220x y r r +=（＞）交于A 、B 两点，∠AOB=120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x-4y+5=0的距离为12r ，代入点到直线距离公式，可构造关于r 的方程，解方程可得答案．如图直线3x-4y+5=0与圆2220x y r r +=（＞） 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离为12r 12r r =∴，=2 .故答案为2.考点：直线与圆的位置关系14、若函数f （x ）=| 2x-2 |-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】0＜b ＜2考点：函数零点15、已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω =_____. 【答案】2πω=考点：三角函数图像与性质三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015年江西省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅰ)
2015年江西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x |x=3n +2，n ∈N }，B={6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．22．（5分）已知点A （0，1），B （3，2），向量AC →=（﹣4，﹣3），则向量BC →=（ ） A ．（﹣7，﹣4）B ．（7，4）C ．（﹣1，4）D ．（1，4）3．（5分）已知复数z 满足（z ﹣1）i=1+i ，则z=（ ） A ．﹣2﹣i B ．﹣2+iC ．2﹣iD ．2+i4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110 D ．120 5．（5分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．（5分）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=（ ）A ．172B ．192C ．10D ．128．（5分）函数f （x ）=cos （ωx +φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（ ）A ．（kπ﹣14，kπ+34），k ∈zB ．（2kπ﹣14，2kπ+34），k ∈zC ．（k ﹣14，k +34），k ∈zD ．（2k −14，2k +34），k ∈z9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．（5分）已知函数f （x ）={2x−1−2，x ≤1−log 2(x +1)，x ＞1，且f （α）=﹣3，则f （6﹣α）=（ ）A ．﹣74B ．﹣54C ．﹣34D ．﹣1411．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．（5分）设函数y=f （x ）的图象与y=2x +a 的图象关于y=﹣x 对称，且f （﹣2）+f （﹣4）=1，则a=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．4二、本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）在数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n= ．14．（5分）已知函数f （x ）=ax 3+x +1的图象在点（1，f （1））处的切线过点（2，7），则a= ．15．（5分）若x ，y 满足约束条件{x +y −2≤0x −2y +1≤02x −y +2≥0，则z=3x +y 的最大值为 ．16．（5分）已知F 是双曲线C ：x 2﹣y 28=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0，6√6）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC ． （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=√2，求△ABC 的面积．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ﹣ACD 的体积为√63，求该三棱锥的侧面积．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w∑8i=1（x i ﹣x ）2 ∑8i=1（w i ﹣w ）2∑8i=1（x i ﹣x ）（y i ﹣y ）∑8i=1（w i﹣w ）（y i ﹣y ）46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中w i =√x i ，w =18∑8i=1wi（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y=c +d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z=0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1 v 1），（u 2 v 2）…..（u n v n ），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^=∑n i=1(u i −u)(v i −v)∑n i=1(u i −u)2，α^=v ﹣β^u ． 20．（12分）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若OM →•ON →=12，其中O 为坐标原点，求|MN |． 21．（12分）设函数f （x ）=e 2x ﹣alnx ．（Ⅰ）讨论f （x ）的导函数f′（x ）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln 2a．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=√3CE，求∠ACB的大小．五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．六、【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年江西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：A={x |x=3n +2，n ∈N }={2，5，8，11，14，17，…}， 则A ∩B={8，14}，故集合A ∩B 中元素的个数为2个， 故选：D ． 2．【解答】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到AB →=（3，1），向量AC →=（﹣4，﹣3），则向量BC →=AC →−AB →=（﹣7，﹣4）； 故选：A ． 3．【解答】解：由（z ﹣1）i=1+i ，得z ﹣1=1+i i =−i(1+i)−i 2=1−i ，∴z=2﹣i ．故选：C ． 4．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种， 其中只有（3，4，5）为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为110．故选：C ． 5．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点（c ，0）与抛物线C ：y 2=8x 的焦点（2，0）重合， 可得c=2，a=4，b 2=12，椭圆的标准方程为：x 216+y 212=1，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由{x =−2x 216+y 212=1，解得y=±3，所以A （﹣2，3），B （﹣2，﹣3）．|AB |=6． 故选：B ． 6．【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则π2r=8，解得r=16π，故米堆的体积为14×13×π×（16π）2×5≈3209，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴3209÷1.62≈22，故选：B ． 7．【解答】解：∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8=4S 4，∴8a 1+8×72×1=4×（4a 1+4×32），解得a 1=12．则a 10=12+9×1=192．故选：B ．【解答】解：由函数f （x ）=cos （ωx +ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2πω=2（54﹣14）=2，∴ω=π，f （x ）=cos （πx +ϕ）． 再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+ϕ=π2，k ∈z ，即ϕ=π4，f （x ）=cos （πx +π4）．由2kπ≤πx +π4≤2kπ+π，求得 2k ﹣14≤x ≤2k +34，故f （x ）的单调递减区间为（2k −14，2k +34），k ∈z ，故选：D ． 9．【解答】解：第一次执行循环体后，S=12，m=14，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=14，m=18，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=18，m=116，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=116，m=132，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=132，m=164，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=164，m=1128，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=1128，m=1256，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n 值为7， 故选：C ． 10．【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解； α＞1时，﹣log 2（α+1）=﹣3，∴α=7， ∴f （6﹣α）=f （﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣74．故选：A ．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：12×4πr 2+12×πr 2+12×2r ×2πr +2r ×2r +12×πr 2=5πr 2+4r 2， 又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴5πr 2+4r 2=16+20π，解得r=2， 故选：B ．12．【解答】解：∵与y=2x +a 的图象关于y=x 对称的图象是y=2x +a 的反函数， y=log 2x ﹣a （x ＞0），即g （x ）=log 2x ﹣a ，（x ＞0）．∵函数y=f （x ）的图象与y=2x +a 的图象关于y=﹣x 对称， ∴f （x ）=﹣g （﹣x ）=﹣log 2（﹣x ）+a ，x ＜0， ∵f （﹣2）+f （﹣4）=1， ∴﹣log 22+a ﹣log 24+a=1， 解得，a=2， 故选：C ．二、本大题共4小题，每小题5分. 13．【解答】解：∵a n +1=2a n ，∴a n+1a n =2，∵a 1=2，∴数列{a n }是a 1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n =a 1(1−q n )1−q =2(1−2n )1−2=2n +1﹣2=126，∴2n +1=128， ∴n +1=7， ∴n=6． 故答案为：6 14．【解答】解：函数f （x ）=ax 3+x +1的导数为：f′（x ）=3ax 2+1，f′（1）=3a +1，而f （1）=a +2，切线方程为：y ﹣a ﹣2=（3a +1）（x ﹣1），因为切线方程经过（2，7）， 所以7﹣a ﹣2=（3a +1）（2﹣1）， 解得a=1． 故答案为：1． 15．【解答】解：由约束条件{x +y −2≤0x −2y +1≤02x −y +2≥0作出可行域如图，化目标函数z=3x +y 为y=﹣3x +z ，由图可知，当直线y=﹣3x +z 过B （1，1）时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为3×1+1=4． 故答案为：4． 16．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为x−3+6√6=1与x2﹣y28=1联立可得y2+6√6y﹣96=0，∴P的纵坐标为2√6，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为12×6×6√6﹣12×6×2√6=12√6．故答案为：12√6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：asinA =bsinB=csinC=1k＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac=a2+14a2−a22a×12a=14．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=√2，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=√2．∴S△ABC =12ac=1．18．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BED ；解：（Ⅱ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°，得AG=GC=√32x ，GB=GD=x 2，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BG ，则△EBG 为直角三角形，∴EG=12AC=AG=√32x ，则BE=√EG 2−BG 2=√22x ，∵三棱锥E ﹣ACD 的体积V=13×12AC ⋅GD ⋅BE =√624x 3=√63，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×2×2×(−12)=12，即AC=√12=2√3，在三个直角三角形EBA ，EBG ，EBC 中，斜边AE=EC=ED ， ∵AE ⊥EC ，∴△EAC 为等腰三角形， 则AE 2+EC 2=AC 2=12， 即2AE 2=12， ∴AE 2=6， 则AE=√6，∴从而得AE=EC=ED=√6，∴△EAC 的面积S=12×EA ⋅EC =12×√6×√6=3，在等腰三角形EAD 中，过E 作EF ⊥AD 于F ，则AE=√6，AF=12AD =12×2=1，则EF=√(√6)2−12=√5，∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S=12×2×√5=√5，故该三棱锥的侧面积为3+2√5．19．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（Ⅱ）令w=√x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^=108.81.6=68，c ^=y ﹣d ^w =563﹣68×6.8=100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68√x ，（Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值y ^=100.6+68√49=576.6， 年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii ）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值z ^=0.2（100.6+68√x ）﹣x=﹣x +13.6√x +20.12， 当√x =13.62=6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大． 20．【解答】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程：y=kx +1，即：kx ﹣y +1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．故由√k 2+1＜1，故当4−√73＜k ＜4+√73，过点A （0，1）的直线与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1相交于M ，N 两点．（2）设M （x 1，y 1）；N （x 2，y 2），由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx +1，代入圆C 的方程（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，可得 （1+k 2）x 2﹣4（k +1）x +7=0， ∴x 1+x 2=4(1+k)1+k 2，x 1•x 2=71+k 2，∴y 1•y 2=（kx 1+1）（kx 2+1）=k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1=71+k 2•k 2+k•4(1+k)1+k 2+1=12k 2+4k+11+k 2， 由OM →•ON →=x 1•x 2+y 1•y 2=12k 2+4k+81+k 2=12，解得 k=1，故直线l 的方程为 y=x +1，即 x ﹣y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径． 所以|MN |=2． 21．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=e 2x ﹣alnx 的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x ）=2e 2x ﹣a x．当a ≤0时，f′（x ）＞0恒成立，故f′（x ）没有零点，当a ＞0时，∵y=e 2x 为单调递增，y=﹣ax单调递增，∴f′（x ）在（0，+∞）单调递增， 又f′（a ）＞0，假设存在b 满足0＜b ＜ln a2时，且b ＜14，f′（b ）＜0，故当a ＞0时，导函数f′（x ）存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x ）在（0，+∞）上的唯一零点为x 0， 当x ∈（0，x 0）时，f′（x ）＜0， 当x ∈（x 0+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（0，x 0）单调递减，在（x 0+∞）单调递增， 所欲当x=x 0时，f （x ）取得最小值，最小值为f （x 0），由于2e 2x 0﹣a x 0=0，所以f （x 0）=a 2x 0+2ax 0+aln 2a ≥2a +aln 2a．故当a＞0时，f（x）≥2a+aln 2a．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2√3，BE=√12−x2，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=√12−x2，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=√3∴∠ACB=60°五、【选修4-4：坐标系与参数方程】23．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C 3的极坐标方程θ=π4（ρ∈R ）代入圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0， 求得ρ1=2√2，ρ2=√2，∴|MN |=|ρ1﹣ρ2|=√2，由于圆C 2的半径为1，∴C 2M ⊥C 2N ，△C 2MN 的面积为12•C 2M•C 2N=12•1•1=12．六、【选修4-5：不等式选讲】 24．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f （x ）＞1，即|x +1|﹣2|x ﹣1|＞1， 即{x ＜−1−x −1−2(1−x)＞1①，或{−1≤x ＜1x +1−2(1−x)＞1②，或{x ≥1x +1−2(x −1)＞1③．解①求得x ∈∅，解②求得23＜x ＜1，解③求得1≤x ＜2．综上可得，原不等式的解集为（23，2）．（Ⅱ）函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣a |={x −1−2a ，x ＜−13x +1−2a ，−1≤x ≤a −x +1+2a ，x ＞a ，由此求得f （x ）的图象与x 轴的交点A （2a−13，0），B （2a +1，0），故f （x ）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C （a ，a +1）， 由△ABC 的面积大于6，可得12[2a +1﹣2a−13]•（a +1）＞6，求得a ＞2．故要求的a 的范围为（2，+∞）．。
高考文科数学集合专题讲解与高考真题精选(含答案)
集合、简易逻辑（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N 或N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M 的关系是a M ，或者a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x| x 具有的性质} ，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集( ).【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图A B(1)A A子集B （或A)A中的任一元素都属于B(2) A(3)若A B且B C ，则A C(4)若A B且B A，则A BA(B)B A或真子集A B（或B A ） A B，且 B 中至少有一元素不属于 AA（1） A（为非空子集）(2)若A B且B C ，则A CB A集合相等A BA中的任一元素都属于B，B 中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)n（7）已知集合A有n(n 1) 个元素，则它有2个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子集，它有2n 2非空真子集.集合的基本运算1. 集合运算：交、并、补.交：A I B { x | x A,且x B}并：A U B{ x | x A或x B}补：C 且A { x U , x A} U2. 主要性质和运算律（1）包含关系：A A, A,A U , C A U ,UA B,BC A C; A I B A, A I B B; A U B A, A U B B.（2）等价关系： A B A I B A A U B B C U A U B U（3）集合的运算律：交换律： A B B A; A B B A.结合律: ( A B) C A (B C); (A B) C A (B C)分配律:. A (B C) (A B) ( A C); A (B C) ( A B) (A C)0-1 律：I A , U A A,U I A A,U U A U等幂律： A A A, A A A.求补律：A∩C U A=φ A ∪C U A=U C U U=φC Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A)∪( C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩( C U B)简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
高考数学文科5年高考3年模拟精品课件全国卷1地区通用：1.1 集合
A.{1}
B.{3,5}
C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}
答案 C ∵U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5}, ∴∁UP={2,4,6}, ∵Q={1,2,4}, ∴(∁UP)∪Q={1,2,4,6}. 2.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B= ( ) A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,3)
A.{0,2} B.{1,2}
C.{0}
D.{-2,-1,0,1,2}
答案 A 本题主要考查集合的基本运算. ∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故选A.
2.(2018课标全国Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B= ( )
答案 A 本题考查集合的并集. A∪B={1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.故选A. 5.(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中元素的个数为2.
12.(2017浙江,1,5分)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q= ( ) A.(-1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2) 答案 A 本题考查集合的概念和集合的运算. P∪Q={x|-1<x<2}.故选A. 易错警示 把求并集看成求交集,而错选B,因为平时做得最多的集合运算是求两集合的交集, 从而形成思维定势. 13.(2015四川,1,5分)设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B= ( ) A.{x|-1<x<3} B.{x|-1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 答案 A 把集合A、B表示在数轴上,如图.
2016年浙江省高考数学试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U PQ （）ð= A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}2.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n3.函数y =sin x 2的图象是4.若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 A.355 B.2 C.322 D.55.已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则A.(1)(1)0a b --<B. (1)()0a a b -->C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a -->6.已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .A.若()f a b ≤，则a b ≤B.若()2b f a ≤，则a b ≤C.若()f a b ≥，则a b ≥D.若()2b f a ≥，则a b ≥8.如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且 *1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.10.已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.12．设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______． 13．设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD =5，∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______．15．已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ． （Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．17.（本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈.（I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.18.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.19.（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.20.（本题满分15分）设函数()f x =311x x ++，[0,1]x ∈.证明：（I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题1.【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】D4.【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】80 ；40．10.【答案】(2,4)--；5．11. 【答案】2；1．12．【答案】－2；1．13．【答案】(27,8)． 14．【答案】6915．【答案】7 三、解答题16．【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27C =. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力． 试题解析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此，A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =.（2）由2cos 3B =，得5sin 3B =，21cos 22cos 19B B =-=-， 故1cos 9A =-，45sin 9A =， 22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【结束】17. 【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈；（2）2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩. 【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力．试题解析：（1）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩， 又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=，所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.（2）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==.当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.当3n ≥时，229(13)(7)(2)351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-， 所以，2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.考点：等差、等比数列的基础知识.【结束】18.【答案】（1）证明详见解析；（2）217. 【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．试题解析：（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥，又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK ∆为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥，所以BF ⊥平面ACFD .（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角，在Rt BFD ∆中，33,2BF DF ==，得21cos 7BDF ∠=， 所以直线BD 与平面ACFD 所成的角的余弦值为217.考点：空间点、线、面位置关系、线面角.【结束】19.【答案】（1）p=2；（2）()(),02,-∞+∞ .【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得12p =，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠,由241y x x sy ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又直线AB 的斜率为212tt -，故直线FN 的斜率为212t t --， 从而的直线FN:()2112t y x t-=--，直线BN:2y t =-， 所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+---， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意. 综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞ .考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【结束】20.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论. 试题解析：(Ⅰ)因为()()4423111,11x x x x x x x----+-==--+ 由于[]0,1x ∈，有411,11x x x-≤++即23111x x x x -≤-++， 所以()21.f x x x ≥-+ (Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤，故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤. 由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >， 综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.【结束】。
2015年浙江省高考数学(文科)试题(教师版含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科数学1. 解析 {1P x x=-或}3x，所以[)34P Q =， .故选A.2. 解析 该几何体是棱长为2的正方体和底面边长为2、高为2的正四棱锥的组合体，所以3213222233V =+⨯⨯=．故选C ． 3. 解析 取3a =，2b =-，所以0a b +>0ab >；反之取1a =-，2b =-，所以00ab a b >+>.故选D.4. 解析 由面面垂直判定定理知，A 正确.故选A.5. 解析 ()f x 是奇函数，排除A ，B ；当0x >， x 趋于0时，1x x-→-∞，cos 1x →，所以1cos x x x ⎛⎫-→-∞ ⎪⎝⎭.故选D. 6. 解析 解法一 特殊值：1x =，2y =，3z =，所以1a =，2b =，3c =.故选B. 解法二 利用排序不等式，最小的值是反序和.故选B.7. 解析 若30PAB ∠=，则AP 绕点A 旋转形成圆锥面，这面被平面α截得图象是椭圆.故选C.8. 解析 若t 确定，则2221a a t ++=，所以2221a a t +=-唯一确定.故选B. 9. 解析12221log log 22-==-，3222423log 3log 3log 3log 32222+=== 10. 解析 23271221a a a a a ⎧=⋅⎨+=⎩，所以()()()211112631a d a d a d a d ⎧+=++⎪⎨+=⎪⎩ ， 所以1231a d ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.11. 解析 ()1cos 21π3sin 2122242x f x x x -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭， 所以2ππ2T ==，()min 32f x =. 12. 解析 ()()61244642f f f -==+-=-⎡⎤⎣⎦， 当1x时，()()min 00f x f ==；当1x >时，()min 6f x =.综上所述，()min 6f x =.13. 解析 设1e OA =，2e OB =，由2e OB =得121cos e e 2=，，即12πe e 3=，.又12e e ⋅=⋅b b ，得12e e 0⋅-⋅=b b ，即()12e e 0⋅-=b ，故()12e e ⊥-b .过点O 作直线l AB ⊥，如图所示，因为1e 1⋅=b ，2e 1⋅=b ，据平面向量数量积的几何意义知，OC 在OA ，OB 上的投影均为1，所以12cos30OC ==故3=b .14. 解析 依题意知，240x y +-<，630x y -->，则2463x y x y +-+--=42631034x y x y x y --+--=--.令1034z x y =--，即34100x y z ++-=，且221x y +，因此圆心()00，到直线34100x y z ++-=的距离小于等于1，即1015z -，得515z ，所以z 的最大值为15，即2463x y x y +-+--的最大值为15.15. 解析 解法一 设()00Q x y ，，则12πe e 3=，OQ OF c ==，所以22200x y c +=，又2200221x y a b +=，所以()()22222220222a c b a c b x a b c--==-，所以4222002b y c x c =-=，所以2b yc =，不妨取0x =，所以QF 中点0022x c y +⎛⎫⎪⎝⎭，，代入00b y x c =， 得2bc c -=，化简得2220()b bc c b c ⎧++=⎪⎨≠⎪⎩舍去或b c =，所以2e =. 解法二 设椭圆的左焦点为1F ，依题意，1OF OQ OF ==，故112OQ FF =，且O 为1FF的中点，因此1FFQ △为Rt △，且1π2F QF ∠=，即1F Q FQ ⊥，则1F Q 所在直线斜率为 cb ，所以()0Q b ，，则1FQF △为等腰直角三角形，故b c =，2c e a ===. 16. 解析 (1) πtan tanπ1tan 4tan 2π41tan 1tan tan 4A A A AA ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，得1tan 3A =. 2212sin 22sin cos 2tan 231sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15213A A A A A A A A A A ⨯====+++⨯+.(2) sin 10A =，cos 10A =.由正弦定理得，sin sin a b AB =，所以b AC ==，又()sin sin sin cos cos sin 210105C A B A B A B =+=+=+=⎝⎭，所以11sin 39225ABC S ab C ==⨯⨯=△. 17. 解析 (1)由题意知{}n a 是等比数列，12a =，2q =，所以2nn a =.当2n 时，()*231111111231n n b b b b n b n -++++=-∈-N ，所以11n n n b b b n +=-，所以11n n n b b n ++=，所以12112n n b b b n n+====+，又11b =，所以n b n =.（或采用累乘法） (2)212222n n T n =⨯+⨯++⋅，所以()21212122n n n T n n +=⨯++-⨯+⋅， 所以()()()2111212122222212212n n n n n n T n n n +++--=+++-⋅=-=---，所以()1122n n T n +=-+.18. 解析 (1) 记BC 中点E ，连AE ，DE ，1A E .因为AB AC =，所以AE BC ⊥，又1A E ⊥面ABC ，AE ⊂面ABC ，所以1AE A E ⊥，又1BCA E E =，所以AE ⊥面1A BC ，又1=//AA DE ，所以1AEDA 是平行四边形，所以1//AE A D ，所以1A D ⊥面1A BC .(2)作1A F DE ⊥，垂足F ，连BF .因为1A D ⊥面1A BC ，所以1BC A D ⊥，又1BC A E ⊥，111A EA D A =，所以BC ⊥面1A DE ，又1A F ⊂面1A DE ，所以1BC A F ⊥，又DEBC E =，所以1A F ⊥面11BB C C ，所以1A BF ∠是直线1A B 和平面11BB C C 所成的角.经计算得1A D =，14A B =，1A E =11142A E A D A F DE ⋅===，所以1112sin 4A F A BF A B ∠===.19. 解析 (1)设直线AP 的方程为：()y k x t =-，联立214y x =，得2104x kx kt -+=，由直线AP 与抛物线1C 相切知，0∆=，又0k ≠，求得k t =，因为12y x t '==，所以2x t =，2y t =，所以()22A t t ，.设()00B x y ，，代入圆222(1)1C x y ：，得20002x y y ，因为BP 为圆2C 的切线，所以21BP BC k k ⋅=-1==-，解得2221t y t =+，所以 0221tx t =+，所以2222211t t B t t ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. (2)B 到AP的距离2d ==12AB x =-=所以23111222PABS AB d t t =⋅==△. 20. 解析 (1) ()2221142a a f x x ax x ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，对称轴2a x =-.当12a -<-，即2a >时，()()21124a g a f ab a =-=-+=-+；当112a--，即22a-时，()12a g a f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；当12a ->，即2a <-时，()()2124a g a f a ==++ .综上所述，()22224122224a a a g a a a a a ⎧-+>⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪++<-⎪⎩，， ，.(2)假设()f x 在[]11-，上的零点0x ，则2000x ax b ++=，所以[]2200001124a a b x ax x x ⎛⎫=--=-++∈- ⎪⎝⎭，，，对称轴直线02a x =-.当12a-<-，即2a >时，11a b a ---，综合221a b a +，得b ∈Φ； 当102a--<，即02a <时，214a a b--，综合221a ba +，得b ∈Φ；当012a -，即20a -时，214a ab -，综合221a b a +，得3945b--当12a->，即2a <-时，11a b a ---，综合221a b a +，得b ∈Φ.综上所述，3945b--。
2015届高考数学大一轮复习 函数的基本性质精品试题 文(含2014模拟试题)
精品题库试题文数1.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 给定命题p：函数为偶函数；命题q：函数为偶函数，下列说法正确的是( )A．是假命题 B．是假命题C．是真命题 D．是真命题[解析] 1.因为且定义域关于原点对称，所以为偶函数，为真命题，若，则，所以为奇函数，为真命题，得为假命题.2.(河南省豫东豫北十所名校2014届高中毕业班阶段性检测(四)) 已知为偶函数，且在区间(1，+∞) 上单调递减，，，则有(A) a< b< c (B) b< c< a (C) c< b< a (D) a< c< b [解析] 2.因为为偶函数，所以，关于对称，由在区间(1，+∞) 上单调递减，得在区间上单调递增，因为，，所以.3.（重庆市名校联盟2014届高三联合考试）已知定义在R上的偶函数f(x) 满足f(x-4) =f(x), 且在区间[0,2]上f(x) =x，若关于x的方程有且只有三个不同的根，则a的范围为（）A. (2,4)B. (2, )C.D.[解析] 3.因为，所以函数的周期为4，又因为为偶函数，且时，，所以可以作出当时，的草图，如图所示，，再由关于的方程有三个不同根，可得，解得.4.(重庆市杨家坪中学2014届高三下学期第一次月考) 设函数，则下列结论错误的是（）A. D（x）的值域为{0,1}B. D（x）是偶函数C. D（x）不是周期函数D. D（x）不是单调函数[解析] 4.A、D项显然正确，若为有理数，则若为无理数，则所以D（x）是偶函数也是周期函数，故B正确，C错误.5.(重庆市杨家坪中学2014届高三下学期第一次月考) 下列区间中，函数，在其上为增函数的是（）A． B． C． D．[解析] 5.因为是增函数，所以只需求的增区间，将先关于轴对称得，然后向右平移2个单位得，最后将轴下方的关于对称得的图象如图所示，由图像可知在上为增函数.6.（江西省重点中学协作体2014届高三第一次联考）已知函数（k≠0），定义函数，给出下列命题：①函数是奇函数；②；③当k＜0，若mn＜0，m＋n＜0，总有成立，其中所有正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3[解析] 6.若，则，，若，则，，所以是奇函数，故①正确，若，则当时，，当时，，所以，故②错误，因为若mn＜0，m＋n＜0，所以不妨设，因为k＜0，所以当时，为减函数，所以，得，即，故③正确.7.(重庆一中2014年高三下期第一次月考) 定义在实数集函数满足，且为奇函数，现有以下三种叙述：（1）是函数的一个周期；（2）的图像关于点对称；（3）是偶函数. 其中正确的是（）A （2）（3） B （1）（2） C （1）（3） D （1）（2）（3）[解析] 7.因为，所以，的周期为4，又因为为奇函数，所以，即，，所以，即，奇函数，因为为奇函数，所以关于原点对称，则关于对称，根据周期为4得关于对称，所以（1）（2）（3）都正确.8.(山西省忻州一中、康杰一中、临汾一中、长治一中四校2014届高三第三次联考) 定义在上的函数满足且时，则( )A．-1 B．4/5 C．1 D．-4/5[解析] 8.由得，所以函数的周期为4，又因为，所以，由得。
2015年高考文科数学上海卷(含详细答案)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 . 9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14xy -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()si n f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++ 17．已知点A 的坐标为43,1（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A .33B .53C .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数.（Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分） 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，33(C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N . （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.1235cc⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x-+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.【考点】二元线性规划求目标函数最值.10.【答案】120122，数学试卷第7页（共21页）数学试卷 第10页（共21页）2123(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,6π.22x x x ===，，【提示】由正弦函数的有界性可得，对任意πsin 3OB θ⎛+ ⎝cosOP OR O∠88⎣⎦8831212OA d x y=13kx1221mxx kxk-1212k mx xk-=22212k m=+2222)(81)0m k S m++-=.(21212mk+【考点】椭圆的基本性质，直线与椭圆的关系数学试卷第13页（共21页）数学试卷第16页（共21页）。
2015届高考数学大一轮复习 三角函数的最值与综合应用精品试题 文(含2014模拟试题)
精品题库试题文数1.（重庆市名校联盟2014届高三联合考试）已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是( )A.B.C.D.[解析] 1.由正弦曲线知，在一个周期内，所以，所以，当或时，则可能为B和D中的值，由正弦曲线的图象可知，当时，也满足题意.2.(山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试) 函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位[解析] 2.由图象可知，所以，，将代入得，，，所以向左平移个单位得.3.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（）A．B．C．D．[解析] 3.由图像可知，函数的周期为4，即，又，，所以，，所以得4.（山东省济宁市2014届高三上学期期末考试）函数（）的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，则只需将的图象A. 向右平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向左平移个长度单位[解析] 4.由图象可知，所以，，，又因为，所以，由，令，，因为，所以向左平移个单位得.5.（重庆南开中学高2014级高三1月月考)函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则正实数的最小值是（）A、B、C、D、3[解析] 5.向右平移个单位得，由题意与原函数图像重合得，即，所以当6.(2013福建厦门一月质量检测，9,5分)已知函数，则下列判断正确的是( )A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于对称C．函数的图象关于直线对称D．将函数的图象向右平移个单位，得到函数y= 2sin2x的图象[解析] 6.函数的最小正周期为,所以A不正确；，所以B不正确，C正确；将函数的图象向右平移个单位，得到函数，所以D不正确.7.(2013吉林省普通中学一月期末，8,5分)设是正实数，函数在上是减函数，且有最小值1，那么的值可以是A．2 B．C．D．3[解析] 7.由题意得函数的周期,所以,所以A、D均不是；由题意得,所以,当时，，所以B是；当时，，所以C不是.8.(2013四川，6,5分) 函数f(x) =2sin(ωx+φ) 的部分图象如图所示, 则ω, φ的值分别是( )A. 2, -B. 2, -C. 4, -D. 4,[解析] 8.由图象可知=-⇒T=π, 则ω==2. 又图象过点, ∴f=2, 则2sin=2⇒sin=1, ∵-< φ< , ∴< +φ< ,故+φ=, 即φ=-. 故选A.9.(江苏省南京市、盐城市2014届高三第二次模拟) 函数f(x) ＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π) 的图象如下图所示，则f() 的值为▲．[解析] 9.由图象可知，得，则，将代入得，所以，.10.（江西省重点中学协作体2014届高三第一次联考）已知函数，等于抛掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则在上有偶数个零点的概率是．[解析] 10.当时，，由得，所以有1个零点，同理得当时，在上有3个零点，当时，在上有4个零点，当时，在上有5个零点，当时，在上有7个零点，当时，在上有8个零点，所以概率为. 11.(2013年皖南八校高三第三次联考，13,5分) 将函数的图像向右平移个长度单位后，所得图像经过点，则实数的最小值是 . [解析] 11.将函数的图像向右平移个长度单位后，得函数的图象，所以，即，所以，所以，所以，由于，所以实数的最小值是.12.(2013年河南省十所名校高三第三次联考，15,5分) 已知函数，若存在，使，则实数a的取值范围是_____.[解析] 12. 令，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以，所以实数a的取值范围是.13.(2013年辽宁五校协作体高三第二次模拟，15,5分) 给出下列命题：① 存在实数，使；② 若、是第一象限角，且> ，则cos< cos；③ 函数是偶函数；④ A、B、C为锐角的三个内角，则其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）[解析] 13.①中，，所以①不正确；②中，当，时，满足> ，且、是第一象限角，而，，但是cos=cos，所以②不正确；③中，，定义域是R，，所以函数是偶函数，所以③正确；④中，由于是锐角三角形，所以均是锐角，且，所以，所以有，又函数在上是增函数，所以，所以，所以④正确.14.(2013北京海淀区5月模拟卷，13,5分) 已知函数的图象经过点，则= ，在区间上的单调递增区间为________[解析] 14.由题意得，所以，所以，又，所以，所以，解得，所以，当时，，令，解得，所以在区间上的单调递增区间为.15.(2013江西，13,5分) 设f(x) =sin 3x+cos 3x, 若对任意实数x都有|f(x) |≤a, 则实数a的取值范围是.[解析] 15.由辅助角公式得f(x) =2sin 3x+cos 3x=2sin. 由a≥|f(x) |恒成立得a≥|f(x) |max,而|f(x) |=2sin≤2, ∴a≥2.16.(安徽省合肥市2014届高三第二次教学质量检测) 如图，（I）求函数f（x）的解析式；（II）求函数f（x）在上的值域[解析] 16.（1）依题意，所以，所以，代入得，所以，得，因为，所以，（2）因为，所以，所以，，所以函数在上的值域为.17.（河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研）函数（其中）的图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图像.（1）若直线与函数图像在时有两个公共点，其横坐标分别为，求的值；（2）已知内角的对边分别为，且. 若向量与共线，求的值．[解析] 17.（1）由函数的图象，，得，又，所以由图像变换，得由函数图像的对称性，有（2）∵ ，即∵ ，，∴，∴ ．∵ 共线，∴ ．由正弦定理，得①∵ ，由余弦定理，得，②解方程组①②，得．18.(2013广东珠海市高三一月期末，16,12分）设向量a＝，b＝，θ为锐角．（1）若a•b＝，求sinθ＋cosθ的值；（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．18.19.(2013山东省济宁市一月期末，17,12分）已知函数（I）求函数的最小正周期和单调递增区间；（II）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.19.20.(2013北京海淀区三月模拟题，15,13分）已知函数. （Ⅰ）求的值和的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.20.21.(2013北京西城区高三三月模拟，15，13分）已知函数的一个零点是．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设，求的单调递增区间．21.22.(2013年皖南八校高三第三次联考，16,12分) 已知函数，（1）试说明函数的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到的；（2）若函数，试写出函数的单调区间.22.23.(2013年湖北七市高三4月联合考试，18,12分)已知向量，，设函数．(I) 求的最小正周期与单调递增区间；(Ⅱ) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，ΔABC的面积为，求a的值.23.24.(2013年东北三校高三第二次联合考试，17,12分）已知函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.（Ⅰ）求函数的解析式和最小正周期；（Ⅱ）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，求得值.24.25.(2013年山东省高三4月巩固性练习，17,12分)设函数(其中＞0) ，且函数f(x) 图象的两条相邻的对称轴间的距离为.（1）求ω的值；（2）将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间的最大值和最小值.25.26.（2013年四川成都高新区高三4月模拟，16,12分）已知向量，，，函数的最大值为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．26.27.(2013年天津市高三第六次联考，15,13分）已知锐角ABC三个内角分别为A, B, C，向量与向量，且.(Ⅰ) 求C的值；(Ⅱ) 求函数的值域.27.28.(2013湖南，16,12分)已知函数f(x)=cos x·cos.(Ⅰ) 求f的值;(Ⅱ) 求使f(x) < 成立的x的取值集合.28.29.(2013陕西，16,12分)已知向量a=, b=(sin x, cos 2x), x∈R, 设函数f(x) =a·b.(Ⅰ) 求f(x) 的最小正周期;(Ⅱ) 求f(x) 在上的最大值和最小值.29.30.(2013安徽，16,12分)设函数f(x) =sin x+sin.(Ⅰ) 求f(x) 的最小值, 并求使f(x) 取得最小值的x的集合;(Ⅱ) 不画图, 说明函数y=f(x) 的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变化得到.30.31.(2013辽宁，17,12分)设向量a=(sin x, sin x), b=(cos x, sin x), x∈.(Ⅰ) 若|a|=|b|, 求x的值;(Ⅱ) 设函数f(x) =a·b, 求f(x) 的最大值.31.32.(2013北京，15,13分)已知函数f(x) =(2cos2x-1) sin 2x+cos 4x.(Ⅰ) 求f(x) 的最小正周期及最大值;(Ⅱ) 若α∈, 且f(α) =, 求α的值.32.答案和解析文数[答案] 1.A[解析] 1.由正弦曲线知，在一个周期内，所以，所以，当或时，则可能为B和D中的值，由正弦曲线的图象可知，当时，也满足题意.[答案] 2.B[解析] 2.由图象可知，所以，，将代入得，，，所以向左平移个单位得.[答案] 3. D[解析] 3.由图像可知，函数的周期为4，即，又，，所以，，所以得[答案] 4.D[解析] 4.由图象可知，所以，，，又因为，所以，由，令，，因为，所以向左平移个单位得.[答案] 5.C[解析] 5.向右平移个单位得，由题意与原函数图像重合得，即，所以当[答案] 6.C[解析] 6.函数的最小正周期为,所以A不正确；，所以B不正确，C正确；将函数的图象向右平移个单位，得到函数，所以D不正确.[答案] 7.B[解析] 7.由题意得函数的周期,所以,所以A、D均不是；由题意得,所以,当时，，所以B是；当时，，所以C不是.[答案] 8. A[解析] 8.由图象可知=-⇒T=π, 则ω==2. 又图象过点, ∴f=2, 则2sin=2⇒sin=1,∵-< φ< , ∴< +φ< , 故+φ=, 即φ=-. 故选A.[答案] 9.1[解析] 9.由图象可知，得，则，将代入得，所以，.[答案] 10.[解析] 10.当时，，由得，所以有1个零点，同理得当时，在上有3个零点，当时，在上有4个零点，当时，在上有5个零点，当时，在上有7个零点，当时，在上有8个零点，所以概率为. [答案] 11.[解析] 11.将函数的图像向右平移个长度单位后，得函数的图象，所以，即，所以，所以，所以，由于，所以实数的最小值是.[答案] 12.[解析] 12. 令，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以，所以实数a的取值范围是.[答案] 13. ③④[解析] 13.①中，，所以①不正确；②中，当，时，满足> ，且、是第一象限角，而，，但是cos=cos，所以②不正确；③中，，定义域是R，，所以函数是偶函数，所以③正确；④中，由于是锐角三角形，所以均是锐角，且，所以，所以有，又函数在上是增函数，所以，所以，所以④正确.[答案] 14.；[解析] 14.由题意得，所以，所以，又，所以，所以，解得，所以，当时，，令，解得，所以在区间上的单调递增区间为.[答案] 15. [2, +∞)[解析] 15.由辅助角公式得f(x) =2sin 3x+cos 3x=2sin. 由a≥|f(x) |恒成立得a≥|f(x) |max,而|f(x) |=2sin≤2, ∴a≥2.[答案] 16.（答案详见解析）[解析] 16.（1）依题意，所以，所以，代入得，所以，得，因为，所以，（2）因为，所以，所以，，所以函数在上的值域为.[答案] 17.详见解析[解析] 17.（1）由函数的图象，，得，又，所以由图像变换，得由函数图像的对称性，有（2）∵ ，即∵ ，，∴，∴ ．∵ 共线，∴ ．由正弦定理，得①∵ ，由余弦定理，得，②解方程组①②，得．[答案] 18.解法一（1）a•b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝，所以，又θ为锐角，所以，所以，所以．……………… 6分（2）因为a∥b，所以，所以tanθ＝2，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝，所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ＝．……………… 12分解法二（1）同解法一（2）因为a∥b，所以，解方程组得或（舍去）又θ为锐角，所以，所以所以sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝＝，所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ＝．……………… 12分18.[答案] 19.（I），∴函数的最小正周期.令，整理得，∴函数的单调递增区间是. …………6分（II）由（I）知，将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得函数的图象，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到的图象，∴.当时，，此时，所以，即函数在区间上的值域是. ………………. 12分19.[答案] 20.（I），所以，的周期为. ………………9分（II）当时，，则，所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值. ………………13分20.[答案] 21.（Ⅰ）由题意得，所以，即，解得．…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得．．令，．整理得，所以的单调递增区间为，．…………13分21.[答案] 22.，…………………5分(1) 变换的步骤是：方法一①将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) ，得到函数的图像；③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变) ，得到函数的图像．…………………8分方法二①将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变) ，得到函数；②再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；③最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变) ，得到函数的图像．…………………8分(2) 由(1) 知，，则．令，解得；令，解得.所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．…………………12分22.[答案] 23.（Ⅰ），∴的最小正周期，令，解得，∴的单调递增区间为. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，∴ΔABC的面积为，∴，在中，由余弦定理得，. …………………… 12分23.[答案] 24.（Ⅰ），∴函数的最小正周期. ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，∴，由正弦定理得，,∴，. ……1 2分24.[答案] 25.（1）=.∵函数f(x) 图象的两条相邻的对称轴间的距离为，∴函数f(x) 的最小正周期, ∴.∴. ………………………………6分（2）由（1）得，∴.∵x，∴，∴当，即x=时，取最大值;当，即x=时，取最小值.即函数在区间的最大值是2，最小值是1. …………12分25.[答案] 26.（Ⅰ），又，所以函数的最大值为A，所以．……………………. …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以=，又，所以，所以，所以在上的值域为．......................... …12分26.[答案] 27.(Ⅰ) ，，∴，∴，∴，∴，又C是锐角，∴，∴，∴C＝. …………………….. 6分(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，，∴，，∴，又，∴，∴，∴，∴函数的值域是. (13)分27.[答案] 28.(Ⅰ) f=cos·cos=-cos·cos=-=-.(Ⅱ) f(x) =cos x·cos=cos x·=cos2x+sin xcos x=(1+cos 2x) +sin 2x=cos+.f(x) < 等价于cos+< ,即cos< 0. 于是2kπ+< 2x-< 2kπ+, k∈Z. 解得kπ+< x< kπ+, k∈Z.故使f(x) < 成立的x的取值集合为x kπ+< x< kπ+, k∈Z28.[答案] 29.f(x) =·(sin x, cos 2x)=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=cos sin 2x-sin cos 2x=sin.(Ⅰ) f(x) 的最小正周期为T===π,即函数f(x) 的最小正周期为π.(Ⅱ) ∵0≤x≤,∴-≤2x-≤. 由正弦函数的性质,当2x-=, 即x=时, f(x) 取得最大值1.当2x-=-, 即x=0时, f(0) =-,当2x-=π, 即x=时, f=,∴f(x) 的最小值为-.因此, f(x) 在上最大值是1, 最小值是-.29.[答案] 30.(Ⅰ) 因为f(x) =sin x+sin x+cos x=sin x+cos x=sin,所以当x+=2kπ-, 即x=2kπ-(k∈Z) 时, f(x) 取最小值-.此时x的取值集合为 .(Ⅱ) 先将y=sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变), 得y=sin x 的图象; 再将y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位, 得y=f(x) 的图象.30.[答案] 31.(Ⅰ) 由|a|2=(sin x) 2+(sin x) 2=4sin2x,|b|2=(cos x) 2+(sin x) 2=1, 及|a|=|b|, 得4sin2x=1.又x∈, 从而sin x=, 所以x=. (6分)(Ⅱ) f(x) =a·b=sin x·cos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,当x=∈时, sin取最大值1.所以f(x) 的最大值为. (12分)31.[答案] 32.(Ⅰ) 因为f(x) =(2cos2x-1) sin 2x+cos 4x =cos 2xsin 2x+cos 4x=(sin 4x+cos 4x)=sin,所以f(x) 的最小正周期为, 最大值为.(Ⅱ) 因为f(α) =, 所以sin=1.因为α∈,所以4α+∈.所以4α+=. 故α=.32.。
高考数学模拟试题（五）
一、选择题1.设集合M ={}|x x 2-x -6<0，N ={}x |2x ≥4，则M ⋂N =().A.∅B.(]-2，2C.[]2，3D.[)2，32.设复数z 满足1+z 1-z=i ，则|z |=().A.1B.2C.3D.23.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图1（1）（2）（3）（4）所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是().图1A.r 4<r 2<0<r 1<r 3B.r 2<r 4<0<r 1<r 3C.r 2<r 4<0<r 3<r 1D.r 4<r 2<0<r 3<r 14.已知函数f (x )=x 2+2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是().A. B.C. D.5.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-4在x =2处取得极值，若m ∈[-1,1]，则f (m )的最小值为().A.-4 B.-2C.0 D.26.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中E 为棱BB 1的中点(如图2)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为().7.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ()3,0，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB的中点坐标为()1,-1，则E 的方程为().A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=18.函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间(π6,π2)上是减函数，则a 的取值范围是().A.(2,4)B.(]-∞,2C.(]-∞,4D.[)4,+∞9.某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，...，220；女生380人，学籍编号为221，222， (600)为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是().A.15B.310C.710D.4510.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x ,y ；再统计x ，y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对()x ,y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是m =35，那么可以估计π的值约为().梅涛图2A. B.C.D.56A.227B.4715C.5116D.19611.已知数列{}a n 满足a 1=1，a n ∙a n +1=2n (n ∈N *)，则S 2019等于().A.22019-1B.3×21010-3C.21011-3D.3×21010-212.已知f ()x =ln ()x 2+1-x ，不等式f ()a x 2+1+f ()x 2+2≤0对x ∈R 成立，则a 的取值范围为().A.[)-2,+∞B.[)2,+∞C.(]-∞,2 D.(]-∞,-2二、填空题13.∫-11e ||x d x 值为.14.已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n =32+a ∙3n ，则S 6S 3=.15.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2-x 2=1相交于A ,B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p =.16.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图3A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”，如图3A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图3B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：C rn+C r +1n=Cr +1n +1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是.图3三、解答题(一)必考题17.在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知sin A cos B sin B cos A=2c -b b .(1)求A ；(2)设AC =2，点D 在AB 上，且AD =3DB ，若△BCD 的面积为3，求BC 的长.18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择；方案甲：：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元.方案乙：：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获奖金400元.(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？19.如图4，在四棱锥S -ABCD中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，△SAB 是等边三角形，侧面SAB ⊥底面ABCD ，AB =23，BC =3，AD =1，点M 、点N 分别在棱SB 、棱CB 上，BM =2MS ，BN =2NC ，点P 是线段MN 上的任意一点.(1)求证：AP ∥平面SCD ；(2)求二面角S -CD -B 的大小.20.已知动圆P 经过点N ()1,0，并且与圆M :(x +1)2+y 2=16.相切.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G ()m ,0为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点，当k 为何值时？ω=|GA |2+|GB |2是与m 无关的定值，并求出该值定值.21.设函数f (x )=ax 2ln x +b (x -1)，曲线y =f (x )过点(e ,e 2-e +1)，且在点(1,0)处的切线方程为y =0.(1)求a ,b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )≥(x -1)2；图457(3)若当x ≥1时，f (x )≥m (x -1)2恒成立，求实数m的取值范围.(二)选考题22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:ìíîx =t cos α,y =t sin α,(t 为参数,且t ≠0),其中0≤α<π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=23cos θ.(Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标；(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求||AB 最大值.23.已知函数f (x )=|x -2a |-|x -a |，a ∈R ．(Ⅰ)若f (1)>1，求a 的取值范围；(Ⅱ)若a <0，对∀x ,y ∈(-∞,a ]，都有不等式f (x )≤|y +2020|+|y -a |恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析一、选择题1-12DACAA CDBDD CA 二、填空题13.2e -2；14.28；15.23；16.1C 1n +1C r n =1C 1n +2C r n +1+1C 1n +2C r +1n +1.三、解答题(一)必考题17.解：(1)∵sin A cos B sin B cos A=2c -b b ，∴sin A cos B sin B cos A =2sin C -sin B sin B，∴sin A cos B cos A=2sin C -sin B ，∴sin A cos B =2sin C cos A -sin B cos A ，∴sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴sin ()A +B =2sin C cos A ，∴sin C =2sin C cos A ，又∵C ∈()0,π，∴sin C ≠0，∴cos A =12，且A ∈()0,π，∴A =π3.(2)∵AD =3DB ，∴S △ABC =4S △BDC ，∵S △BDC =3，∴S △ABC =43=2，∴12bc sin A =43，即12×2c =43，∴c =8，∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，∴a 2=64+4-2×8×2cos π3，∴a =213.18.解：(1)P ()X =0=15+45×12×15=725，P ()X =500=45×12=25，P ()X =1000=45×12×45=825.所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金X (元)的分布列为：X P725500251000825(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X 的均值E ()X =500×25+1000×825=520，若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B æèöø3,25，则E ()ξ=3×25=65，抽奖所获奖金X 的均值E ()X =E ()400ξ=400E ()Eξ=480，故选择方案甲较划算.19.解：(1)连接AM ,AN ，由BM =2MS ，得MN ∥SC ，MN ∥平面SCD ，且NC =13BC =1=AD ，又AD ∥BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，故AN ∥DC ，AN ∥平面SCD ，又MN ⋂AN =N ，面AMN ∥面SCD ，又AP ⊆面AMN ，∴AP ∥平面SCD .(2)如图5，以AB 中点O 为原点，AB 中垂线为z 轴，直线BC 为x 轴，过O 与BC 平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系,则面BCD 的其中一个法向量为 n 1=(0,0,1)，设面SCD 的一个法向量n 2=(x ,y ,z )，又S (0,0,3)，D (3,1,-3)，C (-3,3,0)，所以 SD =(3,1,-3)， CD =(23,-2,0)，ìíî SD ⋅n 2=0, CD ⋅ n 2=0,⇒ìíîïï3x +y -3z =0,3x -2y =0,令y =1得， n 23)，则|cos < n 1, n 2>|=| n 1⋅ n 2|| n 1|| n 2|=||||||||||231⋅43=12，故二面角S -CD -B 的大小为π3.图55820.解：(1)由题设得：|PM |+|PN |=4，∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，∵2a =4，2c =2，∴b =a 2-c 2=3，∴椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),G (m ,0)(-2<m <2)，直线l ：y=k (x -m )，由ìíîïïy =k ()x -m ,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2mx +4k 2m 2-12=0，x 1+x 2=8mk 24k 2+3，x 1∙x 2=4k 2m 2-124k 2+3，∴y 1+y 2=k ()x 1-m +k ()x 2-m =6mk 4k 2+3．y 1∙y 2=k 2()x 1-m ()x 2-m =3k 2()m 2-44k 2+3．∴||GA |2+GB |2=(x 1-m )2+y 12+(x 2-m )2+y 22=()k 2+1-6m 2()4k 2-3+24()3+k 2()4k2+32．∵ω=|GA 2|2的值与m 无关，∴4k 2-3=0，解得k =.此时ω=|GA |2+|GB |2=7．21.解：(1)由题意可知，f ()x =ax 2ln x +b ()x -1定义域为x >0,即x ∈()0,∞,f ′()x =2ax ln x +ax +b ,(x >0)，∵f ′()1=a +b =0，f ()e =ae 2+b ()e -1=a ()e 2-e +1=e 2-e +1，∴a =1,b =-1．(2)f ()x =x 2ln x -x +1，设g ()x =x 2ln x +x -x 2，()x ≥1，g ′()x =2x ln x -x +1，由()g ′()x ′=2ln x +1>0，g ′()x 在[)1,+∞上单调递增，∴g ′()x ≥g ′()1=0，g ()x 在[)1,+∞上单调递增，g ()x ≥g ()1=0．∴f ()x ≥()x -12．(3)设h ()x =x 2ln x -x -m ()x -12+1,()x ≥1，h ′()x =2x ln x +x -2m ()x -1-1，由(2)中知x 2ln x ≥()x -12+x -1=x ()x -1，x ln x ≥x -1，∴h ′()x ≥3()x -1-2m ()x -1=()3-2m ()x -1，当3-2m ≥0即m ≤32时，h ′()x ≥0，所以h ()x 在[)1,+∞单调递增，∴h ()x ≥h ()1=0，成立．当3-2m <0即m >32时，h ′()x =2x ln x +(1-2m )(x-1)(h ′()x )′=2ln x +3-2m ，令()h ′()x ′=0，得x 0=e 2m -32>1，当x ∈[]1,x 0时，h ′()x 单调递减，则h ′()x <h ′()1，所以h ()x 在[)1,x 0上单调递减，所以h ()x <h ()1=0，不成立．综上，m ≤32．(二)选考题22.解：(Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y =0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-23．联立ìíîx 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-23x =0,解得{x =0,y =0,或ìíîïïx y =32,所以C 2与C 1交点的直角坐标为(0,0)和32)．(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0)，其中0≤α<π．因此A 得到极坐标为(2sin α,α)，B 的极坐标为．所以||AB =||2sin α-23cos α=4||||||sin(α-π3)，当α=5π6时，||AB 取得最大值，最大值为4．23.解：(Ⅰ)由题意知，f (1)=|1-2a |-|1-a |>1，若a ≤12，则不等式化为1-2a -a +a >1，解得a <-1；若12<a <1，则不等式化为2a -1-(1-a )>1，解得a >1，即不等式无解；若a ≥1，则不等式化为2a -1+1-a >1，解得a >1，综上所述，a 的取值范围是(-∞,-1)⋃(1,+∞)；(Ⅱ)由题意知，要使得不等式f (x )≤|y +2020|+|y -a |恒成立，只需[f (x )]max ≤[|y +2020|+|y -a |]min ，当x ∈(-∞,a ]时，|x -2a |-|x -a |≤-a ，[f (x )]max =-a ，因为|y +2020|+|y -a |≥|a +2020|，所以当(y +2020)(y -a )≤0时，[|y +2020|+|y -a |]min =|a +2020|，即-a ≤|a +2020|，解得a ≥-1010，结合a <0，所以a 的取值范围是[-1010,0].59。
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【考点】1D：并集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=﹣2．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共30页）数学试卷 第2页（共30页）数学试卷 第3页（共30页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（文科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|}32,A x x n n ==+∈N ,{6,8,10,12,14}B =,则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22．已知点0,1A （），3,2B （），向量AC =43--（，），则向量BC =（ ）A （-7，-4）B ．（7，4）C ．（-1，4）D ．（1，4） 3．已知复数z 满足（z -1）i=1+i ，则z=（ ）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A．310B ．15C ．110D ．1205．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线28C y x =：的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为n {}a 的前n 项和.若844S S =，则10a = （ ）A ．172B ．192C ．10D ．128．函数=cos(+)x f x ωϕ（）的部分图象如图所示，则f x （）的单调递减区间为 （ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）, C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = （ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．已知函数1222, 1,()log (1), 1,x x f x x x -⎧-=⎨-+⎩≤＞且()3f a =-，则(6)f a -= （ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16π20＋，则r = （ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，且(2)(4)f f -+-1=，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共30页）数学试卷 第5页（共30页）数学试卷 第6页（共30页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．在数列{}n a 中12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n =_____.14．已知函数31f x ax x =++（）的图象在点1,1f (())处的切线过点(2,7)，则a =_____. 15．若x ，y 满足约束条件20,210,220,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≤≤≥则z 3x y =+的最大值为_____.16．已知F 是双曲线2218yC x -=：的右焦点，P 是C 的左支上一点，0,66A （）.当APF △周长最小时，该三角形的面积为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （Ⅰ）若a b =，求cos B ；（Ⅱ）若B =90°，且2a =，求ABC △的面积. 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若ABC ∠=120°，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188ii=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22 ()2(3)1C x y -+-=：交于M ，N 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN . 21．（本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，()22ln f x a a a+≥.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a --+（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集； （Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.3 / 102015年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷{8,14A B =【答案】A 【解析】(3,1)AB OB OA =-=(7,BC AC AB ∴=-=-，故选A.【考点】向量运算 【答案】C【解析】(1)i 1i z -∴=+，22i (12i)(i)2i i z +-==--∴=【解析】抛物线，1e 2c a ==的方程解得(2,3)A -数学试卷 第10页（共试卷 第11页（共30页）数学试卷 第12页（共30页）【解析】()f a =-5 / 10第Ⅱ卷【解析】12a =，64，6n ∴=【考点】等比数列定义与前【答案】1【解析】()3f x '=又(1)f a =切线过(2,7)，∴【考点】利用导数的几何意义求函数的切线，常见函数的导数【答案】4平移直线l ，当直线数学试卷 第16页（共30页） 数学试卷 第17页（共30页）数学试卷 第18页（共30页）(0,66)A ∴直线AF 66y =或22APF S ∴=△22ac .，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac； 22ac .因为90B ，由勾股定理得222a c b ，故222a c ac ，得2c a ，所以先由正弦定理将22sin B A =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边B 22ac ，根据勾股定理即可求出7 / 10ACBD ，因为BE平面ABCD AC BE ，故AC 平面BED AEC平面BED （Ⅱ）设AB x ，在菱形中，由120ABC ，可得32AG GC x ，2x GB GD . 因为AE EC ⊥，所以在可得32EG x ，由BE 平面ABCD EBG △为直角三角形，22BEx ，由已知得，E ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x，故2x ，从而AE EC ==EAC 的面积为3，EAD △的面积与ECD △的面积均为5. 故三棱锥EACD 的侧面积为5.（Ⅰ）由四边形AC BD ，由BE平面ABCD 知ACBE ，由线面垂直判定定AC平面BED ，由面面垂直判定定理知AEC 平面BED ；AB x ，通过解直角三角形将，GC ，GB ，GD 用x 表示出来，AEC △中，根据条件三菱锥EACD 的体积为x ，即可求出三菱锥E ACD 的侧面积. 【考点】线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，三棱锥的体积与表面积的计算（Ⅰ）由散点图可判断，关于年宣传费用c y dw ∴=-（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当576.60.2z =⨯（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值0.2(100.6z =13.62x =时，z 取得最大值，故宣传费用为【提示】（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；关于w 的线性回归方程，即可的回归方程先求出年销售量数学试卷 第22页（共30页） 数学试卷 第23页（共30页）数学试卷 第24页（共30页）1ykx ，因为l 231|11k k，474733k，所以k 的取值范围是4747,33.（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1ykx 代入方程22(2)(3)1x y ，22(1)4(1)70k xk x ，所以1224(1)1k x x k ，12271x x k . 21212121224(1)y (1)()181k k OM ONx x y k x x k x x k ，由题设可得24(1)8=121k k k ，解得所以l 的方程为1y kx ，故圆心在直线l 上，所以||2MN =.【提示】（Ⅰ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于的不等式，即可求出值范围；（Ⅱ）设()M x (,)N x y 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON =列出关于(0,)，2()=2(0)xaf x e x x. 0a 时，()0f x ，()f x 没有零点，当0a 时，因为2e x 单调递增，ax单调递增，()f x 在(0,)单调递增，又()0f a ，当b 满足04a b 且14b 时，(b)0f ，故当0a 时，()f x 存在唯一零点；（Ⅱ）由（Ⅰ），可设()f x 在(0,)的唯一零点为0x ，当0(0,)x x 时，()0f x ，当0(,)x x 时，()0f x ，)单调递减，在0(,)x 单调递增，所以当0xx 时，()f x 取得最小值，最小值为(f 0=0a x ，所以0022()=2ln2ln2a f x ax a a a x aa ，故当0a 时，2()2ln f x a a a. 【提示】（Ⅰ）先求出导函数，分0a 与0a 考虑()f x 的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设()f x 在(0,)的唯一零点为0x ，根据()f x 的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a，即证明了所证不等式，90ACB∠+，90∴∠，90，DE∴1=，12BE=-，由射影定理可得，CE BE，2x，解得60.90，即90∠，所以，设AE=，由勾股定理得CE BE，列出关于的方程，解出x，即可求出ACB∠【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理cosxρθ=40+=；（Ⅱ）将2=，|MN1452=.（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得π代入9/ 10数学试卷第28页（共30页）数学试卷第29页（共30页）数学试卷第30页（共30页）。
高考数学模拟试题（五）
图1一、单项选择题1.已知集合A ={}x |-1≤x ≤2，B ={}0,2,4，则A ⋂B =（）.A.{}0,2,4 B.{}0,2C.{}x |0≤x ≤4 D.{}x |-1≤x ≤2或x =42.设i 是虚数单位，z ()1+i =i ，则||z =（）.A.12B.1C. D.23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A ()4,3，B ()-1,3，则∠AOB 的余弦值为（）.A. B.C. D.4.已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）.A.若α//β，a ⊂α，b ⊂β，则a //bB.若a ⊂α，b ⊂β，a //b ，则α//βC.若α⋂β=a ，b ⊂β，b ⊥a ，则α⊥βD.若α⋂β=l ，α⊥β，a ⊂α，a ⊥l ，a //b ，则b ⊥β5.在五边形ABCDE 中 EB =a ，AD =b，M ，N 分别为AE ，BD 的中点，则MN =（）.A.32a +12b B.23a+13b C.12a +12b D.34a+14b 6.命题p :关于x 的不等式ax 2+ax -x -1<0的解集为()-∞,-1⋃æèöø1a ,+∞的一个充分不必要条件是（）.A.a ≤-1B.a >0C.-2<a <0D.a <-27.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（）.A.112B.13C.12 D.348.若不等式m cos x -cos 3x -18≤0对任意x ∈æèöø0,π2恒成立，则实数m 的取值范围是（）.A.æèùû-∞,-94 B.(]-∞,-2C.æèùû-∞,94 D.æèùû-∞,98二、多选题9.已知0<log 12a <log 12b <1，则下列说法正确的是（）.A.1>a 2>b 2>14B.2>1a >1b >1C.a b -1>b a -1D.1e>e -b >1e 10.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图1所示，则下列结论正确的是（）.A.f (x )的最小正周期为2B.把y =f (x )图象上所有点向右平移π12个单位长度后得到函数g (x )=2cos 2x 的图象C.f (x )在区间［π2,11π12］上单调递减D.（π6,0）是y =f (x )图象的一个对称中心11.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列{}a n ：0.4，0.7，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A .U .为单位).现将数列{}a n 的各项乘以10后再减4，得到数列{}b n ，可以发现数列{}b n 从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）.A.数列{}b n 的通项公式为b n =3×2n -2B.数列{}a n 的第2021项为0.3×22020+0.4C.数列{}a n 的前n 项和S n =0.4n +0.3×2n -1-0.3D.数列{}nb n 的前n 项和T n =3()n -1∙2n -112.在一张纸上有一圆C :()x +22+y 2=r 2()r >0与点M ()m ,0()m ≠-2，折叠纸片，使圆C 上某一点M ′好与点M 重合，这样的折法每次都会留下一条直线折世世世世世世世世世世世世世世世世世53高考链接痕PQ ，设折痕PQ 与直线M ′C 的交点为T ，则下列说法正确的是（）.A.当-2-r <m <-2+r 时，点T 的轨迹为椭圆B.当r =1，m =2时，点T 的轨迹方程为x 2-y 23=1C.当m =2，1≤r ≤2时，点T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[]2,4D.当r =22，m =2时，在T 的轨迹上任取一点S ，过S 作直线y =x 的垂线，垂足为N ，则△SON （O 为坐标原点)的面积为定值三、填空题13.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X ~N ()100,225.若成绩低于m +10的同学人数和高于2m -20的同学人数相同，则整数m 的值为_______.14.已知抛物线x 2=4y ，其准线与y 轴交于点P ，则过点P 的抛物线的切线方程为_______.15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，其中A =π3，b +c =4，M 为线段BC 的中点，则||AM 的最小值为_______.16.已知四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PA =PB =PC =PD ，AB =2，若四棱锥P -ABCD 的体积为43，则以点P 为球心，以2为半径的球的表面与四棱锥侧面PAB 交线的长度约为_______，该四棱锥P -ABCD 外接球的体积为_______.(参考数据tan 35°≈).四、解答题17.在①S 8=72，②S 5=6a 2，③S 6=S 4+a 5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=6，________．若数列{b n }满足b n =2a n ，求数列{a n +b n }的前n 项和T n .18.已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 4=S 5=-20.（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）已知数列{}b n 是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{}a n 与{}b n 的公共项为a m ，记m 由小到大构成数列{}c n ，求{}c n 的前n 项和T n .19.如图2，已知圆台O 1O 的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为π3，AA 1，BB 1为母线，平面AA 1O 1O ⊥平面BB 1O 1O ,M 为BB 1的中点，P 为AM 上的任意一点.（1）证明：BB 1⊥OP ；（2）当点P 为线段AM 的中点时，求平面OPB 与平面OAM 所成锐二面角的余弦值.图220.机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份违章驾驶员人数112021053100495580(1)请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y =b x +a ；(2)预测该路口9月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数；(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：驾龄不超过1年驾龄1年以上不礼让行人2416礼让行人1614能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？参考公式和数据：k 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(b +d )(其中n =a +b +c +d )．P (k 2≥k 0)k 00.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.63521.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆的左、右焦点F 1，F 2分别作倾斜角为π3的两条直线，且这两条直线之间的距离为3.54高考链接(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图3，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．过点A 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于点Q ，求证：直线QB 过定点．图322.已知函数f (x )=e x-1，g (x )=a sin x ，a ∈R .(1)若a =-1，证明：当x ≥0时，f (x )≥g (x )；(2)讨论φ(x )=f (x )-g (x )在x ∈[0，π]上零点的个数．参考答案及解析一、单项选择题1-8BCCDC DDA二、多项选择题9.ACD ；10.CD ；11.CD ；12.ACD.三、填空题；14.x -y -1=0,或x +y +1=0；15.3；16.；9π2.四、解答题17.解：选择①，设公差为d ，因为S 8=72，a 3=6，所以ìíî8a 1+28d =72,a 1+2d =6,解得ìíîa 1=2,d =2,所以a n =2n .因为b n =2a n ，所以b n =22n =4n ，a n +b n =2n +4n ，T n =2(1+2+...+n )+41+42+ (4)=n (n +1)+4(1-4n )1-4=43(4n -1)+n (n +1)=4n +13+n 2+n -43.选择②，设公差为d ，因为S 5=6a 2，所以5a 3=6a 2.因为a 3=6，所以a 2=5，所以d =1，所以a n =n +3.因为b n =2a n ，所以b n =2n +3=8×2n ，所以a n +b n =8×2n +n +3，T n =8(21+22+…+2n )+(1+2+…+n )+3n=8×2(1-2n )1-2+n (n +1)2+3n=16(2n -1)+n (n +1)2+3n =2n +4+12n 2+72n -16.选择③，设公差为d ，因为S 6=S 4+a 5，可得S 6-S 4=a 5，即a 6+a 5=a 5，所以a 6=0.因为a 3=6，所以d =-2，所以a n =-2n +12.因为b n =2a n ，所以b n =2-2n +12=212×2-2n ，T n =-2(1+2+…+n )+12n +212×(4-1+4-2+…+4-n )=-n (n +1)+12n +212×(14+142+…+14n )=2123[1-(14)n]-n 2+11n .18.解：（1）设等差数列{}a n 的公差为d ，因为S 4=S 5=-20,所以a 5=S 5-S 4=0.因为S 5=5a 3=-20,所以a 3=-4,所以d =a 5-a35-3=2，所以a n =a 5+()n -5d =2n -10.（2）由题意知b n =4×4n -1=4n .因为a m =2m -10,所以2m -10=4n ,m =4n+102.因此c n =4n +102=4n2+5.所以T n =42+5+422+5+432+5+⋯+4n 2+5=23×4n +5n -23.19.（1）证明：过点B 1作平面AOB 的垂线，垂足为C ，如图4，则C 是OB 的中点，所以BC =1.又∠OBB 1=π3,所以BB 1=2.连接OB 1,因为BB 1=OB =2，所以△OBB 1为等边三角形.因为点M 为BB 1的中点，所以BB 1⊥OM .因为平面AA 1O 1O ⊥平面BB 1O 1O ，平面AA 1O 1O ⋂平面BB 1O 1O =OO 1,且AO ⊥OO 1,AO ⊂平面AA 1O 1O ,所以AO ⊥平面BB 1O 1O .因为BB 1⊂平面BB 1O 1O ,所以AO ⊥BB 1.又因为AO ⋂OM =O ,AO ⊂平面OMA ,OM ⊂平面OMA ，所以BB 1⊥平面OMA .因为OP ⊂平面OMA ,所以BB 1⊥OP .图4（2）解：以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直55线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系A ()2,0,0,B ()0,2,0,B 1()0,1,3,M æèçç0,32,ø,P æèçø1,34, OP =æèçø1,34,,OB =()0,2,0设平面OPB 的一个法向量为n =()x ,y ,z ,则{OP ∙n =0， OB ∙n =0，即ìíîïïx +34y +=0，2y =0，取z =43,得x =-3,y =0，所以n=()-3,0,43,因为BB 1⊥平面OAM ，所以平面OAM 的一个法向量为BB 1=()0,-1,3,所以cos < BB 1,n >=BB 1∙n || BB 1||n 所以平面OAM 与平面OPB 所成锐二面角的余弦值为.20.解：(1)由表中数据知x ˉ=3，y ˉ=100，所以b =1410-150055-45=-9，所以a =y ˉ-b x ˉ=127，故所求回归直线方程为y =-9x +127.(2)由(1)知，令x =9，则y =-9×9+127=46人．(3)假设H 0：“礼让行人”行为与驾龄无关，由表中数据得k 2=70×(24×14-16×16)240×30×40×30=1445≈0.311<2.706，所以没有97.5%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．21.(1)解：因为过椭圆E 的左、右焦点倾斜角为π3的两条直线间的距离为3，所以sin π3所以c =1.因为椭圆的离心率为12，所以a =2，所以b =3，故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：x =my +1，则Q (x 1，-y 1)．因为直线l 与坐标轴不垂直，所以直线QB ：y +y 1=y 1+y 2x 2-x 1(x -x 1)，所以y =y 1+y 2x 2-x 1x -x 2y 1+x 1y 2x 2-x 1=y 1+y 2m (y 2-y 1)x -2my 1y 2+y 1+y 2m (y 2-y 1),由得ìíîïïx 24+y 23=1,x =my +1,得(3m 2+4)y 2+6my -9=0，所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，所以y =-6m(3m 2+4)(y 2-y 1)(x -4)，所以直线QB 恒过定点(4，0)．22.(1)证明：令F (x )=f (x )-g (x )=e x -1+sin x ，所以F ′(x )=e x +cos x .当x ∈(0，+∞)时，e x >1，cos x ≤1，所以F ′(x )>0.所以F (x )在[0，+∞)上单调递增．又x ∈[0，+∞)，所以F (x )≥F (0)=0，所以f (x )≥g (x )在x ∈[0，+∞)上恒成立．(2)解：因为φ(x )=e x -1-a sin x (a ∈R )，所以φ′(x )=e x -a cos x .设h (x )=φ′(x )，h ′(x )=e x +a sin x ，①当a ≤0时，因为x ∈[0，π]，所以-a sin x ≥0，而e x -1≥0，所以e x -1-a sin x ≥0，即φ(x )≥0恒成立，所以φ(x )零点个数为1个．②当0<a ≤1时，h ′(x )=e x +a sin x ≥0，所以φ′(x )在[0，π]上单调递增，而φ′(0)=1-a ≥0，所以φ′(x )≥φ′(0)=0，所以φ(x )在[0，π]上单调递增．因为φ(0)=0，所以x =0是唯一零点，此时φ(x )零点个数为1个．③当a >1时，h ′(x )=e x +a sin x ≥0，所以φ′(x )在[0，π]上单调递增，而φ′(0)=1-a <0，φ′(π2)=e π2>0，所以存在x 0∈[0，π]，使φ′(x 0)=0，所以当0<x <x 0时，φ(x )单调递减，当x 0<x <π时，φ(x )单调递增，所以当x =x 0时，φ(x )取得最小值φ(x 0)．而φ(x 0)<φ(0)=0，φ(π)=e π-1>0，又φ(x )图象是连续不间断的，由零点存在性定理知，φ(x )在(x 0，π)上有唯一零点．因为x =0也是零点，所以φ(x )在[0，π]上有2个零点.综上：当a ≤1时，φ(x )在[0，π]上有1个零点；当a >1时，φ(x )在[0，π]上有2个零点．高考链接56。
2015年浙江省高考语文数学英语政治历史地理物理化学生物自选模块真题试题试卷及答案解析(经典版)
高考真题2015年浙江省高考真题及答案语文、数学、英语、政治、历史地理、物理、化学、生物、自选全科（11份）经典答案解析目录2015年浙江省高考语文真题及答案 (3)2015年浙江省高考数学（文科）真题及答案 (17)2015年浙江省高考数学（理科）真题及答案 (30)2015年浙江省高考英语真题及答案 (43)2015年浙江省高考文科综合真题及答案 (75)2015年浙江省高考理科综合真题及答案 (102)2015年浙江省高考自选模块真题及答案 (136)2015年浙江省高考语文真题及答案语文一、语言文字运用1．下列词语中，加点字的注音全都正确的一项是（）A．纠葛．（gé）瓜蔓．（màn）牛皮癣．（xuǎn）为．（wèi）虎作伥B．惬．（qiè）意觊．（jì）觎蒙．（měng）蒙亮扺．（zhǐ）掌而谈C．谄．（chǎn）媚压轴．（zhóu）一溜．（liù）烟间不容发．（fà）D．豆豉．（chǐ）箴．（zhēn）言轧．（zhá）马路门揖．（yī）盗【答案】B【解析】试题分析：本题重点考查考生正确识记现代汉语普通话字音的能力，涉及多音字、同音异形字、易错字的读音。
【考点定位】识记现代汉语普通话常用字的字音。
能力层级为识记A。
2．下列各句中，没有错别字的一项是（）A．风电属于绿色清洁能源，行业主管部门和相关企业不能墨守成规，应该把握机遇，发挥我们幅原辽阔、风能资源丰富的优势，大力发展风电。
B．许多造诣远不能与他媲美的人早已声名雀起，他却仍然不急不躁，保持着艺术家应有的淡泊与执着，相信自己终究会跻身真正的大师行列。
C．为了抑制城市机动车数量的快速膨胀，某市实施限牌新政，规定参与摇号竞价的申请人必须持有驾照，这一门槛绊住了7万多人。
D．活根吸水与花茎泡水养出来的花，乍看似无二致，但一段时间后命运迥异：一个让你忍不住精心浇灌，另一个新鲜过后被弃若蔽屣。
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2015年浙江省高考数学(文科)模拟试题满分150分，考试时间120分钟。
参考公式： 球的表面积公式 S=4πR 2球的体积公式 V=43πR 3 其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V=13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 台体的体积公式 V=13h(S 12) 其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高如果事件A ，B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)选择题部分 (共50分)一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集U R =，{22}M x x =-≤≤，{1}N x x =<，那么M N =（ ）A ．{21}x x -≤<B ．{21}x x -<<C ．{2}x x <-D ．{|2}x x ≤ 2.已知i 是虚数单位，则i i+-221等于( ) A.i -B.i -54C.i 5354-D.i3、等比数列{}n a 中，01>a ，则“41a a <”是“53a a <” 的（ ）A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、已知函数()sin f x x π=的图像一部分如下方左图，则下方右图的函数图像所对应的解析式为 （ ）A 、1(2)2y f x =- B 、(21)y f x =- C 、(1)2x y f =- D 、1()22x y f =- ····5．设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面，考察下列命题，其中真命题是（ ）A ．,,m m n n αβαββ⊥=⊥⇒⊥ B ． α∥β,,m α⊥n ∥βm n ⇒⊥C ．,,m n αβα⊥⊥∥βm n ⇒⊥D ． ,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥6．从1，2，3，4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是（）A ．31B ．512 C ．21D ．7127．已知一个空间几何体的三视图如右图，其中主视图，侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（ ） A 、3π B、 C 、6π D 、5π8．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是（ ）A ．32B ．322C ．33D ．3329．一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A 的正上方有一个光源A ，1AA 与球相切，16AA =，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于 （ ） A ．12 B C D10．设a ，b 为单位向量，若向量c 满足|c －(a ＋b)|＝|a －b |，则|c |的最大值是（）A ．1BC ．2D ．主观图侧视图B 1A 21B 2非选择题部分 (共100分)二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的 平均成绩分别为_____________．12．函数f(x)＝223xx a m +-+(a>1)恒过点(1,10)，则m ＝________.13．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x ＝________. 14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为________.15．已知点O(0，0)，A(2，0)，B(－4，0)，点C 在直线l ：y ＝－x 上．若CO 是∠ACB 的平分线，则点C 的坐标为________． 16．设A(4，0)，B(0，3)，直线l ：y ＝19196ax ，圆C ：(x －a)2＋y 2＝9．若圆C 既与线段AB 又与直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是________．17．已知函数f (x)＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x)＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、 解答题: 本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)在△ABC 中，已知cos A ＝35.(1)求sin 2A2－cos(B ＋C)的值；(2)若△ABC 的面积为4，AB ＝2，求BC 的长．19．(本题满分14分)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .20．(本题满分15分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，DB ＝2 2.(1)证明PA ∥平面BDE ； (2)证明AC ⊥平面PBD ；(3)求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值.21．(本题满分15分)已知x ＝1是函数f (x)＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m<0.(1)求m 与n 的关系表达式； (2)求f (x)的单调区间；(3)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．22．(本题满分14分)已知定点F(0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P,Q,交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．参考答案一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C7．D8．B9．A 10．D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分28分。
11．89.8 、 88 12．9 13．12 14．9415．(4，－4) 16．2381≤≤-a 17．m ≥32三、解答题：本大题共5小题，共72分。
18、解 (1)sin 2A2－cos(B ＋C)＝1－cos A 2＋cos A ＝1－352＋35＝45.(2)在△ABC 中，∵cos A ＝35，∴sin A ＝45.由S △ABC ＝4，得12bcsin A ＝4，得bc ＝10.∵c ＝AB ＝2，∴b ＝5.∴BC 2＝a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝52＋22－2×5×2×35＝17.∴BC ＝17.19. (1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1. (2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，① ∴T n －1＝－12b n －1＋1 (n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1 (n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列，(3)证明 由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)<0，∴c n ＋1<c n .20. (1)证明 设AC ∩BD ＝H ，连接EH ，在△ADC 中，因为AD ＝CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点，又由题设，知E 为PC 的中点，故EH ∥PA.又EH ⊂平面BDE ，且PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE.(2)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AC. 由(1)可得，DB ⊥AC.又PD ∩DB ＝D ，故AC ⊥平面PBD.(3)解 由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角.由AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝1，DB ＝22， 可得DH ＝CH ＝22，BH ＝322. 在Rt △BHC 中，tan ∠CBH ＝CH BH ＝13.所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13.21. 解 (1)f ′(x)＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n.因为x ＝1是f (x)的一个极值点，所以f ′(1)＝0， 即3m －6(m ＋1)＋n ＝0，所以n ＝3m ＋6. (2)由(1)知，f ′(x)＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6＝3m(x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m . 当m<0时，有1>1＋2m ，当x 变化时，f (x)与f ′(x)的变化如下表：由上表知，当m<0时，f (x)在⎝⎛⎭⎫－∞，1＋2m ，(1，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1＋2m ，1上单调递增．(3)由已知，得f ′(x)>3m ，即mx 2－2(m ＋1)x ＋2>0. ∵m<0，∴x 2－2m (m ＋1)x ＋2m <0，即x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1m x ＋2m<0，x ∈[－1,1]．① 设g(x)＝x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1m x ＋2m ，其函数图象开口向上． 由题意①式恒成立． ∴(1)0(1)0g g -<⎧⎨<⎩⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＋2m ＋2m <0，－1<0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧4m <－3，－1<0⇒m>－43.又m<0，∴－43<m<0.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－43，0.22. 解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y.(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1 (k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 又易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1， RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.。