同济大学《高等数学》授课教案2015年3月2日(修改稿)
高等数学教案同济大学第七版_0
高等数学教案同济大学第七版《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性，掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
高数同济7版教案第一章函数与极限
广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：061041210总学时/周学时：_________ 51/3开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班使用教材：高等数学同济大学第7版教研室：数学与应用数学教研室授课教师:、课程教学计划表、教案正文第一章函数与极限（一）教学目的：1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2•了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3•理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4•掌握基本初等函数的性质及其图形。
5•理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6•掌握极限的性质及四则运算法则。
7•了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8•理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9•理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。
(二)重点、难点1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。
2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。
三)教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节映射与函数一、映射1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y f(x),元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作D f ,即D f X。
同济大学高等数学教案第五章向量与空间解析几何
高等数学教学教案第五章向量与空间解析几何授课序号012(x =b ，即b b a=，、向量的运算, 见图5-14. 以向量的终点为起点，b 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差()b -.设λ是一个数，向量a a λ=，方向与0a =是零向量；a a a λ=，方向与1=-时，(又设α、β、γ为与三坐标轴正向之间的夹角分别为向量a cos a α=cos a cos a 、cos γ称为向量a 的方向余弦，通常用它表示向量的方向(()21a x y y =--22xa a ++(aa=、数量积 给定向量a 与b ，我们做这样的运算：a 与b 及它们的夹角与，即cos cos a b a b a b α== Pr j Pr j a b b a b b a ==； 2cos ,a a a a a a a ⋅==；）若0a ≠，0b ≠，则0a b ⋅=⇔、向量积 若由向量a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件：()()()y z z y x z z x x y y x a b a b i a b a b j a b a b k =---+-)x y zxyzi j k a a a j k a a a b b b += 向量的混合积(,x a a =a =a a cos AB θ=.定理2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和(()4,3,1M 、()7,1,2M 及例4设()111,,A x y z 和AM MB=，y 和z .例5 设3m=,4k j -(2) a b的夹角θ; (3)b.液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为（液体的比重为ν都垂直的单位向量授课序号021212cos n n A A n n A B θ⋅==+)2-、(2 M授课序号03，其中(s m =12s s s s m ⋅=(),,A B C ，则n ，因此Am n +=.授课序号04。
《高等数学》第一章课程教案
《高等数学》第一章课程教案《高等数学》第一章课程教案《高等数学》第一章课程教案一．课程名称：高等数学 \Calculus 二．学时与学分：72学时4学分三．适用专业：教育技术，计算机，人体，康复四．课程教材：《高等数学》，第四版. 同济大学数学教研室编，高等教育出版社五．上课教师：刘蓉老师六．课程的性质、目的和任务：高等数学是工科大学生最重要的基础理论课之一，它作为工程教育中的一个重要内容，目的在于培养工程技术人员必备的基本数学素质。
任务：通过本课程的学习，使学生理解微积分中极限、导数、积分等基本概念；掌握基本的运算技巧；使学生能用所学的知识去解决各种领域中的一些实际问题；训练学生数学推理的严密性，使学生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力，能用数学的语言描述各种概念和现象，能理解其它学科中所用的数学理论和方法；培养学生学习数学的兴趣，帮助学生养成自学数学教材和其它数学知识的能力，为以后学习其它学科打下良好的基础。
七、教学方式（手段）：主要采用讲授新课的方式第一章函数极限与连续一、教学目标与基本要求 1、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像，掌握函数的表示方法。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、会建立简单应用问题中的函数关系式。
6、理解极限的概念，理解函数在极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
7、掌握极限的性质及四则运算法则。
8、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
10、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a∈M.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如A={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x 的全体所组成, 则M可表示为A={a1, a2, ⋅⋅⋅, a n},M={x | x具有性质P }.例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N ={0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}. N +={1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}.R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集.Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集.Z ={⋅⋅⋅, -n, ⋅⋅⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.},|{互质与且q p q Z p qp +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A, 则必有x ∈B, 则称A 是B 的子集, 记为A ⊂B(读作A 包含于B)或B ⊃A .如果集合A 与集合B 互为子集, A ⊂B 且B ⊂A, 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B.若A ⊂B 且A ≠B, 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠⊂B . 例如, N ≠⊂Z ≠⊂Q ≠⊂R .不含任何元素的集合称为空集, 记作∅. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ⋃B, 即 A ⋃B ={x|x ∈A 或x ∈B}.设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ⋂B, 即A⋂B={x|x∈A且x∈B}.设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即A\B={x|x∈A且x∉B}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作A C.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合, 则(1)交换律A⋃B=B⋃A, A⋂B=B⋂A;(2)结合律(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C), (A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C);(3)分配律(A⋃B)⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C), (A⋂B)⋃C=(A⋃C)⋂(B⋃C);(4)对偶律(A⋃B)C=A C⋂B C, (A⋂B)C=A C⋃B C.(A⋃B)C=A C⋂B C的证明:x∈(A⋃B)C⇔x∉A⋃B⇔x∉A且x∉B⇔x∈A C且x∈B C ⇔x∈A C⋂B C, 所以(A⋃B)C=A C⋂B C.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A⨯B, 即A⨯B={(x, y)|x∈A且y∈B}.例如, R⨯R={(x, y)| x∈R且y∈R }即为xOy面上全体点的集合, R⨯R常记作R2.3. 区间和邻域有限区间:设a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|a<x<b}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤x<b }、(a, b] = {x | a<x≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a 称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x < b } , (-∞, +∞)={x | | x | < +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).设δ是一正数, 则称开区间(a-δ, a+δ)为点a的δ邻域, 记作U(a, δ), 即U(a, δ)={x | a-δ< x < a+δ}={x | | x-a|<δ}.其中点a称为邻域的中心, δ称为邻域的半径.去心邻域οU(a, δ):οU(a, δ)={x |0<| x-a |<δ}二、映射1. 映射的概念定义设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作f : X→Y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作D f, 即D f=X ;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为R, 或f(X), 即fR f=f(X)={f(x)|x∈X}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域D f=X; 集合Y, 即值域的范围: R f ⊂Y; 对应法则f, 使对每个x∈X, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈X, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈R f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域R f是Y的一个子集, 即R f⊂Y, 不一定R f=Y .例1设f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域D f=R, 值域R f={y|y ≥0}, 它是R 的一个真子集. 对于R f 中的元素y, 除y =0外, 它的原像不是唯一的. 如y =4的原像就有x =2和x =-2两个.例2设X ={(x, y)|x 2+y 2=1}, Y ={(x, 0)||x|≤1}, f : X →Y, 对每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y 与之对应. 显然f 是一个映射, f 的定义域D f =X, 值域R f =Y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[-1, 1]上.(3) f :]2 ,2[ππ-→[-1, 1], 对每个x ∈]2,2[ππ-, f(x)=sin x . f 是一个映射, 定义域D f =]2,2[ππ-, 值域R f =[-1, 1]. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若R f =Y, 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f 为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f 是X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个y ∈R f , 有唯一的x ∈X, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从R f 到X 的新映射g, 即g : R f →X,对每个y ∈R f , 规定g(y)=x, 这x 满足f(x)=y. 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域1-f D =R f , 值域1-f R =X . 按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : X→Y 1, f : Y 2→Z,其中Y 1⊂Y 2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个x∈X映射成f[g(x)]∈Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f 构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: X →Z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈X .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域R g必须包含在f的定义域内, R g⊂D f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : R→[-1, 1], 对每个x∈R, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], 2f-u=.1)(u则映射g和f构成复映射f o g: R→[0, 1], 对每个x∈R, 有[()](2x)()sin|(sin|cos1)-f==ο.g==xxffxxg三、函数1. 函数概念定义设数集D⊂R, 则称映射f : D →R为定义在D上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈D,其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D f=D.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), x∈D”或“y=f(x), x∈D”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “ϕ”等. 此时函数就记作y=ϕ (x), y=F(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数412y的定义域.=x--x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 -4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为D={x | | x |≥2}, 或D=(-∞, 2]⋃[2,+∞]).单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个x ∈D, 对应的函数值y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x ∈D, 总有确定的y 值与之对应, 但这个y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2+y 2=r 2 给出. 显然, 对每个x ∈[-r, r]，由方程x 2+y 2=r 2,可确定出对应的y 值, 当x =r 或x =-r 时, 对应y =0一个值; 当x 取(-r, r)内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x 2+y 2=r 2给出的对应法则中, 附加“y ≥0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≥0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==; 附加“y ≤0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≤0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==.表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集{P(x, y)|y =f(x), x ∈D}称为函数y =f(x), x ∈D 的图形. 图中的R f 表示函数y =f(x)的值域.函数的例子:例. 函数⎩⎨⎧<-≥==0 0||x x x x x y .称为绝对值函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =[0, +∞).例. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn x x x x y .称为符号函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f ={-1, 0, 1}.例 设x 为任上实数. 不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[ x ]. 函数y = [ x ]称为取整函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z . 0]75[=, 1]2[=, [π]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4.分段函数:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。
《高等数学》(同济六版)教学★
平行 ? 写出其切线方程.
解:
令
得
相应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
平行旳切线方程分别为
即
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线
四、 函数旳可导性与连续性旳关系
定理1.
证:
设
在点 x 处可导,
存在 ,
所以必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.
证明中利用了两个主要极限
初等函数求导问题
本节内容
一、四则运算求导法则
定理1.
旳和、
差、
积、
商 (除分母
为 0旳点外) 都在点 x 可导,
且
下面分三部分加以证明,
并同步给出相应旳推论和
例题 .
此法则可推广到任意有限项旳情形.
证: 设
则
故结论成立.
例如,
(2)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
即
在点
旳某个右 邻域内
五、 单侧导数
若极限
则称此极限值为
记作
即
(左)
(左)
例如,
在 x = 0 处有
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
定理2. 函数
在点
且
简写为
定理3. 函数
(左)
(左)
若函数
与
都存在 ,
则称
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
可导, 且
则
时, 有
同济大学《高等数学》授课教案2015年3月2日(修改稿)
同济大学《高等数学》授课教案2015年3月2日（修改稿）第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
>函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：)y （说明表达式的含义）(xf(1)定义域：自变量的取值集合（D ）。
(2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。
例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。
《高等数学》(1-3章)教学教案(全)
高等数学教学教案第1章函数、极限与连续授课序号01(是一个给定的非空数集.若对任意的授课序号02的左邻域有定义，如果自变量为当0x x →时函数授课序号032n n ++)(1,2,n x =授课序号04授课序号05授课序号06高等数学教学教案第2章导数与微分授课序号01授课序号02授课序号03授课序号04高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos (x θ+=21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
特别地，若我们所讨论问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 ）中进行，集合 是 的子集，此时称 为 的余集（或补集），记作 或 .
3、设 是两个非空的集合，则由有序数对 组成的集合
称为 与 的直积.
4、设 和 都是实数，且 ，数集 称为开区间，记作 ，即
.
和 称为开区 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， .
数集 称为闭区间，记作 ，即
.
和 也称为闭区间 的端点，且 ， .
5、邻域
设 与 为两个实数，且 ，数集 称为点 的 邻域，记作 ，即
，
其中 称作 的中心， 称作 的半径.
6、基本初等函数
中学时我们已经学习过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，它们统称为基本初等函数.我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号01
教学基本指标
教学课题
第一章第一节集合与函数
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分段函数，三角函数性质与公式
教学难点
分段函数图形
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限的性质
教学难点
用定义证明极限
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
同济大学-高等数学微积分教案
第一章：函数与极限1.1 初等函数图象及性质1。
1。
1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。
幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。
例如，当m = 3时，y=x3的定义域是(—∞ ,+∞);当m = 1/2时,y=x1/2的定义域是［0,+∞）；当m = -1/2时,y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。
但不论m 取什么值，幂函数在(0，+∞）内总有定义。
最常见的幂函数图象如下图所示：［如图]1.1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是区间(—∞ ，+∞)。
因为对于任何实数值x,总有a x >0,又a0=1,所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0，1)。
若a〉1,指数函数a x是单调增加的。
若0〈a〈1，指数函数a x是单调减少的。
由于y=（1/a)—x=a—x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的(图1—21)。
[如图]2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0,a≠1），叫做对数函数。
它的定义域是区间(0,+∞).对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1—22）。
y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点（1，0)。
若a>1，对数函数log a x是单调增加的,在开区间（0，1)内函数值为负,而在区间（1，+∞)内函数值为正。
若0〈a〈1，对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间（1，+∞)内函数值为负。
[如图]1。
1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数,它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[-1，1］。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
2．反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。
同济大学高等数学教案第五章向量与空间解析几何上课讲义
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握平面的方程及其求法，
会利用平面的相互关系解决有关问题。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
二、定理与性质：
1、平面的点法式方程
2、平面的一般方程
3、平面的截距式方程
4、两平面的夹角
设平面 的方程为 ，
平面 的方程为 ，
， ，
.
5、点到平面的距离
设 为平面 外的一点，
.
三、主要例题：
例1求过点 且与 垂直的平面的方程.
例2求过点 、 及 的平面的方程.
例3求通过 轴和点 的平面方程.
例4设一平面与 、 、 轴分别交于点 、 、 ，求这个平面的方程.
例5研究以下各组里两平面的位置关系:
(1)
(2)
例6求平面 ,使其满足:
(1)过 轴;
(2) 与平面 夹角为 .
例7一平面通过两点 和 且垂直于平面 ，求该平面方程.
1、空间直角坐标系：
过空间一个定点 ，作三条互相垂直的数轴，它们都以 为原点且具有相同的长度单位，这三条数轴分别称为 轴（横轴）、 轴（纵轴）、 轴（竖轴）、统称坐标轴.其正向符合右手规则.这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系.
设 、 为空间两个点，通过 、 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以 、 为对角线的长方体，由此可得
， ， ，
其中 、 、 称为向量 的方向余弦，通常用它表示向量的方向.
由模的定义，可知向量 的模为
.
或 ， ， ，
由此可得
，
即任一向量的方向余弦的平方和Fra bibliotek ..
5、数量积给定向量 与 ，我们做这样的运算： 与 及它们的夹角与 的余弦的乘积，称为向量 与 的数量积.记为 ，即
同济大学高等数学教案第二章一元函数微分学及其应用
第二章 函数的导数与微分
授课序号 01
教学基本
教学课题 第二章 第一节 导数的概念及基本求导公式
指标
课的类型 新知识课
教学方法 教学重点
参考教材
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
ห้องสมุดไป่ตู้
导数定义，导数的集合意义，可导和连续之间的 教学难点
关系，导数的四则运算
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》 作业布置
（3）
u v
x x
u
'
x
v
x
v2
u x
x
v
'
x
（
v
x
0
）.
定理 3 如果单调函数 x y 在某一区间 I y 内可导，且 y 0 ，则它的反函数 y f x 在对应的区
间 Ix x x y, y I y 内也可导，且
f
x
1
y
y f x .
三、主要例题： 例 1 求函数 y x3 在 x 1处的导数 f (1) .
黑板多媒体结合
导数的定义，用导数定义求极限
课后习题
大纲要求 理解导数的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
掌握导数的四则运算法则
教 学 基本内容
一、基本概念：
1、导数的定义
定义 设函数 y f x 在 x0 的某个邻域内有定义，当 x 在 x0 处增量为 x （ x0 x 在该邻域内）时，相
3、相关变化率
设
x
t
、
y
t
均可导，且由
x y
t t
确定了 x 与 y 之间存在着某种关系，这样 dx 与 dy （变 dt dt
同济高数 教案
第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限.9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
教学重点:1、复合函数及分段函数的概念;2、基本初等函数的性质及其图形;3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数一、集合1。
集合概念集合（简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A，B, C….等表示。
元素：组成集合的事物称为集合的元素。
a是集合M的元素表示为a M。
集合的表示：列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如A ={a ， b ， c ， d , e , f , g }。
描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成， 则M 可表示为 A =｛a 1， a 2, ⋅ ⋅ ⋅， a n ｝， M ={x ｜ x 具有性质P ｝. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1｝. 几个数集:N 表示所有自然数构成的集合， 称为自然数集。
（完整版）同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章导数与微分.docx
（完整版）同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章导数与微分.docx高等数学教案第二章导数与微分第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。
§2. 1导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为s s 是 t 的函数s f(t)求动点在时刻 t0的速度考虑比值s s0 f (t) f (t0)t t0t t0这个比值可认为是动点在时间间隔t t0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 t t0 0 取比值 f (t)f (t0 )的极限如果这个极限存在设为 v 即t t0v lim f (t) f (t0)t t0t t0这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2．切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N作割线MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置 MT直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线 C 就是函数 y f(x)的图形现在要确定曲线在点M(x ,y )( y 0f(x )) 处的切线只要000定出切线的斜率就行了为此在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y)于是割线 MN 的斜率为y y0 f ( x) f (x0)tanx0x x0x其中为割线 MN 的倾角当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 x x0如果当x0 时上式的极限存在设为 k即k f (x)f (x0)limx x0x x0存在则此极限 k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里 k tan其中是切线 MT 的倾角于是通过点 M(x0, f(x0))且以 k为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限lim f ( x) f ( x0)x x0x x0令 x x x0则 y f(x0x) f(x0)f( x) f(x0) x x0相当于 x0 于是lim f ( x) f (x0)x x0x x0成为lim y或 lim f (x0x) f (x0)x0x x0x定义设函数y f(x)在点仍在该邻域内)时相应地函数限存在则称函数 y f(x)在点x0的某个邻域内有定义当自变量 x 在 x0处取得增量x(点x0 x y 取得增量 y f( x0x) f(x0)如果 y 与 x 之比当 x0 时的极x0处可导并称这个极限为函数y f(x)在点 x0处的导数记为y |x x0即f ( x ) lim y lim f (x0x) f (x0)x x0xx 0也可记为 y |x x 0dy 或 df (x)x 0dx x x 0dx x函数 f(x)在点 x 处可导有时也说成 f(x) 在点 x具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有f (x 0 ) lim f (x 0 h) f ( x 0 )hh 0f ( x ) lim f (x) f (x 0)x x 0 x x 0在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢” 问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限 limf (x 0x) f (x 0) 不存在就说函数 y f(x)在点 x 0 处不可导x 0x如果不可导的原因是由于lim f (x 0x) f (x 0)x 0x 也往往说函数 y f(x) 在点 x 0 处的导数为无穷大如果函数 y f(x) 在开区间 I 内的每点处都可导就称函数 f(x)在开区间 I 内可导这时对于任一 x I都对应着 f( x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数 y f(x)的导函数记作 yf ( x)dy 或 df (x)dx dx导函数的定义式y limf ( x x) f ( x)limf ( xh) f ( x)xx h 0hf (x )与 f (x)之间的关系函数 f(x)在点 x 0 处的导数 f(x)就是导函数 f (x)在点 x x 0 处的函数值即f ( x 0 ) f (x) x x 0导函数 f (x)简称导数而 f(x )是 f(x)在 x 处的导数或导数左右导数所列极限存在则定义f( x)在 x 0 的左导数 f ( x 0 ) f (x 0 h) f ( x 0 )limhh 0f( x)在 x 0 的右导数f (x 0 ) f (x 0 h) f (x 0 )lim hh 0如果极限 limf (x 0 h) f ( x 0) 存在则称此极限值为函数在h0 h如果极限 limf (x 0h) f ( x 0)存在则称此极限值为函数在hh导数与左右导数的关系f (x 0) Af (x 0) f (x 0 ) Af (x)在 x 0 处的值x 0 的左导数x 0 的右导数高等数学教案第二章导数与微分2．求导数举例例 1．求函数 f(x) C （C 为常数）的导数解 f ( x) lim f (xh) f ( x) lim CC 0 h 0h h 0h即 (C ) 0例 2 求 f (x)1x 的导数f (x h) f (x)1 1h 解f ( x) lim lim x h xlim h 0 h h 0hh 0 h(x h) x例 3 求 f (x) x 的导数解f (x)f ( x h) f (x)lim x h xlim hhh 0hlimh11x 2 xh 0h( x hx) h 0 x h例 2．求函数 f(x) x n (n 为正整数 )在 x a 处的导数解 f (a) lim f (x) f (a)lim x na n lim (x n 1ax n 2xax a x axa x a 把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n 1 即 (x n )nx n 1lim11x 2h 0 (x h)xa n 1) na n 1(C) 0 (1 ) 1 ( x) 1(x )x x 22 x 更一般地有 (x )其中为常数例 3．求函数 f(x) sin x 的导数解 f (x)lim f ( x h) f ( x)lim sin( xh 0h h 01 hh lim2 cos(x2) sinhh2x 1h) sin xhlim cos(x h)sin h2 cos xh 02 h2即 (sin x) cos x用类似的方法可求得 (cos x ) sin x例 4．求函数 f(x) a x (a>0 a 1) 的导数解 f (x) limh) f (x) lim a x h a xh 0hh 0ha x lim a h1 令a h 1 t a x lim th 0 htlog a (1 t)a x 1 a x ln alog a e特别地有 (e x ) e x例 5．求函数 f(x) log a x (a>0 a 1) 的导数解 f ( x) limf (x h) f ( x) h 0h lim 1log a (xh ) h 0 hxlim log a ( x h) log a xh 0h1lim x log a (1 h )1lim log a (1 h )h xx hxx h 0x1log a e1x xln a解log a (x h) log a x 1log a (1 h ) f (x) lim hlimxh 0h0 h1lim log a (1 h ) h x 1log a e1x h 0 x xxlna即(log a x)1xln a1 特殊地x(log a x)1(ln x)1xln a x3．单侧导数极限 lim f (x h)f ( x)存在的充分必要条件是h 0hlim f ( x h) f (x)及 lim f (x h) f (x)h 0h h 0h 都存在且相等f( x)在 x 处的左导数 f ( x 0 ) lim f (x h) f (x)0 h 0 hf( x)在 x 0 处的右导数 f ( x 0 ) lim f (x h) f ( x)h 0h导数与左右导数的关系函数 f(x)在点 x 0 处可导的充分必要条件是左导数左导数f (x 0 ) 和右导数 f (x 0)都存在且相等如果函数 f(x)在开区间 (a, b)内可导且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在就说 f(x) 有闭区间 [a, b]上可导例 6．求函数 f(x) x|在 x 0 处的导数(0) lim f (0 h)f (0) lim |h|1h 0hh 0 hf (0) lim f (0 h) f (0) lim |h|1h 0 h h 0 h因为 f (0) f (0) 所以函数 f(x) |x|在 x 0 处不可导四、导数的几何意义函数 y f(x)在点 x 0 处的导数 f (x 0)在几何上表示曲线y f(x) 在点 M( x 0, f(x 0 ))处的切线的斜率即f ( x 0) tan其中是切线的倾角如果 y f(x)在点 x 0 处的导数为无穷大这时曲线 y f(x) 的割线以垂直于 x 轴的直线 x x 0为极限位置即曲线 y f( x)在点 M (x 0, f( x 0))处具有垂直于x 轴的切线 x x 0由直线的点斜式方程可知曲线 y f(x)在点 M(x , y )处的切线方程为y y 0 f (x 0)(x x 0)过切点 M(x , y )且与切线垂直的直线叫做曲线y f(x)在点 M 处的法线如果f (x 0) 0法线的斜率为1 从而法线方程为f ( x 0)y y 01( x x 0 )f (x 0 )例 8 求等边双曲线 1 1y x 在点 (2 , 2) 处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解y1所求切线及法线的斜率分别为x2k 1 ( 1 ) x 14k 21 1x 22k 14所求切线方程为 y 24( x 1 ) 即 4x y 42所求法线方程为 y 21(x 1) 即 2x 8y 15 04 2例 9 求曲线 y x x 的通过点 (0 4)的切线方程解设切点的横坐标为x 0则切线的斜率为31f ( x 0 ) (x 2 )3x 2x 03 x 02 x 2于是所求切线的方程可设为3y x 0 x2x 0(x x 0)根据题目要求点 (0 4)在切线上因此4 x 0 x 03x 0(0 x 0 )2解之得 x 0 4 于是所求切线的方程为3y 4 4 4 (x 4) 即 3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数 y f(x)在点 x 0 处可导即 limy (x 0 ) 存在则fxxlimy limy x lim y lim x f (x ) 0 0x 0x 0 x x 0 xx 0这就是说函数 y f(x)在点 x 0 处是连续的所以如果函数 y f(x)在点 x 处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7．函数 f (x)3x 在区间 ( , )内连续但在点 x 0 处不可导这是因为函数在点x 0 处导数为无穷大f (0 h) f (0) 3 h 0limhlimhh 0h 0x§2 2 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1 如果函数 u u(x)及 vv( x)在点 x 具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外 )都在点 x 具有导数并且[u(x) v(x)] u (x) v (x)[u(x) v(x)] u (x)v(x) u(x)v (x) u(x) u ( x)v( x) u(x)v (x)v(x)v 2 (x)证明 (1) [ u( x) v(x)] lim [ u( xh) v( x h)] [u(x)v( x)]hhlimu(x h) u( x)v( x h) v(x)u (x) v (x)h 0h h法则 (1) 可简单地表示为(u v) u v(2) [ u(x) v( x)] limu( xh)v(x h) u(x)v(x)h 0hlim 1 [u(x h)v(xh) u(x)v( x h)u( x)v(x h) u(x)v(x)]h 0 hlim u(x h) u( x) v( x h) u(x) v( xh) v( x)h 0 h hlimu(xh) u(x) lim v(x h)u(x) limv(xh) v(x)hh h 0hhu (x)v(x) u(x)v ( x)其中 lim v(x h)v(x) 是由于 v (x)存在故 v( x)在点 x 连续h 0法则 (2) 可简单地表示为(uv) u v uvu(x h) u(x)(3) u( x)limv(xh) v(x) lim u(x h)v(x) u( x)v( x h) v(x) hh h 0 v( x h)v( x)hlim [u(x h)u(x)] v(x) u(x)[v(x h) v(x)] h 0v(x h)v(x)hu(x h) u(x) v(x) u( x)v( xh) v( x) lim hv( x h)v(x)hh 0u (x)v(x) u(x)v (x)v 2( x)法则 (3) 可简单地表示为( u) u v uvvv 2(u v) u v(uv) u v uv ( u)u v uvv v 2定理 1 中的法则 (1)、 (2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设 u u(x)、 v v(x)、ww(x)均可导则有(u v w) uv w(uvw) [( uv)w] (uv) w (uv) w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw 即(uvw)u vw uv w uvw(Cu) Cu例 1． y 2x 3 5x 2 3x 7 求 y解 y (2x 3 5x 23x7) (2x 3) 5x 2) 3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)2 3x 2 5 2x3 6x 2 10x 3例 2 f (x) x 34cos x sin求 f (x)及 f ()22解32f ( x)(x ) (4 cos x) (sin 2)3x4sin xf () 3242 4例 3． y e x (sin x cos x) 求 y解 ye x ) (sin x cos x) e x (sin x cos x)e x (sin x cos x) e x (cos x sin x) 2e x cos x例 4． y tan x 求 y解 y(tan x)( sin x )cos xcos 2 x sin 2 xcos 2x(sin x) cos xsin x(cos x)cos 2 x1sec 2xcos 2x即(tan x) sec 2x例 5． y sec x 求 y 解y (secx) ( 1)(1) cos x 1 (cos x)cos xcos 2 x 即(sec x) sec x tan xsin x sec x tan xcos 2x用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x) csc 2x(csc x)csc x cot x二、反函数的求导法则定理 2 如果函数 xf(y)在某区间 I y 内单调、可导且 f (y) 0 那么它的反函数 y f 1( x)在对应区间 I x { x|x f(y) yI y } 内也可导并且[ f 1( x) ] f 1dy1 ( y)或 dxdxdy简要证明由于 x f(y)在 I y 内单调、可导 (从而连续 ) 所以 x f(y)的反函数 y f 1(x)存在且 f 1( x)在 I x 内也单调、连续任取 xI x 给 x 以增量x( x 0 xx I x ) 由 y f 1(x) 的单调性可知11于是y 1x xy因为 y f 1(x)连续故lim y0x 0从而[ f1(x)] lim y lim11x x f(y)x 0y0y上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例 6．设 x sin y y[2,]为直接函数则 y arcsin x 是它的反函数函数 x sin y 在开2区间 (,)内单调、可导且22(sin y)cos y0因此由反函数的求导法则在对应区间 I x ( 11)内有(arcsin x)1111cos y1sin 2 y 1 x2(sin y)类似地有(arccosx)11x2例 7．设 x tan y y(,) 为直接函数则 y arctan x 是它的反函数函数x tan y 在22区间 (,)内单调、可导且22(tan y) sec2 y0因此由反函数的求导法则在对应区间 I x () 内有(arctan x)1111 (tan y)sec2 y1tan2 y 1 x2类似地有(arccot x)11x2例 8 设 x a y(a 0a1)为直接函数) 内单调、可导且(a y) a y ln a0因此由反函数的求导法则在对应区间(log a x)111(a y) a y ln a xln a则 y log a x 是它的反函数函数x a y在区间I y(I x (0)内有杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x、 e x3、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理 3如果 u g( x)在点 x 可导函数 y f(u)在点 u g(x)可导则复合函数y f[g(x)] 在点 x 可导且其导数为dy dy dy dudx f (u) g ( x) 或dx du dx证明当 u g(x)在 x 的某邻域内为常数时y=f[(x)] 也是常数此时导数为零结论自然成立当 u g(x)在 x 的某邻域内不等于常数时u 0此时有y f [ g(x x)] f [g (x)] f [ g( x x)] f [ g( x)]g(x x)g(x)x x g (x x)g(x)xf (u u) f (u)g( x x) g( x)u xdy lim y lim f (u u) f (u)lim g (x x)g (x) = f( u) g (x )dx x0x u0u x 0x简要证明dy lim y lim y u lim y lim u f (u)g (x)dx x 0 x x 0 ux u 0 u x 0 x例9 y e x3求dydx解函数 y e x3可看作是由 y e u u x3复合而成的因此dy dy du u3x 22x3dx du dx e3x e例 10y sin2x dy 1 x2求dx解函数y sin2x是由 y sin uu2x复合而成的1x2 1 x2因此dy dydu cosu2(1x2 )(2x)22(1x2)2x2 dx du(12)222 cosdx x(1 x ) 1 x 对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量dy例 11． lnsin x 求dx(ln sin x)1(sin x)1cosx cot x解sin xdx sin x例 12． y31 2x2求 dydxdy 12解[(1 2x 2 )3 ]1(1 2x 2) 3(12x 2)4xdx3 33 (1 2x 2) 2复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设 y f(u)u (v) v (x)则dy dy du dy du dvdx du dx du dv dxdy 例 13． y lncos(e ) 求 dx dy x 1x 解dx [ln cos(e )]cos(e x ) [cos(e )]1xxxxcos(e x ) [ sin(e )] (e ) e tan(e ) sin 1 dy例 14． y e x 求dx1)cos1(1)解dy(ex )e x(sinexsin 1sin 1sin 1dxx x x1 sin 1cos 1e xx 2 x 例 15 设 x 0 证明幂函数的导数公式(x )x1解因为 x(e ln x ) eln x 所以(x ) (e ln x) e ln x( ln x) eln xx 1x1四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C) 0 (2)(x )x 1(3)(sin x) cos x (4)(cos x) sin x (5)(tan x) sec 2 x(6)(cot x) csc 2x(7)(sec x) sec x tan x(8)(csc x) csc x cot x (9)(a x ) a x ln a (10)( e x )e x(11) (log a x)1x ln a (12) (ln x)1(13) (arcsin x)1 1 x2(14) (arccos x) 11 x 2(15) (arctan x)1 1 x2(16) (arccot x)11 x 22．函数的和、差、积、商的求导法则设 u u(x) v v(x)都可导则 (1)(u v) u v (2)(C u) C u (3)(u v) u v u v (4) ( u )u vuvvv 23．反函数的求导法则设 x f(y)在区间 I y 内单调、可导且f (y) 0 则它的反函数 y f 1(x)在 I x f(I y )内也可导并且[ f1( x) ]1 或 dy 1f ( y)dxdxdy4．复合函数的求导法则设 y f(x)而 u g(x)且 f(u)及 g(x)都可导则复合函数 y f[g(x)] 的导数为dy dy du或 y (x) f (u) g (x)dxdu dx例 16 求双曲正弦 sh x 的导数 . 解因为sh x1x e x) 所以2 (e(sh x)1(e xe x) 1 (e x e x ) ch x22即 (sh x) ch x类似地有(ch x) sh x例 17 求双曲正切 th x 的导数解因为 th xsh x 所以ch x(th x) ch 2 x sh 2 x1ch 2xch 2x解因为 arsh x ln( x1x2 )所以(arsh x)1(1x)1x11x2x2 1 x2由 arch x ln( x x21) 可得 (arch x)1 x2 1由 arth x 1ln1x可得 (arth x)1 21x 1 x2类似地可得 (arch x)1(arth x)1 x211x2例 19． y sin nx sin n x (n 为常数 )求 y解 y (sin nx)sin n x + sin nx(sin n x)ncos nx sin n x+sin nx n sin n1x (sin x )ncos nx sin n x+n sin n 1x cos x n sin n 1x sin(n+1)x §2. 3高阶导数一般地函数 y f(x)的导数 y f(x) 仍然是 x 的函数我们把 y f (x)的导数叫做函数 y f(x)的二阶导数记作y 、 f (x) 或d 2 y dx2即y (y ) f(x) [f(x)] d 2 y d( dy )dx2dx dx相应地把 y f(x)的导数 f (x)叫做函数 y f(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地 (n 1)阶导数的导数叫做n 阶导数分别记作yy (4)nd 3 y d 4 y d n y y ( )或dx 3dx 4dx n函数 f(x)具有 n 阶导数也常说成函数 f(x)为 n 阶可导如果函数 f(x)在点 x 处具有 n 阶导数那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y 称为一阶导数 y y y (4)y (n)都称为高阶导数例 1． y ax b 求 y 解 y a y 0例 2． s sin t 求 s解 scost s 2sin t例 3．证明函数 y2x x 2 满足关系式 y 3y 1 0证明因为 y2 2x 1 x2 2x x22x x 22x x 2(1 x) 2 2 xx2x)22x x 22x (1 11y22 x x 2(2x x 2 ) (2 x x 2)3y 3(2x x 2) 2所以 y 3y1 0例 4．求函数 y e x的 n 阶导数解 y e x y e x y e x y ( 4) e x一般地可得y ( n) e x即(e x )(n) e x例 5．求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数解 y sin x y cos x sin( x 2)ycos(x) sin( x2) sin( x 2 )222 ycos(x2 ) sin( x 22) sin(x 3 )22 2y (4) cos(x 3) sin(x 4 )22一般地可得y (n) sin( x n) 即 (sin x)(n) sin(x n)22用类似方法可得 (cos x)(n) cos(x n)例 6．求对函数ln(1 x)的 n阶导数解y ln(1x)y(1x) 1y(1x)2y(1)(2)(1x)3y(4)(1)(2)(3)(1x) 4一般地可得(n 1)!y(n)(1)(2)(n1)(1x) n( 1)n 1(1x)n即[ln(1x)] (n)(1) n 1 (n 1)!(1x)n例 6．求幂函数 y x ( 是任意常数 )的 n 阶导数公式解 y x1y(1)x2y(1)(2)x3y ( 4)(1)(2)(3)x4一般地可得y (n)(1)(2)(n1)x n即(x )(n)(1)(2)(n 1)x n当n 时得到n(n)(x )( 1)( 2) 3 2 1 n!而(x n)( n 1) 0如果函数u u(x)及v v(x)都在点x处具有n阶导数那么显然函数u(x) v(x)也在点 x 处具有 n阶导数且(u v) (n) u(n) v(n)(uv)u v uv(uv)u v2u v uv(uv)u v 3u v3u v uv用数学归纳法可以证明n(uv)(n)C n k u(n k)v(k)k0这一公式称为莱布尼茨公式2 2x(20)例 8． y x e求 y解设 u e2 x v x2则(u)(k)2k e2x (k1, 2,, 20)v 2x v 2 (v)(k)0 (k 3, 4,, 20)代入莱布尼茨公式得y (20)(u v)(20)u(20)v C 201u(19) v C 202u(18)v220e2x x2 20 219e2x 2x20 19218e2 x 22!220e2x(x220x95)§2. 4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如 y f(x) 的函数称为显函数例如 y sin x y ln x +e x隐函数由方程 F(x y) 0所确定的函数称为隐函数例如方程 x y3 1 0 确定的隐函数为y y 3 1 x如果在方程F(x y) 0 中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在那么就说方程F(x y) 0 在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例 1．求由方程 e y xye 0 所确定的隐函数 y 的导数解把方程两边的每一项对x 求导数得(e y ) (xy) (e) (0) 即 e y y y xy从而yy yx e y(x e0)例 2．求由方程 y 5 2y x 3x 7 0 所确定的隐函数 y f (x)在x 0 处的导数 y |x 0解把方程两边分别对 x 求导数得5y y 2y 1 21x 6 0由此得y1 21x 65 y 42因为当 x 0 时从原方程得 y 0 所以y |x 0 1 21x 6 |x 015y 4 2 2例 3求椭圆 x2y 21 在 (2, 33) 处的切线方程16 9 2 解把椭圆方程的两边分别对 x 求导得x2y y 08 9从而y9 x16y当 x 2 时y3 3 代入上式得所求切线的斜率2k y |x 234所求的切线方程为y 3 33 ( x 2) 即 3x4 y 8 3 02 4解把椭圆方程的两边分别对 x 求导得 x 2 y y 0 89将 x 2y3 3代入上式得211 y 043于是k y |x3 24所求的切线方程为y333( x 2) 即 3x 4 y 8 3 024例 4．求由方程x y 12sin y 0所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x 求导得1dy1cos y dy0dx2dx于是dy2dx 2 cos y上式两边再对x 求导得d 2 y 2sin ydy4sin ydxdx2(2cos y)2(2 cos y)3对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出 y 的导数设 y f(x)两边取对数得ln y ln f(x)两边对 x 求导得1 y[ln f (x)]yy f( x) [ln f(x)]对数求导法适用于求幂指函数 y [u(x)] v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5．求 y x sin x (x>0) 的导数解法一两边取对数得ln y sin x ln x上式两边对x 求导得1y cos x ln x sin x1y x于是y y(cos x ln x sin x 1 ) xx sin x(cos x ln x sin x)x解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求。
同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
0,
1,
数.
x0
x 0 的定义域为 D , ，值域W 1,0,1 ，这个函数称为符号函
x0
例 4 设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x ，函数 y x 的定义域为
D , ，值域为整数集 Z ，它的图形在 x 的整数值处，图形出现跳跃，而跃度为1，这个函数称为取整
x
x
x
定理 2 （极限的四则运算法则） 设 lim f x A， lim g x B ，则
x x0
x x0
（1） lim xx0
f
x
g x
A B
lim
xx0
f
x lim xx0
gx ;
（2） lim xx0
f
x g x
AB
lim
xx0
f
x lim xx0
g x ;
(3)
lim
三、主要例题：
例 1 函数 y C ，其中 C 为某确定的常数. 它的定义域为 D , ，值域为W C，它的图形是
一条平行于 x 轴的直线，这个函数称为常数函数.
例2
函数 y
x
x, x,
x
0
的定义域为
D
, ，值域W
0, ，这个函数称为绝对值函数.
x0
2
1,
例3
函数 y sgn x
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 集合与函数
课的类型
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分 教学难点
同济大学《高等数学》教学大纲
《高等数学》课程教学大纲一、课程的性质、目的和任务高等数学是工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3. 常微分方程；4.向量代数和空间解析几何；5.多元函数微积分学；6.无穷级数(包括傅立叶级数)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
二、课程教学的基本要求及基本内容说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。
高等数学B(上)一、函数、极限、连续1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
2. 理解复合函数和反函数的概念。
3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。
4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。
5. 理解极限的概念(对极限的ε-N、ε-δ定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。
6. 理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，掌握运用两个重要极限求极限的方法。
7. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。
会用等价无穷小求极限。
8. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
9. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。
二、一元函数微分学1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。
了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
3. 了解高阶导数的概念。
4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。
知道某些初等函数n阶导数的求法与公式。
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同济大学《高等数学》授课教案2015年3月2日（修改稿）第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
>函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：)y （说明表达式的含义）(xf(1)定义域：自变量的取值集合（D ）。
(2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。
例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。
例如：熟悉基本初等函数的图像。
3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。
例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。
分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。
例2、作函数⎩⎨⎧≥<=0,20,)(2x x x x x f 的图像？例3、求函数⎩⎨⎧-<≥=?)1(),0(),1(010)(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，，四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。
(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。
如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。
(2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。
(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。
例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求==例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+=五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。
1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则]2、 思考函数的几种特性的几何意义？ [奇偶性、单调性、周期性、有界性]3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？[不能]一位旅客住在旅馆里，图1—5描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图1—5标上具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个函数解析式表达出来吗？函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事物联系的多样性。
P4（A ：2-3）；P7（A ：2-3）课堂练习（初等函数）【A 组】1、求下列函数的定义域？(1)12+=x y (2) x e y = (3) 2log =y (x-1) (4) )4ln(12x x xy -+-=2、判定下列函数的奇偶性？(1) )()(x f x f y -+= (2) x x e e y -+= (3) 为自然数）n x y n (12+= 3、作下列函数的图像？(1) 112--=x x y (2) x e y -= (3) x y sin =4、分解下列复合函数？(1) 12+=x y (2) x e y sin = (3)xy 3sin 11-= (4))(cos ln 2x y = 【B 组】1、证明函数)1ln(2++=x x y 为奇函数。
2、将函数121-+-=x x y 改写为分段函数，并作出函数的图像？3、设)(,1)1(22x f x x x x f 求+=+？4、设)(x f =x1，求)]([x f f ，{})]([x f f f ？初等函数图像认识 1、幂函数：（如32,,x y x y x y ===）2、指数与对数函数：（如x y e y x ln ,==）3、三角函数与反三角函数：（x y x y arccos ,cos ==）4、多项式函数：（33123+--=x x x y ）-4-2246-20-101020y13x 3x 23x 35、分段函数：（x y x y sgn ,==）第二讲 导数的概念（一）、极限与导数复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。
>导数的引入（速度问题）—>导数的概念 >基本初等函数的导数（定义法）—>例子（简单）授课提要：前 言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数)，本节将复习函数的变化趋势(极限)，在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）。
导数是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用。
一、理论基础——极 限（复习）1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）2、极限的四则运算法则（略）3、求函数的极限（几类函数的极限）（1）若)(x f 为多项式，则)()(lim 00x f x f x x =→例1：求下列极限(1))12(lim 21-+→x x x (2) )12(lim 20-+→x x x (3) )12(lim 22-+→x x x （2）若)()(x g x f 为有理分式且0)(0≠x g ,则)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→（代入法）例2：求下列极限(1) 121lim 1-+→x x x (2) 322lim 220++-→x x x x (3) 11lim 21+-→x x x（3）若分式)()(x g x f ,当0x x →时，0)()(00==x g x f ，则用约去零因子法求极限 例3：求下列极限(1) 11lim 21--→x x x (2) 138lim 1--+→x x x (3) 132lim 21--+→x x x x （4）若分式)()(x g x f ,当∞→x 时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法求极限。
例4：求下列极限(1) 121lim 22--∞→x x x (2) 1512lim 22--+∞→x x x x (3) 121lim 2--∞→x x x3、两个重要极限（1）1sin lim 0=→x xx （2）e x e xx x x x =+=+→∞→10)1(lim )11(lim 或 说明：其中x 可以是)(x u 的形式，且当0→x 时，0)(→x u 。
例5：求下列极限(1)x x x 3sin lim 0→ (2) x x x 5sin 3sin lim 0→ (3) x x x 10)31(lim +→ (4) xx x )31(lim +∞→二、导数定义（复习增量的概念）引例1、速度问题（自由落体运动221gt s =）引例2、切线问题（曲线2x y =）以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y 关于自变量x 在某一点0x 处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极就是函数的导数。
∆x ，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率xyy ∆∆=，作为点0x 处变化率的近似值； 2、 对y 求∆x →0的极限xy x ∆∆∆0lim →，若它存在，这个极限即为点0x 处变化率的精确值。
)(x f y =在0x 点及附近有定义，当x 在0x 点取得增量x ∆时，相应函数取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，若当0→∆x 时，比值xy∆∆的极限存在，则称此极限值为)(x f 在0x 处的导数或微商。
记00)(x x dxdyx f ='或，即xyx x f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆00000lim )()(lim )((1)比值xy∆∆是函数)(x f 在],[00x x x ∆+上的平均变化率；而)(0x f '是)(x f 在0x 处的变化率，它反映函数在点0x 随自变量变化的快慢程度；(2)若x yx ∆∆→∆0lim不存在（包括∞），则称)(x f 在0x 点不可导；(3)若)(x f 在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b ）内可导，记)(x f '，称 为导函数，简称导数。
(4)f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值，f (x )在点0x 处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值。
三、导数与极限的关系导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数- 有极限，反之不成立。
四、基本初等函数的导数（定义）由定义知求函数导数的步骤：（三步骤） （1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。
例6、由定义求函数C y =的导数？例7、由定义求函数x y sin =的导数？（推导）1、 xxx sin lim +∞→是否存在，为什么？[0]2、若曲线y = 3x 在),(00y x 处切线斜率等于 3 ，求点),(00y x 的坐标。
3、 已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→。
[0]极限法” [近似转化为精确的数学方法]导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。