两种辅助角公式
三角辅助角公式
三角辅助角公式
asinx+bcosx=√(a+b)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。
1.辅助角公式是一种高等三角函数公式，其主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。
该公式已被写入中学课本，表达式为asinx+bcosx=√(a+b)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。
在使用该公式时，无论用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是用来表示函数名称的系数。
2.三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数中辅助角公式的应用1951-修订编选
三角函数中辅助角公式的应用1951-修订编选本文主要介绍三角函数的辅助角公式。
在三角函数的各个发展阶段，三角函数的应用范围不断扩大，对三角问题的研究和探索也取得了长足的进步。
但是，在运用时，仍然存在一些困难，比如某些特殊场合对解法是十分严格的，难以准确计算。
但对于使用辅助角公式解题往往会有一些较复杂的结论，这一点往往不能通过简单的证明。
本文给出了一些在特殊情况下可能会采用的辅助角公式，可以方便地用于求取。
下面一一介绍相关条件：(1).辅助角公式式：△ T为一个独立的函数 g (x, y) r+2 k+3-4 l n,其中: f (x, y)为连续函数; h为辅助参数；β t= k (k|θ>0);λ为绝对值系数。
1)△T1,T2 k+3-4 l n是三角函数 f (x, y)的辅助参数α和β的乘积，可以求出α;(3) t是三角函数 f (x, y)的辅助参数β的乘积。
a, b=1+3=2+3=2, c, d是角的乘积, d<α时 r=0, d> m时 r=1。
f (x, y)= r+2 k+3 l n 是一个独立函数, f (x, y)与 t有交点, f (x, y)与 t有乘点，求取函数 f (x, y)与 t关系式即可。
(2).△ T为一个独立函数, f (x, y)+ t=2+3,其中：u是连续函数。
a, b是乘积常数，α为辅助参数；c是绝对值系数。
1、a为三角函数 f (x, y)的系数，它的值大于0,叫做 f是角的乘积。
a< a, d> a,它的值大于0,叫做角的乘积。
a=0, a=0, a=1,可以求出 a和 e (x, y)的值，也可以求出 e和 a的值。
u为一个独立函数, u与 u有交点, u与 u之间有角的乘积, u> t即可求出 b和 c。
其中 e表示在该函数 f (x, y)中对应的角数点。
2、△ T为一个独立函数, f (x, y)和 t有交点时取 b^2+ c,其值与 a的取值范围一致即可。
辅助角公式及应用
6
6
（2）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（3）
3 sin 1 cos
2
2
sin cos 5 cos sin 5
6
6
（4）
3 2
sin
1 2
cos
sin cos cos sin
6
6
辅助角公式的推导及简单应用
导学达标
引例 例1:求证：
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 b,2由三角函数 的定义知
O 图1
x
sin b b
r a2 b2
所以 asin x bcos x
a2 b2 cos sin x a2 b2 sin cos x
cos a a
r a2 b2
a2 b2 sin(x ) (其中，tan b)
两个应用：
⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质 解决函数问题 ⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
sin
6
sin
5
6
sin cos cos sin
6
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin
5
6
sin
6
sin cos 5 cos sin 5
6
6
sin cos cos sin
6
6
3 sin 1 cos
2
2
3 sin 1 cos
两角和与差的正余弦公式应用辅助角公式
举例说明：利用两角和与差的正余 弦公式和辅助角公式，可以化简复 杂的三角函数式，进而求出最值。
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结合应用举例：求三角函数的最值、 化简三角函数式等。
结合应用举例：在物理、工程等领域 中，可以利用两角和与差的正余弦公 式与辅助角公式的结合应用，解决一 些实际问题。
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汇报人：XX
公式推导：通过两角和与差的正余弦公式推导出辅助角公式 角度范围：确定两角和与差的正余弦公式和辅助角公式的适用角度范围 实例解析：结合具体实例，展示如何应用两角和与差的正余弦公式与辅助角公式解决实际问题 注意事项：强调在应用过程中需要注意的事项，如公式的适用条件、计算精度等
两角和与差的正余弦公式与辅助角 公式的结合应用，可以解决一些三 角函数问题。
注意事项：使用公 式时需要注意角度 的范围和特殊情况 的处理
公式形式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny 应用场景：解决三角函数问题，如求角度、求长度等
辅助角公式：将两角和与差的正弦公式中的x和y视为辅助角，可以简化计算过程
证明方法：利用三角函数的加法定理进行证明
三角函数图像的变换 求解最值问题 解决周期和对称性问题处理切线问题
公式形式：asinx+bcosx=sqrt(a^2+b^2)sin(x+φ)，其中φ为辅助角 应用举例：求函数y=sinx+cosx的值域 应用举例：求函数y=sin2x+cos2x的最小正周期 应用举例：求函数y=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的最大值
两角和与差的正余 弦公式与辅助角公 式的结合应用
辅助角公式
⑷
例 2、已知函数 f ( x ) 3 sin( x ) 3 cos( x ) 6 6
（1）化简 f ( x ) 并求出其最小正周期；
x [ 0 , ] f ( x ) （2）若 ，求 的值域。
在平面直角坐标系中, 以a为横坐标,b为纵坐 标描一点 P(a,b)如图1 所示,则总有一个角 , 它的终边经过点P.设 OP=r,r= a2 b2 , 由三角函数的定义知
y
P(a,b)
xOLeabharlann b b cos a a sin 2 2 r 2 2 a b r a b
sin cos cos sin
3、二倍角的正、余弦公式
cos 2 cos sin
2 2
2 cos 1
2
1 2sin
2
sin 2 2sin cos
降幂公式
1 3 sin x sin x cos x 3 2 2 1 3
2 6 (3) sin x cos x 4 4 4 4
2 1 3 sin x cos x 2 2 4 2 4
2 7 sin x 2 12
cos
a a b
2 2
a a b cos
2 2
sin
b a b
2 2
b a b sin
2 2
a sin x b cos x
a b cos sin x a b sin cos x
辅助角公式
辅助角公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b 在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
辅助角公式——精选推荐
辅助⾓公式前⾔\require{AMScd} \begin{CD} f(x)=\sin x[正弦]\quad@>{a\cdot\sin x+b\cdot\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)[化⼀法]}>>\quad y=A\sin(\omega x+\phi)+k[正弦型] \end{CD}辅助⾓公式在三⾓变换中的⾓⾊太重要了。
三⾓变换中的许多变形都要由这个公式来完成最终的华丽转⾝，摇⾝⼀变为正弦型f(x)=A\sin(\omegax+\phi)+k或余弦型g(x)=A\cos(\omega x+\phi)+k，从⽽完成求周期，求值域、求单调性，求对称性，求奇偶性等等的解题要求。
辅助⾓公式变形前的模样：3\sin x+4\cos x；\sin x+\cos x；\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin\theta\pm\cfrac{1}{2}cos\theta；\sqrt{3}sin\theta\pm cos\theta；抽象后的模样：a\sin\theta+b\cos\theta，其中系数a,b\in R；⼀般情形下a\neq 0，b\neq 0，常⽤变形依据：\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)[此处是逆向使⽤公式；化为正弦型，不容易出错]\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)[此处是逆向使⽤公式；化为余弦型，很容易出错]具体变形过程：a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\left(\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\right)=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\phi\cdot \sin\theta+\sin\phi\cdot \cos\theta)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)备注：其中辅助⾓\phi满⾜条件tan\phi=\cfrac{b}{a}，由于有辅助⾓\phi的参与，使得原来的两种三⾓函数\sin\theta和\cos\theta的线性表⽰就可以转化为⼀种三⾓函数[正弦或者余弦]，所以这个公式好多⼈就随⼝称之为辅助⾓公式，也有⼈称为化⼀公式。
辅助角公式例题
辅助角公式例题
特殊三角形辅助角公式
1、什么是特殊三角形辅助角公式？
特殊三角形辅助角公式是由前苏联高等教育学者贝尔科夫提出的，用以解决特殊三角形中辅助角的问题，该公式可以有效地减少三角形中辅助角的计算步骤，极大地节省计算角度的时间。
2、特殊三角形辅助角公式的形式
特殊三角形辅助角公式是：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，γ为α加β所代表的辅助角.
3、应用特殊三角形辅助角公式解决问题的步骤
（1）找出全等三角形中的任意一个角的值。
（2）根据全等三角形的边的长度，找出另外一个角的值。
（3）将所求的角的值代入特殊三角形辅助角公式，计算出所求的辅助角的值。
4、应用实例
实例：一个直角三角形的两直角边长分别为3m和4m，求该三角形的斜边对应的锐角角度。
解：由直角三角形的两直角边长，可以求出斜边c为5m，a=3，b=4 带入特殊三角形辅助角公式可得：sinγ=sin45°/cos45°=1/1=1，
由此，该三角形的锐角角度为γ=45°.。
辅助角公式的推导
辅助角公式的推导我们首先考虑任意一个非负实数θ。
我们可以通过将θ逐步缩小，来将θ转化为介于0到90度之间的一个辅助角。
1.如果θ不是一个锐角，则我们需要转化为其补角α=90-θ。
这是由于锐角和钝角的三角函数值是相等的，只有对于锐角有意义的三角函数公式适用。
2.现在，我们可以定义辅助角β=α的余角。
辅助角β和α的终边重合，但是方向相反。
3.如果α是一个锐角，则β=π/2-α。
如果α是一个钝角，则β=α-π/24. 将β转化为一个锐角，我们需要考虑β和π的关系。
如果β小于π，那么无需转化。
如果β大于等于π，则我们需要转化为对应的锐角。
令γ = β mod π。
5.现在，我们得到一个介于0到π之间的锐角γ。
我们可以根据需要继续缩小这个角，直到其变为一个介于0到90度之间的锐角。
通过以上推导，我们可以得到辅助角公式的表达式。
设θ为任意实数，α为θ的补角，β为α的余角，γ为β mod π，且α和γ都是锐角，则有以下辅助角公式：sin(θ) = sin(α) = sin(β) = sin(γ)cos(θ) = cos(α) = -cos(β) = cos(γ)tan(θ) = tan(α) = -tan(β) = tan(γ)cot(θ) = cot(α) = -cot(β) = cot(γ)辅助角公式的推导过程相当简单，但它提供了一种计算三角函数的替代方法。
这样，我们就可以将原问题的角转化为一个更容易计算的辅助角，从而简化计算过程。
然而，需要注意的是，辅助角公式在三角方程的解中可能引入一些额外的解，因此在使用时需要谨慎。
辅助角公式
对f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数, 我们可以如此变形, 设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点, 则, 因此就是所求辅助角公式.又因为, 且-π/2<φ<π/2, 所以, 于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来暗示（针对b>0的情况）, 设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点, 则, 因此同理,, 上式化成若正弦和余弦的系数都是负数, 无妨写成f(x)=-asinx-bcosx, 则再根据诱导公式得记忆很多人在利用辅助角公式时, 经常忘记反正切究竟是b/a还是a/b, 招致做题犯错.其实有一个很方便的记忆技巧, 就是不论用正弦还是余弦来暗示asinx+bcosx, 分母的位置永远是你用来暗示函数名称的系数.例如用正弦来暗示asinx+bcosx, 则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）.如果用余弦来暗示,那反正切就要酿成a/b （余弦的系数b在分母）.疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候, 已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了, 此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数).而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变, 况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切暗示, 使得公式更加简洁明了.李善兰, 原名李心兰, 字竟芳, 号秋纫, 别名壬叔.出生于念书世家, 其先祖可上溯至南宋末年京都汴梁（今河南开封）人李伯翼.生于1811年 1月22日, 逝世于1882年12月9日, 浙江海宁人, 是中国近代著名的数学家、天文学家、力学家和植物学家, 创建了二次平方根的幂级数展开式.[1]（就是现在的自然数幂求和公式）他研究各种三角函数, 反三角函数和对数函数的幂级数展开式, 这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重年夜的成绩.[1]在19世纪把西方近代物理学知识翻译为中文的传布工作中﹐李善兰作出了重年夜贡献.他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用.同治七年, 李善兰到北京担负同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献. 李善兰为近代科学在中国的传布和发展作出了开创性的贡献.继梅文鼎之后, 李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表.他一生翻译西方科技书籍甚多, 将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新功效介绍传入中国, 对增进近代科学的发展作出卓越贡献.[1]例1求sinθ/(2cosθ+√5)的最年夜值解：设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k ∴√[1+(-2k)²]sin(θ+α)=√5k平方得k²=sin²(θ+α)/[5-4sin²(θ+α)]令t=sin²(θ+α) t∈[0,1]则k²=t/(5-4t)=1/(5/t-4)当t=1时有kmax=1辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化例2化简5sina-12cosa解：5sina-12cosa=13(5/13*sina-12/13*cosa)=13(cosbsina-sinbcosa)=13sin(a-b)其中, cosb=5/13,sinb=12/13例3π/6≤a≤π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值解：令f(a)=sin²a+2sinacosa+3cos²a=1+sin2a+2cos²a=1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)=2+(sin2a+cos2a)=2+（√2）sin(2a+π/4)(辅助角公式)因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4所以f(a)min=f(3π/4)=2+(√2)sin(3π/4)=3。
辅助角公式
化 a sin x b cos x 为一个角的三角函数形式
a sin x b cos x
a b a b sin x cos x 2 2 2 2 a b a b a cos 2 2 a b 令 b sin a 2 b2
2 2
(3)2sin cos 2 1 5( sin cos ) 5 5
令
5(cos sin sin cos ) 5 sin( )
典型例题
已知：函数y 3sin 2x 3 3 cos 2x 1
(1)求此函数的值域和周期； (2)求此函数的单调递增区间； (3)求此函数图象的对称轴； (4)求此函数图象的对称中心；
3 1 (1) sin cos 2 2 (2)sin 3cos
(3)2sin cos
3 1 (1) sin பைடு நூலகம் cos 2 2 cos sin sin cos sin( 6 ) 6 6
3 1 (1) sin cos 2 2 sin sin cos cos cos( ) 3 3 3
(2)sin 3 cos 1 3 2( sin cos ) 2 2 2(cos sin sin cos ) 3 3 2 sin( ) 1 3 2( sin cos ) 3 2 2 2(sin sin cos cos ) 6 6 2 cos( ) 6
a 2 b 2 sin x cos cos x sin a 2 b2 sin x a 2 b 2 cos x
辅助角公式