河南省师范大学附属中学2015-2016年学年高一上学期数学竞赛班培训真题汇编74题(无答案)

平面几何讲义——真题选讲

主讲人：孙福祥1、设PQRS是圆O的内接四边形，PS为直径，QR//PS.PR与QS交于点A.B为平面上一点，使得四边形POAB为平行四边形.证明：BQ=BP.

2、在四边形ABCD中，DP⊥AB于P，BS⊥CD于S，BR⊥AD于R，DQ ⊥BC于Q.若SPQ

∠，证明：PR=SQ.

=

PSR∠

3、已知PA,PC 与圆Γ相切于A,C 两点.过点P 作圆的割线交圆于Q,

交弦AC 于B ，AQC ∠的平分线交弦AB 于R ，

交圆于点S.证明：22

RC

AR BC AB =.

4、在等腰△ABC 中，CA=CB ，I 为其内心.设P 是△AIB 的外接圆在△ABC 内部的圆弧上一点，过P 分别平行于CA 和CB 的直线分别交AB 于点D 和E ，过点P 平行于AB 的直线交AC 于F ，交BC 于G.证明：直线DF 与直线EG 的交点在△ABC 的外接圆上.

5、在△ABC中，一个经过A，B两点的圆交边AC,BC于点D,E.BA和ED的延长线交于点F，BD的延长线交CF于点M.证明：MF=MC的充要条件是2

MB=

⋅.

MD

MC

6、设ABCD是圆内接四边形，过点D向直线BC,CA,AB分别引垂线，垂足依次为P,Q,R.证明：PQ=QR的充要条件是ABC

∠

∠的平分线，ADC 的平分线和AC三线共点.

7、圆1O 和圆2O 相交于A,B 两点.过点A 所作的两圆的切线分别与1BO 和2BO 相交于点K,L 两点.证明：21//O O KL .

8、内接于圆的四边形ABCD 的两条对角线相交于点O.设△ABO 和△CDO 的外接圆分别为1S 和2S ，两圆交于点O 和K.过点O 分别作AB 和CD 的平行线，它们分别与圆1S 和圆2S 交于点L 和M ，在线段OL 和OM 上取点P 和Q ，使得QO MQ PL OP :: .证明：O,K,P,Q 四点共圆.

9、已知△ABC为锐角三角形，AB≠AC，以BC为直径的圆分别交边AB 和AC于点M和N,记BC得中点为O，BAC

∠的平分

∠的平分线和MON

线交于点R.证明：△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在BC 上.

10、在凸四边形ABCD中，对角线BD不平分对角中的任意一个.点P 在四边形ABCD内部，并且满足DBA

=

∠.若

PBC∠

PDC∠

∠和BDA

=

A,B,C,D四点共圆，证明：AP=CP.

11、已知半圆O的直径为AB，C为OB上一点，过点C且垂直于AB的直线交半圆O于点D.圆P与半圆O内切于点F，与CD切于点E，与BC切于点G.证明：△ADG为等腰三角形.

12、给定直角△ABC，ACB

∠为直角，点D是边AC上任意一点，两个圆与直线AB分别相切于A,B两点,两圆相交于D,E两点.证明：∠.

=

BAC∠

DEC

13、M,N,P 是△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，111P N M ，，在△ABC 的三边上，并且111PP NN MM ，，分别平分△ABC 的周长.证明：111PP NN MM ，，交于一点K ；K 是△MNP 的内心.

14、已知锐角△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，M 是边AB 的中点.过M 的直线分别交设弦CA,CB 于点K,L ，并且CK=CL.若△CKL 的外心为S ，证明：SD=SM.

15、已知△ABC 中，由点A 分别向C B ∠∠,的平分线引垂线，垂足分别为21A A ，.同理定义21B B ，和21C C ，. 证明：()CA BC AB C C B B A A ++=++2121212.

16、已知等腰△ABC 中，AB=BC ，平行于BC 的中位线交△ABC 的内切圆于点F ，其中F 不在底边AC 上.证明：过点F 的切线与C ∠的平分线的交点在边AB 上.

17、设I 是△ABC 的内心，I 关于三边的对称点分别是C B A ''',,，并且△C B A '''的外接圆过点B.证明： 60=∠ABC .

18、设I 是△ABC 的内心，射线AI,BI,CI 与△ABC 的外接圆分别交于点D,E,F.证明：AD ⊥EF.

19、已知△ABC的外接圆为S，且满足AB

20、已知D为△ABC的边AB上一点，使得4AD=AB,过D的射线l满足与AD的夹角ACB

θ，且射线l与点C在直线AB的同侧.若l与△ABC

=

∠

的外接圆交于点P，证明：PB=2PD.

21、两圆21O O ，外切于点M ，并且圆2O 的半径大于圆1O 的半径，点A

是圆2O 上一点，并且A,21O O ，三点不共线.AB,AC 是圆1O 过点A 的两

条切线，切点分别是B,C.直线MB,MC 于圆2O 的另外一个交点分别是

E,F ，点D 是线段EF 与圆2O 以A 为切点的切线的交点.证明：当点A

在圆2O 上移动且保证A,21O O ，三点不共线时，点D 沿一条固定的直线

移动.

22、P 是△ABC 内的一点，直线AC 与BP 相交于点Q ，直线AB 与CP 相交于点R.已知AR=RB=CP,CQ=PQ.求BRC 的度数.

23、已知圆内接正△ABC，在劣弧BC上有一点P，若AP与BC交于点D，且PB=21，PC=28.求PD的长度.

24、设圆O和直线l不相交，AB是圆O的一条直径，并且垂直于直线l，点B比点A更靠近直线l.在圆O上任取一点C(异于A,B两点)，直线AC交直线l与D，直线DE与圆O切于点E，并且B,E在AC的同侧.设BE交直线l于点F，AF交圆O于点G（异于点A）.证明：点G 关于直线AB的对称点在直线CF上.