2020八年级数学下册 19.2.1 正比例函数教案1 (新版)新人教版
人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》教学设计
人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究函数性质的重要内容。
本节课的主要内容是正比例函数的定义、图像和性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握正比例函数的概念，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识基础。
但是，对于正比例函数的定义和性质，以及如何运用正比例函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.理解正比例函数的定义，掌握正比例函数的性质。
2.能够根据正比例函数的性质，解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.正比例函数的定义和性质。
2.如何运用正比例函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正比例函数的定义和性质。
2.利用多媒体辅助教学，展示正比例函数的图像，帮助学生直观地理解正比例函数的性质。
3.通过实例分析，让学生学会如何运用正比例函数解决实际问题。
4.小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.正比例函数的相关教学素材，如PPT、例题、练习题等。
3.学生分组合作的准备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实例，如速度与时间的关系，引导学生思考这些实例背后的数学规律。
2.呈现（10分钟）介绍正比例函数的定义，引导学生通过观察实例，总结正比例函数的性质。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生通过合作解决问题，进一步理解和掌握正比例函数的性质。
4.巩固（10分钟）针对学生掌握的情况，进行针对性讲解，巩固学生对正比例函数性质的理解。
5.拓展（10分钟）利用正比例函数的性质，解决实际问题。
人教版八年级下册数学教案：19.2.1正比例函数
(3)通过图像和实际例子，说明正比例函数的单调性，如温度与时间的关系，温度随时间推移而上升或下降。
2.教学难点
-理解并运用正比例函数表达式，特别是常数k的物理意义；
-理解正比例函数图像与性质之间的关系；
-在实际问题中建立正比例函数模型，并运用该模型解决问题。
1.培养学生运用数学语言和符号表达现实世界中的正比例关系，提升数学抽象素养；
2.通过绘制和分析正比例函数图像，发展学生的几何直观和空间想象能力，增强直观想象素养；
3.结合实际情境，让学生体会数学模型的实用性和有效性，提高数学建模和数学应用素养；
4.通过探索正比例函数的性质，锻炼学生的逻辑思维能力和推理能力，加强逻辑生根据已知条件建立正比例函数模型，并求解相关问题，如“已知某商品的价格与重量成正比，重量每增加1千克，价格增加5元，求购买3千克该商品的总价”。教师应引导学生识别问题中的正比例关系，列出函数表达式，并求解。
。而“教学内容”部分已经给出，以下是“核心素养目标”的编写：
二、核心素养目标
-正比例函数的图像特征：直线通过原点，斜率为k；
-正比例函数的单调性：k > 0时函数单调递增，k < 0时函数单调递减；
-正比例函数在实际问题中的应用。
举例解释：
(1)通过具体实例引入正比例函数，如“小明骑自行车，速度是每小时10公里，他骑行的时间t和小明行驶的路程s之间的关系”，强调s与t成正比，得出s = 10t。
3.培养学生运用正比例函数解决实际问题的能力，提升数学应用素养；
4.在探索正比例函数性质的过程中，锻炼学生的逻辑推理和数学论证能力，培养逻辑推理素养；
5.引导学生通过小组合作、交流分享，发展数学交流与合作能力，提高数学表达和交流素养。
人教版八年级数学下册19.2.1正比例函数优秀教学案例
1.小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生分享自己的观点和思考，通过交流和互动，促进学生共同进步。
2.小组探究：组织学生进行小组探究，让学生通过合作、实验、观察等方式，共同发现正比例函数的图象和性质，培养学生的合作能力和团队精神。
3.小组展示：组织学生进行小组展示，让学生通过讲解、展示等方式，展示自己的学习和探究成果，提高学生的表达能力和自信心。
4.通过本节课的学习，让学生能够运用所学的正比例函数知识，对生活中的实际问题进行分析和解决，提高学生的应用能力。
（二）过程与方法
1.采用自主学习、合作探究、交流分享的教学方法，引导学生主动参与课堂，培养学生独立思考和合作交流的能力。
2.通过情境创设、问题引导，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究正比例函数的定义、图象和性质。
1.布置作业：布置一些与正比例函数相关的练习题，让学Biblioteka 巩固所学知识，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例导入：以购物场景为例，展示商品价格与数量之间的关系，引导学生观察和思考这种关系是否可以用数学模型来描述。
2.问题引导：提出问题：“商品的价格与数量之间存在怎样的关系？这种关系可以用数学符号如何表示？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
3.情境体验：让学生举例说明生活中存在的其他类似关系，如速度与路程的关系，引导学生体会正比例函数在生活中的广泛应用。
（三）学生小组讨论
1.小组合作：将学生分成小组，让学生通过合作、讨论的方式，探讨正比例函数的图象和性质，促进学生之间的交流和合作。
2.问题解决：让学生分组解决一些与正比例函数相关的问题，如根据函数的性质推断图象的变化，提高学生解决问题的能力。
人教版八年级数学下册19.2.1正比例函数的图像与性质教学设计
（激发学生主动学习的热情，树立自信心，形成积极向上的学习态度。
2.通过小组合作交流，培养学生团结协作、互相帮助的精神，增强团队意识。
3.让学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识和实践能力。
-重难点突破设想：通过动态演示或手工绘制正比例函数图像，让学生直观感受图像的形成过程，并结合实际例子，引导学生发现和总结性质。
2.正比例函数在实际问题中的应用是另一个教学难点，学生需要掌握如何将现实问题转化为数学模型，并利用正比例函数的知识解决。
-重难点突破设想：设计多样化的实际问题，如涉及速度、比例尺等，让学生在解决问题的过程中学会建立数学模型，运用正比例函数的知识。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成小组，让每个小组讨论以下问题：
a.正比例函数图像的特点；
b.正比例函数在实际生活中的应用；
c.如何根据给定的点或斜率求解正比例函数的表达式。
2.分享交流：各小组派代表分享讨论成果，其他小组进行补充或质疑。通过讨论，让学生深入理解正比例函数的性质和图像特点。
（四）课堂练习
2.情境创设：向学生展示一组生活实例，如一辆汽车以恒定速度行驶，行驶时间和行驶距离的关系。引导学生观察数据，发现行驶距离与时间成正比关系，从而引出正比例函数的概念。
3.提出问题：在复习一次函数的基础上，提问学生：“一次函数y=kx+b中，当b=0时，图像会有什么特点？”通过这个问题，激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，通过启发式教学、小组合作等方式，引导学生主动探究，提高学生的数学素养和解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯，使学生在轻松愉快的氛围中学习正比例函数的知识。
人教版初中数学八年级下册19.2.1《正比例函数的图像和性质》教案[001]
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19.2 一次函数19.2.1 正比例函数——正比例函数的图象与性质【知识与技能】1.能够画出正比例函数的图象.2.能够根据正比例函数的图象归纳正比例函数图象的性质.3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题.【过程与方法】1.通过实例，体会建立数学模型的思想.2.通过正比例函数图象的学习与研究，感知数形结合思想.【情感态度】结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度.【教学重点】正比例函数的图象与性质.【教学难点】正比例函数的图象与性质一、复习回顾正比例函数的概念（练习回顾）已知y-3与x成正比例，当x=2时，y=7，求y与x之间的函数解析式. 解：设y-3=kx，∵当x=2时，y=7，代入得7-3=2k，∴k=2，即y-3=2x，则y=2x＋3二、思考探究，获取新知例1.画出下列正比例函数的图象（1）y=2x，y=1/3x；（2）y=-1.5x，y=-4引导学生用描点法将这四个正比例函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，鼓励学生探索图象特征，引导学生归纳的结果围绕以下几个方面：(1)图象都是经过原点的直线.(2)函数y=2x和y=1/3x的图象从左向右递增，经过一、三象限.(3)函数y=-1.5x和y=-4x的图象从左向右递减，经过二、四象限.教师总结正比例函数的图象与性质：一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k＞0时，直线过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线过第二、四象限，y 随x的增大而减小.例1已知正比例函数的图象过点(2m，3m)，m≠0，求这个正比例函数的解析式.解：设正比例函数的解析式为：y=kx.把(2m，3m)代入得3m=k·2m，解得k=3 2 .∴解析式为y=32 x.【教学说明】正比例函数中只含有一个待定系数，只需知道一点坐标即可求得其解析式.例2 已知(x1,y1)、(x2，y2)是直线y=-2x上的两点，若x1＞x2，则y1，y2的大小关系是( ).A.y1＜y2B. y1＞y2C. y1= y2D.不能比较【分析】因为y=-2x中-2＜0，即直线y=-2x的函数值是随x的增大而减小的，所以当x1＞x2时，y1＜y2，故选A.【教学说明】通常我们在x的某一范围内取x1＜x2，若点(x1，y1)，(x2，y2)为函数图象上的两点，当y1＜y2时，该函数在这个范围内y随x的增大而增大；当y1＞y2时，该函数在这个范围内y随x增大而减小.三、运用新知，深化理解1.已知正比例函数y=(k+3)x.(1)k为何值时，函数的图象经过一、三象限.(2)k为何值时，y随x的增大而减小.(3)k为何值时，函数图象经过点(1，1).2.已知（x1，y1）、（x2、y2）是直线y = x上的两点，若x1＞x2，则y1，y2的大小关系是（）.A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.不能比较3.在函数y=-3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点横坐标为-2，求△POA的面积(O为坐标原点).【教学说明】以上各题由学生自主探究，有疑问的教师加以指导，最后评析.四、师生互动，课堂小结问题1.正比例函数的图象是什么？它有什么特征？2.如何简便地画出正比例函数的图象？3.本节课的学习经历了怎样的过程？你有何感悟？1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.因从本课时开始，学生将逐渐认识并理解各类具体的函数图象，一般的基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征，结合学生已有的知识与经验和后面的学习内容与要求，本课时重在引领学生认识正比例函数的概念、图象的画法和应用性质的基本步骤，为后续学习指明方向和打下坚实的基础，利于研究更复杂的具体函数.教学中引导学生观“形”识“信息”，逐步形成读图能力，以及解题能力.。
人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数教案
人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数教案一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.1节讲述了正比例函数的概念、性质及其在实际问题中的应用。
本节内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
教材通过具体的例子引入正比例函数，使学生能够直观地理解概念，并通过大量的练习题让学生熟练掌握正比例函数的性质和运用。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了代数基础知识，对变量、常量、方程等概念有了一定的理解。
但正比例函数作为一种特殊的函数，学生可能对其概念和性质认识不足，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
此外，学生可能对于实际问题中如何运用正比例函数解决有一定困难，需要通过实例分析和练习来提高。
三. 教学目标1.了解正比例函数的概念，掌握正比例函数的性质。
2.能够运用正比例函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.正比例函数的概念和性质。
2.正比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、练习法、小组讨论法等教学方法。
通过具体的例子引入正比例函数，让学生在实际问题中感受正比例函数的应用，通过练习题让学生巩固所学知识，通过小组讨论培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的例子和练习题，用于课堂讲解和练习。
2.准备多媒体教学设备，用于展示例子和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入正比例函数的概念，如“一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时后，行驶的路程是多少？”让学生思考并回答，引出正比例函数的概念。
2.呈现（10分钟）讲解正比例函数的定义和性质，通过多媒体展示相关的图片和实例，让学生直观地理解正比例函数的概念。
同时，给出正比例函数的一般形式y=kx（k为常数，k≠0），并讲解其性质。
3.操练（10分钟）让学生进行一些有关正比例函数的练习题，巩固所学知识。
人教版初中数学八年级下册19.2.1《正比例函数》教案设计
19.2.1正比例函数
第1课时
教学目标
1、理解正比例函数的概念。
2、正比例函数待定系数法。
教学
重难点
正比例函数的概念和正比例函数待定系数法。
教（学）具准备
教本及课件相结合。
教学方法
新授课、师生互动等
教
学
过
程
1、创设情境独立思考
阅读课本P86 ～87 页，思考下列问题：
（1）什么叫正比例函数？
（2）课本P86页问题1和思考你能独立画出图象吗？
（3）什么是正比例函数？是怎么定义的？并有哪些注意事项.
（4）课本P87页练习你能独立解答吗？
二、合作学习探索新知方法：
◆问题1：京沪高速铁路全长1318千米．设列车平均速度300千米/时；考虑以下问题
（1）乘京沪高铁列车，从北京到上海约需多少小时？（结果保留小数点后一位）
（2）京沪高铁的行程y（单位：km)运行时间t（单位：h）之间有和数量关系？
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。
◆观察以下函数
(1) (2)
(3) (4) T=
这些函数有什么共同点?
解：这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！
三、归纳总结巩固新知
★一般地,形如 的函数,叫做正比例函数,其中K叫做比例系数。
注意：这里强调K是常数，K≠0，且x，y次数均为一次。
（3）京沪高铁列车，从北京南站出发2.5h后，是否已经过了局始发站1100km的南京南站？
◆下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？
（1）圆的周长l随半径r的大小变化而变化；
（2）铁的密度为7.8g/ cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化.
人教版初中数学八年级下册19.2.1《正比例函数》教案设计
19.2.1正比例函数(第1学时)一、教学目标(一)知识与能力1、掌握正比例函数的定义及解析式特点。
2、利用正比函数的定义解决问题。
(二)过程与方法1、使学生经历由“问题情境——自主探索——分析归纳——得出结论——练习巩固”的数学思维活动过程，使学生感受数学学习的兴趣，增强学生学习的兴趣。
2、培养学生善于观察问题发现结论,了解由特殊到一般的数学思想.(三)情感态度及价值观通过对正比例函数定义的学习,体现数学源于生活而运用于生活,积极参与探究活动,注意多和同伴交流看法,激发学生兴趣,增强学生对数学学习的好奇心和求知欲.二、学情分析八年级的学生处于思维活跃阶段,学生的接受能力、思维能力、自我控制能力都有较大变化和提高,具备一定的自学能力。
本节课学生对运动变化现象中的变量已经有了一定的认知能力,在此基础上认识最简单、最基本的函数——正比例函数,通过定义的学习。
让学生巩固对正比例函数意义的认识，熟悉它的解析式,为学生继续学习正比例函数的图象及其性质打下牢固的基础。
三、教学重难点教学重点:理解和掌握正比例函数的定义。
教学难点:利用正比例函数的定义求函数关系式。
四、教学过程（一）问题探究1.情境引入同学们，我们每天都能听到各种各样的声音，我们伴随着上课铃声开始我们每天的学习之旅。
但是，同学们你们有认真听过自己的“心声”吗？（停顿）当然了，老师这里指的是你们心跳声。
哪位同学知道我们正常情况下每分钟的心跳大概是多少下吗？（学生自由发言）对了，正常情况下我们每分钟的心跳大概是75下。
假设x分钟后心脏跳动y下，那么y会随x的变化而变化吗？请列出一个函数关系式来表示这个变化过程。
关系式：y =75x，下面一起进入这类函数的学习。
2.教材思考题下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化；（2）铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化；（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n 变化而变化；（4）冷冻一个0 ℃的物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常数和自变量。
人教版八年级数学下册 19.2.1 正比例函数 教案
正比例函数教学设计一、教学目标1.经历从实际问题抽象得出正比例函数的过程||，正确理解正比例函数的概念；2.会根据已知条件求正比例函数的解析式.会画正比例函数图象||，能结合图象说出正比例函数性质；3．渗透数形结合的思想||，培养学生多途经解决问题的思维方法.二、教学重点、难点1、正比例函数的意义以及解析式特点2、对正比例函数图象的理解和运用三、教学过程一、复习旧知写出下列每个问题中的两个变量之间的函数关系式：1.圆的周长l随半径r的大小变化而变化；cm）的大2.铁的密度为7.83g||，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：2/cm小变化而变化；3．每个练习本的厚度为0.5cm||，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；4.冷冻一个0℃的物体||，使它每分钟下降2℃||，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化.解:1. ；2. ；3. ；4. ；二、探究新知（一）、正比例函数的概念教师出示以下问题：1.观察上面五个函数的解析式||，他们有什么共同特点？2.这四个函数解析式用一个一般形式如何表达呢？归纳：一般地||，形如的函数叫做正比例函数．．．．．||，其中k叫做.思考：正比例函数的一般形式是什么？比例系数k必须满足什么条件？自变量的指数是几？（二）、正比例函数图像的画法与性质（一）复习：用描点法画函数图象的步骤是.（二）探究：学生：自学课本P 87“例1”至P 89“练习”以前的内容后||，解答下列问题： 1.用描点法画出下列正比例函数的图象（见坐标纸） 2.归纳：三、巩固新知（1）、下列函数哪些是正比例函数？ ① y=x 3 ② y=3x ③ y=-12x+1 ④ y=2x ⑤y=x 2+1 ⑥ y=(a 2+1)x+2(2)若2532-+=-m xy m 是正比例函数||，求m 的值?(3)若直线32)1(-+=m x m y 经过一、三象限||，则m =.(4)已知点P 1（-2||，y 1）、P 2（1||，y 2）是正比例函数ax y -=(0<a )图象上的两点||，则y 1与y 2的大小关系是 .(5)已知y 与x 成正比例||，且x =3时||，y =-6.（1）写出y 与x 之间的函数解析式；（2）若点P （-6||，m +4）在该函数图象上||，求m 的值. 四、再探新知既然正比例函数的图象是一条直线||，那么最少几个点就可以画出这条直线？怎样画最简单？ 试一试：用最简单的方法画出函数y=-3x 的图象本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（从知识、方法角度分析）。
人教版八年级数学下册 19.2.1 正比例函数 教案
教
学过程一、情境展示：
1、展示高铁列车以及线路图。
同学们知道这是什么吗？
同学们知道这条高铁是哪条线路吗？这
列高铁正在那个城市里穿行？
教师顺次展示高
铁图片，并根据
图片的出现顺序
依次提出问题或
进行说明。
教学
过
程
我们芜湖也通高铁了。
二、新课引入
教师：要知道高铁的建造以及运行都离
不开数学知识，今天我们就来研究一下
高铁在运行过程中，列车的行程和运行
时间之间究竟有什么样的数学关系。
三、新课推进
请同学们解答下面的问题：教师指出这是我们芜湖的第一个高铁线路。
人教版数学八年级下册《19.2.1 正比例函数》教学设计
人教版数学八年级下册《19.2.1 正比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.2.1 正比例函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究函数的性质和应用。
本节内容主要包括正比例函数的定义、图象和性质，以及正比例函数在实际生活中的应用。
通过本节的学习，使学生能够理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的图象和性质，并能运用正比例函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了初中数学的基本知识，对函数有一定的了解。
但学生对正比例函数的概念和性质的认识还不够深入，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
同时，学生对于正比例函数在实际生活中的应用还不够熟悉，需要通过实例来引导学生理解和运用。
三. 教学目标1.理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的图象和性质。
2.能够运用正比例函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.正比例函数的概念和性质。
2.正比例函数在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究正比例函数的性质和应用。
2.利用数形结合法，通过图象来直观展示正比例函数的性质。
3.采用实例教学法，让学生通过实际问题来理解和运用正比例函数。
六. 教学准备1.教学PPT，包括正比例函数的定义、图象和性质等内容。
2.实例题库，用于巩固和拓展学生的知识。
3.板书设计，包括正比例函数的定义、图象和性质等重要内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入正比例函数的概念，例如：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶3小时后，行驶的路程是多少？引导学生思考速度、时间和路程之间的关系，从而引出正比例函数的概念。
2.呈现（10分钟）利用PPT呈现正比例函数的定义、图象和性质。
引导学生通过观察图象来理解正比例函数的性质，如过原点、斜率为正等。
同时，给出正比例函数的数学表达式y=kx（k为常数，k≠0）。
八年级数学下册19.2.1正比例函数(第1课时)教案新人教版
19.2。
1 正比例函数（第1课时）【教材分析】
【教学流程】
尊敬的读者：
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文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
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人教版八年级下册数学教案：19.2.1 正比例函数
《正比例函数》教学设计1、教材分析本节内容是本章的重点知识，首先安排正比例函数内容，讨论这种函数的定义，图像和增减性等，然后以此为基础，继续学习一次函数的定义、图像和增减性等，这是一个从特殊概念向一般概念推广的认知过程。
正比例函数和一次函数的概念都是从实际问题引入的，这样可以更好地体现函数概念的实际背景，反映数学与实际的关系，即数学理论来源于实际又服务于实际。
1、学情分析正比例函数和一次函数都是根据函数的解析式来定义的，本套教科书后面的二次函数也是这样定义的。
学生重点要理解研究函数的一般思路和方法。
3、教学目标（1）通过对不同背景下函数模型（关系式）的比较，接受正比例函数的概念。
（2）在用描点法画正比例函数图像的过程中发现正比例函数的性质。
（3）利用发现的性质简便地画出正比例函数的图像。
（4）初步体验研究函数的一般思路和方法。
教学重点和难点重点：正比例函数的概念、图像与性质。
难点：体验研究函数的一般思路与方法。
2、教学过程扩大像可以直观、清晰地表示函数关系，正比例函数的解析式具有共同的结构，那么它们的图像是否也有某种必然的共同之处呢？画出下列正比函数的图像：（1） y=2x；（2）y=-2x。
问题2：比较上述两个函数图像的相同点与不同点，发现他们具有怎样的规律？问题3：引导学生思考：这种规律对其他正比例函数适用吗？具有一般性吗？练习：在同一坐标系中，画出下列函数的图像，并对他们进行比较：(1)y=1/2 x;（2）y=-1/2 x. 一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。
当k＞0是，直线y=kx经过第三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第四、二象限，从左向右下降，即随x 的增大y反而减小。
学生回顾用描点法绘制函数图像的一般步骤，学生绘制上述函数的图像。
学生充分发表意见，鼓励百家争鸣、各抒己见。
学生尝试。
19.2.1正比例函数(共2课时)教案 【新人教版八年级下册数学】
八年级数学（下）导学练案 总第 课时学习反思课题：19.2.1正比例函数（1）编写：湖北省郧县城关一中 熊勇【学习目标】1.经历从实际问题抽象得出正比例函数的过程,正确理解正比例函数的概念；2.会根据已知条件求正比例函数的解析式.【前置学习】一、基础回顾：写出下列每个问题中的两个变量之间的函数关系式：1.京沪高铁列车的平均速度为300km/h ，列车的行程y(km)随时间t(h)的变化而变化；2.圆的周长 随半径的大小变化而变化；l r 3.铁的密度为7.8，铁块的质量（单位：）随它的体积V （单位：）的3/cm g m g 2cm 大小变化而变化；4．每个练习本的厚度为0.5，一些练习本摞在一起的总厚度（单位：）随这cm h cm 些练习本的本数的变化而变化；n 5.冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度（单位：℃）随冷冻时间T t （单位：分）的变化而变化.解:1. ；2. ；3. ；4. ；5. .二、自主探究请认真学习课本至页“练习”以前的内容后，思考：86P 87P 1.观察上面五个函数的解析式，他们有什么共同特点？2.这五个函数解析式用一个一般形式如何表达呢？归纳：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做 . 3.下列函数：① ② ③ ④ ⑤ ⑥中，x y -=3x y =x y 8=23+=x y x y 2=2x y =属于正比例函数的是 .三.疑难摘要.【学习探究】一、合作交流、解决困惑（一）小组交流:通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：展示一：1.正比例函数的一般形式是什么？比例系数k 必须满足什么条件？自变量的指数是几？2.若y =5x是正比例函数，则m = ；若是关于x 的正比例函数，则3m-2(4)y m x =-m.3.已知当m = 时，y 是x 的正比例函数. 82)3(--=m x m y八年级数学（上）导学练案总第 课时学习反思展示二：（教师结合学生情况自主生成）二、应用新知,解决问题例题 已知y 与x 成正比例，且x =2时，y =-6.（1）求出y 与x 之间的函数解析式；（2）若点在这个函数的图象上，求a 的值.)2,(-a三、巩固新知,当堂训练课本P 87练习 第1、2题.四、反思小结本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？【自我检测】 1.一列火车以120km/h 的速度匀速前进，那么它行驶的路程s （km ）随行驶时间t （h ）变化的函数解析式为 ；此函数是 函数.2.下列函数关系中,属于正比例函数关系的是（ ）(A)圆的面积s 与它的半径r ； (B)面积一定时，长方形的长y 与宽x .(C)路程是常数s 时，行驶的速度v 与时间t.(D)三角形的底边是常数a 时，它的面积s 与这条边上的高h3.若函数是正比例函数，则常数a 的值为（ ）ax a y )1(-=（A ）0 （B ）±1 （C ）1 （D ）-14.已知y 与x 成正比例，且x =3时，y =-6.（1）写出y 与x 之间的函数解析式； （2）当y =-2时，求x 的值；（3）若点P （-6,m +4）在该函数图象上，求m 的值.【应用拓展】5. 已知y -2与x +1成正比例，当x ＝8时，y ＝6，写出y 与x 之间的函数关系式，并分别求出x ＝4和x ＝-3时y 的值.八年级数学（下）导学练案 总第 课时学习反思课题：19.2.1正比例函数（2）编写：湖北省郧县城关一中 熊勇【学习目标】１．会画正比例函数图象，能结合图象说出正比例函数性质；２．渗透数形结合的思想，培养学生多途经解决问题的思维方法.【前置学习】一、基础回顾：1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些不是？为什么？① ② ③ ④ ⑤ x y 2=23x y =x y 4-= 1.5y x =-13-=x y2.用描点法画函数图象的步骤是. 二、自主学习请自学课本P 87“例1”至P 89“练习”以前的内容后，解答下列问题：1.用描点法画出下列正比例函数的图象（1） （2）x y 2= 1.5y x =-2.观察图象回答：正比例函数y =2x 与y =-1.5x 的图象是什么图形？是否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是下降？2．对照课本P 88页中的图象，说一说函数与y =-4x 的图象各有什么特征？ 13y x =3．总结规律：（1）正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过 的 ；我们称它为直线y=kx .（2）当0时，直线y=kx 经过第 象限，从左向右 ，y 随x 增大而 ；k ＜当0时，直线y=kx 经过第 象限，从左向右 ，y 随x 增大而 .k ＜四、 疑难摘要【学习探究】一、合作交流、解决困惑（一）小组交流:通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：展示一： 1.说一说正比例函数的图象特征及其性质.八年级数学（上）导学练案 总第 课时学习反思 2.点（0,0）、（1，k ）、（2，2k ）、（3，3k ）是否都在正比例函数y=kx 的图象上？既然正比例函数的图象是一条直线，画正比例函数图象时，怎样画最简单？展示二：（教师结合学生情况自主生成）二、应用新知,解决问题1.直线经过第 象限，y 随x 增大而 ；5y x =直线经过第象限，y 随x 增大而 . x a y )1(2+-=2.若直线经过二、四象限，则k 的取值范围是 . x k y )32(-=3.若直线经过一、三象限，则m = . 32)1(-+=mx m y 三、巩固新知,当堂训练课本P 89练习.四、反思小结 本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）【自我检测】1.画函数的图象，你认为过 与 两点画直线最简单.0.6y x =-2.若函数y ＝k x 的图象经过点（2，－3），则k = ，y 随x 的增大而 .3.关于函数,下列说法正确的是( )x y 3-=(A) 图象必经过点（0，0）和（-1，-3） (B) 图象经过一、三象限(C) y 随x 的增大而减小 (D) 不论x 为何值，总有0<y 4.已知点P 1（-2，y 1）、P 2（1，y 2）是正比例函数()图象上的两点，则y 1ax y -=0<a 与y 2的大小关系是 .5.已知关于x 的正比例函数的图象经过第二、四象限，则m = .4)92(--=m x m y 6.一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，-3a ）与 点（a ，-6），求这个函数的解析式.【应用拓展】7.已知y 与x 成正比例，且当x ＝-2时y ＝-4（1）写出y 与x 的函数关系式； （2）用两点法画出函数图象；（3）如果x 的取值范围是0≤x ≤5，利用图象求y 的取值范围.。
人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，正比例函数是学生接触到的第一个具有明显线性特征的函数类型，对于培养他们的数学思维与解决实际问题的能力具有重要意义。本教学案例以人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数为主题，通过设计丰富多样的教学活动，旨在帮助学生理解正比例函数的概念、图像及性质，并能将其应用于解决生活中的实际问题。
在教学正比例函数这一课时，我将通过创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以引入购买商品时的单价与总价关系、速度与时间关系等实例，让学生在具体情境中感知正比例函数的存在。这样既能帮助学生理解正比例函数的定义，又能使他们体会到数学知识在实际生活中的应用。
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，可以引导学生主动探究、积极思考。在教学中，我将设计一系列具有启发性和挑战性的问题，如“如何表示两个变量的正比例关系？”“正比例函数的图像有什么特点？”等。通过这些问题，让学生在解答过程中掌握正比例函数的知识点，培养他们分析问题和解决问题的能力。
4.反思与评价的有机结合
本案例注重学生的反思与评价，引导他们在学习过程中及时总结经验教训，调整学习策略。同时，教师采用多元化的评价方式，关注学生的全面发展。这种反思与评价的有机结合，有助于提高学生的学习效率，增强他们的自信心。
5.丰富的教学内容与过程设计
本案例在教学内容与过程设计方面，充分考虑了学生的认知规律和教学目标。从导入新课、讲授新知、小组讨论、总结归纳到作业小结，各个环节紧密相连，层层递进。这种设计有助于学生系统、全面地掌握正比例函数的知识，提高他们的数学素养。
3.引导学生运用数形结合的思想，将正比例函数的图像与性质相结合，提高他们解决问题的直观想象和逻辑推理能力。
人教版八年级下册19.2.1正比例函数(教案)
在今天的课堂中，我发现学生们对正比例函数的概念和性质的理解整体上是积极的。他们能够通过实例快速抓住正比例函数的核心，这让我感到很欣慰。不过，我也注意到在图像绘制和实际应用方面，部分学生还存在一些困惑。
首先，正比例函数的图像绘制对于一些学生来说是个挑战。他们知道图像是一条直线，但具体如何根据函数表达式找到合适的点来绘制这条直线，这一点并不是所有人都能马上掌握。我意识到，在这里我需要提供更多的引导和练习，让学生通过实际操作来加深理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正比例函数的基本概念。正比例函数是形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数。它在生活中有着广泛的应用，如速度与时间、单价与总价等关系。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，小明骑自行车的速度是每小时10公里，他骑行了3小时，我们可以通过正比例函数来计算他骑行的总距离。
另一个难点在于如何将正比例函数应用到解决实际问题上。虽然学生们能够理解速度和时间的例子，但当问题变得更加复杂时，他们就显得有些力不从心。我考虑在未来的课程中，引入更多的生活场景，让学生在小组讨论和实验操作中，更直观地感受正比例函数的实际意义。
此外，小组讨论的环节让我看到了学生们的合作精神和解决问题的能力。他们能够在小组内部分工合作，共同探究正比例函数的应用，这非常好。但我也观察到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，这在一定程度上影响了讨论的效率。我计划在下次讨论前，提供更明确的讨论指南，帮助学生聚焦关键问题。
-举例：当k=1/2时，如何找到图像上的点，并正确绘制出这条直线。
-正比例函数性质的深入理解：学生可能难以理解为什么k的正负会影响图像所在的象限。
-解释：通过具体例子（如k=2和k=-2时的图像对比），说明k的正负与图像在坐标平面上的位置关系。
2020—2021年人教版版八年级数学下册19.2.1 正比例函数教案(精品教学案).doc
19．2 一次函数19.2.1 正比例函数1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点)2．运用正比例函数解决简单的问题．(难点)一、情境导入鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？(3)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？二、合作探究探究点一：正比例函数【类型一】 辨别正比例函数下列式子中，表示y 是x 的正比例函数的是( )A ．y ＝2x B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x 2 D ．y＝2x解析：选项A ，y ＝2x ，自变量次数不为1，错误；选项B ，y ＝x ＋2，是和的形式，错误；选项C ，y ＝x 2，自变量次数不为1，错误；选项D ，y ＝2x ，符合正比例函数的含义，正确．故选D.方法总结：正比例函数y ＝kx 成立的条件是：k 为常数且k ≠0，自变量次数为1.【类型二】确定正比例函数中字母的值若函数y ＝(m －3)x |m|－2是正比例函数，则m 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．不能确定解析：由题意得|m|－2＝1，且m －3≠0，解得m ＝－3.故选B.方法总结：正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0.探究点二：正比例函数的图象和性质 【类型一】正比例函数的图象在下列各图象中，表示函数y＝－kx(k＜0)的图象的是( )解析：∵k＜0，∴－k＞0，∴函数y＝－kx(k＜0)的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数．故选C.方法总结：要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k＞0时，图象过第一、三象限；当k＜0时，图象过第二、四象限．【类型二】正比例函数的性质关于函数y＝13x，下列结论中，正确的是( )A．函数图象经过点(1，3)B．不论x为何值，总有y＞0C．y随x的增大而减小D．函数图象经过第一、三象限解析：A.当x＝1时，y＝13，故A选项错误；B.只有当x＞0时，y＞0，故B选项错误；C.∵k＝13＞0，∴y随x的增大而增大，故C选项错误；D.∵k＝13＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D选项正确．故选D.方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性．【类型三】正比例函数的图象与系数的关系已知正比例函数y＝(m－1)x的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是( )A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0解析：根据题意，y随x的增大而减小，则m－1＜0，即m＜1.故选A.方法总结：直线y＝kx所在的位置与k 的符号有直接的关系：k＞0时，直线必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k ＜0时，直线必经过第二、四象限，y随x 的增大而减小．【类型四】正比例函数图象上点的坐标特征点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y＝－x 上，则y1与y2的关系是( )A．y1≥y2B．y1＝y2C．y1＜y2 D．y1＞y2解析：∵点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y＝－x上，∴y1＝－5，y2＝－2.∵－5＜－2，∴y1＜y2.故选C.方法总结：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．探究点三：求正比例函数的解析式【类型一】用定义求正比例函数的解析式已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝－1时，y ＝11，求y 与x 之间的函数表达式，并求当x ＝2时y 的值．解析：设y 1＝kx 2，y 2＝a(x －2)，得出y ＝kx 2＋a(x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得出方程组，求出方程组的解即可，把x ＝2代入函数解析式，即可得出答案．解：设y 1＝kx 2，y 2＝a(x －2)，则y ＝kx 2＋a(x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得⎩⎪⎨⎪⎧k －a ＝5，k －3a ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝2，∴y 与x 之间的函数表达式是y ＝2x 2－3(x －2)．把x ＝2代入得y ＝2×22－3×(2－2)＝8.方法总结：用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．【类型二】 用待定系数法求正比例函数的解析式已知正比例函数y ＝kx 图象经过点(3，－6)，求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点A(4，－2)是否在这个函数图象上；(3)图象上两点B(x 1，y 1)、C(x 2，y 2)，如果x 1＞x 2，比较y 1，y 2的大小．解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代入正比例函数y ＝kx 中计算出k 即可得到解析式；(2)将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于－2，则A 点在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当k ＜0时，y随x的增大而减小，即可判断．解：(1)∵正比例函数y＝kx经过点(3，－6)，∴－6＝3·k，解得k＝－2，∴这个正比例函数的解析式为y＝－2x；(2)将x＝4代入y＝－2x得y＝－8≠－2，∴点A(4，－2)不在这个函数图象上；(3)∵k＝－2＜0，∴y随x的增大而减小．∵x1＞x2，∴y1＜y2.方法总结：将A点的横坐标代入正比例函数关系式，求出函数值，再进一步判定是解决问题的关键．三、板书设计1．正比例函数的图象2．正比例函数的性质3．正比例函数解析式的确定本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法．由学生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力．。
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第十九章一次函数
19.2 一次函数
19.2.2一次函数（1）
【教学目标】
知识与技能
理解正比例函数的概念；
过程与方法
经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；
情感、态度与价值观
经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力．
【教学重难点】
重点：正比例函数的概念。
难点：正比例函数性质的理解。
【导学过程】
【情景导入】
前面我们学习了函数的概念，函数是怎么定义的？在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么，我们称y是x的函数。
其中，x是自变量，y是x的函数（因变量）。
今天，我们继续研究函数，我们要研究一个较为简单、应用广泛的函数——正比例函数。
【新知探究】
探究一、2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米。
设列车的平均速度为300千米每小时。
考虑以下问题：
（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时？（保留一位小数）（2）京沪高铁的行程ykm与时间th之间有何数量关系？
（3）从北京南站出发2.5小时后是否已过了距始发站1100千米的南京南站？
探究二、
1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．
（1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化；
（2）铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化；
（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n 变化而变化；
（4）冷冻一个0 ℃的物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．
这些函数的共同点：
2.一般地，形如的函数叫做正比例函数，•其中k叫
3. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（）
A．y=4x+1 B．y=2x2 C．．
4.已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k的值．
【知识梳理】
1.谈谈你今天学了哪些内容？
2.正比例函数与正比例关系有什么联系？
3.请举一个生活中正比例函数的实例.
【随堂练习】
y=3
x
, y=
x
4
, y=3x+9, y=2x2中，正比例函数是____________.
2．正比例函数y=kx，（1）若比例系数为-1
3
，则函数关系式为___ ；
3、（1）已知函数y=（m-2）x m-1， m_____时，y是x的正比例函数；
（2）若x、y是变量，且函数y=（k+1）x︱k︱是正比例函数，则k=_________．
4．某商店进了一批货，每件2元，出售时，每件加利润5角．如果售出x件，应收货款y 元，则y与x的函数关系式为___ ．
5．写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数？
（1）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y（元）与字数x（个）之间的函数关系；
（2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃，则气温x（•℃）•与高度y（km）的关系；
（3）圆面积y（cm2）与半径x（cm）的关系．。