二元一次不定方程的通解

二元一次不定方程的通解

七年级下册学习了二元一次方程组，有一类题是求二元一次方程的整数解的问题，这在数学上有一专门名称叫做“不定方程”。如下题：

二元一次方程x+2y=6的正整数解的个数是（）

A.4个

B. 3个

C. 2个

D.1个

初中阶段这个问题，都是用的“枚举法”。但是为了防止遗漏，我们现在要系统解决这个问题，就需要研究二元不定方程的通解。

当我们通过观察找出了该方程的一对特解x=x0

y=y0后，就可

以写出该方程的所有解了。

∵ ax+by=c……①

ax0+by0=c……②

①-② ∴a（x-x0）+b（y-y0）=0

即a（x-x0）=b(y0-y)

设a、b互质，那么，x-x0必含因子b，y0-y必含因子a。

∴x-x0=kb，y0-y=ka（k∈Z）

∴不定方程的通解为x=x0+bk

y=y0-ak （k∈Z）

以上题为例，观察得到方程x+2y=6的一对特解为x=2 y=2，

则该方程的通解为

x=2+2k

y=2-k（k∈Z）。由于是求正整数解，

故

2+2k＞0

2-k＞0（k∈Z）得 -1＜k＜2（k∈Z）, ∴k=0,1

∴对应的解有两个：k=0时，x=2

y=2；k=1时，

x=4

y=1.

∴选择C。

这就系统解决了不定方程的相关问题。避免了解的遗漏问题。当然这不属于教学内容，可作为课外知识给学有兴趣、学有余力的学生研究。