高中数学必修2(人教B版)第一章立体几何初步1.1知识点总结含同步练习题及答案

A．字母 E 解：B
B．字母 C
C．字母 A
D．字母 D
下图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段 AB 、CD 、EF 和 GH 在原正方体中 不在同一平面内的有______对．
解：3 将展开图恢复为正方体，如图，可见 AB 与 CD ，AB 与 GH ，EF 与 GH 不在同一平面 内．
如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（
应的 x ′ 轴和 y ′ 轴，两轴交于点 O ′ ，且使 ∠x′ O ′ y ′ = 45∘ 或 135 ∘ ，它们确定的平面表示 水平面． ② 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′ 轴或 y ′ 轴的线 段． ③ 已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为 原来的一半． 对斜二测画法的补充 ① 空间几何体的直观图要比平面图形的直观图多画一个 z 轴， z 轴是与空间几何体的高平行 的． ② 采用斜二测画法画出的平面图形的直观图面积是原平面图形面积的
例题： 描述图中几何体的结构特征．
解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台 挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组 合体． 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
解：D
4.展开图 描述： 空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容． 例题： 如图所示，是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与字母 B 相对的是（ ）
D．棱柱
如图所示，是一个三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部 分都是一个三棱锥．
解：如图，过 A ′ ，B ，C 三点作一个平面，再过 A ′ ，B ，C ′ 作一个平面，就把三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 A ′ − ABC，B ′ − A ′ BC ′ ， A ′ − BC C ′ ．
如图，正方体 ABCD − A 1 B 1 C1D 1 中，P ，Q ，R 分别是 AB，AD ，B 1 C1 的中点，那么正方体中过点 P ，
Q ，R 的截面形状是（
） C．五边形 D．六边形
A．三角形
B．四边形
解：D 作截面图如图所示，可知是六边形．
两平行平面截半径为 5 的球，若截面面积分别为 9π 和 16π ，则这两个平面间的距离是（ ） A．1 B．7 C．3 或 4 D．1 或 7 解：D 两平行截面可在球心的同一侧，也可在球心的两侧． i）若两个平行截面在球心的同侧，如图(1)所示，则 CD = √5 2 − 3 2 − √5 2 − 4 2 = 1 ； − − − − − − − − − − − − ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 CD = √5 2 − 3 2 + √5 2 − 4 2 = 7 ．
S △PAB =
1 AB × P O = rh = √3 r2 = √3 . 2
解得 r = 1，所以 l = 2r = 2 ，h = √3 r = √3 ．即该圆锥的底面半径为 1 ，高为 √3 ，母线长 为 2．
6.直观图 描述： 空间图形的直观图 用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图．空间几何体的直观图通常是在平行投影下 画出的空间图形．对于平面多边形，我们通常用斜二测画法画它们的直观图．斜二测画法是一种 特殊的平行投影画法． 斜二测画法的步骤 ① 在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O ．画直观图时，把它们画成对
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫 做棱台的斜高． 圆柱的结构特征 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的 边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母 线．
棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱 锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜 高．
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棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱 台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面 叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．
二、知识清单
典型空间几何体 展开图 三视图 表面积与体积 空间几何体的结构特征 截面分析 表面距离 组合体 直观图 球面距离
三、知识讲解
1.典型空间几何体 描述： 空间几何体的概念 只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间 几何体． 例题： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______． 解：棱锥；棱台．
侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直 棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫 做直平行六面体．
棱锥的结构特征 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥
− − − − − −
− − − − − −
轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为 √3 ，求该圆锥的底面 半径、高和母线长． 解：
如图所示，作出等边圆锥的轴截面 P AB，设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，母线长为 l ，则 在轴截面 P AB 中，有 OB = r，P O = h，P B = l，且∠P BO = 60∘ ．在 Rt△POB 中， h = √3 r ，l = 2r ，所以
的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱． 底面是三角形、四边形、五边形⋯ ⋯的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥⋯ ⋯其中三棱锥 又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字 母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 S − ABCD 或者棱锥 S − AC ．
圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直 线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交 于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．
3.组合体 描述： 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或 挖去一部分而成．
圆锥的结构特征 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆 锥（circular cone）．
圆台的结构特征 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱 台与圆台统称为台体．
球的结构特征 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球 常用表示球心的字母 O 表示．
型，会用斜二测法画出它们的直观图．
3. 会画某些简单实物的直观图（在不影响图形特征的基础上，直观图的尺寸、线条等不作严格 要求）． 4. 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的 不同表示形式． 5. 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆 柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积．
2.空间几何体的结构特征
描述： 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻 两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两 个顶点的线段叫做多面体的对角线． 按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体⋯ ⋯．其中，四个面均为全等的正三 角形的四面体叫做正四面体． 旋转体 由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直 线叫做旋转体的轴． 棱柱的结构特征 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其 余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点． 底面是三角形、四边形、五边形⋯ ⋯的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱⋯ ⋯，可以用表 示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF − A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ 或棱柱 A ′ D ．
）
A．①② B．①③ C．③ D．②③ 解：C 利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧 棱的延长线能交于一点且截面与底面平行． 有下列四种说法： ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体； ②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥； ③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球． 其中错误的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解：D
5.截面分析 描述： 截面 用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面． 平行截面、中截面 与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面． 轴截面 包含立体图形的轴线的截面称为轴截面． 球截面 球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截 面称为球的小圆． 球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 r2 + d 2 = R 2 ，其中 R 为球的半径， r 为 截面圆的半径， d 为球心到截面的距离． 例题： 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ） A．圆台 B．球 C．圆柱 解：B
） A．30∘ 解：C
B．45∘
C．60∘
D．90∘
设圆的底面半径为 r ，母线长为 l ，因为侧面展开图的半圆周长应等于圆锥底面圆的周长，所以
2πr = πl ，即 l = 2r ．设圆锥的轴截面顶角为 2θ ，则 sin θ = 2θ = 60∘ ．
r 1 = ，所以 θ = 30∘ ，从而 l 2
若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 解：D 如下图，正六边形 ABCDEF 中，OA = OB = ⋯ = AB，那么正六棱锥 S − ABCDEF 中，SA > OA = AB，即侧棱长大于底面边长．
如图所示的几何体中，是台体的是（
高中数学必修2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体
一、学习任务 1. 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中 简单物体的结构． 2. 能画出简单空间图形（例如长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模
例题： 下列命题中，正确的是（ ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形
解：D 如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 ，令四边形 ABCD 是梯形，可知 面 ABB 1 A 1 ∥ 面 DC C1 D 1 ，但这两 个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．