数理方法习题

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数理逻辑练习题及答案-5

一阶逻辑等值式与置换规则1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：(1) x y(F(x)∧G(y))(2) x y(F(x)∨G(y))(3) xF(x)→yG(y)(4) x(F(x,y)→yG(y))2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。

(1) x(F(x)→G(x))(2) x(F(x)∧G(x))3．给定解释I如下：(a) 个体域D={3,4}。

(b) (x)为(3)=4，(4)=3。

试求下列公式在I下的真值：(1) x yF(x,y)(2) x yF(x,y)(3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))4．构造下面推理的证明：(1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)结论：x(F(x)∧R(x))(2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x)结论：xF(x)(3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x)结论：xF(x)5．证明下面推理：(1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。

(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。

(3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。

答案1.(1) x y(F(x)∧G(y))xF(x)∧yG(y)(F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c))(2) x y(F(x)∨G(y))xF(x)∨yG(y)(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c))(3) xF(x)→yG(y)(F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y))xF(x,y)→yG(y)(F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c))2.(1)I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以x(F(x)→G(x))(F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。

概率论与数理统计习题

第一章概率论的基本概念一、填空题:1.设,()0.1,()0.5,A B P A P B ⊂==则()P AB = ,()P A B = ,()P AB = 。

2.设在全部产品中有2%是废品,而合格品中有85%是一级品,则任抽出一个产品是一级品的概率为。

3.设A ，B ，C 为三事件且P(A)=P(B)=P(C)=41,81)(,0)()(===AC P BC P AB P ,则A,B,C中至少有一个发生的概率为 .4.一批产品共有10个正品和2个次品,不放回的抽取两次,则第二次取到次品的概率为 .5. 设A ，B 为两事件, ()0.4,()0.7,P A P A B ==当A ，B 不相容时, ()P B =当A ，B 相互独立时, ()P B = 。

二.、选择题1. 1．设A ，B 为两随机事件，且,B A ⊂则下列式子正确的是（）。

（A ）()()P AB P A = （B ）()()P AB P A =（C ）()()P B A P B = （D ）()()()P B A P B P A -=-2.每次试验成功的概率为p (0< p <1),进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为( )。

（A ）44610(1)C p p - （B ）3469(1)C p p - （C ）3459(1)C p p - （D ）3369(1)C p p -3.设A,B 为两事件,则P (A-B)等于( )。

(A) ()()P A P B - (B) ()()()P A P B P AB -+ （C ）()()P A P AB - (D) ()()()P A P B P AB +- 4.关于独立性,下列说法错误的是( )。

(A)若12,,,n A A A 相互独立,则其中任意多个事件12,,,)k i i i A A A k n ≤(仍然相互独立;（B ）若12,,,n A A A 相互独立,则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相互独立（C ）若A 与B 相互独立, B 与C 相互独立, A 与C 相互独立, 则A,B,C 相互独立; （D ）若A,B,C 相互独立,则A B 与C 相互独立5. n 张奖券中含有m 张有奖的, k 个人购买,每人一张,其中至少有一人中奖的概率是( )。

概率论及数理统计练习题及答案

1.5221031314567892.110013.2(5)AB；(6)AB AB4.3 1 1 1 2 2(1)A B C,(2)AB C A B C A B C,(3)AB C ABC A B C A B C,(4)ABC ABC ABC ABC AB BC AC,(5)ABC A B C,(6)A B C++⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++++++⋅⋅或或1.10出生年份1990 1991 1992 1993 1094 1995 1996 1997 1998 1999 总计男 3 011 2 531 3 031 2 989 2 848 2 939 3 066 2 955 2 967 2 974 29311女 2 989 2 352 2 944 2 837 2 784 2 854 2 909 2 832 2 878 2 888 28267 总计 6 000 4 883 5 975 5 826 5 632 5 793 5 975 5 787 5 845 5 862 57578 据此估计此地区生男孩、女孩的概率.（，）2.掷两枚均匀的骰子，求下列事件的概率(1)点数和为1； (2)点数和为5；(3)点数和为12； (4)点数和大干10；(5)点数和不超过11.解：11135(1)0,(2),(3),(4),(5)93612363.抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.344.在100件同类产品中，有95件正品，5件次品，从中任取5件.求(1)取出的5件产品中无次品的概率；（）(2)取出的5件产品中恰有2件次品的概率；（）5.从0，1，2，…，9这10个数字中每次任取1个，然后放回，共取5次.求下列事件的概率(1)A={5个数字各不相同}；(2)B={5个数字不含0和1}；(3)C={5个数字中，1恰好出现2次}.6.袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率11.P(A B)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.50.60.50.60.8+=+-=+-=+-⨯=2.40321237240C 10.146C -= 3.5046432346350C 10.2255C -=23211246464464333505050C C C C C 0.9998C C C ++=4.1009592871P(AB)=P(A|B)=P(AB)/P(B)=÷= P(B|A)=P(AB)/P(A)=÷=5.111232111P(AB)P(A)P(B |A)2241117P(A B)P(A)P(B)P(AB)23412P(AB)1/43P(A |B)P(B)1/34==⨯=+=+-=+-==== 6.3211113390.365525⨯== 3260.35420⨯== 7.12112312()()()()P(A)0.02,P B |A 0.03P A B P A P B |A 0.980.970.9506==⋅==⨯=8.13221221A ：{任取一件是合格品}，A i ：{任取一件是i 车床零件} P(A 1)=2/3，P(A 2)=1/3，P(A|A 1)=，P(A|A 2)= P(A)=P(A 1)P(A|A 1)＋P(A 2)P(A|A 2)=2/3×+1/3×=9.甲：{任取一件是甲厂产品}，A 甲：{任取一件是甲厂合格品} 乙：{任取一件是乙厂产品}，A 乙：{任取一件是乙厂合格品} 丙：{任取一件是丙厂产品}，A 丙：{任取一件是丙厂合格品} P(甲)=，P(乙)=，P(丙)=,P(A 甲)=，P(A 乙)=，P(A 丙)= P(A)=P(甲)P(A 甲) P(乙)P(A 乙)＋P(丙)P(A 丙) =×+×+×=1.11 1 (1)P(AB)= P(A)P(B)=×=(2)P(A ＋B)= P(A)＋P(B)－P(AB)= P(A)＋P(B)－P(A)P(B) =＋－×=(3)()()()()()()P AB P AB P A P B P A P B 0.20.70.80.30.38+=+=⨯+⨯= 2.33= 1－=1－= 3. 4 444544455C p (1p)C 0.80.20.4096--==44545555445505555C p (1p)C p (1p)C 0.80.2C 0.80.20.7373---+-=+=4.2055333335333255P(k 3)C p (1p)C 0.20.80.0512-==-== 34455551P(k 4)P(k 5)1C 0.20.8C 0.20.0579-=-==--= 5.1222212222101212P(k 2)C p (1p)C 0.30.70.1678-==-== 6.32323P(A B C)P(A)P(B)P(C)P(AC)P(BC)P(AB)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(A)P(B)P(C)0.20.30.50.20.50.30.50.20.30.20.30.50.0969++=++---+=++---+=++-⨯-⨯-⨯+-⨯⨯=1.31U={(AB,0,0),(A,B,0),(A,0,B),(B,A,0),(0,AB,0),(0,A,B), (B,0,A),(0,B,A),(0,0,AB),}；4/9，2/3。

第7章数理统计基础习题答案

第7章数理统计基础习题解答一．选择题1. 设(,12,,)n X X X 为总体X 的样本，则不成立的是( B ).A. 每个),,2,1(n i X i=与X 有相同的分布．B. 每个),,2,1(n i X i=是确定的数．C. 12(,,,)n X X X 是维随机变量．n D. 12(,,,)n X X X 各分量相互独立且同分布．2. 设12(,,,)n x x x "是来自总体X 的一个样本观测值，则( A ).A. ,1,2,,i x i n ="为X 的个取值．n B. ,1,2,,i x i ="n 的取值是不确定的．C. ,1,2,,i x i n ="与X 有相同的分布．D. ,1,2,,i x i n ="与X 有相同的数学特征．3. 已知总体X 服从[0,]λ上的均匀分布(λ未知)12,,n X X X 为X 的样本，则( C ) .A . 112n i i X n λ=−∑是一个统计量． B . ∑=−n i i X E X n 1)(1是一个统计量．C . 12X X +是一个统计量．D . ∑=−ni i X D X n 1)(1是一个统计量．4. 设(,12,,)n X X X 是来自总体X 的样本，X 为样本平均值，则下述结论不成立的是( C ).A. X 与21(nii )XX =−∑独立． B. 当i j ≠时，i X 与j X 独立．C.1nii X=∑与21ni i X=∑独立． D. 当i j ≠时，i X 与独立．2j X 5. 样本12(,,,)n X X X 取自概率密度为()p x 的总体,则有( A ).A. ~(),1,2,,i X p x i n ="．B. 1min{,}~()n X X p x "．C. ~()X p x ．D.1nii X=∑与21nii X=∑独立．6. 设12(,,,)n X X X 是来自随机变量X 的样本, X 为样本均值，则以下结论错误的是( C ).A. ()()E X E X =．B. ()()/D X D X n =．C. ()()D X D X =．D.X 是随机变量，是常数．)(X E 7. 设，则( D )．~()T t n 2~T A ．． B ．． C ．．D ．．(2)t n 2()n χ(,1)F n (1, )F n 8．设总体12~(0,1), , , , n X N X X X 为样本，则下列结论中错误的是( D )． A ．12122234~(2)()X X t X X −+． B~(1)t n −．C ．32124(1)3~(3, 3)i i nii nX F n X==−−∑∑． D~(2)t ．9. 设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)X N µσ∼的样本，样本均值和样本方差分别为：X =∑=n i i X n 11，211(1n i i S X n ==−∑2)X −，则以下结论中错误的是( B ). A. X 与独立． B.2S ()/~(0,1)X N µσ−)−．C.222(1)/~(1n S n σχ−)/~(X S t n µ1)−−．10. 设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2~(,)X N µσ的简单随机样本，X 为样本均值，记22111()1n i i S X X n ==−−∑，22211()n i i S X n ==−∑X ，22311()1n i i S X n µ==−−∑，2411(ni i S X n 2)µ==−∑，则服从自由度为1n −的t 分布的随机变量是( A ).X． B. nS /2X µ−X X 11. 设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)X N µσ∼的样本, 2S 为样本方差，则2(1)/n S 2σ−服从( C ).A. 正态分布．B. t 分布．C. 2χ分布．D. F 分布．12. 样本12(,,,)n X X X 取自标准正态分布，(0,1)N X 为样本均值，及为样本方差,则以下结果不成立的是( B ).2S A. ~(0,1),1,2,,i X N i ="n ． B. ~(0,1)X N ．/~(1)nX S t n − ． D.221~(nii )Xn χ=∑．13. 设随机变量与相互独立，则)1,0(~N X )(~2n Y χn Y X T //=服从( B ) .A . 正态分布．B . 自由度为的分布．C . n t 2χ分布． D . 分布．F 14. 设1(,,)n X X 及分别取自两个相互独立的正态总体1(,,)m Y Y 21(, )N µσ及22(,)N µσ的两个样本，其样本方差分别为及，则统计量21S 22S 2122S F S =服从F 分布的自由度为( A ) .A . ．B . ．C . (1, 1n m −−))(, )n m (1, 1n m ++．D . ．( 1, 1)m n −−二．填空题15 . 设总体~(1,)X B p 分布，其中为未知参数(p 01p <<),1,2X X 是从中抽取的样本，则样本空间为{}(0,0), (0,1), (1,0), (1,1) .如果(12,X X )的一个观察值是(0,)，则样本均值的观测值1x =12；样本方差的观测值2s =12.16. 从一批加工的零件中随机取8件,测得其与标准件误差(单位)为：3.1, 2.6, 2.8, 3.3, 2.9, 3.2, 2.4, 2.5, 则总体Z为__mm _该批零件的大小与标准件的误差_；样本为128(,,, )X X X ⋅⋅⋅；样本观测值为___(3.1, 2.6, 2.8, 3.3, 2.9, 3.2, 2.4, 2.5)___；样本容量n =____8___；样本均值的观测值x =()81113.1 2.6 2.5 2.850088i i x ==+++=∑ ；样本方差的观测值2s =()82110.11147i i x x =−=∑；样本二阶原点矩的观测值为8221165.760088.22008i i b x ====∑.17. 设总体~(1,)X B p ，其中未知参数01p <<,12(,,,)n X X X "是X 的样本，则1122(,,,)=()111nniii i x n x p p ==−∑∑−n n P X x X x X x === .18．设12(,,,)n X X X 为总体X 的一个样本，则样本的r阶原点矩为11n ri i X n =∑；样本的r 阶中心矩为11()nr i i X X n =−∑.19．设12(,,,)n X X X 为总体2~(,)X N µσ的一个样本，则()i E X =µ；()i D X =2σ；2()i E X =22σµ+.20. 设总体服从参数为λ的泊松分布)(~λP X ，求样本12(,,,n )X X X 均值的期望()E X =()E X λ=和方差()D X =()//D X n nλ=.21．设总体，(1,4)X N ∼123(,,)X X X 是来自X 的样本，其中为样本方差，则2S 222123()E X X X =222123()()()125E X E X E X =；123()D X X X =22123123()()124E X X X E X X X −=；2()E S =()4D X =；2()D S = 16 ．22. 设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)X N µσ∼的样本，则11()n X X n++"服从2,N n σµ⎛⎞⎜⎟⎝⎠分布.23. 设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)X N µσ∼的样本，则Z =从(0,1)N 分布.24．设总体，2~(2,3)X N 12,,,n X X X ⋅⋅⋅为X 的一个简单样本，则()22123ni i X =−∑服从的分布是2()n χ.25. 设样本来自总体1,,,21n X X X …211(,)X N µσ∼，样本均值和样本方差分别为：1111n i i X X n ==∑，11221111(1n i i S X n −==−∑)X −，又设样本来自总体2,,,21n Y Y Y 222(,)Y N µσ∼，样本均值和样本方差分别为：∑==2121n i i Y n Y ，222121(1n i i S Y n ==−∑2)Y −，且两个样本相互独立，则22122221S S σσ⋅服从12(1,1)F n n −−分布.26. 设z α为标准正态分布的上侧分位数，查表得0.0495z = 1.65；若，查表得 2.31z α=α=0.0104.27. 设为分布的上侧分位数，则查表得()t n αt 0.025(5)t =2.5706；若，查表得(6) 3.7074t α=α=0.005.28. 设为分布的上侧分位数，则查表得(,)F m n αF 0.05(5,4)F = 6.26；查表得0.95(5,4)F =0.05110.193(4,5) 5.19F ==；若(6,3)14.73F α=，查表得α=0.025.三．应用计算题29. 设总体~[,]X U a b ，求样本均值的期望和方差. 解：设12(,,,)n X X X 是来自总体的样本，则 ],[~b a U X 由知，2/)()(b a X E +=2/)()()(b a X E X E +==由知，12/)()(2a b X D −=n a b n X D X D 12/)(/)()(2−==30. 设1,,n X X ⋅⋅⋅为总体~(1,)X B p 的一个样本，求()E X 和()D X ，并求样本方差2211(1ni i S X n ==−∑)X −的数学期望. 解：由性质可知，()()E X E X p ==()()/(1)/D X D X n p p n ==−2()()(1)E S D X p p ==−.31．在天平上重复称一重量为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且都服从正态分布．若以)2.0,(2a N n X 表示次称量结果的算术平均值，要使n 95.0}1.0|{|≥<−a X P n ，求的最小值．n解：由({||0.1}21210.95n P X a −<=Φ−=Φ−≥可得，(0.975Φ≥， 1.96≥，，所以n 的最小值为16．15.3664n ≥32. 从总体2(50,)N σ中随机抽取一容量为16的样本，在下列两种情况下分别求概率{47.9952.01}P X ≤≤．（1）已知；225.5=σ（2）未知，而样本方差． 2σ362=s 解：（1）由2~(,/)X N n µσ得52.015047.9950{47.9952.01} 5.5/4 5.5/4P X −−⎛⎞⎛≤≤=Φ−Φ⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠()()()1.608 1.6082 1.608120.946310.8926=Φ−Φ−=Φ−≈×−=~(1)X t n −，0.10(15) 1.3406t =得47.99505052.0150{47.9952.01}6/46/46/4X P X P ⎧⎫−−−≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭501.34 1.34120.100.806/4X P ⎧⎫−=−≤≤≈−×=⎨⎬⎩⎭，33．从总体X ∼),(2σµN 中抽取12,921==n n 的两个独立样本，试求两个样本均值X 与Y 之差的绝对值小于1.5的概率，若（1）已知=；2σ4（2）未知，但两个样本方差分别为,.2σ21 4.1S =22 3.7S =解：(0,1)X Y N −∼得|{|| 1.5} 1.93X Y P P ⎧−−<=<<⎫⎬⎭()2 1.93120.973210.9464=Φ−≈×−=（2）由12(2X Y t n n −)+−∼，，0.05(20) 1.7247t =222112212(1)(1)8 4.111 3.7 3.675220Wn S n S S n n −+−×+×==+−=得|{|| 1.5}X Y P P ⎧−−<=<1.7745X Y P ⎫−=<⎬⎭120.050.90≈−×=*34. 随机地抽取某校100个初一学生，测得他们的身高（单位：厘米）数据如下：身高160～162163～165 166～168 169～171 172～174 频数71638318试做出频率直方图．解：身高频率表身高频数频率 160～162 7 0.07 163～165 16 0.16 166～168 38 0.38 169～171 31 0.31 172～17480.08身高频率直方图0.050.10.150.20.250.30.350.4160～162163～165166～168169～171172～174身高频率*35. 根据调查，某集团公司的中层管理人员的月薪数据如下（单位：千元）：40.6， 39.6， 37.8， 36.2， 38.8， 38.6， 39.6， 40.0， 34.7， 41.7， 38.9， 37.9， 37.0， 35.1， 36.7， 37.1， 37.7， 39.2， 36.9， 38.3．试画出茎叶图．解：某集团公司的中层管理人员的月薪茎叶图如下。

数理习题解答

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1u x ∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v v x y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*000lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i ze zθ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z z z ∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()332222220,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩，332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数理统计教程课后重要答案习题

第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα，得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。

数理统计习题(汇总)

150 162 175 165
（1）求 Y 对 X 的线性回归方程；（2）检验回归方程的显著性；（3）求回归系数 b 的 95%的置信区间；（4）取 x 0 =90，求 y 0 的预测值及 95%的预测区间。 8. 为了考察影响某种化工产品转化率的因素 , 选择了三个有关因素: 反应温度 (A)、反应时间（ B)、用碱量(C)，而每个因素取三种水平，列表如下：水平因子温度(A) 时间（B) 用碱量(C) 1 80℃（ A1 ） 90 分（ B1 ） 5%（ C1 ） 2 90℃（ A2 ） 120 分（ B2 ） 6%（ C2 ） 3 90℃（ A3 ） 150 分（ B3 ） 7%（ C3 ）
X ________， E ( X ) ______, D( X ) ______ .
3. 设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且 X i N (0,1).(i 1, 2, , n) 则的________分布。
2 4. 设 X N (0,1).Y ( n). X 与 Y 独立，则随机变量 T
2
9．某厂生产一种乐器用的合金弦线，按以往的资料知其抗拉强度（单位： kg cm 2 ）服从正态分布 N (10560,802 ) ，今用新配方生产了一批弦线，欲考察这批弦线的抗拉强度是否有提高，为此随机抽取 10 根弦线做抗拉试验，测得其抗拉强度均值为 x 10631.4 ，均方差 s 81.00 。（检验水平 0.05 ）。 10．某厂生产一种保险丝，规定保险丝熔化时间的方差不能超过 400。今从一批产品中
2 2 2 sB 1024( h2 ) ，取置信水平为 0.99 ，试求：
（1）
2 1 的区间估计。 2 2

数理方法习题解答(方程部分)0809

作业参考答案3、在（,ππ-）这个周期上，2()f x x x =+，试将它展开为傅立叶级数，又在本题所得展开式中置x π=，由此验证222211112346π++++=解：因为2()f x x x =+在（,ππ-）上满足狄氏定理，可以展开为傅立叶级数又 l π=所以()0101()cos sincos sin k k k k k k k k f x a a x b x l l a a kx b kx ππ∞=∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=++∑∑23201111()d 2233a x x x x πππππππ--=+==⎰ 21()cos d k a x x kx xπππ-=+⎰()()22312sin cos sin 2cos sin xkx kx kx kx kx kx kx k k k πππππππππ---=+++-()241k k =- 21()sin d k b x x kx xπππ-=+⎰()()22312sin cos 2sin cos cos xkx kx kx kx kx kx kx k k k πππππππππ---=-+--()121k k +=- 所以 ()()1221142()1cos 1sin 3k k k f x kx kx kk π∞+=⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭∑222,,,x x x x x ππππππ⎧+-<<⎪==-⎨⎪=⎩令x π=代入上式得:()()()()122222211142141cos 1sin 1133k k k k k k kx kx k k kπππ∞∞+==⎛⎫⎛⎫+-+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 所以有222211112346π++++=得证5．（1）()cos ,(0,),(0)0,()0f x x x f f αππ=∈==作奇延拓，展为奇函数（sin 函数）1()sin k k f x b kx ∞==∑2cos sin d k b x kx x παπ=⎰2sin()sin()d 2k x k xx πααπ-++=⎰0111cos()cos()k x k x k k ππααπαα--⎡⎤=-++⎢⎥-+⎣⎦()()111cos cos 1cos cos 1k k k k παππαππαα--⎡⎤=-+-⎢⎥-+⎣⎦12221(1)cos ()k k k αππα+⎡⎤=+-⎣⎦- 12212()1(1)cos sin ,0()k k kf x kx x k απππα∞+=⎡⎤∴=+-<<⎣⎦-∑6．（1）2cos(/),(0,/2)(),(0)0,()00,(,)lx l x l f x f f l x l π∈⎧''===⎨ ∈⎩ 作偶延拓，展为偶函数（cos 函数）01()cos k k k x f x a a l π∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑/2/200002111cos d cos d sin 2l l l x x x a x x l l l l l πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ /202cos cos d l k x k x a x l l l ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰所以要讨论k ＝1的情况/221021cos d 2l x a x l l π⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ /202cos cos d l k x k x a x l l l ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰/202111cos cos d 2l k k x x x l l l ππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰ /211111sin sin 11l k k x x k l k l πππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111sin sin 1212k k k k πππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎝⎭⎣⎦120,212(1),2(41)m k m k m m π+ =+⎧⎪=-⎨ =⎪-⎩121112(1)2()cos cos ,02(41)m m x mf x x x l l m l ππππ+∞=-∴=++<<-∑ （2）()(1/),(0,),(0)0,()0f x a x l x l f f l ''=-∈==作偶延拓，展为偶函数（cos 函数）01()cos k k k x f x a a l π∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑002(1/)d 22l aa a x l x l =-=⎰ 02(1)cos d l k x k x a a x l l l π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 202221sin cos l a l k k k x x x l l k l l l ππππ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()222202211421(21)k k n a a k n k n ππ=⎧⎪⎡⎤=--=⎨⎣⎦=+⎪+⎩220421()cos ,02(21)n a a n f x x x l n lππ∞=+∴=+<<+∑8．矩形波()f x 在(/2,/2)T T -这个周期上可以表示为0,/2/2(),/2/20,/2/2T x f x H x x T ττττ-<<-⎧⎪=<<-⎨⎪<<⎩试将它展为复数形式的傅立叶级数解：因为()f x 在(/2,/2)T T -上满足狄氏定理，可以展开为复数形式的傅立叶级数又 2l T =2()k k ix ix lTkkk k f x c ec eππ∞∞=-∞=-∞==∑∑22/2/2/2/211()d d k k T i x i x T Tk T c f x e x He x T T ππττ--==⎰⎰ 2/2/22k ixTH T e T i k πττπ-⎛⎫=⎪-⎝⎭sin 2k k i i TT H e e H k k i k T πτπτπτππ-⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭当k ＝0时，/2/2/2/211()d d T k T H c f x x H x T T Tτττ--===⎰⎰ 2211()sin sin k k i x i x T Tk k H H k H k f x e e T k T k T ππτπτπτππ-∞=-∞=∴=++∑∑*****************************************************************3．把下列脉冲()f t 展开为傅立叶积分0,(),0,00,t T f t h T t h t T t T⎧⎪<-⎪⎪=--<<⎨⎪<<⎪>⎪⎩解：在(,)t ∈-∞∞，()f t 满足狄氏条件，且绝对可积，所以()f t 可以展开为付氏积分。

数理统计习题与解答_习题 2

习题二1．设122(,,,)Tn X X X …是来自正态总体2(0,)N σ的一个样本，试求统计量T =的分布密度。

解：由于122(,,,)T n X X X …是来自正态总体2(0,)N σ的一个样本，则~(0,1)N ，22221222~()n n nX X X n χσ+++++ ，且相互独立，从而~()T t n =其分布密度为：1221(2()(1)()2n n x f x n n +−+Γ=+。

2．设总体2~(,)X N μσ，μ，2σ已知，12(,,,)TN X X X 是来自总体X 的一个样本，试求统计量21()nii T Xμ==−∑的分布密度。

解：记i i X Y μσ−=，1,2,,i n = ，则...~(0,1)i i d i Y N 且22211(~()nni ii i X Y Yn μχσ==−==∑∑则 21()n i i T X μ==−∑的分布密度函数为21222/21,0()(2)(20,0x n n e x x n f x x σσ−−⎧<<∞⎪⎪=Γ⎨⎪⎪≤⎩3．设12(,,,)T n X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的一个样本，试求下列统计量的分布密度：（1）211ni i Y X ==∑；（2）2211n i i Y X n ==∑；（3）231n i i Y X =⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑；（4）2411n i i Y X n =⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑。

解：由题知：()...~0,1.i i d iX N σ(1,2,...,)i n =，所以()2221~.ni i X n χσ=∑（1）22121,ni i X Y σσ==∑()()2112212222222112211.(0)22n n x Y nx n nx f x en x ex n σσσσσ−−−−⎛⎞=⎜⎟⎛⎞⎝⎠Γ⎜⎟⎝⎠=>⎛⎞Γ⎜⎟⎝⎠（2）211Y Y n=， ()()122211222222211()22(0)22n n nxY Y n nn nx n n f x nf nx n nx en nx ex n σσσσ−−−−==⋅⎛⎞Γ⎜⎟⎝⎠=>⎛⎞Γ⎜⎟⎝⎠（3）因为()21~0,nii X N n σ=∑，所以22~(1)ni X Z χ⎛⎞⎜⎟=⎝⎠∑，23Y n Z σ=，因此 22311/222221()(0).x xn n Y f x e x e x n σσσ−⎛⎞−−−⎜⎟⎝⎠==>（4）431Y Yn=，22431222()().nxxn Y Y f x nf nx n x e σσ−−−===4，设1212,,,,,,)Tn n n n m X X X X X X +++……（，是来自正太总体2(0,)N σ容量为n m +的样本，试求下列统计量的概率分布：（1）niX Y =；（2）2121ni i n mi i n m X Z n X =+=+=∑∑。

数理统计的基本知识习题 -2++_2

习题二2.1 将一颗骰子抛掷两次,以X 表示两次抛掷的最大点数,求X 的分布列.2.2 对某一目标进行射击,直到击中为止.如果每次射击命中率为7.0, 求射击成功之前的失败次数的分布列.2.3 在N 件同类产品中有M 件次品,其余为正品.从中无放回地抽取n 次(},m in{1M N M n -≤≤),每次一件,以X 表示取出的次品数,求X 的分布列.2.4 某人有5把钥匙,其中有2把可以打开房门.现在他无放回地试开房门,直到打开门为止.求试开次数的分布列.2.5 试分别确定下面三个离散型分布中的常数a .(1) 离散型随机变量X 的分布列为:k a k X P ⎪⎭⎫ ⎝⎛==32)(, ,2,1=k ; (2) 离散型随机变量X 的分布列为:!)(k a k X P kλ==, ,2,1=k , 0>λ为常数.2.6 设离散型随机变量X 的分布列为k k X P -==2)(, ,2,1=k . 求:(1) P (X 为偶数); (2) )5(≥X P ; (3) P (X 为3的倍数).2.7 掷一枚不均匀的硬币,出现正面的概率为)10(<<p p , 设X 为一直掷到正、反面都出现时所需的投掷次数,求X 的分布列.2.8 箱中装有某种产品,其中次品m 个,正品m n -个.不放回地连续从箱中抽取产品,每次取出一件产品后,总以一件正品放回去,直到取出正品为止.设此时取出了X 个次品,求X 的分布列.2.9 一大楼装有5个同类型的供水设备,在任一时刻,每个供水设备被使用的概率为0.1. 求在同一时刻,(1) 恰有2个设备被使用的概率;(2) 至少有3个设备被使用的概率;(3) 至多有3个设备被使用的概率.2.10 设随机变量X 服从二项分布),2(p B , 随机变量Y 服从二项分布),3(p B . 若95)1(=≥X P , 试求)1(≥Y P .2.11 某大型国有企业职工的血型共有四种:O, A, B, AB. 这四种血型的比例分别为0.45, 0.40, 0.10和0.05. 从中随机抽取6人测量血型,计算下列事件的概率:(1) 三个O 型三个A 型;(2) 没有AB 型.2.12 一本有500页的书,共有1000个错字,每个字等可能地出现在每一页上. 试求在给定的一页上至少有两个错字的概率(用泊松逼近计算).2.13 电一台电话总机共有225部分机,假设每部分机向总机要外线的概率为0.02. (1)这台总机需要设置多少条外线,才能保证每部分机呼叫外线失败的概率低于0.01? (2)若设置12条外线,则每部分机呼叫外线失败的概率是多少?2.14 设随机变量X 服从参数为λ的泊松(Poisson )分布,证明: 当][λ=k 时,)(k X P =取得最大值; 若λ为整数,则)(λ=X P 与)1(-=λX P 均为最大值.2.15 设)(1x F 和)(2x F 都是分布函数,又0,0>>b a 为两个常数,且1=+b a . 试证明:)()()(21x bF x aF x F +=也是分布函数.2.16 设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0,0,sin )(其他πx x A x f求: (1)常数A ; (2)随机变量X 的分布函数; (3))23(ππ<<X P .2.17 设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=-.0,0,0,)(22x x Be A x F x 求: (1) 求常数A ,B ;(2) X 的概率密度函数; (3) )9ln 4ln (<<X P .2.18 设连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧≥+<=.0,arctan ,0,0)(x x B A x x F 求: (1) A ,B ;(2) X 的密度函数)(x f ;(3) X 落在)1,1(-内的概率.2.19 设随机变量ξ服从均匀分布)5,0(U , 求下列关于x 的二次方程02442=-++ξξx x有实根的概率2.20 设某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布)6001(E ,试求: 在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率α.2.21 设随机变量)(~λE X , 其中0>λ. 若25.0)2(=<<K X K P . 试将K 用参数λ的式子表出.2.22 试证明指数分布的无后效性: 设随机变量)(~λE X , 则对任意实数0,0>>t s ,有)()|(t X P s X t s X P >=>+>.2.23 设随机变量)9,108(~N X .(1) 求)6.1171.101(<<X P ;(2) 求常数a , 使90.0)(=<a X P ;(3) 求常数a , 使01.0)(=>-a a X P .2.24 公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在1%以下设计的. 设男子身高(单位:cm))36,170(~N X , 问应如何选择车门的高度.2.25 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=.0,0,0,)1(2)(2x x x x f π求X Y ln =的密度函数.2.26 设随机变量]1,1[~-U X , 求:(1) X e Y =的密度函数;(2) 122+=X Z 的密度函数.2.27 设随机变量的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,0,2)(2其他ππx x x f求X Y sin =的密度函数. 2.28 设随机变量X 的分布函数)(x F 为单调增加的连续函数,求证随机变量)(X F Y =服从均匀分布]1,0[U .2.29 设一厂生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂,以概率0.3需进一步调试,经调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2定为不合格品不能出厂. 现该厂生产了n 台仪器,求:(1) 常数这n 台仪器都能出厂的概率α;(2) 恰好有两件不能出厂的概率β;(3) 至少有两件不能出厂的概率γ.2.30 若一条鳀鱼的产卵数X 服从泊松分布)(λP , 而每只卵孵化成一条小鱼的概率为p , 且每只卵是否变成小鱼彼此独立,求一条鳀鱼所生小鱼数量为k 的概率.。

应用数理统计复习题

一、填空：1、已知R.V.ξ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4.01.03.02.05101，则E （2-3ξ）=（ 1.4 ）2、已知R.V.ξ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101，则η=2+ξ的分布列是（⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25.013.02.005.037.095321） 3、已知A ，B 是样本空间Ω中的两事件，且Ω={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，6，8}，B={2，3，4，5，6，7}，则A+B={ 2,3,4,5,6,7,8 }4、由事件A 与B 同时发生构成的事件，称为事件A 与B 的积事件，记为（ AB ）5、已知R.V.ξ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.05.015.01.005.091.74.532，则方差D ξ=（ 3.8454 ）6、由事件A 与B 至少发生一个构成的事件，称为事件A 与B 的和事件，记为（ A+B ）7、在数理统计中，把（考察对象）的全体称为总体，而把（构成总体的每个成员）称为个体。

8、已知甲、乙射手的命中率分别为0.77与0.84，它们各自独立地向同一目标射击一次，则目标被击中的概率是（ 0.9632 ）9、对于任意事件A ，有P （A ）+P （A ）=（ 1 ）10、已知随机变量ξ有分布列⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3.01.04.02.03014，则P{-3<ξ≤3}=( 0.8 )11、两点分布b(1,p)的数学期望是（ p ）方差是（ pq ）12、一口袋内有11个黑球、7个白球，不放回地从中任抽2次，每次取出1球。

记事件A=“第一次取出黑球”，B=“第二次取出黑球”，则P （A B）=（ 10/17 ）13、分布函数的基本性质中：F （-∞）=（ 0 ）；F （+∞）=（ 1 ）14、已知A ，B 是样本空间Ω中的两事件，且Ω={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，6，8}，B={2，3，4，5，6，7}，则A-B={ 8 }15、假设独立随机变量ξ与η的方差D ξ与D η都存在，则有D （ξ+η）=（D ξ+D η）16、已知R.V.ξ～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101，则η=ξ2+3的分布列是（ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25.013.057.005.0521243）17、假设R.V.ξ存在方差D ξ，则对于任意常数k,c,有D （k ξ+c ）=( k 2D ξ )18、把一枚不对称的硬币投掷一次，若出现正面，则再掷一次；…。

数理方法习题数理方法习题讲解

u ( x , y ) = ∑ (C n e
n =1
nyπ a
+ Dn e
nyπ a
nπ x ) sin a
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∴ lim u = 0 ∴ C n = 0
y →∞
∞
l 2 2l (2n + 1)π Bn = ⋅ v0 sin ξ dξ ∫ l (2n + 1)π a 0 2l 2v0l = = (n + 1 ) 2 π 2 a 2
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Tn = Cn e
−
n 2π 2 a 2 l
2
t
u ( x, t ) = ∑ Bn e
n =1
∞
∞
−
n 2π 2 a 2 l2
t
nπ x ⋅ sin l
nπ bx(l − x ) ∴ u ( x, 0) = ∑ Bn ⋅ sin x= 2 l l n =1 2 l bξ (l − ξ ) nπ Bn = ∫ sin ξ dξ = = 2 0 l l l
Z = ∑ An cos λx + Bn sin λx
nπ Z (a ) = 0 ⇒ sin λ a = 0 ⇒ λ = a ∞ nπ Z ( x ) = ∑ Bn sin x a n =1 Z (0) = 0 ⇒ An = 0 n = 1, 2
而
Yn = An′e
∞
nyπ a
+ Bn′e
−
−
nyπ a
8b π 3 (2 R + 1) 3 ( n = 2 k + 1) = 0 ( n为偶数 )

数理统计习题数理统计练习题

数理统计习题数理统计练习题数理统计⼀、填空题1．设n X X X ,,21为母体X 的⼀个⼦样，如果),,(21n X X X g ，则称),,(21n X X X g 为统计量。

2．设母体 ),,(~2N X 已知，则在求均值的区间估计时，使⽤的随机变量为 3．设母体X 服从⽅差为1的正态分布，根据来⾃母体的容量为100的⼦样，测得⼦样均值为5，则X 的数学期望的置信⽔平为95%的置信区间为。

4．假设检验的统计思想是。

⼩概率事件在⼀次试验中不会发⽣5．某产品以往废品率不⾼于5%，今抽取⼀个⼦样检验这批产品废品率是否⾼于5%，此问题的原假设为。

6．某地区的年降⾬量),(~2N X ，现对其年降⾬量连续进⾏5次观察，得数据为：(单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2的矩估计值为。

7．设两个相互独⽴的⼦样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取⾃正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2221,S S 分别是两个⼦样的⽅差，令22222121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~222221 ，则__________, b a 。

8．假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布。

9．假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2X P ，则____ 。

10．设⼦样1621,,,X X X 来⾃标准正态分布母体)1,0(N ，X为⼦样均值，⽽01.0)( X P ，则____11．假设⼦样1621,,,X X X 来⾃正态母体),(2N ，令 161110143i i i iX XY ，则Y 的分布12．设⼦样1021,,,X X X 来⾃标准正态分布母体)1,0(N ，X 与*2S 分别是⼦样均值和⼦样⽅差，令2*210X Y S ，若已知01.0)( Y P ，则____ 。

13．如果,?1 2都是母体未知参数的估计量，称1? ⽐2? 有效，则满⾜。

数理统计期末练习题

数理统计期末练习题1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少2．设n x x ,,1 是来自)25,(μN 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(|≥<-μx P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求)2.0|(|>-y x P .5.设161,,x x 是来自),(2δμN 的样本,经计算32.5,92==s x ,试求)6.0|(|<-μx P .6.设n x x ,,1 是来自)1,(μN 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0≥μ,有α≤<P )|(|c x .7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 =<P )1(X9．设21,x x 是来自),0(2σN 的样本,试求22121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x Y 服从分布.10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得.05.0)()()(221221221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>++-+P k x x x x x x11．设n x x ,,1 是来自),(21σμN 的样本,m y y ,,1 是来自),(22σμN 的样本,c,d 是任意两个不为0的常数,证明),2(~)()(2221-+-+-=+m n t s y d x c t md n c ωμμ其中22222,2)1()1(yx y x s s m n s m s n s 与-+-+-=ω分别是两个样本方差.12．设121,,,+n n x x x x 是来自),(2σμN 的样本,11,n n i i x x n ==∑_2211(),1n n i n i s x x n ==--∑试求常数 c 使得1n nc nx x t cs +-=服从t 分布,并指出分布的自由度。

数理方法习题解

数学物理方法作业解答：习题1.1P6 .1下列式子在复平面上具有这样的意义 (2) | z-a |= | z-b | 解：| z-a | 表示z 到a 点的距离，| z-b |表示b 点的距离即a 与b 的连线的垂直平分线。

(3) Re(z) > 12解:Re z = x 有 x >1 2Re z > 12表示坐标x 大于12的一切点即x=12的右边平面(8) Re (1z) = 2解：因为z = x+iy所以Re(1z)=Re(1x+iy)=Re(x-iyx2+y2)=xx2+y2=2 得x2+y2- x2=0 即(x-14)2+y2=116=(14)2所以Re(1z)为以（14，0）为圆心，以14为半径的圆P6. 2把下列复数代数式，三角式和指数式几种形式表示出来(1)i解：i = cos(π2)+isin(π2)=eiπ2(2)-1解：-1= cos(π)+isin(π)=e iπ(3) 1+i 23解：1+i 23 =2(cosπ3+isinπ3)=2eiπ3(4)1-cosα+isinα解：1-cosα+isinα=ρ(cosφ+isinφ)= ρe iφ其中ρ=2(1-cosα)2+sinα= 2sin(α2)Φ =arctgsinα1-cosα= arctg(ctgα2)原式=2sin α2[cos arctg(ctgα2)+isin arctg(ctgα2)]=2sin α2eiarctg(ctgα2)（5）z3解：z3 =(x+iy)3 =(x3-3xy2) +i(3x2y-y3) ρ3e i3φ=ρ3(cos3φ+isin3φ)其中ρ=2x2+y2φ =arctgyx(7) 1-i1+i=(1-i)2(1-i)(1+i)=- i =cos3π2+isin3π2=e(i3π2)3.计算下列数值P6.3(1). 2a+ib解：x+iy=2a+ib →(x+iy)2=a+ibX2-y2+i2xy=a+ib得到：{ X2-y2=a →4 X44a X2-b2=0 →x2=a+2a2+b222xy=b } →4y4+4ay2-b2=0→ y2=-a+2a2+b22所以x=+2222a+2a2+b2=+Ay =+2222-a+2a2+b2=+B2a+ib = A+iB →-A-iB →A-iB →-A+iB(2) 3 i解：3i =3e i(π2+2nπ)=e i(π6+2nπ3)=→ e i π6(n=0)→ e i 5π6(n=1)→ e i 3π2(n=2)(3) i i解：i i =[ e i(3π2+2nπ)]i = e-(π2+znπ)(4) ii =ie i(π2+znπ)=π2+znπ(5) cos 5φ解：cos 5φ =Re(cos 5φ+i sin 5φ)=Re(cos 5φ+i sin 5φ)5=Re(cos 5φ+5 cos 4φ(i sin φ)+10 cos 3φ(i sin φ)2+10 cos 2φ(i sin φ)3+10 cos φ(i sin φ)4+(i sin φ)5)= cos 5φ-10cos3φsin2φ+5cosφsin4φ(7) cos φ + cos2φ +cos3φ +.....cosnφ解：原式=Re(e iφ+ e i2φ+ e i3φ+ e i4φ...... e inφ)=Re 1- e inφ1- e iφe iφ→括号中为等比数列，其前n项和为：e iφ1- e inφ1- e iφ=e-iφ2(1- einφ)e-iφ2(1- eiφ)e iφ=e-iφ2- ei(nφ-φ2)e-iφ2- eiφ2e iφφ2=e-iφ2- ei(nφ-φ2)2i12i（e-iφ2- eiφ2e iφ=e-iφ2+ei(nφ-φ2)2i sinφ2e iφ= -e iφ2+ei(nφ+φ22i sinφ2=e i(nφ+φ2) -e iφ22i sinφ2e i(nφ+ φ2)=cos(nφ+φ2)+isin(nφ+φ2)e i φ2=cosφ2+isinφ2故上式=[cos(nφ+φ2)- cosφ2]+i[sin(nφ+φ2)- sinφ2]2i sinφ2=[sin(nφ+φ2)- sinφ2]-i[cos(nφ+φ2)- cosφ2]2 sinφ2→Re 1- e in φ 1- ei φ e i φ=sin(n φ+φ 2 )- sin φ2 2 sin φ 2(8) sin φ + sin2φ +sin3φ +.....+sinn φ 解：原式=Im(e i φ+ ei2φ+ ei3φ+ …..ein φ)=cos φ 2 - cos(n φ+φ 2 )2 sin φ 2习题1.2P8：验证1.2.11-1.2.14式(1)si (2)c()()(3)|sin |111sin ()()222iz izi x iy i x iy y ix y ixz z e ee e e e e e ii i-+-+--=⎡⎤=-=-=-⎣⎦ 证明：方法一而且)()yy ix ixy ix y ixy ix y ixe e e e e e e e e e e ------+-=-+-(e ① )()y yixix y ix y ix yixyixe e ee e e e e e e e-------+=+--(e②①+②得 )())()2()y y ix ixyyixixyix y ixe e ee e eee e e------+-+-+=-(e(e1111sin 2())())()2222yix y ixy y ix ix y y ix ix z e e e ee e e e e e i i ------⎡⎤∴=⋅⋅-=⋅+-+-+⎣⎦(e (e 1111)())())sin )cos 2222y y ix ix y y ix ix y y y y e e e e e e e x i e x i i ------⎡⎤⎡⎤=+-+-+=+--⎣⎦⎢⎥⎣⎦(e (e (e (e|sin |z ∴==方法二()()111sin ()()()22211(cos sin )(cos sin )(cos (221((2izizi x iy i x iy yix y ixy y y y y yy y y y z e eeeee e ei iix i x e x i x e e e x i e e x i i e e x i e e x -+-+-------=-=-=-⎡⎤⎡⎤=+--=-++⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+--⎣⎦ ））sin ）sin ）cos|sin |z ∴==()()(4)|cos |111cos ()()222izizi x iy i x iy y ix y ix z z e ee e e e e e -+-+--=⎡⎤=+=+=+⎣⎦ 证明：方法一而且)()yy ix ixy ix y ixy ix y ixe e e e e e e e e e e ------++=+++(e ① )()y yixix yixyix yixyixe e ee e e e e e e e--------=--+(e②①+②得 )())()2()yyixixyyixixyix y ixe e ee e eee e e------+++--=+(e(e1111cos 2())())()22221111)())())cos )sin 2222y ix y ix y y ix ix y y ix ixy y ix ix y y ix ix y y y y z e e e e e e e e e e e e e e e e e x i e x ------------⎡⎤∴=⋅⋅+=⋅+++--⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+++--=++-⎣⎦⎢⎥⎣⎦(e (e (e (e (e (e|cos |z ∴==方法二()()111cos ()()222izizi x iy i x iy y ix y ix z e ee e e e e e -+-+--⎡⎤=+=+=+⎣⎦11(cos sin )(cos sin )(cos (22y y y y y yx i x e x i x e e e x i e e x ---⎡⎤⎡⎤=++-=++-⎣⎦⎣⎦））sin|cos |z ∴==2(5)z izeeπ+=22(cos 2sin 2)z iziz zee ee i eππππ+==+=证明：(6)(2)sh z i sh π+=z2(2)2211(2)()()22z iz i z iz ish z i eee ee eπππππ+-+--+=-=-证明：1()2z ze e-=-=sh z(7)(2)ch z i π+=ch z2(2)2211(2)()()22z iz i z iz iz i eee ee eπππππ+-+--+=+=+证明：ch 1()2z ze e-=+=ch zP82.计算下列数值。

(完整版)数理统计课后习题答案—杨虎

习题一、基本概念1．解：设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他 4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ 2.解：由题意得：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x n x x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N 4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.30.2 0.11 2 3 4 xy5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293=--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯= 7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.24 8．解：由已知条件得：(1,),1()iX Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().niX i Y B n p p F μ==-∑9.解: 1))1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2)λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3)()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4)1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ 10.解：1)()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)nii n S n S DXX D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)nii DXX n σ=∴-=-∑ 11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1)()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)2222,2u u X u E u e du u du +∞+∞---∞===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,162u n n⎛⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解：设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-((12(2(12P T P T pP T p p P T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF ==17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X X X N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=-又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E XX D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N nnσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x af x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P XP X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m n i i m X n χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)m i i X N m σ=∑，21~(0,)m n i i m X N n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故222221111~(2)m m n i i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解：由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解： 1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a XP 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P c T P c S X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,))(1()()1cov(,)()1(,)1j i j j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X D X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=---=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1．解：矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++=()()11111ln ln(1)ln nnni i i i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln n i i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解： 1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤= 2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3． 1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x xλλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+==3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+==联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni na Xb X ≤≤≤≤== 4) 解：矩估计：00ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解：矩法：()/0()(1)(2)x txEX edx t e dt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰ Xαβ=+=2222()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ====极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx ni n L enx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n nL L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解：矩法：22223222(2)x x tx EX dx dte dt Xθθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆMθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫⎛== ⎪⎝⎝⎭∏222ln ln43ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；5.解：1,ln lninx n nxiL e e L n nxλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。

数理统计之统计量及其分布(习题)

计算题、证明题1．设(x 1,2x ，…，n x )及（1u ，2u ，…，n u ）为两组子样观测值，它们有如下关系i u ＝ba x i -（a b,0≠都为常数）求子样平均值u 与x ，子样方差2u s 与2xs 之间的关系．解: b ax a x n b b a x n u i nn u i i i-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===∑1121121 ().11122222x i i us bb a x b a x n u u n S =⎪⎭⎫ ⎝⎛---∑=-∑= 2．若子样观测值1x ,2x ,…,m x 的频数分别为1n ,2n ,…，m n ，试写出计算子样平均值x 和子样方差2n s 的公式 (这里n =1n +2n +…+m n ).解: ∑∑∑======m j m j jj j jm j j j x f x n n x n n x 1111()()()221221x x f x x n n x x n n S j j j j m j j j n-=-=-=∑∑∑= 其中nn f j j =，m j ,,2,1Λ=是j x 出现的频率。

3．利用契贝晓夫不等式求钱币需抛多少次才能使子样均值ξ落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9 ? 如何才能更精确的计算使概率接近0.9所需抛的次数 ? 是多少? 解: 设需抛钱币n 次,第i 次抛钱币结果为n i i i i ,,2,101Λ=⎩⎨⎧=次抛出反面第次抛出正面第ξ，则iξ独立同分布.且有分布()1,0,21===x x Piξ 从而41,21==i i D E ξξ。

设∑=i nξξ1是子样均值.则nD E 41,21==ξξ. 由契贝晓夫不等式()()()().9.0410011.011.01.05.01.06.04.02=-=-≥<-=<-<-=<<nD E P P P ξξξξξ2504.0100==∴n ，即需抛250次钱币可保证()9.06.04.0≥<<εP 为更精确计算n 值,可利用中心极限定理()()..9.012.02415.06.0415.0415.04.06.04.0≥-Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-<-=<<n n n n P P ξξ645.12.0≥∴n 68≥∴n . 其中()x Φ是()1,0N 的分布函数.4. 若一母体ξ的方差2σ= 4, 而ξ是容量为100的子样的均值. 分别利用契夫晓夫不等式和极限定理求出一个界限, 使得ξ-μ (μ为母体ξ的数学期望E ξ) 夹在这界线之间的概率为0.9.解:设此界限为.ε由()9.012=-≥<-εξεμξDP由此.6325.04.0.10041.022≈=∴===εσξεnD 由中心极限定理,().9.012=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=<-ξεξεξμξεμξD D D P P.645.1.95.0=∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΦξεξεD D .329.01004645.1=⨯=ε 5．假定1ξ和2ξ分别是取自正态母体N (μ,2σ)的容量为n 的两个子样(n 11211,,,ξξξΛ),和(n 22221,,,ξξξΛ)的均值,确定n 使得两个子样均值之差超过σ的概率大约为0.01.解: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N i 2,~σμξ .2,1=i 且相互独立.，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n N 2212,0~σξξ于是()01.021222222121=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=>-n n n P P σσσξξσξξ .005.02=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ∴n .258.2⨯=n .14=n 6．设母体ξ~N(μ,4 )，（n ξξξ,,,21Λ）是取自此母体的一个子样, ξ为子样均值,试问：子样容量n应取多大,才能使 (1) E (μξ-2)1.0≤;(2) E (μξ-)1.0≤; (3) P （μξ-1.0≤)95.0≥.解: (1)().401.04.1.042=≥∴≤==-n n D Eξμξ(2)()dx e x nE nx 422221μμπμξ--∞+∞--=-⎰=.1.0242262≤=-∞∞-⎰ndu e nπμπμ .255≥∴n(3)().95.021.021.0≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=≤-n n P P μεμε.96.121.0≥n 1537≥n .7. 设母体()p b ,1~ξ(两点分布), （n ξξξ,,,21Λ）是取自此母体的一个子样, ξ为子样均值,若P =0.2,子样容量n 应取多大,才能使(1)P()1.0≤-p ξ;75.0≥ (2)E (丨p -ξ丨2).01.0≤若P ()1.0∈为未知数,则对每个p ,子样容量n 应取多大才能使E (丨p -ξ丨2).01.0≤解: (1) 要()().75.03.01.01.02.0≥≤≤=≤-ξξP P当n10=时,∑=ni i 1ξ服从二项项分布().2.0,10,k b 查二项分布表知().75.07717.01074.08791.0313.01.0101>=-=⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=≤≤∑=i i P P ξξ所以n 应取10.(2)()np p D P E -==1.ξξ当2.0=p 时 ().16.01.016.02≥∴≤==-n n D p E ξξ(3) 当P 未知时,()()01.012≤-==-np p D p E ξξ由此知, ()p p n -≥1100, 要对一切()1,0∈p 此时均成立.只要求p 值使()p p -1最大, 显然当21=p , ()411=-p p 最大,.所以当2541100=⨯≥n 时,对一切p 的不等式均能成立.8 设母体ξ的k 阶原点矩和中心矩分别为k v =E ξk,k μ=Ｅ()k E ξξ-，k ＝１,２,３,４，k1ξ和k m 分别为容量n 的子样k 阶原点矩和中心矩, 求证:(1) E()31νξ-＝23nμ; (2) Ｅ()41νξ-＝223nμ＋32243n μμ-.解:()()()()()1213113311313[11νξνξνξνξνξ--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∑∑∑≠==j i j i n i i n i E n n E E ++()()()]111γξγξγξ---∑k j iE注意到n ξξξ,,,21Λ独立, 且()0111=-=-νννξi E .,,2,1n i Λ=所以().13231μνξn E=- ()()()()()()+--+--+-=-∑∑∑≠≠=2121131414144134[1νξνξνξνξνξνξj i ji j i j i i i E E n E()()()()()()()]111111216νξνξνξνξνξνξνξ----+---∑∑≠≠≠≠≠l k j ilk j i k j i kj i E E=().3313132242222443nn n n n n μμμμμ-+=-+ 9. 设母体ξ~N ()2,σμ,子样方差2nS =n1()21∑=-ni iξξ, 求E 2n S ,D 2n S 并证明当n 增大时,它们分别为2σ+⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1ο和n 42σ+⎪⎭⎫⎝⎛n 1ο.解: 由于().1~222-n nS nχσ所以()()()121.1122-=--=-n n DX n n E χ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴2222222101n n n nS E n ES n nσσσσ().10212244222242⎪⎭⎫⎝⎛+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n nS D n DS n nσσσσ .10. 设()21,ξξ为取自正态母体ξ~N ()2,σμ的一个子样, 试证: ξ1+ξ2, ξ1-ξ2是相互独立的. 证：()()()()()()()().,cov 21212221212121212121ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ-+--=-+--+=-+E E E E E E E由于ξ1, ξ2~N()2,σμ，所以. E 212221,ξξξξE E E ==即()0,cov2121=-+ξξξξ 又()2212,2~σμξξN +Θ，().2.0~221σξξN -所以由两个变量不相关就推出它们独立.11．设母体ξ的分布函数为F()x ,()n ξξξ,,,21Λ是取自此母体的一个子样,若F ()x 的二阶矩存在,ξ为子样均值,试证ξ1--ξ与ξj --ξ的相关系数ρ=11--n ,j i ≠,.,,2,1,n j i Λ= 证由于ξ的二阶矩存在,不妨设.μξ=E 2σξ=D()()()()()j i D E D ij i ij i ≠---=---=,,cov ξξξξξξξξξξξξρ()()().11111122222221σσξξξξξξn n n n n D n D n n n D D j ij in i i i i -=-+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑≠=()()n E n E E E E E n j j i j i j i j i 221222σμξξμξξξξξξξξξξξ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=--∑=()[]n n n n E E E n n j i i j i 22222222212222σμσμσμξξξσμ-=-++-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∑≠.11122--=--=∴n nn n σσρ12. 设ξ和2n S 分别是子样()n ξξξ,,,21Λ的子样均值和子样方差,现又获得第n +1个观测值,试证: (1)ξn+1=ξn +11+n (ξn+1-ξn );(2)12+n S =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++212111n n n n S n n ξξ. 证 (1)()()n n n n n n i i n n n n n ξξξξξξξ-++=++=+=+++=+∑11111111111()()()()2111211121112111111111)2(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+=-+-+=-+=++-++-++-+∑∑∑n n n i n i n n n i n i n i n i n n n n n S ξξξξξξξξξξ()()()()()()()21211121211112{11nn n n n n n i n i n n n i ni n n n n ξξξξξξξξξξξξ-+++-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--+-+=+++-+-∑∑=()().112122n n n n n S n n ξξ-++++ 13. 从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球, 令ξ=0表示取到白球, ξ=1表示取到黑球.求容量为5的子样()51,,ξξΛ的和的分布,并求子样均值ξ和子样方差2n S 的期望值.解:i ξ相互独立都服从二点分布,32;1⎪⎭⎫⎝⎛b E i ξ=.32 D .92=i ξ 5,2,1Λ=i所以,32=ξE .4589212=⨯-=n n ES n 521ξξξη+++=Λ服从二项分布.32;5⎪⎭⎫⎝⎛b 其分布列().313255kk k k p -⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==η.5,2,1,0Λ=k14. 设母体ξ服从参数为λ的普哇松分布, ()n ξξξ,,,21Λ 是取自此母体的一个子样,求： (1)子样的联合概率分布列:(2)子样均值ξ的分布列、E ξ、D ξ、和E 2n S 。

数理统计习题

一、数理统计基础知识1. 在一本书上我们随机地检查了10页，发现每页上的错误数为 4 5 6 0 3 1 4 2 1 4试计算样本均值、样本方差和样本标准差。

解样本均值12454310n x x x x n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+===【样本方差()()()()22222111435343 3.7819n i i s x x n =⎡⎤=-=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-∑，样本标准差 1.94s ==2. 设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为A x ，样本标准差为A s ，样本极差为A R ，样本中位数为A m 。

现对样本中每一个观测值施行如下变化y ax b =+￥如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标准差、极差和中位数。

解不妨设样本A 为{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅，样本B 为{}12,,,n y y y ⋅⋅⋅，且i i y ax b =+，1,2,,,i n =⋅⋅⋅1212n n B A y y y ax b ax b ax by ax b n n++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++===+，222221111()()11n n Bi B i A i i s y y ax b ax b a s n n ===-=+--=--∑∑，因而B A s a s =. |()()()()()()()111B A n n n R y y ax b ax b a x x aR =-=+--=-=，1212212n B n n y m y y +⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ 3. 设1,,n x x ⋅⋅⋅是来自()1,1U -的样本，试求()E x 和()Var x 。

解均匀分布()1,1U -的均值和方差分别为0和13，该样本的容量为n ，因而得()0E x =，1()3Var x n=;4.设116,,x x ⋅⋅⋅是来自(8,4)N 的样本，试求下列概率 (1)(16)(10)P x >； (2) (1)(5)P x > 解 (1)…16(16)(16)11616(10)1(10)1(10)1081(())10.84130.93702P x P x P x >=-≤=-≤-=-Φ=-=(2) 161616(1)(1)58(5)((5))(1())[(1.5)]0.33082P x P x ->=>=-Φ=Φ=。