数学建模线性规划问题(超全)

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八种经典线性规划例题(超实用)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

数学建模线性规划问题超全

可行域（Feasible regio指n决) 策变量取值时受到
最优解（Optimal
的各种资源条件的限制
soluti，o通n)常表达为含决策变
量的等式或不等式。
可行域中使目标函数达到最优的决策变量的值
满足约束条件的决策变量的取值范围
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• 第1步 -确定决策变量
•设 x1 ——I的产量
max z = x1 2x2 + 3(x4 x5 ) + 0x6 + 0x7
x1 + x2 + (x4 x5 ) + x6 = 7
x1 x2 + (x4 x5 ) x7 = 2
3x1 + x2 + 2(x4 x5 )
=7
x1, x2, x4, x5, x6 , x7 0
C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
资.aa源 .1m.1.1.向 ...A......=..量 ....a..a.1..aan.m.1m.1.n1C..........-..=....a.价 .a.1.(nm.nP值 1,=P向 (2P1,,量 .P.2.X,,.P..3-,P)决 n ) 策00=变 = 量 .000.000....向量
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线性规划模型举例
(一) 运输问题 (二) 布局问题 (三) 分派问题 (四) 生产计划问题 (五) 合理下料问题
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“” 约束：加入非负松驰变量
例： max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
x1 + 2x2 + x3
=8
4

线性规划建模练习题

线性规划建模练习题1.背包问题有一组物品S,共有9件，其中第i件重w，价值v，从S中取出一些物品出来装背包，使2 •农作物的生产安排问题以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表1所示适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用水量及可种植的最大面积如表2所示试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大?3 •空气污染管理问题位于钢城的诺利公司为当地的主要钢铁厂家之一，公司为钢城的繁荣与发展作出了一定的贡献。

但现在情况有所改变，由于钢厂对熔炉的排放物未进行管理,致使空气污染破坏了钢城的环境，并危害了当地居民的健康。

公司董事会就此作出了明智的决定，指定专门人员与市政官员和人民团体商讨解决空气污染问题，以保证工厂的排放物能达到环保部门的要求。

研究发现，造成空气污染的物质主要有三种：微粒、氧化硫及碳化氢，钢厂每年须减少的污染物排放量达到表3的要求时，方满足环保的要求。

表3污染物的主要来源为：（1制造生铁之鼓风炉；（2）炼钢之敞炉。

减少污染物排放的有效方法为：（1）增加烟囱高度；（2）在烟囱内安装过滤器；（3）使用优质燃料。

这些方法对减少污染虽有帮助（其效果见表4），但任一方法的单独使用，均不能达到环保部门的要求，若三种方法同时以最高的标准实施，则工厂的产品成本将陡增，从而使产品失去市场竞争力甚至因此而破产，管理部门因此而忧心忡忡。

表4 （各减污法每年最高可能减少的污染排放量（单位：百万磅））专题组人员经分析知各减污方法中最高减污量之总成本的近似值如表5所示。

而公司每年可拨出的治污专款也有一底限，试确定该公司是否能实施“空气污染管理”工程。

表5（最高减污法之总成本：以百万元为单位）4.饲料配比问题某公司长期饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中的蛋白质、矿物质、维生素这三种营养成分特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g、矿物质3g、维生素10mg，该公司能买到五种不同的饲料，每种饲料 1 kg 所含的营养成分如表6所示，每种饲料1kg的成本如表7所示，试为公司制定相应的饲料配方，以满足动物生长的营养需要，并使投入的总成本最低。

数学建模算法大全线性规划

第一章线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。

此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。

自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。

特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。

生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。

若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。

总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。

在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。

而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。

1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。

数学建模线性规划上机题

例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。

每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中旳任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需旳工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供运用旳工时数及多种产品旳需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线旳生产成本分别为每小时7，8，9元。

现应怎样安排各条流水线下月旳生产任务，才能使总旳生产成本至少？例2 (外购协议)某企业下月需要B1，B2，B3，B4四种型号旳钢板分别为1000，1200，1500，2023吨。

它准备向生产这些钢板旳A1，A2，A3三家工厂订货。

该企业掌握了这三家工厂生产多种钢板旳效率（吨/小时）及下月旳生产能力（小时），如表4.2所示。

而它们销售多种型号钢板旳价格如表4.3所示。

该企业当然但愿能以至少旳代价得到自己所需要旳多种钢板，那么，它应当向各钢厂订购每种钢板各多少吨？假设该企业订购时采用如下原则，要么不订购，要么至少订购100吨以上。

该怎样处理这个问题。

若至少订购50吨，怎样处理？例3 (广告方式旳选择) 中华家电企业近来生产了一种新型洗衣机．为了推销这种新产品，该企业销售部决定运用多种广告宣传形式来使顾客理解新洗衣机旳长处。

通过调查研究，销售部经理提出了五种可供选择旳宣传方式．销售部门并搜集了许多数据。

如每项广告旳费用，每种宣传方式在一种月内可运用旳最高次数以及每种广告宣传方式每进行一次所期望得到旳效果等．这种期望效果以一种特定旳相对价值来度量、是根据长期旳经验判断出来旳．上述有关数据见表4．8中华家电企业拨了20230元给销售部作为第一种月旳广告预算费、同步提出，月内至少得有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不得超过12023元，电台广播至少隔日有一次，现问该企业销售部应当采用怎样旳广告宣传计划，才能获得最佳旳效果?例4 长城家电企业近来研制了一种新型电视机．准备在三种类型旳商场即一家航空商场、一家铁路商场和一家水上商场进行销售．由于三家商场旳类型不同样，它们旳批发价和推销费都不同样。

数学建模习题——线性规划

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此表四问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解：设利润函数为M(x),投资A 、B 、C 、D 、E 五种类型的证券资金分别为12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400225 1.4()9154325(),,,,0M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045];A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：即12345218.1818,0,736.3636,0,45.4545x x x x x ===== 因此，应投资A 证券218.1818万元，B 证券0万元，C 证券736.3636万元，D 证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。

数学建模测试题-线性规划部分

313数学教育1、2班，510数学教育1、2、3班数学建模上机测试题，需要把运行结果写出来。

模型包括目标函数、约束条件，编写的程序和程序运行结果四部分内容。

写在作业本上。

按学号顺序做，如35号同学做习题35习题1：某厂计划生产甲、乙、丙三种零件，有机器、人工工时和原材料的限制，有关数据1、2、若原材料为2元/公斤，试建立获得最大利润生产计划的线性规划模型。

习题2：一塑料厂利用四种化工原料合成一种塑料产品。

这四种原料含A、B、C的成分见下表，这种塑料产品要求含A为25%，含B、C都不得少于30%。

问各种原料投放比例为习题3：建立以下线性规划模型1）某家具厂生产桌椅，每张桌子耗用木材0.28立方米、2小时人工，售价288元；每把椅子耗用木材0.13立方米、0.8小时人工，售价147元。

且1张桌子必须配4把椅子。

已知木材本月供应量不得超过52立方米，且每立方米成本价为500元。

本月人工工时上限为288小时，且每小时成本为20元。

（1）写出最大月收益线性规划模型；（2）写出月收益不低于8000元而动用木材最省的线性规划模型（其余条件不变）。

习题4 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。

问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？习题5、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。

已知：项目A ：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B ：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不超过30万元；项目C ：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D ：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；问：a.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？习题6 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。

线性规划经典例题

线性规划经典例题【问题描述】某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要2小时的生产时间，产品B每件需要3小时的生产时间。

产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。

每天的生产量不能超过100件。

工厂希翼最大化每天的利润。

【数学建模】设工厂每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。

根据题目条件，可以得到以下数学模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 200x + 300y约束条件：1. 生产时间限制：2x + 3y ≤ 82. 产量限制：x + y ≤ 1003. 非负性约束：x ≥ 0，y ≥ 0【求解过程】将目标函数和约束条件转化为标准形式，得到如下线性规划模型：Maximize Z = 200x + 300ysubject to2x + 3y ≤ 8x + y ≤ 100x ≥ 0，y ≥ 0使用线性规划求解器进行求解，得到最优解。

【求解结果】经过计算，得到最优解为：x = 50（产品A的件数）y = 16.67（产品B的件数，近似值）此时，工厂每天的最大利润为：Z = 200 * 50 + 300 * 16.67 = 33333.33 元（近似值）【结果分析】根据最优解，工厂每天应该生产50件产品A和16.67件产品B，以达到每天最大利润33333.33元。

由于生产时间和产量限制，工厂无法达到每天生产更多的产品。

【结论】根据线性规划模型的最优解，工厂每天生产50件产品A和16.67件产品B，可以获得每天最大利润33333.33元。

这个结果可以作为工厂生产计划的参考，以实现最大化利润的目标。

【备注】以上的数学模型和求解结果仅为示例，实际问题中的数值和约束条件可能有所不同。

为了得到准确的结果，需要根据具体情况进行调整和求解。

线性规划经典例题

线性规划经典例题1. 问题描述假设我们有一个农场，种植两种作物：小麦和大豆。

农场有一定的土地和资源限制，我们需要确定如何分配这些资源，以最大化农场的利润。

我们知道每亩小麦的利润为1000元，每亩大豆的利润为2000元。

同时，我们还知道种植每亩小麦需要2个单位的肥料和3个单位的水，而种植每亩大豆需要4个单位的肥料和2个单位的水。

农场总共有100个单位的肥料和90个单位的水可用。

我们需要确定种植多少亩小麦和多少亩大豆，以最大化利润。

2. 数学建模为了解决这个问题，我们可以使用线性规划来建立数学模型。

假设我们种植x 亩小麦和y亩大豆，则我们的目标是最大化利润，即最大化目标函数Z = 1000x + 2000y。

同时，我们需要满足资源限制，即种植小麦和大豆所需的肥料和水不能超过总量。

因此，我们有以下约束条件：2x + 4y ≤ 100（肥料限制）3x + 2y ≤ 90（水限制）x ≥ 0，y ≥ 0（非负性约束）3. 求解方法我们可以使用线性规划的求解方法来找到最优解。

常见的方法有图形法、单纯形法和内点法等。

在这个例题中，我们使用单纯形法求解。

4. 求解过程首先，我们将约束条件转化为标准形式。

将不等式约束转化为等式，并引入松弛变量，得到以下等式约束：2x + 4y + s1 = 1003x + 2y + s2 = 90其中，s1和s2为松弛变量。

接下来，我们构建初始单纯形表格：基变量 | x | y | s1 | s2 | b |--------------------------------------s1 | 2 | 4 | 1 | 0 | 100 |s2 | 3 | 2 | 0 | 1 | 90 |--------------------------------------Z | -1000| -2000| 0 | 0 | 0 |其中，Z表示目标函数的系数，初始解为0。

我们选择最负的目标函数系数对应的列作为进入变量，即选择-2000对应的y列。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。

现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。

已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。

同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。

公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。

二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2. 目标函数：最大化利润。

利润可以表示为10x + 15y。

3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。

通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。

四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。

同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。

五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。

1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。

b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。

2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

线性规划题及答案

线性规划题及答案线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它在各个领域中都有广泛的应用。

本文将为您提供一道线性规划题目及其详细的解答过程。

题目描述：某公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为300元，产品B每单位利润为500元。

生产一个单位产品A需要消耗2个单位的原料X和3个单位的原料Y；生产一个单位产品B需要消耗1个单位的原料X和4个单位的原料Y。

公司每天有100个单位的原料X和150个单位的原料Y可供使用。

公司希望在满足原料供应的情况下，最大化每天的利润。

解答过程：1. 定义变量：设产品A的产量为x，产品B的产量为y。

2. 建立目标函数：目标函数即每天的利润，由题目可知，每单位产品A的利润为300元，每单位产品B的利润为500元。

因此，目标函数为：最大化 Z = 300x + 500y3. 建立约束条件：a) 原料X的供应限制：每单位产品A需要消耗2个单位的原料X，每单位产品B需要消耗1个单位的原料X。

因此，原料X的供应限制可以表示为：2x + y ≤ 100b) 原料Y的供应限制：每单位产品A需要消耗3个单位的原料Y，每单位产品B需要消耗4个单位的原料Y。

因此，原料Y的供应限制可以表示为：3x + 4y ≤ 150c) 产量非负限制：产品的产量必须为非负数，即：x ≥ 0y ≥ 04. 求解线性规划问题：将目标函数和约束条件进行整理，得到线性规划模型为：最大化 Z = 300x + 500y约束条件：2x + y ≤ 1003x + 4y ≤ 150x ≥ 0y ≥ 0使用线性规划求解器或图形法等方法，可以得到最优解。

5. 最优解及结论：经过计算，得到最优解为：x = 25，y = 25此时，最大利润为：Z = 300 * 25 + 500 * 25 = 20000元因此，当公司每天生产25个单位的产品A和25个单位的产品B时，可以实现每天最大利润为20000元。

总结：本文提供了一道线性规划题目及详细的解答过程。

大学生数学建模：作业-线性规划的实验

实验课题：（一）线性规划问题1.用lingo求解下列线性规划问题：2. 某班男同学30人、女同学20人，植树。

工作效率（个/人、天）如下表。

如何安排，植树最多？3.某牧场饲养一批动物，平均每头动物至少需要 700g 蛋白质、30g 矿物质和100g 维生素。

现有A、B、C、D、E五种饲料可供选用，每千克饲料的营养成分(单位：g)与价格(单位：元/kg)如下表所示：试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。

4.在以色列，为分享农业技术服务和协调农业生产，常常由几个农庄组成一个公共农业社区。

在本课题中的这个公共农业社区由三个农庄组成，我们称之为南方农庄联盟。

南方农庄联盟的全部种植计划都由技术协调办公室制订。

当前，该办公室正在制订来年的农业生产计划。

南方农庄联盟的农业收成受到两种资源的制约。

一是可灌溉土地的面积，二是灌溉用水量。

这些数据由下表给出。

注：英亩-英尺是水容积单位，1英亩-英尺就是面积为1英亩，深度为1英尺的体积；1英亩-英尺≈1233.48立方米。

南方农庄联盟种植的作物是甜菜、棉花和高粱，这三种作物的纯利润及耗水量不同。

农业管理部门根据本地区资源的具体情况，对本联盟农田种植规划制定的最高限额数据由下表给出。

三家农庄达成协议：各家农庄的播种面积与其可灌溉耕地面积之比相等；各家农庄种植何种作物并无限制。

所以，技术协调办公室面对的任务是：根据现有的条件，制定适当的种植计划帮助南方农庄联盟获得最大的总利润，现请你替技术协调办公室完成这一决策。

对于技术协调办公室的上述安排，你觉得有何缺陷，请提出建议并制定新的种植计划。

5．有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如下表所示：前舱中舱后舱最大允许载重量（t）2000 3000 1000容积（m3）4000 5400 1000现有三种货物待运，已知有关数据如下表所示：商品数量（件）每件体积（m3/件）每件重量（t/件）运价（元/件）A 600 10 8 1000B 1000 5 6 700C 800 7 5 600又为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要1小时的加工时间，产品B每件需要2小时的加工时间。

公司每天的总加工时间不能超过8小时。

产品A的利润为100元/件，产品B的利润为200元/件。

公司希望最大化每天的利润。

二、数学建模：设公司每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。

则目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：1. 生产时间约束：x + 2y ≤ 82. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0三、线性规划模型：Maximize Z = 100x + 200ySubject to:x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0四、求解方法：可以使用线性规划求解器进行求解，例如使用单纯形法或内点法等。

以下是使用单纯形法求解的步骤：1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 02. 引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束：x + 2y + s1 = 8x ≥ 0y ≥ 0s1 ≥ 03. 构建初始单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | 0 | 0-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 84. 进行单纯形法迭代计算：a. 选择进入变量：选择目标函数系数最大的非基变量，即选择y进入基变量。

b. 选择离开变量：计算各个约束条件的最小比值，选择比值最小的非基变量对应的约束条件的基变量离开基变量。

在本例中，计算得到最小比值为4，对应的约束条件为x ≥ 0，所以x对应的基变量离开基变量。

c. 更新单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | -2 | -400-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 8d. 继续迭代计算，直到目标函数系数均为负数或零，达到最优解。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每天可用的原料有限，而每种产品的制造需要不同数量的原料。

产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。

产品A每天的制造时间为6小时，产品B每天的制造时间为4小时。

已知制造一个单位的产品A需要2小时，而制造一个单位的产品B需要1小时。

工厂的目标是最大化每天的利润。

二、数学建模1. 定义变量：- x1: 每天制造的产品A的单位数量- x2: 每天制造的产品B的单位数量2. 建立目标函数：目标函数为最大化每天的利润，即：Maximize Z = 10x1 + 8x23. 建立约束条件：- 原料的限制：每天可用的原料有限，产品A每单位需要2单位原料，产品B每单位需要3单位原料。

因此，原料的约束条件为：2x1 + 3x2 ≤ 原料数量- 时间的限制：每天的制造时间有限，产品A每单位需要2小时制造，产品B每单位需要1小时制造。

因此，时间的约束条件为：2x1 + x2 ≤ 制造时间- 非负约束：每天制造的产品数量不能为负数，因此，非负约束条件为：x1 ≥ 0x2 ≥ 0三、求解线性规划问题利用线性规划的求解方法，可以求解出最优解。

1. 图形法：通过绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。

通过迭代计算，找到目标函数的最大值所在的点。

四、数值计算为了方便计算，我们假设原料数量为20单位，制造时间为10小时。

1. 图形法：绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。

在本例中，约束条件的直线为：2x1 + 3x2 ≤ 202x1 + x2 ≤ 10绘制直线后，找到目标函数的最大值所在的区域。

2. 单纯形法：利用单纯形法，可以求解出最优解。

根据约束条件和目标函数，可以构建如下的单纯形表格：| 基变量 | x1 | x2 | 原料数量 | 制造时间 | 目标函数 ||--------|----|----|----------|----------|---------|| x3 | 0 | 0 | 20 | 10 | 0 || x1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 10 || x2 | 0 | 1 | 3 | 1 | 8 |通过迭代计算，可以得到最优解为：x1 = 5x2 = 0最大利润为：50元五、结果分析根据数值计算的结果，最优解为每天制造5个单位的产品A，不制造产品B，可以获得最大利润为50元。

线性规划经典例题

线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划的原理和方法。

一、问题一：生产计划问题1.1 生产目标：某公司希望最大化其利润。

1.2 生产约束：公司有两种产品A和B，每周生产时间有限，每个产品的生产时间和利润有限制。

1.3 数学建模：设产品A和B的生产时间分别为x和y，利润分别为p和q，则目标函数为Maximize p*x + q*y，约束条件为x + y ≤ 40，3x + 2y ≤ 120，x ≥ 0，y ≥0。

二、问题二：资源分配问题2.1 目标：某公司希望最大化其销售额。

2.2 约束：公司有三个部门，每个部门需要的资源不同，且资源有限。

2.3 建模：设三个部门分别为A、B和C，资源分别为x、y和z，销售额为p、q和r，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，2x + y + 3z ≤ 240，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。

三、问题三：投资组合问题3.1 目标：某投资者希望最大化其投资组合的收益。

3.2 约束：投资者有多个可选的投资项目，每个项目的收益和风险不同，且投资金额有限。

3.3 建模：设投资项目分别为A、B和C，收益分别为p、q和r，风险分别为a 、b和c，投资金额为x、y和z，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，a*x + b*y + c*z ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。

四、问题四：运输问题4.1 目标：某物流公司希望最小化运输成本。

4.2 约束：公司有多个供应地和多个销售地，每个供应地和销售地之间的运输成本和需求量不同，且供应量和销售量有限。

4.3 建模：设供应地和销售地分别为A、B和C，运输成本为p、q和r，需求量为x、y和z，供应量为a、b和c，则目标函数为Minimize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ a + b + c，x ≤ a，y ≤ b，z ≤ c，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。

数学建模-线性规划

T T
x2
P1
P2 P3 P4 P5
M
O点 Q点 R点 P点
B [P P 1 3 B [P 2 P 3
P ] x (0,1, 3, 0,16) 5 P ] x (4,1, 5, 0, 0) 3
T
T
R
P Q
B [P P 1 2
0
x1
最优解
数学建模之线性规划
单纯形算法举例
m in s .t z = -2 x 1 -3 x 2 -x 1 + x 2 2 x1 +2x 2 10 3x1 +x 2 15 x1, x 2 0
min z min( z ) max z C X
（2）约束条件为不等式：对于不等号“≤（≥）”的约束条件，则可在“≤（≥）”的左端加上（或减去）一个非负变量（称为松弛变量）使其变为等式；（3）对于无约束的决策变量：譬如 x (, ,则令 )
x x x,使得 x, x 0 ,代入模型即可。
n
,称之为决策变量， B j 产量为 x j ( j 1, 2, , n)
所得的利润为 z ,则要解决的问题的目标是使得总利润
函数
z c j x 有最大值。决策变量所受的约束条件为 j
j 1
数学建模之线性规划
aij x j bi (i 1,2, , m) j 1 x 0( j 1,2, , n) j
数学建模
线性规划问题
数信学院任俊峰
2012-7-9
数学建模之线性规划
线性规划方法
最优化问题是求使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的“最优”包括“最好”、“最大”、 “最小”、“最高”、“最低”、“最多”等等。

线性规划经典例题

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为100元，每个单位产品B的利润为150元。

公司有两个车间可用于生产这两种产品，每个车间每天的工作时间为8小时。

产品A在车间1生产需要1小时，产品B在车间1生产需要2小时；产品A在车间2生产需要2小时，产品B在车间2生产需要1小时。

每天车间1的生产能力为400个单位产品A或200个单位产品B，车间2的生产能力为300个单位产品A或150个单位产品B。

公司的目标是在满足车间生产能力的前提下，最大化利润。

二、数学建模设x1为在车间1生产的产品A的数量，x2为在车间1生产的产品B的数量，x3为在车间2生产的产品A的数量，x4为在车间2生产的产品B的数量。

目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：车间1的生产能力：x1 + x2 ≤ 4002x1 + x2 ≤ 800车间2的生产能力：x3 + x4 ≤ 300x3 + 2x4 ≤ 300非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0三、求解过程使用线性规划的求解方法，可以得到最优解。

1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 4002x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 8000x1 + 0x2 + x3 + x4 ≤ 3000x1 + 0x2 + x3 + 2x4 ≤ 300x1, x2, x3, x4 ≥ 02. 使用线性规划求解器求解得到最优解：最优解为：x1 = 200, x2 = 200, x3 = 0, x4 = 100最大利润为：Z = 100(200) + 150(200) + 100(0) + 150(100) = 50000元四、结果分析根据求解结果，最优解是在车间1生产200个单位产品A，200个单位产品B，在车间2生产100个单位产品B，不需要在车间2生产产品A。

数学建模线性规划问题超全共54页文档

数学建模线性规划问题超全
11、获得的成功越大，就越令人高兴。野心是使人勤奋的原因，节制使人枯萎。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树，先有根茎，再有枝叶，尔后花实，好好劳动，不要想太多，那样只会使人胆孝懒惰，因为不实践，甚至不接触社会，难道你是野人。(名言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但常看常新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福。我爱自己，我用清洁与节制来珍惜我的身体，我用智慧和知识充实我的头脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。农夫不会播下一粒玉米，如果他不曾希望它长成种籽；单身汉不会娶妻，如果他不曾希望有小孩；商人或手艺人不会工作，如果他不曾希望因此而有收益。-- 马钉路德。
谢谢！
51、天下之事常成于困约，而败于奢靡。—陆游 52、生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭
53、伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。 ——易卜生 54、唯书籍不朽。——乔特
55、为中华之崛起而读书。 ——周恩来

数学建模之线性规划

数学建模作业二一、某商店拟制定某种商品7—12月的进货、销售计划。

已知商店最大库存量为1500件，6月底已有存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月进货一次。

假设各月份该商品买进、售出单价如下表。

若每件每月的库存费为0.5元，问各月进货、售货多少件，才能使净收益最大。

试建立数学模型，并求解。

解:可有两种进货方式，月初进货和月末进货，每种方式都有其相应的最优解，两者相比较，取其大值。

（1）月末进货：从七月为第一月开始，设第i 月售货、进货量分别为i1x ，i2x 件，则第i 月末工厂的库存量为300+j2j11(x- x )ij =∑，工厂的利润Z 应是产品卖价减去进价与库存费用，故目标函数为Max Z=2911x +2721x +2631x +2841x +2551x +2561x -2812x-2622x -2532x -2742x -2452x -23.562x -0.5[300+51211(300())ji i j i xx ==+-+∑∑]整理得Z=-900+31.511x +2921x +27.531x +2941x +25.551x +2561x -30.512x -2822x -26.532x -2842x -24.552x -23.562x .约束条件有：商店的最大库容量 300-11x +12x ≤1500300+j2j11(x- x )ij =∑≤1500（i=2,3,4,5,6）年底的最小库存3006121()i i i xx =+-+∑≥300月最大销售300-11x ≥0300+(j-1)1j2j11(-x+x - x )ij =∑0≥（i=2,3,4,5,6）因此本问题的数学模型为Max -900+3211x +29.521x +2831x +29.541x +2651x +25.561x -30.512x -2822x -26.532x -2842x -24.552x -23.562x ；s.t. 300-11x +12x ≤1500，300+j2j11(x- x )ij =∑≤1500（i=2,3,4,5,6），3006121()i i i xx =+-+∑≥300，300-11x ≥0，300+(j-1)1j2j11(-x+x - x )ij =∑0≥（i=2,3,4,5,6），ij0x≥ (i,j=1,2,3,4,5,6)；化简得数学模型为Max -900+3211x +29.521x +2831x +29.541x +2651x +25.561x -30.512x -2822x-26.532x -2842x -24.552x -23.562x ；s.t. 12x - 11x ≤1200, 12x -11x +22x -21x ≤1200,12x -11x +22x -21x +32x -31x ≤1200, 12x -11x +22x -21x +32x -31x +42x - 41x ≤1200, 12x -11x +22x -21x +32x -31x +42x - 41x +52x -51x ≤1200,12x -11x +22x -21x +32x -31x +42x - 41x +52x -51x +62x -61x ≤1200,11x -12x +21x -22x +31x -32x +41x -42x +51x -52x +61x -62x 0≤，- 11x ≥-300，12x -11x -21x ≥-300, 12x -11x +22x -21x -31x ≥-300,12x -11x +22x -21x +32x -31x - 41x ≥-300,12x -11x +22x -21x +32x -31x +42x - 41x -51x ≥-300,12x -11x +22x -21x +32x -31x +42x - 41x +52x -51x -61x ≥-300,ij0x≥ (i,j=1,2,3,4,5,6)利用lingo 编制程序（见附录）求解得最大净收益为5250元，此时11x =61x =300，12x =22x =21x =31x =42x =51x =52x =032x =41x =1500（2）月初进货：从七月为第一月开始，设第i 月售货、进货量分别为i1x ，i2x 件，则第i 月末工厂的库存量为300+j2j11(x- x )ij =∑，工厂的利润Z 应是产品卖价减去进价与库存费用，故目标函数为Max Z=2911x +2721x +2631x +2841x +2551x +2561x -2812x-2622x -2532x -2742x -2452x -23.562x -0.5[300+12x +512(1)211(300())ji i i j i x x x +==+-++∑∑]整理得 Z=-900+31.511x +2921x +27.531x +2941x +25.551x -31.512x -28.522x -2732x -28.542x -2552x -2462x .约束条件有：商店的最大库容量300+12x ≤1500；300+21(1)21( - )ij j i j xx x +=+∑≤1500（i=1,2,3,4,5）；年底的最小库存3006121()i i i xx =+-+∑≥300；月最大销售300+i21j=1( - )j j xx ∑0≥（i=1,2,3,4,5,6）因此本问题的数学模型为Max Z=-900+31.511x +2921x +27.531x +2941x +25.551x +2561x -31.512x-28.522x -2732x -28.542x -2552x -2462x ；s.t. 300+12x ≤1500，300+21(1)21( - )ij j i j xx x +=+∑≤1500（i=1,2,3,4,5），3006121()i i i xx =+-+∑≥300，300+211( - )ij j j xx =∑0≥（i=1,2,3,4,5,6）， ij0x≥ (i,j=1,2,3,4,5,6)；化简得数学模型为Max -900+31.511x +2921x +27.531x +2941x +25.551x -31.512x-28.522x -2732x -28.542x -2552x -2462x ，s.t. 12x ≤1200, 12x -11x +22x ≤1200, 12x -11x +22x -21x +32x ≤1200, 12x -11x +22x -21x +32x -31x +42x ≤1200, 12x -11x +22x -21x +32x -31x +42x - 41x +52x ≤1200,12x -11x +22x -21x +32x -31x +42x - 41x +52x -51x +62x ≤1200,11x -12x +21x -22x +31x -32x +41x -42x +51x -52x +61x -62x ≤0，12x -11x ≥-300，22x + 12x -11x -21x ≥-300, 12x -11x +22x -21x -31x +32x ≥-300,12x -11x +22x -21x +32x -31x - 41x +42x ≥-300,12x -11x +22x -21x +32x -31x +42x - 41x -51x +52x ≥-300,12x -11x +22x -21x +32x -31x +42x - 41x +52x -51x -61x +62x ≥-300,ij0x≥ (i,j=1,2,3,4,5,6)；利用lingo 编制程序（见附录）解得：11x =21x =41x =51x =22x =32x =52x =1500，12x =61x =1200，31x =42x =0 此时最优值为7050元通过表格数据不难分析发现该解是最优解，其与表格数据相一致。

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