数学建模线性规划问题(超全)

C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
资.aa源 .1m.1.1.向 ...A......=..量 ....a..a.1..aan.m.1m.1.n1C..........-..=....a.价 .a.1.(nm.nP值 1,=P向 (2P1,,量 .P.2.X,,.P..3-,P)决 n ) 策00=变 = 量 .000.000....向量
各机床只能工作的机时、工厂必须完成各 零件加工数、各机床加工每个零件的时间 （单位：机时／个）和加工每个零件的成
本（单位：元／个）如表1及表2所示。
问：在这个生产周期，怎样安排各机床的 生产任务，才能既完成加工任务，又使总 的加工成本最低。
上页 下页 返回
(四）生产组织与计划问题
(Ⅰ) 总的加工成本最低
这一问题的数学模型应为：
( 求一组变量xij i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n)
的值,使它满足
上页 下页 返回
(Ⅱ)产销不平衡—产大于销的模型
目标函数 min s产=地总jA和n=i1发不i到m超=1各过c销Aijxi地的ij 产的发量量
n
( ) xij ai 各产地i =发1到,2,销L地, mBj的发量
第一节 线性规划问题 及其数学模型
线性规划问题的提出 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划问题的标准形式
继续 返回
•问题的提出
例: 生产计划问题
I
设备
1
原材料 A 4 原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
上页 下页 返回
如何安排生产 使利润最大
上页 下页 返回
(Ⅰ)产销平衡的模型
产地Ai发到各销地的发量 总和应等于Ai的产量
约束条件
各产地发到销地Bj的发量 总和应等于Bj的销量
调运量不能为负数0
上页 下页 返回
(Ⅰ)产销平衡的模型
约束条件
n
xij = ai
产地Ai发到各销地的发量 总和应等于Ai的产量
(i =1,2,L, m)
j =1
机 床
零
件 B1
B2 … Bn
A1
C11 C12 … C1n
A2
C21 C22 … C2n
┇
┇ ┇ …┇
Am 必须加工零件数
Cm1 Cm2 … Cmn
b1
b2 … bn
表1 ：加工每个零件的时间
在一周期能 工作机时
a1 a2 ┇
am
上页 下页 返回
(四）生产组织与计划问题
(Ⅰ) 总的加工成本最低
机 床
可行域（Feasible regio指n决) 策变量取值时受到
最优解（Optimal
的各种资源条件的限制
soluti，o通n)常表达为含决策变
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值
满足约束条件的决 策变量的取值范围
上页 下页 返回
• 第1步 -确定决策变量
•设 x1 ——I的产量
零
件
B1
B2 … Bn
A1
d11 d12 …
j=1
总和应等于Bi的销量
约束条件 m
xij = bj
( j = 1,2,L,n)
i=1
xij 0 (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n)
调运量不能为负数
上页 下页 返回
（二）布局问题
作物布局
在n块地上种植m种作物，已知各块土地 亩数、各种作物计划播种面积及各种作 物在各块的单产（每亩的产量）如表— （与运输问题相似），
am1x1 + am2 x2 + ... + amn xn (=, )bm
x1, x2 ,..., xn 0
上页 下页 返回
线性规划问题的标准形式目标函数最大
标准形式为:
约束条件等式 决策变量非负
Max Z = c1x1 + c2 x2 + ...+ cn xn
a11x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn = b1
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
x1 x2
上页 下页 返回
线性规划问题的共同特征
一组决策变量X表示一个方案,一般X大 于等于零。 约束条件是线性等式或不等式。 目标函数是线性的。 求目标函数最大 化或最小化
上页 下页 返回
线性规划模型的一般形式
？
产品 I
产品 2
上页 下页 返回
问题中要确定的未知量，表
•基本概念
明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定
和控制。
决策变量（Decision variables）
目标函数（Objective functi它on是）决策变量的函数 约束条件（Constraint conditions）
Max(min)z = c1x1 + c2 x2 + ... + cn xn
a11 x1 a21 x1
+ +
a12 x2 a22 x2
+ ... + + ... +
a1n xn a2n xn
(=, )b1 (=, )b2
...................................................
max z = x1 2x2 + 3(x4 x5 ) + 0x6 + 0x7
x1 + x2 + (x4 x5 ) + x6 = 7
x1 x2 + (x4 x5 ) x7 = 2
3x1 + x2 + 2(x4 x5 )
=7
x1, x2, x4, x5, x6 , x7 0
上页 下页 返回
第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8
4 x1
16
4 x2 12
x1、 x2 0
I
设备 1 原材料 A 4 原材料 B 0
利润 2
II 资源限量 2 8 台时 0 16kg 4 12kg
3
上页 下页 返回
该计划的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
“” 约束：加入非负松驰变量
例： max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
x1 + 2x2 + x3
=8
4
x1

4 x2
+ x4 = 16 + x5 = 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
上页 下页 返回
“” 约束： 减去非负剩余变量；
m
xij = bj
各产地发到销地Bj的发量 总和应等于Bj的销量
(j =1,2,L, n)
i=1
xij 0 (i =1,2调,L运量, m不;能j 为=负1,L数0, n)
上页 下页 返回
(Ⅰ)产销平衡的模型
nm
目标函数 min s =
ci xj ij 的值最
n
xij = ai
.a.2.1..x.1.
+ a22 x2 ...........
+ ...+ a2n xn = b2 ........................
am1x1 + am2 x2 + ...+ amn xn = bm
x1, x2 ,...,xn 0 b1, b2 ,...bm 0
• xk可正可负（即无约束）；
Max
+ x6
例 ： min z = x1 + 2x2 3x3
x1
+ x2 + x3 7 x7
x1
x2 + x3 2
3x1 + x2 + 2 x3 = 7
x1, x2 0, x3无约x束 3 = x4 x5
上页 下页 返回
解 ：标准形为
上页 下页 返回
(一) 运输问题
(Ⅰ)产销平衡 (Ⅱ)产销不平衡
(Ⅰ)产销平衡
m
n
即 ai = b j
i =1
j =1
设xij表示由产地Ai运往销地Bj的物资 数(i=1,2, …,m;j=1,2, …,n)。
那么，上述运输问题的数学模型为：
求一组变量xij(i=1,2, …,m;j=1,2, …,n) 的值, 使它满足
j=1 i=1
(i = 1,2,L,m)
j=1
约束条件
m
xij = bj
(j = 1,2,L,n)
i=1
xij 0 (i = 1,2,L,m; j = 1,L,n)
上页 下页 返回
(一) 运输问题
(Ⅱ)产销不平衡—产大于销
即 m ai
n
bj

i =1
j =1
上页 下页 返回
(一) 运输问题
设某种物资有m个产地，A1，A2，…，A m； 联合供应n个销地：B1，B2，…，Bn。 各产地产量（单位：吨），各销地销量（单位： 吨），各产地至各销地单位运价（单位：元／ 吨）如下表所示。
应如何调运， 才使总运费最
少？
上页 下页 返回
产 地
销
地 B1
B2 … Bn
上页 下页 返回
– 简写为
n
max Z = c j x j i =1
n

aij x j = bi
j=1

x
j

0
i = 1,2,...m j = 1,2,...,n
上页 下页 返回
– 用矩阵表示
max Z = CX
max Z = CX
AX =AbX = b
X 0X 0
x ij = 0 或 1 (i , j = 1,2 ,L , n )
上页 下页 返回
(四）生产组织与计划问题
(Ⅰ) 总的加工成本最低 (Ⅱ) 生产存储问题
上页 下页 返回
(四）生产组织与计划问题
(Ⅰ) 总的加工成本最低
某工厂用机床 A1, A2,L加,工Am B1, B2,L种,零B件n 。在一个生产周期，
(完成全部工作的总工时最少）
上页 下页 返回
分派问题的模型
目标函数 约束条件
nm
min s =每件工作只c分ijx派ij 一人去做
i=1 j=1
n
x ij = 1 ( j = 1,2 ,L , n )
i =1
每人只做一件工作
n
x ij = 1
j =1
每(人i 对= 每1,件2工, L作只, n有) 做与不做两种情况
产量（吨）
A1
C11 C12 … C1n
a1
A2
C21 C22 … C2n
a2
┇
┇ ┇ …┇
┇
Am
Cm1 Cm2 … Cmn
am
销量（吨）
b1
b2 … bn
表中：ai表示产地Ai的产量(i=1，2， …，m)； bj表示产地Bj的产量(j=1，2， …，n)； cij表示AiBj间的单位运价（元／吨）(i=1，2， …，m; j=1，2， …，n)；
问：如何合理安排种植计划，才使总产 量最多。
上页 下页 返回
（二）布局问题
总产量最多
产 地
销
n块土地
地
B1 B2 … Bn
m
A1
种 A2
农┇
作 物
Am
销量（吨）
C1方1 法C与12运…输 C1n C21问题C2类2 似… C2n
┇ ┇ …┇
Cm1 Cm2 … Cmn
b1
b2 … bn
每亩的产量
产量（吨）
a1 a2 ┇ am
上页 下页 返回
(三）分派问题
设有n件工作 B1, B2,L, B分n 派给n
人
A去1,做A，2,L, An
每人只做一件工作且每件工作只分
派一人Βιβλιοθήκη Baidu做。设Ai完成Bj的工时为
( cij i, j = 1,2。,L, n)
问：应如何分派才使完成全部工作
的总工时最少。
上页 下页 返回
上页 下页 返回
一般线性规划问题的标准化
min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX
“” 约束：加入非负松驰变量
例：
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
上页 下页 返回
一般线性规划问题的标准形化
min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX
上页 下页 返回
线性规划模型举例
(一) 运输问题 (二) 布局问题 (三) 分派问题 (四) 生产计划问题 (五) 合理下料问题
上页 下页 返回
线性规划模型的条件
（1）要求解问题的目标函数能用数值 指标来反映，且为线性函数； （2）存在着多种方案； （3）要求达到的目标是在一定约束条 件下实现的，这些约束条件可用线性 等式或不等式来描述。
x2 ——II的产量
z ——利润
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
x1
x2
上页 下页 返回
第2步 --定义目标函数
Max Z = x1 + x2
上页 下页 返回
第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
上页 下页 返回
对我们有 何限制?
(三）分派问题
x 解：设 为ij Bj分派给人Ai情况：
Bj分派给Ai时， 不分派给Ai时，
x ij
xij =
；= 1
0(i,
j
=。1,2,L,
n)
那末这一问题的数学模型为：
求一组变量 (xij i, j = 1,2的,L值, n，)
nm
使目标函数 s =
的值c ij最x ij小。
i=1 j=1