九年级数学上册 复习材料 苏科版
苏科版九年级数学上册全册知识点归纳
）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方③化二次项系数为方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为可以用两边开平方来求出方程的解；如果公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二±因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
．一元二次方程的注意事项：、一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形。
、圆内接四边形的对角互补。
x n，我们把n个数的算术平均数，简称平通常，平均数可以用来表示一组数据的并不总是相同的，有时有些数据比其他的更重要．所以，我们在计算这组数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个”n个数据，个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数．将一组数据按从小到大排列，处于中间位置的数（奇数个数时）或中间两个数的平均数（偶数个数时）叫做这组数据的中位数.在生活中可用平均数、众数和中位数这三个特征数来描述一组数据的集中趋势，它们各有不同的侧重点，需联系实际选择。
）如何理解众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，它的大小只与一组一组数据中的部分数据有关，一组数据的众数可能有一个或几个，也可能没有。
．描述一组数据的离散程度可采取许多方法，在统计中常先求这组数据的平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小－)－)－)－)（二）通常，一组数据的方差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据也就越稳定.．标准差：有些情况下，需用到方差的算术平方根，即，一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有中的一个结果出现．如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这出现的机会都一样，那么我们就称这个试验的结果具有等可能性．表示一次试验所有等可能出现的结果数）树状图它可以帮助我们不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果。
小结：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不。
第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元复习(解析版)
【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。
(完整版)苏教版九年级数学全册知识点汇总
第一章教学内容：证明（二）重点：直角三角形，线段垂直平分线与角平分线的证明难点：证明逆命题的真假，角平分线的证明及其对逆命题的理解易错点：线段的垂直平分线和角平分线的定理及逆定理的判别第二章教学内容：一元一次方程重点：用配方法，公式法，分解因式法解一元一次方程难点：黄金分割点的理解，用配方法解方程易错点：利用因式分解法和公式法解方程第三章教学内容：证明（三）重点：特殊的平行四边形的性质与判定，平行四边形的性质与判定难点：特殊的平行四边形的证明易错点：各定理之间的判别第四章教学内容：视图与投影重点：某物体的三视图与投影难点：理解平行投影与中心投影的区别易错点：三视图的理解，中心投影与平行投影的区别第五章教学内容：反比例函数重点：反比例函数的表达式，反比例函数的图像的概念与性质难点：反比例函数的运用，猜想，证明与拓展易错点：主要区别反比例函数与 x轴和与y轴无限靠近第六章教学内容：频率与概率定义和命题：频率与概率的概念难点：理解用频率去估计概率易错点：频率是样本中才出现的，概率是整体中出项的苏教版九年级数学上知识点汇总第一章图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。
1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理1：平行四边形的对边相等。
定理2：平行四边形的对角相等。
定理3：平行四边形的对角线互相平分。
【江苏省通用】江苏省苏科版初三数学第一学期期末复习要点(附练习及答案)
第一章《一元二次方程》
知识点：一元二次方程概念及解法，根的判别式及根与系数关系，用一元二次方程解决问 题。 1.方程 x (x＋2) =0 的解是（ ▲ ） A．－2； B．0，－2 ； C．0，2； D．无实数根 2.下列方程中有实数根的是（ ▲ ） A. x 2 x 2 0
2
B. x 2 x 3 0
1
（1）求实数 m 的取值范围； （2）若方程的两个实数根为 x1、x2，且 2x1·x2＝m2－3，求实数 m 的值． 17.小张准备把一根长为 32 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于 40 cm2，小张该怎么剪? (2)小李对小张说:“这两个正方形的面积之和不可能等于 30 cm2.”他的说法对吗?请说 明理由.Aຫໍສະໝຸດ BAH G
A B
D
P B
（ 第 题）
O
C
C D （ 第 E 13
F
O C
（ 第 15
12
15．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为 6，∠A＝题） 130°，则扇形 OBAD 的面 题） 积为 ▲ ． 16.正六边形的边长为 10 cm，它的边心距等于 ; 17.一位小朋友在粗糙不打滑的“ Z ”，字形平面轨道上滚动一个半径为 10 cm 的圆盘，如 图所示， AB 与 CD 是水平的， BC 与水平面的夹角为 60 ，其中 AB =60 cm , CD =40 cm , BC =40cm， 那 么 该 小 朋 友 将 圆 盘 从 A 点 滚 动 到 D 点 其 圆 心 所 经 过 的 路 线 长 为 cm.
18. 某商店准备进一批季节性小家电，每个小家电的进价为 40 元，经市场预测，每个小家 电的销售定价为 50 元，可售出 400 个；定价每增加 1 元，销售量将减少 10 个.设每个 小家电定价增加 x 元. （1）写出售出一个小家电可获得的利润是多少元？（用含 x 的代数式表示） ； （ 2）商店若准备获得利润 6000 元，并且使进货量较少，则每个小家电的定价为多少 元？
苏科版初三数学知识点梳理
苏科版初三数学知识点梳理（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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苏科版九年级数学上册全册知识点归纳
苏科版九年级数学上册全册知识点归纳一元二次方程一.一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
二.一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x=-a+b2x=-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx24 2-±-=(b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
苏教版初中数学九年级上册知识点
数学活动调查“小概率事件”
小结与思考
复习题
课题学习收集数据分析数据探索规律
章节排序
建议
4、圆周角
5、直线与圆的位置关系
6、正多边行与圆
7、弧长及扇形的面积
8、圆锥的侧面积
数学活动图形的密铺
小结与思考
复习题
数据的集中趋势和离散程度
1、平均数
2、中位数与众数
3、用计算器求平均数
4、方差
5、用计算器求方差
数学活动估测时间
小结与思考
复习题
等可能条件下的概率
1、等可能性
2、等可能条件下的概率（一）
学生姓名：联系方式：日期：年月日
知识点内容
知识点掌握情况自我等级评价
具体知识点
会
会一点
不清楚
一点不会
一元二次方程
1、一元二次方程
2、一元二次方程的解法
3、一元二次方程的根与系数的关系
4、用一元二次方程解决问题
数学活动矩形绿地中的花圃设计
小结与思考
复习题
对称图形--圆
1、圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2、圆的对称性
3、确定圆的条件
苏教九年级数学上册知识点
苏教九年级数学上册知识点一、有理数与整式1. 整数的概念与性质2. 有理数的概念与性质3. 有理数的比较与运算4. 有理数的应用二、方程与不等式1. 一元一次方程的概念与性质2. 解一元一次方程的方法3. 解一元一次方程的应用4. 一元一次不等式的概念与性质5. 解一元一次不等式的方法6. 解一元一次不等式的应用三、几何图形与相似1. 平面直角坐标系2. 平面几何的基本概念3. 平行线与平行四边形4. 相似三角形的概念与性质5. 判断两个三角形相似的判定方法四、数据的收集与整理1. 统计图的制作与分析2. 组织数据的方法3. 数据的描述与分析4. 概率的概念与计算五、平面直角坐标系1. 平面直角坐标系的表示方法与性质2. 根据坐标求距离与中点3. 平面图形的基本性质与运动六、函数与图像1. 函数的概念与性质2. 正比例函数与反比例函数3. 一次函数与二次函数4. 利用函数图像解决实际问题七、三角形与勾股定理1. 三角形的角度与边长关系2. 三角形的内部与外部3. 勾股定理的概念与应用八、数列与等差数列1. 数列的定义与性质2. 等差数列的概念与性质3. 求等差数列的前n项和与通项九、实数与实数运算1. 实数集的划分与性质2. 实数运算的性质与法则3. 实数的大小比较与运算十、平面向量与向量运算1. 向量的概念与表示2. 向量的运算与性质3. 平面向量的应用以上是苏教九年级数学上册的知识点概述。
通过系统学习这些知识点，我们能够提高数学解题与分析能力，为高中数学的学习打下坚实的基础。
希望同学们能够认真学习，掌握这些知识，取得优异的成绩。
祝愿大家数学学习顺利！。
苏教版九年级上册数学期末复习(全册知识点梳理及常考题型巩固练习)(提高版)(家教、补习)
苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2. 已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-8≠0，即 m≠±．可知它的各项系数分别是a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．参数m的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．举一反三：【388447：一元二次方程的系数与解—练习1(3)】【变式】关于x的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）3. （2016•大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定【思路点拨】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．【答案】B ；【解析】解：∵x 0是方程ax 2+2x+c=0（a ≠0）的一个根，∴ax 02+2x 0+c=0，即ax 02+2x 0=﹣c ，则N ﹣M=（ax 0+1）2﹣（1﹣ac ） =a 2x 02+2ax 0+1﹣1+ac=a （ax 02+2x 0）+ac =﹣ac+ac =0， ∴M=N ， 故选：B ．【总结升华】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键． 举一反三：【388447：一元二次方程的系数与解——练习2】 【变式】（1）x=1是的根，则a= .（2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8. （2）由题意得类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得 x-3=7或x-3=-7． 由x-3=7，得 x=10． 由x-3=-7，得 x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m 看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程就可看作形如x 2=k 的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n 可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：【变式】解方程： (1) （2014秋•宝安区期末）（3x+2）2=4（x ﹣1）2；(2) （2014•锡山区期中） （x-2）2=25.【答案】解：(1) 3x+2=±2（x ﹣1），∴3x+2=2x ﹣2或3x+2=﹣2x+2， ∴x 1=﹣4；x 2=0．(2) (x-2)=±5∴x-2=5或x-2=-5 ∴x 1=7,x 2=-3.苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015•泰安模拟）方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ． 32．若2530ax ax -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集应是( ). A ．12a >B ．a ＜-2C ．a ＞-2D ．a ＞-2且a ≠0 3．（2016•重庆校级三模）若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b +6的值为（ ）A ．9B ．3C ．0D ．﹣3 4．已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是( )．A ．abB ．abC ．a+bD ．a-b 5．若290x -=，则2563x x x -+-的值为（ ）．A ．1B ．-5C ．1或-5D ．06．对于形如x 的方程2()x m n +=，它的解的正确表达式是（ ）.A ．用直接开平方法解得x =．当0n ≥时，x m =C ．当0n ≥时，x m =D ．当0n ≥时，x =二、填空题7．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是 . 8．（2014秋•东胜区校级期中）若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0的常数项为0，则m 的值等于 .9．已知x ＝1是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则222m mn n ++的值为________． 10．(1)当k________时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程； (2)当k________时，上述方程是一元一次方程．11．已知a 是方程2104x x +-=的根，则354321a a a a a -+--的值为 ．12．已知a 是关于x 的一元二次方程2201210x x -+=的一个根，则22201220111a a a -++的值为 ．三、解答题13. （2016•乌鲁木齐校级月考）一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，试求a ，b ，c 的值．14．用直接开平方法解下列方程．(1)(2014·沧浪区校级期中)（x+1）2=4； (2) (2015·岳池县模拟)(2x-3)2=x 2．15．已知△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝6，x 为实数，且6a b +=，29x ab =-． (1)求x 的值；(2)若△ABC 的周长为10，求△ABC 的面积ABC S △．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C ；【解析】∵方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，∴（a+1）x+a+1=0， 解得x=﹣1，当x=﹣1时，a=2，故选C ．2．【答案】D ；【解析】解不等式得a ＞-2，又由于a 为一元二次方程的二次项系数，所以a ≠0．即a ＞-2且a ≠0． 3.【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +6=0的一个根为x=﹣2，∴a ×（﹣2）2+b ×（﹣2）+6=0， 化简，得 2a ﹣b +3=0，∴2a ﹣b=﹣3， ∴6a ﹣3b=﹣9，∴6a ﹣3b +6=﹣9+6=﹣3， 故答案为：D ．4. 【答案】D ；【解析】由方程根的定义知，把x a =-代入方程得20a ab a -+=，即(1)0a a b -+=，而0a ≠， ∴ 1a b -=-. 5．【答案】B ；【解析】本题主要考查的是利用一元二次方程的解来探索使分式有意义的值．由290x -=，得3x =±，由分式有意义，可得x ≠3，所以3x =-．当3x =-时，25653x x x -+=--，故选B ． 6．【答案】C ；【解析】因为当n 是负数时，在实数范围内开平方运算没有意义，当n 是非负数时，直接开平方得，解得x m =，故选C ．二、填空题 7．【答案】p=-3,q=2；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩8．【答案】m=-2；【解析】由题意得：m 2﹣4=0，解得：m=±2，∵m ﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣2 9．【答案】1；【解析】将x ＝1代入方程得m+n ＝-1，两边平方得m 2+2mn+n 2＝1. 10．【答案】(1)≠±1 ； (2)＝-1.【解析】(1)k 2-1≠0，∴ k ≠±1． (2)由k 2-1＝0，且k-1≠0，可得k ＝-1． 11．【答案】20； 【解析】由题意可知2104a a +-=，从而得214a a +=，214a a =-． 于是23543232232111111444411()()()(1)44a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===+--+-+--255555544201111144444a a a a a a a a a ---====⎛⎫----- ⎪⎝⎭．12.【答案】2011.【解析】因为a 是方程的根，所以2201210a a -+=，所以212012a a +=，220121a a =-，所以22201220111a a a -++2202012a a a a a =--+=+-20122011a aa-==．三、解答题13.【答案与解析】解：一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为ax 2﹣（2a ﹣b ）x ﹣（b ﹣a ﹣c ）=0，一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，得，解得．14.【答案与解析】解：(1)两边直接开平方得：x+1=±2，得x+1=2,x+1=-2,解得：x 1=1,x 2=-3． (2) 两边直接开平方得，得2x-3=±x ，∴x 1=3,x 2=1．15.【答案与解析】解：（1）6a b =-代入29x ab =-中得22(3)0x b +-=，∵ 20x ≥，2(3)0b -≥，∴ 0x =，3b =．（2）由（1）知3a b ==，∴ 1064c =-=，142ABC S =⨯=△．苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。
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苏科版数学九年级全册知识点梳理第一章图形与证明（二）1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。
3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理1：平行四边形的对边相等。
定理2：平行四边形的对角相等。
定理3：平行四边形的对角线互相平分。
判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。
定理1：矩形的4个角都是直角。
定理2：矩形的对角线相等。
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。
2对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
定理1：菱形的4边都相等。
定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
判定：1四条边都相等的四边形是菱形。
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质与判定：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。
苏科新版数学九年级上册精品复习资料
苏科新版九上数学内容汇编第一章 一元二次方程1.一元二次方程的定义及相关概念：⑴、一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
⑵、一元二次方程有四个特点： ①.含有一个未知数；②.且未知数次数最高次数是2；③.是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
④.将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0） ⑶、一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
2、一元二次方程的解法：（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是x =()240b ac -≥； （4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。
提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。
3.一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时⇔方程有两个实数根提示：若方程有实数根，则有240b ac -≥。
苏科版初三数学 复习资料(2次根式,方程)
初 三 数 学（第一章 复习（2））时间： 月 日教学目标：1．进一步掌握等腰梯形的性质和判定；2．进一步掌握中位线定理．教学重点：等腰梯形的性质和判定、中位线定理的运用．教学难点：等腰梯形的性质和判定、中位线定理的运用． 作业布置：P 37∽38 5、6、9 教学过程： 一、自主探究1．回忆等腰梯形的性质和判定填空：（1）等腰梯形同一底上的 ； （2）等腰梯形的两条 ；（3）在同一底上的 是等腰梯形．2．回忆中位线的性质填空：（1）三角形的中位线 ； （2）梯形的中位线 ．二、自主合作例1等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥CD 交BC 于点E ，AD ＝AB ＝12 BC ，梯形的周长是30．（1）求AD 的长；（2）证明：△ABE 是等边三角形．例2如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3㎝，BC ＝7㎝，E 是CD 的中点，四边形ABED 的周长比△BCE 的周长大2㎝，试求AB 的长．例3如图，在△ABC 中，已知AB=6，AC=10，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E•为BC 中点．求DE 的长．三、自主展示1. 三角形的三条中位线长分别为2cm 、3cm 、4cm ，则原三角形的周长为 ．2. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝2㎝，∠B ＝600，则下底BC ＝ ㎝．EDCBA ED CBA EDCBA3. 如图，等腰梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠B ＝450，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝AD ＝2㎝，则这个梯形的下底长为 ㎝．(第3题) (第4题) (第5题)4. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，以下四个结论：①DCB ABC ∠=∠，②OA =OD ，③BDC BCD ∠=∠，④S AOB ∆=S DOC ∆，其中正确的是（填序号）．5. 如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为 ．6. 如图，梯形A B C D 中，A D B C ∥，A B D C =，P 为梯形A B C D 外一点，P A P D 、分别交线段B C 于点E F 、，且PA PD =．（1）图中除了A B E D C F △≌△外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）； （2）求证：A B E D C F △≌△．四、自主拓展1. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 、F 、G 分别是AB 、BD 、AC 的中点．若EG=EF ，AD+EF=12cm ，求△ABC 的面积．2. 已知，如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝BC ，AC ⊥BD ，BE ⊥DC ，垂足为E ，若AB=4，DC=6，求梯形的面积．五、自主评价1. 本节课你学到了哪些知识？2. 本节课你最大的收获是什么？教学反思：EDCBAODC BAA B CD EF PEDCBA D CFEA BP23Aa c0b初 二 数 学（第三章 二次根式复习（2））时间： 月 日教学目标：１.进一步加深对二次根式有关概念的理解；2．熟练掌握二次根式的化简和加、减、乘除、乘方等混合运算． 教学重点：二次根式的化简与加减、乘除、乘方混合运算． 教学难点：解决问题使用的思想方法． 一、化简与运算的步骤： 1．二次根式的化简步骤：（1）一分：分解因数（因式）、平方数（式）；（2）二移：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面； （3）三化：化去被开方数中的分母． 2．二次根式混合运算的步骤：（1）乘方运算；（2）乘除运算；（3）加减运算． 二、解决问题使用的思想方法： （一）整体思想： 例题1．化简：)0,0(n m n m nm n m ≠>>--且练习：化简)0,0(2>>--+++b a abab b a ba abb a（二）分类思想： 例题2．化简：1222+-+x x x提示：零点分段法．具体操作：先令求和的各项值为0，求出对应的未知数的值，然后分区间讨论．练习：化简 4422+-a a（三）数形结合：例题3．已知：数轴上点A 表示的实数为a ，化简22)3()2(-+-a a ．练习：a 、b 、c 、在数轴上的位置如图所示，请化简式子b a c a c b a+--+++222)()(．214422-+-+-=x x x y DCBA (四)二次根式的非负性： 例题4．（1）已知：011=-++b a ，试求ba b a +-的值．（2）已知：x x y 2112-+-=，求yx 的值．练习：已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a 、b 满足条件：b a b 4412=+-+．试求c 的取值范围．三．巩固练习： 1. 如果22332+-+-=x x y ，求2x ＋３ｙ的平方根．2．已知86-++-b a b a 与互为相反数，求a 、b 的值． 3. 已知三角形的三边长分别是a 、b 、c ，且c a >，那么2)(b c a a c -+--＝ ． 4．已知x 、y 是实数，且 ，试求3x ＋4y 的值．5．已知2323+-=x ，,2323-+=y 求x 2y ＋xy 2的值．6. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝Rt ∠，已知∠B ＝450，AB ＝62 ， CD ＝3．试求：（1）四边形ABCD 的周长；（2）四边形ABCD 的面积．四、课后作业：补充习题P 50－51小结与思考五、教学反思：3. 若关于x 的一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋m 2＋2m －3=0有一根为0，则m 的值是_____． 6.某数学兴趣小组对关于x 的方程01)2()1(22=--+++x m x m m（提出了下列问题．（1）若使方程为一元一次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．二、自主合作思考：通过配方法可将一元二次方程02=++c bx ax 转化为22244)2(aac b ab x -=+，问这个方程是否有实数根，由什么来判定？ 点拨：总结：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的情况可由ac b 42-来判定：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； 当240b ac -<时，方程没有实数根。
【重磅】九年级数学上册复习材料-苏科版
初三复习材料（1）姓名分数1.在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图7所示）.点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD ∆是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径.2.已知︒=∠90BAC ，2=AB ，3=BC ，AD ∥BC .P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB =（如图8所示） （1）当2=AD 时，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长；（2）在图8中，联结AP ，当23=AD ，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，APQPBCS y S ∆∆=，其中APQ S ∆表示APQ ∆的面积，PBC S ∆表示PBC ∆的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域.（3）当AB AD <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小.相关概念： 1.圆和圆的位置关系外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))x yA O 1 -1 123 4 C M图7ABC DP Q 图8ACDP(Q )图9ABCDP Q图10外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2)) 相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例．(图(6)) 2.设两圆半径分别为R 和r ．圆心距为d ，初三复习材料（1）答案 姓名分数1.解：（1）∵点A 的坐标为（1，0），点B 与点A 关于原点对称， ∴点B 的坐标为（-1，0），…………………………………………1分 ∵直线b x y +=经过点B ，∴01=+-b ，得1=b .……………1分∵点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴，∴设点D 的坐标为（x ，4）……1分∵直线1+=x y 与直线CM 相交于点D ，∴3=x ，∴D 的坐标为（3，4）…1分 （2）∵D 的坐标为（3，4），∴5=OD .…………………1分 当5==OD PD 时，点P 的坐标为)0,6(；………………1分 当5==OD PO 时，点P 的坐标为)0,5(；………………1分 当PD PO =时，设点P 的坐标为)0,(x （0>x ），∴224)3(+-=x x ，得625=x ，∴点P 的坐标为)0,625(……1分 综上所述，所求点P 的坐标是)0,6(，)0,5(，)0,625(.…………1分（3）当以PD 为半径的圆P 与圆O 外切时，若点P 的坐标为（6，0），则圆P 的半径5=PD ，圆心距6=PO ，所以圆O 的半径1=r .……………………………………………………2分若点P 的坐标为)0,5(，则圆P 的半径52=PD ，圆心距5=PO ， ∴圆O 的半径525-=r .……………………………2分 综上所述，所求圆O 的半径等于1或525-.2.解：（1）∵AD ∥BC ，∴DBC ADB ∠=∠.∵2==AB AD ,∴ADB ABD ∠=∠.∴DBC ABD ∠=∠.∵︒=∠90ABC ，∴︒=∠45PBC .………………………………1分∵PQ ADPC AB=，AB AD =，点Q 与点B 重合，∴==PQ PB PC . ∴︒=∠=∠45PBC PCB .………………………………1分∴︒=∠90BPC .…………………………………………1分在BPC Rt ∆中，22345cos 3cos =︒⨯=⋅=C BC PC .……1分 （2）过点P 作BC PE ⊥，AB PF ⊥，垂足分别为E 、F .…………1分∴ABC PEB PFB ∠=︒=∠=∠90.∴四边形FBEP 是矩形. ∴PF ∥BC ，PF PE =.∵AD ∥BC ，∴PF ∥AD .∴ABADBF PF =. ∵23=AD ，2=AB ，∴43=BF PF .…………………………1分∵x QB AB AQ -=-=2，3=BC ，∴PF x S APQ 22-=∆，PE S PBC 23=∆.∴42x S S PBC APQ -=∆∆，即42x y -=.…………………………2分 函数的定义域是870≤≤x .…………………………1分（3）过点P 作BC PM ⊥，AB PN ⊥，垂足分别为M 、N .…………1分易得四边形PNBM 是矩形，∴PN ∥BC ，BN PM =,︒=∠90MPN . ∵AD ∥BC ，∴PN ∥AD .∴AB AD BN PN =.∴ABADPM PN =. ∵PQ AD PC AB =，∴PCPQPM PN =.………………………1分 又∵︒=∠=∠90PNQ PMC ，∴PCM Rt ∆∽PQN Rt ∆.………………1分∴QPN CPM ∠=∠.……………………………1分∵︒=∠90MPN ，∴︒=∠=∠+∠=∠+∠90MPN QPM QPN QPM CPM , 即︒=∠90QPC .…………………………1分。
初三上册数学复习资料(苏教版)
初三上册数学复习资料（苏教版）
【易错分析】
易错点1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的
特征与区别.
易错点2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”.
易错点3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别注重外角性质中的“不相邻”.
易错点4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定.着重学会论证三角形全等，线段的倍分这些问题.
易错点5：等腰(等边)三角形的定义以及等腰(等边)三角形的判
定与性质，使用等腰(等边)三角形的判定与性质解决相关计算与证明
问题，这里需注意分类讨论思想的渗入.
易错点6：使用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的
数量关系，解决与面积相关的问题以及简单的实际问题.
易错点7：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合使用.
【好题闯关】
好题1.如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，点D在BC的延
长线上，则∠ACD等于( )
A. 100°
B. 120°
C. 130°
D. 150°
解析：本题考查三角形外角的性质，三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和.学生易疏忽性质中的“不相邻”这三个字.
答案：C
好题2.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选择一点O，测得OA=15，米，OB=10米，A、B间的距离不可能是( )
A.5米
B.10米
C. 15米
D.20米
解析：本例考查三角形三边之间的不等关系，三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边.学生易忽视概念里的“任何”两字.
答案：A。
【中小学资料】九年级数学上册 第1章 一元二次方程复习指导素材 (新版)苏科版
《一元二次方程》复习指导【本章概述】一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位，它和二次函数的联系非常密切.这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例.考试中不仅基础题会考查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此同学们应对这部分内容予以高度重视.【课标要求】1.了解一元二次方程的概念，对本章所学的解一元二次方程的配方法、公式法、分解因式法有个全面的了解，会合理选择方法解具体的一元二次方程，并在解方程的过程中体会转化等数学思想.2.能够利用一元二次方程的有关知识解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.3.能够结合具体情境，估计一元二次方程的解，发展估算意识和能力.4.理解一元二次方程的根的判别式，会根据判别式判别一元二次方程的根的情况（注：本部分内容虽然不作为考试重点，但对同学们今后的学习非常重要，一定要认真复习）.【知识要点解读】1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式：20ax bx c ++=（0a ≠）.（1）判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）.三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程.（2）20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程的一般形式，其中0a ≠是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程. 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆.2.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是降次，一般可采用下面几种方法：（1）配方法①基本思路先将方程转化为2()x m n +=的形式（它的一边是一个关于x 的完全平方式，另一边是一个常数），再利用平方根的定义求解.当0n ≥时，两边开平方便可求得方程的根；当0n <时，方程在实数范围内无解，因为负数没有平方根.②配方步骤：化：方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；移：移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；配：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式； 求：若0c ≥，两边同时开平方，求得方程的解；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解.注意：“在方程的两边都加上一次项系数一半的平方”的前提是二次项系数为1.（2）公式法①求根公式：一般地，对于一个一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，它的根是2b x a-±=. ②基本步骤：化：将方程化为一般形式：200ax bx c a ++=≠（）；定：正确确定a b c 、、的值；求：代入公式2b x a-=求解，若240b ac -≥则方程有实数根，若240b ac -<则方程无实数解即无解.（3）因式分解法①基本思想：利用“若0a b =，则0a =或0b =”的性质求方程的根.②基本步骤：化：将方程的右边化为零；分：将方程的左边分解为两个一次因式的积；转：令每个因式分别为零，转化为两个一元一次方程；解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.③注意事项：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积的形式时，可用分解因式法.用此法解方程时，要深入观察方程的特点，并且要对分解因式的方法非常熟练.解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法.公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）.分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法.没有特别说明，一般不用配方法.3.一元二次方程的近似解估计一元二次方程的精确解或近似解，通常采用列表的方式.首先根据具体的实际问题确定出解的具体范围，然后通过具体计算从两边“夹逼”，逐步获得方程的精确解或近似解.这种“夹逼”的思想是近似计算的重要思想.一般地，一个一元二次方程如果有解，那么它有两个解，这两个解可能相等，也可能不相等.4.一元二次方程的是实际应用方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义.利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性.列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；设：设元，也就是设未知数；列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；答：写出答语.相等关系的寻找应从以下几方面入手：①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（v t s =）. ②注意总结各类应用题中常用的等量关系.如工作量（工程）问题.常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）.③注意语言与代数式之间的转化.题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式.④从语言叙述中寻找相等关系.如甲比乙大5应理解为“甲=乙＋5”等.⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键.【复习指引】1.配方法、公式法、分解因式法分别适用于解不同特点的方程，具体求解时，应在观察方程特点和综合考虑各种方法适用范围的基础上合理选择解方程的方法.2.在用一元二次方程解决实际问题的过程中，要抓住问题的数学本质，尽量避免实际情境的干扰；同时要明确：数学问题与实际问题的区别.在用方程知识解决完实际问题后，一定要检验所求结果是否符合实际情况，对不适合实际情况的解一定要舍去；同时对适合实际情况的解绝对不能丢掉.【考点例析】考点一：一元二次方程的定义构成一元二次方程的条件：①必须是整式方程；②二次项系数不能为0；③只含有一个未知数；④未知数的最高次数是2.只有同时具备这三个条件的方程才是一元二次方程.例1.（甘肃）下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）.（A ）23(1)2(1)x x +=+ （B ）21120x x+-=（C ）20ax bx c ++= （D ）2221x x x +=-析解：由一元二次方程的判定条件可知：（B ）不满足条件①，（C ）不满足条件②，（D ）不满足条件②，只有（A ）同时满足这几个条件.故选（A ）.考点二：一元二次方程的相关概念基本形式：20ax bx c ++=（0a ≠）；其中2ax bx c 、、分别叫做二次项、一次项、常数项，a b ，分别称为二次项系数和一次项系数.例2.①（吉林）将方程2352x x =+化为一元二次方程的一般形式为___________. ②（吉林）一元二次方程22410x x +-=的二次项系数、一次项系数及常数项之和为___________.析解：①为23520x x --=（莫忘移项要变号）；②为5，要特别注意项和系数的符号. 考点三：方程根的定义及其应用若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的根，则必有2000ax bx c ++=，反之，若2000ax bx c ++=，则0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，这就是一元二次方程根的定义.利用这个根的定义解题时，要特别注意二次项系数不为0的条件.例3.①（兰州）已知ｍ是方程ｘ２－ｘ－１＝０的一个根，则代数ｍ２－ｍ的值等于（ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2②（北京海淀）关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）.（A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ）12析解：①选（C ）；②根据方程根的定义，将0x =代入原方程中，则原方程变形为关于a 的一元二次方程：210a -=，1a =±，又由于10a -≠，1a ≠，所以1a =-，应选（B ）.本题极易忽视二次项系数10a -≠这一内含条件，容易错选为（C ）.因此解这类题目时，若二次项系数中含有字母已知数，一定要使其不为0.考点四：一元二次方程的解法直接开平方法：课本上虽然没有介绍，但这是解一元二次方程的一种方法，它建立在数的开方的基础上，当把方程整理成2()x m n -=的形式时，就可以用此法求解.但要注意当0n <时，方程无实根；配方法：它建立在直接开平方的基础上，将方程20ax bx c ++=（0a ≠）的左边恒等变形为2()a x m n ++的形式，从而整理得2()x m k +=，通过开平方法求得方程的根.它适用于任何一个有解的一元二次方程，而且在今后的学习和复习中，它始终是一种很重要的思想方法；公式法：它适用于任何一个有解的一元二次方程.公式法抓住了配方法的结论，使其公式化，变求解问题为已知a b c 、、因式分解法：对于系数比较特殊的一元二次方程，用因式分解法求解比较快捷，其实质就是降次法.它将一元二次方程化为一元一次方程来求解.这四种方法既有区别，又有联系.公式法比配方法简单，但不如直接开平方法和因式分解法快捷，在具体解方程时，要根据题目的特点，选择适当的方法求解.一般顺序为先特殊后一般.即直接开平方法→因式分解法→公式法，没有特别说明一般不采用配方法.例4. （福州）解方程：24810x x ++= .解析：本题可用公式法或配方法求解，答案：12x =-±考点五、一元二次方程在实际中的应用一元二次方程的应用常常以当今社会所关注的热点问题和焦点问题为素材，这类问题虽然贴近生活，却不拘一格.因此，平时热心关注社会、积累生活经验是学好本部分内容的一个前提，在较复杂的社会背景中，运用方程的思想，寻找等量关系式，列出方程，是解题的一个关键.下面就近几年的中考试题中选取几道典型的经典考题，加以评析，供参考.例5. （常州）春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解：设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景取旅游.因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人，可得方程[100020(25)]27000x x --=.解得145x =，230x =.当145x =时，1000－10（x －25）=600＜700，故舍取1x ；当230x =时，1000－10（x －25）=900＞700，符合题意；答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.例6.（黄冈）黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天售出20件，每件赢利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上赢利1 200元，那么，每件童装应降价多少元？误解：设每件童装应降价元，依题意，得(40)(202)1200x x -+=，整理，得2302000x x -+=.解得121020x x ==，.答：每件童状应降价10元或20元.剖析：从表面上看，本题的解答天衣无缝，但本题要求在赢利相同的情况下，尽快减少库存，就是使童装尽快地销售.因为每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则降价20元比降价10元卖的多，可尽快减少库存，故正确答案应为每件童装降价20元.说明：随着市场经济的发展，经济决策型应用题逐渐成为各地中考题的新宠，这类应用题与实际生活密切相关，解题时一定要全面考虑题设条件，要对题意进行检验，使求解出来的根不仅适合方程，也得符合题意.考点六：创新题展示例7. （茂名）先阅读，再填空解题：(1)方程：x 2-x-2=0 的根是：x 1=-3, x 2=4，则x 1+x 2=1，x 1·x 2=12；(2)方程2x 2-7x+3=0的根是：x 1=12, x 2=3，则x 1+x 2=72，x 1·x 2=32；(3)方程x 2-3x+1=0的根是：x 1= , x 2= .则x 1+x 2= ，x 1·x 2= ；根据以上(1)(2)(3）你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0（m≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2、x 1、x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由. 分析：近几年来，以一元二次方程为背景的探索创新题不断涌现，这类问题形式新颖、富有趣味性，极好地考查了同学们的发散思维能力和开拓探究能力.本题难度不大，属中等题.解：（3）1x =2x =123x x +=，121x x ⋅=. 猜想：12n x x m+=-，12p x x m ⋅=. ∵一元二次方程mx 2+nx+p=0（m≠0且m 、n 、p 为常数）的两实数根为：∴1x =，2x =，∴12x x +=22n n m m -==-. 221244n n mp n n mp x x -+----=222(4)4n n mp p m m--===.。
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初三复习材料（1）
姓名分数
1.在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直
=+（b为常数）线CM∥x轴（如图7所示）.点B与点A关于原点对称，直线y x b
经过点B，且与直线CM相交于点D，联结
（1）求b的值和点D的坐标；
∆是
（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD
等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的
圆P与圆O外切，求圆O的半径.
2.已知︒=∠90BAC ，2=AB ，3=BC ，AD ∥BC . P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足
PQ AD
PC AB
=
（如图8所示）. （1）当2=AD 时，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长； （2）在图8中，联结AP ，当2
3
=
AD ，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，
APQ PBC
S y S ∆∆=，其中APQ S ∆表示APQ ∆的面积，PBC S ∆表示PBC ∆的面积，
求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域.
（3）当AB AD <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大
小.
A
B
C D
P
Q 图8
A
C
D
P
(Q )
图9
A
B
C
D
P Q
图10
相关概念：
1.圆和圆的位置关系
外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))
外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2))
相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))
内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))
内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例． (图(6))
2.设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，
两圆的位置关系数量关系及其识别方法
外离d＞R+r
外切d＝R+r
相交R-r＜d＜R+r
内切d＝R-r (R＞r)
内含0≤d＜R-r (R＞r)
初三复习材料（1）答案
姓名 分数 1. 解：（1）∵点A 的坐标为（1，0），点B 与点A 关于原点对称， ∴点B 的坐标为（-1，0），…………………………………………1分 ∵直线b x y +=经过点B ，∴01=+-b ，得1=b .……………1分
∵点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴，∴设点D 的坐标为（x ，4）……1分
∵直线1+=x y 与直线CM 相交于点D ，∴3=x ，∴D 的坐标为（3，4）…1分 （2）∵D 的坐标为（3，4），∴5=OD .…………………1分 当5==OD PD 时，点P 的坐标为)0,6(；………………1分 当5==OD PO 时，点P 的坐标为)0,5(；………………1分 当PD PO =时，设点P 的坐标为)0,(x （0>x ），
∴224)3(+-=
x x ，得625=
x ，∴点P 的坐标为)0,6
25
(……1分 综上所述，所求点P 的坐标是)0,6(，)0,5(，)0,6
25
(.…………1分
（3）当以PD 为半径的圆P 与圆O 外切时，
若点P 的坐标为（6，0），则圆P 的半径5=PD ，圆心距6=PO ，所以圆O 的半径1=r .……………………………………………………2分
若点P 的坐标为)0,5(，则圆P 的半径52=PD ，圆心距5=PO ， ∴圆O 的半径525-=r .……………………………2分 综上所述，所求圆O 的半径等于1或525-.
2. 解：（1）∵AD ∥BC ，∴DBC ADB ∠=∠.
∵2==AB AD ,∴ADB ABD ∠=∠.∴DBC ABD ∠=∠.
∵︒=∠90ABC ，∴︒=∠45PBC .………………………………1分
∵
PQ AD
PC AB
=
，AB AD =，点Q 与点B 重合，∴==PQ PB PC . ∴︒=∠=∠45PBC PCB .………………………………1分 ∴︒=∠90BPC . …………………………………………1分
在BPC Rt ∆中，2
2
345cos 3cos =
︒⨯=⋅=C BC PC .……1分 （2）过点P 作BC PE ⊥，AB PF ⊥，垂足分别为E 、F .…………1分 ∴ABC PEB PFB ∠=︒=∠=∠90.∴四边形FBEP 是矩形. ∴PF ∥BC ，PF PE =. ∵AD ∥BC ，∴PF ∥AD .∴
AB
AD
BF PF =
.
∵23=AD ，2=AB ，∴4
3=BF PF .…………………………1分 ∵x QB AB AQ -=-=2，3=BC ，∴PF x S APQ 22-=∆，PE S PBC 2
3
=∆ .
∴
4
2x
S S PBC
APQ -=
∆∆，即42x y -=.…………………………2分
函数的定义域是8
7
0≤
≤x .…………………………1分 （3）过点P 作BC PM ⊥，AB PN ⊥，垂足分别为M 、N .…………1分 易得四边形PNBM 是矩形，∴PN ∥BC ，BN PM =,︒=∠90MPN .
∵AD ∥BC ，∴PN ∥AD .∴AB AD BN PN =.∴AB
AD
PM PN =
. ∵PQ AD PC AB =，∴PC
PQ PM PN =.………………………1分 又∵︒=∠=∠90PNQ PMC ，∴PCM Rt ∆∽PQN Rt ∆.………………1分 ∴QPN CPM ∠=∠.……………………………1分
∵︒=∠90MPN ，∴︒=∠=∠+∠=∠+∠90MPN QPM QPN QPM CPM , 即︒=∠90QPC .…………………………1分。