人教版广东省惠州市第一中学高二数学选修2-2 第一章 导数及其应用 4 生活中的优化问题举例(共24
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用复习优质
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章导数及其应用1.1.1、2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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(4)在公式ΔΔxy＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定 值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特 别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
平均变化率为
fx2－fx1
___x_2_－__x1___
②曲线割线的 斜率
刻画函数值在
区间 [x_1_，__x_2_]_
上变化的快慢
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处 ①瞬时速度：物
刻画函数值在
的瞬时变化率是 lim
体在某一时刻
ΔΔyx＝Δ_lix_m→_0_f__x_0＋__Δ_ΔΔ_xxx_→－_0_f_x_0
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第一章 导数及其应用
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(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
为 g×2＋12g×0.1＝4210g.
(4)由(2)得物体在 t＝2 s 时的瞬时速度为 g×2＝2g.
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第一章 导数及其应用
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求函数f(x)在某点处的导数
已知f(x)＝x2＋3. (1)求f(x)在x＝1处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数．
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》本章综述
第一章导数及其应用本章综述本章内容共分为四大节.第一大节是导数.第二大节是导数的运算,主要介绍了基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则.第三大节是导数的应用,主要是利用导数判断函数的单调性,求函数的极值和最值问题,利用函数解实际问题和物理问题.第四大节是定积分和微积分的基本定理,主要介绍利用定积分求曲线围成的平面图形的面积.导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数的单调性,函数的极值与最大,最小值,曲线的凹凸性,函数图形的描绘,曲线的曲率,方程的近似解等问题的最一般,最有效的工具;定积分是微积分的另一个核心概念,它在几何学上的应用有:计算平面图形的面积,体积以及平面曲线的弧长等;在物理学上它可计算变力沿直线所做的功,水压力,引力等一些重要的物理量.实际上,微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都有广泛而重要的作用,它是大学数学课程中极其重要又非常基础的一部分内容.导数来源于实践,又应用于实践.如现实生活中的瞬时速度,膨胀率,增长率问题等等,都充分反映了导数的思想.利用导数还可以解决现实生活中的最优化问题,由于其应用广泛,所以其地位在中学数学中极其重要.因此,导数及其应用已成为近几年高考的热点.导数概念的核心是变化率,学习导数应从物理和几何两方面去理解导数的意义;必须熟记常数与基本初等函数的导数;正确地运用和、差、积、商及复合函数的求导法则,就可以求出一切初等函数的导数;学会利用导数解决速度、加速度、函数的单调性、极值、最值等问题的解法,并会利用其解决实际问题.学习导数时要借助于实例,沿着从平均速度、瞬时速度到函数瞬时变化率的线索,认识和理解导数的概念;通过例题,体会利用导数的定义求导数的方法;借助于图形去认识和理解导数的几何意义,以及用导数的几何意义去解决问题;结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的应用;借助图形了解定积分的思想方法等.学习本章时要注意导数与导函数的区别,以及圆的切线、圆锥曲线与函数切线的区别.同时,还应明确平均变化率与瞬时变化率的区别与联系.。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数的实际应用》知识讲解
数学人教B 选修2-2第一章1.3.3 导数的实际应用1．学会解决实际问题的基本方法，注意首先通过分析、思考、总结、联想，建立问题涉及的变量之间的函数关系式，然后根据实际意义确定定义域．2．学会利用导数求解实际问题，感受导数在解决实际问题中的作用．求实际问题中的最值的主要步骤(1)列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程________；(3)比较函数在区间______和使f ′(x )＝0的点的取值大小，最大(小)者为最大(小)值．(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．【做一做1－1】内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为( )．A ．R 2和32RB ．55R 和455RC ．45R 和75R D ．以上都不对【做一做1－2】面积为S 的所有矩形中，其周长最小的是________．如何求解实际应用题？剖析：解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题．就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值．这里所说的也适用于开区间或无穷区间．题型一 利用导数求实际问题的最小值【例题1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值．反思：解答一道应用题重点要过三关：事理关(需要读懂题意，知道讲的是什么事件)；文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系)；数理关(要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，进而借助数学知识进行解答)．对于这类问题，往往因忽视了数学语言和普通语言的转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．题型二 利用导数求实际问题的最大值【例题2】如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD ＝2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数关系式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．分析：建立坐标系，求出椭圆方程，表示出梯形的面积，应用导数求最值．反思：本题的关键是建立直角坐标系，得到椭圆方程x 2r 2＋y 24r 2＝1(y ≥0)，进而得到梯形面积S ＝2(x ＋r )·r 2－x 2.利用导数法解决实际问题，当遇到在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形时，若函数在这一点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．题型三 易错辨析 易错点：在运用导数解决实际问题的过程中，常常因为忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误．解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建模，在实际问题的定义域范围内求出问题的最优解．【例题3】某厂生产一种机器，其固定成本(即固定投入)为0.5万元．但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：(1)y ＝R (x )－C (x )＝⎝⎛⎭⎫5x －12x 2－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋194x －12(0≤x ≤5)． (2)y ′＝－x ＋194，令y ′＝0，得x ＝194＝4.75，∴4.75必为最大值点．∴年产量为475台时，工厂利润最大．1将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )． A ．2和6 B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对2用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )．A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm3某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有砖只够砌20 m 长的墙壁，则应围成长为________ m ，宽为________ m 的长方形才能使小屋面积最大．4做一个容积为256的方底无盖水箱，当它的高为________时，最省材料． 答案： 基础知识·梳理(2)f ′(x )＝0 (3)端点 【做一做1－1】B 设矩形的一边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，周长l ＝2x ＋4R 2－x 2(0＜x ＜R )，∴l ′＝2－4x R 2－x 2，令l ′＝0，得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)，当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0，所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即矩形周长最大时边长为55R 和455R .【做一做1－2】以S 为边长的正方形 设矩形的一边长为x ，则另一边长为Sx ，周长f (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋S x ，f ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1－Sx 2，令f ′(x )＝0，得x ＝S ，易知当x ＝S 时，f (x )有极小值，也就是最小值． 典型例题·领悟【例题1】解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，又C (0)＝8，∴k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用C 1(x )＝6x ，从而隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)(2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，得x 1＝5，x 2＝－253(舍去)，当0＜x ＜5时，f ′(x )＜0，当5＜x ＜10时，f ′(x )＞0，故5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70，即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．【例题2】解：(1)依题意，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标y 满足方程x 2r 2＋y 24r 2＝1(y ≥0)，即y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )．S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2， 其定义域为{x |0＜x ＜r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0＜x ＜r ， 则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝12r .因为当0＜x ＜r2时，f ′(x )＞0；当r2＜x ＜r 时，f ′(x )＜0， 所以f (12r )是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f (12r )＝332r 2. 故梯形面积S 的最大值为332r 2.【例题3】错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500台之内(含500台)，应有x ＞5的情况，错解忽视了此种情况，就出现了错误．正解：(1)利润y ＝R (x )－C (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫5x －x 22－(0.5＋0.25x )(0≤x ≤5)，⎝⎛⎭⎫5×5－522－(0.5＋0.25x )(x ＞5)，＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)，12－0.25x (x ＞5).(2)0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5，∴当x ＝4.75时，y max ≈10.78(万元)；当x ＞5时，y ＝12－0.25x ＜12－0.25×5＝10.75(万元)． ∴年产量是475台时，工厂所得利润最大． 随堂练习·巩固1．B 设其中一个数为x ，则另一个数为8－x ，y ＝x 3＋(8－x )3，0≤x ≤8，y ′＝3x 2－3(8－x )2，令y ′＝0即3x 2－3(8－x )2＝0，得x ＝4.当0≤x ＜4时，y ′＜0；当4＜x ≤8时，y ′＞0.所以当x ＝4时，y 最小．2．B 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0＜x ＜24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在区间(0,24)内有解x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值．3．10 5 设长为x m ，宽为y m ，则x ＋2y ＝20，y ＝10－x 2.S ＝x ·y ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝10x －x 22，S ′＝10－x ，令S ′＝0，得x ＝10，∴x ＝10，y ＝5.4．4 设方底无盖水箱的底面边长为a ，高为h ，则V ＝a 2h ＝256，即h ＝256a 2.用料最省，即表面积最小．S 表＝S 底＋S 侧＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a 256a 2＝a 2＋1 024a .S ′＝2a －1 024a2.令S ′＝0，得2a －1 024a 2＝0，解得a ＝8，此时h ＝25664＝4.。
【最新】-(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.7.1
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第一章 导数及其应用
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1．由曲线 y＝x2－1，直线 x＝0，x＝2 和 x 轴围成的封闭
图形的面积(如图)是( )
2
A．0 (x2－1)dx
2
B．|0 (x2－1)dx|
2
C．0|x2－1|dx
1
D．0(x2－1)dx＋21(x2－1)dx
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1．7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用
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1．利用定积分求解平面图形的面积的技巧 由两条曲线 y＝f(x)，y＝g(x)和直线 x＝a，x＝b(b>a)所围图 形的面积
b
①如图(1)所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 S＝a[f(x)－ g(x)]dx.
b
②如图(2)所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积 S＝af(x)dx ＋bagxdx＝ba[f(x)－g(x)]dx.
[思路点拨] 作图 ―→ 积分表达式 定 的―积 性 ―→分 质 分解 ―→ 求值
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第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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2020最新人教版高二数学选修2-2全册课件【完整版】
2020最新人教版高二数学选修2 －2全册课件【完整版】目录
0002页 0090页 0166页 0168页 0223页 0251页 0306页 0320页 0548页 0629页 0677页
第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.4 生活中的优化问题举例 1.6 微积分基本定理 小结 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 小结 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 复习参考题
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1.3 导数在研究函数中的应用
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1.4 生活中的优化问题举例
第一章 导数及其应用
2020最新人教版高二数学选0最新人教版高二数学选修2－2 全册课件【完整版】
1.2 导数的计算
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.1、2(1)
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(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
(4)y′＝xln1 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex.
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第一章 导数及其应用
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1．掌握几个常用函数的导数，并能进行简单的应用． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应 用．
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[问题1] 函数y＝f(x)＝x的导数是什么？
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【正解】 (1)∵y＝(－x)8＝x8， ∴y′＝(x8)′＝8x7. (2)∵y＝(ax)5＝a5x5， ∴y′＝(a5x5)′＝a5(x5)′＝5a5x4.
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第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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几个常用函数的导数
函数 f(x)＝c(c 为常数)
f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x
f(x)＝ x
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》知识讲解
数学人教B 选修2-2第一章导数及其应用知识建构专题应用专题一 用导数的定义解题对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的步骤以及用定义求导数的一些简单变形．应用若函数y ＝f (x )在点x 0处可导，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝________.专题二 切线问题求切线实际考查的是导数的几何意义，这类问题可以是以小题也可以是以大题形式出现，有时以求函数的导数、导数的应用以及函数的其他知识等综合题形式出现，这时多为中档题．应用已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．提示：(1)求曲线上某点处的切线的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再由点斜式写出直线方程．(2)求面积用S ＝12ah 即可完成．专题三 函数的单调性与极值、最大(小)值 (1)求可导函数f (x )单调区间的步骤： ①求f ′(x )；②解不等式f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)； ③确认并指出函数的单调区间．(2)求可导函数f (x )在区间[a ，b ]上最大(小)值的步骤： ①求出f (x )在区间(a ，b )内的极值；②将f (x )在区间(a ，b )内的极值与f (a )、f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值．应用1设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1，且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1. 提示：先求导，利用导函数求解与证明．应用2设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间(0,1]上的最大值为12，求a 的值．专题四 用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用，几种典型的平面图形的面积计算如下：设由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积为S .(1)如图①所示，f (x )＞0，ba⎰f (x )d x ＞0，所以S ＝ba⎰f (x )d x .(2)如图②所示，f (x )＜0，ba ⎰f (x )d x ＜0，所以S ＝()d baf x x ⎰＝－b a⎰f (x )d x .(3)如图③所示，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，ca ⎰f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，bc⎰f (x )d x ＞0，所以S ＝()d caf x x ⎰＋bc⎰f (x )d x ＝－ca⎰f (x )d x＋bc⎰f (x )d x .由两条曲线f (x )和g (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成的平面图形的面积为S .如图④所示，f (x )＞g (x )，则S ＝ba⎰[f (x )－g (x )]d x .解题步骤如下：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理公式计算定积分，求出平面图形的面积．应用计算由曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的图形的面积． 提示：先将图形面积借助于定积分表示出来，然后再求解． 真题放送1．(2011·福建高考卷)1⎰(e x ＋2x )d x 等于( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 2．(2010·山东高考卷)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )．A ．112B ．14C ．13D ．7123．(2010·江西高考卷)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )．A ．26B ．29C ．212D ．215 4．(2010·江西高考卷)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图象大致为( )．5．(2011·陕西高考卷)设f (x )＝2lg , 0,3d ,0,ax x x t t x >⎧⎪⎨+≤⎪⎩⎰若f (f (1))＝1，则a ＝__________.6．(2011·陕西高考卷)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.7．(2011·安徽高考卷)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 答案： 专题应用 专题一应用：2f ′(x 0) 原式＝lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－h )h＝lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋lim －h →0f (x 0－h )－f (x 0)－h＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)． 专题二应用：解：(1)由已知得y ′＝2x ＋1，由于曲线过点(1,0)， 所以y ′|x ＝1＝3.所以直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以2b ＋1＝－13，b ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52，所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0， 所以所求三角形的面积为S ＝12×⎝⎛⎭⎫1＋223×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. 专题三应用1：(1)解：由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x R ，知f ′(x )＝e x －2，x R .令f故f f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x R .由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增， 于是当a ＞ln 2－1时，对任意x (0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)， 而g (0)＝0，从而对任意x (0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1. 应用2：解：函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(2，2)，(2)当x (0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a ＞0，所以f (x )在区间(0,1]上单调递增，故f (x )在区间(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.专题四 应用：解：先画出草图，如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3. 解得x 1＝0，x 2＝3，从而所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ，因为⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2′＝－x 2＋3x ， 所以S ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. 真题放送1．C ∵被积函数e x ＋2x 的原函数为e x ＋x 2，∴∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋0)＝e. 2．A 封闭图形面积为 ⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4|10＝112.3．C 函数f (x )的展开式中含x 项的系数为a 1a 2…a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝212.4．A 当五角星匀速地升出水面时，五角星露出水面的面积S (t )单调递增，则S ′(t )＞0，导函数的图象要在x 轴上方，排除选项B ；当露出部分到达图中的点B 和点C 之间时，S (t )增长速度变缓，S ′(t )图象要下降，排除选项C ；当露出部分在B 点上下一瞬间时，S (t )突然变大，此时在点B 处的S ′(t )不存在，排除选项D ，而选项A 符合条件，故选A.5．1 ∵1＞0，∴f (1)＝lg 1＝0，∴f (f (1))＝f (0)．又∵0≤0.∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.6．解：(1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x ，得曲线在Q k －1(x k －1，e x k －1)点处的切线方程为y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)，所以|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1. 7．解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.4
第一章 导数及其应用
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费用最省(成本最低)问题
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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1.用料最省问题是日常生活中常见的问题之
一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的
对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．
2．利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只
有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不
－
0
＋
0
－
极小值 极大值
故当x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润
最大．
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第一章 导数及其应用
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◎ 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地， 速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单 位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的 平方成正比，比例系数b(b>0)；固定部分为a元．
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解决优化问题的基本思路
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》本章概览2
第一章导数及其应用
本章概览
内容提要
本章主要学习导数的概念、导数的几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题、定积分的概念、微积分基本定理以及定积分的简单应用等知识.
导数与微积分是中学选修内容中的重要知识，它与高等数学有较为密切的联系，也是进一步学习的必备基础知识.
导数的学习，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，它的应用相当广泛，涉及代数、几何、物理以及生活实际等多个领域，运用它可以解决一些实际问题导数的概念、求导公式与法则是本章学习的重点，将实际问题转化成求解最大（小）值的数学模型，应用导数知识去解决它是本章学习之难点这也是提高分析问题、解决问题能力及学好数学的关键
学法指导
导数与定积分有着丰富的背景和广泛的应用
应多结合实例，通过实例去理解导数与定积分的有关概念以及导数与积分的内在联系深入理解和正确运用导数的概念、求导公式与法则是本章学习的基础，能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点。
广东省惠州市第一中学高二数学人教A版选修导数及其应用生活中的优化问题举例PPT课件
广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
栏目 导引
广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
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广 东 省 惠 州 市第一 中学高 二数学 人教A版 选修2 －2 第 一 章 导 数 及其 应用 1 . 4 生 活 中 的 优 化问 题举例 (共24 张PPT)
第一章 导数及其应用
【解】 设 OO1 为 x m，则 1<x<4.由题设可得正六棱锥底面 边长为 32－（x－1）2＝ 8＋2x－x2. 于是底面正六边形的面积为 6· 43·( 8＋2x－x2)2＝323(8＋2x－x2)．
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第一章 导数及其应用
帐篷的体积为 V(x)＝323(8＋2x－x2)13（x－1）＋1＝ 23(16＋12x－x3)． 求导数，得 V′(x)＝ 23(12－3x2)． 令 V′(x)＝0，解得 x＝－2(不合题意，舍去)或 x＝2. 当 1<x<2 时，V′(x)>0，V(x)为增函数； 当 2<x<4 时，V′(x)<0，V(x)为减函数． 所以当 x＝2 时，V(x)最大．
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。
第一章 导数及其应用
面积、容积最值问题 请你设计一个帐篷，它下部的形状是高 为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
人教版广东省惠州市第一中学高二数学选修2-2 第一章 导数及其应用 几个常用函数的导数(共18张PP
练习 2．已知曲线 y＝ln x 的一条切线方程为 x－y＋c＝0，求 c 的值． 解：设切点为(x0，ln x0)， 由 y＝ln x 得 y′＝1x. 因为曲线 y＝ln x 在 x＝x0 处的切线方程为 x－y＋c＝0，其斜 率为 1.所以 y′|x＝x0＝x10＝1，即 x0＝1，
所以切点为(1，0)． 所以 1－0＋c＝0，所以 c＝－1.
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
求下列函数的导数． (1)y＝3x； (2)y＝log3x. 解:(1)因为 y＝3x，所以 y′＝3xln 3.
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
达标训练一
求下列函数的导数:
广东省惠州市第一中学高二数学人教A版选修2-2 第一章 导数及其应用《导数在研究函数中的应用》习题课
导数在研究函数中的应用习题课讲义例1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒例2、 已知32()26f x x x a =-+(a 是常数)在[－2，2]上有最大值3，那么在[－2，2]上的最小值是（ ） A ．－5B ．－11C ．－29D ．－37例3、已知函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----,则(1)f '=（ ）A ．0B ．24C ．24-D ．120-例4、设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，,x R ∀∈有2()(),f x f x x -+=在(0,)+∞上，()f x x '<，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围是( )A 、[3,3]-B 、[3,)+∞C 、[2,)+∞D 、(,3]-∞例5、定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x xe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),00,-∞+∞UD ．()3,+∞ 例6、定义在R 上的可导函数()f x 满足()()xf x f x e '-<，且(0)4f =，则不等式()(4)xf x x e <+的解集为例7、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 例8、过曲线y ＝x 3－x 2上一点)2,1(--P 的切线方程是 例9、若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是______ __．例10、抛物线2y x =上的点到直线20x y --=的距离的最小值为例11、已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0，1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1，2)上为增函数， 则a ＝例12、已知函数f (x )＝ax 2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围为________．例13、已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是例14、已知2()ln ,()2,f x x x ax g x x =-=--若对一切(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例15、函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a ，10－a 2 )上有最大值，则实数a 的取值范围是____________例16、已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 例17、设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．例18、已知函数()()ln 1f x x =+.求证：（1） 当()0,x ∈+∞时，()1xf x x x<<+； （2） 1111111ln(1)1234123n n n++++<+<+++++L L .例19、已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．课后作业：课时作业8 导数在研究函数中的应用（强化练）导数在研究函数中的应用习题课讲义参考答案例1、C 例2、D 例3、B 例4、B 解析：令222111()(),()()()()0,222g x f x x g x g x f x x f x x =--+=--+-=∴Q 函数()g x 为奇函数，(0,)()()0,()(0,)x g x f x x g x ''∈+∞=-<∴+∞Q 时，在上为减函数，又(0)0,(0)0,f g =∴=所以函数()g x 在R 上为减函数，不等式(6)()1860f m f m m ---+≥可化为2211(6)(6)()(6)()22f m m f m mg m g m ---≥--≥即，而函数()g x 在R 上为减函数，所以6,3m m m -≤∴≥，故选B.例5、答案:A 解析:由()()1f x f x '+>得[()()]0[()]0,x x x x e f x f x e e f x e ''+->->即令()()x x g x e f x e =-,则()g x 在R 上是增函数, 因为(0)4f =,所以0(0)(0)413g e f e =-=-=,于是()3x xe f x e >+可化为()(0)g x g >,又()g x 在R 上是增函数,所以0.x >例6、答案:(0,)+∞,解析:由()()xf x f x e '-<得:()()()()()110]0,x x xf x f x f x f x f x x e e e''--'<⇒-<-<即[ 令()()x f x g x x e =-,则()g x 在R 上是减函数,因为(0)4f =,所以(0)4g =,不等式()(4)xf x x e<+可化为()4,()(0)x f x x g x g e-<<即,又()g x 在R 上是减函数,所以0.x >例7、),6()3,(+∞--∞Y 例8、y ＝5x ＋3或y ＝x －1 例9、]31,31[- 例10例11、2例12、),[+∞e 例13、(,2ln 22]-∞- 例14、 (,3]-∞ 解析：原问题等价于x x x a 2ln ++≤对),0(+∞∈x 恒成立，令)0(,)1)(2()(,2ln )(>-+='++=x xx x x F x x x x F ，易知.3,3)1()(min ≤∴==a F x F 例15、[－2，1) 例16、2-例17、解：（1）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，．例18、证明：（1）令()()ln(1)(0)11x xg x f x x x x x =-=+->++， 则2211()0(0)1(1)(1)xg x x x x x '=-=>>+++ 所以()(0,)g x +∞在上是增函数，所以当()0,x ∈+∞时，()(0)0g x g >=， 即()1xf x x >+成立. 令()()ln(1)(0)h x f x x x x x =-=+->， 则1()10(0)11x h x x x x '=-=-<>++ 所以()(0,)h x +∞在上是减函数，所以当()0,x ∈+∞时，()(0)0h x h <=， 即()f x x <成立. 综上所述，当()0,x ∈+∞时，()1xf x x x <<+成立. （2）由（1）可知：当0x >时，有ln(1)1x x x x <+<+，令1(1,2,3,,)x k n k ==L ，得 111ln(1)(1,2,3,,)1k n k k k <+<=+L ，即11ln(1)ln (1,2,3,,)1k k k n k k<+-<=+L 于是可以得到下面n 个不等式：1ln 2ln112<-<， ,212ln 3ln 31<-< …，11ln(1)ln 1n n n n <+-<+ 将以上n 个不等式相加得：1111111ln(1)1234123n n n++++<+<+++++L L .例19、解：（1）)(x f 的定义域为(0)+∞，，)0(1)(>-='x xae x f x由题设知，0)2(='f ，所以212a e =． 从而21()ln 12x f x e x e =--，211()2x f x e e x'=-． 又211()2x f x e e x'=-在),0(+∞上是增函数，且0)2(='f 所以当20<<x 时，0)(<'x f ；当2>x 时，0)(>'x f ． 所以)(x f 在)2,0(上单调递减，在),2(+∞上单调递增．（2）当e a 1≥时，.1ln )(--≥x e e x f x ． 设xe e x g x e e x g x x 1)(,1ln )(-='--=则， 又1()x e g x e x'=-在),0(+∞上是增函数，且0)1(='g所以当10<<x 时，0)(<'x g ；当1>x 时，0)(>'x g ．所以1=x 是)(x g 的最小值点． 故当0>x 时，.0)1()(=≥g x g因此，当1a e ≥时，()0f x ≥．（2）另证：要证当e a 1≥时，0)(≥x f ，只要证明当e a 1≥时，x e x a 1ln +≥，只需证明ee x x 11ln ≤+ 令)0(1ln )(>+=x e x x g x，则x x x xe x x e x e e x x g ---=+-=')1ln 1()()1(ln 1)(2，令1ln 1)(--=x xx h ，易知)(x h 在),0(+∞上是减函数，且0)1(=h ，所以当)1,0(∈x 时，0)(0)(>'⇒>x g x h ，当),1(+∞∈x 时，0)(0)(<'⇒<x g x h ，当1=x 时，0)1(0)1(='⇒=g h ，所以)(x g 在]1,0(上是增函数，在),1[+∞上是减函数，所以)1()(g x g ≤，即ee x x 11ln ≤+成立. 所以当ea 1≥时，0)(≥x f 成立.。
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1．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：
万件)的函数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家
C 获取最大年利润的年产量为( )
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
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第一章 导数及其应用
解析：选 C.因为 x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)， 令 y′＝0，解得 x＝9 或 x＝－9(舍去)，当 x∈(0，9)时，y′>0， 当 x∈(9，＋∞)时，y′<0，所以 y 先增后减．所以当 x＝9 时 函数取得最大值．选 C.
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第一章 导数及其应用
2．用长为 24 m 的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体 框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为 ________．
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第一章 导数及其应用
解析：设长方体的底面边长为 x m，则高为(6－2x)m，所以 x∈(0，3)，则 V＝x2(6－2x)＝6x2－2x3，V′＝12x－6x2，令 V′ ＝0 得 x＝2 或 x＝0(舍)， 所以当 x∈(0，2)时，V′>0，V 是增函数， 当 x∈[2，3)时，V′<0，V 是减函数， 所以当 x＝2 时，Vmax＝22×2＝8(m3)． 答案：8 m3
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第一章 导数及其应用
所以 y＝480x000＋300x 在(0，35]上单调递减， 故当 x＝35 时，函数 y＝480x000＋300x 取得最小值． 故为了使全程运输成本最小，轮船应以 35 海里/时的速度行 驶．
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第一章 导数及其应用
利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式 y＝f(x)． (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求函数可能 的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可疑点的函数值的大 小，得出函数 f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
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第一章 导数及其应用
又因为 0＜x＜24， 所以 V(10)也是最大值． 所以当 x＝10 时，V 有最大值 V(10)＝19 600. 故当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是 19 600 cm3.
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第一章 导数及其应用
用料(费用)最省问题 现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地，已知轮船的最 大航行速度为 35 海里/时，A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮 船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6)， 其余费用为每小时 960 元． (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
第一章 导数及其应用
【解】 设 OO1 为 x m，则 1<x<4.由题设可得正六棱锥底面 边长为 32－（x－1）2＝ 8＋2x－x2. 于是底面正六边形的面积为 6· 43·( 8＋2x－x2)2＝323(8＋2x－x2)．
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第一章 导数及其应用
帐篷的体积为 V(x)＝323(8＋2x－x2)13（x－1）＋1＝ 23(16＋12x－x3)． 求导数，得 V′(x)＝ 23(12－3x2)． 令 V′(x)＝0，解得 x＝－2(不合题意，舍去)或 x＝2. 当 1<x<2 时，V′(x)>0，V(x)为增函数； 当 2<x<4 时，V′(x)<0，V(x)为减函数． 所以当 x＝2 时，V(x)最大．
口
–■ 口 但 但
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人
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从
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钟
色
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后
过
高
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奢
罗
有 我
你
还
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第一章 导数及其应用
【解】 (1)依题意得 y＝50x0(960＋0.6x2) ＝480x000＋300x， 且由题意知，函数的定义域为(0，35]， 即 y＝480x000＋300x(0<x≤35)．
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第一章 导数及其应用
(2)由第一问知，y′＝－48x02 000＋300， 令 y′＝0， 解得 x＝40 或 x＝－40(舍去)， 因为函数的定义域为(0，35]，所以函数在定义域内没有极值 点． 又当 0<x≤35 时，y′<0，
复习：如何用导数来求函数的最值？
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是： （1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
第一章 导数及其应用
(1)经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以 产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导 数来分析、研究、指导生产活动． (2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本； ②利润＝每件产品的利润×销售件数．
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第一章 导数及其应用
的
，
么 我
只
是
一 很
试 自
弥 己
留
导数及其应用 在
多 弄
时
光
深
处
部
时
完
。
但
和
的
无
边
落
寞
戏
候
在
这
样
做
。
轻
时 现 镜 有
是
拥
沧
桑
场
一
个
，
淡
就 我
不 尔
看
流
年
，
掬
穿
不
想
后
好
的
后
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
等
我
果
就
戴 。
是 东
得
你
可
希
当
你
真
红
尘
以 的
•■ 电 你 是 否 有 这 样 经 历 ， 当 你 在 做 某 一 项 工 作 和 学 习 的 时 候 ， 脑 子 里 经 常 会 蹦 出 各 种 不 同 的 需 求 。 比 如 你 想 安 心 下 来 看 2 小 时 的 书 ， 大 脑 会 蹦 出 口 渴 想 喝 水 ， 然 后 喝 水 的 时 候 自 然 的 打 开 电 视 。 。 。 。 。 。 ， 一 个 小 时 过 去 了 ， 可 能 书 还 没 看 2 页 。 很 多 时 候 甚 至 你 自 己 都 没 有 意 思 到 ， 你 的 大 脑 不 停 地 超 控 你 的 注 意 力 ， 你 就 这 么 轻 易 的 被 你 的 大 脑 所 左 右 。 你 已 经 不 知 不 觉 地 变 成 了 大 脑 的 奴 隶 。 尽 管 你 在 用 它 思 考 ， 但 是 你 要 明 白 你 不 应 该 隶 属 于 你 的 大 脑 ， 而 应 该 是 你 拥 有 你 的 大 脑 ， 并 且 应 该 是 你 可 以 控 制 你 的 大 脑 才 对 。 一 切 从 你 意 识 到 你 可 以 控 制 你 的 大 脑 的 时 候 ， 会 改 变 你 的 很 多 东 西 。 比 如 控 制 你 的 情 绪 ， 无 论 身 处 何 种 境 地 ， 都 要 明 白 自 己 所
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第一章 导数及其应用
解：设容器的高为 x，容器的容积为 V， 则 V＝(90－2x)(48－2x)x(0＜x＜24)， 即 V＝4x3－276x2＋4 320x. 因为 V′＝12x2－552x＋4 320， 由 V′＝12x2－552x＋4 320＝0，得 x1＝10，x2＝36. 因为 0＜x＜10 时，V′＞0，10＜x＜36 时，V′＜0，x＞36 时， V′＞0，所以当 x＝10 时，V 有极大值 V(10)＝19 600.
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆那 样寻 常， 让得失 利弊 犹如花 开花 谢那 样自然 ，不 计较， 也不 刻意执 着；让 生命 中各 种的喜 怒哀 乐，就 像风 儿一 样，来 了， 不管是 清风 拂面 ，还是 寒风 凛冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦然 的接 受命 运的馈 赠， 把是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
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