厚透镜传输矩阵推导

2112210n n n n r n ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()123

212121121212121122212121121212121122221122121111212122101010111011T TT T d n n n n n n n r n n r n n n n d d r n n n n n n n n n r n n r n n n n d d r n n d n n n n n n n n d n r n r n n r r r =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-+=----+-+2n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212210n n n n r n ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

21'22H l n n d f r n -=-'21'12H l n n d f r n -=-厚透镜传输矩阵推导

推导过程主要参考张以谟主编的《应用光学》第3版，以下简称《应用光学》。

激光原理书中已给出球面折射的光线传输矩阵：

其推导较为简单，这里需注意，传输矩阵中的符号是由自己定义的，如书中对r 的符号的定义为光线遇到凹面镜时取0r >，光线遇到凸面镜时取0r <。因为下文中用到的诸多公式都来自《应用光学》，为了符号规则统一，下面我们按照《应用光学》中的符号定义规则来重新推导。《应用光学》中关于符号定义的规则：沿轴光线，以折射面或反射面的顶点为原点O ，如果由顶点O 到光线与光轴的交点或球心的方向与光线传播方向相同，其值为正，反之为负。按此规则，则光线遇到凹面镜时取0r <，光线遇到凸面镜时取0r >，与书中的规定正好相反，因此球面折射的光线传输矩阵应改为：

对于周围介质折射率为1n ，本身折射率为2n 的厚透镜，设其前后两个曲面曲率半径分别为1r ， 2r ，厚度为d ，可列写起传输矩阵：

由《应用光学》稍加进一步推导可知：

其中H l ， 'H l 分别为物方主面和像方主面位置。即主面到透镜顶点的距离，符号按前述规则取。 详细推导见《应用光学》P54页，书中推导时令1n =1。

另外，厚透镜的像方焦距为：

()()()'''1212122122121f f n n r r f n n n r r n n d =-=∆--+-⎡⎤⎣⎦'1'2''111H H

l n d

f n T l f f ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦'12111H H l n d f n T l f

f ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦2121111h n d

f n T h f f ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

则：()2211221'111212121d n n n n n n f n r n r n n r r ⎡⎤---=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

将代人可得：

现实中大家都已习惯直接用焦距f 代替像方焦距'f ，故T 可简写为：

由此，可知出厚透镜的传输矩阵与其主面的位置有关。

对于双凸厚透镜，如图，0H l >，'0H l <，若令1h ，2h

分别为物方主面到透镜左顶点的距离和和像方主面到右

顶点的距离，则1H h l =，'2H h l =-，那么