机械振动5多自由度振动7矩阵迭代法

40.8621
m k
6.1897
1 2 5 1 7.1897
归一化： w3＝(0.4628 0.8609 1)T
2020年4月23日 10
《振动力学》
1 1 2
D＝
m k
1 1
2 2
4 5
w3＝(0.4628 0.8609 1)T
第四次迭代：
1 1 20.4628 3.3237
Dw3＝mk 1
2
1 0 0 x1 2 1 0 x1 0
m0 1 0x2 k 1
3
2
x2
0
0 0 2x3 0 2 2 x3 0
k m
试用矩阵迭代法计算基频和第一阶模态：
k
2k
m
2m
解：先求系统的柔度矩阵， 由定义求或求刚度矩阵的逆阵。
仅对m1施加F1=1,各坐标的位移：
a11 1/ k, a21 a31 1/ k,
40.8609
m k
6.1846
1 2 5 1 7.1846
归一化： w4＝(0.4626 0.8608 1)T
第五次迭代：Dw4＝mk
1 1
1 2
20.4626 3.3234
40.8608
Hale Waihona Puke Baidu
m k
6.1842
1 2 5 1 7.1842
归一化： w5＝(0.4626 0.8608 1)T w4 u(1)
Dk w
1k
C1u(1)
n j2 C j
j 1
k
u(
j)
由于 j /1 1
每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次。
2020年4月23日 4
《振动力学》
k次迭代后：
Dk w
1k
C1u(1)
n j2 C j
j 1
k
u( j)
由于： j /1 1
每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次。
§5.7 矩阵迭代法
求多自由度系统的固有频率和模态是振动分析的主要内容。 随着自由度的增加，计算系统的固有频率和模态难度增大。
采用近似解，是个好办法，特别是借助计算机，很有效。
下面介绍矩阵迭代法求系统的最低几阶固有频率和模态。
对于系统的任意阶固有频率和模态都有：
Mu(i) i Ku(i) 0
用K 1 A 左乘上式，得：
1 1 2
D＝
m k
1 1
2 2
4 5
w1＝(0.50 0.875 1)T
第二次迭代：
1 1 2 0.50 3.375
Dw1＝mk 1
2
40.875
m k
6.25
1 2 5 1 7.25
归一化： w2＝(0.4655 0.8621 1)T
第三次迭代：Dw2＝mk
1 1
1 2
20.4655 3.3276
仅对m2施加F2=1,各坐标的位移：
a12 1/ k, a22 a32 2 / k,
仅对m3施加F3=1,各坐标的位移：
202a01年3 4月12/3日k,
《振动力学》
a23 2 / k, a33 5 / 2k,
1 1 1
A＝1 k
1
2
2
1 2 2.5
8
1 0 0
1 1 1
M＝m0 0
w j,k 1 1w j,k
2020年4月23日 6
《振动力学》
k次矩阵迭代：
Dk w 1k C1u(1)
j
n 2
C
j
j 1
k
u(
j)
1kC1u(1)
第一阶模态
w1 Dw w2 Dw1 wk Dw k-1
wk 1kC1u(1)
wk 1 1 wk
w j,k 1 1w j,k
i 1 i2
( AM i AK )u(i) 0
Du (i) i u(i)
其中，D AM，称为动力矩阵，
一般来说D不是对称矩阵。
2020年4月23日 2
《振动力学》
任选系统的一个假设模态w ，它一般不是真实模态，但总能
表示为真实模态的线性组合：
n
w C1u(1) C2u(2) ＋Cnu(n) C ju( j) uC j 1
2020年4月23日 11
《振动力学》
1 1 2
D＝
m k
1 1
2 2
4 5
w4＝(0.4626 0.8608 1)T
1 1 20.4626 3.3234
Dw
＝m 4k
1
2
40.8608
m k
6.1842
1 2 5 1 7.1842
1
1
1
wj,k w j,k 1
第一阶固有频率
在具体计算过程中，前k次迭代均应进行归一化。
如使每个模态的最后元素成为1，使得各次迭代的模态之间具
有可比性，也避免计算过程中模态迭代的数值过大或过小。
在第k+1次迭代后，不需归一化，以算出基频。
2020年4月23日 7
《振动力学》
例5.7-1：三自由度系统
Du(
j
)
2020年4月23日 3
《振动力学》
w C1u(1) C2u(2) ＋Cnu(n)
D(Dw) D2w
1 C1Du(1)
n
Cj
j2
j 1
Du(
j
)
1 C11u(1)
n
Cj
j2
2j 1
u( j)
12 C1u(1)
n j2
C
j
j 1
2
u(
j
)
k次左乘D矩阵（相当于k次迭代）后：
迭代次数愈多，上式括号内第二项所包含的高于一阶的模态
成分所占比例愈小。
将Dkw作为一阶模态的k次近似，记作wk，则矩阵迭代法的
计算公式为：
w1 Dw
w2 D2 w Dw1
wk Dk w Dw k-1
2020年4月23日 5
《振动力学》
k次迭代：
Dk w
1k
C1u(1)
n j2 C j
其中u [u(1) u(2) u(n) ]为模态矩阵，C [C1 C2 Cn ]T
上式左乘D矩阵：
Dw
n
C j Du( j)
j 1
n
C jj u( j)
j 1
1 C1u(1)
n
Cj
j2
j 1
u(
j
)
上式再左乘一次D矩阵：
D(Dw) D2w
1 C1Du(1)
n
Cj
j2
j 1
1 0
0， 2
A＝1 k
1 1
2 2
2
2.5
k
k
2k
m
m
2m
系统的动力矩阵：
1 1 2
D＝AM
m k
1 1
2 2
4 5
假设模态为： w＝(1 1 1)T
第一次迭代：
1 1 21 4
Dw＝m k
1 1
2 2
41 51
m k
7 8
归一化： w1＝(0.50 0.875 1)T
2020年4月23日 9
《振动力学》
j 1
k
u( j)
w1 Dw w2 Dw1 wk Dw k-1
当迭代次数k足够大，除一阶模态以外的其余高阶模态成分 小于容许误差时，即可将其略去，得到：
Dk w 1kC1u(1)
于是k次迭代后的模态近似地等于第一阶真实模态。
对wk再作一次迭代，wk1 Dk1w Dw k 在wk和wk+1中任选第j个元素wj,k和wj,k+1 ，其比值关系如下：