复数的定义

第十四章 复数

一 、复数的概念

1. 虚数单位：i 规定：（1）21i =-；（2）虚数单位i ，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。

2. 复数:形如a bi +，,a R b R ∈∈的数叫做复数，a 叫实部，b 叫虚部。

3. 复数集：所有复数构成的集合，复数集{},,C x x a bi a R b R ==+∈∈.

4. 分类：0b =时为实数；0b ≠时为虚数，0,0a b =≠时为纯虚数，且R

C . 5. 两个复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)b d a b c d R =∈

例1 下面五个命题

①34i +比24i +大； ②复数32i -的实部为3，虚部为2i -； ③1Z ,2Z 为复数，120Z Z ->，那么12Z Z >；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数； ⑤两个复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)b d a b c d R =∈. 例2 已知：(1)(1),Z m m i m R =++-∈求Z 为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m 的值。

例3 已知2226()x y i y x i +-=+-，求实数,x y 的值。

二 、复数的几何意义：,,,Z a bi a R b R =+∈∈与点(,)a b 一一对应。

1.复平面：x 轴叫实轴；y 轴叫虚轴。x 轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。

2.Z a bi =+；连接点(,)a b 与原点，得到向量OZ ,点(,)Z a b ，向量OZ ，Z a bi =+之间一一对应。

3.模：2Z a bi OZ a =+==

注：Z 的几何意义：令(,)Z x yi x y R =+∈,则Z =Z 的点到原点的距离就是Z 的几何意义；12Z Z -的几何意义是复平面内表示复数1Z ，2Z 的两点之间的距离。

三、复数的四则运算：12,,,,,Z a bi Z c di a b c d R =+=+∈

1.加减法：12()()Z Z a c b d i +=+++；12()()Z Z a c b d i -=-+-

即实部与实部，虚部与虚部分别相加减

2.乘法：12()()()()Z Z a bi c di ac bd ad bc i •=++=-++

即：按多项式乘法展开，把2i 化为1-后，合并同类项。

3.除法：22

()()()()()()c di c di a bi ac bd ad bc i a bi a bi a bi a b ++-++-==++-+。 四、共轭复数：a bi +与a bi -互为共轭复数，Z 的共轭复数记作Z . 1.Z Z Z =⇔是实数； 2.2Z Z Z =

练 习

1.设(12)()i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）

A.-3

B.-2

C.2

D.3

2.若43,Z Z i Z

=+=则( ) A.1 B.-1 C.43

55i + D.4355i -

3.若复数Z 满足1Z i i

=-，其中i 为虚数单位，则Z =（ ） A.1i - B.1i + C.1i -- D.1i -+

4.设

11Z i i =++，则Z =（ ）

A.1

2 B.

25.设i 是虚数单位，复数321i i i

++=（ ） A.i - B.i C.-1 D.1

6.已知复数(2)(2)5Z i i --=，则Z =（ ）

A.23i +

B.23i -

C.32i +

D.32i -

7.在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

8.若复数Z 满足24iZ i =+，则在复平面内，Z 对应的点的坐标是（ ）

A.（2,4）

B.(2，-4)

C.(4，-2)

D.(4,2)

9.若复数Z 满足(34)43i Z i -=+，则Z 的虚部为（ ） A.-4 B.45- C.4 D.45

10.已知集合{}1,2,M Zi =，i 为虚数单位，{}{}3,4,4N M N =⋂=,则复数

Z =( )

A.2i -

B. 2i

C.4i -

D.4i

11.设,,a b R i ∈是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i

+为纯虚数”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

12.若复数

63ai i +-。（其中,a R i ∈为虚数单位）的屎部与虚部相等，则a =（ ）

A.3

B.6

C.4

D.12

13.若复数3(,12a i a R i i +∈+为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A.-6 B.-2 C.4 D.6

14.若复数Z 满足20152016(1Z i i i i

=++为虚数单位），则复数Z =（ ） A.1 B.2 C.i D.2i

15. 已知复数2320151i i i i Z i

+++⋅⋅⋅+=+，则复数Z 在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

16. 复数3412i Z i

+=-（其中i 是虚数单位），则复数Z 的共轭复数Z =( )

A. 12i --

B.12i -+

C.12i +

D.12i -