2014中考复习第17讲_三角形与全等三角形

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方法总结 已知两边，求第三边的范围时，求出较短的两条线 段的和与最长的线段相比， 若大于最长的线段则能组成 三角形 .
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考点二
三角形的内角和与外角
例 2 (2013· 衡阳)如图，∠1＝100° ，∠C＝70° ，则 ∠A 的大小是( )
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【点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质的综合 应用． 证明：∵ DE ∥ AB， ∴∠ CAB＝∠ EDA. 在 △ ABC 与△ DAE 中，
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∠ CAB＝∠ EDA， AB＝ DA， ∠B＝∠ DAE. ∴△ ABC≌△ DAE(ASA)． ∴ BC＝ AE.
解析：因为 ∠ ABD＝ ∠ CBE，根据等式的基本性 质可得 ∠ ABD＋ ∠ ABE＝ ∠ CBE＋ ∠ ABE，即 ∠ ABC ＝ ∠DBE.又 因为 AB＝ DB，所以用 “ASA” ， 需添加 ∠ BDE ＝ ∠ BAC ； 用 “SAS” ， 需 添 加 BE ＝ BC ； 用 “AAS” ， 需 添 加 ∠ ACB ＝ ∠ DEB. 故 答 案 为 ∠ BDE＝ ∠ BAC 或 BE＝ BC 或 ∠ ACB＝ ∠ DEB.
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考点四
全等三角形的判定
1．如果两个三角形的三条边分别对应相等 ，那么 这两个三角形全等，简记为 SSS. 2 ．如果两个三角形有两边及其 夹角 分别对应相 等，那么这两个三角形全等，简记为 SAS.
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3 ．如果两个三角形的两角及其 夹边 分别对应相 等，那么这两个三角形全等，简记为 ASA. 4．如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对 应相等，那么这两个三角形全等，简记为 AAS. 5．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对 应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为 HL.
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一、选择题(每小题 4 分，共 56 分) 1．(2013· 长沙)如果一个三角形的两边长分别是 2 和 4，则第三边长可能是( A．2 C．6 B．4 D．8 B )
解析：设第三边长为 x，则 4－2＜x＜4＋2，即 2＜x＜6.故选 B.
解析： ∵∠ B＝ 67° ， ∠ C＝ 33° ， ∠ B＋ ∠ C＋ ∠ BAC ＝ 180° ， ∴∠ BAC＝ 180° － ∠ B－ ∠ C＝ 180° － 67° － 33° 1 ＝ 80° .∵ AD 平分 ∠ BAC，∴∠ CAD＝ ∠ BAC＝ 40° .故 2 选 A.
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【点拨】由 AE＝ AD，且 ∠ A 是公共角，①添加 ∠ AEB ＝ ∠ ADC ， 用 “ASA” 证 明 ； ② 添 加 ∠CEB ＝ ∠ BDC，再由等角的补角相等得出 ∠AEB＝ ∠ ADC，用 “ASA”证明； ③添加 ∠B＝ ∠C，用 “AAS”证明； ④添 加 AB＝ AC，用 “SAS”证明； ⑤添加 BD＝ CE，再由等 式的性质得出 AB＝ AC，用 “SAS”证明． 【答案】 ∠ AEB＝∠ ADC( 或∠ CEB＝∠ BDC 或 ∠ B＝∠ C 或 AB＝ AC 或 BD＝ CE)
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5． 已知， 如图， 点 E， A， C 在同一直线上， AB∥ CD， AB＝ CE， AC＝ CD.求证： BC＝ ED .
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证明：∵ AB∥ CD，∴∠ BAC＝∠ ECD.又∵ AB＝ CE， AC＝ CD，∴△ BAC≌ ECD(SAS)．∴ BC＝ ED.
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2． 已知△ ABC 中， ∠ B 是∠ A 的 2 倍， ∠ C 比∠ A 大 20° ，则∠ A 等于( A． 40° C． 80° A )
B． 60° D． 90°
解析：由题意得， ∠ B＝ 2∠ A， ∠ C＝ ∠ A＋ 20° ，
所以 ∠A＋ ∠ B＋ ∠ C＝ ∠ A＋ 2∠ A＋ ∠ A＋ 20° ＝ 180° ， 解得 ∠A＝ 40° ，故选 A.
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【点拨】过点 P 作 PF⊥ BC 于点 F，因为 BD 平分 ∠ ABC， PE⊥ BA， PE＝ 4 cm，所以 PF＝ PE＝ 4 cm. 【答案】 4 方法总结 题目中若有角平分线这一条件，常考虑添加垂线 段，利用角的平分线的性质证明线段相等或计算长度 .
F
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(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一 点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点 的距离相等． (5)中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于 第三边的一半．
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温馨提示 三角形的边、角之间的关系是三角形重要的性质， 在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用 到 .学习时应结合图形，做到熟练、准确地应用 . 三角形的角平分线、高线、中线、中位线均为线 段。
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考点一
三角形的三边关系
例 1 (2013· 宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的 长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 ( ) A．1,2,6 C．1,2,3 B．2,2,4 D．2,3,4
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考点五 全等三角形的开放性问题 例 5 (2013· 郴州 )如图，点 D， E 分别在线段 AB， AC 上 ， AE ＝ AD ， 不 添 加 新 的 线 段 和 字 母 ， 要 使 △ ABE≌△ ACD， 需添加的一个条件是_______(只写一 个条件即可 )．
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第17讲
三角形与全等三角形
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考点一
三角形的分类
按边分：
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形
不等边三角形三边互不相等
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按角分：
三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形
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温馨提示 1.判定三角形全等必须有一组对应边相等； 2.判定三角形全等时不能错用 “ SSA”“ AAA” 来判定 .
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考点五
角的平分线的性质
1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 2． 角的内部到角的两边的距离相等 的点在角的平 分线上．
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方法总结 根据题目给出的条件和图形中隐含的条件， 考虑能 用哪种方法证明，再看缺少的条件，添加即可.
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1．已知三角形的三边长分别为 2，x,13，若 x 为 正整数，则这样的三角形的个数为 ( A． 2 C． 5 B． 3 D． 13 B )
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考点三
全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边 、对应角 分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、 高线、 中线、 中位线 )相等、周长相等、面积相等．
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直角三角形
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考点二
三角形的性质
1．三角形的内角和是 180° ，三角形的外角等于与它 不相邻的两个内角的和， 三角形的外角大于任何一个和 它不相邻的内角． 2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边． 3．如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大 小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳 定性．
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方法总结 在三角形中，求角的度数，可以利用外角的性质将 它转化为三角形的内角，然后根据内角和求解.
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考点三 全等三角形的性质与判定 例 3 (2013· 北京 )如图，已知点 D 是 AC 上一点， AB＝ DA， DE∥ AB，∠ B＝∠ DAE. 求证： BC＝ AE.
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考点四 角平分线的性质的应用 例 4 (2013· 长沙 )如图， BD 是∠ ABC 的平分线， P 是 BD 上的一点，PE⊥ BA 于点 E， PE＝ 4 cm，则点 P 到边 BC 的距离为 _____cm.
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【点拨】A 中，∵1＋ 2＜ 6，∴不能组成三角形；B
中， 2＋ 2＝ 4， ∴不能组成三角形； C 中， ∵1＋ 2＝ 3， ∴不能组成三角形； D 中， ∵2＋ 3＞ 4， ∴能组成三角 形．故选 D. 【答案】 D
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6．已知：如图，AB＝ AE，∠ 1＝∠ 2，∠ B＝∠ E. 求证： BC＝ ED.
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证 明 ： ∵∠1 ＝ ∠2 ， ∴∠ 1 ＋ ∠ BAD ＝ ∠2 ＋ ∠ BAD， 即∠ BAC＝∠ EAD.又∵ AB＝ AE， ∠ B＝∠ E， ∴△ BAC≌△ EAD(ASA)． ∴ BC＝ ED.
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3．如图，在△ ABC 中，∠ B＝ 67° ，∠ C＝ 33° ， AD 是△ ABC 的角平分线， 则∠ CAD 的度数为( A． 40° C． 50° B． 45° D． 55° A )
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4．如图所示， AB＝ DB，∠ ABD＝∠ CBE，请你 添加一个适当的条件 ∠ BDE＝ ∠ BAC(或 BE＝ BC 或 ∠ ACB＝ ∠ DEB) 即可)． ， 使△ ABC≌△ DBE(只需添加一个
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A．10°
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B．20°
C．30°
D．80°
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【点拨】∵∠1 是 △ ABC 的外角， ∴∠1＝ ∠ A＋ ∠ C.又 ∵∠1＝ 100° ， ∠C＝ 70° ， ∴∠ A＝ 100° － 70° ＝ 30° .故选 C. 【答案】 C
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2．(2013· 泉州)在△ABC 中，∠A＝20° ，∠B＝60° ， 则△ABC 的形状是( D A．等边三角形 C．直角三角形 ) B．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：∵∠A＝20° ，∠B＝60° ，∴∠C＝180° －20° －60° ＝100° .∴这个三角形是钝角三角形．故选 D.
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3．(2013· 湘西州)如图，一副分别含有 30° 和 45° 角 的两个直角三角板，拼在一起，其中∠C＝90° ，∠B＝ 45° ， ∠E＝30° ，则∠BFD 的度数是( A A．15° C．30° B．25° D．10° )
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4．三角形中的重要直线或线段 (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点， 这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等． (2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做 三角形的垂心． (3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做 三角形的重心．