电动力学第一章

第一章

一、选择题

1、位移电流实质上是电场的变化率，它是（D ）首先引入的。

A). 赫兹 B). 牛顿 C). 爱因斯坦 D). 麦克斯韦

3、两个闭合恒定电流圈之间的相互作用力，两个电流元之间的相互作用力，上述两个

相互作用力，哪个满足牛顿第三定律（ C ）。 A). 都满足 B). 都不满足 C). 前者满足 D). 后者满足

二、填空题

1. 麦克斯韦 在理论上预言了电磁波的存在，并指出光波就是一种电磁波。

2.电荷守恒定律的微分形式为 J 0t

ρ

∂∇⋅+

=∂ 3、均匀线性介质中电磁场的能量密度w 的表达式为 1

()2

w E D H B =⋅+⋅。

4、电磁波（电矢量和磁矢量分别为E 和H

）在真空中传播，空间某点处的能流密度=S =S

E H ⨯

5、线性介质的电磁能量密度w ＝___________，能流密度S ＝____ _______。

答：w ＝1

()2

E D H B ⋅+⋅或2211()2E B +εμ; S ＝E H ⨯或1E B μ⨯

6、电场、磁场的切向分量的边值关系分别为：______________________________．

答：21ˆ()0n e E E ⨯-=或21t t E E =；21

ˆ()n e H H ⨯-=α或21t t H H -=α

三、判断题

1.稳恒电流场中，电流线是闭合的。 （ ）√

2.电介质中E D

ε=的关系是普遍成立的。 （ ）×

3.跨过介质分界面两侧，电场强度E

的切向分量一定连续。 （ ）√

4.电磁场的能流密度S 在数值上等于单位时间流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。（ ）√

5.电流元1、2分别属于两个闭合稳恒电流圈，则电流元1、2之间的相互作用力服从牛顿第三定律。 （ ）

⨯

四、简答题

1.写出一般形式的电磁场量D 、E 、B 、H 的边值关系。

答： 2102102121212121ˆ() ˆ()0

ˆ()0 ˆ() n n n n t t f n D D D D n B B B B n E E E E n H H σσα⎧⋅-=-=⎪⎪⋅-==⎪⎨⨯-==⎪⎪⨯-=⎪⎩或或或

2、介质中麦克斯韦方程组的微分形式 答：B D E ; H J ; D ; B 0;t t

ρ∂∂∇⨯=-

∇⨯=+∇⋅=∇⋅=∂∂ 3、写出洛仑兹力密度表达式。

答： S

f E J B E v B T t c ρρρ∂=+⨯=⋅+⨯=-∇⋅-

∂2

或

五、证明题

1. 由场和电荷系统的能量守恒定律、麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式证明：

（1） 电磁场的能量密为

w D B E H t t t

∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂ （2） 能流密度为S E H =⨯

1证明：场和电荷系统的能量守恒定律为 w

S f v t

∂∇⋅+

=-⋅∂ （1） 由洛仑兹力密度公式 f v (E v B )v v E J E ρρρ⋅=+⨯⋅=⋅=⋅ 将上式代入（1）式得 w

S J E t

∂∇⋅+

=-⋅∂ （2） D

J H t

∂=∇⨯-

∂ (D

J E E H E t

∂∴⋅=⋅∇⨯-⋅

∂） （3） E (H =(E H H (E (E H t

∂⋅∇⨯-∇⋅⨯⋅∇⨯-∇⋅⨯⋅

∂B ））+）=）-H

将上式代入（3）式得 (D B

J E E H E H t t

∂∂⋅=-∇⋅⨯⋅-⋅∂∂）- （4）） 比较（2）、（4）式，可得 电磁场的能量密为

w D B

E H t t t

∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂ 能流密度为 S E H =⨯

2、用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂

直于导体表面。（提示：考虑D 、E 的边值关系）

2证明：介质2与导体1的边值关系(静电情况) 0ˆˆ0n

D n

E σ⎧⋅=⎪⎨⨯=⎪⎩ （1）式

其中n 为界面法线单位矢量，D 、E 为介质2中的场量，导体内静电平衡时场量D 、E 为0。

根据线性介质性质=D E ε，（1）式化为 00ˆ00ˆ0

n t E n

D E n E εσσ⎧=≠⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=⨯=⎪⎩⎩，导体外的电场只有法

线方向分量，即总是垂直于导体表面。

3、用边值关系证明：在线性绝缘介质与导体的分界面上，在恒定电流情况下，导体内表面的电场线总是平行于导体表面。

3证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体

稳恒电流时绝缘介质与导体的边值关系为：2121()0

()0

n n e J J e E E ⎧⋅-=⎪⎨⨯-=⎪⎩

绝缘介质中电流为零，因此 22210

n n t t J J E E ==⎧⎨=⎩

从而有 22210

0n n t

t E E E E ==⎧⎨=≠⎩ 即电场只有平行于界面的分量

4、证明当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足：1

212εε

θθ=tg tg ，其中1

ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。（提示：考虑D 、E 的边值关系）

4证明：考虑分界面上不带自由电荷，由理想介质边值关系

() 212122112221112121221121ˆ()0(1)cos cos (1)(2)sin sin (2)ˆ0

n n n n t t t t n

D D D D

E E E E or E E E E E E n E E ⎧⋅-====⎧⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨

⎨===⨯-=⎩⎩⎩⎪⎩εεεθεθθθ 2

1

22

2

1

11

(2)/(1)tg tg tg tg ⇒

=

⇒

=θθθεεεθε

5、当两种导电媒质内流有稳恒电流时，分界面上电场线曲折满足22

11

tg tg θσ=θσ，其中σ1和σ2分别为两种媒质的电导率。（提示：考虑J 、E 的边值关系） 5证明：稳恒电流时导体之间的边值关系

(2) 22112122211121211121(1)()0cos cos (1)sin sin (2)()0n n J E

t t E E n J J E E or E E E E n E E =⎧=⋅-==⎧⎧⎪−−−→⎨⎨⎨

==⨯-=⎪⎩⎩⎩σσσσθσθθθ 212122

22112111

(2)/(1)t t n n E E tg tg tg E E tg θθθσ⇒

=⇒=⇒=σσσσθσ

6、证明2

1

4()x r

πδ∇

=-，其中||r x =。 6证明：（1）当r ≠ 0时，2311111()()()()x y z x y z r r r r e e e e e e r x r y r z r r x y z r

∂∂∂-∂∂∂∇

=++=++=-∂∂∂∂∂∂ 而323343*********

()()30r r r r r r r r r r r r r r r r r r

--∇⋅

=∇⋅=∇⋅+∇⋅=∇⋅+∇⋅=⋅+⨯=， 因此 2

11

0,0r r r

∇

=∇⋅∇=≠ （2）当r 0=时，取一小球面S 包围着原点，取对小球体积V 积分，即

223211114V V S S S

r d d ds ds r d r r r r r ττπ∇=∇⋅∇=∇⋅=-⋅=-Ω=-⎰⎰⎰⎰⎰