射影变换基础

仿射坐标系：0点，单位点E点，方 向
OA OA x ,y OEx OE y
Ix
• 射影变换保持交比不变，射影坐标系定义如下，直 线L上的一维射影坐标系由原点O，单位点E与无穷 远点I定义任意一点A的坐标由交比x=R(A,E,O,I)定 义。由交比定义得，E,O,I点的坐标分别为1,0, 。 • 二维平面上的射影坐标系由不共线的四点定义，即 O(原点),E(单位点),Ix(x轴上的无穷远点)与Iy(y轴上 的无穷远点)定义，平面上任意一点A的射影坐标由 两个交比定义，
1 T
1
1 1 1
1
k2 1 1 A2 B2 k . A2 B2 k1
k2 (k is a scalar) k1
MA B M so
1 1 1
1 1 1
1
k . A B2 ,
1 2
1 2
A B and A B2 are similar matrices
根据相似矩阵的性质，这两个矩阵具有相同 的特征值。再假定B1也为可逆矩阵，则相 应的特征值不为0，因此根据特征值两两相 除(消去标量k),则得到两个不变量。可见同 一平面两个非退化二次曲线有两个绝对不 变量，当存在退化情况时，有一个特征值 为0，因此只有一个不变量。
Def 3.5 非齐次坐标：在n维射影空 间中，若某点的非齐次坐标
x ( x1 , x2 ,....xn ), then x ( x1 , x2 ,..xn , X n 1 ) if xi xi / X n 1
且称x为齐次坐标
一维射影中 二维射影中
E (1,1), O (0,1), I (1,0)
来表示，如果d原来为有穷小数，改为等价的无穷循环小数（如0.4改为0.39999…），这样，（0,1） 间的每一个数都有一个且仅有一个实数与它对应；现令 x = 0.a1 a3 a5 a7…, y = 0.a2 a4 a6 a8… 也就是说，用d的奇数位小数作为x的小数，d的偶数位小数作为y小数，那么，对任意一个直线点d， 就有一个对应的平面点P（x,y）。且反之，有一个平面点P（x,y），其中 x = 0.a1 a2 a3 a4…, y = 0.b1 b2 b3 b4… 那么也有唯一的直线点 d = 0.a1 b1 a2 b2 a 3.b3… 与它对应。因此，单位平面点P（x,y）就和单位直线点d建立了1-1对应。这样就证明了(2)。
y M .x t
空间点的非齐次坐标有如上公式的变 换称为仿射变换，其中M为n维满秩矩 阵，x,y,t为n维向量，当M为单位正交 矩阵时，即是所谓的旋转平移变换。
不变量
• Th. 3. 5 射影变换保持直线，直线与点的接 合性以及直线上点列的交比不变.仿射变换 除具有以上不变性外，还保持直线与直线 的平行性、直线上点列的简比不变.欧氏变 换除具有仿射变换的不变性外，还保持两条 相交直线的夹角不变，任意两点的距离不 变
AC AD R( A, B, C, D) : BC BD
• Th3.1 射影变换保持点列的交比不变。
仿射变换
• 仿射变换是射影变换的特殊情况，当定义中心射影 的线束为互相平行的直线时，变换称为仿射变换， 由于线束中的直线互相平行，显然，仿射变换保持 AC AC 简比( BC B C position ratio)不变。
• 定义3. 8 一组几何元素由k个参数组成的向 量P1表示，若T为某一变换，T∈G,G为某 一变换群，这组几何元素经T变换后，其参 数组成的向量由P1变为P2(P1与P2均为k维 向量)，则函数I(P)称为在变换群G下的绝对 不变量，假如I(P1)=I (TP1)=I(P2)
consider a transform of two conics
1 T
1
1 T
1
if A1 is invertable matrix , A1 M MA I , then k2 .B2 ( M ) B1 M k1 A2 .MA B M , so MA B M
1 1 1 1 1 1 1 1 1 T 1
( M ) A1 M .MA B M
第三讲 射影几何与几何元素表达
在计算机视觉中需要一些几何方面的知识，包 括欧几里德几何(或欧氏几何)，仿射几何，射 影几何与微分几何.
基本概念
• 映射（1-1对应关系，重要。射影几何关注 的是点、线、面等几何元素组成的集合之 间的对应，有时也考察其他对应，包括几 何元素与数的对应、几何元素与字母的对 应） • 思考题：自然数集合： N = {1, 2, 3, 4, 5,…} 与自然数对(i,j)，i,j=1,2,3,... 的集合：N2 = {(1,1),(1,2),(1,3),…,(2,1),(2,2),(2,3),…,(3,1) ,(3,2),(3,3),…} 为1-1对应的集合。（求解， 对角线次序法）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m11 x m12 y m21 x m22
射影变换中，非齐次坐标的变换关系是非 线性的一般地，n维射影变换的矩阵等式中 包含了n+1个方程，消去 后，得到变换前 后非齐次坐标的n个方程。

• 射影变换由M矩阵决定，而M矩阵有
(n 1)
2
个参数，但M与kM表示同一变换(因等式两边 (n 1)2 1 都是齐次坐标)，故M的独立参数为
m12 m22 0
m13 x1 m23 x2 m33 x3
y1 m11 x1 m12 x2 m13 x3 y2 m21 x1 m22 x2 m23 x3 y3 m33 x3
then y1 m '11 x1 m '12 x2 m '13 x3 y2 m '21 x1 m '22 x2 m '23 x3 and m 'ij mij / m33 , i 1, 2, j 1 ~ 3
• 点列、线束和面束都是射影几何研究的基 本结构。常称它们为基本形（fundamental forms）。它们互相之间能建立1-1对应的事 实，常用它们为同阶（same order）的这 一术语来表达，并说它们都是一阶（first order）的。
仿射变换与射影变换的几何表达 一维射影变换
Define 3.1
E (1,1,1), O (0,0,1), I x (1,0,0), I y (0,1,0)
• 定义3.6 n维射影空间的点变换若满足
y Mx
• 则称变换为射影变换，其中，为标量,x与y 分别为变换前后空间点的齐次坐标,M为满 秩的(n+1) X (n+1)矩阵.
one dim y1 m11 y2 m21 m12 x1 .x m22 2
x 0
一般地，n维仿射变换其矩阵形式 （特征）
mn 1,i 0, i 1, 2,...n
二维
m11 m 21 0
m12 m22 0
m13 m23 m33
y1 m11 y2 m21 y3 0 so
无穷直线上的点的集合与无穷平面上点的集合可以 建立1-1对应
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我们需要用以下三步来证明整个结论： （１）无穷直线与单位直线（0,1）中点可以建立1-1对应； （２）单位直线（0,1）与单位平面（0,1）×（0,1）中点可以建立1-1对应； （３）单位平面（0,1）×（0,1）与无穷平面的点可以建立1-1对应。 然后，根据1-1对应关系的传递性，就证明了无穷直线上的点与无穷平面上点也可以建立1-1对应。 其中（1）是明显的，我们只证（2）和（3）。先证（2）。 因(0,1)中点是小于１的数d，可以用一个无穷小数d=0.a1a2a3a4a5a6a7a8…
• 定理3. 4 保持点列的交比不变是射影变换的 充分必要条件
仿射变换的代数表达
• 一维 仿射变换是射影 变换的特例，在射影 2 几何中已证明，如果 y1 m11 m12 x1 射影变换使无穷远点 . 0 , so 仍变换为无穷远点， 0 m21 m22 m21 0 则变换为仿射变换， 在上述一维变换中， 若x为无穷远点，则
1 : X T A1 X 0, X T B1 X 0 Y MX
( M is sysmetric matrix, x is homegenious coordinates)
2 : Y T ( M 1 )T A1 M 1Y 0, Y T (M 1 )T B1M 1Y 0
• 由有限次中心射影的积定义的两条直线间 的一一对应变换称为一维射影变换.
二维（高维）射影变换
Def3.2 由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对 应变换称为二维射影变换.
交比不变量
• Def 3.3 (交比）若A,B,C,D为直线L上任意四 点，则下式定义的R称为交比(cross ratio)
sin(l1 , l3 ) sin(l1 , l4 ) R(l1 , l2 , l3 , l4 ) : sin(l2 , l3 ) sin(l2 , l4 )
且容易证明
R(l1 , l2 , l3 , l4 ) R( A, B, C, D)
• Th3.2 射影变换保持线束的交比不变.
代数方法处理几何问题，欧氏坐标 系 定义了0点及单位长度、正交
•
再来证(3)。将单位平面的垂 直边v(0,1)与全平面x轴(-∞,+∞)对 应，水平边u(0,1)与全平面y轴(∞,+∞)对应。这样单位平面内的 点 (u,v)就可与整个平面中的点 (x,y)建立对应。单位平面垂直边 与x轴的对应如下图所示。将单 位平面的垂直边作纵轴v，S是纵 轴顶部左边任取的点，S ‘是纵 轴底部右边任取的点。
so let A 2 k1 ( M 1 )T A1 M 1 , B2 k2 .( M 1 )T B1 M 1
• 可以看出，射影变换保持二次曲线.设若A1 是可逆矩阵，即曲线1为非退化二次曲线
k1A 2 ( M ) A1 M , k2 B2 ( M ) B1 M
1 1 1
由对应点求射影变换
• 由前可知，射影变换由M矩阵唯一确定，而由于 M与kM表示同一变换，因此，独立参数为 (n 1) 2 1, and yi M .xi ( xi and yi are known ,and they are n+1 dimensions,for eliminating the scalar , the projection transform can decide n equations about the M matrix elements) so m points can decide the elements of matirx M), if
• Th3.3 一维射影变换保持直线上点列的交比 不变，即
x1 x3 x1 x4 y1 y3 y1 y4 R( A, B, C , D) : R( A ', B ', C ', D ') : x2 x3 x2 x4 y2 y3 y2 y4
对比定理3.3与交比的定义，发现定理3.3表 述更一般和准确，事实上，交比中的每一 项应的是两点间非齐次射影坐标的差，只 有当直线上的坐标系为欧氏坐标系时，才 等于两点间的距离
' ' ' '
线束的射影变换
• 平面上两个线束的射影变换及线束的交比。 如下图所示，平面上有两个线束O,O’，若 它们所有对应线的交点共线，则称这两个 线束的对应为中心射影。类似点列的射影 变换，有限次中心射影的积称为线束间的 射影变换。
Def 3.4 （线束的交比） 线束O中任意 四条直线的交比 R(l1 , l2 , l3 , l4 )