射影变换基础

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空间几何的射影变换

空间几何的射影变换

空间几何的射影变换在日常生活中,我们经常面对空间的变换,如照相机拍摄的照片、镜子中的影像等。

这些现象都与几何变换密切相关,其中,射影变换是其中一个重要的变换类型。

在本文中,我们将讨论空间几何的射影变换及其应用。

一、射影变换的基本概念射影几何是解决欧几里德几何中所无法解决的问题的一种方法,它不要求平行线有相交点,也不要求垂直线相交成直角。

在射影几何中,平行线也可能相交,万物是相互联系的,没有孤立的存在。

被称为射影变换的变换是由一组变换组成的,这些变换可以通过投影、切比雪夫变换和对合来定义。

它们可以将几何图形中的点、直线和平面进行映射,并保持它们的基本性质。

射影变换也被称为单个射影坐标系到另一个射影坐标系的变换。

二、射影变换的应用射影变换在计算机视觉、计算机图形学、航空航天技术和游戏开发等领域中经常被使用。

它是许多计算机视觉算法的重要组成部分,如物体检测、目标跟踪和姿态估计等。

在游戏开发中,射影变换用于创建虚拟世界中的相机视图,使玩家可以观察到游戏场景中的不同角度和位置。

另一个重要的应用是医学成像,如CT和MRI。

这些成像技术可以创建三维图像,从而更好地诊断疾病和故障。

射影变换在这些成像技术中扮演着重要的角色,因为它可以将成像平面与三维物体之间建立对应关系,从而实现准确的成像。

三、空间几何的射影变换实现在实现空间几何的射影变换时,需要使用矩阵变换来表示变换矩阵。

通常使用4×4的矩阵表示射影变换,其中前三行表示旋转和缩放,第四行表示平移和尺度变化。

假设有一个点(x,y,z,1)在进行变换时,只需将其分别乘以变换矩阵的每一行即可得到变换后的坐标。

在实际应用中,常用的射影变换包括投影变换、剪裁变换、变换到相机坐标系等。

投影变换用于将三维场景投影到一个二维平面上,常用于计算机图形学和计算机视觉中。

剪裁变换用于筛选出场景中实际可见的区域,同时去掉不必要的区域。

变换到相机坐标系用于将物体的坐标与相机的坐标建立对应关系,从而计算其在视角下的表现形式。

第二章 射影变换-第四节 一维射影变换课件ppt课件

第二章 射影变换-第四节 一维射影变换课件ppt课件
§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义 一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换. [π'], 且[π]=[π']. 则φ称为一维基本形[π]上的 即若φ: [π] 一个射影变换. 注:为方便理解, 常把一个 一维基本型看作两个“重叠” 的一维基本形. 据Steiner作图法, 一个一维 射影变换可由3次透视对应得 到.
a11 a12 0,
a21 a22
0
(2.10)
其中对应点的坐标是关于一维基本形[π]上的同一坐标系取得的.
(ad bc 0)
§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示 定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素 的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a 'b c 'd 0 (ad bc 0) (2.13) 证 “=>”. 见教材, 略. “<=”. 设一维基本形(P)上的一个变换φ使得任一对对应元素的 参数λ,λ' 满足双线性方程(2.13). 显然φ是一个双射,只要证φ保交比. 设λi ,λi' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数. 则 b1 d b3 d (ad bc)(1 3 ) 1 '3 ' . a1 c a3 c (a1 c)(a3 c) 同法可以求出λ2'–λ4', λ2'–λ3', λ1'–λ4', 得到 (1 '3 ' )(2 '4 ' ) (1 3 )(2 4 ) . (2 '3 ' )(1 '4 ' ) (2 3 )(1 4 )

图像的等距变换,相似变换,仿射变换,射影变换及其matlab实现

图像的等距变换,相似变换,仿射变换,射影变换及其matlab实现

图像的等距变换,相似变换,仿射变换,射影变换及其matlab实现第二次写CSDN文档,上一篇的排版实在太烂了,于是决定认真学习一下markdown的语法。

好了,废话不多说,今天,我们学习一下图像(2维平面)到图像(2维平面)的四种变换,等距变换,相似变换,仿射变换,投影变换首先介绍它的原理,最后介绍matlab的实现1.数学基础射影变换矩阵H属于射影群PL(n)中的一个,仿射群是由PL(3)中最后一行为(0,0,1)的矩阵组成的子群,包括仿射群,欧式群,其中欧式群是仿射群的子群,其左上角的矩阵是正交的,当它的行列式为1是称为定向欧式群,距离是欧式群的不变量,但不是相似群的不变量,而夹角是这两个群的不变量。

听了这么多群,不变量的数学概念,可能有点晕,下面我用最直观的语言解释。

线性空间中的线性变换可以用矩阵来描述,因此我们用矩阵来刻画这四种变换。

我们以数学系的经典代数入门教材北大版的《高等代数》为例,研究这些变换是如何进行的2. 等距变换等距变换(isometric transform),保持欧式距离不变,当图像中的点用齐次坐标表示时,变换矩阵如下所示:???x′y′1???=???εcos(θ)εsin(θ)0?εsin(θ)?εcos(θ)0txty1??? ???xy1???当ε=1是保向的,ε=?1是逆向的,等距变换可以更简单的写成x′=HEx=(R0t1)x其中R是旋转矩阵。

t是平移矢量,有3个自由度(1旋转角θ+两个平移tx,ty),需要2组点4个方程求解,等距变换的不变量是:长度,角度,面积。

用matlab实现等距变换如下:clear;close all;clcI=imread('book1.jpg');figure,imshow(I);[w,h]=size(I);theta=pi/4;t=[100,100];s=0.5;% test Eucludian transformH_e=projective2d([cos(theta) -sin(theta) t(1);sin(theta) cos(theta) t(2);0 0 1]');newimg=imwarp(I,H_e);figure,imshow(newimg); 12345678910111213141234567891011121314可以看出,等距变换就是对图像的旋转+平移3. 相似变换相似变换(similarity transform):等距变换+均匀缩放,当图像中的点用齐次坐标表示时,变换矩阵如下所示:???x′y′1???=???scos(θ)ssin(θ)0?ssin(θ)?scos(θ)0txty1?? ????xy1???当s=1是保向的,s=?1是逆向的,相似变换可以更简单的写成x′=HSx=(sR0t1)x其中R是旋转矩阵。

高等几何讲义(第3章)

高等几何讲义(第3章)

a12 a22
12,det(aij)

0.
反之,也可证明(3.1)必为射影对应.
在 (3.1) 中令 1/2,/ /1//2,a a21,b
a11,c a22,d a12,则可得
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
δ/ d/
§1 一维射影变换
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
例4 已知两射影点列的三对对应点
{a, b, c} /{a/, b/, c/}, 求作 上任意点 d 在 /上的对应点.
作法见下图:
a
bc

a/
b/
c/
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
的线性变换:
T:
//12 aa1211
a12 a22
12,det(aij)

0.
(3.1)
证明:不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列.
在 I 上取定三点 u、v、t,使其在 II 上的对应点依
次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点.
21.
解法三:(交比法) 设 上任意点 x( )对应于 / 上
的点 x/(/ ),则
(0,1; 2, ) (1,0; 2, / ),即
(02)(1)/(0)(12) (12)(0/)/(1 /)(02),
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0.
由以上三式联立求解,得
a: b: c: d 3 : 4 : 4: 4,
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0.

射影几何几何运算

射影几何几何运算
数字图像处理
几何运算
1.引言
几何运算与点运算不同,它可改变图象中物体(像素)之间的空间关系。这种运算可以看成将各像素 在图像内移动的过程。 几何变换是图像处理和图像分析的重要内容,按照变换性质可以分为位置变换、形状变换以及复合变 换。图像几何变换是指用数学建模的方法来描述图像位置、大小、形状等变化的方法。 几何变换常用于摄像机的几何校正过程,这对于利用图象进行几何测量的工作是十分重要的。在实际
3.几何变换基础
2.欧式几何是几何学的一门分科。又称欧几里德几何。公元前3世纪,古希腊数学家欧 几里德(英文Euclid,希腊文Ε'νκλειδη)把人们公认的一些几何知识作为定义和公理, 在此基础上研究图形的性质,推导出一系列定理,组成演绎体系,写出《几何原本》, 形成了欧氏几何。在其公理体系中,最重要的是平行公理,由于对这一公理的不同认 识,导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中,分别称为“平面几何” 与“立体几何”。欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。欧式 几何有时就指平面上的几何,即平面几何。三维空间的欧式几何通常叫做立体几何。 数学上,欧式几何是平面和三维空间中常见的几何,基于点线面假设。数学家也用这 一术语表示具有相似性质的高维几何。
称为旋转变换矩阵(因子),θ 为旋转角度。
cos sin 0 sin cos 0 0 1 0
ห้องสมุดไป่ตู้
图像旋转变换程序
void RotIamge(const Mat &srcImage, Mat &dstImage, double angle) { //弧度 double sita = angle * CV_PI / 180; double a = (srcImage.cols - 1) / 2.0; double b = (srcImage.rows - 1) / 2.0; int srcRow = srcImage.rows; int srcCol = srcImage.cols; double x1 = -a * cos(sita) - b * sin(sita); double y1 = -a * sin(sita) + b * cos(sita); double x2 = a * cos(sita) - b * sin(sita); double y2 = a * sin(sita) + b * cos(sita); double x3 = a * cos(sita) + b * sin(sita); double y3 = a * sin(sita) - b * cos(sita); double x4 = -a * cos(sita) + b * sin(sita); double y4 = -a * sin(sita) - b * cos(sita); int w1 = cvRound(max(abs(x1 - x3), abs(x4 - x2))); int h1 = cvRound(max(abs(y1 - y3), abs(y4 - y2))); dstImage.create(h1, w1, srcImage.type()); ...... }

高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换

高等几何讲义 第三章  射影变换____§1   一维射影变换

高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 例1 设 abcd 为平行四边形,过顶点 a 作直线
ae 与对角线 bd 平行.证明:直线 ab、ad
与直线 ac、ae 成调和共轭.
证明:因 ae 与 bd 平行,故 a
设二者交点为无穷远点 p.
o
p e
d
记(ac)(bd) o.则
的线性变换:
T:
//12 aa1211
a12 a22
12,det(aij)
0.
(3.1)
证明:不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列.
在 I 上取定三点 u、v、t,使其在 II 上的对应点依
Hale Waihona Puke 次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点.
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 同类一维基本形间的透视:
若两个点列是同一线束的 若两个线束是同一点列的
截影,则称这两个点列是 投影,则称这两个线束是
透视的.
透视的.
线束的心称为透视中心. 点列的底称为透视轴.
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/,则 (u/v/; t/x/) (uv; tx).
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2),则得
11 0 0 11

射影变换

射影变换

射影变换4.1 点列和线束点列和线束定义.两个矢量),,(321a a a 和),,(321b b b 表示不同的点当且仅当这两个矢量线性无关. 在两点A ),,(321a a a 与B ),,(321b b b 的连线上任意一点),,(321x x x X 满足0321321321=b b b a a a x x x即,三点A ),,(321a a a ,B ),,(321b b b 与),,(321x x x X 共线的充分必要条件是0321321321=b b b a a a x x x以B A ,为基点的点列中,任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=,用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=;以m l ,为基线的线束中,任何一直线p 都可以表示为m l p μλ+=,用齐次坐标可以表示为m l m l p λλμ'+=+=.练习4-11.已知A 和B 的齐次坐标分别为)1,1,5(和)1,0,1(-,求直线AB 上一点C ,使1)(-=ABC ,若B A C λ+=,求出λ.解利用非齐次坐标),(y x 与齐次坐标),,(321x x x 之间的关系31x x x =,32x xy =.这时,)1,5(),(=y x A ,)0,1(),(-=y x B ,再利用BC AC ABC =)(.115-=+-x x ,解得2=x,101-=--y y ,解得21=y .即)21,2(=C ,C 点的齐次坐标为)1,21,2(. 因为B A C 2121+=,所以 1=λ. 注意:以B A ,为基点的点列中,任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=,用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=. 2.试证明:三点),,(321x x x ,),,(321y y y ,),,(321z z z 共线的充分必要条件为0321321321=z z z y y y x x x 证明三点),,(321x x x ,),,(321y y y ,),,(321z z z 共线的充分必要条件为λ=--=--=--333322221111y z x z y z x z y z x z所以0332211321332211321321321=-------=y z y z y z y y y x z x z x z z z z y y y x x x4.已知直线0143=++y x 与02=+y x ,求过两直线的交点与点)0,1,2(的直线方程.解两直线0143=++y x 与02=+y x 的交点为)5,1,3(112143321--=x x x 于是点)5,1,3(--与点)0,1,2(的直线方程为05105012513321321=+-=--x x x x x x即05105321=+-x x x .4.2 点列和线束的交比定义4.2设D C B A ,,,为点列上共线的四点,则这四点的交比为ADBC BDAC CD AB ⋅⋅=),(.定理 4.1取A 和B 为基点,将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ,b ,b a 1λ+,b a 2λ+,则四点的交比为21),(λλ=CD AB . 定理4.2若D C B A ,,,四点的坐标为)4,3,2,1(21=+i P P i λ,21,P P 点列上两个基点,则),(),(432124142313λλλλλλλλλλλλ=----=CD AB定理4.3将某两点互换,同时互换其余两点,则交比不变.即),(),(),(),(BA DC AB CD DC BA CD AB ===定理4.4只在一对点中互换,交比转为其倒数.即),(1),(CD AB DC AB =,),(1),(CD AB CD BA =定理4.5交换中间两点,则交比为1与原值的差,即),(1),(CD AB BD AC -= 定义4.3当1),(-=CD AB 时,称D C ,调和分割线段AB .调和分割的关系是对等的.因为1),(),(-==CD AB AB CD ,所以,B A ,也调和分割线段CD ,有时也称D C B A ,,,为调和点列.定义4.4称21λλ为四直线d c b a ,,,的交比,记为),(cd ab .即 =),(cd ab 21λλ.注意:用齐次坐标之间的关系定义交比,点列的交比与线束的交比在形式上完全一致.定理4.6设四直线d c b a ,,,,若b a c 1λ+=,b a d 2λ+=,则=),(cd ab 21λλ. 定理4.7若四直线q p a 1μ+=,q p b 2μ+=,q p c 3μ+=,q p d 4μ+=,则 424132314321),(),(μμμμμμμμμμμμ----==cd ab .这个比值也称为数4321,μμμμ的交比.定理4.8两个点列经过中心投影,交比不变.练习4-21. 设E D C B A ,,,,是同一直线上的五点,求证1),)(,)(,(=EC AB DE AB CD AB .证明由交比定义ADBC BDAC CD AB ⋅⋅=),(,1),)(,)(,(=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ACBE BCAE AE BD BE AD AD BC BD AC EC AB DE AB CD AB .2.设C B A ,,三点的坐标分别为)1,1,1(,)1,1,1(-,)1,0,1(,且2),(=CD AB ,求点D 的坐标.解)1,1,1(=A ,)1,1,1(-=B ,则C B A ==+)1,0,1(2121,于是12=λ.设B A D 1λ+=,由2),(21==λλCD AB 可知,21=λ,所以)3,1,3(2-=+=B A D .注意:以B A ,为基点的点列中,任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=,用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=. 3.求四点)1,1,2(-A ,)1,1,1(-B ,)0,0,1(C ,)5,5,1(-D 的交比),(CD AB .解利用定理 4.1,取A 和B 为基点,将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ,b ,b a 1λ+,b a 2λ+,则四点的交比为21),(λλ=CD AB . 这里B AC +=,于是11=λ, B AD 32-=,于是232-=λ,由21),(λλ=CD AB 可知,32),(21-==λλCD AB . 注意:以B A ,为基点的点列中,任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=,用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=. 7.试证:02321=+-x x x ,023321=-+x x x ,0721=-x x ,0531=-x x 所表示的四直线共点,并求这四直线的交比.解直线0721=-x x 与0531=-x x 的交点为)5,7,1(15017321=--x x x 点)5,7,1(满足四直线,所以,此四直线共点. 四直线与x 轴的交点分别为211-=x ,322=x ,03=x ,514=x ,所以,21),(4321=l l l l .4.3 完全四点形和完全四线形完全四点形和完全四线形定义.定理4.6完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束,即通过这个对角点的两边和对角三角形的两边.定理4.10完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个顶点.练习4-32.设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形,XY 分别交BD AC ,于M L ,,不用笛沙格定理,证明CM BL YZ ,,共点.证明由四点形ABCD ,根据定理可知,在AC 边上的四点L Y C A ,,,调和共轭, 即1),(-=YL AC .在四点形YBZL 中,LB 与YZ 交于N ,MN 与YL 交于C ',由定理可得),(-='YL CA 所以,点C 应与点C '重合,即CM BL YZ ,,共点.4.4 一维基本图形的射影对应两个点列成射影对应的定义. 两个线束成射影对应的定义. 点列与线束成射影对应的定义.定理4.11 设两个一维基本图形成射影对应,则对应四元素的交比相等. 定理4.12 若两个一维基本图形对应四个元素的交比相等,则必成射影对应. 定理 4.13 如果已知两个一维图形的任意三对对应元素,那么可以确定唯一一个射影对应.练习4-45. 若三角形ABC 的三边AB 、BC 、C A 分别通过共线的三点P ,Q ,R ,二顶点B 与C 各在定直线上,求证顶点A 也在一条直线上.证明根据图形(见第4题图)可知,题图)(第2Λ),,,(21ΛB B B ),,,(21ΛC C C ,则Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R在这两个射影线束中,PR是自对应元素,所 以Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R两透视对应的线束对应直线的交点Λ,,,21A A A 共线. 4.5 透视对应定义4.8点列和线束成射影对应,如果对应直线过对应点,这种特殊的射影对应称为透视对应,这时也这两个一维图形处于透视状态.定义4.9两个点列和同一个线束成透视对应,也就是说两个点列成中心射影对应,则称这两个点列成透视对应.定义4.10两个线束和同一个点列成透视对应,则称这两个线束成透视对应. 定理4.14两个射影对应的点列成透视的充要条件是:两个点列的公共点自对应. 定理4.15两个射影对应的线束成透视的充要条件是:两个线束的公共点自对应. 定理4.16(巴卜斯定理)设C B A ,,是直线l 上互异的三点,C B A ''',,是l '上互异的三点,那么三个交点C B C B L '⨯'=,B A B A N '⨯'=,A C A C M '⨯'=共线.定理4.17对于两个不共底的且不成透视对应的射影对应点列,用两次透视对应,可把第一个点列变成第二个点列.也就是说,射影对应是两个透视对应的复合.定理4.18设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应,那么用三次透视就可以彼此转换.即,这时的射影对应是三个透视对应的复合.题图)(第5A1.如图四边形ABCD 被EF 分成两个四边形AFED 和FBCE ,求证三个四边形ABCD ,AFED ,FBCE 的对角线交点H G K ,,共线.证明因为D ,E ,C 直线l 上互异的三点,A ,F ,B 是直线m 上互异 的三点,由定理4.16(巴卜斯定理),三个交点AE DF G⨯=,AC DB K ⨯=, FC EB H ⨯=共线.4.6 对合对应对合对应定义.定理4.19两个重叠的一维图形(点列、线束)q p μ+,q p μ'+成为对合对应的充分必要条件是:对应元素的参数μ和μ'满足0)(=+'++'d b a μμμμ其中02≠-b ad .定理4.20不重合的两对对应元素,确定唯一一个对合对应.1.求参数为21→,20→的两对对应元素所确定的对合对应. 解利用定理 4.19,这里两对对应元素的参数μ和μ'分别为21,1='=μμ和2,0='=μμ,设0)(=+'++'d b a μμμμ为所求的对合对应,把两对对应参数值代入得)题图(第1DAFBCEGKHlm⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0202321d b d b a 解得2:1:1::-=d b a ,因此,这两对对应元素所确定的对合对应为02=-'++'μμμμ.。

第三章射影变换

第三章射影变换

第三章 射影变换与射影坐标本章首先引入射影不变量——交比。

然后在此基础上,讨论了一维基本形之间的射影对应与射影变换,以及二维射影对应和射影变换,还定义了一维和二维射影坐标。

§1 交比与调和比点列中四点的交比与调和比定义1.1 共线的四个不同点A ,B ,C ,D 的交比等于单比(ABC )与单比(ABD )的比,记作:(AB ,CD ),即(AB ,CD )=)()(ABD ABC其中A ,B 叫基点偶,C ,D 叫分点偶。

交比又称交叉比和复比。

由交比和单比的定义,我们可AD BC BDAC BDAD BC ACABD ABC CD AB ⋅⋅===)()()(, 其中AC ,BC ,AD ,BD 是有向线段的数量。

我们不难得出:(1) 点偶C ,D 不分离点偶A ,B 时,交比(AB ,CD )﹥0; (2) 点偶C ,D 分离点偶A ,B 时,交比(AB ,CD )﹤0; (3) 当C ,D 重合时,(AB ,CD )=1; (4) 当A ,C 重合时,(AB ,CD )=0。

定理1.1 基点偶与分点偶交换,交比值不改变,即 (AB ,CD )=(CD ,AB ) 证明 由定义1.1,(CD ,AB )=),(CD AB BCAD BDAC CB DA DB CA =⋅⋅=⋅⋅ 定理1.2 基点偶的两个字母交换或分点偶的两个字母交换,交比的值变成原来的交比值的倒数,即(BA ,CD )=(AB ,DC )=),(1CD AB证明(AB ,DC )=),(1)()(1)()(CD AB ABD ABC ABC ABD == 又(BA ,CD )=(CD ,BA )=),(1),(1CD AB AB CD =推论 同时交换每个点偶里的字母,交比的值不改变,即 (AB ,CD )=(BA ,DC ) 定理1.3 交换中间的两个字母或两端的两个字母,交比的值等于1减去原来的交比值,即(AC ,BD )=(DB ,CA )=1-(AB ,CD )证明(AC ,BD )AD CB CD AB ⋅⋅=AD CB BD CB BC AC ⋅++=))(( AD CB BDAC CB BD CB AC ⋅⋅+++=)(AD CB BD AC ⋅⋅+=1=1+)(ADBC BDAC ⋅⋅-=1-(AB ,CD )共线四点1,2,3,4一共有4!=24中不种的排列,所以有24个交比,根据交比的运算性质,它们只有6个不同的交比值,即(12,34)=(34,12)=(21,43)=(43,21)=m(21,34)=(34,21)=(12,43)=(43,12)=m1(13,24)=(24,13)=(31,42)=(42,31)=1-m(13,42)=(42,13)=(31,24)=(24,31)=m-11(14,23)=(23,14)=(41,32)=(32,41)=1-m 1(14,32)=(32,14)=(41,23)=(23,41)=1-m m例1 已知(P 1P 2,P 3P 4)=3,求(P 4P 3,P 2P 1)和(P 1P 3,P 2P 4)的值解 (P 4P 3,P 2P 1)= (P 2P 1 ,P 4P 3)=(P 1P 2,P 3P 4)=3 (P 1P 3,P 2P 4)=1-(P 1P 2,P 3P 4)=1-3=-2下面研究交比的代数表示定理1.4 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1。

任意三角形的射影定理(3篇)

任意三角形的射影定理(3篇)

第1篇在几何学中,射影定理是一个重要的定理,它描述了三角形在射影变换下的性质。

射影变换是指将一个几何图形通过一定的方式映射到另一个几何图形上,而保持其某些性质不变。

本文将详细介绍任意三角形的射影定理,包括其定义、证明方法以及在实际应用中的重要性。

一、射影定理的定义射影定理是指在任意三角形中,从一个顶点到对边上的任意点作垂线,那么这个垂线段的长度与这个顶点到对边中点的距离之比等于从该顶点到对边另一端点的距离与从该顶点到对边中点的距离之比。

设三角形ABC,其中点D是BC边上的任意一点,点E是AD的垂足,点F是AC的中点。

根据射影定理,我们有:$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}$$二、射影定理的证明证明射影定理有多种方法,以下介绍两种常见的证明方法:1. 构造辅助线法(1)作辅助线:在三角形ABC中,作辅助线DE,使得DE垂直于BC,交BC于点D。

(2)证明:在直角三角形ADE和直角三角形AFC中,∠AED=∠AFC=90°,且∠ADE=∠AFC(都是直角)。

根据AAS(角-角-边)全等条件,得到三角形ADE≌三角形AFC。

(3)根据全等三角形的性质,我们有AE=AF。

(4)由于EF是AC的中线,所以EF=AF。

(5)根据射影定理的定义,得到:$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}2. 利用相似三角形法(1)证明:在直角三角形ADE和直角三角形AFC中,∠AED=∠AFC=90°,且∠ADE=∠AFC(都是直角)。

根据AAS(角-角-边)全等条件,得到三角形ADE≌三角形AFC。

(2)根据全等三角形的性质,我们有AE=AF。

(3)由于EF是AC的中线,所以EF=AF。

(4)根据相似三角形的性质,我们有:$$\frac{AE}{AF} = \frac{DE}{FC}$$(5)由于DE=BC,FC=AC/2,代入上式得到:$$\frac{AE}{AF} = \frac{BC}{AC/2} = \frac{AB}{AF}$$三、射影定理的应用射影定理在几何学、工程学、物理学等领域都有广泛的应用。

射影几何三大入门定理

射影几何三大入门定理

射影几何三大入门定理1. 定理一:射影平面的基本性质射影几何是研究投影关系的一门数学分支,它研究的对象是射影空间和射影平面。

在射影几何中,有三个重要的入门定理,这些定理对于理解和应用射影几何具有重要意义。

首先,我们来讨论第一个定理:射影平面的基本性质。

1.1 射影平面的定义在介绍定理之前,我们需要先了解什么是射影平面。

射影平面是指一个由点和直线构成的集合,满足以下条件:•任意两条直线有且只有一个交点;•任意两个不同的点确定一条直线。

1.2 定理一的表述定理一指出,在射影平面中,存在以下基本性质:•任意两个不同的直线交于唯一一点;•任意两个不同的点确定唯一一条直线。

1.3 定理一的证明第一个性质:任意两个不同的直线交于唯一一点假设在射影平面中存在两个不同的直线L1和L2,在L1上取两个不同的点A和B,在L2上取两个不同的点C和D。

我们需要证明线段AB和CD的交点是唯一的。

根据射影平面的定义,任意两个不同的点确定唯一一条直线,所以线段AB确定了一条直线L3,线段CD也确定了一条直线L4。

由于L3和L4都与L1和L2相交,所以它们一定有一个公共交点P。

假设还存在另一个不同于P的交点Q,那么根据射影平面的定义,线段PQ也应该与直线L1相交。

但是根据前面的假设,A、B、C、D四个点在射影平面中是不共面的,所以直线PQ与直线L1没有交点。

这与假设矛盾,因此我们得出结论:任意两个不同的直线在射影平面中交于唯一一点。

第二个性质:任意两个不同的点确定唯一一条直线假设在射影平面中存在两个不同的点A和B,在A上取两条不同的直线L1和L2,在B上取两条不同的直线L3和L4。

我们需要证明直线AB和CD(其中C为L1与L3的交点,D为L2与L4的交点)是唯一相交的。

根据射影平面的定义,任意两条直线有且只有一个交点,所以线段AB与L1和L2分别有唯一的交点C和D。

假设还存在另一条直线EF与A、B两点相交,并且E和F分别是直线EF与L1和L2的交点。

射影。仿射变换的基本知识

射影。仿射变换的基本知识

射影变换的基本知识定义设为平面上的四个共线点,称两个单比和的比为这四点的交比或复比,记作,其中和称为基础点对,和称为分点对。

定义如果四点的交比,则称点对和调和分离点对和,或称点对与点对调和共轭,这时也称为的第四调和点,交比值称为调和比。

定理:中心射影保持共线四点的交比不变证明:如图为射影中心直线上任意四点在中心射影下的像分别是直线上的设的垂直于的高长度为,的垂直于的长度为则于是同理于是故定义如果平面上的点变换使共线三点还变成共线三点,并且保持共线四点的交比不变,称此变换为平面上的射影变换。

因为正交变换、相似变换、仿射变换都保持共线三点的单比不变,必然保持共线四点的交比不变,所以这些变换都是射影变换。

射影变换的基本不变性质:定理:平面上全部射影变换的集合构成群证明:(1)设是平面上的两个射影变换,是共线四点据定义有且且所以仍是射影变换(2)设是平面的上射影变换且且所以是射影变换故平面上全部射影变换的集合构成群称之为射影变换群,仿射变换群、相似变换群、正交变换群都是它的子群。

§2.6 几个重要的变换群下面讨论正交变换(运动)、相似变换、仿射变换、射影变换,以及它们的基本性质。

这些变换群可以决定四种不同的几何学,即欧氏几何学、相似几何学、仿射几何学和射影几何学。

一、正交变换群定义:平面上保持两点间距离不变的点变换称为正交变换或运动。

即将平面上的点建立一一对应,且对于平面上任意两点,若其对应点分别为,则对应线段的长度。

正交变换具有的基本不变的性质(1)正交变换把直线变成直线,并且保持点和直线的结合关系和共线三点的介于关系。

证明:设是直线上有序的三点,它们共线的充要条件为如果正交变换把它们依次变为,则有于是因此在同一直线上。

就是说,共线点变成共线点,直线变成直线。

(2)正交变换把不共线的点变成不共线的点证明:设为不共线三点,则三点不共线充要条件为如果它们依次变为,则有于是因此不共线由(1)、(2)知,正交变换把相交直线变成相交直线,把角变成角。

射影变换

射影变换

P P* x
无穷远点 P P0 x 0 分别相当于拓广直线上的 原点 单位点 PP x 1 1
从而,可以利用交比定义射影直线上一种非齐次射影坐标.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比
例5 (P.47, 例2.3)一直线依次交三点形P1P2P3的三边P2P3, P3P1, P1P2于Q1, Q2, Q3.在此三边上另取点Q1', Q2', Q3', 使
第二章 射影变换
本章地位 平面射影几何的核心内容之一
在一维、二维射影空间以及齐 次坐标的基础上,系统学习一 维、二维射影变换及其一些特 殊情形,对一些射影性质进行 初步研究.
本章内容
§ 2.1 交比
交比 、定义 定义2.1. 设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 ≠ P2,其齐次 坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的 一个交比. 定义为 1 (P P , P P ) . 1 2 3 4 (2.1) 2 称P1, P2为基点对, P3, P4为分点对. 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则
§ 2.1 交比
今日作业 P.53: 1; 4
再见!
课件作者:南师大数科院周兴和
此即P.45, 式(2.4). 不必背诵,但是要熟练掌握变化规律!
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义
2、性质 3、特殊情况 定理2.3 共线四点的交比值出现0, 1, ∞三者之一这四点中有 某二点相同. 证明 可根据定理2.1,令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4 = P1进行验 证即可. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组:0, 1, ∞.

高等几何(第三、四章)

高等几何(第三、四章)

➢由于交比经中心射影后不变,故交比在透 视对应下保持不变。
➢透视关系是对称的,但不具有传递性。 ➢定义2.3.透视对应链即为射影对应。
射影对应具有传递性。
2.2 一维基本形的射影对应
➢定义2.3.透视对应链即为射影对应。 射影对应具有传递性。
➢定理2.1 两个点列间的一一对应是射影对 应的充要条件是:任何四个对应点的交比相 等。 必要性显然; 下面证明充分性;
P3
m2 m2
m3 m1
P1
m3 m2
m1 m1
P2 ,
P4
m2 m4 m2 m1
P1
m4 m2
m1 m1
P2 ,
P3
P1
m3 m2
m1 m1
m2 m2
m1 m3
P2 ,
P4
P1
m4 m2
m1 m1
m2 m2
m1 m4
P2 ,
m3 m1 m2 m1
(P1P2 , P3P4 )
设一个对应T保持任何四对对应点的交比不变,我们证明 T可由两个透视对应结合而成。
怎样才算证明了T可由两个透视对应结合而成?
要证明T的任何一对对应点均可由两个透视对应结合得 到。
设 D, D’是T的任何一对对应点,我们证明D’可由D经过 两次透视对应得到。
题目条件是T保持任何四对对应点的交比不变,现在只 有一对对应点,无法用此条件,故我们设出三对对应点:
B
ac
b
C
ca b
§2 一维射影变换
➢点列与线束统称为一维基本形,本节研究一维基 本形间的一种对应关系。
➢本节讲授的顺序与课本有所不同,我们的思路是 从三个不同的角度去刻画一维射影对应,这三个 角度分别为几何直观、本质性质以及代数的角度.

空间解析几何的线性变换平移旋转射影变换的性质

空间解析几何的线性变换平移旋转射影变换的性质

空间解析几何的线性变换平移旋转射影变换的性质在数学中,空间解析几何是一门研究空间中点、线、面等几何要素的位置、形状和相互关系的学科。

空间解析几何涉及线性变换、平移、旋转和射影变换等多个概念和性质。

本文将依次介绍线性变换、平移、旋转和射影变换在空间解析几何中的性质。

一、线性变换线性变换是空间解析几何中非常重要的概念,指的是通过运用线性代数的方法,将一个向量空间中的向量按照某种规则变换为另一个向量空间中的向量。

线性变换有以下性质:1. 保持线性性:线性变换将向量的线性性质保持不变,即对于任意向量a和b以及任意标量c,有T(a+b) = T(a) + T(b)和T(c*a) = c*T(a)。

2. 保持原点:线性变换将原点在变换后仍然保持在原点。

3. 保持共线性:线性变换将共线的向量映射为仍然共线的向量。

二、平移平移是指将点p在空间中沿着某个方向d移动一个指定的距离a得到点p'的操作。

平移有以下性质:1. 平移不改变点的方向:平移不改变点的方向,只是改变了点的位置。

2. 平移保持距离:平移前后,点与点之间的距离保持不变。

3. 平移是线性变换:平移是一种特殊的线性变换,不改变向量的方向和长度。

三、旋转旋转是指将点p绕着某个轴心旋转一个指定的角度θ,得到点p'的操作。

旋转有以下性质:1. 旋转不改变距离:旋转前后,点与点之间的距离保持不变。

2. 旋转保持共面性:旋转前后,点所在的平面保持不变。

3. 旋转是线性变换:旋转是一种特殊的线性变换,不改变向量的方向和长度。

四、射影变换射影变换是指通过将点p在空间中映射到平面上的某个点p',实现空间到平面的变换。

射影变换有以下性质:1. 保持共线性:射影变换将共线的点映射为仍然共线的点。

2. 保持交比:射影变换保持平面上的任意四点的交比不变。

3. 平行线的交点:射影变换后,原来平行的线在平面上可能会相交。

在空间解析几何中,线性变换、平移、旋转和射影变换是重要的概念和操作。

射影变换

射影变换

P3P4 )
(1 (2
3 )(2 3 )(1
4 ) 4 )
.
(2.2)
§ 2.1 交比
证明定理2.1. 以P1, P2,为基点,参数表示P3, P4. 设
a+λ1b=a', a+λ2b=b'.
从中解出a,
b,

a
a' 2
b' 1
,
2 1
b b'a' .
2 1
于是, P1, P2, P3, P4的坐标可表示为 a', b', 2 3 a' 3 1 b', 2 4 a' 4 1 b' 2 1 2 1 2 1 2 1
中的两个著名定理:Menelaus定理、Ceva定理.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比
二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示
设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p∈S(p),
其坐标可表示为
a b
R.
称a, b为基线, λ为参数.
这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. 注1 参数λ的几何意义?不易说清楚!容易看出
解:设 P3 P1 1P2, P4 P1 2P2. 则显然2 1, 由
(P1P2 , P3P4 )
1 2
1
1
2.
可得 1 2, 从而P3的坐标为(3,–1,3).
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标

a', b', a' 3 1 b', a' 4 1 b'.

射影变换基础

射影变换基础

1 T
1
1 1 1
1
k2 1 1 A2 B2 k . A2 B2 k1
k2 (k is a scalar) k1
MA B M so
1 1 1
1 1 1
1
k . A B2 ,
1 2
1 2
A B and A B2 are similar matrices
根据相似矩阵的性质,这两个矩阵具有相同 的特征值。再假定B1也为可逆矩阵,则相 应的特征值不为0,因此根据特征值两两相 除(消去标量k),则得到两个不变量。可见同 一平面两个非退化二次曲线有两个绝对不 变量,当存在退化情况时,有一个特征值 为0,因此只有一个不变量。
1 T
1
1 T
1
if A1 is invertable matrix , A1 M MA I , then k2 .B2 ( M ) B1 M k1 A2 .MA B M , so MA B M
1 1 1 1 1 1 1 1 1 T 1
( M ) A1 M .MA B M
• 由有限次中心射影的积定义的两条直线间 的一一对应变换称为一维射影变换.
二维(高维)射影变换
Def3.2 由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对 应变换称为二维射影变换.
交比不变量
• Def 3.3 (交比)若A,B,C,D为直线L上任意四 点,则下式定义的R称为交比(cross ratio)
' ' ' '
线束的射影变换
• 平面上两个线束的射影变换及线束的交比。 如下图所示,平面上有两个线束O,O’,若 它们所有对应线的交点共线,则称这两个 线束的对应为中心射影。类似点列的射影 变换,有限次中心射影的积称为线束间的 射影变换。

第4章射影变换学习辅导(1)

第4章射影变换学习辅导(1)

第4章 射影变换第4章 射影变换学习辅导(1)学习方法引荐本章内容是在仿射变换的基础上,进一步研究射影变换和在射影变换下的不变问题.首先对点列和线束引入基本射影不变量——交比.即从介绍交比概念,引入共线四点的交比和调和比,共点四线形的交比和调和比.在此基础上讨论两个同类一维基本形的射影对应,射影变换及其特殊情况—对合,主要研究点列到点列的射影对应.在本章内容中,交比是重要的概念,它是射影变换的基本不变量.一维基本形的射影对应(变换)是平面射影几何的基础.作为调和比的几何背景本章还介绍了完全四点形及对偶图形完全四线形的调和性,这两个图形的调和性也是射影几何的重要不变性,它们在射影几何中也具有重要地位.学习本章时要抓住以下几点: 1.点列与线束的交比与调和比;2.完全四点形和完全四线形的调和性质;3.一维基本形的射影对应;4.一维基本形的对合.它们的基本内容包括如下: 1.点列与线束的交比和调和比 (1)点列的四点的交比.我们知道,单比是仿射变换的基本不变量,但对于中心投影来说,单比不是不变量.这样就发生如何建立中心投影的基本不变量的问题,这个基本不变量就是交比.交比是两个单比的比,它有许多基本性质,见教材中的定理.由这些定理知,共线四点A ,B ,C ,D 共有24种排列,即有24个交比,分为6类,每类的四个交比值相等.当(AB ,CD )=-1时,CD 调和分割线段AB ,由调和分割的关系是对等的,因此A ,B ,C ,D 称为调和点列.(AB ,CD )=(CD ,AB )=-1(2)交比的代数表示设点P 1,P 2,P 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),单比(P 1P 2P )=μ,则μμ--=121x x x μμ--=121y y y (1) P 的齐次坐标(21x x μ-,21y y μ-,μ-1),当μ=1时,(1)式无意义.但当μ→1时,可得到P 1,P 2所在直线上的无穷远点.所以(P 1P 2P ∞)=1即一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1,也就是 (P 1P 2,P 3P ∞)=(P 1P 2P 3)如果四点P 1,P 2,P 3,P 4中,P 1或P 2为无穷远点,则上式可作为交比的定义. 设四个不同的共线点P 1(A+λ1B ),P 2(A+λ2B ), P 3 (A+λ3B ),P 4 (A+λ4B ),则))(())((),(413242314321λλλλλλλλ----=P P P P其中λi (i =1,2,3,4)彼此不相等.设四个不同的共线点的三点及其交比k (k ≠1,k ≠0)为已知,则第四点必唯一确定. (3)线束的四直线的交比与调和比与点列的四点的交比类似,线束中四直线的的交比是利用三条直线的单比定义的.(AB ,CD )=)()(ABD ABC第4章 射影变换应该注意,四直线的交比值与直线μ的取法无关.如果线束S 的四直线A ,B ,C ,D 被任何一条直线S 截于四点A ,B ,C ,D ,则(AB ,CD )=(AB ,CD )由这个结论可以推出与点列交比性质相类似的关于线束交比的性质,因此也可知四条直线所构成的24个交比值分为6类,每类的四个交比值相等.交比经中心投影后不变,即交比为射影性质. 2.完全四点形与完全四线形调和性利用完全四点形的性质,可以解决“已知共线三点,求作第四调和点”的作图方法.设S ,S '是完全四点形ABCD 的一对对边,它们的交点是对边点X ,X 与其它二对边点的连线是l ,l ',图4-1.则必有(SS ',ll ')=-1XS l ' D l S ' M Q C Y LA B E图4-1设S ,S '是完全四线形ABCD 的一对对顶点,它们的连线是对顶线x ,x 与其它两对顶线交点T ,T',图4-2.则(SS ',TT')=-1.TS y A x D T' CS '图4-23.一维基本形的射影对应 (1)透视对应如果一个点列和一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,则这个对应叫做透视对应,点列和线束叫做透视的.显然,点列与线束的透视关系具有对称性.点列与点列或线束与线束的透视关系都具有对称性.交比在透视对应下不变.(2)射影对应两个一维基本图形之间的射影对应的性质: ①是一一对应的 ②A ∧B 则B ∧A③具有传递性,即若A∧B ,B∧C ,则A∧C两个点列间的一一对应是射影对应⇔任何四点的交比与其对应四点的交比相等. 已知两个一维图形的三对对应元素,那么可以确定唯一一个射影对应.两个点列间的射影对应是透视对应⇔它们底的交点自对应. 两个线束间的射影对应是透视对应⇔它们顶点的连线自对应. 4.一维基本形的对合对合是射影变换的一种特殊的情况,在对合里每对对应元素的每个元素归入哪个基本形都可以. 射影变换成为对合对应的充分必要条件.重点、难点解析1.交比和调和比仿射变换(对应)是对平行射影而言的,单比是仿射几何中最重要的概念,它又是仿射变换的基本不变量.在研究中心射影时,我们引进了无穷远元素.可以证明,在中心射影下,共线三点的单比不是不变量.由此引入交比概念,首先研究共线四点的交比(1)关于交比的定义 定义(4.2)把交比定义为两个单比的比,即共线四点A ,B ,C ,D 的交比定义为两个单比(ABC )和(ABD )的比,表为(AB ,CD )=)()(ABD ABC .交比也称复比,即两个单比之比的意思.这种定义可称为几何定义.交比还有另一种定义,即代数法定义:设四个不同的共线点A ,B ,C ,D 的坐标顺次为A ,B ,A+λ1B ,A+λ2B ,则 (AB ,CD )=21λλ以上两种定义方法是不同的.用第一种方法定义(AB ,CD )=)()(ABD ABC =ADBC BDAC ⋅⋅,所用坐标的非齐坐标,AC ,BD ,BC ,AD 都指有向线段的代数长度;第二种定义方法(AB ,CD )=21λλ,用齐次坐标.例如,共线四点A (2,1,-1),B (1,-1,1),C (1,0,0),D (1,5,-5),求(AB ,CD )时,可把A 和B 作为基础点对,则C =A + B ,λ1=1,D = 2A -3B ,λ 2 =32-所求交比21λλ=32- 注意,第二种定义方法采用齐次点坐标,可以不限制这四个点中是否有无穷远点.所以,定义(AB ,CD )=)()(ABD ABC =AD BC BDAC ⋅⋅,还属于欧氏平面上的定义,不能解决无穷远点的问题,在射影平面,应使用(AB ,CD )=21λλ的定义方法. 关于交比的定义,要注意以下问题:① A ,B ,C ,D 四点必须共线,而且要考虑顺序,顺序不同则交比不同;② AC ,BD ,BC ,AD 都是有向线段的代数长,因而交比(AB ,CD )是个数值. (2)交比的性质由于A ,B ,C ,D 四个点的编排顺序不同,所得的交比也不同,共线四点可以组成24种编排顺序,因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知,对于每个排列,还有另三种排列,它们的交比等于已知排列的交比,因此,这24种排列所产生的交比值,实际上只有6类,并且在24个排列中,只要求出1个交比值,就可求出其它23个交比值.例如,已知(AB ,CD )=3,则可知 (DC ,BA )=(BA ,DC )=(AB ,CD )=3. 而(AC ,BD )=1-(AB ,CD )= -2(3)几个特殊的交比共线四点A ,B ,C ,D 中,设A ,B ,C 是固定点,第四点D 沿直线移动.可以证明,点D 在直线上的每个位置都对应一个确定的交比(AB ,CD )的值.点D 的不同位置对应不同的交比值,不然的话,假设点D 和D '在两个不同的位置,且有(AB ,CD )=(AB ,CD ')则)()()()(D AB ABC ABD ABC '=, 因而(ABD )=(ABD ')这只有在D = D '时,等式才成立,因此,(AB ,CD )的每个值,对应点D 的一个确定的位置. 当这四个点中有无穷远点时,还可以用其他方法证明这个结论.证明如下: 设已知三点的坐标是 A +1λB ,A +2λB ,A +3λB 则由k =----))(())((41324231λλλλλλλλ (其中k 为定值,且k ≠0,1)可以求出4λ,确定第四点.因此第四点A +4λB 唯一确定.下面讨论交比的几个特殊情况①D 与C 重合时,则有(AB ,CD )= 1 ②当D 与B 重合时,则有 (AB ,CD )=(AB ,CB )=ABBC BBAC ⋅⋅ = 0③当D 与A 重合时, (AB ,CD )=(AB ,CA )=∞=⋅⋅AA BC BAAC④D 为无穷远点时,则有 (AB ,CD )=(AB ,CD ∞)==∞)()(ABD ABC (ABC )可以看出,若第四点为无穷远点,则其交比等于前三个点的单比(ABC ),利用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置,可以交换到第四个点的位置,以求其交比.(4)点列中四点的调和比调和比是交比的重要特例.当(AB ,CD )=-1时,称为C ,D 调和分割A ,B .或称点偶A ,B 与点偶C ,D 调和共轭.D 叫做A ,B ,C 的第四调和点.应当注意,在调和分割中,两对点的关系是完全对等的.点列中四点A ,B ,C ,D 所组成的交比可以有六个交比值,在一般情况下,这六个交比值是不等的,但当且仅当这四个点适当地编排顺序,可以组成调和共轭的两对点偶时,(注意排除两点重合和虚点不考虑),那么这六个交比值才有相同的.(5)线束的交比和调和比①由定义知,四直线A ,B ,C ,D 的交比为)()(ABD ABC =AD BC BDAC ⋅⋅,注意这个定义中数目的排列.②要注意定理4.7:如果线束S 的四线A ,B ,C ,D 被任何一条直线S 截于四点A ,B ,C ,D ,则(AB ,CD )=(AB,CD)的证明.在上述定理中,若点S,A,B,C,D都是有穷远元素时,或者,当S为无穷远点或S为无穷远直线时(即A,B,C,D都是无穷远点),此定理仍成立.即(AB,CD)的值与直线S的取法无关,所以仍可取(AB,CD)=(AB,CD)③定理4.7是一个非常重要的定理,由于定理可以证明“两点列同时截一线束,则此点列上对应四点的交比相等.”还可以推广证明投影于同一点列的两线束的四条对应直线的交比相等.可以知道,此定理使点列和线束的问题沟通了,为研究交比是中心射影下的不变量打下基础,同时点列和线束的问题可以对偶地进行研究.(6)有关交比的作图问题①有关交比的作图可以根据共线四点的交比的定义,借助初等几何作图来完成,需要用相应例题来理解.②第四调和点的作图●用“一角两条边和这个角内外平分线调和共轭”作第四调和点.●利用相似三角形作第四调和点.(7)利用交比的调和共轭解初等几何问题交比和调和共轭是几何学中的重要概念,它们在几何的研究中有重要的作用,运用这些概念和有关性质,可以解决一些初等几何问题主要在以下三个方面:①角平分线的调和性.②利用交比证明有关圆的问题.③与图有关的调和共轭问题.2.完全四点形和完全四线形的调和性完全四点形和完全四线形是射影几何中的重要图形,由于这两个图形具有调和性,而交比又是射影变换的不变量,所以对完全四点形的性质的研究在射影几何中占有重要地位.值得注意的是,在前面调和比是用交比来定义的,而交比之定义为单比之比,所以定义调和比此时用了变量概念.对完全四点形的性质的研究,可以使我们完全不用度量概念,而使用下列方法来定义调和比或调和共轭.即“一直线S上的点偶A,B与C,D,A,B是一个完全四点形的对边点,C,D是通过第三个对边点的两条对边与S的交点,则A,B与C,D成调和共轭”.这种定义是综合地纯射影的定义,这种定义方法只与直线和直线相交的作图有关,与度量无关.由于完全四点形的调和性是射影性质,所以它的对偶图形完全四线形也有调和性.学习本单元内容时还应注意以下问题:(1)注意完全四点形与中学所熟悉的四边形的区别.四边形指简单四边形,由顶点依次连接而成,顶点数等于边数,均为4,如图4-3.ABCD为简单四边形.而完全四点形是平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形,如图4-4.完全四点形ABCD有四个顶点A,B,C,D,有六条边(即任何两顶点的连线都是边),通过同一顶点的边叫邻边,不通过同一顶点的边叫对边,因此有三对对边:AB与CD;AC与BD;AD与BC,对边交点叫对边点,共三个,即AB×CD=X,AC×BD=Y,AD×BC=Z.三个对边点组成对边三点形XYZ.BCD A Y CDX ZA B图4-3 图4-4完全四点形的一对对边被通过这两个边交点的对边三点形的两边调和分割.完全四线形的一对对顶点被连接这两个点的对角三角形的两边调和分割.(2)利用完全四点形的调和性作第四调和点我们知道,一直线l上的点偶P1,P2,Q1,Q2成为调和共轭的充要条件是:“P1和P2是一个完全四点形的对边点,Q1和Q2是通过第三个对边点的两条对边与l的交点”,根据这个道理,可以通过完全四点形的作图来作第四调和点.如图4-5,已知直线l上有三点P1,P2,P3,求作点P4,使(P1P2,P3P4)=-1.作法如下:过P1P2若任作一直线交于点A,在P2A上任取一点B,连B P3,过P1A于点C,再连P2C,P1B,交于点D.连AD与L交于P4,则P4为所求第四调和点.ACBDlP1P4P2P3图4-5应当指出,以上作图是只用一根直尺完成的.而且过P1,P2的直线是任意作的,但P4点是唯一的,这由笛沙格定理保证.在图4-5中,根据定理,若P4为P1P2中点,则P为l上无穷远点,于是利用直尺可以作出CB// P1P2,反之,如果知道CB// P1P2,也可以用一根直尺求P1P2中点.(3)应用完全四点形的调和性解初等几何问题.利用完全四点形的调和性,可以比较简捷地解决一些初等几何中的共点和共线问题.例如,三角形三个顶角的外角平分线交其对边的三点共线.3.一维基本形的射影对应(1)什么叫一维基本形基本形,指以点、直线、平面为元素所形成的某些无穷集合,一维基本形指点列和线束.什么叫一维呢?关于维的概念,要注意几何学的维与空间的维是有区别的.几何学中的维数,指几何元素活动的自由度,也就是几何元素的坐标或参数必不可少的数目,这个数就是几何学的维数.此如平面内的点和直线应该有两个坐标,但在点列中以A,B为基点的任一点坐标可以表为A,B的坐标的线性组合,即C = A + λB,其中λ为参数,所以点列中的点可以用一个独立参数表示(对于线束也有类似结论).也就是说,点列的每个点(或线束中的每一直线)都可以用一个独立参数表示,点列和线束就叫一维图形.点列和线束就是一维几何研究的对象.关于空间的维数,是指把直线,平面或空间都看成四点构成,空间的维数是点活动的自由度,所以直线叫一维空间.平面叫二维空间,我们生活的空间叫三维空间.由于几何学研究的元素不限于点,所以几何学中的维与所处空间的维不同.比如,平面上的直线几何应该叫二维几何学,这是由于把直线看作基本元素,平面上决定直线需要两个比值,即必不可少的参数为2.(2)一维基本形的透视对应与射影对应的关系①在前几章所讨论的透视仿射对应是对平行射影而言,本章所论的透视对应则对中心投影而言,透视对应包括点列和线束之间的透视对应;点列与点列之间的透视对应.在定义中可以将点列换成线束,或把线束换成点列.所以点列与线束的透视对应具有对称性.由透视对应的定义还可以看出,透视对应保持四元素的交比不变.但透视关系不满足传递性.需要注意,透视对应一定是射影对应,但射影不一定成透视对应,因此,透视对应与射影对应是特殊与一般的关系.②射影对应必是一一对应,且具有传递性、对称性、反身性,即具有等价关系.③透视对应在什么条件下才成为射影对应呢?由定理知,两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们的底的交点自对应也就是它们的公共元素自对应.两个点列成射影对应时,把它们的公共点看作是第一个点列的点时,它在第二个点列上的对应点,一般情况下不是它本身,只有当两个点列成透视对应时,其公共元素才自对应.④应该注意,如果一维射影对应使无穷远点对应无穷远点,则该对应一定是仿射对应,要证明这个结论,只需证明这种对应保持单比不变.由于射影对应保持交比不变.所以,仿射对应可看作特殊的射影对应. 4.一维基本形的对合 (1)关于对合概念对合对应是重要的,特殊的射影变换.在两个重叠的射影对应的一维基本形中,第一个基本形的元素P 对应第二个基本形的元素P',但如果把P'看作第一个基本形的元素,那么它在第二个基本形里不一定对应P.但如果这个对应为对合对应,则根据对合定义“在两个重叠而且射影对应的一维基本形里,如果对于任何元素,无论看作属于第一个基本形或第二基本形,它的对应元素是一样的,那么这种非恒等的射影变换叫做对合(对应)”.那么P'就一定对应P.若两个重叠一维基形成射影对应,可假设两个重叠点列成射影对应,在什么条件下才成为对合呢?实际上只要有一对对应元素符合对合条件,则这种射影变换一定是对合.(2)对合的代数表示和确定对合是特殊的射影变换,从对合的代数表示,也可以看出射影变换成为对合的条件,即在射影变换式0=+'++'d c b a λλλλ,0≠-bc ad 中, 若是对合,则有B = C ,反之也成立.上式说明射影变换范围比对合大.我们知道,三对对应元素决定唯一一个射影变换,如果是对合,则只要有不重合的两对对应点便可决定唯一一个对合对应.判定一个射影变换是否为对合对应,也可用如下事实:对合对应存在两个二重元素,射影变换是对合的充要条件是任何一对对应元素与两个二重元素调和共轭.例如,求由两个二重点1,2所确定的对合方程,可有两种解法. 解法1 设对合方程为0)(=+'++'d b a λλλλ 将1,2代入,得A +2B +D = 04A +4B +D = 0代入对合方程,得2λλ'-3(λ+λ')+ 4 = 0解法2 利用(12,x x ')= -1 其中x ,x '为一对对合点的坐标则12121-=-'-'--x x x x即2xx '-3(x+x ')+ 4 = 0典型例题例1 填空题(1)两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件为 . (2)两点列间射影对应由 对对应点唯一确定. (3)共线四点的交比是 不变量. (4)两个点列经过中心投影, 不变.(5)不重合的 对应元素,可以确定唯一一个对合对应.解 (1)由定理知,两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件是:两个线束的公共线自对应.(2)已知射影对应被其三对对应点所唯一确定,因此两个点列间的三对对应点可以决定唯一一个射影对应.(3)共线四点的交比是射影不变量. (4)两个点列经过中心投影,交比不变.(5)不重合的两对对应元素,可以确定唯一一个对合对应. 例2 单选题(1)若(AB ,CD )=r ,则(DB ,AC )=( )A .r 1 B .r -11 C .r r -1 D .r11-(2)设A ,B ,A +λ1B ,A +λ2B 是四条不同的有穷远共点直线l 1,l 2,l 3,l 4的齐次坐标,则(l 1l 2,l 3l 4)=( )A .λ1B .λ 2C .21λλD .λ1λ 2 (3)设1,2,3,4是四个不同的共线点,如果 (12,34)=(23,41)则(13,24)=( )A .-1B .1C .0D .∞ 解 由交比的运算定理,(1)选D ;(2)选C (3)选A 例3 求证P 1(3,1),P 2(7,5)与P 3(6,4), P 4(9,7)成调和共轭.分析 可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证明 解法1 (P 1P 2,P 3P 4)=))(())((14232413x x x x x x x x ----=)76)(39()79)(36(----=-1解法2 将P 1,P 2,P 3,P 4写成齐次坐标,则 P 1(3,1,1),P 2(7,5,1),P 3(6,4,1), P 4(9,7,1)可以写作 P 3(24,16,4),P 4(-18,-14,-2) 于是 P 3 =P 1 +3P 2 P 4 =P 1 -3P 2∴(P 1P 2,P 3P 4)=33-=-1 例4 求证:一角的两条边与这个角的内外角平分线调和共轭. 证法1 利用共点直线成调和共轭的定义进行证明.如图4-6所示,角的两边为A ,B ,其内外角平分线分别为l 1,l 2 (AB ,l 1l 2)=)()(21abl abl (ABl 1)=1 (ABl 2)= -1∴ (AB ,l 1l 2) = -1A B图4-6证法2 用代数法设取原点在三角形SAB 内部,A ×B 分别在A ,B 直线上. 设SA 的法线方程为0=α, 设SB 的法线方程为0=β,为了求内角分线l 1和外角分线l 2方程,利用角平分线的几何特性,设P (x ,y )为角平分线l 1上的任一点,则它们到A ,B 的距离相离,即α=β或βα=或βα-=取l 1为βα=即0=-βα,即11=λ l 2为βα-=即0=+βα,即12-=λ ∴( AB ,l 1l 2)=121-=λλ 证法3 根据定理,如图4-7,若用直线l 1 // l 2求截角的两边A ,B 分别交A ,B 于A ,B ,交l 1于T 1,交l 2于T ∞,则由l 1和l 2互相垂直,可知S T 1⊥l 1,又l 1为角平分线,由初等几何定理,可知△SAB 为等腰三角形,且有A T 1=T 1B ,即T 1为AB 中点,根据定理知(AB ,T 1T ∞)=-1 (AB ,l 1l 2 )=-1SA T 1 Bl A l 1 B图4-7例5 若A ,B ,C ,D 为共线四点,且(AB ,CD )=-1,CD 中点为O ,求证O C 2=O A ·O B 证明 (AB ,CD )=1-=⋅⋅ADBC BDAC即AC ·BD +BC ·AD = 0把AC ,BD ,BC ,AD 都以0为原点表示,则有(O C -O A )(O D -O B )+(O D -O A )(O C -O B )= 0整理得 2(O A ·O B +O C ·O D )=(O A +O B )(O C +O D ) 而 O D =-O C ∴ 2(O A ·O B -O C 2)=(O A +O B )(O D -O C )=0 即 O C 2=O A ·O B例6 设三直线 1111c y b x a p ++= 2222c y b x a p ++= 3333c y b x a p ++=求证以p 1= 0,p 2= 0,p 3= 0为三边的三角形的重心由方程312212311312332)()()(p b a b a p b a b a p b a b a -=-=-给出.B O p 3 C图4-8分析 如图4-8,ΔABC 三边AB ,AC ,BC 的方程分别为p 1= 0,p 2= 0,p 3= 0.设BC 边上中线A O 的方程q 3=0.过A 点作BC 的平行线l 3,则l 3的斜率为333b a k l -=. 由于l 3过p 1和p 2的交点A ,所以l 3可由p 1和p 2线性表示,即l 3的方程为0)(222111=+++++c y b x a c y b x a λl 3的斜率为2121b b a a λλ++-∴ 332121b a b b a a -=++-λλ32321313b a a b b a a b --=λ∴ l 3的方程为02323213131=--+p b a a b b a a b p由于l 3与BC 平行,所以l 3与BC 交于无穷远点L ∞,又D 为BC 中点,(BC ,D L ∞)= -1两条直线截同一线束,所得对应四点的交比不变,可得(p 1p 2,q 3l 3)=-1 ∴ q 3的方程为02323213131=--+p b a a b a b b a p同理q 1的方程为03131321212=--+p b a a b a b b a p则q 1与q 3的交点为312212131313232)()()(p b a b a p b a a b p b a a b -=-=-例7 已知A ,B ,C 三直线交于点P ,试用直尺作出第四条直线和它们成调和共轭.作法:如图4-9. A ,B ,C 三直线交于点P ,任作不通过P 点的直线l ,l 与直线A ,B ,C 分别交于A ,B ,C 三点,在P A 上任取一点M ,连B M 交P C 于N.连A N 交P B 于K ,连MK 交l 于P ,则有(AB ,CD )=-1.连P D ,即为所求第四调和线D , 即(AB ,CD )= -1PM B C D A N Kl A C B D如图4-9例8 已知三点形ABC 及平面上一点P (P 不在ABC 的任一边上).A P ,B P ,C P 与对边交于A ',B ',C ',且BC 与B 'C '交于A 1,CA 与C 'A '交于B 1,AB 与A 'B '交于C 1. 如图4-10.求证:(1)(BC ,AA ')= -1,(CA ,B 1B ')= -1 (2)A 1,B 1,C 1三点共线. 证明(1)由完全四点形C 'AB 'P 的调和性,可知 (BC ,A 1A ')= -1又(B ,C ,A 1,A ')∧(A ,C ,B ',B 1)∴(CA ,B 1B ')=(AC ,B 'B 1)=(BC ,A 1A ')= -1(2)由三点形ABC 和A 'B 'C '的对应点连线共点P ,由笛沙格定理可知,对应边交点A 1,B 1,C 1共线.A 1'图4-10例9 巴卜斯命题:设A 1,B 1,C 1与A 2,B 2,C 2为同一平面内两直线上的两组共线点,B 1C 2与B 2C 1交于L ,C 1A 2与C 2A 1交于M ,A 1B 2与A 2B 1交于N.如图4-11. 求证L ,M ,N 共线.证明A 1B 1N D C 1 M ELA 2B 2C 2 O图4-11∵(B 1,D ,N ,A 2)∧(O ,C 2,B 2,A 2) ∧(B 1,C 2,L ,E )∴(B 1,D ,N ,A 2)∧(B 1,C 2,L ,E ) 由于两点列底的交点B 1自对应,有(B 1,D ,N ,A 2)∧(B 1,C 2,L ,E )因此DC 2,NL ,A 2E 三直线共点M.即L ,M ,N 共线. □例10 如果三角形中一个角平分线过对边中点,那么这个三角形是等腰三角形. 证明 如图4-12,由于M 为AB 中点,C N ∞为外角平分线,则有 (AB ,C N ∞)= -1 ∴(AB M )= -1,(AB N ∞)= 1 即1-=BMAM1=MB AM而 1==BCAC MB AM 从而,AC =BC .□C N ∞A MB N ∞图4-12自测练习1.填空题(1)两点列间的射影对应是透视对应的充分必要条件是 .(2)共线四点的调和比为 .(3)四个共线点A ,B ,C ,D ,如果(AB ,CD )=r ,则(DA ,BC )= . (4)一维基本形的射影变换的不变元素的个数 .(5)射影变换有 对对应元素满足对合对应的要求,则一定是对合. 2.单选题(1)A ,B ,C ,D 为共线四点,且(CD ,BA )= k ,则(BD ,AC )=( ). A .k 1 B .k 11- C .kk-1 D .k (2)( )对不同的对应元素,确定唯一一个射影对应. A .1 B .2 C .3 D .4(3)两个一维基本形成射影对应,则对应四元素的交比( ). A .相等 B .不等 C .1 D .-1(4)线束S 的四直线A ,B ,C ,D 被任何一条直线S 截于四点A ,B ,C ,D ,若(AB ,CD )=k ,则(AB ,CD )=( )A .k1B .1-kC .k11-D .k 3.A ,B ,C ,D 为共线四点,如图4-13所示,相邻两点距离相等,计算这四点形成的各交比值.A B C D · · · ·图4-134.设A ,B ,C ,D ,E 为直线上五点,求证: (AB ,CD )·(AB ,DE )·(AB ,EC ) = 15.已知点A =(1,1,1),B =(1,-1,1), C =(1,O ,1)且(AB ,CD )= 2,求C 点坐标.6.若直线l 1,l 2,l 3,l 4的方程为(1)012=+-y x ,023=-+y x ,07=-y x ,015=-x (2)0=-y x ,02=+y x ,0=+y x ,03=-y x求(l 1l 2,l 3l 4).7.设P 1,P 2分别是坐标轴上的无穷远点,P 3是斜率为1的直线上的无穷远点,又(P 1P 2,P 3P 4)= m ,求P 4的坐标.8.设A ,B ,C ,D ,E 为共线五点,且(AD ,BC )=-1,(CE ,AB )=-1.求证4AC ·ED =3AD ·EC . 9.设ΔABC 的三条高线为AD ,BE ,CF 交于M 点,EF 和CB 交于点G .求证(BC ,DG )=-1.当AB =AC 时,还可以得到什么结果?10.设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形,XZ 分别交AC ,BD 于L ,M ,不用笛沙格定理证明YZ ,B L ,C M 共点(图4-14).M图4-1411.求以下重叠一维基本形的射影变换自对应点的参数(坐标). (1)066=+'+-'x x x x (2)01=+'+x x12.求两对对应元素,其参数211→,20→所确定的对合对应.参考答案1.(1)它们的底自对应,(2)1,(3)1-r r, (4)不能大于2,(5)一对 2.(1)B ,(2)C ,(3)A ,(4)D 3.34,43,31-,3-,41,4 4.用交比定义证明即可. 5.由A =(1,1,1),B =(1,-1,1)则 D =(1,0,1)=A +B ,于是λ2=1设C =A +λ1B ,由(AB ,CD )=21λλ=2可知λ1=2,所以C =A +2B =(3,-1,3)6.(1)l 1,l 2,l 3,l 4与x 轴的交点分别为211-=x ,322=x ,03=x ,514=x ∴ (l 1l 2,l 3l 4)=21 (2)l 1,l 2,l 3,l 4都过原点∴ (l 1l 2,l 3l 4)=-57.设P 1,P 2,P 3,P 4分别是直线上l 1,l 2,l 3,l 4上的无穷远点,其中 l 1:x = 0 l 2:y = 0l 3:y = x ,即x -y = 0 l 4:x +λy = 0则(l 1l 2,l 3l 4)=(P 1P 2,P 3P 4)= m以l 1,l 2为基线.由l 3:x -y = 0,得λ1=-1 l 4:x +λy = 0,得λ2=λ ∵(l 1l 2,l 3l 4)= m ∴21λλ=λ1-= m 代入l 4的方程中得y=mx∴P 4点的坐标为(1,m ,0).8.证明 设A ,B ,C 的坐标分别为A ,B ,A +B ,设D 为A +λ1B ,E 为A +λ2B , 由(AD ,BC )=-1,可知(AB ,DC )=1-(-1)=2 又(CE ,AB )=-1,可知(AB ,CE )=-1 则λ1=2,λ2=-1 ∴(CD ,AE )=43 (CD ,AE )=CE DA DE CA ⋅⋅=43即4AC ·ED =3AD ·EC .□9.如图,由完全四点AF M E 的调和性, 可知(BC ,DG )=-1当AB =AC 时,D 为BC 中点,所以G 为BC 直线上的无穷远点,因此EF ∥CB10.证明 由四点形ABCD ,根据定理,可知在AC 边上的四点A ,C ,Y ,L 调和分割即(AC ,XL )=-1.在四点形Y B ZL 中,L B 与YZ 交于N ,MN 与YL 交于C ,由定理可得(AC ',YL )=-1 ∴点C 应与点C '重合,即YZ ,B L ,C M 共点.□11.(1)0652=+-λλ λ1=3,λ2=2(2)012=+'+λλ0120=+'++'λλλλ01112='++'⋅λλλλ 自对应元素为λ=λ',将其代入上式得两自对应元素为λ1=∞,λ2=31-. 12.设0)(=+'++'d b a λλλλ为所求对合对应,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0202321d b d b a 所以 A : B : D =1 : 1 : -2即 02=-'++'λλλλ为所确定的对合对应.。

证明射影变换把直线映成直线

证明射影变换把直线映成直线

证明射影变换把直线映成直线
射影变换是指将一个射影平面映射到另一个射影平面的变换。

在射影平面上,直线可以表示为一个点集,因此射影变换将直线映射为另一个点集。

要证明射影变换把直线映成直线,可以采用以下步骤:
1. 假设直线L是射影平面P上的一个点集,且L不包含射影平面的无穷远点。

2. 设T为射影变换,将射影平面P映射到另一个射影平面P'。

3. 设L'为直线L在P'上的像点集,即L' = T(L)。

4. 要证明L'是一条直线,需要证明L'满足射影几何中直线的定义:任意两点都在L'上,且L'不包含无穷远点。

5. 由于L在P中不包含无穷远点,因此L'在P'中也不包含无穷远点。

6. 设P1和P2是L上的两个点,则它们在P中不为同一点。

7. 由于T是射影变换,因此它是一一对应的,即对于任意两个不同的点P1和P2,它们在P'中的像点T(P1)和T(P2)也不同。

8. 因此,T(P1)和T(P2)都在L'上,即L'包含P1和P2。

9. 综上,L'是一条直线,证毕。

因此,射影变换将直线映射为直线。

这个结论在射影几何中是非常重要的,因为它保证了射影变换可以保持直线和交点不变,从而可以在射影几何的研究中得到广泛应用。

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证明射影变换把直线映成直线

证明射影变换把直线映成直线

证明射影变换把直线映成直线
射影变换是指在投影几何中,通过将平面上的点映射到二维射影平面上,来描述三维空间的一类变换。

证明射影变换把直线映成直线可以用射影几何的相关理论来证明。

首先,我们需要定义什么是射影变换下的直线。

在射影几何中,一条直线可以看作是点的集合。

在射影变换下,如果该点集合在原始平面中构成了一条直线,则在射影平面中也应当构成一条直线,即射影变换下的直线仍然是直线。

现在我们需要证明射影变换将一条直线映射为另一条直线。

设在原始平面中有一条直线l,并且在射影平面中对应的直线是l'。

假设在原始平面中任取两点A和B,它们确定了一条直线l1。

由于射影变换保持交比不变,因此在射影平面中,映射后两点A'和B'的连线同样落在一条直线l1'上。

这意味着在射影平面中,直线l'包含了所有l1'上的点,从而l'也是一条直线。

综上所述,射影变换将一条直线映射为另一条直线。

在射影几何中,由于点和直线的等价性,这个结论同样适用于将一条直线映射为一个点或将一个点映射为一条直线的情况。

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• 点列、线束和面束都是射影几何研究的基 本结构。常称它们为基本形(fundamental forms)。它们互相之间能建立1-1对应的事 实,常用它们为同阶(same order)的这 一术语来表达,并说它们都是一阶(first order)的。
仿射变换与射影变换的几何表达 一维射影变换
Define 3.1
m11 x m12 y m21 x m22
射影变换中,非齐次坐标的变换关系是非 线性的一般地,n维射影变换的矩阵等式中 包含了n+1个方程,消去 后,得到变换前 后非齐次坐标的n个方程。

• 射影变换由M矩阵决定,而M矩阵有
(n 1)
2
个参数,但M与kM表示同一变换(因等式两边 (n 1)2 1 都是齐次坐标),故M的独立参数为
1 T
1
1 1 1
1
k2 1 1 A2 B2 k . A2 B2 k1
k2 (k is a scalar) k1
MA B M so
1 1 1
1 1 1
1
k . A B2 ,
1 2
1 2
A B and A B2 are similar matrices
根据相似矩阵的性质,这两个矩阵具有相同 的特征值。再假定B1也为可逆矩阵,则相 应的特征值不为0,因此根据特征值两两相 除(消去标量k),则得到两个不变量。可见同 一平面两个非退化二次曲线有两个绝对不 变量,当存在退化情况时,有一个特征值 为0,因此只有一个不变量。
第三讲 射影几何与几何元素表达
在计算机视觉中需要一些几何方面的知识,包 括欧几里德几何(或欧氏几何),仿射几何,射 影几何与微分几何.
基本概念
• 映射(1-1对应关系,重要。射影几何关注 的是点、线、面等几何元素组成的集合之 间的对应,有时也考察其他对应,包括几 何元素与数的对应、几何元素与字母的对 应) • 思考题:自然数集合: N = {1, 2, 3, 4, 5,…} 与自然数对(i,j),i,j=1,2,3,... 的集合:N2 = {(1,1),(1,2),(1,3),…,(2,1),(2,2),(2,3),…,(3,1) ,(3,2),(3,3),…} 为1-1对应的集合。(求解, 对角线次序法)
' ' ' '
线束的射影变换
• 平面上两个线束的射影变换及线束的交比。 如下图所示,平面上有两个线束O,O’,若 它们所有对应线的交点共线,则称这两个 线束的对应为中心射影。类似点列的射影 变换,有限次中心射影的积称为线束间的 射影变换。
Def 3.4 (线束的交比) 线束O中任意 四条直线的交比 R(l1 , l2 , l3 , l4 )
AC AD R( A, B, C, D) : BC BD
• Th3.1 射影变换保持点列的交比不变。
仿射变换
• 仿射变换是射影变换的特殊情况,当定义中心射影 的线束为互相平行的直线时,变换称为仿射变换, 由于线束中的直线互相平行,显然,仿射变换保持 AC AC 简比( BC B C position ratio)不变。
• 定义3. 8 一组几何元素由k个参数组成的向 量P1表示,若T为某一变换,T∈G,G为某 一变换群,这组几何元素经T变换后,其参 数组成的向量由P1变为P2(P1与P2均为k维 向量),则函数I(P)称为在变换群G下的绝对 不变量,假如I(P1)=I (TP1)=I(P2)
consider a transform of two ics
y M .x t
空间点的非齐次坐标有如上公式的变 换称为仿射变换,其中M为n维满秩矩 阵,x,y,t为n维向量,当M为单位正交 矩阵时,即是所谓的旋转平移变换。
不变量
• Th. 3. 5 射影变换保持直线,直线与点的接 合性以及直线上点列的交比不变.仿射变换 除具有以上不变性外,还保持直线与直线 的平行性、直线上点列的简比不变.欧氏变 换除具有仿射变换的不变性外,还保持两条 相交直线的夹角不变,任意两点的距离不 变
Def 3.5 非齐次坐标:在n维射影空 间中,若某点的非齐次坐标
x ( x1 , x2 ,....xn ), then x ( x1 , x2 ,..xn , X n 1 ) if xi xi / X n 1
且称x为齐次坐标
一维射影中 二维射影中
E (1,1), O (0,1), I (1,0)
1 T
1
1 T
1
if A1 is invertable matrix , A1 M MA I , then k2 .B2 ( M ) B1 M k1 A2 .MA B M , so MA B M
1 1 1 1 1 1 1 1 1 T 1
( M ) A1 M .MA B M
1 : X T A1 X 0, X T B1 X 0 Y MX
( M is sysmetric matrix, x is homegenious coordinates)
2 : Y T ( M 1 )T A1 M 1Y 0, Y T (M 1 )T B1M 1Y 0
仿射坐标系:0点,单位点E点,方 向
OA OA x ,y OEx OE y
Ix
• 射影变换保持交比不变,射影坐标系定义如下,直 线L上的一维射影坐标系由原点O,单位点E与无穷 远点I定义任意一点A的坐标由交比x=R(A,E,O,I)定 义。由交比定义得,E,O,I点的坐标分别为1,0, 。 • 二维平面上的射影坐标系由不共线的四点定义,即 O(原点),E(单位点),Ix(x轴上的无穷远点)与Iy(y轴上 的无穷远点)定义,平面上任意一点A的射影坐标由 两个交比定义,
• 由有限次中心射影的积定义的两条直线间 的一一对应变换称为一维射影变换.
二维(高维)射影变换
Def3.2 由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对 应变换称为二维射影变换.
交比不变量
• Def 3.3 (交比)若A,B,C,D为直线L上任意四 点,则下式定义的R称为交比(cross ratio)
• Th3.3 一维射影变换保持直线上点列的交比 不变,即
x1 x3 x1 x4 y1 y3 y1 y4 R( A, B, C , D) : R( A ', B ', C ', D ') : x2 x3 x2 x4 y2 y3 y2 y4
对比定理3.3与交比的定义,发现定理3.3表 述更一般和准确,事实上,交比中的每一 项应的是两点间非齐次射影坐标的差,只 有当直线上的坐标系为欧氏坐标系时,才 等于两点间的距离
由对应点求射影变换
• 由前可知,射影变换由M矩阵唯一确定,而由于 M与kM表示同一变换,因此,独立参数为 (n 1) 2 1, and yi M .xi ( xi and yi are known ,and they are n+1 dimensions,for eliminating the scalar , the projection transform can decide n equations about the M matrix elements) so m points can decide the elements of matirx M), if
来表示,如果d原来为有穷小数,改为等价的无穷循环小数(如0.4改为0.39999…),这样,(0,1) 间的每一个数都有一个且仅有一个实数与它对应;现令 x = 0.a1 a3 a5 a7…, y = 0.a2 a4 a6 a8… 也就是说,用d的奇数位小数作为x的小数,d的偶数位小数作为y小数,那么,对任意一个直线点d, 就有一个对应的平面点P(x,y)。且反之,有一个平面点P(x,y),其中 x = 0.a1 a2 a3 a4…, y = 0.b1 b2 b3 b4… 那么也有唯一的直线点 d = 0.a1 b1 a2 b2 a 3.b3… 与它对应。因此,单位平面点P(x,y)就和单位直线点d建立了1-1对应。这样就证明了(2)。
sin(l1 , l3 ) sin(l1 , l4 ) R(l1 , l2 , l3 , l4 ) : sin(l2 , l3 ) sin(l2 , l4 )
且容易证明
R(l1 , l2 , l3 , l4 ) R( A, B, C, D)
• Th3.2 射影变换保持线束的交比不变.
代数方法处理几何问题,欧氏坐标 系 定义了0点及单位长度、正交
x 0
一般地,n维仿射变换其矩阵形式 (特征)
mn 1,i 0, i 1, 2,...n
二维
m11 m 21 0
m12 m22 0
m13 m23 m33
y1 m11 y2 m21 y3 0 so
• 定理3. 4 保持点列的交比不变是射影变换的 充分必要条件
仿射变换的代数表达
• 一维 仿射变换是射影 变换的特例,在射影 2 几何中已证明,如果 y1 m11 m12 x1 射影变换使无穷远点 . 0 , so 仍变换为无穷远点, 0 m21 m22 m21 0 则变换为仿射变换, 在上述一维变换中, 若x为无穷远点,则
无穷直线上的点的集合与无穷平面上点的集合可以 建立1-1对应
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我们需要用以下三步来证明整个结论: (1)无穷直线与单位直线(0,1)中点可以建立1-1对应; (2)单位直线(0,1)与单位平面(0,1)×(0,1)中点可以建立1-1对应; (3)单位平面(0,1)×(0,1)与无穷平面的点可以建立1-1对应。 然后,根据1-1对应关系的传递性,就证明了无穷直线上的点与无穷平面上点也可以建立1-1对应。 其中(1)是明显的,我们只证(2)和(3)。先证(2)。 因(0,1)中点是小于1的数d,可以用一个无穷小数d=0.a1a2a3a4a5a6a7a8…
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