§72 平面向量的加法、减法和数乘向量(2)概论

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平面向量的加减与数乘

平面向量的加减与数乘

平面向量的加减与数乘平面向量是数学中重要的概念之一,它在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将讨论平面向量的加减与数乘运算,以及它们的性质和应用。

一、平面向量的表示平面向量可以用有序的数对表示,如向量AB可以表示为(AB),其中A和B是向量的起点和终点。

另外,向量也可用坐标表示,如向量AB的坐标表示为(AB) = (x2 - x1, y2 - y1),其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是A和B的坐标。

二、平面向量的加法设有两个平面向量AB和CD,它们的起点分别为A和C,终点分别为B和D。

向量AB和CD的和为向量AD,即(AB) + (CD) = (AD)。

将向量AB平移到向量CD的起点,然后从起点画一条向量,这条向量就是向量AD。

三、平面向量的减法与向量的加法不同,向量的减法是通过减去一个向量得到另一个向量。

设有两个平面向量AB和CD,它们的起点分别为A和C,终点分别为B和D。

向量AB和CD的差为向量AC,即(AB) - (CD) = (AC)。

将向量CD平移到向量AB的起点,然后从起点画一条向量,这条向量就是向量AC。

四、平面向量的数乘平面向量的数乘是将向量的长度与一个实数相乘,从而改变向量的长度和方向。

设有一个平面向量AB和实数k,向量AB的数乘为k(AB),即k乘以向量的长度。

当k>0时,数乘向量的方向与原向量相同;当k<0时,数乘向量的方向与原向量相反。

五、平面向量运算的性质1. 加法的交换律:对于任意的平面向量AB和CD,有(AB) + (CD) = (CD) + (AB)。

2. 减法的性质:对于任意的平面向量AB和CD,有(AB) - (CD) = (AB) + (-CD),其中-CD是向量CD的相反向量。

3. 结合律:对于任意的平面向量AB、CD和EF,有(AB) + ((CD) + (EF)) = ((AB) + (CD)) + (EF)。

4. 数乘和加法的分配律:对于任意的实数k和平面向量AB、CD,有k((AB) + (CD)) = k(AB) + k(CD)。

平面向量的加法和减法

平面向量的加法和减法

平面向量的加法和减法在数学学科中,平面向量是一个非常重要的概念。

它不仅在几何学中有广泛的应用,而且在物理学、工程学等领域也扮演着重要的角色。

平面向量的加法和减法是其中最基本的运算,本文将对这两个运算进行详细的解析和说明。

一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

在平面直角坐标系中,向量可以用有序数对表示,即(x, y)。

假设有两个向量a和b,它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂),则它们的和向量c的坐标为(a₁+b₁, a₂+b₂)。

例如,有向量a(2, 3)和向量b(4, -1),它们的和向量c的坐标为(2+4, 3+(-1)),即c(6, 2)。

这意味着向量a和向量b的和向量c的起点与a的起点相同,终点与b的终点相同。

通过向量的加法,我们可以得到两个向量的合力向量。

合力向量的起点与第一个向量的起点相同,终点与第二个向量的终点相同。

这在物理学中有着重要的应用,例如计算物体在斜面上的合力。

二、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

在平面直角坐标系中,向量的减法可以通过向量的加法和取负得到。

假设有两个向量a和b,它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂),则它们的差向量d可以表示为d = a - b = a+ (-b),其中(-b)表示向量b的负向量,即(-b) = (-b₁, -b₂)。

例如,有向量a(2, 3)和向量b(4, -1),它们的差向量d可以表示为d = a - b = (2, 3) + (-4, 1) = (-2, 4)。

这意味着向量d的起点与a的起点相同,终点与b的终点相同。

通过向量的减法,我们可以计算两个向量之间的距离和方向。

例如,若向量a表示一个物体的位移,向量b表示一个参考点的位置,那么向量d就表示物体相对于参考点的位移。

三、应用举例1. 平面向量的加法应用举例假设有一个飞机从A地飞往B地,然后从B地飞往C地。

平面向量的运算规则

平面向量的运算规则

平面向量的运算规则平面向量是研究平面上有大小和方向的量,常用于解决几何问题和物理问题。

为了对平面向量进行运算,我们需要了解平面向量的运算规则。

本文将介绍平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算规则,以及向量的共线性和平行性。

一、平面向量的加法规则对于平面上的两个向量A和A,它们的加法规则如下:A + A = A + A即向量的加法满足交换律。

二、平面向量的减法规则对于平面上的两个向量A和A,它们的减法规则如下:A - A≠ A - A向量的减法不满足交换律。

减法运算可以通过将减法转化为加法进行计算:A - A = A + (-A)其中,-A表示向量A的反向向量,即大小相等,方向相反。

三、平面向量的数乘规则对于平面上的向量A和一个实数A,它们的数乘规则如下:AA = AA即数乘满足交换律。

数乘后的向量与原向量大小相等,方向与原向量平行或反向。

四、平面向量的数量积规则平面向量的数量积又称为点积或内积。

对于平面上的两个向量A和A,它们的数量积规则如下:A·A = AA cosθ其中,A·A表示向量A和A的数量积,AA为A和A的模的乘积,θ为A和A之间的夹角。

根据数量积的定义,我们可以得到以下结论:1. 若A·A = 0,则A与A垂直,即A和A互相垂直。

2. 若A·A > 0,则A与A夹角为锐角。

3. 若A·A < 0,则A与A夹角为钝角。

五、平面向量的共线性和平行性对于平面上的两个向量A和A,它们的共线性和平行性判断规则如下:1. 共线性判断:若存在一个实数A,使得A = AA,则A与A共线,且方向相同或相反。

2. 平行性判断:若A与A共线且方向相同或相反,则A与A平行。

总结:平面向量的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积。

其中,加法满足交换律,减法不满足交换律,数乘满足交换律。

数量积可以判断向量的垂直性和夹角的锐钝性。

同时,共线性和平行性的判断也是平面向量运算中的重要内容。

平面向量的加法减法和数乘向量

平面向量的加法减法和数乘向量

教案序号授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日课时 1 授课形式复习课授课章节名称§7.2平面向量的加法、减法和数乘向量内容分析本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如推广的思想、类比的思想、数形结合的思想等,同时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值。

学情分析学生已经学过平面向量的知识,为本课内容的学习做了铺垫。

教学目标进一步巩固向量的加法运算性质,向量的减法运算性质教学重点向量的加法与减法的意义与几何运算教学难点向量的加法与减法的意义与几何运算教学资源分析多媒体、尺规课外作业板书设计平面向量基本定理一、复习引入二、讲解范例例1:例2:教学后记课堂教学安排教学程序时间分配教学内容与师生互动教学方法设计意图导入2min新授33min 一、复习:1︒向量的概念:定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量2︒向量的加法与减法:定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律二、讲解范例例一、设a表示“向东走3km”,b表示“向北走3km”,则a + b表示向东北走23km解:OB= OA+AB;233322=+=OB(km)例二、例三、试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证:由向量加法法则:AB= AO+OB, DC= DO+OC由已知:AO=OC, DO=OB∴AB=DC即AB与CD 平行且相等∴ABCD为平行四边形Ba+b bO a A例四、在正六边形中,若OA = a ,OE = b ,试用向量a 、b 将OB 、OC 、OD 表示出来。

解:设正六边形中心为P 则=++=+=OA OE OA PB OP OB )(a + b + a=+=PC OP OC a + b + a + b由对称性:OD = b + b + a三、 “备用题”:例一、化简FA BC CD DF AB ++++ 解:FABC CD DF AB ++++=FA DF CD BC AB ++++=FA DF CD AC +++=FA DF AD ++=A BD COA BO P CE FFA AF += 0例二、在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果船从岸边出发,径直沿垂直与水流的航线到达对岸,那么船行进的方向应该指向何处?解:如图:船航行的方向是与河岸垂直方向成30︒夹角, 即指向河的上游。

平面向量的运算法则

平面向量的运算法则

平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量,通常用箭头表示。

在平面上,我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算,下面将详细介绍这些运算法则。

1.平面向量的加法:设有平面向量A和B,表示为⃗A和⃗B,其加法运算为:⃗A+⃗B=⃗C,其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。

加法满足以下性质:-交换律:⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律:(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法:设有平面向量A和B,表示为⃗A和⃗B,其减法运算为:⃗A-⃗⃗B=⃗C,其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。

3.平面向量的数乘:设有平面向量A和实数k,表示为⃗A和k,其数乘运算为:k⃗A=⃗B,其中B的大小等于A的大小乘以k,方向与A相同(若k>0),或相反(若k<0)。

数乘满足以下性质:- 结合律:k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律:(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘(数量积):设有平面向量A和B,表示为⃗A和⃗B,其点乘运算为:⃗A · ⃗B = ABcosθ,其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。

点乘满足以下性质:-交换律:⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律:(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律:(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下:-若⃗A与⃗B垂直,即⃗A·⃗B=0,则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。

-若⃗A和⃗B非零,且⃗A·⃗B>0,则夹角θ为锐角。

-若⃗A和⃗B非零,且⃗A·⃗B=0,则夹角θ为直角。

-若⃗A和⃗B非零,且⃗A·⃗B<0,则夹角θ为钝角。

5.平面向量的叉乘(向量积):设有平面向量A和B,表示为⃗A和⃗B,其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n,其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量,θ为A和B 的夹角。

平面向量的基本概念和运算

平面向量的基本概念和运算

平面向量的基本概念和运算平面向量是指具有大小和方向的矢量,它在平面内进行运算和表示。

平面向量的概念和运算是数学中的重要内容,在几何、物理等学科中都有广泛的应用。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算方法。

一、平面向量的表示方法平面向量可以用一个有序对表示,即(A, B),其中A和B分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

另一种表示方法是使用向量符号,如→AB,表示从点A指向点B的向量。

向量符号上方的箭头表示向量的方向,向量的长度表示向量的大小。

二、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量。

设向量→AB表示向量A,向量→CD表示向量B,则向量A与向量B的和为向量→AC,即:→AB + →CD = →AC向量的加法满足交换律和结合律,即不论加法的顺序如何,结果都是相同的。

三、平面向量的减法平面向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设向量→AB表示向量A,向量→CD表示向量B,则向量A减去向量B的差为向量→AD,即:→AB - →CD = →AD减法可以看作是加法的逆运算,即将被减去的向量取相反数后再进行加法运算。

四、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积,表示两个向量之间的乘积。

设向量→AB表示向量A,向量→CD表示向量B,则向量A与向量B的数量积为:→AB · →CD = |→AB| |→CD| cosθ其中,|→AB|和|→CD|分别表示向量A和向量B的长度,θ表示两个向量之间的夹角。

数量积具有交换律和分配律,即对于两个向量A、B和一个实数k,有以下性质:1. →AB · →CD = →CD · →AB2. (k→AB) · →CD = k(→AB · →CD)3. (→AB + →CD) · →EF = →AB · →EF + →CD · →EF五、平面向量的向量积平面向量的向量积也称为叉积,表示两个向量之间的向量乘积。

平面向量的运算平面向量的加法减法及数量积的性质

平面向量的运算平面向量的加法减法及数量积的性质

平面向量的运算平面向量的加法减法及数量积的性质平面向量的运算:平面向量的加法、减法及数量积的性质平面向量是数学中的重要概念,它具有方向和大小两个基本属性。

在平面向量的运算中,主要包括加法、减法以及数量积。

本文将详细介绍平面向量的这三种运算及其性质。

一、平面向量的加法与减法平面向量的加法和减法是两种基本的运算操作。

下面先介绍平面向量的加法。

1. 平面向量的加法设有两个平面向量a→=(a1,a2)和a→=(a1,a2),它们的加法定义如下:a→+a→=(a1+a1,a2+a2)即将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

例如:a→=(2,3),a→=(1,4)a→+a→=(2+1,3+4)=(3,7)2. 平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法运算。

设有两个平面向量a→=(a1,a2)和a→=(a1,a2),它们的减法定义如下:a→−a→=a→+(−a→)即将向量a→取负号,再与向量a→进行加法运算。

例如:a→=(2,3),a→=(1,4)a→−a→=a→+(−a→)=(2,3)+(−1,−4)=(2−1,3−4)=(1,−1)二、平面向量的数量积及性质平面向量的数量积是两个向量之间的乘法运算,它也被称为点积或内积。

平面向量的数量积具有以下性质。

1. 定义设有两个平面向量a→=(a1,a2)和a→=(a1,a2),它们之间的数量积定义如下:a→·a→=a1a1+a2a2即将两个向量对应分量的乘积相加。

例如:a→=(2,3),a→=(1,4)a→·a→=2×1+3×4=2+12=142. 性质平面向量的数量积具有以下性质:(1)交换律a→·a→=a→·a→即两个向量的数量积不受顺序的影响。

(2)分配律a→·(a→+a→)=a→·a→+a→·a→即将一个向量与两个向量的和的数量积等于该向量与这两个向量的数量积之和。

平面向量的概念和运算

平面向量的概念和运算

平面向量的概念和运算一、概念介绍平面向量是指在平面内用有向线段表示的量,具有大小和方向。

平面向量常用箭头表示,箭头的长度表示向量的大小,箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的表示方法平面向量可以用两点表示,如果两点分别为A和B,那么向量AB通常用→AB表示,A为向量的起点,B为向量的终点。

向量的大小记为|→AB|。

三、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设向量→AB和→CD,可以将向量→AB和向量→CD的起点放在一起,将向量→CD的终点放在向量→AB的终点,这样得到的向量就是→AB + →CD。

2. 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设向量→AB和→CD,可以将向量→AB的起点放在→CD的终点,将向量→AB的终点放在→CD的起点,这样得到的向量就是→AB - →CD。

3. 数乘运算数乘运算是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

设向量→AB,实数k,那么k→AB的大小为|k|×|→AB|,方向与→AB相同(当k > 0)或相反(当k < 0)。

4. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积(又称点积、内积)定义为|→AB|×|→CD|×cosθ,其中θ为→AB和→CD之间的夹角。

5. 平面向量的向量积平面向量→AB和→CD的向量积(又称叉积、外积)定义为一个新的向量→E,其大小等于|→AB|×|→CD|×sinθ,方向垂直于→AB和→CD所在的平面,符合右手法则。

四、平面向量的应用平面向量的概念和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。

例如,在力学中,用平面向量可以表示力的大小和方向;在几何学中,可以用平面向量表示线段的长度和方向。

总结:平面向量是用有向线段表示的量,具有大小和方向。

平面向量的运算包括向量加法、向量减法、数乘运算、数量积和向量积。

平面向量的应用涉及数学和物理学的各个领域。

(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算

(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算

注意:(1)两相向量的和仍是一个向量;(2)当向量a r 与b r 不共线时,a r +b r 的方向不同向,且|a r +b r |<|a r |+|b r |;(3)当a r 与b r 同向时,则a r +b r 、a r 、b r 同向,且|a r +b r |=|a r |+|b r |;当a r 与b r 反向时,若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同,且|a r +b r |=|a r |-|b r |,若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同,且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律:a r +b r =b r +a r3.向量加法的结合律:(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证:知识点二 向量的减法1.用“相反向量”定义向量的减法:“相反向量”的定义: 记作 规定:零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量,则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义:向量a r 加上的b r 相反向量,叫做a r 与b r 的差,即:a r - b r = a r + (-b r )2.用加法的逆运算定义向量的减法:3.求作差向量:已知向量a r 、b r ,求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法:在平面内取一点O , 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义:实数λ与向量a ρ的积是一个 ,这种运算叫做向量的数乘,记作: ,其长度与方向规定如下:(1)|λa ρ|=|λ||a ρ| (2)λ>0时λa ρ与a ρ方向相同;λ<0时λa ρ与a ρ方向相反;λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律:λ(μa ρ)=第一分配律:(λ+μ)a ρ= 第二分配律:λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。

平面向量的定义与加减乘法

平面向量的定义与加减乘法

平面向量的定义与加减乘法平面向量是数学中的一个重要概念,它在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将从平面向量的定义入手,逐步介绍向量的加减乘法,并探讨其几何意义和实际应用。

一、平面向量的定义平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

通常用有向线段来表示,线段的起点表示向量的起点,线段的长度表示向量的大小,线段的方向表示向量的方向。

在平面直角坐标系中,可以用坐标表示平面向量。

设向量A的起点为原点O,终点为点P(x,y),则向量A可以表示为A=(x,y)。

其中,x称为向量A在x轴上的投影,y称为向量A在y轴上的投影。

二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2),则它们的和C=A+B=(x1+x2,y1+y2)。

向量的加法满足交换律和结合律。

即A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C)。

这意味着向量的加法不依赖于向量的起点,只与向量的大小和方向有关。

几何上,向量的加法可以理解为将一个向量的终点与另一个向量的起点相连,得到一个新的向量。

这个新向量的起点与第一个向量的起点相同,终点与第二个向量的终点相同。

三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有两个向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2),则它们的差C=A-B=(x1-x2,y1-y2)。

向量的减法可以理解为将第二个向量取反,然后进行向量的加法。

即A-B=A+(-B)。

几何上,向量的减法可以理解为将一个向量的终点与另一个向量的终点相连,得到一个新的向量。

这个新向量的起点与第一个向量的起点相同,终点与第二个向量的起点相同。

四、向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。

设有一个向量A=(x,y)和一个实数k,则它们的数量积B=kA=(kx,ky)。

数量乘法改变了向量的大小,但保持了向量的方向。

当k>0时,向量的数量乘法使向量的大小增大;当k<0时,向量的数量乘法使向量的大小减小,并改变了向量的方向。

高等数学向量及其加减法向量与数的乘法.ppt

高等数学向量及其加减法向量与数的乘法.ppt

λ2
向量的单位化:
a

设a 0,则向量| a | 是与 a 同方向的单位向量,记为a(表示
非零向量a同向的单位向量, ︱ a0︱=1 ).
于是a | a | a.
例 1 在平行四边形 ABCD 中,设 AB a,AD b.试用
a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 、MD ,其中 M 是平行四边
、| a
|、|
M1M
|.
2
单位向量:
模等于1的向量叫做单位向量.
零向量: 模等于0的向量叫做零向量,记作0. 零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.
向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量
平行.向量a与b平行,记作a // b. 零向量认为是与任何向量都平行.
向量与数的乘积符合下列运算规律: (1)结合律( a )( a )( )a; (2)分配律()aa a; ( a b )a b.
向量平行的充分必要条件: 定理1 设向量 a 0,那么,向量 b 平行于 a 的充分必要条
件是:存在唯一的实数,使 b a.( 向量 b 平行于 a 的充分
a =0 +b 必要条件是:存在不全为零的实数λ1 、 λ2 ,使 λ1
例如,b,i,j,k,F,n
,i

j

k

以M1为起点、M 2为终点的有向线段所表示的向量,记作.
M1M 2 .
z
M2
M1
O
y
x
向径:
以原点O为起点,向一个点M引向量, 这个向量叫做点M 对 于点O的向径,常用r或 r 表示.
z
M r
O
y
x

平面向量的加法和减法

平面向量的加法和减法

平面向量的加法和减法平面向量是数学中一个重要的概念,它可以表示平面上的位置和方向。

在进行平面向量的运算时,加法和减法是两个最基本的操作。

本文将详细介绍平面向量的加法和减法的定义、性质和运算规则。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的箭头,它可以表示平面上的位移或者方向。

平面向量通常用有向线段来表示,箭头的起点表示向量的起点,箭头的长度表示向量的大小,箭头的方向表示向量的方向。

平面向量常用小写字母加上有向线段的箭头来表示,例如:AB →。

二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有平面向量AB → 和CD →,它们的加法定义为:AB → + CD → = AD →。

即将向量AB → 的起点和向量CD → 的终点相连得到的向量AD → 就是它们的和向量。

三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有平面向量AB → 和CD →,它们的减法定义为:AB → - CD → = AD →。

即将向量AB → 的起点和向量CD → 的终点相连得到的向量AD → 就是它们的差向量。

四、平面向量的运算规则1. 平面向量的加法满足交换律和结合律。

即对于任意两个向量AB→ 和CD →,有AB → + CD → = CD → + AB → 和(AB → + CD →) + EF → = AB → + (CD → + EF →)。

2. 零向量是一个特殊的向量,它表示大小为0的向量。

对于任意向量AB →,有AB → + 0 → = AB →。

3. 平面向量的减法可以转化为加法,即AB → - CD → = AB → + (-CD →),其中-CD → 表示向量CD → 的反向大小相等的向量。

4. 如果两个向量的大小相等,并且方向相反,则它们相互抵消,和向量为零向量。

即如果AB → = -CD →,则AB → + CD → = 0 →。

5. 平面向量的加法和减法可以通过图形法或坐标法进行计算。

平面向量的加法减法与数乘运算课件

平面向量的加法减法与数乘运算课件

数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中,向量加法可以应用于力的 合成,例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中,向量加法可以用于表示 电磁场中的向量,例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念,通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识,进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点,终 点为线段的终点
向量的长度和方向

平面向量的加法与减法运算

平面向量的加法与减法运算

平面向量的加法与减法运算平面向量是描述平面上一个点到另一个点的位移关系。

在数学中,我们可以通过向量的加法与减法运算来进行向量的组合与分解,使得向量运算更加灵活和方便。

本文将介绍平面向量的加法与减法运算的概念、性质以及应用。

一、平面向量的概念与表示平面向量可以用有序数对或矩阵表示。

例如,向量AB可以表示为(AB)或列矩阵[a, b]。

其中,a为x轴的分量,b为y轴的分量。

二、平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加,得到它们的和向量。

设有向量AB和向量CD,向量AB的分量为(a₁, b₁),向量CD的分量为(a₂, b₂)。

则AB + CD的分量为(a₁ + a₂, b₁ + b₂)。

三、平面向量的减法运算平面向量的减法运算是指将两个向量相减,得到它们的差向量。

设有向量AB和向量CD,向量AB的分量为(a₁, b₁),向量CD的分量为(a₂, b₂)。

则AB - CD的分量为(a₁ - a₂, b₁ - b₂)。

四、平面向量的性质1. 加法交换律:对于任意两个平面向量AB和CD,有AB + CD = CD + AB。

2. 加法结合律:对于任意三个平面向量AB、CD和EF,有(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF)。

3. 减法定义:对于任意两个平面向量AB和CD,有AB - CD = AB+ (-CD),其中-CD表示向量CD的反向量。

4. 零向量的性质:对于任意平面向量AB,有AB + 0 = AB和AB - AB = 0,其中0表示零向量。

5. 向量的倍数:对于任意平面向量AB和实数k,有k(AB) = (k·a, k·b),其中k·a和k·b分别为a和b的k倍。

6. 减法性质:对于任意三个平面向量AB、CD和EF,有AB + CD= EF,则AB = EF - CD。

五、平面向量的应用1. 平面向量的运动学应用:平面向量可以用于描述物体在平面上的运动情况,如速度、加速度等。

7.2-平面向量的加法、减法和数乘向量

7.2-平面向量的加法、减法和数乘向量

总结:
向量的加法满足交换律与结合律。
典例分析
例2:如图所示,已知a,b,用向量加法的三角形法则
作和向量a b。
a
解析:作AB a,BC b;
b
(1)
AB
C
a b AB BC AC
a b
(2)
解析:作OM a,MN b;
a b OM MN ON
O
M N
D
C
(1)小船的静水速度是多少? (2)小船的航向如何确定? (3)试用水速度和小船的实际 速度来表示小船的静水速度。
A
B
b
Oa
B
a -b
A


OB BA OA


OA OB BA
• 思考交流:
试画图说明


a b a ( b)


b
a b

a


a ( b)
(1)( a) ( )a;
(2)( )a a a;
(3) (a b) a b.
特别地:( )a a a b a b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 39
例7、计算下列各式
(1)(3) 4a
2) b 可以是零向量吗?
例6,思考交流,
书本P47,练习1,2,3,4
42
46
(2)BC AB _A_C__;
D
(3) AB BC CD _A__D__; O
(4)AB BC CD __A_D__A;
B
(5)AB BC CD DA ___0___。

§7.2 平面向量的加法、减法和数乘向量

§7.2 平面向量的加法、减法和数乘向量

教案(首页)编号:YJSD/JWC-17-10
课 堂 教 学 安 排
教学过程
主 要 教 学 内 容 及 步 骤
如图,已知向量a 、b .在平面内任取一点A ,作AB =a ,BC =b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作b a +,即b a +AC BC AB =+=,规定:
a a +=+00
注:两相向量的和仍是一个向量; 例1、已知向量a 、b ,求作向量a +b
作法:在平面内取一点,作a OA = b AB =,则b a OB +=. 3、加法的交换律和结合律
1)向量加法的交换律:a +b =b +a
2)向量加法的结合律:(a +b ) +c =a + (b +c ) (二)向量的减法
1、用“相反向量”定义向量的减法
(1) “相反向量”的定义:与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a
(2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0
(3) 向量减法的定义:向量a 加上的b 相反向量,叫做a 与b 的差. 即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2、用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算:
A
B
C
a +b
a +b
a
a b
b a

b a
a。

平面向量的运算

平面向量的运算

平面向量的运算平面向量是二维空间中的有方向的量,可以通过各种运算来进行计算和处理。

本文将涉及到平面向量的基本运算,包括向量的加法、减法、数乘、模长和单位向量等。

并将通过具体实例和图表来帮助读者更好地理解和应用这些运算。

一、向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量的操作。

设有两个向量A和A,分别表示为:A = (A₁, A₁)A = (A₂, A₂)则向量A和A的加法运算为:A + A = (A₁ + A₂, A₁ + A₂)在坐标平面上,A + A的结果就是将向量A的起点放在向量A的终点,然后连接向量A的起点和向量A的终点。

二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。

设有两个向量A和A,分别表示为:A = (A₁, A₁)A = (A₂, A₂)则向量A和A的减法运算为:A - A = (A₁ - A₂, A₁ - A₂)在坐标平面上,A- A的结果就是连接向量A的起点和向量A的终点。

三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量的操作。

设有一个向量A,表示为:A = (A, A)A为实数,则向量A的数乘运算为:AA = (AA, AA)在坐标平面上,将向量A的长度缩放A倍,方向保持不变。

四、向量的模长向量的模长,也称为向量的长度,表示为向量起点到终点的距离。

设有一个向量A,表示为:A = (A, A)则向量A的模长为:|A| = √(A² + A²)模长为非负实数,表示向量的大小。

五、单位向量单位向量是指模长为1的向量。

通过将一个非零向量除以它的模长即可得到单位向量。

设有一个非零向量A,表示为:A = (A, A)则单位向量A为:A = (A/|A|, A/|A|)其中,|A|为向量A的模长。

单位向量在方向上与原向量相同,但长度为1。

六、向量的运算性质1. 交换律:向量的加法满足交换律,即A + A = A + A。

平面向量的加法和减法运算

平面向量的加法和减法运算

平面向量的加法和减法运算在数学中,平面向量是一个具有大小和方向的量,可以用箭头表示。

平面向量具有加法和减法运算,可以进行向量之间的加减操作。

本文将介绍平面向量的加法和减法运算,包括定义、性质和实际应用等方面的内容。

一、平面向量的定义平面向量通常用有序数对表示,即(a, b),其中a和b分别表示向量在坐标轴上的投影。

向量也可以用有向线段表示,起始点和终点分别表示向量的起点和终点。

在平面向量中,起点和终点是没有重要意义的,因为向量的性质只与大小和方向有关。

二、平面向量的加法运算平面向量的加法定义为:对于向量A(a, b)和向量B(c, d),它们的加法运算为A + B = (a + c, b + d)。

即将两个向量在相应轴上的分量分别相加得到新的向量。

这个过程可以用平行四边形法则进行可视化理解,即将两个向量的起点放在同一点,然后将它们的终点相连,形成一个平行四边形,新的向量即为对角线向量。

三、平面向量的减法运算平面向量的减法定义为:对于向量A(a, b)和向量B(c, d),它们的减法运算为A - B = (a - c, b - d)。

即将B的每个分量取相反数,然后与A的分量进行相加。

减法运算也可以用平行四边形法则进行可视化理解,即将向量B取相反向量,然后按照向量加法的方式进行操作。

四、平面向量运算的性质平面向量的加法和减法运算满足以下性质:1. 交换律:A + B = B + A,A - B ≠ B - A2. 结合律:(A + B) + C = A + (B + C),(A - B) - C ≠ A - (B - C)3. 加法单位元:对于任意向量A,存在零向量O(0, 0),使得A + O = A4. 加法逆元:对于任意向量A,存在相反向量-B,使得A + (-B) =O5. 数乘结合律:k(A + B) = kA + kB,(k + n)A = kA + nA6. 数乘分配律:k(A - B) = kA - kB五、平面向量运算的实际应用平面向量的加法和减法运算在各个领域有着广泛的应用,例如:1. 物理学:平面向量用于描述物体的位移、速度和加速度等物理量,通过向量的加减法运算可以得到合成位移、合成速度等。

平面向量的加法和减法

平面向量的加法和减法

平面向量的加法和减法平面向量是研究平面上几何问题的重要工具之一,它可以描述平面上的位移、力量以及速度等物理量。

平面向量有两种基本运算,即加法和减法。

本文将详细介绍平面向量的加法和减法运算规则以及应用。

一、平面向量的表示平面向量通常用有向线段表示,其中有向线段的起点表示向量的起点,终点表示向量的终点。

一般用大写字母加箭头表示向量,例如向量AB用记作⃗AB。

二、平面向量的加法若有向线段AB和有向线段BC,它们的起点和终点相连,得到一个有向线段AC,即线段AC使得A、B和C三点共线且满足线段的方向规定,则称向量AC为向量AB与向量BC的和,记作⃗AC = ⃗AB+ ⃗BC。

计算平面向量的加法非常简单,只需将两个向量的起点和终点连在一起即可得到它们的和向量。

例如,向量⃗AB = (3, 2)和向量⃗BC = (-1, 4),根据加法运算规则,我们可以得到向量⃗AC = ⃗AB + ⃗BC = (3 + (-1), 2 + 4) = (2, 6)。

三、平面向量的减法若有向线段AC和有向线段AB,它们的起点和终点相连,得到一个有向线段BC,即线段BC使得A、B和C三点共线且满足线段的方向规定,则称向量BC为向量AC减去向量AB,记作⃗BC = ⃗AC -⃗AB。

平面向量减法的计算方法与加法类似,只需将减去的向量的起点和终点与被减向量的起点和终点连在一起即可得到减法的结果向量。

例如,向量⃗AC = (2, 6)和向量⃗AB = (3, 2),根据减法运算规则,我们可以得到向量⃗BC = ⃗AC - ⃗AB = (2 - 3, 6 - 2) = (-1, 4)。

四、平面向量的性质1. 交换律:两个向量的加法满足交换律,即⃗AB + ⃗BC = ⃗BC+ ⃗AB。

2. 结合律:三个向量的加法满足结合律,即(⃗AB + ⃗BC) + ⃗CD= ⃗AB + (⃗BC + ⃗CD)。

3. 零向量:定义了一个特殊的向量,它的坐标为(0, 0),任何向量与零向量相加都得到其本身,即⃗AB + ⃗0 = ⃗AB。

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b
a
ab
a
b
ab
典例分析
例2:如图所示,已知平行四边形ABCD ,
AC、BD为对角线。
(1)AB AD ____A__C____;
(2)BD AB ____A__D____.
D
C
O
A
B
练一练
如图所示,已知O是正六边形ABCDEF的中心,
则:
A
F
(1)OA OC __O__B__;
(2)BC EF ___0___;
课堂小结
1、平面向量加法的平行四边形法则,运用平行 四边形法则求两个向量和向量的方法与基本步骤。
2、平行四边形法则与三角形法则的区别与联系。
课堂作业 练习册P26第2(1)(2)(3),预习下一节内容。
同学们再见!
B
O
E
(3)OA FE ___0___;
C
D
(4)AB BC CD DE EF FA ____0____。
思考交流
1、用向量加法的平行四边形法则能求出共线 向量的和向量吗?
2、向量加法的平行四边形法则与三角形法则 有什么区别与联系?请与同伴交流。
动手 做做看!
看一看、想一想
a b
b a
a b
A
C
a ab
Ob B
典例分析
例1:如图所示,已知a,b,用向量加法的平行四边形
法则作和向量a b。
b
C
D
a
A
B
解:在平面内任取一点A,作AB b,AC a,
以AC、AB为邻边作平行四边形ABDC,
则:AD a b.
练一练
如图所示,已知a,b,用向量加法的平行四边形
法则作和向量a b。
江苏省职业学校文化课教材
《数学·基础模块》(下册)
§7.2 平面向量的加法、减法 和数乘向量(1)
——平面向量的加法(二)
情境探究
小明从家O点出发到学校B点,周边的道路如图 所示,四点O,A,B,C构成平行四边形OABC。
(1)小明从家到学校有几种途径?所发生的位移如何表示?
(2)如果OA a,OC b,与a,b分别相等的向量有哪些 ?
ab
ab a
问题解决
向量加法的平行四边形法则在物理学中求合 力时经常遇到。如图所示,一个拉紧的弓箭,箭 尾受到两个方向的力的作用,最终形成合力,使 箭向靶心飞行。
(1)用向量加法的平行四边形法则作出 箭尾所受两个方向力F1、F2的合力F。
(2)如果力F1、F2的大小为100N,它 们的夹角为90°,则它们的合力F的大小 是多少?
(3)a,b,a b之间位置关系如何?
C
B
b ab
O
aA
平面向量加法的平行四边形法则
任意两个不供线的非零 向量a,b,在平面内任取一点O, 作OA a,OB b,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB, 以O为起点的线向量 OC就是向量 a与b的和。
即:在平行四边形 OACB中,OA OB OC
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