习题3 递推关系

习 题 三

3-1 解下列递推关系：

（1）⎩⎨⎧===+---1

,00

1071021a a a a a n n n （2）⎩⎨⎧===++--1,00961021a a a a a n n n

（3）⎩⎨⎧===+-2,00102a a a a n n （4）⎩⎨⎧==-=--1210

2

1a a a a a n n n

（5）⎩⎨⎧===-+=---2,1,099210

3

21a a a a a a a n n n n

（解）（1）特征方程为010x 7x 2

=+-。解得2x 1=，5x 2=，故通解为

n n n B A a 52⋅+⋅=

分别令n ＝0，1，并代入初值1010==a a ,

得关于系数A 、B 的方程组

⎩⎨

⎧=+=+1

520

B A B A 解得31-

=A ，3

1

=B 。所以定解为 n a ＝

()

n n

253

1- （2）特征方程为0962

=+-x x 。解得321==x x ，故通解为

()n n Bn A a 3⋅+=

代入初值得

⎩

⎨

⎧=+=1330

B A A 解得0=A ，3

1

=

B 。 ∴ 1333

1-==

n n

n n n a

（3）特征方程为012

=+x 。解得i x ±=，故通解为

()n

n n i B i A a -⋅+⋅=

代入初值得

⎩⎨

⎧=-=+2

Bi Ai B A 解得i A -=，i B =。

∴ n a ＝()n

n i i i i -+⋅-＝()

1

1---+n n i i ＝()

11

11---+n n i )(

可以看出，此数列为：0，2，0，－2，0，2，0，－2，……。

当然本数列可以不用特征根法求解，直接由解递推关系就可观察出2--=n n a a ，从而由初值即得结果。

（4）用特征根法求解可得解为n a ＝1。

本小题虽然是二阶递推关系，但由于其特殊性，并不一定要用特征根法求解，而用迭代法可能更容易计算出结果。即

0122a a a -=＝2×1－1＝1， 1232a a a -=＝2×1－1＝1，…… 立即可以观察出n a ＝1（n ＝0，1，2，…）。

（5）特征方程为0992

3

=+--x x x 。解得31-=x ，12=x ，33=x ，故通解为

()n n

n C B A a 33++-=

代入初值得方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=++-=++2991330

C B A C B A C B A 解得121-=A ，4

1-=B ，31

=C 。

∴ ()n n n a 331413121

⋅+---=＝()[]

113134

1--+--n n 3-2 求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。

（解）设由A ，B ，C ，D 组成的字符串为s ＝()n c c c 21，串的长度为n ，满足条件

的串有n a 个，则 n a ＝13-n a ＋()2242--+n n a ＋()3342--+n n a ＋……＋()

0042+a

即

∑-=-=-1

012n i i n n a a a ＋

()

143

11

--n 化简得

221143----+-=-n n n n n a a a a ∴ ⎩⎨⎧====+----1044210

221a a a a a a n n n n ,,

解之得

()()

n

n n

n a 3

26

3

233263234---++-=

3-3 求n 位二进制数中相邻两位不出现11的数的个数。

（解）设所求的数有n a 个，可将这样的数按左边第一位的值分成两类进行统计： （1） 第一位是0，这类数有1-n a 个；

（2） 第一位是1，则按照题目条件，第二位就必须为0，故此类数有2-n a 个。 由加法法则，符合条件的数共有1-n a ＋2-n a 个。因此，得n a 满足的递推关系为

⎩⎨

⎧==≥+=--3

23

2121a a n a a a n n n ,,

反推可得10=a ，所以

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++2

22

25125151n n n n F a 3-4 利用递推关系求下列和

（1）∑==

n

k n k

s 0

2

（解）由原式得

⎩⎨

⎧==+=-3121

2

1s s n s s n n , （3.2.2） 可以看出，1是齐次递推关系1-=n n s s 的特征根，故此非齐次定解问题的特解为

*

n

s ＝()

C Bn An n ++2＝Cn Bn An ++23 为了利用待定系数法确定待定常数A 、B 、C ，将*

n s 代入（3.2.2）的第一式得

()n C Bn An

+++23

-()()()()

1112

3

-+-+-n C n B n A ＝2n

即

()()C B A n B A An +-+--2332＝2n

对任意的n ，上式成立的充分必要条件是n 的同次幂的系数相等，即方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=-=00321

3C B A A B A 成立。解之得 31=A ，21=B ，6

1

=C 。所以，（3.2.2）的特解为