求概率的三种方法
概率计算方法
概率计算方法在新课标实施以来，数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0<P(随机事件)<1.例 1 (07河北)图1中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为________．解析: 本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，一共有6种可能的翻牌结果,其中有2种为中奖,所以P(中奖)=3162=. 说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对随机事件发生概率值的计算. 二.面积法例2 如图2是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_______.解析：因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部分的面积为2×1+2×3=8，总面积为：2×1+2×2+2×3+1×5=17，面积之比即为所求概率. 所以P(随意停留在阴影部分)=178. 评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关,事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积. 三.树形图法例3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12.（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率.解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得21122=++x ∴x=1答：蓝球有1个 （2）树状图如下：∴ 两次摸到都是白2 3图1 1 4 5 6 图2321 2 黄白2白1蓝黄白1蓝黄白2球的概率 =61122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法例 4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．解析:(1)所求概率是.2142= (2)解法一(树形图):共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122= 解法二(列表法):共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122= 评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经过多次步骤（三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有1 2 3图4图3 第一次抽取12 3 4 第二次抽取 21 3 4 31 2 4 41 2 3 1第1次摸出1张 第2次摸出1张1 12 234 3 4 (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (4,1) (3,1) (2,3) (2,4) (3,2) (3,4) (4,2) (4,3) 1效.一个20面体,每个面都是等边三角形,如果截去所有的顶角,它将成为多少面体?共有多少个顶点？共有多少条棱？全概率公式即例已如某事件A是有B,C,D三种因素造成的，求这一事件发生的概率p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)其中p(A/B)叫条件概率，即：在B发生的情况下，A发生的概率柏努力公式是用以求某事件已经发生，求其是哪种因素的概率造成的好以上例中已知A事件发生了，用柏努力公式可以求得是B因素造成的概率是多大，C因素，D因素同样也求．古典概型 P（A）=A包含的基本事件数/基本事件总数几何概型 P(A)=A面积/总的面积条件概率 P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件数/B包含的基本事件数相对独立事件 P(A*B)=P(A)*P(B) 事件A发生与事件B的发生没有关系独立重复事件 P=C(n,k)P(k次方)(1-p)(n-k次方)【本讲教育信息】一. 教学内容：概率计算二. 重点、难点：1. 古典概型∴2. A、B互斥，则3. A的对立事件，4. A、B独立，则【典型例题】[例1] 从5双不同的鞋中任取四只，求至少配成一双的概率。
计算概率常用的方法
计算概率的常用方法掌握概率的求法是这一章节的重点，那么求概率有哪些方法呢？下面以中考题为例说明求概率的常用方法。
1、列举法（2009年广州）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别。
现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球。
（1）请用树状图或其他适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能的情况。
（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率。
解析：（1）3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况有：红白蓝、红蓝白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红，共6种。
（3）由（1）可知，红球恰好放入②号盒子的情况有白红蓝、蓝红白，共2种，所以红球恰好放入②号盒子的概率P=2／6=1／3。
评注：在一次实验中，如果可能出现的结果只是有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举实验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
2、列表法（2009年成都）有一个均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1、2、3、4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有3张背面完全相同，正面上分别写有数字-2、-1、1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值。
（1）用树状图或表格表示出的所有可能的情况。
（2）分别求出当S=0和S＜2的概率。
解析：（1）列表法分析如下：（2）由表格可知，所有可能出现的情况共有12种，其中S=0的有2种，S＜2的有5种。
P（S=0）=2／12=1／6；P（S＜2）=5／12。
评注：当一次实验涉及两个因素（例如投掷两个骰子），并且出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法分析随机事件发生的概率。
3、树状图法（2009年安徽芜湖）“六一”儿童节，小明与小亮受邀到科技馆担任义务讲解员，他们俩各自独立地从A区（时代辉煌）、B区（科学启迪）、C区（智慧之光）、D区（儿童世界）这四个主题展区中随机选择一个为参观者服务。
数学初三列举法求概率说课稿
数学初三列举法求概率说课稿各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢数学初三列举法求概率说课稿列举法求概率说课稿1、说教材作为教学体系的一个重要分支，概率的内容虽然相对比较抽象，但其中包含丰富的辩证思想，而且在现实生活中也有着广泛的应用。
初三阶段概率的求法主要涉及三个方面，即古典概率、几何概率、和统计概率。
本节课是求概率方法的第一节课，针对古典概型的问题，通过列举所有等可能结果来计算随机事件发生的概率。
其中，对于有序地、不重不漏地列举所有可能出现的结果，分类的意识至关重要，这种意识也为继续研究古典概率包括高中的排列组合提供了一种思维方法。
另一方面，学生在学习本节课之前，已经对事件的可能性有了初步的认识，并且能够计算简单事件发生的可能性。
但是，真正列举事件的结果，学生并没有经验，也很难想到列表和画树状图这些列举方法，这是学生认知上的难点。
但是作为教师也不能直接告诉学生怎样列，让学生简单的记忆和模仿，所以在教学过程中要尽量鼓励和引导学生主动探究和构建知识结构，利用分类的方法有序地列举，亲身经历列表和画树状图这两种方法的形成过程，并在应用中逐渐加深理解。
2、说目标在具体情境中了解概率的意义，初步学会利用列举法计算随机事件发生的概率。
经历利用有序分类思想合理列举随机事件所有可能发生的结果的过程，提高学生化复杂问题为简单问题的能力，发展思维的条理性。
鼓励和引导学生主动探究和建构知识结构，培养勇于探索的学习精神;在利用概率解决某些实际问题的过程中增强应用意识。
其中，运用列举法计算随机事件的概率是本节的教学重点。
而如何有序地列举所有可能发生的结果并把结果直观地呈现出来，则是本节课的教学难点。
3、说教学方法根据本节课教学内容的特点和学生的实际情况，在教学过程中采用了启发与探究相结合的教学方法，并利用计算机辅助教学，增强课堂实例的直观性和启发性。
4、说教学程序具体教学过程分为：复习旧知，形成概念;经历过程，形成方法;尝试应用，发展认知;课堂小结，布置作业。
标准正态分布求概率
标准正态分布求概率标准正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要求解标准正态分布的概率，以便进行统计推断和决策分析。
本文将介绍如何通过标准正态分布表或计算方法来求解标准正态分布的概率。
首先，我们需要了解标准正态分布的概念。
标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
其概率密度函数为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(x\)为随机变量，\(e\)为自然对数的底。
标准正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，且关于均值对称。
在实际应用中，我们通常将标准正态分布转化为标准正态分布表进行概率计算。
求解标准正态分布的概率通常涉及到以下几种类型的问题：1. 求解 \(P(X \leq x)\) 的概率；2. 求解 \(P(X \geq x)\) 的概率；3. 求解 \(P(x_1 \leq X \leq x_2)\) 的概率。
下面，我们将分别介绍如何通过标准正态分布表或计算方法来求解上述三种类型的概率。
1. 求解 \(P(X \leq x)\) 的概率。
对于这种类型的问题，我们可以通过标准正态分布表来查找相应的概率值。
标准正态分布表是根据标准正态分布的性质，将 \(P(X \leq x)\) 的概率值进行了预先计算，并列成表格形式。
我们只需要找到随机变量落在某个区间内的概率值即可。
如果需要求解的 \(x\) 值不在标准正态分布表中，我们可以通过标准化转化为\(P(X \leq x)\) 的概率值，再通过线性插值或其他方法来估算出相应的概率值。
2. 求解 \(P(X \geq x)\) 的概率。
对于这种类型的问题，我们可以利用标准正态分布的对称性质来求解。
即\(P(X \geq x) = 1 P(X \leq x)\)。
我们可以先求解 \(P(X \leq x)\) 的概率值，然后再通过对称性质得到 \(P(X \geq x)\) 的概率值。
随机事件概率的类型及求法
随机事件概率的类型及求法在初中阶段，随机事件的概率主要有三种类型：统计概率、古典概率和简单的几何概率，它们的意义及求法各不相同。
因此，求随机事件概率，应针对不同的类型灵活选用不同的方法求解。
下面举例说明。
一、统计概率在随机试验中，在一定条件下大量重复进行同一试验，事件A发生的频率会稳定在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率。
这种由试验次数很大时的频率估计出的概率就是统计概率。
例1.“六•一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图1所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动。
顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品。
下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）。
A.当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70C.如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次D.转动转盘10次，一定有3次获得文具盒分析：由表格可以看出，指针落在“铅笔”区域的频率总在0.70附近波动，而且近似等于0.70，因此可估计，当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，选项A正确。
由表格可知，转动转盘次数最多的是1000次，此时落在“铅笔”区域的频率是0.69。
因为0.69≈0.70，根据频率与概率的关系可知，转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，选项B正确。
根据题意可知，指针落在“文具盒”区域的频率大约是1-0.7=0.3，所以转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有2000×0.3=600（次），选项C正确。
因为转动转盘发生的结果具有随机性，所以转动转盘10次，并不一定有3次获得文具盒，选项D不正确。
解：选D。
总结：通过试验用频率估计概率的大小，如果得到了一组频率值，那么将试验次数最多的频率值的最后一个有效数字四舍五入，作为概率的估计值。
高中数学六种概率模型
高中数学六种概率模型在高中数学中，概率是一个重要的概念，在日常生活中也随处可见。
概率模型是用来描述不确定事件发生的可能性的数学模型。
在高中数学中，我们学习了六种常见的概率模型，分别是等可能模型、几何模型、排列模型、组合模型、条件概率模型和贝叶斯模型。
第一种概率模型是等可能模型。
在等可能模型中，我们假设所有的结果是等可能发生的，例如掷硬币、掷骰子等。
在这种情况下，我们可以通过计算事件发生的可能性来求解概率。
例如，抛掷一枚硬币，出现正面的概率和出现反面的概率都是1/2。
第二种概率模型是几何模型。
几何模型适用于一些连续事件，例如抛掷一根棍子，棍子落在某个距离范围内的概率。
这种情况下，我们需要用到几何概率的计算方法，即事件的概率等于事件所占的长度或面积与总长度或面积的比值。
第三种概率模型是排列模型。
排列模型适用于有序事件的概率计算。
例如，从一副扑克牌中抽出三张牌，求得其中一种特定牌型的概率。
这种情况下，我们可以使用排列的计算公式，将事件的可能性与总的可能性进行比较。
第四种概率模型是组合模型。
组合模型适用于无序事件的概率计算。
例如，从一副扑克牌中抽出三张牌，求得其中任意三张牌的概率。
这种情况下，我们可以使用组合的计算公式，将事件的可能性与总的可能性进行比较。
第五种概率模型是条件概率模型。
条件概率模型是指在已知一些信息的情况下，求另外一些信息的概率。
例如，在已知某人生病的情况下，求他感染某种疾病的概率。
在条件概率中，我们需要用到贝叶斯公式来计算概率。
第六种概率模型是贝叶斯模型。
贝叶斯模型是一种用来更新先验概率的模型。
在贝叶斯模型中，我们通过观察到的事实来更新我们对事件发生的概率的估计。
这种模型常常用于统计学和机器学习中。
高中数学中有六种常见的概率模型，分别是等可能模型、几何模型、排列模型、组合模型、条件概率模型和贝叶斯模型。
这些模型可以帮助我们计算事件发生的可能性，对我们理解概率提供了有力的工具。
通过学习这些模型，我们可以更好地理解和应用概率知识，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
用列举法求概率
3/4 3/4
5.一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人 随机坐到其他三个座位上。求A与B不相邻而坐的概率为 .
3
A
6.如图，小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校到小明的外婆家也有3 条路可走，若小明要从奶奶家经学校到外婆家，不同的走法共有 ________种
9
7.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个小球都涂着红色， 另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便？
解：根据题意，我们可以画出如下的“树形图”： 这些结果出现的可能性相等。
例7.如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色分为红黄两种，红 色扇形的圆心角为120度，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形 会停在指针所指的位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）求下列 事件的概率。（1）指向红色；（2）指向黄色；
能否用不同 的方法来解？
解：红,红;
红,黑;
黑,红;
黑,黑.
画树状图
列表
枚举
第一次抽出一张 牌
红牌
黑牌
第牌可现概二能的率次产可都抽生能为出的性一结相张果等。共。各4个为第 出。每一 一。种即出次 张抽 牌
1
红牌 黑牌
14 4
红牌
红牌
黑牌 黑牌
第二次抽 出一张牌
红牌
黑牌
红牌
黑牌
9.一个袋中里有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其 余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色珠子的概 率为多少？
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3， 4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
（1）掷得点数为2或4或6(记为事件A)有3种 结果，因此P
概率计算方法
.概率计算方法在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:一.公式法随机事件可能出现的结果数.其中P(必然事件)=P(随机事件)=1,P（不可能事件）随机事件所有可能出现的结果数=0；0<P(随机事件)<1.1 2 3中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中图1河北)例1 (074 6 5 只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为．________1 图其中,一共有6种可能的翻牌结果解析: 本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，12 )=. 种为中奖,所以P(中奖有2?36以及对随机重在考查学生对概率模型的理解、本题采用了一种较为有趣的试题背景，说明: .事件发生概率值的计算面积法二.是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一22 如图例_______.个地方，则它停留在阴影部分的概率是因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部分的面积为解析：2 ，面积之比即为所5=172+2×3+1×××1+2×3=8，总面积为：21+2×28. 所以P(随意停留在阴影部分)=求概率. 321 172图事件发生的概率等,评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图. 形的面积三.树形图法，其中白3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同）例1 .个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为球有2 2.1）试求袋中蓝球的个数（，第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都2）第一次任意摸一个球（不放回）（.是白球的概率 . x个解析：⑴设蓝球个数为12x=1 ∴由题意得?2x?1?2答：蓝球有1个（2）树状图如下：蓝黄2白1白白1白蓝2黄1白白2蓝黄黄1白蓝白2两次摸到都是白∴;..12. =球的概率?612②无论哪种都是机①需要关注的是发生哪个或哪些结果说明.:解有关的概率问题首先弄清：把所有可能的结果都这种方法比较直观,会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,. 一一罗列出来,便于计算结果四.列表法的卡片，卡片的背面完全相同．现将它，2，3，)例4 (07山西如图34，有四张编号为1 们搅匀并正面朝下放置在桌面上．）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（1所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4（2 张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．32 13 图4图12解析:(1)所求概率是.?24):树形图((2)解法一 4321第一次抽取 2 1 1 3 1 2 2 3 第二次抽取3 4 4 4(3,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), 种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), 共有121 所以贴法正确的概率(2,1)和是符合条件的,(4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)12是.?612): 解法二(列表法1张第1次摸出 3 2 4 1 张1第2次摸出(4,1) (3,1) (2,1) 1(3,2) (1,2) (4,2) 2(2,3) (4,3) 3 (1,3)(1,4) (3,4) (2,4) 4(3,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), 共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), 所以贴法正确的概率,(1,2)和(2,1)是符合条件的(4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果112是.?612用树状图法或列表法列举出的评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用这两种方法求事件的概率很有当事件要经过多次步骤（三步以上结果一目了然,)完成时,;... 效概率计算它将成为多少,如果截去所有的顶角, 一个20面体,每个面都是等边三角形面体?共有多少个顶点？共有多少条棱？ 18条棱。
条件概率的三种求解方法
条件概率的三种求解方法作者：张瑜来源：《启迪与智慧·中旬刊》2020年第07期【摘要】本文归纳了求解条件概率的三种方法，并通过一个简单例子验证三种解题的方法，说明每一种的方法的优劣。
【关键字】古典概率;条件概率;样本空间;样本点条件概率在概率论中是一个很重要的概念，因为由条件概率得到概率论中的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。
因此何如求解条件概率也是很重要的内容。
在教学中求解条件概率是一个重点，也是一个难点。
比如在教学中，學生往往分不清楚这样的两个问题：（1）求两次都取到正品的概率。
（2）已知第一次取到正品的条件下，求第二次也取到正品的概率。
于是对学生强调把问题符号化后，就可以看出第二个问题是一个条件概率的问题，这时就可以区分了。
在浙江大学盛骤、谢式千等人编写的教材《概率与数理统计》一书中提供了两种解题方法，一种是定义法：，先计算P（A）、P（AB），再根据定义式求出条件概率。
另外一种是对于一般的古典概率问题，先计算P（B|A），在事件A发生的条件下，把A作为样本空间，用古典概率的方法来计算条件概率，其中m表示事件A的样本点数，k表示事件AB的样本点数。
在吴赣昌主编的教材《概率论与数理统计》一书中，明确提到也是这两种方法。
实际上分得细点可以说有三种方法求解条件概率：定义法，A作为样本空间条件下求概率P（B），还有一种是在A发生的条件下，在剩余的样本空间里考虑概率P（B）。
一、基础知识定义：若试验E满足下列条件：（1）试验的样本空间只包含有限个样本点，即 ={e1，e2，…en};（2）每个样本点的发生时等可能的，即，则称次试验为等可能概型（古典概型）。
在古典概型中，若样本空间只包含n个样本点，即有限个样本点（基本事件），事件A 是中事件，并且事件A中含有k个样本点，则事件A发生的概率为，称P（A）为古典概率，这个式子也称为古典概型中事件A的概率计算公式。
定义，设A、B是两个事件，且P（A）>0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
利用排列组合求解概率问题
利用排列组合求解概率问题概率问题是数学中非常重要的一个分支，而排列组合则是解决概率问题中常用的一种数学方法。
在这篇文章中，我们将深入探讨如何利用排列组合来解决概率问题。
一、排列组合的定义在正式探讨如何利用排列组合来解决概率问题之前，我们先来了解一下什么是排列组合。
排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
我们可以利用以下公式来计算排列的总数：$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$ 或$\binom{n}{m}$。
我们可以利用以下公式来计算组合的总数：$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$因此，排列和组合可以用来解决不同的问题，比如概率问题。
二、下面我们来看几种利用排列组合求解概率问题的方法。
1. 可重复排列问题可重复排列指的是从$n$个可重复的元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列的不同方式总数，记作$n^{m}$。
例如，一个只有红、黄、蓝三种颜色的小球，从中任意取出5个小球（可以重复取），共有多少种不同的取法？由于每个位置都可以重复出现三种颜色，因此总共的取法数为$3^{5}=243$。
2. 不可重复排列问题不可重复排列指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素进行排列，且每个元素只能使用一次的不同方式总数，记作$A_{n}^{m}$。
例如，一个有9个不同字母的单词，从中任意取出5个字母，组成一个新的5字母单词，共有多少种不同的取法？由于每个字母只能用一次，因此共有$A_{9}^{5}=15120$种不同的取法。
3. 不可重复组合问题不可重复组合指的是从$n$个不同元素中，任取$m(m \le n)$个元素组成的不同子集总数，记作$C_{n}^{m}$。
概率常见的方法
试一试:
1、（ （2013年自贡市中考）在四张背面完全相同的卡片
上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、正五边行、
圆形，印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取一张，
则抽到卡片上印有的图案是轴对称图形的概率为( D )
归纳总结：上述列出的所有可能情况结果图就像个 倒立的台阶一样。故称这种求概率的方法叫台阶法。
8x2 16 0
试一试
在数据1，-1，4，-4中任意选两个数据，均是
一元二次方程x2-3x-4=0的根的概率是( A )
A.1/6
B.1/3
C.1/2
D.1/4
例5（2012.泰安)一个不透明的布袋中有分别标着数字 1，2，3，4的四个乒乓球,先从袋中随机摸出一个乒 乓球,不放回再摸一个，则这两个乒乓球上的数字
A.1/3
B.2/3
C.4/9
ห้องสมุดไป่ตู้
D.5/9
解：小明遇到红、黄、绿三色交通信号灯是三个对 立事件，它们的概率之和为“1”，故P(绿)=1-1/31/9=5/9
归纳总结：在概率问题中，每一个对立事件的概率 和等于1，即P（事件A）+P（事件B）+……=1，此 法简称“和为1法”
试一试
做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000 次,经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44， 则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现
“凹面向上”的概率约D为（ ）
A.0.22 B.0.44 C.0.50 D.0.56
例4、（2013年河南省中考）现有四张完全相同的卡 片，上面分别标有数字-1，-2，3，4.把卡片背面朝 上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上
列举法求概率
探究活动2
解：在表格里列举为
解：拔动两个转盘的可能结果在表格里列举 出来的可能性共有九个． 事件A盘胜的可能性有（6，4）、（6，5）、 （8，4）、（8，5）、（8，7），共五个； 事件B盘胜的可能性有（1，4）、（1，5）、 （1，7）、（6，7），共四个；
5 P（A盘胜）＝ 9
探究活动3
同时掷两个质地均匀的骰子活动，
1、两个骰子的点数相同的概率． 2、两个骰子点数的和是9的概率． 3、至少有一个骰子点数为2的概率．
解：由列表法列举得
事件掷两个骰子发生的可能性共有36个
1、两个骰子的点数相同发生的可能性共有6个
6 1 P（两个骰子的点数相同）＝ ＝ 6 36
2、两个骰子点数的和是9发生的可能性共有4个
１ 个
．
P（向上的面点数是2）＝ 6
1、在九（5）班计算概率中，有一道练习题有部分的 同学是这样做的： 掷两枚硬币，求两枚硬币全部正面向上的概率？ 解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正反，反反， 共3个；
事件两枚硬币全部正面向上发生的可能有1个；
1 P（两枚硬币全部正面向上）＝ 3
探究
这道题解题过程和结果对不对？如果不 对，错在哪里？并把其改正。
正确解题
解：掷两枚硬币发生的可能有：正正，正 反，反正，反反，共4个； 事件两枚硬币全部正面向上发生的可能 有1个； P（两枚硬币全部正面向上）＝ 1
4
有一个游戏活动，两名同学分别拔动A、 B两个转盘，使之转动，指针指数大的一方 为获胜者，。 由于两个转盘上的数字不同，如果你上 来，你会选哪一个转盘？说说你的理由
4 1 6 7
3
2
9
8
练习
概率基本概念
概率基本概念概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。
在实际生活和科学研究中，概率是非常常见的，它帮助我们理解和预测事件的发生概率，从而做出合理的决策。
下面，我们将介绍一些概率的基本概念。
一、样本空间和事件在概率中，我们通常关心的是随机试验和事件。
随机试验是指具有确定的结果集合，而每个结果发生的概率是相等的。
这个结果集合被称为样本空间，记作S。
样本空间中的每个元素称为基本事件。
事件是样本空间中的一个子集，它由一个或多个基本事件组成。
事件可以是简单事件，也可以是复合事件。
简单事件是样本空间中的一个单个基本事件，而复合事件是样本空间中的多个基本事件的组合。
二、概率的定义和性质在概率理论中，我们使用概率来描述事件发生的可能性大小。
概率可以通过一些公理来定义，常用的概率定义有古典概率定义、几何概率定义和统计概率定义。
1. 古典概率定义：当样本空间S中的基本事件发生的可能性相等时，事件A发生的概率可以用 A 发生的有利结果的数目除以 S 中基本事件总数来计算。
2. 几何概率定义：对于连续的样本空间S，事件A发生的概率可以用 A 的面积除以 S 的面积来计算。
3. 统计概率定义：对于实际试验，事件A发生的概率可以通过重复实验并统计事件A发生的频率来近似估计。
概率具有以下性质：a) 非负性：对于样本空间S中的任意事件A，它的概率P(A)大于或等于0。
b) 规范性：对于样本空间S中的必然事件，它的概率为1，即P(S) = 1。
c) 可列可加性：对于样本空间S中的不相容事件A1、A2、...，它们的并集的概率等于各个事件概率之和，即P(A1∪A2∪...) = P(A1) + P(A2) + ...。
三、条件概率和独立事件条件概率描述的是在给定另一个事件发生的条件下，某个事件发生的概率。
条件概率可以通过事件A和事件B的交集与事件B的概率之比来计算，记作P(A|B)。
当事件A和事件B的发生与彼此无关时，它们被称为独立事件。
计算概率的常用方法
计算概率的常用方法作者：苗学军来源：《初中生·考试》2011年第11期概率问题是近年中考的热点?郾概率的背景材料各种各样，需要根据题目的特点，选择与之相适应的方法，方可简捷求解?郾中考概率题一般不难，只要你掌握以下五种方法，就可迎刃而解?郾一、频率估算法?郾当一个随机事件出现的频率随着大量重复实验而逐渐稳定后，此时的频率就可作为事件发生概率的估计值?郾例1 （2011年佛山卷）在1～9中随机选取3个整数，若以这3个整数为边长构成三角形的情况如下表：请你根据表中数据，估计构成钝角三角形的概率是多少？（精确到百分位）解：在各组实验中，构成钝角三角形的频率依次是0?郾243，0?郾258，0?郾212，0?郾215，0?郾221?郾所以P（构成钝角三角形）≈0?郾22?郾温馨小提示：用频率估计概率是中考的常见题?郾二、用概率公式求概率?郾例2 （2011年株洲卷）如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色……则从第（n）个图中随机取出一个球是黑球的概率为 ?郾解：根据已知图形的规律可以发现，第（n）个图中共有1+2+3+…+n=■n（n+1），其中黑球有n个?郾随机取出一个球是黑球的概率为■=■?郾温馨小提示：事件比较简单，用一步就可以分清所求事件与全体事件的所有个数（也称一步概率），可以直接用概率公式计算?郾一般地，如果一个实验有n个等可能的结果，而事件A包含其中k个结果，则事件A的概率公式是：P（A）=■?郾三、列表法或树形图法?郾例3 （2011年芜湖卷）在复习《反比例函数》一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致?郾小明认为如果两次分别从1~6六个整数中任取一个数，第一个数作为点P（m，n）的横坐标，第二个数作为点P（m，n）的纵坐标，则点P（m，n）在反比例函数y=■图像上的概率一定大于在反比例函数y=■图像上的概率，而小芳认为两者的概率相同?郾你赞成谁的观点？（1）试用列表或树形图的方法列举出所有P（m，n）的情形；（2）分别求出P（m，n）在两个反比例函数图像上的概率，并说明谁的观点正确?郾解：（1）列表如下：（2）由表格可知，点P（m，n）共有36种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中点（3,4），（4,3），（2,6），（6,2）在反比例函数y=■的图像上，点（2,3），（3,2），（1,6），（6,1）在反比例函数y=■的图像上?郾所以点P（m，n）在两个图像上的概率相同. 小芳的观点正确?郾温馨小提示：画树形图或列表法是求概率的常用方法，适用于用两步或三步完成的事件，用这种方法便于求出所有结果，能有效避免重复或遗漏情况?郾四、方程法?郾例4 （2011年常德卷）在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个?郾若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0?郾5?郾（1）求口袋中红球的个数；（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个?郾请用画树形图的方法求甲摸到两个球且得2分的概率?郾解：（1）设袋中有红球x个，则有■=0.5?郾解得x=1?郾袋中的红球有1个?郾（2）树形图如下：由树形图可知：结果共有12种?郾其中摸出两个球得2分的有4种?郾所以P（从中摸出两个球且得2分）=■=■?郾温馨小提示：引入未知数，容易找到等量关系，便于求解?郾这种方法适合于量与量的关系不明显的概率问题?郾五、面积法?郾例5 （2011年烟台卷）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份. 若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 ?郾解：飞镖落在黑色区域的概率=■=■?郾温馨小提示：解这类题的关键是确定有效面积与整体面积，并求出它们的比值?郾这是求概率的常用方法?郾■。
高考数学概率与统计部分知识点梳理
高考复习专题之：概率与统计一、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.P （A ）=O ；注：求随机概率的三种方法: （-）枚举法例1如图1所示，有一电路A3是由图示的开关控制，闭合a ，b, c,d, e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路.则使电路形成通路的概率是 ________ .分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。
解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是ab. ac 、ad 、ae 、be. bd. be. cd 、ce 、de, 英中能形成通路的有6种，所以p （通路）=—=-10 5评注:枚举法是求概率的一种重要方法，这种方法一般应用于可能出现 的结果比较少的事件的概率计算. （-）树形图法例2小刚和小明两位同学玩一种游戏•游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时0出一张牌龙胜负, 英中象胜虎.虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局.例如，小刚岀象牌，小明出虎牌，则小刚胜：又 如,两人同时出象牌，则两人平局.如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用B,、G 分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？分析：为了淸楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结 果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。
解：画树状图如图树状图。
由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果 有9种，而且每种结果岀现的可能性相同，苴中小刚胜小明的结果有3种.所 以P （—次出牌小刚胜小明）二13点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结 果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌而上，从中随机摸岀两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位 数.请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数 的槪率. 分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找岀组成的两位数是偶数的可能 情况和组成两位数小刚 小明小刚 小明开始图1ABC虫 1 5i Ci是6的倍数的可能情况。
运营管理需求的概率怎么求
运营管理需求的概率求解方法引言在运营管理中，了解和评估不同需求的概率是非常重要的。
通过对需求概率的准确估计，企业可以更好地规划和管理资源，以满足客户的需求。
本文将介绍基本的概率知识，并探讨如何求解运营管理需求的概率。
概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的一种数学工具。
在概率论中，一个事件的概率通常在0到1之间。
当事件的概率为0时，表示此事件不可能发生；当事件的概率为1时，表示此事件一定会发生。
在运营管理中，我们常常需要计算某个需求发生的概率。
需求可以是客户的订单数量、产品的缺陷率、市场的需求量等。
通过计算需求的概率，可以帮助企业更好地预测和应对可能出现的情况。
求解需求概率的方法1. 历史数据分析法历史数据分析法是一种常用的求解需求概率的方法。
通过收集和分析过去的数据，可以得到一定的统计规律，从而对未来的需求进行预测。
在使用历史数据分析法时，需要注意以下几点：•数据的选择：选择合适的历史数据是非常重要的。
数据应该具有代表性，并且可以反映出不同的情况和变化。
•数据的清洗：对数据进行清洗和处理，以排除异常值和噪音，并保证数据的准确性和可靠性。
•数据的分析：通过统计方法和数据分析工具，对数据进行分析，计算需求的概率。
2. 专家判断法专家判断法是一种基于专家经验和知识的求解需求概率的方法。
通过请教相关领域的专家，可以获取他们的意见和建议，从而得出需求发生的概率。
在使用专家判断法时，需要注意以下几点：•专家的选择：选择具有相关经验和知识的专家，并且确保他们的判断准确和可靠。
•专家意见的统计：对专家的意见进行统计和整理，计算需求的概率。
•多专家意见的融合：如果有多个专家提供了不同的意见，可以考虑对其进行加权平均或进行讨论，以得出更准确的结果。
3. 概率模型方法概率模型方法是一种基于概率理论的求解需求概率的方法。
通过建立适当的概率模型，可以对需求进行建模和预测。
在使用概率模型方法时，需要考虑以下几点：•模型的选择：选择合适的概率模型是非常重要的。
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求概率的方法
在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考察，体现了“学以致用”这一理念． 计算简单事件发生的概率是重点，常用的方法有:列举法、列表法、画树状图法，这三种方法应该熟练掌握，先就有关问题加以分析． 一、列举法 例1：（05济南）如图1所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；若可以拼成一个
蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢．你认
为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？ ．
分析：这个游戏不公平，因为抽取两张纸片，所有机会均等的结果为：半圆半圆，半圆正方形，正方形半圆，正方形正方形．所以取出的两张纸片都画有半圆形的概率为4
1
． 取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形的概率为
2
142=，因为二者概率不等，所以游戏不公平． 说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对不确定事件发生概率值的计算．本题用列举方法，也可以用画树状图，列表法． 二、画树状图法 例2：（06临安市）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12
．
（1）试求袋中蓝球的个数．
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
解析：⑴设蓝球个数为x 个，则由题意得
21
122=
++x ， 1=x
答：蓝球有1个． （2）树状图如下：
∴ 两次摸到都是白球的概率 =
6
1
122=． 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果．②无论哪种都是机会均等的，要对实践的分析得出概率通常用列表或画树状图来写出事件发生的结果，这样便于确定相关的概率． 本题是考查用树状图来求概率的方法，这种方法比较直观，把所有可能的结果都一一罗
图1 黄白2蓝白2白1蓝黄白1蓝黄白2蓝
列出来，便于计算结果． 三、列表法 例3：（06晋江市）如图2，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A 、B 的转盘分别被平均分成三部分，装置A 上的数字是3、6、8；装置B 上的数字是4、5、7；这两个装置除了表面数字不同外，其他构造均相同，小东和小明分别同时转动A 、B 两个转盘（一人转一个），如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜（如：若A 、B 两个转盘的箭头分别停在6、4上，则小东获胜，若箭头恰好停在分界线上，则重新转一次），请用树状图或列表加以分析说明这个游戏公平吗？ 解析：（方法一）画树状图：
由上图可知，所有等可能的结果共有9种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为9
4
，所以游戏不公平．
由上表可知，所有等可能结果共有9
种，小东获胜的概率为
95，小明获胜的概率为9
4
，所以游戏不公平．
说明：用树状图法或列表法列举出的结果一目了然，当事件要经过多次步骤（三步以上)完成时，用这两种方法求事件的概率很有效．
3 4 5 7 4 5 8 4 6 5 7 7 开始 小明 胜 小明 胜 小明 胜 小东 胜 小东 胜 小明 胜 小东 胜 小东 胜 小东 胜 B
A
图2。