【方明亮、郭正光】【高等数学第一学期】第03章 微分中值定理与导数的应用习题详解

第三章 微分中值定理与导数的应用

习题3-1

1.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即：

22

120(21)

ξ

ξ-=+ ，满足，0ξ=； （2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点ξ(1,1)∈-，使得

()0f ξ'=.

2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件. 3．解：令3

3arccos arccos(34)y x x x =--

，2y '=，化简得

0,C y y '=∴=（C 为常数）

，又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。 4．证明：显然(),()f x F x 都满足在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

内可导

()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西

中值定理条件。

(0)121(0)22f f F F πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪

'⎝⎭⎝⎭==='-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，令()1()12

f x F x π'=

'-，即tan 1422

x ππ

⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时 2arctan 142x ππ⎡⎤

⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即

2arctan 10,4

22πππξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫

∃=--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，

使得

(0)

(3)2

(3)(0)2f f f F F F ππ⎛⎫

- ⎪'⎝⎭='⎛⎫

- ⎪⎝⎭

。

5.解：因为(0)(1)(2)(3)0f f f f ====，又因为()f x 在任一区间内都连续而且可导，所以()f x 在任一区间[][][]0,1,1,2,2,3内满足罗尔中值定理的条件，所以由罗尔定理，得：

123(0,1),(1,2),(2,3),ξξξ∃∈∈∈使得：123()0,()0,()0f f f ξξξ'''===，又因为

()0f x '=只有三个根，()0f x ∴=有3个根123,,ξξξ分别属于(0,1),(1,2),(2,3)三个

区间.

6．证明：设()0f x =的1n +个相异实根为

012n x x x x <<<

<

则由罗尔中值定理知：存在1(1,2,

)i i n ξ=：

01111221n n x x x x ξξξ<<<<<<<，使得1()0,(1,2,

,)i f i n ξ'==

再由罗尔中值定理至少存在2(1,2,

1)i i n ξ=-：

1121122213211n n ξξξξξξξ-<<<<<<<，使得2()0,(1,2,

,1)i f i n ξ''==- 如此作到第n 步，则知至少存在一点ξ：1112n n ξξξ--<<使得()

()0n f

ξ=。

7．解：反证法，倘若()0p x =有两个实根，设为1x 和2x ，即12()()0p x p x ==，不妨设

12x x <，由于多项式函数()p x 在12[,]x x 上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点

12(,)x x ξ∈，使得()0p ξ'=，而这与所设()0p x '=没有实根相矛盾，命题得证。

8．证明：令5

()1f x x x =+-，由于(0)1,(1)1f f =-=由零点定理知，在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0f ξ=，又由方程得4

(1)1x x +=，因此方程只存在0与1之间的正根，假

设5

10x x +-=有两个正根，即12,0x x ∃>，且12x x ≠使得：12()()0f x f x ==，不妨假

设12x x <，显然()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导。所以由罗尔定理，得：

12(,)x x ξ∃∈，使得：()0f ξ'=，即4510ξ+=，矛盾，假设不成立，所以方程5

10

x x +-=

只有一个正根。

9．证明：（1）因为()f x 在[,]a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在(,)a b ξ∈使得

()()()()f b f a f b a ξ'-=-

又()f m ξ'≥，故

()()()f b f a m b a -≥-，即()()()f b f a m b a ≥+-。

（2）因为()f x 在[,]a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在(,)a b ξ∈使得

()()()()f b f a b a f ξ'-=-

又()f M ξ'≤，所以|()()|M()f b f a b a -≤-。

（3）当12x x =时结论显然成立，当12x x ≠时，对函数sin x 在以12,x x 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得1212sin sin cos ()x x x x ξ-=⋅-，其中ξ在1x 与2x 之间，因此

121212sin sin cos x x x x x x ξ-=-≤-。

10．证明：因为()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得112(,)x x ξ∃∈，

223(,)x x ξ∃∈，使得12()()0f f ξξ''==，又

()f x '在[]12,ξξ且满足罗尔定理的条件，

故由罗尔定理，得：

1213(,)(,)x x ξξξ∃∈⊂，使得()0f ξ''=。

11．证明：设()ln f x x =，由拉格朗日中值定理，得

(,)b a ξ∃∈，使得：()()

()f a f b f a b

ξ-'=

-即：ln ln ln a b a a b b ξ-=-=，又(,)b a ξ∈，111a b

ξ∴<<，a b a b a b

a b ξ---∴<<。 12．证明：对函数()arctan f x x =在[0,]h 上应用拉格朗日中值定理：存在(0,)h ξ∈使得

2

arctan arctan arctan 01h

h h ξ

=-=

+ 从而