高中数学：第二章 2.4 第二课时 等比数列的性质

第二课时 等比数列的性质

预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题 等比数列项的运算性质是什么？

[新知初探] 等比数列的性质

(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．

(2)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .

(3)数列{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积． (4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k ＋

1.

(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( )

解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确． (2)错误，当q >1，a 1>0时，{a n }才为递增数列．

(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列． ★答案★：(1)√ (2)× (3)√

2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )

A ．等差数列

B ．以q 为公比的等比数列

C ．以q 2为公比的等比数列

D ．以2q 为公比的等比数列

解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．

3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( )

A ．35

B ．63

C ．21 3

D ．±21 3

解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列

∴a 26＝a 4·a 8，即

a 8＝212

7

＝63.

4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.

解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 2

4， ∴a 24＋a 28

＝41， 又a 4a 8＝4，

∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8

＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. ★答案★：7

等比数列的性质

[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )

A ．10n

B ．n 10

C ．100n

D ．n 100

(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n 2

＝10n .

(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213， 又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8

q ＝256. [★答案★] (1)A (2)256

有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却

简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．

[活学活用]

1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5

D ．－7

解析：选D 因为数列{a n }为等比数列，

所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪

⎧

a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧

a 4＝－2，

a 7＝4，

所以q 3＝－1

2或q 3＝－2，

故a 1＋a 10＝a 4

q

3＋a 7·q 3＝－7.

2．在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝________. 解析：由a 4·a 7＝－512，得a 3·a 8＝－512.

由⎩

⎪⎨⎪⎧

a 3·a 8＝－512，a 3＋a 8＝124， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝－4，a 8＝128或⎩⎪⎨⎪⎧

a 3＝128，a 8＝－4.

(舍去)．

所以q ＝5a 8

a 3

＝－2.

所以a 10＝a 3q 7＝－4×(－2)7＝512. ★答案★：512

灵活设元求解等比数列问题

[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．

(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．

[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即

⎩

⎪⎨⎪⎧

2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，

2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，