2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—江苏卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解析版

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位)，则z 的实部为 . 3. 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 .

4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 .

5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3

π

的交点，则ϕ的值

是 .

6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.

7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4

921=S S ，则

2

1

V V 的值是 .

100 80 90 110 120 底部周长/cm

（第6题）

（第3题）

9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长 为 .

10. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(

11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x

b

ax y +

=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 . 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 .

13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，21

()22

f x x x =-+. 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 .

14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)已知),2

(ππ

α∈，55sin =α.

(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)26

5cos(απ

-的值.

16. (本小题满分14分)

如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥，6PA =，8BC =，5DF =.

求证：(1) 直线//PA 平面DEF ；

(2) 平面⊥BDE 平面ABC .

（第16题）

P

D

C

E

F

B

A

（第12题）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，顶点B

的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.

(1) 若点C 的坐标为)31

,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；

(2) 若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.

18. (本小题满分16分)

如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，3

4tan =∠BCO . (1) 求新桥BC 的长；

(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？

19. (本小题满分16分)

已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. (1) 证明：)(x f 是R 上的偶函数；

(2) 若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；

(3) 已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(03

00x x a x f +-<成立.

试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.

设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.

(1) 若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明：}{n a 是“H 数列”； (2) 设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0

数学Ⅱ（附加题）

21．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠ OCB ＝∠ D ．

22．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵A 121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 1121⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

α，x ，y 为实数．若=A αB α，求x ＋y 的值． 23．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l

的参数方程1,

2)

(;x t y ⎧

=⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

为参数，直线l 与抛物线

24y x =相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．

24．[选修4—4：不等式证明选讲]（本小题满分10分） 已知x ＞0，y ＞0，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥． 25. (本小题满分10分)

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；

(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1、x 2、x 3， 随机变量X 表示x 1、x 2、x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )． 26. (本小题满分10分)

已知函数sin ()(0)x

f x x x

=

>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ

2()()222f f +的值；

(2) 证明：对于任意n ∈*N

，等式1πππ()()444n n nf f -+=都成立．

(第21—A 题

)