由一道教材例题引起的思考
由一道课本试题引发的思考
由一道课本试题引发的思考七年级学生经常会在练习题中遇到这样的一道几何习题（例1），此题是全等三角形的经典习题，从它上面，我们可以发掘更多、更深的知识。
笔者在实际教学中对此题的讲解，深得学生的赞赏，现将此题拿出来，跟广大师生读者分享，希望大家能获得更多的解题心得。
图1例1如图1，在△ABC中，已知AB=AC,BE=CD。
求证：AD=AE。
??分析：此题的常规思路是通过说明△ABD≌△ACE来证明AD=AE。
显然求证条件是足够的，在△ABC中，AB=AC已经隐含了∠B=∠C，加之BE=CD，即BD+DE=DE+EC，实际上就是BD=CE，故△ABD≌△ACE（SAS）。
当然如果考虑到AD，AE是△ADE的两边时，那么说明△ADE是等腰三角形也不失为一种方法，但要说明△ADE是等腰三角形时，就要证明∠ADE=∠AED，而要证明∠ADE=∠AED，就得证明∠ADB=∠AEC，其实就是说明△ABD≌△ACE，可见我们回到了第一种方法上，当我们把题目多角度思考时，总会收获许多知识。
另外，从等腰三角形的性质入手，也可以找到解题途径；通过作底边上的高，可以得到多个直角三角形，再结合其他条件（BE=CD）就可以解讲问题。
??证明：由AB=AC?荨?B=∠C。
??BE=DC（BD+DE=DE+CE)??BD=CE。
??在△ABD和△ACE中，AB=AC，??∠B=∠C，??BD=CE?荨?ABD≌△ACE(SAS)。
??图2另证：如图2，取BC的中点F，连结AF，则BF=CF，AF ⊥BC。
（△ABC是等腰三角形）??∵BE=BF+EF，CD=CF+DF，CD=BE，??∴DF=EF，∴在??Rt??△AEF和??Rt??△ADF中，??AF=AF，?ぁ?AFD=∠AFE，??FO=FE，∴??Rt??△AEF≌??Rt??△ADF。
??∴AD=AE。
??笔者在第一题的基础上，稍作改变，得到了以下两道新题，这两个题目的解题思路可以极大地丰富我们对全等三角形及相关知识点的认识。
由教材一道例题教学引发的思考与...
由教材一道例题教学引发的思考与探讨福建省晋江市第二中学 362212 施国龙在华师版九年级《数学》上册第39页的例2中,教材所用的证明方法与证明过程值得仔细体会与探讨.题目 例2 (1)如果d c b a =,那么dd c b b a +=+; 证明 ∵dc b a =,在等式两边同加上1, ∴11+=+d c b a ,∴d d c b b a +=+. 学生提问1:前面刚学了比例的基本性质,为什么不是像以前那样用刚学的知识去证明呢?教师思考1:学生讲的有道理呀!以前我们都是这样的学习模式:学生学到一个知识后就会马上去应用,在此处为什么没有呢?如果采用此种方法会怎样呢?心动不如行动.证明: ∵dc b a =, ∴bc ad =, 在等式两边同加上bd , ∴bd bc bd ad +=+, 即b d c d b a )()(+=+,两边同时除以bd , ∴dd c b b a +=+. 这种方法其实质是用到了教材中刚学的“比例的基本性质”,这是解决此类问题的常用解法之一.在教材中没有采用这种方法确实与以往的教材安排大不一样,结果让学生适得其反,理解不到位,容易产生误解.让学生认为这道例题的方法与前面刚学的内容无关.学生提问2:为什么要用“等式两边同加上1”的方法去证明呢?教师思考2:在华师版数学教材中第一次出现这种“加上1”的方法,学生确实无法马上理解为什么是“加上1”?而不是“加上2”或“加上3”?经过仔细的思考与对比发现,事实上其实质是:此处是采用了高中数学中证明等式常用的“分析法与综合法”的证明思路.以下为用“分析法”证明.证明: 要证 d d c b b a +=+, 只要证 11+=+dc b a , 即证d c b a =, 而dc b a =是已知成立的,∴dd c b b a +=+. 在此基础上,反过来用综合法写出证明过程就是上述教材中的证明过程了.教材中的方法也就是常见的“构造法”证明.在实际教学中学生普遍感到较难理解,不容易掌握.这就要求我们在实际的教学中深入到学生的学习实际,深化对学生知识水平的理解,争取做到让学生认为本题所采用的方法是水到渠成的事.引申与探讨:本题的解法中,实际上还可以有一种更常用、更普遍采用的解法,即设“比例的比值为k ”.证明 设k dc b a ==, 则dk c bk a ==,, ∴,1)1(+=+=+=+k bk b b b bk b b a ,1)1(+=+=+=+k dk d d d dk d d c ∴d d c b b a +=+. 在教学中,教师要能让学生自己分析对比出各种证明方法的优劣,并能深刻理解与领会.这样才能促使学生提高思维的灵活性与深刻性,也就培养了学生的思维品质与个性发展.题目 例2 (2)如果d c b a =,那么dc c b a a -=-. 证明 ∵dc b a =, ∴bc ad =, 在等式两边同加上ac , ∴ac bc ac ad +=+, ∴,bc ac ad ac -=-两边同是除以))((d c b a --, ∴dc c b a a -=-. 学生提问3:学生小组讨论后,一位同学提出:若4,3====d c b a ,则要证明的式子的分母b a -与d c -就没有意义了!教师思考3:这位同学思考的问题不无道理呀!问题出在哪呢?经过仔细思考之后,发现在证明过程中,两边同时除以))((d c b a --,存在一定的问题.根据等式的基本性质,等式的两边同时除以一个不为0的数,左右两边的值相等,而题目中并未给出))((d c b a --的值不为0的条件.因此,给合本节课的内容,在此应补充:a 、b 、c 、d 是互不相等的四条线段,这样就可以证明成立.当然,本题除以用课本的“等式的性质”证明外,也可用设“比例的比值为k ”这种方法.证明 设k d c b a ==, 则dk c bk a ==,, ∴,1)1(-=-=-=-k k k b bk b bk bk b a a ,1)1(-=-=-=-k k k d dk d dk dk d c c ∴dc c b a a -=-. 笔者认为此例题主要是考查:运用比例基本的性质来证明等式的成立,但在教材中存在对例题选用的证明方法理解不够深入,所选用方法不太符合学生的认知水平和能力,例题条件考虑不够周全,应补充合适的条件使其完善.这样在接下来的配套练习第3题中,就可以把更多的方法通过学生的交流与探讨进行综合提升,自然过渡到位.题目 3、已知,23=b a 那么,b b a + ba a - 各等于多少? 交流与探讨：通过前面例题的交流探讨之后,各位同学思维活跃,气氛热烈.各小组成员广开思路,汇总后得出了以下三种不同的解法.方法1 “特殊值法” 令,3=a 2=b ，则,25=+b b a 3=-b a a . 方法2 “代入法” 由,23=b a 得b a 23=, ∴,252523==+=+b b b b b b b a 32232323==-=-b b b b b b a a . 方法3 由,23=b a 设k b k a 2,3==, ∴,2525223==+=+k k k k k b b a 33233==-=-kk k k k b a a . 可以看出,方法1实际上是方法3的特例.可以引导学生发现做选择题与填空题时常用方法1.通过以上例题与练习的方法归纳与总结, 同学们探讨分析出了解决此类问题的常见思路.笔者接下来顺势让学生总结出各种方法在计算题与证明题中的运用,发现其规律与特点.进一步提升了他们的思维灵活性,同时也提高了他们的解题能力,符合学生的认知规律.深化了学生对所学知识的综合运用能力.解决了在以往教学中,学生学习此类知识与方法不容易突破的难点,取得了良好的效果. 这样也就激发了学生的求知欲,也更加激发了学生的质疑与释疑的能力,让他们有一种“不唯书”的精神与勇气,一定程度上也破除了“尽信书”观点.同时这一节课也就启到了最佳的示范作用.。
由一道课本例题引发的探究
由一道课本例题引发的探究
本中的例、习题作为教材的重要组成部分，都有一定的示范性、典型性和探究性，或寓一般性的结论、或蕴含着深刻的背景材料，是课本的精髓，也是高考命题的源头。
在课堂教学中，对课本中的例习题进行变式探究、引申拓展、横向联想，并能巧妙运用其中一些结论，以题攻题，可以提高复习的针对性和有效性，有利于提高学生的数学素养和教师把握高考的能力。
新课程改革的核心理念是倡导探究学习。
探究学习是一个过程，是一个学生在做数学中学习数学的过程，倡导探究学习的根本目的就是要让学生在学习的过程中培养科学精神、养成科学态度、掌握科学方法、获得科学知识，从而全面提高科学素养。
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，它要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。
它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。
它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
一道课本例题教学所引发的思考
一道课本例题教学所引发的思考——为学生打开自主学习的空间浙江省天台中学王修凯摘要：新课程改革遵循“以学生发展为本”的理念，大力倡导建立自主、合作、探究的学习方式，改变原有的单一、被动的学习方式，促进学生主动地、富有个性的学习。
自主学习以学生自己的认知与经验来建构活动过程的，通过亲身体验、讨论、反思实现由感性认识发展到理性认识。
自主学习能激活、诱导学生的学习积极性，促进学生思维能力的发展，提高学生探究的意识。
关键词：自主学习优化反思转变观念现在，整个教育界都在提倡创新教育，自主探究式学习，我也曾经尝试着在课堂上渗透让学生自主学习的思想，我也曾努力创设情景给学生们多一些创新的机会，允许并鼓励他们在课堂上提出自己的看法，但课堂教学，特别是目前仍受考试压力影响的高中课堂中，教师和学生依然面临着升学压力。
无奈的现实让我很难在课堂上落实这些“理念”：毕竟学生这么多、课时这么少、教学任务又如此之重，作出一个教学决定又要考虑方方面面的因素，权衡各种关系。
可一次偶然的机会，让我彻底改变了原先的观念，原来，教育的机会就在平时普通的课堂中。
一、例题教学的再现例题高中新课本《数学》第二册（上）第106页例3一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s。
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程。
如何通过这道例题的讲解，为学生打开自主学习的空间呢？首先设爆炸点为P，那么在A处听到爆炸声比在B处晚2s，说明什么问题？学生思考后很快说出点P在距A处较远、距B处较近的位置上，且点P到A处的距离与它到B处的距离的差是一个常数3402⨯m。
我进一步问道，那么点P在怎样的曲线上？学生回答，点P在以A、B为焦点的双曲线上，且在离B处较近的一支上。
显然，这种解答不够全面，接下去是老师讲出正确答案，还是让学生讨论探讨出其他的可能性呢？我用鼓励的目光望着大家，问：大家还有其他想法吗？过了一会，有同学提出了不同意见：点P不一定在双曲线上，因为由题意只能知道点P 到A处的距离与它到B处的距离的差是一个常数3402⨯m，但并未说明这个常数小于A、B 两处的距离。
一道课本例习题教学引发的思考
一道课本例习题教学引发的思考摘要：课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在“活”用课本例习题应当注意特别是变式教学时要注重如何更好的形变，如何更好的在“度”、“宽”上的掌控，让学生从不同角度、不同层面去看问题，从学会更好地解决问题。
关键词：数学；课本例习题；反思课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在教学过程中对教材中的例题，习题可以从多个角度来挖掘其深层次的数学本质，并结合利用变式教学通过改变数学表征问题，来达到更好地揭示数学本征问题的目的。
下面以八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题为例谈谈针对一道课本例习题教学引发的一些思考：一、注重引导，寻思关键在课本例习题教学中，教师要先指引学生从题设出发，通过观察图形，自主学习与探讨交流，然后写出证明过程。
本题对于学生来说，没有障碍，由已知条件等边三角形自然联想到其性质：三条边相等，三个角相等，学生由图形自主探究构建全等三角，再进行合作交流，找出间边与角之间对应关系，且角的相等是证明全等的关键。
课本这道例习题的教学价值在于学生通过学习后能够完成文字语言与符号语言之间的转换，检验学生对基本概念知识、方法的掌握情况，目的在于让学生学会观察、分析、概括、归纳，提升语言表达能力。
二、深入挖掘，一题多解数学教学中，为了激发学生的思维和建构知识间的链接，往往是在解决问题时从多角度促使知识间的联系。
因此十分有必要对课本中例习题进一步进行挖掘，比如八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题，这是一道基础题，如若在教学过程中教师讲过就将之抛在一旁，那乃是捡了芝麻丢了西瓜之举。
在数学课堂中，时常用来拓展学生数学思维形成的教学策略之一是一题多解，这种教学策略能很好地引导学生从不同角度看待问题、解决问题。
一道课本例题引发的思考
福建中学数学
2020 年第 1 期
一道课本例题引发的思考
周秋良 福建省龙岩市上杭县第一中学（364200）
本文利用一个课本问题从全方位、多角度、分 层次对数列的通项公式的求解方法进行归纳总结， 并对问题进行了变式训练，同时对问题进行了追根 溯源．
1 题目再现 人教 A 版必修 5 课本第 30 至 31 页有这样一道 例题：如果一个数列{an} 的首项 a1 = 1，从第二项起 每一项等于它的前一项的 2 倍加 1，即= an 2an−1 +1 (n > 1) ，那么 a2= 2a1 +1= 3 ， a3= 2a2 +1= 7 ……像 这样给出数列的方法叫做递推法，其中= an 2an−1 +1 (n > 1) 是递推公式． 这是一道题干简洁、精炼，内涵丰富的题目， 课本并没有对这一问题的通项公式进行求解．如果 要求这一问题的通项公式，则主要考查学生的逻辑 推理、数学运算等核心素养．常见的方法有：待定 系数法、不动点法、叠加法、数学归纳法、特征根 法、定积分法和母函数法等． 2 解法探究 分析 1 构造辅助数列求解 解法 1 （利用待定系数法构造辅助数列） 设 an +=λ 2(an−1 + λ) (n > 1) ， 因为 a1 = 1，= an 2an−1 +1 (n > 1) ， 由待定系数法得 λ = 1， 所以 an = +1 2(an−1 +1) (n > 1) ． 即新数列 {an +1} 是以 a1 +1 =2 为首项，以 q = 2 为公比的等比数列， 所以 an +1 =2n ，即 a=n 2n −1 ． 解法 2 （利用不动点法构造辅助数列） = an 2an−1 +1 (n > 1) 对应的特征函数为： f (x=) 2x +1 ． 由 f (x0 ) = x0 ，得不动点 x0 = −1 ， 因此 an − (= −1) 2[an−1 − (−1)] (n > 1) ， 即= an 2an−1 +1 (n > 1) 且 a1 = 1． 所以新数列{an +1}是以 a1 +1 =2 为首项， 以 q = 2 为公比的等比数列， 所以 an +1 =2n ，即 a=n 2n −1 ． 分析 2 利用叠加法求解 解法 3 （利用配凑系数进行叠加求解）
苏科版教材例题教学的思考
苏科版教材例题教学的思考
苏科版教材是国内较为常见的教材之一，其例题教学方法也很有启发性。
以下是一些思考：
1. 注重讲解思路、方法
在教学过程中，教师应该注重讲解解题思路、方法，尤其是对于一些难度较大的题目。
可以通过举例、讲解原理、模拟演示等方式，给学生展示方法的实际应用，帮助学生理解问题所在。
2. 多维度引导学生思考
苏科版教材的例题通常不仅考验学生的基本知识，还可能涉及到思维创新、多元化思考等方面。
在教学中，老师应该引导学生从多个维度思考问题，考虑不同的解决方案，让学生更加主动地应对题目。
3. 塑造良好的学习氛围
在苏科版教材的例题教学中，教师通常会采用小组讨论、竞赛等形式，培养学生之间的合作意识和竞争意识。
在这样的氛围下，学生们会更加积极地参与到学习中，互相学习与启发，学习效果也会更加显著。
从一道数学习题引发的思考
从一道数学习题引发的思考我曾听过某小学四年级的一节数学课，内容是讲乘、除法各部分间关系的应用。
新课前的教学效果较好，为了让学生将这一知识得以巩固、延伸，该任课教师呈现了56×(□-145)=3080，让学生填上方框里的数。
意图是让学生用乘、除法各部分间的关系来解答此题，但学生对这道题似乎没多大兴趣，有个同学用了3080÷56+145=200求出了方框里的数。
教师兴奋地追问算理，可这名学生一时答不上来。
接下来就是教师细致的讲解……从学生的表情上不难看出，少部分学生听懂了。
但许多小朋友脸上露出不解之情，可以归结为：一是实在难懂，二是不知道学了有什么用处。
学与用的结合没有找到切入点。
当我也要开始上这一知识时，以前的那一幕又出现在我眼前，有了前车之鉴，可不能重蹈覆辙，．怎样引领学生呢?我陷入了深思。
最终我在课前用课件创设了这样一个情景：老师在家里做一本四年级的数学资料，突然，淘气的小花猫跳上书桌，一只脚踩进墨水瓶里，又跳到了资料书上，把一道题中的一个数字踩着了，变成了墨黑的梅花印，看不清了，这下可糟糕了，我只能看见56×(?葚-45)=3080，同学们，你能帮助教师算出看不清的是什么数字吗?听了老师的讲解，学生先是哈哈大笑，接着便是“热心”的小朋友们几个一组讨论开来。
根据学生的回答，大致探索出了以下三种方法，并说明了理由。
从学生的讲解可以看出，他们运用了乘除法各部分间的关系，想出了这些可圈可点的解决方法。
他们非常自信，也真正学会了本节知识，并使学的知识得以拓展、延伸，得以整合。
更令我惊讶的是第三种解法，居然用上了初中的“换元法”。
从这节课的学习，我更加相信学生的能力，相信自己的教学能力，同时更引发了我对教学的思考。
思考之一：计算数学需要有价值的情景吗？在数学的计算教学中，对于是否需要创设情景，我们许多教师感到困惑，《新课程标准》关于计算教学明确指出：“计算应使学生经历从现实生活中抽象数和简单的数量关系，在具体的情景中理解，并应用到所学知识解决问题的过程，应该避免一味繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来。
对课本一道例题解法的反思
评价研究2014-03对课本一道例题解法的反思文/李国强在数学必修4第一章1.4.2节中求三角函数周期的例题2（课本34页）中，开始时总觉得学生有点难理解，当时问了旁边的学生，学生确实同感。
后来必修4学完后，经过反思，我对三角函数求周期的问题也有了进一步的了解与认识。
现在和大家一起分享我的反思过程。
学习三角函数的图象后，不难发现三角函数值及其图象具有“周而复始”的变化规律，如下图所示的正弦函数和余弦函数的图象y通过函数图象我们可以观察到每隔2k π（k ∈Z）个单位，函数图象以及函数值都会重复出现，根据周期函数的定义知：而对于函数f （x ），如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定定义域内的每一个值时，都有f （x+T ）=f （x ），那么f （x ）就是周期函数，而T 就是这个函数的周期，所以正弦函数和余弦函数也是周期函数.三角函数的周期性是三角函数最基本、最重要的性质之一。
在必修4第一章1.4.2节中的例题2中就是有关求三角函数周期的例题。
下面是摘自课本原题的一个小题。
课本（必修4）第34页求下列函数的周期。
例2（2）y =sin2x ，x ∈R ，解：∵sin2（x +π）=sin （2x +2π）=sin2x ，∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为π对于以上例题所用的解法，看似简单但对学生来说，却不太容易理解。
很多学生都会提出质疑：例2的小题是类似f （x ）=sin x 的正弦函数，但它们都不是正弦（或余弦）函数。
所以没办法直接用我们学习正弦函数的周期2k π直接带入，此时也并不懂得如何去求类似正弦函数的周期函数的周期。
而课本在解答时为何直接在函数的变量后加一个π呢？如sin2x =sin2（x +π），正弦函数的周期不是2k π吗？为何此函数不直接写成sin2x =sin2（x +2k π），抑或为什么不在x 后加上2π，3π，4π…n π呢？同样的道理为什么2sin （12x -π6）=2sin ［12（x +4π）-π6］？为什么要加上4π，就不加2π，5π，…n π呢？这些问题令很多学生迷惑不解.后来经过仔细阅读，我发现每道题的解答后都有一句话:“由周期函数的定义可知……”但是仅凭周期函数的定义就可以直接这样判断出函数的周期，这样的说法对刚接触周期函数的高一学生来说难度有点大。
由一道课本例题带来的日常教学思考
由一道课本例题带来的日常教学思考对数学问题多种解法的不懈追求，体现了数学思维的深刻性、发散性、变通性、灵活性、流畅性和开放性.本文介绍一道课本习题的多解、推广、反思.一、课本上的一道例题：浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》P58书本例题：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处.⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？问题解决——谜底：二、例题教学后的反思：对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。
从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。
当学生对于概念、定义有了初步理解(或了解)，但这种理解还不十分稳定、清晰的时候，可以在变式中辨别是非。
在复习概念(或定义)的教学过程中，利用问题变式可加速加深学生对概念的理解，巩固所学知识，提高学习的兴趣和积极性，从而培养学生阅读理解、观察与分析、抽象与概括等能力。
三、题目变式教学题目变式包括条件的探究(增加、减少或变更条件)、结论的探究(结论是否唯一)、数与形的探究、引申探究(命题是否可以推广)等。
在解题复习课或试卷讲评课的教学中，利用问题变式可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，从而使学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力得到提高，探究创新的能力得到发展。
．变式1：如图1，有一个圆锥粮仓，其正视图为边长是 6em的正三角形。
粮仓的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。
此时，小猫正在B处，它要沿粮仓侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程的长。
变式2：如图2所示的圆柱体中，底面圆的半径是 1，高为2。
由一道课本习题引发的教学反思
与信 封标号都不 同的装法种数 ” ，设 “ ｉ 封信与信封 的标号都 不
同的装法 种数 ”为 （ ｉ ＝２ ，３ ，４ ，５ ） ，用 枚举 法易得 ａ ｓ ＝１ ，
、
错 解 呈 现
ｓ ：２ ａ ．现在先求 ａ ４ ，显然 ４封信 分别装入 ４个信封 的装法种 数 共有 ＝４ １种 ，它们可 以分成 以下 四类 ：４封信都与信封标 号 不 同 ，恰有 ３封信 与信封标 号不 同，恰有 ２封信 与信封标 号不 同 ，４封信都 与信封标号 相同．于是 有 ４ Ｉ －ａ ４ ＋ｃ ； Ⅱ ３ ＋Ｃ ｊ ｏ ， ２ ＋１ ， 所以ｏ ４ ＝４ １ 一Ｃ １ ｓ —ｃ ａ ； 啦一１ ＝９ ．同理可得 ，５ 封信 与信 封标 号都
Ｂ＋Ｃ ） ＝ Ｊ ｐ （ Ａ） ＋Ｊ ｐ （ ＋ 有标号 为 １ ，２ ，３ ，４ ，５的五封信 ，另有 同样标号 的五个信封． 又显然事件 Ａ、Ｂ、Ｃ彼此互斥，所以 Ａ＋
现将五 封信任意地装 人五个 信封 中 ，每个信 封装一封 信 ，试求 “ ｐ ｆ 、 一 墨 — — ＋ 王 — 一 ＋＿ ｌ ＿ ， 一 Ｌ
生平时的解 题水平 ．
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ ２ — １ ６
Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ ，１ ７ Ｏ ７ 一ｌ ７ ８ ３ ） 称为 “ 组合数 论 ”的一个妙 题．很 多数 学
作者简 介：施 永新 （ １ ９ ６ ３ 一） ，男 ，江苏海 门人 ，副教授 ，主要 从事数学教育与数 学教 育技 术研 究
有 一封信 与信封 的标 号一致 ”两种情况 ．
１ ７ ４ ８ ） 的儿 子丹 尼尔 ・ 伯努 利 （ Ｄ ａ ｎ ｉ ｅ ｌ Ｂ ｅ ｎｏ ｒ ｕ ｌ ｌ ｉ ，１ ７ ０ ０ —１ ７ ８ ２ ）
教材一道例题引发的思考——函数不动点法求数列的通项公式
函数 不 动 点 法 求数 列 的通 项公 式
临汾 五 中 邰鲜 鲜
一 、 问 题 的 引 入
而利用等 比数列求的数列 ｛ 通项公式 。
人教版 必修五第二章第一节 “数列的概
２．当 特 征 函 数 为 函 数 ｆ（ｘ）＝ ＋ｂ）／ｆ ＋ｄ）
所 以 ，ａ１：１，ａ２— ３／１６，ａ３＝２／２１，ａ４＝１ 则数列 ｛ａｎ）为周期数列，周期为 ３，
（２）若 ｂ≠ ０，即 数 列 ｆ ）满 足递 推 关 系
定 义 ２：方 程 ｘ）－ｘ称 为 函 数 ｆ（ｘ）的不 动 ａｎ¨：（ａ·ａｎ＋ｂ）／（ｃａⅡ＋ｄ）时 ，先 求特 征 方程 的根 。
解：因为，特征函数为／（ ）＝妻
点 方 程 ，它 的实 数根 称 为 函数 ｆｆｘ）的不 动点 。
设 ６ ：
，所 以数列 【ｂ ）是等 比数
； ａ ｎ 一
列 ，首项 ｂｌ＝３，公 比 ｑ＝５，
＿ ３．５
一
解 得 ：
ｎ
５ ＋ １
＝
作 者简 介 ： 邰鲜 鲜 ，ｌ９８０年 ，女 ， 山西 临 汾人 ，本 科 学 历 ． 中二 职称 ，临 汾 五 中教 师。
信任学生 ，和学生打成一片。师生关系融洽 ， 感情融合也使教与学配合默契 ，实现 良好 的师 生 互 动 和 产 生 良好 的教 学 效 果 。 所 谓 “亲 其 师 ，信其道”就是这个道理。由此看出，平等 和谐 的师生关系是使学生快乐学习的保证。
项 求解很容易求 出数列 的前五项 。怎样求 出
ｆ（ｘ）＝（ ＋ｂ）／（ｃｘ＋ｄ）＝ｘ的实数根 ，再根据 特征方
数列的通 鎏 … …… 。…… 。 满足６ ：＿ ａｂ ＋三，利用３．１的方法先求出 程实数根构造辅助数列求解 。
一道课本例题的教学反思及优化设计
列 出一元二次方程， 并检验解 的合理性， 获得更 多运用数学知识分析和解决实际问题 的方法和
例 １ 华师大版 《 数学》 九年级上 《 一元二次 方程》 ２ 页实际应用题例 ７学生生物小组有 第 ９ ： 块长 ３ｍ， ２ ｍ的矩形试验 田， ２ 宽 ０ 为了管理方
２１ 年第 ３ ０２ 期
数 学教 学反 思 及优 化设 计
５６ １ 四川省巴 ３３ ０ 州区大和初中 李发勇
“ 教而不思则 罔， 思而不教则殆． ”虽说‘ 学 镦 永远是一 门遗憾 的艺术” 但反思是减少这种遗 ， 憾 的“ 金科玉律” ． 反思性教学是以解决教学问题为基本点， 是 以追求教学实践合理性 为动力， 是强调“ 学会教 学” “ 和 学会学 习” 是全面发展教师的过程 ＿． ， ｌ 就 Ｊ
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数 学教学
２１ 年第 ３ ０２ 期
ａ 、 ｃａ 、ｄ 故ａ ＋ｂ ＋ａ ＋ｂ ＝ ５０ 分解 ｃ ｂ、 ｄ ｂ ， ｃ ｃ ｄ ｄ ４ ， 因式得 ａ ＋ｂ ＋ａ ＋ｂ （ ） ＋ｄ． ｃ ｃ ｄ ｄ＝ ａ＋６（ ） ｃ
一 ａ—－ｚ — １卜— 一 ｂ— ——１ ———． —
２ｍ 的长方形场地上修筑若干条一样宽 的道路， ０
余下部分作草坪， 设计草坪的总面积仍为５ ０ ４ｍ ， 请全班学生参与设计． 现选取了几位同学不同于 上述 的设计方案：
ｘｘ 故可列出３ｘ ２ 一ｘｘ＝３ ×２ —５０ ）． ２ ＋（０ ） ２ ０ ４．
例２ 如 图５ 在宽为２ ｍ， ， ０ 长为 ３ ｍ的矩形 ２
地面上修筑同样宽的道路 （ 图中阴影部分） 余下 ，
的部分种上草坪． 要使草坪的面积为 ５０ ， ４ｍ 求 道路 的宽度．
由教材一道例题教学引发的思考与探讨
这 种 方 法 其 实 质 是 用 到 了 教 材 中 刚 学 的 “ 例 的基 本 性 比
质 ” 这 是 解 决 此 类 问题 的 常 用 解 法 之 一 ． 教 材 中没 有 采 用 这 ， 在 种 方法 确 实 与 以往 的教 材 安 排 大 不 一样 ， 果 让 学 生 适 得 其 反 ， 结 理 解 不 到位 ， 易产 生 误解 ． 学 生 认 为 这 道 例 题 的方 法 与 前 面 容 让
呢？
经 过仔 细 的思 考 与 对 比发 现 ， 实 上其 实质 是 ： 处 是 采 用 事 此 了 高 中数 学 中证 明 等 式 常 用 的“ 析 法 与 综 合 法 ” 证 明 思 路 ． 分 的
以 下 是 用“ 析 法 ” 行 的证 明． 分 进 旦 只 １ 证 明 ： 证 旦 ＝ ， 要 证 ＋ 要
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经 过 仔 细 思考 之 后 ， 现 在 证 明过 程 中 ， 边 同时 除 以 （— 发 两 ａ ｂ （－ ） 存 在 一 定 的 问 题 ． 据 等 式 的 基 本 性 质 ， 式 的 两 边 同 ）ｃｄ ， 根 等 时 除 以一 个 不 为 ０的数 ， 右两 边 的值 相 等 ， 题 目 中并 未 给 出 左 而
１． ２２
由教材一道例题教学 引发的 思考与探讨
◎晋 江市 第二 中学 施 国龙
华 师 版 九年 级 《 学》 册 第 ３ 数 上 ９页 的例 ２中 ， 材 所 用 的 教
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中 的 证 明 过 程 了． 教材 中 的 方 法 也 就 是 常 见 的“ 构造 法 ” 明． 证 在 实 际 教 学 中 学 生 普 遍 感 到 较 难 理 解 ， 容 易 掌 握 ． 就 要 求 我 们 不 这 在 实 际 的 教学 中深 入 到 学 生 的 学 习 实 际 ，深 化 对 学 生 知 识 水 平
一道课本例题的教学反思及优化设计
一道课本例题的教学反思及优化设计教学反思是教师教育教学过程中一种重要的思考方式，它可以帮助教师反思教学中的不足之处，寻找教学的有效方法与策略，从而不断提升教学质量。
在本文中，我将分享一道课本例题的教学反思及优化设计，以期为教学实践提供参考。
例题内容为一个关于代数化简的问题，如下：已知表达式为 2(a + b) - 3a + 5b - 4a + b + 2(a + b) + 3a - 5b + 4a - b，求该表达式的结果。
在教学反思中，我发现学生在解决这道题时遇到了一些困难。
首先，他们对于如何将同类项合并，以及如何运用加法和减法的规则进行化简还没有很好的掌握。
其次，他们在计算过程中容易出错，导致最终结果有误。
在此基础上，我对该例题的教学设计进行了优化。
首先，为了帮助学生更好地理解同类项的概念和运算规则，我设计了一个开放性的启发式问题：小明有3个苹果，小红有2个苹果，小李有5个苹果。
请问他们一共有多少个苹果？通过这个问题，我引导学生将同类项进行合并，将问题转化为简单的加法运算。
这样可以帮助学生更直观地理解同类项的概念，并掌握同类项合并的方法。
接下来，我设计了一个练习题，让学生巩固所学的概念和方法：计算表达式 (2x + 3y) - x + 4y - 2x + y + (3x + 2y) - y - 4x + 2x - y通过这个练习题，学生可以运用所学的同类项合并的方法，将表达式简化为最简形式。
同时，我会要求学生逐步展示计算过程，并鼓励他们交流和分享自己的思考。
这样可以提高学生的思维逻辑能力，帮助他们理解和应用代数化简的方法。
在教学过程中，我会根据学生的实际情况进行差异化教学，对于掌握较好的学生，我会提供更多的挑战性例题，以拓展他们的思维能力；对于掌握较差的学生，我会提供更多的练习机会，并进行个别辅导。
此外，为了增加学生的参与度和兴趣，我还设计了一个小组合作活动。
我将学生分成若干小组，每个小组共同完成一个复杂的代数化简问题。
高一数学教材中一道例题的教学反思
高一数学教材中一道例题的教学反思作为高一数学教师，我认为教学反思是提高教学质量和效果的重要途径。
在教授高一数学教材中的一道例题时，我遇到了一些困难和挑战。
通过反思，我意识到了问题的所在，并总结了一些改进的方法。
该例题为二次函数的最值问题，具体内容如下：已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），若对于任意实数x，f(x)≤k，其中k为常数，则a的取值范围是多少？在教学过程中，我注意到学生对于二次函数的最值问题缺乏理解和掌握。
由于缺乏对二次函数基本概念的全面了解，学生在解题过程中出现了混淆的情况。
为了解决这个问题，我决定在教学中加强对二次函数的基础知识的讲解，特别是对最值问题的深入解析。
首先，我为学生讲解了二次函数的图像特点，重点强调了开口方向和顶点位置与二次函数系数的关系。
同时，我通过实例演示了在最值问题中如何确定函数的最值点，并解释了K和a的关系。
这一部分的讲解帮助学生建立了对二次函数的基本认识，并对题目中涉及的概念有了更深刻的理解。
接下来，我设计了一些针对最值问题的练习题。
这些练习题从简到难，逐渐提高了学生对最值问题的解决能力。
在每道题的讲解中，我注重引导学生思考解题思路和方法，并及时给予指导。
这种分步引导的方式帮助学生逐步积累解决最值问题的经验，并逐渐提高他们的解题能力。
在教学过程中，我还发现学生在画二次函数图像时存在一定的困难。
为了帮助他们更好地理解和掌握二次函数的图像特点，我使用了数学软件进行了图像的展示，并结合实际生活中的例子进行了解释。
这种形象直观的教学方法增强了学生的学习兴趣，提高了他们对二次函数图像的理解能力。
通过以上的教学反思和改进措施，我取得了一定的效果。
学生对二次函数的最值问题有了更深入的理解，解题能力也有所提高。
然而，我也意识到还有一些不足之处需要进一步改进。
首先，我在教学中注重了解题思路和方法的引导，但可能忽略了对题目中的具体内容的解读。
下一次我将更加注重解题过程中对题目的细致分析，帮助学生对题目有更全面的理解。
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由一道教材例题引起的思考
新课程改革已经在我省全面展开，笔者认为新课程目标下，最基本的还是应该重视对教材资源的充分挖掘和利用。
这也是实现注意从学生已有的经验出发，让他们在熟悉的情景中感受物理思想的重要性，了解物理与日常生活的密切关系，逐步学会分析和解决与物理有关的一些简单的实际问题。
”的教学理念和实现高中新课程教育目标的基础与关键。
我以高中新课标教材《物理选修-3-4》为例，分别对新教材例题的研究；新教材概念的深入挖掘；新教材插图的充分利用，谈谈我的看法和做法。
一、重视教材例题习题
我们虽然总是在提素质教育，可真正教学时，很容易让学生陷入题海当中。
如果我们能充分挖掘教材潜力，以课本为纲，让学生知道什么是最重要的。
实现让学生可以从教材走出去，也可以从容走回来。
教材例题是编委从大量习题中精选出来的，有很强的代表性。
我们应该从例题出发，触类旁通，举一反三。
我想这也是给学生减负的好方法。
笔者最近和学生曾经讨论一道习题，感受颇丰。
原题是这样的。
“井底之蛙”这个成语常被用来讽刺没有见识的人，现有井口大小和深度相同的两口井，一口是枯井，一口是水井(水面在井口之下)，两井底都各有一只青蛙，则( )
a．枯井中青蛙觉得井口大些
b．水井中青蛙觉得井口大些
c．晴天的夜晚，枯井中青蛙能看到更多的星星
d．晴天的夜晚，水井中青蛙能看到更多的星星
学生们开始普遍感到无从下手。
而我在备课时想尽量降低学生理解的难度，从学生熟悉的知识入手。
后来我发现如果从教材一道例题出发就能很好的解决问题。
教材原题是一个储油桶的底面直径与高均为d.当桶内没有油时,从某点a恰能看到桶底边缘的某点b. 如图(a)所示,当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿ab方向看去,恰好看到桶底上的点c, 如图(b)所示,c、b两点相距d/4.求油的折射率和光在油中传播的速度。
这是一道很常规的习题，学生很容易入手，当时讲的时候学生也普遍接受。
现在我换一个角思维问题。
第一步按着题中所说开始c点看不到a，a也看不到c。
现在倒入液体后，a能看到c，c也能看到a（光路可逆）这相当于倒入液体后增大了c的视野。
对比刚才的习题，水中的青蛙应该会比枯井中的青蛙看到更多的星星。
学生们很自然的接受了这个观点。
第二步自己画光路图。
如图b所示。
细实线为折射光线，粗实线为没有倒入液体时对应的光线。
这时最好引入视角的概念，让学生很容易就明白了水中的青蛙看井口小了（视角变小了）第三步例题中的c点是一个定点，如果c点可以水平移动的话，那视野就更开阔了。
马上联系教科书的一道课后习题。
为了从坦克内部观察外部目标,在坦克内部开了一个孔。
假定坦克的壁厚20cm，
孔的直径为12cm，孔内安装一块折射率1.52的玻璃，厚度与坦克的壁厚相同（如图c所示，俯视图）。
坦克内的人通过这块玻璃能看到的外界的角度范围为多大？
这也是一道非常经典的问题，学习了前面的观点学生很容易就解决这个问题了。
我这样由教科书入手，不同角度理解，层层递进，收到了很好的课堂效果。
二、重视教科书的概念和定义
概念是客观事物本质属性的反映，在自然界，物理现象千变万化，错综复杂。
人们要认识、解释、改造和利用自然，就必须用恰当的语言来描述物理现象，揭示其本质，寻求其规律。
这些反应客观事物本质属性的严密语言就是物理概念，让学生必须明白物理概念不是人们头脑中固有的，而是从物理现象中总结归纳出来的，这就要求教师在教学过程中为学生创设恰当的物理情景，提供丰富的感性认识，激发学生学习探究的兴趣，使其能从身边诸多现象中发现其本质，总结归纳出概念。
教材中的概念是全体教材编为大量工作的结果，智慧的结晶。
说到概念，我们的学生甚至有些老师对教科书上的概念并不十分重视，就是一味的做题。
结果造成题是做了不少，可概念还没有理解到位。
我们应该重视每一概念，理解它的含义。
举个例子，比方说新课标下折射的概念，光由一种介质进入另一种介质的现象。
我想教材的目的是要让学生理解发生折射的根本原因是不同介质光速不同，折射并不只是简单理解为光要发生
偏折。
如果概念理解到位了，当处理“光垂直进入到第二种介质时叫不叫折射”这样的问题就很简单了。
三、充分挖掘教材的插图资源
课本知识是教材编委集体智慧的结晶，具有很强的权威性、指导性。
而教材中的插图所孕含的信息，为我们挖掘教材提供了很大的创意空间。
随着新课标的提出，绘图者精心创作图画，使教材文字和绘图相得益彰，水乳交融，显示出整体的美感。
现行的物理教材每章节都配有多幅插图。
这种图文并茂的教材编排，符合高中生的年龄特点，也有利于提高学生学习物理的兴趣，更好地理解教材内容，培养观察、思维、分析解决问题和语言表达等能力。
因此，在教学过程中，充分发挥教材中插图的作用，充分挖掘插图的内涵、外延，对学生的观察、思考、描述表说、书写表达等方面的能力的培养有着重要的作用和很好的效应。
举一个例子。
比如我处理机械波那一章时，那一章开始的插图叫《水波通过桥洞时发生衍射》，很多学生都不注意。
等我讲完了衍射那一节时，我让学生重新看这个插图，让学生思考怎么就衍射了。
大家最后总结出相当于以桥洞为圆心，对应一列列波，桥洞后阴影区明显减少。
等学完了惠更斯原理，我又让学生体会理解在“任意波面得各点都可以看做是发射子波的波源”,学生理解的很好。
指导学生观察课本中的插图不仅是单纯地帮助学生理解课本的过程，也是培养学生观察能力的过程。
老师在指导学生观察插图时，要有意识地培养学生观察的兴趣，
培养良好的观察习惯和观察方法。
要注意教学生观察的顺序、主次、细节等。