【高中数学课件】直线和抛物线的关系ppt课件

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2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(二)》ppt

x1,3，x2 三个数构成等差数列，则线段|AB|的长为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
答案
高考一轮总复习•数学
第23页
解析：如图，设准线 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作准线 l 的垂线 AD，
交 l 于点 D．由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝4.因为点 F 是线段 AC 的中点，
所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以 2p＝4，解得 p＝2.所以抛物线的方程为 y2＝4x. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以 x1＝3，所以 A(3,2 3)．又 F(1,0)，所以 kAF＝32－31＝ 3，所以直线 AF 的方程为 y＝ 3(x－1)，将此方程与抛物线方程 y2＝4x 联立后消去 y 并整理，得 3x2－10x＋3＝0，所以 x1＋x2＝130，所以|AB|＝x1 ＋x2＋p＝130＋2＝136.故选 C．
y1y＝px1＋x→过A的切线，由yy221y＝＝2ppxx12，＋x→过B的切线，
y22＝2px2，
得两切线交点 Qy21py2，y1＋2 y2，又由 y1y2＝－p2 知 xQ
＝－p2，即 Q 点轨迹方程为准线 x＝－p2. 易验证 kQA·kQB＝－1，即 QA⊥QB．
高考一轮总复习•数学
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
直线与抛物线的位置关系联立yy2＝＝k2xp＋x，m，得 k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①相切：k≠0，Δ＝0； ②相交：k≠0，Δ>0 或 k＝0； ③相离：k≠0，Δ<0.
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第6页

人教A版(2019)高中数学《抛物线》标准课件1

人教A版（2019）高中数学《抛物线》标准课件1（公开课课件）
典型例题：人教A版（2019）高中数学《抛物线》标准课件1（公开课课件）
2
当
k
≠
0
时
,
直
线
方
程
可
化
为
x
=
1 k
y
-
p
-
3p 2
,
令m = 1 得,x = m y - p- 3p ,代入y2 = 2px得
k
2
y2 - 2pmy + 2p2m + 3p2 = 0
② 显然 M 到点 x轴的距离为的该绝点对 y纵值 0,故坐 |， y|标 y由 .
2k b y y1 y2 x12x22(x1x2)22x1x2
2
2
8
8
k2
1 1 k2
k2 111k2 12 k2 111k2 11
人教A版（2019）高中数学《抛物线》标准课件1（公开课课件）
判断直线与双曲线位置关系把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的渐进线平行
计算判别式 >0 =0 <0
相交（一个交点）
两个一个没有交点交点交点 Nhomakorabea 探究新知
1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
(1)有一个公共点 (2)两个公共交点 (3)没有公共点
y
x F
探究新知人教A版（2019）高中数学《抛物线》标准课件1（公开课课件）
y
2 求弦 A B 中点 M 离 x 轴的最短距离 .
解 ① 设： A : y 直 k B b , x A ( x 1 , y 1 线 ) 、 B ( x 2 , y 2 ),

2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(一)》ppt

答案
高考一轮总复习•数学
第29页
解析：(1)∵抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，∴准线为 x＝－p2.
∵点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，∴－p2－2＝4. ∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为 y2＝8x.
(2)因为△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准线，设 Pm，m2p2，则点 Mm，－p2.因为焦点为 F0，p2，△FPM 是等边三角形，所以|PM|＝4，
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抛物线定义的应用策略
第17页
高考一轮总复习•数学
第18页
对点练 1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图 1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图 2 所示的抛物线 C：x2＝－2py(p>0)的一部分， P 为抛物线 C 上一点，F 为抛物线 C 的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|＝ 221，则 p＝( )
高考一轮总复习•数学
第10页
2．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2 ＝6，则|PQ|＝( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋ |QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选 B．
即 px0＝4.又 C 的准线方程为 x＝－p2，易知|FM|＝x0＋p2，显然|DM|＝x0－p2.
由焦点联想准线．
因为 cos∠MFG＝2 3 2，所以 sin∠MFG＝13，因此||DFMM||＝sin∠MFG＝13，即xx00＋－p2p2＝13，整理得 x0＝p，与 px0＝4 联立，解得 p＝x0＝2，

人教版高中数学课件：直线与抛物线的位置关系

练习：判断下列命题是否正确
1.如果直线与抛物线只有一个公共点，
则它们相切. 错 2.如果直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点 . 正确
所以：直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的必要非充分条件.即
相切有一个公共点
例1.过点P(0,2)且与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有 3 条，
p 12 p 0
2
p 0或p 12(舍去)
设A(x1,y1), B (x2,y2),则 x1+x2=-(3+2p) x1x2=9/4
2
1 1 (3 2 p) 9 4 2 解得：p 1或p 4(舍去)
所以，所求抛物线的方程为y2=-2x.
解：设所求直线的方程为y-2=kx （k ≠0 ）即y=kx +2. 将直线y=kx +2代入抛物线方程，得
即
(kx 2) 8x 2 2 k x (4k 8) x 4 0
2
(4k 8) 16k
2
2
64k 64 0 k 1
解：将直线y=x +b代入抛物线方程y2=8x ，得
练习：
已知顶点在原点，焦点在x轴负半轴的抛物
线截直线y=x+3/2所得的弦长 AB 4 2，求
此抛物线的方程.
解：设抛物线方程为y2=-2px (p>0)
将直线y=x +3/2代入抛物线方程y2=-2px ，得
则
3 2 ( x ) 2 px 2 9 2 即 x (3 2 p) x 0 4 2 (3 2 p ) 9
( x b) 8x
2
即
x (2b 8) x b 0

湘教版高中数学选修1-1第2章 2.3.2 第二课时直线与抛物线的位置关系

第二课时直线与抛物线的位置关系[读教材·填要点]直线与抛物线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0，(1)若a ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．(2)若a ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．[小问题·大思维]若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线有什么样的位置关系？提示：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，反过来，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．直线与抛物线的位置关系若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．[自主解答] 因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax 有唯一一组实数解．消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0.①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5.y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.若将“曲线C ：y 2＝ax 恰有一个公共点”改为“抛物线C ：y 2＝ax (a ≠0)相交”，如何求解？解：列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax (a ≠0)，消去x 并化简，得(a ＋1)y 2－ay －a ＝0.(*)①当a ＋1＝0即a ＝－1时：方程(*)化为y ＋1＝0， ∴y ＝－1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，故直线与抛物线相交．②当a ＋1≠0即a ≠－1时，由Δ＝(－a )2＋4a (a ＋1)≥0，得 5a 2＋4a ≥0，结合a ≠0，解得a ≤－45或a >0.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－45∪(0，＋∞)．直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离，这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断．当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时只有一个交点．1.如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离．即r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.弦长、中点弦问题已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．[自主解答] 设抛物线方程为：x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0.消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0， ∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，y 1－y 2＝12(x 1－x 2)，弦长为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ 54(x 1－x 2)2＝ 54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝145(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，∴所求抛物线方程为：x 2＝－4y 或x 2＝12y .(1)研究直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦的端点坐标，而是直接利用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，另外要注意斜率不存在的情况，当弦过焦点时可利用焦点弦公式求解．(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率．2．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦恰被Q 平分，求AB 所在直线方程．解：设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②x 1＋x 2＝8， ③y 1＋y 2＝2， ④k ＝y 1－y 2x 1－x 2，⑤ ①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．将④代入，得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，4＝y 1－y 2x 1－x 2.∴k ＝4.经验证，此时直线与抛物线相交．∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.抛物线中的定点、定值问题A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，并满足OA ⊥OB ，求证：(1)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值； (2)直线AB 经过一个定点．[自主解答] (1)因为AB 斜率不为0，设直线AB 方程为my ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x ＋b ，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2pmy ＋2pb ＝0. 由Δ＝(－2pm )2－8pb >0，又∵y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pb ，OA ⊥OB ， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.∴y 21·y 224p2＋y 1·y 2＝0. ∴b 2＋2pb ＝0.∴b ＋2p ＝0.∴b ＝－2p . ∴y 1y 2＝－4p 2，x 1·x 2＝b 2＝4p 2.所以A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是4p 2和－4p 2；(2)直线AB 的方程为my ＝x －2p ，所以AB 过定点(2p,0)．直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值，然后证明该定值即为所求．3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B ，求证：y A ·y B ＝－p 2. 证明：①斜率不存在时y 1＝p ，y 2＝－p ， ∴y 1y 2＝－p 2.②斜率存在时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 得， y ＝k ·y 22p －kp2，∴y 1·y 2＝－kp 2k 2p＝－p 2.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试抛物线y 2＝x 上，存在P ，Q 两点，并且P ，Q 关于直线y －1＝k (x －1)对称，求k 的取值范围．[解] 法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2. 又∵⎩⎨⎧y 1－y 2＝－1k (x 1－x 2)，y 1＋y 22－1＝k ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－1，∴y 1＋y 2＝－k .∴－k 2－1＝k ⎝⎛⎭⎫y 21＋y 222－1＝k 2[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2－2]． ∴－k －2＝k [k 2－2y 1(－k －y 1)－2]．∴2ky 21＋2k 2y 1＋k 3－k ＋2＝0.∴Δ＝4k 4－8k (k 3－k ＋2)>0. ∴k (－k 3＋2k －4)>0. ∴k (k 3－2k ＋4)<0. ∴k (k ＋2)(k 2－2k ＋2)<0. ∴k ∈(－2,0)．法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且P Q 的中点M (x 0，y 0)，由题意可知直线y －1＝k (x －1)的斜率存在，且k ≠0. 不妨设直线P Q 的方程为x ＋ky ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋m ＝0，y 2＝x ，得y 2＋ky ＋m ＝0. ∴y 1＋y 2＝－k . 即y 0＝－k 2，x 0＝12－1k .又∵中点M (x 0，y 0)在抛物线的内部， ∴y 20<x 0，∴k 3－2k ＋4k<0，即(k ＋2)(k 2－2k ＋2)k <0， ∴k ∈(－2,0)．1．若直线y ＝2x ＋p2与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x 2－4px －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4p ，∴y 1＋y 2＝9p . ∵直线过抛物线的焦点， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝10p .答案：B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：不妨设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由直线AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB 方程为y ＝－2(x －1)，代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x ，整理得x 2－4x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1， ∴|AB |＝(1＋k 2)|x 1－x 2|＝ 5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝215. 答案：B3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：斜率不存在时，直线x ＝0符合题意，斜率存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0， k ＝0时，符合题意， k ≠0时，由Δ＝0得k ＝12.答案：C4．已知△OAB 为等腰直角三角形，其中|OA |＝|OB |，若A ，B 两点在抛物线y ＝14x 2上，则△OAB 的周长是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 2<0<x 1，由|OA |＝|OB |及抛物线的对称性知AB ⊥y 轴，y 1＝x 1，又y 1＝14x 21，所以x 1＝y 1＝4，故|OA |＝|OB |＝42，|AB |＝8，△OAB 的周长为8＋8 2.答案：8＋8 25．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入得：y 2＝2px ＝2p ⎝⎛⎭⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.答案：x ＝－16．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．解：将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得： k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，(4k ＋8)2－16k 2>0⇒k >－1且k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得： x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0. 解得k ＝2或k ＝－1(舍去)．由弦长公式得： |AB |＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215.一、选择题1．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2解析：取特殊位置，当AB ⊥x 轴时，A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p2，－p . ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 答案：B2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：准线x ＝－2，Q (－2,0)，设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0. 当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)，当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k ＜0或0＜k ≤1. 综上，k 的取值范围是[－1,1]．答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：由⎩⎨⎧y ＝bax ，x ＝－p2，解得⎩⎨⎧y ＝－bp 2a，x ＝－p2.由题得知⎩⎨⎧－bp2a＝－1，－p2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4.又知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴焦距2c ＝2 5. 答案：B4．设定点M ⎝⎛⎭⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2)D.⎝⎛⎭⎫18，－12 解析：连接PF ，则d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |≥|MF |，知d 1＋d 2的最小值为|MF |，当且仅当M ，P ，F 三点共线时，等号成立，而直线MF 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －12，与y 2＝2x 联立可得x ＝2，y ＝2.答案：C 二、填空题5．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：显然x 1>0，x 2>0.又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号，所以y 21＋y 21的最小值为32.答案：326．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由条件可知直线AB 的方程为y ＝x －p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－px ＋p 24＝2px .即x 2－3px ＋p 24＝0，又|AB |＝8，即⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝8. ∴x 1＋x 2＝8－p . 即3p ＝8－p ，∴p ＝2. 答案：27．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形AP Q B 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP |＝10，|B Q |＝2或|B Q |＝10，|AP |＝2，所以|P Q |＝8，所以梯形AP Q B 的面积S ＝10＋22×8＝48.答案：488．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF ―→＝3FB ―→，则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：依题意，设直线AB 的方程是x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.又AF ―→＝3FB ―→，AF ―→＝(1－x 1，－y 1)，FB ―→＝(x 2－1，y 2)，于是有－y 1＝3y 2，y 22＝43， (y 1＋y 2)2＝4y 22＝163，弦AB 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝y 21＋y 228＋1 ＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 28＋1＝163＋88＋1＝83. 答案：83三、解答题9．已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)证明：易知k ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－1k ，y 1·y 2＝－1.因为y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2，所以x 1·x 2＝1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA ―→·OB ―→＝0，所以OA ⊥OB .(2)设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为(－1,0)，所以S △AOB ＝12|ON |·|y 1－y 2| ＝12×|ON |×(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k 2＋4＝10，解得k 2＝136，所以k ＝±16.10.如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设AB 的斜率为k ，则AC 的斜率为－k .故直线AB 的方程是y －2＝k (x －4)，与y 2＝x 联立得，y －2＝k (y 2－4)，即ky 2－y －4k ＋2＝0.∵y ＝2是此方程的一解，∴2y B ＝－4k ＋2k ，y B ＝1－2k k， x B ＝y 2B ＝1－4k ＋4k 2k 2. ∴B ⎝⎛⎭⎫1－4k ＋4k 2k 2，1－2k k . ∵k AC ＝－k ，以－k 代替k 代入B 点坐标得点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋4k ＋4k 2k 2，1＋2k －k ， ∴k BC ＝－1＋2k k －1－2k k 1＋4k ＋4k 2k 2－1－4k ＋4k 2k 2＝－14为定值．。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2第2课时直线与抛物线的位置关系课件新人教A版选修21

①若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
〔跟踪练习1〕已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l的方程．
个公共点，无公共点？
[思路分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．
[规范解答] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y22代入整理得，ky2＋2y＋2k－2 ＝0．
(1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－12，直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点(－12，1)．
提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的．
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线公共点的个数0个可、以1个有或2个
综上知，k<1－2
3或
1＋ k> 2
3时，l 与 C 无公共点；
k＝1±2 3或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点；
1－ 2
3 <k<0
或
1＋ 0<k< 2
3时，l 与 C 有两个公共点．
『规律总结』直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，

高中数学课件-第7讲抛物线

第7讲　抛物线1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的考试要求简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解抛物线的简单应用.01聚焦必备知识知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质常用结论夯基诊断××√×2.回源教材(1)抛物线y 2＝10x的焦点到准线的距离是________.答案：5抛物线的方程为y 2＝10x ，则p ＝5，所以抛物线y 2＝10x 的焦点到准线的距离是5.(2)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为________.(3)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|＝3，则点A的横坐标为________.答案：202突破核心命题例1　(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD ⊥l ，交l 于D .若|AF |＝4，∠DAF ＝60°，则抛物线C 的方程为________.考点一　抛物线的方程与几何性质答案：y 2＝4x(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.训练1　(1)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )C答案：16例2　(2024·福州质检)在平面直角坐标系Oxy 中，动点P (x ，y )到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P 的轨迹方程为( )A.y 2＝2xB.y 2＝4xC.y 2＝－4xD.y 2＝－8x考点二抛物线的定义及应用考向 1求轨迹方程DD　由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.例3　若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为__________.2最值问题与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.反思感悟DA考点三抛物线的综合问题1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.反思感悟训练3　过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.03限时规范训练(六十三)A级　基础落实练1.(2023·临汾第一次适应性训练)已知抛物线C的焦点F关于其准线对B称的点为(0，－9)，则C的方程为( )A.x2＝6yB.x2＝12yC.x2＝18yD.x2＝36y2.(2024·昆明一中月考)过抛物线y2＝8x的焦点的直线l与抛物线相交于M，N两点.若M，N两点到直线x＝－3的距离之和等于11，则这样的直线l(　C　)A.不存在B.有且仅有一条C.有且仅有两条D.有无穷多条C　由题意知M，N两点到准线x＝－2的距离之和等于9，由抛物线定义得|MN|＝9.又抛物线y2＝8x的通径长为2p＝8＜|MN|＝9根据过焦点的弦的对称性知，这样的弦有且仅有两条，故选C.图① 图②A.1 B.2C.3D.4ABB6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中ACD点，则下列结论正确的是( )A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝10。

高中数学选修1-1人教A版：2.3.2直线与抛物线的位置关系课件

这时，直线l与抛物线只有一个公4 共点( 1 ,1 )
（2）当k 0时，方程①的判别式为
4
1(62k2k1)
高中数学选修1-1人教A版：2.3.2直线与抛物线的位置关系课件【精品】
高中数学选修1-1人教A版：2.3.2直线与抛物线的位置关系课件【精品】
（Ⅰ）由 0,即2k2k10,
得: Ax2+Bx+C=0
③△<0 相离
y
y
y
.. .. ..
o
Fx
o
Fx
o
Fx
对于“几何图形观察法”，其优点在于可以根据图形的几何直观直接判断，但由于手工作图会有一定的误差，这对于我们判断结果必定会产生影响.
本节课我们利用解方程组即“代数
方法”解决“直线与抛物线公共点个数”的问题.
三、例题讲解
解得 k 1,或k 1.
于是，当
k
1,或k
12 2时，方程①只有一个解，从而方
程组（*）只有一个解，这时，直线与抛物线只有一个
公共点. （Ⅱ）由
0,
即
2k2k10,
解得 1 k 1 .
于是，当 1k12且k2 0时，方程①有两个解，从而方
程组（*）有两个解.这时，直线与抛物线有两个公共点.
（二）归纳：抛物线的几何性质(复习回顾）
图形
准线
顶点对称轴 e
y
l OF
y2 = 2px x （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(

高中抛物线通用课件

02 抛物线的焦点和准线是相互垂直的，且距离为 $|p|$。
抛物线的开口方向与大小
抛物线的开口方向由焦点的位置决定，焦点在 $x$ 轴正半轴上时，开口向右；焦点在 $x$ 轴
负半轴上时，开口向左。
抛物线的开口大小由焦距 $p$ 的绝对值决定，$|p|$ 值越大，开口越大；$|p|$ 值越小，开口
04
抛物线的作图与计算
抛物线的作图方法
直接作图法
通过抛物线的定义，利用直尺、圆规等工具直接画出抛物线。
参数法
引入参数方程，通过参数的变化来绘制抛物线。
坐标法
利用抛物线的标准方程，通过坐标变换和函数图像绘制抛物线。
抛物线的计算方法
标准方程法
利用抛物线的标准方程，求出焦点、准线等几何量。
越小。
当 $p = 0$ 时，抛物线退化为一条直线，即 $y = 0$。
03
抛物线的应用
抛物线在几何图形中的应用
抛物线与椭圆、双曲线的比较
通过比较抛物线与椭圆、双曲线的定义和性质，理解抛物线的几何特性。
抛物线与直线的位置关系
研究抛物线与直线相交、平行和垂直的条件，以及这些条件下的几何意义。
抛物线在实际问题中的应用
01
抛物线与物理学
理解抛物线在物理学中的应用，如斜抛运动、光线的反射和折射等。
02
抛物线与经济学的关系
探讨抛物线在经济学中的运用，如需求曲线、成本曲线等。
抛物线与其他数学知识的综合应用
抛物线与三角函数
结合三角函数的知识，研究抛物线的周期性和对称性。
抛物线与导数
利用导数研究抛物线的极值点和切线斜率，解决实际问题中的最优化问题。
当 $p > 0$ 时，抛物线开口向右；当 $p < 0$ 时 02 ，抛物线开口向左。

第7节第2课时直线与抛物线--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

2025
高考总复习
第2课时
直线与抛物线
研考点
精准突破
考点一
直线与抛物线的位置关系
例1已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点?
有两个公共点?没有公共点?
= + 1,
解联立 2
消去 y,得 k2x2+(2k-4)x+1=0,
= 4,
当 k=0 时,(*)式只有一个解
|AB|= 1 + 4|y1-y2|= 5 · 162 -8=4 15,
解得
3
p=- (舍)或
2
p=2.∴p=2.
(2)由(1)知抛物线 C 的方程为 y2=4x,F(1,0).
设 M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,
= + ,
由 2
得 y2-4my-4n=0,
例3已知直线l与抛物线C:y=2x2相交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为
(1,4),则直线l的方程为( A )
A.4x-y=0
B.2x-y=0
C.8x-y-6=0
D.x-2y+3=0
解析设 A(x1,y1),B(x2,y2),
1 = 212 ,
2
2
由
得
y
-y
=2(
−

1
2
1
2 )=2(x1+x2)(x1-x2),
联立 2
= 4,
得ky2-4y+4k+8=0,当k=0时,此时y=2,与抛物线有唯一公共点;
当k≠0时,由Δ=(-4)2-4k×(4k+8)=0,解得k=-1±

抛物线及其标准方程(共32张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册

(1)椭圆的离心率范围为0<e<1 ;(2) 双曲线的离心率的范围是e>1 ;(3)当e=1 时，它的轨迹是什么? 抛物线我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线.
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像标准方程焦点坐标准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①

4高中数学抛物线的性质及其应用PPT课件

于A，B两点。
(1)求证：A以B为直径的圆与准线相切 y
(2)求证： 1 1 为定值
A
| AF| | BF|
M
A
M
k2x2(F x
B
l
B
| AFx|1x2|B x2 p 1F| (xx12x1 xp 2)2pp4x22 2pp42p22p (2k k222 kp 22)p42
直线与抛物线相交(一个交点)
>0 =0 <0
相交相切相离
7
最值问题
例：求 y24x抛上物的 P 到线点直 3x4y线 1 5 0 的距的最小值
设 l:3x4yb0
代入抛物线 y2 ， 4(得 4y ： b)
3 整理得 3y2： 16y4b0
P
162 48b0b16 3
dmin
|1516| 3
若，则l直 :x线 p A (p,p)B ,(p,p) |A| B 2p
2
22 2
若，设l直 :y线 k(xp),代入抛物线方程
2
2
k2y2p(k22)x1k2p20
4
|A| B 1 k 2|x A x B |1 k 2 p 2 (k k 2 4 2 )2 p 2
k21 ta2n1 2p 2p k2 2p ta2nsi2n
B
l
B
2
2
(2 )设 A (x 1 ,y 1 ) B ,(x 12 ,y 2 )当 1,A 垂 1B 1x 轴直 2 x 1 时于 x 2 2 p ， |AF | |BF | p p p
当 A不 B 垂x直轴于时，A 设 B :y直 k(x线 p), 2
代入抛物线方程，得 15

2025版新教材高中数学第3章第1课时抛物线的简单几何性质课件新人教A版选择性必修第一册

分别交准线于点 E，D，设|BF|＝a，则由已知得 |BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在 Rt△ACE 中，
∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a， ∴2|AE|＝|AC|，
∴4＋3a＝8，从而得 a＝43， 4
∵BD∥FG，∴3p＝23，p＝2.因此抛物线的方程是 y2＝4x.
对点训练❷ 已知抛物线y2＝8x和直线l：y＝k(x－1)－1，判断
直线l与抛物线的位置关系，若l与抛物线相交于不同两点，求以点(1，－
1)为中点的弦所在的直线方程． [解析] 直线 l 过定点(1，－1)，且在抛物线内部，故直线 l 与抛物
线相交．设所求直线与抛物线 y2＝8x 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y21＝8x1，
(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2 ＝－(x－3)，即 y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， y0＝－x0＋5，
则x0＋12＝y0－x20＋12＋16. 解得xy00＝＝32，或xy00＝＝1－1，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
3)在抛物线 y2＝－2px 上，可得 p＝32.于是所求抛物线的方程为 y2＝3x 或 y2＝－3x.
题型二
直线与抛物线的位置关系
2．已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况．
[解析] (Ⅰ)若直线 l 的斜率存在，记为 k.又直线过定点(0，－2)，可设直线 l 的方程为 y＝kx－2.①
＝0. ①k＝0时，直线与抛物线只有__一__个___交点； ②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线__相__交___⇔有__两___个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线__相__切___⇔只有__一___个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线__相__离___⇔__没__有___公共点．

3.3.2 抛物线的简单几何性质课件ppt

2
(0 + 1) =
+ 16.
2
0 = 11,
0 = 3,
解得
或
0 = 2
0 = -6.
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144.
反思感悟 AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,设
A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂
4 2 +4
由题设知 2 =8,解得

k=-1(舍去)或 k=1.
因此直线 l 的方程为 y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即
y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
0 = -0 + 5,
2
(
-
+
1)
0 0
2
⑦S△AOB=2sin (α
⑧∠A1FB1=90°.
为直线 AB 的倾斜角);
2
x1x2= ,y1y2=-p2;
4
变式训练3过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 √3 的直线交C于点M(M在x
轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(
A.√5
B.2√2
故所求轨迹方程为
1 2
7
=x- .
2
4
(方法 2)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y-1=k(x-2)(k≠0).
-1 = (-2), 2
由 2
得 2 y -y+1-2k=0.

2025版新教材高中数学第3章第2课时直线与抛物线的位置关系课件新人教A版选择性必修第一册

题型二
中点弦问题
2．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在
直线的方程． [解析] 方法一：(点差法)设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则有 y21＝8x1，y22＝8x2， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又 y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即yx11－－yx22＝4，∴kAB＝4. ∴AB 所在直线的方程为 y－1＝4(x－4)，即 4x－y－15＝0.
∴x1＋x2＝2k2k＋2 8，x1－x2＝－k82 k＝－k8. ∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2] ＝k(x1＋x2)－2k＝k·2k2k＋2 8－2k＝8k. ∴kAB＝yx11－－yx22＝－1. ∴直线 AB 的斜率为定值－1.
课堂检测•固双基
1．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心
(2)由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立yx＝2＝k2xy＋，1，消去 y 化简得 x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2· 4k2＋8＝2 6， ∴k4＋3k2－4＝0，又 k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
[解析] 据题意知，△PMF 为等边三角形时，|PF| ＝|PM|，所以 PM 垂直抛物线的准线，设 Pm42，m，则 M(－1，m)，则等边三角形边长为 1＋m42，
因为 F(1,0)，所以由|PM|＝|FM|，得 1＋m42＝－1－12＋m2，解得 m2＝12，所以等边三角形边长为 4，其面积为 4 3.
所以 p＝2.

高中数学选择性必修一(人教版)《3.3.2第二课时直线与抛物线的位置关系及应用》课件

(1)若 k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若 k2≠0，当 Δ>0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 Δ＝0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 Δ<0 时，直线与抛物线相离，无公共点．
[对点练清] 1．已知直线 y＝kx－k 及抛物线 y2＝2px(p>0)，则 ( )
(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线 AB： x＝my＋1(m≠0)，
联立yx2＝＝m4xy＋，1，消去 x，得 y2－4my－4＝0. 于是，有 yM＝y1＋2 y2＝2m，xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即 M(2m2＋1,2m)．同理，Nm22＋1，－m2 . 因此，直线 MN 的斜率 kMN＝2m2＋21m－＋mm222＋1＝m2m－1，
(2) 设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 1 ，与抛物线方程联立得
x＝my＋1， y2＝4x，
消去 x，得 y2－4my－4＝0，
所以 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.
|AB|＝ m2＋1|y1－y2|
＝ m2＋1· y1＋y22－4y1y2
解：(1)因为抛物 C：y2＝4x 的焦点 F(1,0)在 x 轴上，所以条件 ①适合，条件②不适合．又因为抛物线 C：y2＝4x 的准线方程为 x＝－1，所以条件④ 不适合题意．当选择条件③时，|MF|＝xM＋1＝1＋1＝2，此时适合题意，故选择条件①③时，可得抛物线 C 的方程是 y2＝4x.
解：(1)由已知，得抛物线的焦点为 F(1，0)．因为线段 AB 的中点在直线 y＝2 上，所以直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0， y0)，由yy1222＝＝44xx12，，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以 2y0k＝4. 又 y0＝2，所以 k＝1，故直线 l 的方程是 y＝x－1.

高中数学高二下册-12.8 抛物线的性质课件

当把汽车的前灯开关从亮转到暗时，就有数学在起作用。具体地说，是抛物线原理在玩花招。
例3，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口直径是24cm, 灯深10cm,求灯泡离反射镜的顶点的距离。
F
一建二设三列四解
解：取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系。
求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点 (3，－6）的抛物线的方程。
解：所求抛物线的方程y2=12x 或x2=－1.5y 。
例2，求过定点（0，－2）且与抛物线 y2=4x只有一个公共点的直线的方程。
思考：求直线l过定点（－2，0）且与抛物线 y2=4x有两个公共点,求直线l的
斜率的范围方程。
课堂小结
1.掌握抛物线的性质，重点在于抓住两点（一顶点一焦点）两线（一准线一对称轴）一方向（开口方向） 2.解抛物线等圆锥曲线的问题，借助
图形更加直观。 3.学会类比，提高学习效率
回家作业：
1.书本P125练习12.8中1～4 2.补充练习 3.思考题
能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。世上所有美好的感情加在一起，也抵不上一桩高尚的行动。读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈。——歌德任何人都可以变得狠毒，只要你尝试过嫉妒。连一个好朋友都没有的人，根本不值得活着。战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。当你劝告别人时，若不顾及别人的自尊心，那么再好的言语都没有用的。坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿努力向上的开拓，才使弯曲的竹鞭化作了笔直的毛竹。没有失败，只有暂时停止的成功。