2020-2021学年山东省寿光现代中学高二11月月考数学试题(解析版)

2020-2021学年山东省寿光现代中学高二11月月考数学试题
一、单选题
1．已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，若()1,1,1a =， ()1,0,1n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．垂直
B ．平行
C ．相交但不垂直
D ．直线l 在平面
α内或直线l 与平面α平行
【答案】D
【分析】由0a n =，即可判断出直线l 与平面α的位置关系． 【详解】∵110a n =-+=， ∴a ⊥n ，
∴直线l 在平面α内或直线l 与平面α平行． 故选D ．
【点睛】本题考查平面法向量的应用、直线与平面位置关系的判定，考查推理能力与计算能力．
2．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ）
A ．
1
14
m << B ．1
14
m
m 或 C ．14
m <
D ．1m
【答案】B
【分析】由圆的方程化化为2
2
2
(2)(1)451x m y m m ++-=-+，得出
24510m m -+>，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，圆2
2
4250x y mx y m ++-+=，可化为
222(2)(1)451x m y m m ++-=-+，
则24510m m -+>，即(41)(1)0m m -->，解得1
4
m <
或1m ，故选B. 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程与标准方程的应用，其中熟练把圆的一般方程化为标准方程，得到24510m m -+>是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3．设直线0ax by c
的倾斜角为，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（）
A ．1=+b a
B ．1=-b a
C ．
D ．
【答案】D
【详解】因为sin cos 0αα+=，所以tan 1α=-，1k =-，
1a
b
-
=-，a b =，0a b -=． 故选D
4．若直线l ：1ax by +=与圆C ：221x y +=无交点，则点(,)P b a 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点在圆上 B ．点在圆外 C ．点在圆内 D ．不能确定
【答案】C
【分析】由题意知圆心到直线的距离大于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，再利用两点间的距离公式判断，可得出结论．
【详解】直线l ：1ax by +=与圆C ：22
1x y +=2
2
1a b
>+，即
221a b +<，
∴点(),P b a 在圆C 内部. 故应选C.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，属于基础题.
5．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m
【答案】A
【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥
【解析】空间线面平行垂直的判定与性质
6．已知点(2,1),(3,)A B m -，若1m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，则直线AB 的倾斜角的取值范
围为（ ） A ．5,36ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦ B ．50,,36πππ⎡⎤⎡⎫
⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
C ．5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥
⎣⎭⎝⎦
D ．5,,326ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
【答案】B
【分析】依题意表示出AB k ，再根据m 的取值范围及斜率与倾斜角的关系计算可得； 【详解】解：因为(2,1),(3,)A B m -，所以()
1132
AB m k m --=
=+-，
因为1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1m ⎡+∈⎢⎣，
设倾斜角为α，[)0,απ∈，则t an 3α⎡∈-⎢⎣，
所以50,,36ππαπ⎡⎤⎡⎫
∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
.
故选：B
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、正切函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
7．已知圆()22
:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是圆M 与圆()()22
:111N x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离
【答案】B
【解析】化简圆()()2
221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的距
离
d =⇒ ()2
21220,2,2a a M r +=⇒=⇒=，
又()2121,1,1N r MN r r MN =⇒=⇒-<< 12r r +⇒两圆相交. 选B
8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(,)m n 重合，则m n +=（ ）
A ．
345
B ．
365
C ．
283
D ．
323
【答案】A
【分析】由两点关于一条直线对称的性质，求得对称轴所在的直线方程为
230x y --=，再根据垂直及中点在轴上这两个条件求得m ，n 的值，可得m n +的
值.
【详解】由题意可得，对称轴所在的直线即为点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中垂线. 由于点(0,2)与点(4,0)连成的线段的中点为(2,1)，斜率为12
-
， 故对称轴所在的直线方程为12(2)y x -=-，即230x y --=.
再根据点(7,3)与点(,)m n 重合，可得3
217732?30
22n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，求得35
315m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
345
m n ∴+=
， 故选：A.
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A ．若直线A
B 与直线CD 是异面直线，则直线A
C 与直线B
D 一定异面 B ．方程22220x y ax b ++-=表示圆的一般方程
C ．若空间向量a ，b ，c 不共面，则a b +，a c +，b c -不共面
D ．夹在两个平行平面间的两条平行线段相等 【答案】AD
【分析】用反证法判断直线AC ，BD 一定是异面直线，选项A 正确； 根据表示圆的条件得出选项B 错误；
假设存在非零实数x ，y ，z 使得()()()0x a b y a c z b c ++++-=，求出x 、y 、z 的值，判断选项C 错误；
利用平行四边形证明夹在两个平行平面间的两条平行线段相等，判断选项D 正确. 【详解】解：对于A ，假设直线AC ，BD 不是异面直线，即直线AC ，BD 共面； 则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 是共面直线，这与已知条件“AB ，CD 是两个异面直线”矛盾.
所以假设不成立，所以直线AC ，BD 一定是异面直线，选项A 正确；
对于B ，只有当220a b +>时，方程22220x y ax b ++-=表示圆的一般方程，所以选项B 错误；
对于C ，假设存在非零实数x ，y ，z 使得()()()0x a b y a c z b c ++++-=，
则000x y x z y z +=⎧⎪
+=⎨⎪-=⎩
，解得x y z -==，不妨令1x =，1y z ==-， 所以存在非零实数x ，y ，z 使得()()()0x a b y a c z b c ++++-=， 所以a b +，a c +，b c -共面，C 错误；
对于D ，设平面//αβ，直线//AB CD ，且A α∈，B β∈，C α∈，D β∈； 连接AC ，BD ，如图所示；
则由AB 、CD 确定平面为ABDC ，且AC 、BD 共面，无公共点，所以//AC BD ， 所以四边形ABDC 为平行四边形，所以AB CD =； 即夹在两个平行平面间的两条平行线段相等，选项D 正确. 故选：AD.
10．已知直线l ：2(1)10a a x y ++-+=，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ） A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0 C ．直线l 过定点(0，1)
D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC
【分析】利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距分析直线方程的特征，逐项分析，得到结果.
【详解】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为10x y -+=，显然与x ＋y ＝0垂直，
所以正确；
对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知2(1)(1)1(1)a a ++⋅-=⋅-， 解得0a =或1a =-，所以不正确；
对于C 项，当0x =时，有1y =，所以直线过定点(0,1)，所以正确； 对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为10x y -+=， 在两轴上的截距分别是1,1-，所以不正确； 故选：AC.
【点睛】该题考查的是有关直线的问题，涉及到的知识点有两直线平行，两直线垂直，直线过定点问题，直线在两轴上的截距的求解，属于简单题目. 11．下列说法正确的有（ ）
A ．若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则(,)k b 在第二象限
B ．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率
C ．过点(2,1)-斜率为的点斜式方程为12)y x +=-
D ．直线的斜率越大，倾斜角越大 【答案】AC
【分析】A 中，由直线y kx b =+过第一、二、四象限得出k 、b 的取值范围，判断点(,)k b 所在象限；
B 中，倾斜角为90︒时斜率不存在；
C 中，由点斜式方程写出对应的直线方程；
D 中，在[0︒，180)︒时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大.
【详解】解：对于A ，若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则0k <，0b >，所以点(,)k b 在第二象限，选项A 正确；
对于B ，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为90︒时斜率不存在，所以选项B 错误；
对于C ，由点斜式方程知，过点(2,1)-斜率为的点斜式方程为12)y x +=-，所以选项C 正确；
对于D ，在[0︒，90)︒内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在90,1()80︒︒时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在[0︒，180)︒时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；
所以选项D 错误. 故选：AC .
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）
A ．直线1//
B
C 平面1A B
D B ．11B C BD ⊥
C ．三棱锥11C B CE -的体积为13
D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，
()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭E ，
()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-
所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；
()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，
设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD
θ==
，又0,2πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，所以3
πθ=
，故D 正确；
设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·
0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0
0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，
则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；
11111111111
1113326
C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；
故选：ABD
【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.
三、填空题
13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．
【解析】试题分析：由三点共线得向量AB 与AC 共线，即AB k AC =，
(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，
124348x y -+==-，解得1
2
x =-，4y =-，
∴2xy =． 【解析】空间三点共线．
14．已知圆C 的圆心在直线230x y --=上，且过点3(2,)A -，(2,5)B --，则圆C 的标准方程为_________
【答案】2
2
(1)(2)10x y +++=
【分析】由圆心在直线230x y --=上有(23,)C m m +，设半径为r 结合所过点,A B 即可求圆C 的标准方程.
【详解】圆C 的圆心在直线230x y --=上，令(23,)C m m +，半径为r ， ∴圆C 的方程为：222(23)()x m y m r --+-=，又3(2,)A -，(2,5)B --，
有()()()()22
2222213{255m m r m m r
+++=+++=，解得22
10m r =-⎧⎨=⎩，有(1,2)C --， 故答案为：2
2
(1)(2)10x y +++=；
【点睛】本题考查了求圆的标准方程，根据圆心位置、所过的点求圆的方程，属于简单题.
15．已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线
(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________．
【答案】
34
π 【解析】试题分析：方程2
2
2
20x y kx y k ++++=所表示的圆为
()()
2
22243143024k k x y k -⎛
⎫+++=
-> ⎪⎝
⎭，可得当0k =时面积最大，所以直线为2y x =-+，倾斜角为
34
π
【解析】圆的方程以及直线倾斜角
16．数学家欧拉在1740年提出定理：三角形外心、垂心、重心依次位于同一直线上，且重心到外心距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线，
ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，AC BC =，ABC 的欧拉线方程为________.
【答案】230x y -+=
【分析】由于AC BC =，可得ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC 的欧拉线方程. 【详解】(2,0)A ，(0,4)B ，则线段AB 的中点为()1,2M ，40
202
AB k -=
=--， ∴线段AB 的垂直平分线为：()1
212
y x -=
-，即230x y -+=， AC BC =，
∴ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，
因此ABC 的欧拉线方程为：230x y -+=， 故答案为：230x y -+=
【点睛】本题考查了点斜式方程、中点坐标公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
四、解答题
17．求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点()2,3A -，并且其倾斜角等于直线10x +=的倾斜角的2倍的直线方程.
（2）求经过点()2,2A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.
【答案】（130y ---=；（2）220x y +-=或220x y ++=.
【分析】（1
）求出直线10x +=的倾斜角,可得所求直线的倾斜角从而可求出斜率，再利用点斜式可求得方程. （2）设直线方程为
1x y a b +=，将点()2,2A -代入，再结合面积为1
12
ab =，即可解得a 、b 的值，从而求出直线的方程.
【详解】（1
）因为直线10x +=
， 所以其倾斜角为30，
所以，所求直线的倾斜角为60︒
又所求直线经过点()2,3A -
，所以其方程为)32y x +=-，
30y ---=，
（2）设直线方程为1x y
a b +=，则1
12221ab a b
⎧=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=-⎩，
故所求的直线方程为：220x y +-=或220x y ++=.
【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了点斜式和截距式，属于中档题. 18．已知ABC ∆的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++= （1）求顶点A 和B 的坐标； （2）求ABC ∆外接圆的一般方程.
【答案】（1）()5,1和()7,3-；（2）2
2
46120x y x y +-+-=
【分析】（1）联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标，由AC BH ⊥，进而设出直线AC 的方程，将C 的坐标代入得方程，再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标；
（2）由（1）知A ，B ，C 的坐标，设ABC ∆外接圆的一般方程，代入求解即可.
【详解】（1）由211
320
y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -,
又因为AC BH ⊥得，13
BH k =-
所以设AC 的方程为3y x b =+， 将(2,8)C -代入得14b =-
由211314
y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A
所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-
（2）设ABC ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，
将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩
，
解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
，
所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.
【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题. 19．已知圆C 经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；
（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程.
【答案】（1）()()22122x y -+=+；（2）0x =或34
y x =-. 【分析】（1）先设圆心的坐标为(),2C a a -，根据题中条件列出等量关系求解，得出a ，求出半径，进而可求出结果；
（2）讨论直线l 的斜率不存在，和直线l 的斜率存在两种情况，根据弦长，列出等式求解，即可得出直线方程.
【详解】（1）设圆心的坐标为(),2C a a -，
因为圆C 经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，
=2210a a -+=，解得1a =， ∴()1,2C -
，半径
r AC ==
= ∴圆C 的方程为()()22122x y -+=+.
（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，
此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件；
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =
1=，解得
34
k =-， ∴直线l 的方程为34
y x =-， 综上所述，直线l 的方程为0x =或34y x =-
. 【点睛】思路点睛：
根据圆的弦长求弦所在直线方程的方法有：
（1）几何法：根据圆的性质（圆心到直线距离的平方与弦长一半的平方和等于半径的平方）列出等式，即可求解；
（2）代数法：设出所求直线方程，联立直线与圆的方程，根据弦长公式列出等式求解，即可得出结果.
20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，
半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O .
（1）求圆C 的方程；
（2）试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点(4,0)F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）22(2)(2)8x y ++-=；（2）存在，412,55Q ⎛⎫ ⎪⎝
⎭. 【分析】（1）设圆心坐标为()(),0,0m n m n <>，则该圆的方程为
()()228x m y n -+-=，由相切和切于原点的条件，列出方程求解，即可得出结果； （2）先假设圆C 上存在异于原点的点(,)Q x y ，根据题中条件，得到,x y 满足的关系式，再和（1）中所求的圆的方程联立求解，即可得出结果.
【详解】（1）设圆心坐标为()(),0,0m n m n <>，
则该圆的方程为()()228x m y n -+-=，
已知该圆与直线y x =相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，
=4m n -=①
又圆与直线y x =切于原点，所以0110n
m -⋅=--，即n m =-② 由①②解得22
m n =-⎧⎨=⎩或22m n =⎧⎨=-⎩（舍），
故圆的方程为()()22228x y ++-=；
（2）假设圆C 上存在异于原点的点(,)Q x y ，使得Q 到定点(4,0)F 的距离等于线段OF 的长，
则()()22404x y -+-=，即()22
416x y -+=， 由()()()22
22228416x y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y =⎧⎨=⎩， 故存在异于原点的点412,55Q ⎛⎫
⎪⎝
⎭，使得Q 到定点(4,0)F 的距离等于线段OF 的长. 【点睛】关键点点睛： 求解本题第二问的关键在于根据点Q 到定点(4,0)F 的距离等于线段OF 的长，得到一个新的圆的方程，将问题转化为求两圆交点的问题，即可求解.
21．如图，已知菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2==AB AF ，060ADC ∠=.
(1)求直线BF 与平面ABCD 的夹角；
(2)求点A 到平面FBD 的距离.
【答案】(1) 4
π. (2) 25 【分析】设AC
BD O =,以O 点为坐标原点，以OD 为x 轴， OA 为y 轴，过O 点且平行于AF 的方向为z 轴正方向，建立空间坐标系，
（1）由题意，求出直线BF 的方向向量，平面ABCD 的一个法向量，由向量夹角，即
可得到直线与平面夹角；
（2）先求出平面FBD 的一个法向量n ，由点A 到平面FBD 的距离⋅=AF n d n ，即可求出结果. 【详解】设AC BD O =
，因为菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，所以易得AF ⊥平面ABCD ；以O 点为坐标原点，以OD 为x 轴， OA 为y 轴，过O 点且平行于AF 的方向为z 轴正方向，建立空间坐标系，
（1）由已知得：(0,1,0)A ,(3,0,0)B -,(0,1,0)C -,(3,0,0)D ,(0,1,2)F , 因为z 轴垂直于平面ABCD ，
因此可令平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =，又(3,1,2)BF =,
设直线BF 与平面ABCD 的夹角为θ，
则有2sin cos ,122
θ⋅=<>===⋅⋅m BF
m BF m BF , 即4π
θ=，
所以直线BF 与平面ABCD 的夹角为4
π. （2）因为(23,0,0)BD =,(3,1,2)BF =,
设平面FBD 的法向量为(,,)n x y z =，
23000320
x BD n BF n x y z ⎧⎧=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎩⎩，令1z =得(0,2,1)n =-， 又因为(0,0,2)AF =,
所以点A 到平面FBD 的距离2555
AF n
d n ⋅===.
【点睛】本题主要考查求直线与平面所成的角，以及点到平面的距离问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.
22．如图所示的几何体P ABCDE -中，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB AE ⊥，//AB CE ，//AE CD ，24CD CE AB ===，M 为PD 的中点.
（1）求证：CE PE ⊥；
（2）求二面角M CE D --的大小；
（3）设N 为线段PE 上的动点，使得平面//ABN 平面MCE ，求线段AN 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）45︒；（32
【分析】（1）根据题意，得出PA AB ⊥，PA AE ⊥，
根据线面垂直的判定定理得出PA ⊥平面ABCDE ，则AB AE ⊥，建立以A 为原点，AB ，AE ，AP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明CE PE ⊥；
（2）求出平面MEC 的法向量和平面DEC 的一个法向量，利用向量法能求出二面角M CE D --的大小；
（3）设PN PE λ→→=，[[0λ∈，1])，求出(0N ，2λ，22)λ-，令AN n →→⊥，则0AN n →→=，解得N 为PE 的中点，利用向量法能求出线段AN 的长．
【详解】解：依题意得，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则PA AB ⊥，PA AE ⊥，
所以PA ⊥面ABCDE ，
又AB AE ⊥，可以建立以A 为原点，
分别以AB →，AE →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()4,2,0C ，()4,6,0D ，()0,2,0E ，()002P ,
,，()2,3,1M ，
（1）证明：由题意，()4,0,0CE →=-，()0,2,2PE →
=-，
因为0CE PE →→⋅=，所以CE PE ⊥.
（2）解：()2,1,1ME →=---，()2,1,1MC →=--，
设(),,n x y z →=为平面MEC 的法向量，则 00
n ME n MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y z x y z ---=⎧⎨--=⎩， 不妨令1y =，可得()0,1,1n →=-，
平面DEC 的一个法向量()0,0,2AP →
=， 因此有2cos ,2n AP n AP n AP →→→→→→⋅==-，
由图可得二面角M CE D --为锐二面角，
所以二面角M CE D --的大小为45︒.
（3）解：（方法一）设[]()
0,1PN PE λλ→→=∈，(),,N x y z ， 所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-，
令AN n →→⊥，即0AN n →→
⋅=， 解得12λ=，即N 为PE 的中点， 因为//AB 平面MCE ，//AN 平面MCE ，AB AN A =，
所以当N 为PE 的中点时，平面//ABN 平面MCE ，
此时即()0,1,1N ，
2220112AN →
=++=
所以线段AN .
（方法二）设[]()
0,1PN PE λλ→→=∈，(),,N x y z ， 所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-，
设(),,m x y z →
=为平面ABN 的法向量， 则00
m AB m AN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()402220x y z λλ=⎧⎨+-=⎩， 不妨令1y λ=-，可得()0,1,m λλ→=-，
因为平面//ABN 平面MCE ，所以//m n →→
， 解得：12
λ=，
此时即()0,1,1N ，AN →=
=
所以线段AN . 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．。