沪教版九年级数学上册相似三角形常用辅助线

CF FH FG BF
∴FG·FH=CF·BF ∵FG=FH ∴FG2=CF·BF
四、作中线
例4：如图，Δ ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在 AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
解：取BC的中点M，连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C 又 BD=DC
∴ DBC DCB
∴ 1 C DBC
∴ MAC∽ DBC
∴
MC AC
DC BC
又 DC=1 MC=
1
BC
2∴
AC MC BC 1 BC2 DC 2
Hale Waihona Puke Baidu
（1）
又
RtAEC∽ RtBAC
又 ∵ EC=1 ∴
AC2 CE BC B（C2）
由（1）（2）得，
AC 1 AC4 2
A G
EF
B
D
C
解法6
过点C作BF的平行线交AD的延长线于点H，
A EF
B
D
C
H
方法总结
添加平行线构造“A”、“X”型
注意
（1）选择构造平行线的点的原则 为不破坏已知条件中的数量关系；
（2）一般会出现两组三角形相似， 注意相似三角形的对应边；
（3）通过线段比例之间的关系， 用方程思想求解。
练习
如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是 AD的中点,连结BE并延长交AC于F,求AF：CF的值.
A F
E
B
D
C
练习
练习
解法1：
过点D作CA的平行线交BF于点P，
A
F PE
B
D
C
AF：CF=2：3
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
A
F
E
Q
B
D
C
AF：CF=2：3
解法3：
A
EF
B
D
C
解法1
过点D作CA的平行线交BF于点P，
则 PE DE 1， BP BD 2,
FE AE
PF DC
∴ PE=EF BP=2PF=4EF，
∴ BE=5EF
A PE F
∴ BE：EF=5：1
B
=5
D
C
作平行线
解法2
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
则 DQ DA 2， BF BC 3，
F
D
C
M
N A
BE
ADN ≌ CBM（AAS）
∴AN=CM
AB AE AD AF AC(AM CM ) AC 2
练习：在△ABC中，∠ACB = 90o，AC=BC，P 是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点）， MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：
∴ AC 3 2
小结：利用等腰三角形有公共 底角，则这两个三角形相似， 取BC中点M，构造 MAC
与 DBC 相似是解题关键
课堂小结：
（1）添加辅助线的原则； （2）构造出的基本模型； （3）相似三角形中的对应关系。 （4）复杂问题中等量代换的灵活应用。
分析：欲证 FG=CF•BF 即 FG CF ，需要相似三角形，
BF FG
Δ BFG与Δ CFG会相似吗？显然不可
能。但由E为CD的中点，可设法构造
一个与Δ BFG相似的三角形来求解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
则 AF FG FH FG FH AE ED EC ED EC
又∵ED=EC ∴FG=FH 易证 RtΔ CFH∽RtΔ GFB
过点E作BC的平行线交AC于点S，
解法4：
过点E作AC的平行线交BC于点T，
练习：
已知△ABC，延长BC到点D，使CD=BC，取AB 的中点F，连接FD交AC于点E，求 AE 的值.
AC
练习：
已知：△ABC中，D为BC边上中点，E为AC边 上一点，且AE:AC=1:3，连接AD和BE，相交 于点F，求AF:FD的值.
∴S△PAD ：S△PBC 1：9
∵S △PCH

1 2
S △PBC
∴S△PAD S四边形AHCD 2：7
∵S 四边形AHCD 21
∴S△PAD 6 S△PBC 54
∴S △HBC

1 2 S△PBC
27
练习：如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为 CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG交AB于G， 求证：FG=CF•BF
PA: PB CM : CN
方法总结：
基本图形
注意： （1）相似三角形中对应边要找准。 （2）利用高线解决问题，一般会 用到设未知数，列方程的思想。
三、作延长线
例3：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD 的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC的面积。
二、作垂线
例2：如图，从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线 CE和CF，垂足分别为E、F，求证：AB AE AD AF AC2
F
D
C
A BE
证明：过B作BM⊥AC于M，
F
过D作DN⊥AC于N
∴ ABM ∽ ACE
∴ AM AB
AE AC
即 AB AE AC AM
D
C
M
N A
BE
又∴ ADN ∽ ACF
∴ AN AD 即 AD AF AC AN
AF AC
AB AE AD AF AC AM AC AN
AC(AM AN)
在 ADN 和 CBM 中
DAN BCM


AND

CMB
AD CB
分析：因为问题涉及四边形AHCD， 所以可构造相似三角形。把问题转化 为相似三角形的面积比而加以解决。
解：延长BA、CD交于点P ∵ CH⊥AB，CD平分∠BCD ∴ CB=CP，且BH=PH ∵ BH=3AH ∴ PA：AB=1：2 ∴ PA：PB=1：3 ∵ AD∥BC ∴ △PAD∽△PBC
EF EA
DQ DC
即DQ 2EF BF 3DQ 6EF
A
∴ BE BF EF
6EF EF 5EF，
EF
∴ BE：EF=5：1
B
=5
Q
D
C
作平行线
解法3
过点E作BC的平行线交AC于点S，
解法4
过点E作AC的平行线交BC于点T，
作平行线
解法5
过点C作AD的平行线交BF的延长线于点G，
沪科版九年级上册数学
相似三角形中的辅助线
相似三角形中的辅助线
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一 组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角等 等，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关 系。
作平行线
例 如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是 AD的中点，连结BE并延长交AC于F，求BE：EF的值.