我国各地区经济发展水平差异性分析

0.096
-0.563
-0.383
0.325
0.912
0.187
0.469
价格指数 0.018 -0.435 0.119 -0.421 -0.167 1 0.463 0.002
零售指数 0.054 -0.542 0.096 -0.563 -0.383 0.463 1 0.037
工业产量 0.991 0.325 0.912 0.187 0.469 0.002 0.037 1
0.958 0.084 -0.139
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武汉理工大学《多元统计分析》课程设计（论文）
由因子得分系数矩阵可以得到这3个因子与8个原始变量之间的表达式： Y1 = 0.374X1 − 0.017 X 2 + 0.323X 3 − 0.048X 4 + 0.007 X 5 − 0.092X 6 + 0.117X 7 + 0.345X 8 Y2 = −0.092X 1 + 0.368X 2 − 0.06X 3 + 0.281X 4 + 0.426 X 5 + 0.192X 6 − 0.283X 7 − 0.086X 8 Y3 = −0.136X1 + 0.101X 2 + 0.015X 3 − 0.084X 4 + 0.453X 5 + 0.958X 6 + 0.084X 7 − 0.139X 8
因子中，就要将因子进行旋转，旋转后的因子载荷矩阵如表四。
生产总值 消费水平 资产投资 平均工资 货物周转 价格指数 零售指数 工业产量
表三公共因子矩阵
公共因子
1
2
0.816
0.532
0.766
-0.497
0.747
0.612
0.571
-0.613
0.788
-0.160
-0.291
0.621
-0.384
武汉理工大学《多元统计分析》课程设计（论文）
我国各地区经济发展水平差异性分析
摘要
利用统计学中的因子分析方法，选取 8 项经济指标，对 2003 年全国 31 个省、市、 自治区经济发展的基本状况进行分析，提取出 3 个综合因子，并给出综合排名，然后从综 合得分的角度对各地区的经济实力作综合的评价，最后，分析了我国进行西部大开发和振 兴东北老工业基地的必要性。 关键字：因子分析； 综合得分； 经济发展状况
0.06327
0.04155
0.774
0.414
0.782
0.03401
-0.298
0.170
-0.729
0.977
0.129
3 -0.01689
-0.173 0.123 -0.320 0.182 0.911 0.334 -0.0252
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武汉理工大学《多元统计分析》课程设计（论文）
从表四可以看出由旋转后的因子载荷矩阵可以得到8个原始变量与这3个因子之间的 表达式如下：
1 基本理论（因子分析的数学模型）
因子分析是一种用较少的综合变量来表达多个观测变量的多元统计分析方法。它的
基本思想是：由相关性大小把变量分组，同组内的变量之间有较高的相关性，不同组的变
量相关性较低。它的基本目的是用少数几个综合变量(也称“综合因子”)去刻画较多变量
之间的协方差关系，而各个综合变量之间是不相关的。这样，在保证数据信息丢失最少的
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0 引言
衡量一个省(自治区或直辖市)经济发展的基本状况，应该从多方面比如从该省(自治区 或直辖市)的工业生产总值、固定资产投资、居民消费水平、职工平均工资、居民消费价格 指数、货物周转量等指标去考察。而由于这些指标都是对经济发展基本状况的反映，它们 自身之间就存在着较强的相关性，这样在用这些指标反映经济发展状况时就造成了信息的 大量重叠，这种信息的大量重叠有时甚至会抹杀经济发展状况的内在规律，所以如果能找 到一组较少的但却包含着较多信息量的变量来研究这个问题，就更容易使人抓住主要矛 盾，同时使问题得到简化。因子分析正是解决这样问题的有效方法。本文就是运用因子分 析方法，对2003年全国31个省、市、自治区选取影响经济发展的8项指标进行分析，提取 了3个综合因子，再用这3个综合因子进行分析，从而使复杂的问题得以简化。选取的8项 主要指标分别是：地区国民生产总值 X 1 ，居民消费水平 X 2 ，固定资产投资 X 3 ，职工平均 工资 X 4 ，货物周转量 X 5 ，居民消费价格指数 X 6 ，商品零售价格指数 X 7 ，工业总产值 X 8 所有数据均来自2004年中国统计年鉴。
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因子序号 1 2 3
表二旋转后的因子特征值、贡献率和累计贡献率
特征值
贡献率（％）
3.090
38.624
2.645
33.065
1.124
14.046
累计贡献率（％） 38.624 71.689 85.734
由表三可以看出，在第1个因子的表达式中 X1, X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 8 起主要作用，在第2 个因子的表达式中 X 7 起主要作用，在第3个因子的表达式中 X 6 起主要作用。因此可以把第 l个因子看成是由 X1, X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 8 所刻划的反映经济发展状况的综合指标，把第2个因 子单独看成是 X 7 的影响，把第3个因子单独看成是 X 6 的影响这个结果是不大令人满意的。 因为在第2个因子中， X1, X 6 , X 3 对第2个因子的影响也是比较大的，与 X 7 对第2个因子的影 响相比相差不多，所以在解释第2个因子的实际意义时应该把 X1, X 6 , X 3 考虑在内。可 X 1, X 3 主要反映的是第1个因子， X 6 主要反映的是第3因子。这样，3个因子的实际意义解 释就发生了相互重叠。要克服这个缺点，使得每个原始变量代表的信息主要集中在某1个
生产总值 消费水平 资产投资 平均工资 货物周转
价格指数 零售指数 工业产量
表五因子得分系数矩阵
公共因子
1
2
0.347
-0.092
-0.017
0.368
0.323
-0.060
-0.048
0.281
0.007
0.426
-0.092
0.192
0.117
-0.283
0.345
-0.086
3 -0.136 0.101 0.015 -0.084 0.453
0.723
0.824
0.515
3 -0.612 0.177 -0.0547 0.03923 0.412 0.670 -0.0495 -0.161
生产总值 消费水平 资产投资 平均工资 货物周转 价格指数 零售指数 工业产量
表四旋转后的公共因子矩阵
公共因子
1
2
0.981
0.113
0.234
0.884
0.957
0.991
表一八个指标的样本相关系数阵
消费水平 资产投资 平均工资 货物周转
0.324
0.923
0.173
0.447
1
0.246
0.726
0.737
0.246
1
0.003
0.471
0.726
0.003
1
0.420
0.737
0.471
0.420
1
-0.435
0.119
-0.421
-0.167
-0.542
利用因子分析有一个潜在的要求，即原始变量之间要有比较强的相关性，如果原始 变量之间不存在较强的相关关系，那么就无法从中综合出共同特性的少数因子来。因此， 在作因子分析时，需要对原始变量做相关分析，利用SPSS数据处理系统提供KMO和巴特 利球形检验来判断变量是否适合做因子分析，当KMO检验值大于0.6时，适合做因子分析， 通过SPSS软件计算得到本例中的KMO检验值为0.688，因此适合做因子分析。由表二，我 们取前3个因子，累积贡献率已经达到85.734，可见提取3个因子后，它们反映了原始变量 的大部分信息，同时也起到了降维的作用。
Analytic Method of Factors contributing to economic development conditions of areas in
our country
Abstract
This papers gives the integrative evaluation of the economic development conditions of the areas in our country by the principle component analysis ,choosing eight economic elements. It gets the integrative rank and analyzing the necessity of developing the west and the old east industrial bases northeast. Key words：factor analysis； integrative scores；economic development conditions
原则下，对高维变量空间做了降维处理，.因子分析的结果经常用于综合判定。它的数学模
型可表示如下：
⎧X1 = α11Y1 + α12Y2 + L + α1mYm + α1ε1
⎪⎪X 2 = α 21Y1 + α 22Y2 + L + α 2mYm + α 2ε 2
⎨ ⎪
LL
⎪⎩X p = α p1Y1 + α p2Y2 + L + α pmYm + α pε p
X 1 = 0.981Y1 + 0.113Y2 − 0.0169Y3 X 2 = 0.234Y1 + 0.884Y2 − 0.173Y3 X 3 = 0.957Y1 + 0.06327Y2 + 0.123Y3 X 4 = 0.04155Y1 + 0.774Y2 − 0.320Y3 X 5 = 0.414Y1 + 0.782Y2 + 0.182Y3 X 6 = 0.034Y1 − 0.298Y2 + 0.911Y3 X 7 = 0.170Y1 − 0.729Y2 + 0.334Y3 X 8 = 0.977Y1 + 0.129Y2 − 0.0252Y3 由表达式可见 Y1 ，的系数在 X 1, X 3 , X 8 里最大，在其余的5个原始变量中的系数非常小， 所以可以把第1因子看成主要是由国民生产总值 X 1 ,固定资产投资 X 3 ,工业总产值 X 8 ,构成 的，这3方面都是从总体角度衡量一个地区经济发展状况的，因此命名为“总量因子” Y2 的系数在 X 2 , X 5 , X 4 中最大，且为正，所以可以把第2因子看成是由居民消费水平 X 2 ,货物 周转量 X 5 ，职工平均工资 X 4 三方面构成的，这三方面都是反映消费水平的，因此命名为 “消费因子”.同时注意到 Y2 在 X 7 中的负荷量相对来讲也比较大，但是负的，代表的是商 品零售价格指数，这和我们分析的正好吻合，因为商品零售价格越低越促进消费，所以将 第2因子命名为“消费因子”是合理的。 Y3 在 X 6, X 7 中系数最大，且均为正， X 6 代表居民 消费价格指数， X 7 代表商品零售价格指数，因此把第3因子命名为“价格因子”。要求得3 个主要因子与原始变量之间的表达式，就要计算因子得分系数矩阵。SPSS软 件 求 得 结 果 ， 如表五：
n
n
(xij
i =1
− xj )2
令
这样用得到的标准化数据做因子分析。采用的统计软件是SPSS数据处理系统得到的样本相 关系数阵如表一所示：
生产总值 消费水平 资产投资 平均工资 货物周转 价格指数 零售指数 工业产量
生产总值 1
0.324 0.923 0.173 0.447 0.018 0.054
其中， X1, X 2 L X p 为 p 个原始变量，是均值为0，方差为1的标准化变量， Y1,Y2 LYm 为 m 个综合因子变量， m 小于 p ， α ij 为因子载荷，表示的是第 i 个原始变量在第 j 个因子
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变量上的负荷，如果把变量 X i 看成是 m 维因子空间中的一个向量，则 αij 为 X i 在坐标轴 Y j 上的投影，相当于多元回归中的标准回归系数，模型表示成矩阵形式为 X = AY + E ，其中 X 为原始变量向量，A为因子载荷矩阵，Y 为因子变量或公共因子， E = αε 由于残差E的影 响可以忽略不记，这时数学模型就变为 X = AY ，因子分析的核心问题是构造因子变量，并 对因子变量进行命名解释。
3 具体问题的分析
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本文对我国31个省、市、自治区经济发展的基本状况采取8个主要指标进行了主成分 分析，由于多个指标量纲不同，数据缺少可比性，因此必须将原始数据标准化，使得各个
∑ ∑ 指标具有可比性，做以下变换： xi*j
=
xij − x j σj
，其中， x j
1 =⋅
n
n i=1
xij
，
σ
2 j
1 =