第七章锐角三角函数复习一(沭阳县怀文中学)

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苏教版中考复习：《锐角三角函数复习》课件

2 0 0 0
B A
则a= ，∠B= ，∠A= .
C
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 2 3 ,c=4.
5.如果
1 cos A 3 tan B 3 0 2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.等边三角形
例5.海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60° 方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东 45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
锐角三角函数复习
B
斜边c
对边aC一.锐角三 Nhomakorabea函数的概念
c
A
邻边b
正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A a 的正弦，记作 sin A 余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的 b cos A 余弦，记作 c
正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 a 正切，记作 tan A
b
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
D
例6.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米（结果保留根号）？
A C
12 （２）若sinC＝，BC=12，求AD的长. 13
D
1.若
2 sin 2 0 ，则锐角α= .
.
2.若 tan( 20） 3 0 ，则锐角α=

锐角三角函数复习课件 (1) (3)

3
3 ,b=
a ,则 A
D.
3
3. 若tan(β+20°）=
40 ， β为锐角，则β=___ °
30 4.等腰三角形周长为 3 2 ，腰长为1，则底角的度数为＿＿
°
5..如图：已知AB是⊙o的直径，CD是弦，CD⊥AB，BC＝6，AC＝8， 4 则sin∠ABD＝＿＿
5
1.学生归纳（1）你学会了哪些知识和方法？（2）你有哪些要注意的问题？（3）你的学友有哪些进步或师傅对你有哪些帮助？
2.教师梳理
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2AC，则cosA的值为 __ 60 °
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=2 A. 1 B.2 C. 3
3
2
5
2
3.在Rt△ABC中, C 90, AB 2 5 ____. 30
OAC 15源自则 A 的值是4. ABC
1 C 90 , tan A 中 3
则
3 10 sin B 的值是 ____. 10
5.（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/ 时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（） A．20海里 B.10 2 海里 C. 20 2 海里 D.30海里
锐角三角函数
（复习课）
郯城街道初级中学
杨燕
学习
目标
1.会用锐角三角函数值解决实际问题；（难点） 2. 能运用相关知识解直角三角形，会用解直角三角形的有关知识解决某些实际问题；（重点）
3. 运用数形结合思想和数学建模思想解决问题。

锐角三角函数复习课(1)

5
求（1）DE，CD的长；（2）例4、中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测。如图，E、F为钓鱼岛东西两端。某日，中国一艘海监船从A点向正北方向 3 巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离CF=20 公里，在A处测得钓鱼岛最西端F在北偏东30°方向上，继续前进22公里到达B处，在B点测得钓鱼岛最东端E在东北方向（C、F、E在同一直线上）。求钓鱼岛东西两端的距离。（，，结果精确到0.1）
3、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝ 90°，且AB＝1，BC＝2，tan∠ADC＝2. （1）求证：DC＝BC. （2）E是四边形内一点， F是梯形外一点，且 ∠EDC＝∠FBC，DE＝ BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论. （3）在（2）的条件下，当BE：CE＝1：2，∠BEC ＝135°时，求sin∠BFE的值.
2011届初三数学
四、总结反思
1、理解锐角三角函数的概念，熟练运用特殊角的三角函数值是学好本章知识的基础. 互相转化 2、锐角三角函数的作用：知角求值、知值求角. 锐角互相转化三角函数值 3、涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为直角三角形的计算问题.
2011届初三数学
五、强化训练
1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的值是 ( 3 ) B、6 C、8 A、 D、 9
2、如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED 的正切值等于__________．
2011届初三数学
E C
2011届初三数学
例2、如图，在△ABC中，AD是BC上的高， AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB= 1 ， 3 AD=1．（1）求CB的长. （2）求tan∠DAE的值.

怀文第七章三角函数全章教学设计

A 2 C1B A13B AC 3 5怀文中学2010—2011学年度第二学期导学案初三数学（7.1正切第一课时）设计：顾利荣审校：陆宇时间：学习目标：1．理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值．2．了解计算一个锐角的正切值的方法学习过程：一、自主探究1．观察：如图，是某体育馆，为了方便不同需求的观众，该体育馆设计了多种形式的台阶．（1）如图，一般地，如果锐角A 的大小已确定，我们可以作出无数个相似的Rt △AB 1C 1，Rt △AB 2C 2，Rt △AB 3C 3……，那么有：Rt △AB 1C 1∽________∽________……根据相似三角形的性质，得：111AC CB ＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________．２．正切的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ．b 分别是∠A 的对边和邻边．我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______，记作______．即：tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看. ３．牛刀小试根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A ．∠B 的正切值．（通过上述计算，你有什么发现？_____________________________________.）４．思考与探索三：怎样计算任意一个锐角的正切值呢？（1）我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O 出发沿着65°线移动到点P 时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位．于是可知，tan65°的近似值为2.14．从点O 出发，点P 沿65°线移动，当在水平方向上向右前进了一个单位时，它在垂直方向上向上前进了个单位．P 点的坐标是 tan65°≈．（2）思考：当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？___________________________________________________________二、自主合作1．某楼梯的踏板宽为30cm ，一个台阶的高度为15cm ，求楼梯倾斜角的正切值． 2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=5，求tanA 与tanB 的值．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=12，tanA=34，求AB 的值．三、自主展示1．如图，在在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，①tanA= = ；②tanB= = ； ③tan ∠ACD= ；④tan ∠BCD= ；2．如图，身高为1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 到A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m ,CA=0.8m,求树的高度是多少？四、自主拓展1．如图是一个梯形大坝的横断面，根据图中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡的倾斜程度更大一些？2．在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－4,1），B （－1，3），C （－4,3），试求tanB 的值．CC怀文中学2010—2011学年度第二学期导学案初三数学（7.2 正弦、余弦第1课）设计：马艳审校：蔡应桃时间：学习目标:1、理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。

7.6锐角三角函数的简单应用第1课(沭阳县怀文中学)

初三数学（ 7.6锐角三角函数的简单应用第1课）教学目标：通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。

教学过程：一、自主探究1．在△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，则BC ：AC ：AB = .2．在△ABC 中，∠C=90°（1）已知∠A=30°，BC=8cm ，求AB 与AC 的长；（2）已知∠A=60°，AC=3cm ，求AB 与BC 的长.二、自主合作解：拓展1.摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m ？2.小明将有多长时间连续保持在离地面20m 以上的空中？三、自主展示1.如图,单摆的摆长为90cm,当它摆动到AC 的位置时,∠CAB =15°,问这时摆球C 较最低点B 升高了多少?2.已知跷跷板长4m,当跷跷板的一端碰到的地面时,另一端离地面2m,求此时跷跷板与地面的夹角?3.如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东30°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(结果保留根号).四、自主拓展3．4.九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠；（2）根据手中剩余线的长度求出风筝线BC 的长度为70米；（3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为米．（精确到0.11.73）5．如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角ABC ∠为30°,则引桥的水平距离BC 的长是_________米(结果保留根号) 6.A DB EC 60° 第4题图A B C 第5题图第六题图。

苏教科版初中数学九年级下册7锐角三角函数单元复习

；
cosB= tanA =
；； tanB =
；cotA =
A
；cotB =
。
6．图中角可以看作是点 A 的
也可看作是点 B 的
角；
角，
B
C
（1）
7． sin2 A cos2 A
，tan A•cotA =
； sin A
。
cos A
8．（1）坡度（或坡比）是坡面的
高度（ h ）和
长度（ l ）的比。记作 i ，即 i
苏科版初中数学
苏教科版初中数学
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！苏科版初中数学和你一起共同进步学业有成！
TB:小初高题库
锐角三角函数单元复习
苏科版初中数学
一、知识点回顾
1．锐角∠A 的三角函数（按右图 Rt△ABC 填空） c
∠A 的正弦：sinA =
，
∠A 的余弦：cosA = 2．锐角三角函数值，都是
的长。
D 36 3 海里/小时
A
求 AB
B
C
37．如图，河对岸有铁塔 AB，在 C 处测顶 A 的仰角为 30°，向塔前进 14 米到达 D 处测得 A 的仰角为 45°，求铁塔 AB 的
C
得塔
A
D，在
高。
D
B
第 43 题图
TB:小初高题库
苏科版初中数学
38．如图，已知两座高度相等的建筑物 AB、CD 的水平距离 BC＝60 米，在建筑物 CD 上有一铁塔 PD，在塔顶 P 处观察建筑物的底部 B 和
。
13．已知 Rt△ ABC 中，若 C 900 , cos A 5 , BC 24 ，则 AC _______ 。 13

锐角三角函数复习1

C
6 2 B
3 2. 若 cos A 且∠B=90°－ ∠A，则sinB=____________ 2 2
3
3. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=cosB，那么直角 △ABC一定是____________三角形．
特殊角的三角函数值
填出下表：
三角函数 sina 30° 1 2
(D)大于60°
1、比较下列三角函数的大小(并用﹤连接)： sin55 ° cos65 ° tan55° cos65 °﹤ sin55 °﹤ tan55° 2、△ABC，若∣cosA-0.5∣+(1-tanB)=0, 则 75° ∠C=___ 2 2 48° 3、若sin 48°+cos a=1,则a=_____
锐角三角函数
复习
阳信县小桑中学史希荣
教学目标
知识与能力:
能正确的应用三角函数表示直角发现锐角三角函数之间的关系，体会研究数学的一般方法以及所采用的思考问题的方法。
情感态度与价值观：
培养学生求索的科学精神和综合运用知识解
决问题的能力。
B 结合图，请回答：什么是∠A正弦、余弦、正切？ c 在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜 a
3 =0,
∠A=60° ∠A=30°
求锐角A的度数 . 解：∵ 2cosA -
3 =0 3
∴∠A= 30°
∴ 2cosA =
∴cosA=
3 2
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☆ 应用练习
确定值的范围
1. 当锐角A>45°时，sinA的值（ B ）
3. 确定值的范围
(A)小于 (C) 小于
2 2 3 2
(B)大于 (D)大于

江苏省沭阳县怀文中学九年级数学下册第七章锐角三角函数复习教案一苏科版

教学目标：
1. 通过复习，使学生系统地掌握本章知识。

2. 在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题。

教学过程：一、知识点：
1.锐角三角函数(如图∠C=900
)
(1)定义：sinA ＝，cosA ＝，＝a
b
(2)若∠A 是锐角，则0＜sinA ＜l ，0＜cosA ＜1，sin 2
A ＋cos 2
A ＝1，你知道这是为什么吗? (3)特殊角的三角函数值
a sina cosa tana 30° 45° 60°
在记忆这些三角函数值时，一方面能由角度求出它的各个三角函数值，另一方面，要能由三角函数值求出相应的角度。

(4) 正弦、正切值是随着角度的增大而，余弦值是随着角度的增大而． (5)一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值二、例题讲解例1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积。

例2．如图，AC ⊥BC ，cos ∠ADC ＝4
5 ，∠B ＝30°AD ＝10，
求 BD 的长。

三、练习
1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边为a 、b 、c ，则a ：b ：c= 2． 3．
c
b
a
B
A
C
4．
5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝83，∠A的平分线AD＝16，求∠B
的度数以及边BC、
AB的长。

6.
7．。

苏科版九年级数学上册第7章《锐角三角函数》易错疑难知识点总结(含答案)

第7章《锐角三角函数》易错疑难易错点1 对三角函数的符号理解不透彻1. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AB =，BC =sin 2A= . 易错点2 忽视直角三角形作为前提2. 已知等腰三角形ABC 中，10,12AB AC BC ===，则sin ACB ∠的值为 .3. 在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且::3:4:5a b c =，求证：7s i n s i n 5A B +=.4. 已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且13,12,5a b c ===，求si n B 的值.易错点3 受思维定式的影响5. 在ABC ∆中，90B ∠=︒，3,5BC AB ==，求tan ,cos A A 的值.6. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1,2AC BC ==，求sin ,tan A A 的值.易错点4 题目中没有给出图形时，忽视分类讨论7. 已知等腰三角形ABC 中，AB AC ==30°，动点P 从点B 向点C 运动，当运动到PA 与一腰垂直时，BP 的长为( ) A. 1 B. 1或3C. 1或2 8. 在Rt ABC ∆中，已知3,4AB AC ==，求tan C 的值.疑难点1 作辅助线构造直角生角形1. 如图，ABD ∆和BDC ∆且30BAD ∠=︒，45DBC ∠=︒，则 tan DAC ∠的值为( )A.3 B. 33+ C. 413+ D.132. 如图，在Rt ABC ∆C 中，90ACB ∠=︒，延长AB 到点D ，使BD AB =，连接CD ，若3tan 2A =t ，试求1tan BCD∠的值.疑难点2 解直角三角形的实际应用3. 如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是其侧面示意图.已知自动扶梯AB 的坡度为1:2.4，AB 的长度是13米，MN 是二楼楼顶，//MN PQ ，C 是MN 上自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC MN ⊥，在自动扶梯底端A 处测得C 点的仰角为42°，则二楼的层高BC 约为(精确到0. 1米，sin 420.67︒≈，tan 420.90︒≈( )A. 10.8米B. 8.9米C. 8. 0米D. 5.8米4. 太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300 cm ，AB 的倾斜角为30°，50BE CA ==cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为,D F ，CD 垂直于地面，FE AB ⊥于点E .两个底座地基高度相同(即点,D F 到地面的垂直距离相同)，均为30 cm ，点A 到地面的垂直距离为50 cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm.(结果保留根号)疑难点3 三角函数与其他知识的综合应用5. 已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =-与x 轴、y 轴分别交于,A B两点，P 是直线AB 上一动点，⊙P 的半径为1.(1)判断原点O 与⊙P 的位置关系，并说明理由; (2)当⊙P 过点B 时，求⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长; (3)当⊙P 与x 轴相切时，求出切点的坐标.参考答案易错1.12 2. 453. 设3,4,5(0)a k b k c k k ===>∵222222(3)(4)25a b k k k c +=+== ∴ABC ∆是以c 为斜边的直角三角形 ∴90C ∠=︒则33sin 55a k A c k ===，44sin 55b k Bc k === ∴7sin sin 5A B +=4. 因为22222125169b c a +=+== 所以ABC ∆是直角三角形，且90A ∠=︒所以12sin 13b B a == 5. 在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒∵AC === ∴3tan 5BC A AB ==c o s34AB A AC ===6. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒∴AB ==∴sinBC A AB ===2tan 21BC A AC === 7. C8. 根据题意，分两种情况讨论:①当AB 与AC 都是直角边时，3tan 4AB C AC == ②当AB 为直角边，AC 为斜边时，另一条直角边BC =则tanAB C AC ===综上，tan C 的值是34疑难 1. C2. 如图，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E 则//BC DE由BD AB =，得AC CE = 在Rt ADE ∆中，3tan 2DE A AE == ∴322DE CE = ∴3DECE= 在Rt CDE ∆中，1tan 3CE CDE DE ∠== ∵//BC DE∴BCD CDE ∠=∠113tan tan BCD CDE==∠∠3. D4. 如图，过点A 作AG CD ⊥，垂足为G则30CAG ∠=︒ 在Rt ACG ∆中1sin 3050252CG AC =︒=⨯=g (cm) 由题意，得503020GD =-=(cm) ∴252045CD CG GD =+=+=(cm)连接FD ，并延长与BA 的延长线交于点H 由题意，得30H ∠=︒在Rt CDH ∆中，290sin 30CDCH CD ===︒(cm)∴300505090290EH EC CH AB BE AC CH =+=--+=--+=(cm)在Rt EFH ∆中，tan 30290EF EH =︒==g答：支撑角钢CD 的长为45 cm ，EF cm. 5. (1)原点O 在⊙P 外.理由如下:由直线AB 的函数表达式y =-，得其与两坐标轴的交点分别为:(2,0),(0,A B -.在Rt OAB ∆中，tanOBA ∠==∴30OBA ∠=︒如图1，过点O 作OH AB ⊥交AB 于点H在Rt OBH ∆中， sin OH OB OBA =∠=g1>∴原点O 在⊙P 外(2)如图2，当OP 过点B ，点P 在y 轴右侧时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧所对圆心角为120︒∴弧长为120121803ππ⨯⨯=同理，当OP 过点B ，点P 在y 轴轴左侧时，弧长同样为23π，故当OP 过点B 时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧长为23π (3)如图3，当⊙P 与x 轴相切，且位于x 轴下方时，设切点为D在Rt DAP ∆中，tan 1tan 303AD DP DPA =∠=⨯︒=g此时点D 的坐标为(2当⊙P 与x 轴相切，且位于x 上方时，根据对称性可以求出切点坐标为(2综上，当⊙P 与x 轴相切时，切点坐标为(2，(2。

苏科版九年级上期终复习要点四(第7章锐角三角函数)含答案解析

—第一学期初三数学期终复习要点四第7章锐角三角函数知识点：锐角三角函数（正切、正弦、余弦），特殊角的三角函数，由三角形值求锐角，解直角三角形，用锐角三角函数解决问题。

典型例题：例1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，∠B =30°，则AB 的长为（）A ．2B ．3C ．12D ．3 例2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 可以表示为A ．a 2＋b 2B ．a ⋅cos B ＋b ⋅cos AC ．a ⋅sin B ＋b ⋅sin AD ．sin sin a b A B+ 例3．在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，CD ⊥AB ，AC =8，AB =10，则tan ∠ACD= ．例4．计算：()102cos601212-+︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 例5．如图，为了测量旗竿CD 的高度，在平地上选择点A ，用测角仪测得旗竿顶D 的仰角为30°，再在A 、C 之间选择一点B （A 、B 、C 三点在同一直线上）进行测量，已知AB =40m ．(1)若测得∠DBC =60°，则CD = m ；(2)若测得∠DBC =75°，求旗竿CD 的高度（以上结果均保留根号）．例6．如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊙OB ，连接AB 交OC 于点D ．(1)求证：AC ＝CD ； (2)如果OD ＝1，tan ⊙OCA ＝，求AC 的长．52A C B（第1题） A B C D 30°当堂练习：1．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式一定能成立的有（）A ．sinA ＝sinB B ．a ＝c ．sinBC ．sin 2A ＋cos 2B ＝1D ．sin A ＝tanA ．cosA2．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2， sinA 35=，则弦AB 的长为（） A ．45 B ．213 C ．4 D ．25 （第2题）（第3题）3．如图，在顶角为30°的等腰△ABC 中，AB ＝AC ，若过点C 作CD ⊥AB 于点D ．根据图形计算tan ∠BCD ＝．4．计算：2cos30° － tan45°－()21tan 60+︒．5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20．(1)求BC 的长；(2)求BCD ABCS S ∆∆的值．6. 小美和同学一起到游乐场游玩．游乐场的大型摩天轮的半径为20 m ，匀速旋转1周需要12 min ．小美乘坐最底部的车厢(离地面约0.5 m)开始1周的观光，请回答下列问题：（参考数据：≈1.414，3≈1.732）(1)1.5min 后小美离地面的高度是 ▲ m ；(精确到0.1m)(2)摩天轮启动多长时间后，小美离地面的高度将首次达到10.5 m?(3)摩天轮转动一周，小美在离地面10.5m 以上的空中有多长时间？ 2课后作业：1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值为（）A．34B．43C．35D．45（第1题）（第2题）2. （•鄂州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将⊙ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin⊙ECF=（）A．B．C．D．3．计算：－222cos60°＋1 13-⎛⎫⎪⎝⎭4. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）5. （•鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= 。

数学：第七章《锐角三角函数》复习课件(苏科版九年级下)

特殊角的三角函数值
3.如果 cosA-0.5+ 3 tanB-3 =0,
那么 ABC是（ C）?
A）锐角三角形 C）等边三角形
B）直角三角形 D）钝角三角形
解：根据非负数的性质，由已知得 1
cosA= 2 ,tanB= 3 则A=B=60
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值
面示意图，光线与地面所成的角∠AMC=30°，在教室地面
的影长MN=2 3 米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，
则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（）B米
33
A
A)2 3
B)3
C) 3. 2
D) 2
解：如图过B作BD MC交AM于D，
则得四边形DB NM是平行四边形
B
BD=MN=2 3 ，ADB=M=30
2）当角度在0---90之间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
知识概要
（五）特殊的三角函数值
角度
三角函数
正弦值
如余化何弦?变s值inα
如何变
正化切c?值osα
如何变
余如切何化值变t?anα
化?
cotα
0 0 1 0
不存在
3 0° 45 °
1
2
22
3
2
2
2
3
1
3
3
1-2sinAcosA
7 在ABC中∠C=90°且
1
1
sinA+ tanA =5
求cosA的值
点评：利用互余或同角的三角函数关系的相关结论是解决这类问题的关键
☆ 考点范例解析

九年级数学下册第七章锐角三角函数复习苏科版

锐角三角函数一、知识要点：锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，锐角三角函数的应用。

二、例题选讲：1、一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为________．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan∠BCD 的值是3、如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P•是AB•延长线上一点，•BP=2cm ，则tan∠OPA 等于4、如图，在ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC =14，AD=12， SinB=45.求：（1）线段DC 的长；（2）t an ∠EDC 的值。

5、已知，如图△ABC 中，∠ C=90°，A D 平分∠BAC，CD= 3 ，BD=2 3 ，求平分线AD 的长，AB ，AC 的长，△ABC 的外接圆的面积，内切圆的面积。

6．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）。

EDCBA开放式训练：1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列各式中一定正确的是（） (A)sinA ＝sinB (B)sinA ＝cosB (C)tanA ＝tanB (D) )cosA ＝cosB2、如图，菱形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，BE =DF =14BD ，若四边形AECF 为正方形，则tan∠ABE =_________． 3、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=23 ，则a:b:c= .4、若 3 tan 2α－4tan α＋ 3 ＝0，则α＝ 5、已知sina=1213 , a 为锐角，则cosa ＝，tana ＝，6、等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为 7、已知正六边形的面积为3 3 cm 2，则它的外接圆半径为 8、在Rt△ABC 中，∠C＝900，∠A、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足022=--b ab a ，则tanA 等于。

九年级数学第七章锐角三角函数总复习1

ABCcba 九年级数学第七章锐角三角函数总复习课标要求：1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A ，cos A ，tan A ），知道30º，45º，60°角的三角函数值。

2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。

3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。

重点难点：1. 特殊角的三角函数值，并能进行有关计算；解直角三角形的知识应用。

2. 解直角三角形的知识应用。

知识梳理：知识点一：锐角三角函数（一）正弦、余弦、正切的定义如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．如右图、在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：（1）sinA= ，这个比叫做∠A 的．（2）cosA= ，这个比叫做∠A 的．（3）tanA= ，这个比叫做∠A 的．要点诠释：（1）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的，它只是一个，其大小只与锐角的有关，而与所在直角三角形的大小无关．（2）sinA 、cosA 、tanA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC ．ACa b（3）sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2．（4）三角函数有时还可以表示成sin ,cos αβ等．（二）锐角三角函数的定义锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．要点诠释：1). 它们统称为∠A 的锐角三角函数． 2). 锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形． 3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．4). 对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应,所以sinA 是∠A 的函数．同样，cosA 、tanA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 分别是对应的函数．其中自变量∠A 的取值范围是 °<∠A< °，函数值的取值范围是 <sinA< ， <cosA< ，tanA> ．（三）锐角三角函数之间的关系：1). 余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么： sinA=cos ；cosA=sin ；同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A= ； =sin cos A A2).如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．（四）30︒、45︒、60︒角的三角函数值K3 KK230°60°AC AB∠A 30° 45° 60°sinAcosA tanA要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现：s i n0︒、、、、sin 90︒的值依次为0、、、、1，而cos 0︒、、、、cos 90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A ＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而 (或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而 (或增大)．知识点二：解直角三角形1．定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)2．直角三角形的边角关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ． (1)三边之间的关系：____________； (2)锐角之间的关系：____________； (3)边角之间的关系： ............................................................sin ,cos ,tan A A A ===............................................................sin ,cos ,tan B B B ===边角关系：锐角三角函数，即sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a .④，h为斜边上的高. 3．解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，c ＝asin A，b ＝atan A(或b ＝c 2－a 2)； (2)已知斜边和一个锐角(如c ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，a ＝c ·sinA ，b ＝c ·cosA (或b ＝c 2－a 2)；(3)已知两直角边a ，b ，其解法为：c ＝a 2＋b 2，由tan A ＝ab，得∠A ，∠B ＝90°－∠A ；(4)已知斜边和一直角边(如c ，a )，其解法为：b ＝c 2－a 2，由sin A ＝ac ，求出∠A ，∠B ＝90°－∠A ．要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：（1）已知两条边（一直角边和一斜边；两直角边）；（2）已知一条边和一个锐角（一直角边和一锐角；斜边和一锐角）．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知．知识点三：解直角三角形的应用（一）解这类问题的一般过程是：（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型．（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为的问题．（3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形．（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解．（二）常见应用问题：（1）坡度：1:tan hi m lα===；坡角：α．(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. （2）方位角：（3）仰角与俯角：仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.要点诠释：1)．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2)．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3)．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.(三). 解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°；(3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++．（后面的公式利用面积得出）直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△．。

苏科版九年级数学下册第七章锐角三角函数复习

第七章锐角三角函数复习班级姓名知识要点：1.锐角三角函数、锐角三角函数值的符号、锐角三角函数值的变化规律、特殊角三角函数值、互为余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系（平方关系、商数关系、倒数关系）2. 锥度、坡度、仰角、俯角、方位角、方向角、解直角三角形、解直角三角形应用典型例题：1.①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝ 3 b ，则∠A ＝，sinA ＝ ②Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝45 ，AB ＝10，那么BC ＝，tanB ＝2.①1－2sin30°·cos30°＝②cos α＝32,α= 3 tan 2α－4tan α＋ 3 ＝0，则α＝3．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为。

4.已知一山坡的坡度为1:3，某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m 。

5．某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿的长AB 和篷布面的宽AD 各应设计为多少cm ？（结果精确到0.1cm ）6．如图，家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为A→B →C →D．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为A →F →E →D ．已知BC EF ∥，BF CE ∥，AB BF ⊥，CD DE ⊥，200AB =米，100BC =米，37AFB ∠=°，53DCE ∠=°．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）温馨提示：sin370.60cos370.80tan370.75︒°≈，≈，°≈．随堂演练：1．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（）xy O CBAAO D 100º 32 cm D C BF E A 江北广场渡口渡口教育局西湖桥资江 53°37°A ．233cm B ．433cm C ．5cm D ．2cm 2．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2253．如图5，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（） A ．2 B ．433C ．23D ．43 4．如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点．C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)5．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为。

第7章锐角三角函数复习课 (课件)-2023-2024学年苏科版数学九年级下册

二、温故知新、引入概念
1.形成概念：
（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，我们可以作
出无数个Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3…，
那么有：Rt△AB1C1∽ Rt△AB∽2C2
…Rt△AB3C3
B1C1
B2C2
B3C3
根据相似三角形的性质，得：AC1＝ A＝C2 ＝A…C3
记作 sinA,即：
B
sin
A
A的对边斜边
a c
斜边c
∠A的对边a
A ∠A 的邻边b C
我们把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦（cosine），记作 cosA,即：
cos
A
A的邻边斜边
b c
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数
二、温故知新、引入概念
概念理解
如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝4，AB＝5，
M
30°
45°
A
50 B
感悟：解决实际问题的关键是构造直角三角形，利用解直角三
角形的知识来解决实际问题.
牛刀小试
1. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 4，则tanB的值
5
为
( B)
4
3
A. 3 B. 4
3 C. 5
4 D. 5
解析：根据sinA＝ 4 ，可设三角形的两边长分别为
5
4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝
和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，
图中CD＝BC－BD，由此可列方
程求出CD．
BD C
解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC = 3 ，
5
x 3， AD 5 x

苏教版九年级上册数学第七章锐角三角函数同步辅导

“测量”知多少解决测量问题的关键在于构造出直角三角形或相似三角形，然后利用直角三角形的边角关系或相似三角形的性质求解.一、利用直角三角形的边角关系求解例1 如图1，小宇想测量位于池塘两端A ，B 两点间的距离，他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，当行走到点C 处时，测得∠ACF ＝45°，再向前行走100米到达点D 处，测得∠BDF ＝60°.若直线AB 与EF 之间的距离为60米，求A ，B 两点间的距离.解析：如图1，过点A 作AM ⊥EF 于点M ，过点B 作BN ⊥EF 于点N. 由已知，可得AM ＝BN ＝60，CD ＝100，∠ACF ＝45°，∠BDF ＝60°. 在Rt △ACM 中，CM ＝AM ＝60.在Rt △BDN 中，∠DBN ＝30°， ∴BD ＝2DN.根据勾股定理，得DN 2+BN 2＝BD 2，即DN 2+602＝（2DN ）2，解得DN ＝203. ∴AB ＝MN ＝CD+DN －CM ＝100+203－60＝（40+203）米.例2 如图2，在一次数学课外实践活动中，要求测量教学楼AB 的高度.小刚在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，目测教学楼顶端A ，视线与水平线的夹角为30°，然后向教学楼前进40m 到达E ，又目测教学楼顶端A ，视线与水平线的夹角为60°，求教学楼AB 的高度.解析：由已知，可得∠ACG=30°，∠AFG=60°，CF=40. ∴∠CAF=30°. ∴∠ACG =∠CAF. ∴AB=AF=40.在Rt △AFG 中，∠AFG=60°， ∴∠FAG=30°. ∴FG ＝12AF ＝20. ∴AG ＝22AF FG =203._ 40 m_ 60 °_ 30 ° _ G _ F _ E_ D_ C _ B_ A图2图1∴AB ＝（203+1.5）米.例3 如图3，大楼高30m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处目测塔顶，视线与水平线的夹角为60°，爬到楼顶D 目测塔顶，此时视线与水平线的夹角为30°，则塔高BC 为_________m.解析：由已知，可得∠BAC ＝60°，∠BDE ＝30°. ∴∠DAB=30°，∠ABC=30°，∠DBE=60°. ∴∠DBA ＝∠DBE －∠ABC ＝30°. ∴∠DAB ＝∠DBA. ∴AD ＝DB ＝30.在Rt △BDE 中，∠BDE ＝30°， ∴BE ＝12BD ＝15. ∴BC ＝BE ＋CE ＝BE ＋AD ＝45（m ）. 二、利用相似三角形的性质求解例4 如图4，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1.6m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2m ，求旗杆AB 的高度.解析：过点E 作EH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G. 易得△CGE ∽△AHE.∴CG AH =EGEH ，即3 1.6AH -＝2215+，解得AH ＝11.9. ∴AB ＝AH+HB ＝11.9+1.6＝13.5（m ）.例5 某数学课外活动小组带着皮尺去测量一个正方形“天坑”的深度.如图5是同学们选择的测量对象，测量方案如下：①先测出“天坑” 的坑沿正方形ABCD 的周长为480米； ②经测定，正方形中心O 位于坑底S 的正上方；③取CD 边的中点E ，甲同学直立于OE 的延长线上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点F 时，E FDCAH B图4G图3恰好他的视线经过E 看到坑底S （即点G ，E ，S 三点共线），经测量，EF ＝1.2米，GF ＝1.6米. 根据以上测量数据，求“天坑”的深度.解析：由已知，可得O 为正方形中心，E 为CD 边的中点，CD=4804=120. ∴OE ＝60米.连接OS ，则△SOE ∽△GFE. ∴OS GF ＝OE EF ，即1.6OS＝601.2，解得OS ＝80. ∴“天坑”的深度为80米.O S B C DA FEG 图4“化斜为直”构造直角三角形解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解.例1 如图1，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山的西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A ，B 两点间的距离为米.分析：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，构造了两个直角三角形，先在Rt △ACD 中求得AD 的长；再在Rt △ABD 中求得AB 的长.解：如图1，过点A 作AD ⊥BC 于DIAN D. 由题意，得AC=30×25=750（米），∠B=30°. ∴∠ACB=75°－∠B=45°. ∴AD=AC·sin ∠ACB=3752. 在Rt △ABD 中，∠B=30°，∴AB=2AD=7502（米）.例2 钓鱼岛是中国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A ，B 的距离，如图2，我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C 处，测得端点A 的俯角为45°，然后沿着平行于AB 的方向飞行3.2公里到点D ，并测得端点B 的俯角为37°，求钓鱼岛两端AB 的距离.（结果精确到0.1公里；参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75，2≈ 1.41）图2解析：过点A 作AE ⊥CD ，过B 作BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，则四边形ABFE 为矩形. ∴EF = AB ，AE = BF = 1. 在Rt △AEC 中，∠C = 45°， ∴CE = AE = 1.在Rt △BFD 中，∠BDF = 37°，∴DF=BDFBFtan ≈1.33.∴AB=EF=CD−CE+DF=3.2−1+1.33≈3.5（公里）.例3 （2017·威海）如图3，图①是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图②，AB ⊥BC ，垂足为B ，EA ⊥AB ，垂足为A ，CD ∥AB ，CD=10 cm ，DE=120 cm ，FG ⊥DE ，垂足为G ．（1）若∠θ=37°50′，则AB 的长约为____________cm ；（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）（2）若FG=30 cm ，∠θ=60°，求CF 的长．AM CDN45°37°BEF ABC30° 75° 图1D图3解析：（1）如图4，作EP ⊥BC 于点P ，DQ ⊥EP 于点Q ，则CD=PQ=10，∠2+∠3=90°． ∵∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2， ∴∠3=∠θ=37°50′. ∴EQ=DE·sin ∠3=120·sin37°50′．∴AB=EP=EQ+PQ=120·sin37°50′+10≈83.2．图4（2）如图4，延长ED ，BC 交于点K ．由（1）知∠θ=∠3=∠K=60°．在Rt △CDK 中，CK=tan CDK 3.在Rt △KGF 中，KF=sin GFK 33． ∴33=3503多姿多彩的解直角三角形原题呈现：（九年级上册教材P114练习第1题）如图1，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角α＝16°31′，求飞机A 到控制点B 的距离.（精确到1米）图1思路分析：要求的AB 是Rt △ABC 的斜边，已知直角边AC 和∠B ，根据sinB=ACAB即可求解. 解答展示：由已知易得∠ABC=α. ∴sin ∠ABC=sin α，即ABAC= sin16°31′. ∴AB=sin1631AC'︒≈4221（米）.答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米. 变式训练1.如图2，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC ＝30°，则该山坡的高BC 为_______米．分析：如图2，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，已知斜边AB 和∠BAC ，根据sin ∠ABC =BCAB即可求解. 2.西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图3是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱AC 高为a.已知冬至时北京的正午日光入射角∠ABC 约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC 的长）约为（）A.a ·sin26.5°B.tan 26.5a ︒ C. a ·cos26.5° D.cos26.5a︒图3分析：要求直角边BC ，已知直角边AC 和∠ABC ，根据tan ∠ABC =ACBC即可求解. 3. 如图4，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处，测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°（A ，B ，C 在同一条直线上），则河的宽度AB 约为________m.（参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果精确到0.1m ）图2分析：在Rt △BCD 中，根据tan ∠DBC=CD BC 可求出BC ，在Rt △ACD 中，根据tan ∠DAC=CDAC可求出AC ，从而可得AB 的长.方法引荐：解直角三角形及其应用是近几年中考命题的热点，要能将简单的实际问题转化为锐角三角函数问题来求解，在求解的过程中注意根据问题中的条件，恰当选取锐角三角函数，避免计算复杂. 变式训练参考答案：1.1002.B3.15.3DCB A45°30° 图4三角函数求值的几种方法一、利用定义求值例1 （2017·哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为（） A.154B.14C.1515D.41717解析：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，根据勾股定理，得BC ＝2241-＝15. ∴cosB ＝BCAB＝154.故选A.二、利用等角求锐角三角函数值例2 （2017·孝感）如图1，已知矩形ABCD （AB ＜AD ）. （1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①以点A 为圆心，以AD 的长为半径画弧，交边BC 于点E ，连接AE ； ②作∠DAE 的平分线交CD 于点F ； ③连接EF.（2）在（1）作出的图形中，若AB ＝8，AD ＝10，则tan ∠FEC 的值为 .图 1解析：（1）如图1所示.（2）由（1）知AE ＝AD ＝10，∠DAF ＝∠EAF ，又AF ＝AF ，∴△DAF ≌△EAF. ∴∠D ＝∠AEF ＝90°. ∴∠BEA+∠FEC ＝90°. 又∵∠BEA+∠BAE ＝90°， ∴∠FEC ＝∠BAE.在Rt △ABE 中，AB=8，AE=10， ∴22AE AB -=6.∴tan ∠BAE ＝BE AB ＝68＝34. ∴tan ∠FEC ＝34.例3 （2017·无锡）如图2所示的正方形方格纸中，每个小四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于 .解析：如图2，平移CD到C′D′，交AB于O′，在C′D′上取格点E，则∠A O′E＝∠BOD. 设每个小正方形的边长为1，则O′E=2，AE＝32，O′A＝25.∴O′E2+AE2=O′A2，即△A O′E为直角三角形，且∠A E O′=90°.∴tan∠A O′E＝322AEO E='＝3.∴tan∠BOD＝3.三、利用互余两角间的关系求值例4 （2016·菏泽）如图3，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A.25∶9B.5∶3C.5∶3D.55∶33图3解析：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，过点A′作A′D⊥BC于点D′.∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′.∴AD=AB·sinB，BC=2BD=2AB·cosB，A′D′=A′B′·sinB′，B′C′=2B′D′=2A′B′·cosB′.∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB.∴S△ABC=12AD·BC=12AB·sinB·2AB·cosB=25 sinB·cosB，S△A′B′C′=12A′D′·B′C′=12A′B′·sinB′·2A′B′·cosB′=9 sinB′·cosB′.∴S△ABC∶S△A′B′C′=25∶9.故选A.图2三角函数易错集锦一、三角函数概念理解不清例1 将Rt △ABC 各边都扩大3倍得到Rt △A B C '''，则∠A ，∠A '的余弦值的大小关系为（） A.cosA=3 cos A ' B.3 cosA=cos A ' C.cosA=cos A ' D.不能确定错解：A分析：因为Rt △ABC 各边都扩大3倍得到Rt △A B C '''，所以Rt △ABC ∽Rt △A B C '''，∠A 的大小没有发生改变，所以cosA=cos A '.正解：点评：锐角三角函数值与锐角的大小有关，而与直角三角形的大小无关. 二、忽视锐角三角函数值的范围例2 已知sin α（α为锐角）是方程3x 2-7x+2=0的根，求sin α的值. 错解：解方程3x 2-7x+2=0，得x 1=2，x 2=31. 所以sin α=2或31. 分析：0＜sin α＜1，本题求出方程3x 2-7x+2=0的解后，应注意取舍.正解：三、忽视运用三角函数的前提条件例3 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，a ∶b ∶c=3∶4∶5.求证：sinA+sinB=57. 错解：设a=3k （k ＞0），则b=4k ，c=5k .∴sinA=5353==k k c a ，sinB=5454==k k c b . ∴sinA+sinB=575453=+.分析：运用锐角三角函数的前提条件是在直角三角形中，本题应先证直角三角形，再根据三角函数的定义证明结论.正解：点评：题目中没有直角三角形的条件时，应先证明三角形是直角三角形或添加辅助线构造直角三角形，再运用定义求锐角三角函数值. 错解剖析参考答案例1 C 例2 sin α=31. 例3 设a=3k （k ＞0），则b=4k ，c=5k.∴c 2=25k 2，a 2+b 2=（3k ）2+（4k ）2=25k 2. ∴a 2+b 2= c 2.∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形，且∠C=90°.∴sinA=5353==k k c a ，sinB=5454==k k c b . ∴sinA+sinB=575453=+.情境导入2018年中国航天发射会达到35次，加上商业发射次数，将会突破40次大关.一年40次，平均9天就要发射一次.中国已成为航天大国.可是你们知道吗？飞船整个发射测控等过程，与我们要学的三角函数有着密切的联系.下面就让我们一起学习三角函数吧！学习三角函数要“三会”自主学习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则：sinA=A∠的对边斜边=_____BC a=，cosA=A∠的邻边斜边=_____ACAB=，tanA=AA∠∠的对边的邻边=ba=_____.锐角∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A 的_________.2. 30°，45°，60°角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°60°课堂直播一、会根据定义求锐角三角函数例1 （1）（2017•日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A. B. C. D.（2）（2017•金华）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值为（）A. B. C. D.分析：（1）根据三角函数的定义，sinA=BCAB，AB已知，BC可由勾股定理求出；（2）根据三角函数的定义，tanA=BCAC，BC已知，AC可由勾股定理求出.二、会求特殊角的三角函数值例2 （1）（2017•云南）sin60°的值为（）A. B. C. D.（2）（2017•烟台）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=.分析：（1）熟记常见特殊角的三角函数值即可；（2）本题考查特殊角三角函数值的逆向应用，由已知可得出3，于是∠A=60°，从而求出sin2A的图25.2.1第11 页共12 页值.三、会用计算器解决三角函数问题例3 （1）（2017•陕西）请解答下列问题：317·tan38°15′≈.（结果精确到0.01）（2）（2017•威海）为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（）A.B.C.D.分析：（1）用计算器分别求出317和tan38°15′的值，注意按题中要求取近似值.（2）由图可得sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A.交流探索例4李敏利用计算器求得：（1）sin16°≈0.276，sin 30°=0.5，sin45°≈0.707，sin60°≈0.866，sin63°52′41″≈0.898，sin72°38′25″≈0.954；（2）tan30°≈0.577，tan45°=1，tan60°≈1.732，tan80°≈5.671，tan85°57′≈14.124.于是他得出一个结论：锐角三角函数值随角度的增大而增大.你认为这个结论正确吗？用计算器求cos25.5°、cos30°、cos75°的值，并说明锐角三角函数随角度的变化情况.重点难点参考答案课堂直播：例1（1）B （2）A例2 （1）B （2）例3 （1）2.03 （2）A交流探索：例4 不正确.cos25.5°≈0.903，cos30°≈0.866，cos75°≈0.259，锐角的正弦值和正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.第12 页共12 页。

江苏省沭阳县怀文中学九年级数学下册 7.6锐角三角函数的简单应用第2课教案苏科版

锐角三角函数的简单应用第2课教学目标：进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

教学过程：一、自主探究1.给出仰角、俯角的定义如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

二、自主合作1.为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°。

若小明的眼睛离地面，小明如何计算气球的高度呢?三、自主展示0kmX 围内有暗礁。

一艘海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20km 后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。

如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？四、自主拓展1.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈732.13≈）2．如图，A 、B 是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B 楼不能到达，由于建筑物密集，在A 楼的周围没有开阔地带，为测量B 楼的高度，只能充分利A 楼的空间，A 楼的各层都可到达且能看见B 楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。

(1)你设计一个测量B 楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形。

(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B 楼高度的表达式。

3．4.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C 处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B 处出发．如图，已知小山北坡的坡度31∶=i ，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A ？（将山路AB 、AC 看成线段，结果保留根号）5.如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走？并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：2≈，3≈，5≈，6≈2.45)。