平行四边形(知识点、经典例题、常考题型练习)

平行四边形（一）

【知识梳理】

1、平行四边形：

平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：

（1）平行四边形对角相等；

（2）平行四边形对边相等；

（3）平行四边形对角线互相平分。

除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：

（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、特殊平行四边形：

一、矩形

（1）有一角是直角的平行四边形是矩形

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

二、菱形

（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）定理1:菱形的四条边都相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.

（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2

（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形

（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

三、正方形

（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等

②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形

平行四边形

矩形 菱形

正

方 形 等腰梯形 直角梯形

梯形

四边形

知识结构如下图

（1）弄清定义及四边形之间关系图1：

（2）四边形之间关系图2：

2、几种特殊的四边形的性质和判定：

3、一些定理和推论：

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 推论：夹在两平行线间的平行线段相等。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例题精讲】

填空题：

四边形

正方形

【巩固】

1、下列说法中错误．．

的是（ ） A .四个角相等的四边形是矩形 B .四条边相等的四边形是正方形 C .对角线相等的菱形是正方形 D .对角线互相垂直的矩形是正方形

2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A .矩形 B .菱形 C .正方形 D .菱形、矩形或正方形

3、下面结论中，正确的是（ ）

A .对角线相等的四边形是矩形

B .对角线互相平分的四边形是平行四边形

C .对角线互相垂直的四边形是菱形

D .对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4、如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法：

①四边形AEDF 是平行四边形；

②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形； ③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；

④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）

【例1】如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点. 求证：四边形BFDE 是平行四边形.

【巩固】已知，如图9，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF ∥BE ． 四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由．

【例2】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．

F E

D C

B

A

Ａ Ｆ

Ｃ

Ｄ

Ｅ

A

E

D

C

F

B

求证：四边形AECD 是菱形．

【例3】如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． （1）求∠CAE 的度数；

（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．

【巩固】如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB ＝6，BC ＝8，求四边形OCED 的面积．

【例4】如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD 、等边△ACE 、等边△BCF .

（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；

三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF 都是等边三角形 首先我们来证明DAEF 为平行四边形 角DBF=60度-角FBA=角ABC 而DB=AB, BF=BC

三角形DBF 全等于三角形ABC 所以:DF=AC=AE 同理可证:DA=FE

所以:DAEF 为平行四边形

A

B

C

D

E

F C

A D

F

E

(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形

则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度

(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC>90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC<90度)

(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形

则必须:AB=AC

(3)如果:角BAC=60度

则:角DAE=3*60度=180度

D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在

据此,(2)的结论应稍加改变为:

当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形

（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）

①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.