3.3 抛物线(精讲)(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一

3.3 抛物线

考点一 抛物线的定义

【例1】（2020·天津河西.高二期末）已知抛物线2

:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A

．

B

．C

．D

．

【一隅三反】

1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05

||4

AF x =

，则0x =（ ） A ．4

B ．2

C ．1

D ．8

2．（2020·全国高二课时练习）若抛物线2

16x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，

则0y =（ ） A ．

1

2

B C ．1 D ．2

3．（2020·全国高二课时练习）已知点M 是抛物线2

4x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：

22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

考点二 抛物线的标准方程

【例2】（2020·全国高二课时练习）设抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以

MF 为直径的圆过点,则C 的方程为（ ）

A ．24y x =或28y x =

B ．22y x =或28y x =

C ．24y x =或216y x =

D ．22y x =或216y x = 【一隅三反】

1．（2020·内蒙古青山。北重三中高二期中（理））抛物线2y ax =的焦点是直线x y 10+-=与坐标轴交点，

则抛物线准线方程是( )

A ．1

x 4=-

B ．x 1=-

C ．1

y 4

=-

D ．y 1=-

2．（2020·四川射洪中学高二期中（文））位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )

A ．

25

12

m B ．

256

m C ．

95

m D ．

185

m 3．（2020·江西高二期末（理））抛物线()2

:20C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，2AF p =,则p =（ ） A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

考点三 直线与抛物线的位置关系

【例3】（2020·安徽高二期末（文））已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2

:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=( )

A ．

13

B

．

3

C ．

23

D

．

3

【一隅三反】

1．（2019·四川阆中中学高二月考（文））已知直线1y kx =-与抛物线2

8x y =相切，则双曲线2221

x k y -=的离心率为（ ） A

B

C

D

2．（2019·辽宁鞍山.高二期中（理））若直线20x y c -+=是抛物线2

4x y =的一条切线，则c =__________．

3．（2020·上海市东昌中学北校高二期末）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）条件． A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要

D

．既非充分又非必要

考点四 弦长

【例3】（1）（2019·伊美区第二中学高二期末（理））设F 为抛物线2

:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ） A

．

3

B ．6

C ．12 D

．（2）（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设F 为抛物线C:2

3y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A

．

4

B

．

8

C ．

6332

D ．

94

【一隅三反】

1．（2020·四川双流.棠湖中学（文））已知直线280x my +-=经过抛物线2

4x y =的焦点，与抛物线相交

于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）

A

B ．

2

C ．4

D ．1

2．（2020·江西赣州.高二月考（理））抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线22

221y x -=的一个焦点，

过F 且倾斜角为60︒的直线l 交C 于,A B ，则||AB =（ ）

A ．

23

+ B ．2 C ．

163

D ．16

3．（2019·陕西汉台。高二期末（理））已知点A ，B 是抛物线C ：2

4y x =上的两点，且线段AB 过抛物线

C 的焦点F ，若AB 的中点到y 轴的距离为2，则AB =（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

考点五 定点定值

【例5】（2019·临泽县第一中学高二期末（文））已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过其焦点F 作斜率为1

的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4. （1）求抛物线C 的标准方程；

（2）若不过原点O 且斜率存在的直线l 与抛物线C 相交于D 、E 两点，且OD OE ⊥.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 【一隅三反】

1．（2020·广西崇左.高二期末（理））如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的

动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.

（1）求抛物线C 的方程.

（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.