3.3 抛物线(精讲)(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
3.3.1 抛物线及其标准方程(精讲)高二数学上学期同步讲与练(人教A版选择性必修第一册)(解析版)
3.3.1抛物线及其标准方程一、抛物线的定义1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹.2、焦点：定点F 抛物线的焦点.3、准线：直线l 叫做抛物线的准线.4、集合表示：{},==为点到准线的距离P M MF d d M l .5、注意事项：（1）定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线．（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．二、抛物线的标准方程标准方程图形焦点坐标准线方程22(0)=>y px p ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭p 2=-px 22(0)=->y px p ,02⎛⎫- ⎪⎝⎭p 2=p x 22(0)=>x py p 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭p 2=-p y 22(0)=->x py p 0,2⎛⎫- ⎪⎝⎭p 2=p y 三、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数p ，从而得焦点坐标与准线方程，要注意0>p ；2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。
四、求抛物线标准方程的方法1、直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p ；2、待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p .当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为2=x my 或2=y mx ；注意：（1）已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；（2）已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。
题型一抛物线定义的理解【例1】抛物线218y x =-的准线方程是（）A．132x =B．2y =C．132y =D．2y =-【答案】B【解析】218y x =-可化为28x y =-，所以抛物线218y x =-的准线方程为2y =．故选：B．【变式1-1】已知抛物线()20x my m =>上的点()01x ，到该抛物线焦点F 的距离为2，则m =（）A．1B．2C．4D．6【答案】C【解析】由()20x my m =>，可得其焦点0,4m F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为4m y =-，因为点()01x ，到该抛物线焦点F 的距离为2，所以点()01x ，到抛物线准线的距离为2，则124m+=，解得4m =，故选：C.【变式1-2】圆心在抛物线()220x y x =>上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程是（）A．221204x y x y +---=B．222210x y x y ++-+=C．22210x y x y +--+=D．221204x y x y +--+=【答案】D【解析】由题意设所求圆的圆心为2(,)2a a ，半径为r ，其中0a >，因为抛物线()220x y x =>的准线方程为12y =-，且该圆与抛物线的准线及y 轴都相切，所以2122a a r =+=，解得1r a ==，所以该圆的方程为221(1)()12x y -+-=，即221204x y x y +--+=.故选：D.【变式1-3】抛物线W ：24y x =的焦点为F .对于W 上一点P ，若P 到直线5x =的距离是P 到点F 距离的2倍，则点P 的横坐标为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由题意得：()1,0F ，准线方程为1x =-，设点P 的横坐标为a ，0a ≥，由抛物线的定义可知：()11PF a a =--=+则521a a -=+，解得：1a =或7-（舍去），从而点P 的横坐标为1故选：A【变式1-4】已知抛物线232x y =的焦点为F ，抛物线上一点A 满足10AF =，则直线AF 的斜率为（）A．34-B．34C．34±D．【答案】C【解析】由抛物线232x y =得()0,8F ，准线为8y =-，设(),A m n ，则由抛物线的定义可得810AF n =+=即2n =，将(),2A m 代入抛物线可得8m =±，即()8,2A 或()8,2A -，当A 的坐标为()8,2时，则AF 的斜率283804k -==--；当A 的坐标为()8,2-时，则AF 的斜率283804k -==--；故选：C．题型二求抛物线的标准方程【例2】以x 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（）A．28y x=B．28y x=-C．28y x =或28y x=-D．28x y =或28x y=-【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为()220y px p =±>．因为焦点到准线的距离为4，所以4p =，所以28p =，所以抛物线方程为28y x =或28y x =-．故选：C．【变式2-1】过点()1,2-，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（）A．24y x =B．24y x=-C．212=-x yD．212x y =【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点()1,2-，所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C【变式2-2】已知抛物线的准线方程为1x =，则此抛物线的标准方程为（）A．22x y =-B．24x y=-C．22y x=-D．24y x=-【答案】D【解析】因为抛物线的准线方程为1x =，所以设抛物线方程为22(0)y px p =->，则12p=，得2p =，所以抛物线方程为24y x =-，故选：D，【变式2-3】以椭圆2212x y +=的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（）A．24y x =B．24y x =-或24x y =C．24x y =D．24y x =或24y x=-【答案】D【解析】因为椭圆2212x y +=的对称中心为原点，焦点为()1,0±所以抛物线的方程为24y x =或24y x =-故选：D【变式2-4】已知抛物线过点()2,4A -，则抛物线的标准方程为______．【答案】28y x =或2x y=-【解析】∵抛物线过点()2,4A -，且点A 在第四象限，∴抛物线的开口向右或向下．若开口向右，则设方程为()220y px p =>，∵过点()2,4A -，∴4p =，∴抛物线的标准方程为28y x =；若开口向下，则设方程为()220x py p =->，∵过点()2,4A -，∴12p =，∴抛物线的标准方程为2x y =-．综上，抛物线的标准方程为28y x =或2x y =-．题型三利用抛物线定义解决轨迹问题A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】由题意，动点(,)M x y 满足3412x y =-+，34125x y -+，即动点(,)M x y 到定点(1,2)的距离等于动点(,)M x y 到定直线34120x y -+=的距离，又由点(1,2)不在直线34120x y -+=上，根据抛物线的定义，可得动点M 的轨迹为以(1,2)为焦点，以34120x y -+=的抛物线.故选：D.【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（）A．22y x =B．24y x=C．24y x=-D．28y x=-【答案】D【解析】由题意知动点(),P x y 到直线2x =的距离与定点()2,0-的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以()2,0-为焦点，2x =为准线的抛物线，所以4p =，轨迹方程为28y x =-，故选：D【变式3-2】设圆C 与圆()2231x y +-=外切，与直线2y =-相切，则圆C 的圆心的轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆【答案】A【解析】设C 的坐标为(,)x y ，圆C 的半径为r 圆22(3)1x y +-=的圆心为A ，圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线2y =-相切1CA r ∴=+，C 到直线2y =-的距离d r=1CA d ∴=+，即动点C 到定点A 的距离等于到定直线3y =-的距离由抛物线的定义知：C 的轨迹为抛物线.故选：A【变式3-3】已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A．212x y =-B．212x y=C．212y x=D．212y x=-【答案】A【解析】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C (0，-3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，所以3,2122pp ==，其方程为212.x y =-，故选：A题型四抛物线中距离和差最值问题【例4】已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（）A．3B．4C．5D．112【答案】A【解析】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =．记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BA l ^于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+= ，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.【变式4-1】已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点742A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|PA |+|PM |的最小值是（）A．5B．92C．4D．32【答案】B【解析】依题意可知焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线x 12=-，延长PM 交准线于H 点．则|PF |＝|PH |，∴|PM |＝|PH |12-=|PF |12-∴|PM |+|PA |＝|PF |+|PA |12-，∴要使|PM |+|PA |当且仅当|PF |+|PA |最小．由三角形两边长大于第三边可知，|PF |+|PA |≥|FA |，①当P 与线段AF 与抛物线的交点0P 重合时取到最小值，．由7,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,可得5FA ==．则所求为()min 19522PM PA +=-=．故选：B．【变式4-2】已知抛物线C ：2y x =的准线为l ，点A 的坐标为()1,0，点P 在抛物线上，点P 到直线l 的距离为d ，则PA d -的最大值为（）A．34B．12C．1D．23【答案】A【解析】抛物线C ：2y x =的焦点1(,0)4F ，依题意，||d PF =，则3||||4PA d PA PF AF -=-≤=，当且仅当点P ，F ，A 共线，即点P 为抛物线顶点时取“=”，所以PA d -的最大值为34.故选：A 【变式4-3】已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()()22241x y ++-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】连接PF ，根据抛物线定义可知：点P 到抛物线准线的距离等于点P 到焦点()1,0F 的距离，连接圆心()2,4A -与焦点()1,0F ，交圆于1Q 点，交抛物线于点1P ，如图所示，此时点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小即为1Q F 的长度，其中5AF ==，故1514Q F =-=，故选：C【变式4-4】已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x =的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（）A．52B．522C．2【答案】B【解析】直线2:1l x =为抛物线24y x =-的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线40x y +-=的垂线，如下图所示，此时12d d +最小，为点F 到直线40x y +-=的距离.()1,0F -，则12522d d ==+．故选：B．【变式）A．5B．2C．6D．1【答案】C【解析】设x =()240x y y =≥，则曲线x =24x y =的右半部分．抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，设点()1,5A 到准线l ：1y =-的距离为d ，点P 为抛物线24x y =的右半部分上一点，设P 到准线l ：1y =-的距离为1d ，=1516PF PA d PA =+=+≥+=．故选：C题型五抛物线在实际问题中的应用【例5】苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知30m CD =，60m AB =，点D 到直线AB 的距离为150m ，则此抛物线顶端O 到AB 的距离为（）A．180m B．200m C．220m D．240m【答案】B【解析】以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =->，由题意设()15,D h ，0h <，()30,150B h -，则()22152302150ph p h ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，解得502.25h p =-⎧⎨=⎩，所以此抛物线顶端O 到AB 的距离为()50150200m +=．故选:B．【变式5-1】如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（）米．A．B．C．D．【答案】B【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝my ，将A （2，﹣2）代入x 2＝my ，得m ＝﹣2∴x 2＝﹣2y ，B （x 0，﹣3）代入方程得x 0=故水面宽为m ．故选：B ．【变式5-2】某市为庆祝建党100周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线1AOA 及一个矩形11AC CA 的三边组成，尺寸如图（单位：m ）.（1）以隧道横断面抛物线的顶点O 为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，求该段抛物线1AOA 所在抛物线的方程；（2）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3m ，车与集装箱总高4.5m ，此车能否安全通过隧道？请说明理由.【答案】（1）23x y =-；（2）不能，理由见解析.【解析】（1）由题设，可设抛物线方程为22x py =，由图知：1(3,3)A --，(3,3)A -，所以69p -=，则32p =-，故抛物线1AOA 所在抛物线的方程23x y =-.（2）由题设，令3(,)2y ±，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，则952y +≥，由（1）并将点代入可得：93434y =-=-，故179542y +=<.所以此车不能安全通过隧道.【变式5-3】如图，弯曲的河流是近似的抛物线C ，公路l 恰好是C 的准线，C 上的点O 到l 的距离最近，且为0.4km，城镇P 位于点O 的北偏东30°处，10km OP =，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l ，以便建立水陆交通网．（1）建立适当的坐标系，求抛物线C 的方程；（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q 的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．【答案】（1）2 1.6y x =；（2）作图见解析，9.806km ．【解析】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，0.42p=，则抛物线2: 1.6C y x =．（2）如图，设抛物线C 的焦点为F ，则()0.4,0F ，∵城镇P 位于点O 的北偏东30°处，10km OP =，∴(P ，根据抛物线的定义知，公路总长6908.Q F Q P PF ''=+=≥．当Q '与Q 重合时（Q 为线段PF 与抛物线C 的交点），公路总长最小，最小值为9.806km ．。
抛物线的简单几何性质(课件)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
核心素养 通过抛物线的标准方程的推导，培养数学运算的 通过抛物线的几何性质的研究，培养数学运算
培养
核心素养；通过对抛物线的定义理解，培养数学 的核心素养；通过直线与抛物线的位置关系的
抽象的核心素养。
判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线 抛物线的标准方程、几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．
化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系
运算求解．
【巩固练习2】1.(多选题)过点(－2,1)作直线l，与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则下列直线l的方程满足
条件的是(
A．y＝1
)
B．x＋2y＝0
C．x＋y＋1＝0
D．x－2y＋4＝0
（三）典型例题
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋2＋x2＋2，即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由，消去y得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.
的定义知，|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，故|AB|＝x1＋x2＋p.
【做一做2】过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，
则|AB|＝(
)
A．10
B．8
C．6
解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：B
D．4
（三）典型例题
因为点P在抛物线上，所以12＝4p，解得p＝3.
【高中数学】3.3.2 抛物线的简单几何性质高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册)
3.3.2 抛物线的简单几何性质【学习目标】1．抛物线的几何性质⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p 2.直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝ . 3．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 ．设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0. ∈k ＝0时，直线与抛物线只有 交点；∈k ≠0时，Δ＞0∈直线与抛物线 ∈有 公共点． Δ＝0∈直线与抛物线 ∈只有 公共点．Δ＜0∈直线与抛物线∈ 公共点．【小试牛刀】1．抛物线关于顶点对称．()2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．() 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．() 4．抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．()5．抛物线y＝－18x2的准线方程为x＝132．()【经典例题】题型一抛物线性质的应用把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．[跟踪训练]1 已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是∈OAB 的重心，求∈OAB的周长．题型二直线与抛物线的位置关系直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．例2已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．[跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA∈OB.题型三中点弦及弦长公式“中点弦”问题解题方法例3已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，[跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．题型四 抛物线的综合应用例4 求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离．[跟踪训练]4 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值．【当堂达标】1．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)2．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y3．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．184．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A的坐标是()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)5．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.7．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．8．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当∈AOB的面积等于10时，求k的值．9.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA∈OB，求实数m的值．10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．【参考答案】【自主学习】x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p2 x 轴 y 轴 (0,0) 1 x 1＋x 2＋p 相离 相切 相交 一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有 【小试牛刀】 × √ √ √ × 【经典例题】例1 (1)y 2＝3x 或y 2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .](2)[解] 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ， 设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∈BCD ＝30°，在Rt∈ACE 中，∈|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∈2|AE |＝|AC |，∈4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∈BD ∈FG ，∈43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是y 2＝4x .[跟踪训练]1 解 (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.(2)如图所示，由|OA |＝|OB |可知AB ∈x 轴，垂足为点M ， 又焦点F 是∈OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |. 因为F (2,0)，所以|OM |＝32|OF |＝3，所以M (3,0)．故设A (3，m )，代入y 2＝8x 得m 2＝24；所以m ＝26或m ＝－26，所以A (3,26)，B (3，－26)，所以|OA |＝|OB |＝33，所以∈OAB 的周长为233＋4 6. 例2 解 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x＝14，∈y ＝1，∈直线l 与C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．∈当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；∈当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ∈当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点．[跟踪训练]2 [证明] 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∈直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∈可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∈OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∈OA →∈OB →，即OA ∈OB .例3 解 由题意知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ∈x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·y 1－y 22＝1＋1k 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0.[跟踪训练]3 [解] 法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∈(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∈y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝4，∈k AB ＝4. ∈AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.法二：由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 所在直线的方程为y＝k (x －4)＋1.联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k x －4＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标．由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .又y 1＋y 2＝2，∈k ＝4.∈AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0. 例4 解 方法一 设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43. 所以当t ＝23时，d 有最小值43.方法二 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∈Δ＝16＋12m ＝0，∈m ＝－43. 故最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.[跟踪训练]4 [解] (1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1. 【当堂达标】1.D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎨⎧y 2＝16x ，x 2＋y 2＝x －42＋y 2∈⎩⎨⎧ y 2＝16x ，x ＝2∈⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)．] 2. C 解析 设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px 得|y |＝p ，∈2|y |＝2p ＝8，p ＝4. ∈抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .3.A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]4.B [由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∈点A 的坐标为(1，±2)，故选B.]5. B 解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.6. 8解析 因为直线AB 过焦点F (1,0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7.158 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14.∈|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∈y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.] 8.解 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 由方程组⎩⎨⎧x ＝－y 2，y ＝k x ＋1，消去x 整理得ky 2＋y －k ＝0，Δ＝1＋4k 2>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1·y 2＝－1. 设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∈S ∈OAB ＝S ∈OAN ＋S ∈OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∈S ∈AOB ＝12×1×y 1＋y 22－4y 1y 2＝12×1k 2＋4＝10，解得k ＝±16.9.解 由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.由Δ＝(2m －8)2－4m 2＝64－32m >0，得m <2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716，经检验符合题意．(2)因为OA ∈OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8或m ＝0(舍去)． 所以m ＝－8，经检验符合题意．10.[解] 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∈x 1＋x 2＝6－p .∈ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px 消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∈x 1＋x 2＝3p ，代入∈式得3p ＝6－p ，∈p ＝32.∈所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学选择性必修一3 3 抛物线(解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典3.3抛物线 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则9PN QM +的最小值为A ．36B ．42C ．49D ．50【答案】B 【解析】 【分析】设拋物线的标准方程，将点代入拋物线方程，求得拋物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，根据韦达定理可得124x x =，则229910PN QM PC QC +=++，由焦半径公式以及基本不等式，即可求得结果. 【详解】设抛物线方程为22y px =由抛物线过定点()2,4得28p =，抛物线方程28y x =，焦点为()22,0C ，圆的标准方程为()2221,x y -+=∴圆心为()2,0，半径1r =，由于直线过焦点，可设直线方程为()2y k x =-，设()()1122,,,,P x y Q x y()()22248408y k x kx k x k y x⎧=-⇒-++=⎨=⎩，124x x ∴= 又()()22229199910PN QM PC QC PC QC +=+++=++()()121212292109302930123042x x x x x x =++++=++≥⋅=+=，12x x =时等号成立，9PN QM ∴+的最小值为42，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质，以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式a b +≥求最值，要注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”. 2．设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 则p 的值为( )A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据线条长度关系解除A 、B 点横坐标12x x 、（用p 表示）， 然后利用三角形面积公式列出一个关于p 的方程，解出p 即可. 【详解】过点B 作BM l ∥交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ， 设点()()1122,,A x y B x y 、， 由3AF BF =得12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即123x x p -=……①， 又因为NF AM ∥,所以14NF BF AM AB ==, 所以()1214NF x x =-， 所以()212142p OF ON NF x x x =+=+-=……②， 由①②可解得123,26p px x ==，在Rt ABM ∆中，1283AB x x p p =++=， 124=3AM x x p -=， 所以228443333BM p p p ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以143323CDF S P P ∆=⨯=, 解得62p =或62p =-（舍去）， 故选：C 【点睛】本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键. 3．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C 10D 5 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵2PO =，1OE =，2OC OD ==，∴()1,2C -，设抛物线22y px =，代入C 点，可得22y x =-∴焦点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，即焦点为OE 中点，设焦点为F ，12EF =，1PE =，∴52PF =. 故选：D 【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.4．已知点A 是抛物线()220y px p =>上的一点，若以其焦点F 为圆心，以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B 、C 两点，若BFC θ∠=且满足22sin sin sin 23cos θθθθ+-=，当ABC 的面积为643时，则实数p 的值为( ) A ．4 B ．42C ．8D ．82【答案】B 【解析】由22sin sin sin23cos θθθθ+-=,移项得sin sin23cos θθθ-=-22sin θ,化简为2sin 2sin cos 3cos 22cos θθθθθ-=-+,即()()()sin 12cos cos 22cos 1θθθθ-=+-,可得()()2cos 1sin cos 20θθθ-++=,1cos ,23πθθ==,又由图知EF p =,则在EFB∆中,22tan2BC BE p θ==,设A 到BC 的距离为d,则d AF BF ==,cos2pBF θ=,211264···2tan ?22233cos 2ABC p S BC d p p θθ∆====,解得p=故选B.点睛:本题考查圆锥曲线和三角函数的综合问题,属于中难档题目.首先根据题中给出角的等式,利用二倍角公式和诱导公式,结合因式分解求出角的值,再根据三角形的面积公式,结合抛物线的定义以及圆的定义,将三角形的底和高都用抛物线方程中的p 和角θ来表示,列出三角形ABC 的面积,求出p 的值. 5．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ） A ．28y x =B ．28y x =（0x >）和0y =C ．28y x =（0x >）D ．28y x =（0x >）和0y =（0x <）【答案】D 【解析】圆2240x y x +-=化为()2224x y -+=，圆心()2,0C ，半径2r，设动圆的圆心为(),M x y ，半径为r ，则根据题意0r x =≠，且2MC r =+2x =+，当0x >时，化简有()()22222x y x -+=+，即28y x =，当0x <时，化简有()()22222x y x -+=-+，即0y =，故选择D.点睛：对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d ，则MF d =，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.另外在对方程化简的过程中注意分类讨论思想方法的应用，考查学生划归转化能力.6．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线C ：24y x =，如图，一条平行于x 轴的光线从点()()114,14A y y <<发出，射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线C 的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于x 轴的方向射出至点()24,B y ，下列说法中正确的是（ ）A ．光路APQB 长度的最小值为10 B ．光路APQB 长度的最大值为10C ．光路APQB 长度恒等于10D ．以上说法均不正确【答案】C 【解析】 【分析】本题先求2p =，再化简P Q PQ x x p =++，4P PA x =-，4Q QB x =-，最后再确定光路APQB 长度等于PA PQ QB ++化简整理即可得到答案. 【详解】解：根据题意设(,)Q Q Q x y ，(,)P P P x y ，因为抛物线方程为：24y x =，所以24p =即2p =根据抛物线的定义：P Q PQ x x p =++，根据题意：4A P P PA x x x =-=-，4B Q Q QB x x x =-=-， 光路APQB 长度等于PA PQ QB ++，(4)()(4)810P P Q Q PA PQ QB x x x p x p ++=-++++-=+=，所以光路APQB 长度恒等于10. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的定义，焦点弦的几何意义，是中档题.7．已知双曲线22221x y a b-=5圆心在x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A ．25y x =B ．25y x =C ．25y x =D ．25y x =【答案】B 【解析】设双曲线渐近线的方程为by x a=，圆心坐标为(),0c ，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得222bca b =+ ，即2b = ，又因为离心率为245a a += ，可得1,5,5,252pa c p =∴=∴== ，所以抛物线的方程为245y x = ，故选B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8．已知直线是抛物线的准线，是上的一动点，则到直线与直线的距离之和的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由抛物线的定义可知点到准线的距离等于；点到直线的距离；结合图形可知当且仅当三点共线时，距离之和最小，其最小值为点到直线的距离，即，应选答案C 。
3.3.2抛物线的简单几何性质第一课时课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
准线方程为y 5, 所以 5, 得p 10, 抛物线的标准方程为x 2 20 y .
2
环节四 目标检测，检验效果
(3) 准线在y轴的右侧, 顶点到准线的距离是4;
(4) 焦点F 在y轴负半轴上, 经过横坐标为16的点P , 且FP平行于准线.
(3) 抛物线的准线在y轴右侧, 可设抛物线的方程为y 2 2 px( p 0),
即点(x,-y)也在抛物线上,
故抛物线y2
=2px(p>0)关于x轴对称.
x
O F
l
(x,-y)
环节一 创设情境，提出问题
3.顶点
y
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物
线的顶点.
∴ y2 =2px(p>0)中，令y=0，则x=0.
即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点(0,0).
O F
l
x
环节一 创设情境，提出问题
解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点(2, −2 2)，
所以可设它的标准方程为 2 = 2( > 0).
因为点在抛物线上，所以(−2 2)2 = 2 × 2，解得 = 2.
因此，所求抛物线的标准方程是 2 = 4.
环节二 例题练习，巩固理解
问题：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点
2
将M (2, 2 2)代入, 得4 4 2 p, 解得p
,
2
所以所求抛物线的标准方程是x 2 2 y .
综上可知, 所求抛物线的标准方程是y 4 x和x 2 y.
2
2
环节二 例题练习，巩固理解
例4.斜率为1的直线经过抛物线 2 = 4的焦点，且与抛物线相交于，两点，
抛物线讲义-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
10 抛物线【知识梳理】一、抛物线的定义1、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （其中定点F 不在定直线l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2、抛物线的数学表达式：{|||}M MF d =(d 为点M 到准线l 的距离).二、抛物线的标准方程和几何性质0x ≥，y R ∈0x ≤，y R ∈0y ≥，x R ∈ 0y ≤，x R ∈在学习抛物线及其标准方程时，如何利用已知的抛物线方程研究其性质，以及已知某些性质求抛物线的方程是考查的重点. 主要方法有定义法、待定系数法等.（1）定义法根据抛物线的定义，确定p 的值(系数 p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程.（抛物线标准方程有四种形式，要注意选择.） （2）待定系数法①对于焦点在x 轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为)0(22>=p px y 和)0(22>-=p px y 两种情况求解.②焦点在x 轴上的抛物线方程可设成)0(2≠=m mx y ，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左； 若m 有两个解，则抛物线的标准方程有两个． 同理，焦点在y 轴上的抛物线的方程可以设成)0(2≠=m my x .如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑x 轴、y 轴两种情况分别设方程,四、直线与抛物线的位置关系1. 将直线方程与抛物线方程联立组成方程组，消去一个未知数.⇔<∆0直线与抛物线无交点⇔直线与抛物线相离； ⇔=∆0直线与抛物线有1个交点⇔直线与抛物线相切； ⇔>∆0直线与抛物线有2个交点⇔直线与抛物线相交.直线与抛物线交于两点()()2211,,y x B y x A ，时， 弦长⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=-+=-+-=k t y y t x x k y y x x AB 111)()(212212221221其中2. 抛物线的焦点弦的性质①焦点弦：当直线通过抛物线的焦点所得弦称为焦点弦.②通径：当直线过抛物线的焦点且与对称轴垂直时所得的弦称为通径，其长度为p 2. ③2221px BF p x AF +=+=；；p x x BF AF AB ++=+=21 ④θsin 222p S OAB =∆ ⑤pFB FA 211=+ ⑥以弦AB 为直径的圆与准线相切.【题型精讲】题型一、抛物线的定义与方程例1. 若点P 到点F （4,0）的距离比它到直线05=+x 的距离小1，则点P 的轨迹方程是（ ）A. x y 162-= B. x y 322-= C. x y 162= D. x y 322= 例2. 已知抛物线py x 22=上一点)1,(m A 到其焦点的距离为3，则=p （ ）A. 2B. 2-C. 4D. 4±例3. 设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若4-=⋅AF OA ，则点A的坐标是（ ）A. ()222±，B. ()21±，C. ()2,1D. ()222，题型二、抛物线的焦半径公式例4. 已知抛物线()022>=p px y 的焦点弦AB 被焦点分成长度为m ，n 的两段，求证：pn m 211=+. 例5. 过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若3=AF ，则=BF题型三、抛物线的焦点弦与焦点三角形例6. 过抛物线()022>=p px y 的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于()()2211,,y x B y x A ，两点，则θ221sin 2p p x x AB =++=，θsin 222p S OAB =∆ 例7. 过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且p AB 25=，则=p （ ）. A. 8 B. 2 C. 6 D. 4例8. 过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点（A 在第一象限），O 为坐标原点，若AOB ∆的面积为22，则=BFAF （ ）.A. 22±B. 223±C. 324±D. 224±例9. 过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点（A 在第一象限），O 为坐标原点，若BF BA 4=，则AOB ∆的面积为（ ）.A.338 B. 328 C. 334 D. 324 例10．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知抛物线C 的顶点为原点，对称轴为x 轴，且经过()1,2M ．(1)求C 的方程；(2)若直线l 过C 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，||8AB =，求l 的方程．题型四、直线与抛物线综合问题例11 点P 是以F 为焦点的抛物线x y 42=上的动点，则以P 为圆心，以线段PF 的长为半径的圆与直线1-=x 的位置关系是（ ）A. 相切B. 相交C. 相离D. 随点P 的位置变化而变化 例12. 已知F 是抛物线C ：x y 42=的焦点，直线)1(:+=x k y l 与抛物线C 交于B A 、两点，记直线FA ，FB 的斜率分别为21k k ，，则=+21k k题型五、与抛物线有关在最值问题例题13．已知抛物线x y 62=的焦点为F ，点P 为该抛物线上一个动点，点)2,3(A ，则PA PF +的最小值为______．。
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第一册) 3
3.3 抛物线(精练)【题组一 抛物线的定义及应用】1．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考)定长为6的线段AB 两个端点在抛物线24y x =上移动，记线段AB 的中点为M ，则M 到y 轴距离的最小值为( )A ．12BC ．2D 12【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点为F ，则抛物线的准线1x =-，设,,A B M 在准线上的垂足分别为',','A B M ,连接,,',','AF BF AA BB MM ,如图所示. 所求的距离611111 2.2222AA BB AF BFABd MM ++=-=-=-≥-=-'=''因为抛物线的通径为246p AB =≤=,所以定长为6的线段AB 两个端点在抛物线24y x =上移动时可以经过焦点F ,此时,,A F B 三点共线，AF BF AB +=，2d =，则点M 到y 轴的最短距离为2，故选：C .2．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考)过抛物线C ：22y px =(p ＞0)的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且满足||3||AF FB =，则直线l 的倾斜角为( )A ．45°B ．60°和120°C ．30°和150°D ．45°和135°【答案】B【解析】当A点在x轴上方时，设抛物线准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'，直线l交准线于C，如图所示：则|AA'|＝|AF|，|BB'|＝|BF|，|AF|＝3|BF|，所以|AN|＝2|BF|，|AB|＝4|BF|，cos∠NAB＝12，∠NAB＝60，此时则直线l60，当A点在x轴下方时，由对称性可得直线l的斜率为120，故选：B3．(2021·全国高二课时练习)抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于( )A．2 B．3 C．5 D．7【答案】D【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.由24240y xx y⎧=⎨+-=⎩，得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，∴ |FA|＋|FB|＝7，故选：D.4．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(理))O为坐标原点，F为抛物线2:C y=的焦点，P为C上一点，若PF =POF 的面积为( )A ．2B ．C ．D ．4 【答案】A【解析】因为抛物线2:C y =，所以2p =，由抛物线的定义得：2p p p PF x x =+==解得p x p y ==±所以POF 的面积为11222p S OF y =⋅=， 故选：A5．(2021·安徽省岳西县店前中学高二期末(文))已知抛物线2:2C y x =的焦点为()00,,F A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =( ) A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】由抛物线2:2C y x =可得11,22p p ==， 准线方程12x =-， 0(A x ，0)y 是C 上一点，054AF x =，00x >． ∴00051422p x x x =+=+， 解得02x =．故选：B ．【题组二 抛物线的标准方程】1．(2021·全国高二课时练习)若抛物线2y mx =的准线与直线1x =间的距离为3，则抛物线的方程为______.【答案】28y x =或216y x =-【解析】当0m >时，准线的方程为4m x =-，故134m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以8m =，此时抛物线的方程为28y x =； 当0m <时，准线的方程为4m x =-，故134m --=，所以16m =-，此时抛物线的方程为216y x =-. 所以所求抛物线的方程为28y x =或216y x =-.故答案为：28y x =或216y x =-.2．(2021·上海市长征中学)已知抛物线22y px =上一点 (1, )M m 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________．【答案】4x =-【解析】因为抛物线22y px =上一点 (1, )M m 到其焦点的距离为 5， 所以152p +=， 解得8p =，所以该抛物线的准线方程为4x =-，故答案为：4x =-3．(2021·广东高二期末)已知抛物线：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，过点P 作l 的垂线交l 于点E ，且60PFE ∠=︒，6PF =，则抛物线C 的方程为________________________.【答案】26x y =【解析】设准线与x 轴的交点为H ，准线为2p x =-，焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的定义知PE PF =，又60PFE ∠=︒，所以PFE △为等边三角形，且30FEH ∠=︒，所以6EF PF ==,则132HF EF ==，又因为HF p =，因此3p =，故抛物线C 的方程为26x y =； 故答案为：26x y =. 4．(2021·全国高二课时练习)已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝12y 【答案】A 【解析】设动点M (x ，y )，圆M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等.∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3，0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线，故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x .故选：A.5．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线M 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，过其焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点C ，D ，||2||AF BF =，且72DC BA ⋅=，则该抛物线的方程为( )A ．28x y =B ．210x y =C ．29x y =D ．25x y =【答案】A 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，抛物线的方程为22(0)x py p =>，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由||2||AF BF =可得2AF FB =， 所以1122,2,22p p x y x y ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以122x x -=，12222p p y y -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以24p y =，1y p =，1x =，2x p =，所以),A p ，4p B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ),0C ，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以3,02p DC ⎛⎫ ⎪ =⎪⎝⎭，33,24BA p p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭因为72=，所以327222DC BA p p ⋅=⨯=，所以4p =， 所以抛物线的方程为28x y =．故选：A.【题组三 直线与抛物线的位置关系】1．(2021·北京清华附中高二期末)“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件.故选：A2．(多选)(2021·全国高二课时练习)与直线0x y +仅有一个公共点的曲线是A ．221x y +=B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x = 【答案】AC【解析】A．圆心到直线的距离1d r ===，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；B．因为22012x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2320x -+=，所以322480∆=-=>，所以直线与椭圆有两个交点，不符； C ．因为221x y -=的渐近线方程为y x =±，所以0x y +=平行于渐近线且不与渐近线重合，所以0x y +=与双曲线仅有一个公共点，符合；D．因为20x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以20y y +=，所以10∆=+，所以直线与抛物线有两个交点，不符. 故选：AC.3．(多选)(2021·全国高二专题练习)若原点O 到直线l 的距离不大于1，则直线l 与下列曲线一定有公共点的是( )A ．22y x =-B ．()2211x y -+=C ．2212x y +=D ．221x y -=【答案】AC【解析】原点(0,0)到直线l 的距离小于或等于1，故直线l 一定经过圆面221x y + 内的点，如图所示：故与直线l 一定有公共点的曲线的是AC ，故选：AC ．A .B .C .D .4．(2021·全国高二课时练习)已知F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，以F 为圆心作半径为R 的圆Γ，圆Γ与x 轴的负半轴交于点A ，与抛物线E 分别交于点B ，C .(1)若ABC 为直角三角形，求半径R 的值；(2)判断直线AB 与抛物线E 的位置关系，并给出证明.【答案】(1)R ＝p ；(2)直线AB 与抛物线E 相切，证明见解析.【解析】(1)由抛物线和圆的对称性可得B ，C 关于x 轴对称， 再由ABC 为直角三角形可得BC 为圆的直径，B ，C ，F 三点共线，x B 2p =， 代入抛物线的方程可得y B ＝p ，所以圆的半径R ＝p ；(2)直线AB 与抛物线E 相切.由(1)知A (2p -，0)，|AF |＝p ，B (2p ，p )，C (2p ，﹣p )，则直线AB ：y ＝x 2p +，联立222p y x y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得x 2﹣py 24p +=0， ∴∆＝p 2﹣p 2＝0，∴直线AB 与抛物线相切.5．(2021·浙江高二单元测试)已知抛物线C:24y x =，焦点为F ，点()11,A x y 在抛物C 上，设()10D x -，，其中10x ≠．(I)求焦点F 的坐标；(Ⅱ)试判断直线AD 与抛物线C 的位置关系，并加以证明．【答案】(Ⅰ)(1,0)；(Ⅱ)相切，证明见解析.【解析】(Ⅰ)由抛物线C ：24y x =，可得：24p =，2p =，可得焦点F 的坐标为(1,0)；(Ⅱ)直线AD 与抛物线C 相切，证明如下：由点()11,A x y 及点()1,0D x -，可得1111022AD y y k x x -==， 又24y x =，可得=±y11AD k == 同时由抛物线C ：24y x =，=±y'y = 所以过()11,A x y的切线的斜率为：1所以直线AD 与抛物线C 相切.【题组四 弦长】1．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，且|FA|＝4，则|AB |＝__. 【答案】163【解析】设过F (1，0)的直线方程为x ＝my +1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线方程214x my y y=+⎧⎨=⎩，可得y 2﹣4my ﹣4＝0， 由韦达定理，可得y 1y 2＝﹣4，则221212144y y x x ==， ∵由抛物线的定理，可得|FA |＝x 1+1＝4，∴x 1＝3，213x =， ∴24||13FB x =+=，416||433=+=AB . 故答案为：163. 2．(2021·上海浦东新·高二期中)过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若1212x x +=，则AB 等于____________．【答案】14；【解析】由抛物线24y x =可得：2p =，抛物线的准线方程为：1x =-，因为过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，由抛物线的定义可得：1112p AF x x =+=+，2212p BF x x =+=+， 所以弦长12214AB AF BF x x =+=++=，故答案为：14.3．(2021·广东石门高级中学高二月考)已知动点M 到点()0,2F 的距离，与点M 到直线:2l y =-的距离相等.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点F 且斜率为1的直线与动点M 的轨迹交于A ，B 两点，求线段AB 的长度.【答案】(1)28x y =；(2)16．【解析】(1)由题意M 点的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，22p =，4p =， 所以轨迹方程是28x y =；(2)由已知直线l 方程是2y x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由228y x x y=+⎧⎨=⎩得28160x x --=，所以12128,16x x x x +==-，16AB =．4．(2021·合肥百花中学高二期末(理))已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点P (m ，2)到其焦点F 的距离为4．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积．【答案】(1)x 2＝8y ；(2)【解析】(1)由已知及抛物线定义可得2()42p --=，∴p ＝4，∴抛物线C 的方程为x 2＝8y ． (2)由(1)可得F (0，2)，∴l ：y ＝x +2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将l 方程代入C 方程整理得y 2﹣12y +4＝0，∴y 1+y 2＝12，∴|AB |＝y 1+y 2+p ＝16，原点O 到直线l 的距离为d ==∴OAB 的面积1||2S AB d =⨯⨯= 5．(2021·上海市新场中学高二期中)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(1,0)F 的距离等于它到x =-1的距离.(1)求曲线C 的方程；(2)求直线1y x =-被曲线C 截得线段长.【答案】(1)24y x =；(2)8【解析】(1)一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(1,0)F 的距离等于它到x =-1的距离，所以该曲线是以点(1,0)F 为焦点，以x =-1为准线的抛物线， 设其方程为22,1,22p y px p ===， 所以24y x =；(2)设直线1y x =-与曲线C 交于()()1122,,,A x y B x y ，联立方程241y xy x ⎧=⎨=-⎩，整理得2610x x -+=，1212320,6,1x x x x ∆=>+==，8AB ==.所以直线1y x =-被曲线C 截得线段长为8.6．(2021·浙江湖州·)已知抛物线21:4C y x =，圆()222:34C x y -+=，F 是抛物线的焦点，过点F 的直线与抛物线1C 交于A ､B 两点，与圆2C 交于点D ，点D 是线段AB 的中点. (1)求抛物线的准线方程； (2)求OAB 的面积.【答案】(1)1x =-；(2)【解析】(1)因为抛物线21:4C y x =，所以准线方程为1x =-；(2)设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y联立直线与抛物线214x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=，由韦达定理可得124y y m +=，故()21212242x x m y y m +=++=+，∴()221,2D m m +，将D 点坐标代入圆方程得()22211m m -+=，解得1m =±(0舍去).根据抛物线的对称性，不妨设1m =，联立214x y y x =+⎧⎨=⎩，消去y 得2610x x -+=，所以126x x +=所以12122822p pAB x x x x =+++=++=， 坐标原点到直线10x y --=的距离d =所以12OAB S AB d =⋅=△【题组五 综合运用】1．(2021·全国高二课时练习) 已知抛物线C ：y 2＝4x ，A (1,2)，B (,0)m ，其中m >0，过B 的直线l 交抛物线C 于M ，N .(1)当m ＝5，且直线l 垂直于x 轴时，求证：△AMN 为直角三角形； (2)若OP ＝OA ＋OB ，当点P 在直线l 上时，求实数m ，使得AM ⊥AN . 【答案】(1)证明见解析；(2)m ＝6.【解析】(1)证明：由题意，l ：x ＝5，代入y 2＝4x中，解得y =±不妨取M(5,，N (5,－，则(4,252),(4,2)AM AN=-=-， ∴(4,2)(4,2)16(204)0AM AN ⋅=⋅-=--=， ∴AM ⊥AN ，即△AMN 为直角三角形，得证．(2)由题意，四边形OAPB 为平行四边形，则k BP ＝k OA ＝2，设直线l ：y ＝2(x －m )，221212(,),(,)44y y M y N y ，联立22()4y x m y x=-⎧⎨=⎩，得y 2－2y －4m ＝0，由题意，判别式Δ＝4＋16m >0，y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－4m ，∵AM ⊥AN ，则0AM AN ⋅=，又221212(1,2),(1,2)44y y AM y AN y =--=--，∴221212(1)(1)(2)(2)044y y y y --+--=，化简得(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0，即y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0，∴2440m -=，解得m ＝6，故m ＝6时，有AM ⊥AN .2．(2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中)过抛物线()220y px p =>上一定点()00,P x y 作两条直线分别交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ， (1)若横坐标为2p的点到焦点的距离为1，求抛物线方程； (2)若()00,P x y 为抛物线的顶点，π2APB ∠=，试证明：过A 、B 两点的直线必过定点()2,0p ； (3)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12+y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.【答案】(1)22y x =；(2)证明见解析；(3)2-，证明见解析.【解析】(1)因为抛物线()220y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-；又横坐标为2p的点到焦点的距离为1，所以122p p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即1p =，故抛物线方程为22y x =；(2)若()00,P x y 为抛物线的顶点，则()0,0P ；因为()11,A x y ，()22,B x y 为抛物线()220y px p =>上的点，所以直线AB 斜率不为零；可设直线AB 的方程为x my n =+，由22x my n y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pn --=， 则22480p m pn ∆=+>，121222y y pmy y pn+=⎧⎨=-⎩，所以()()()2212121212x x my n my n m y y mn y y n =++=+++222222pm n pm n n n =-++=，又π2APB ∠=，则PA PB ⊥； 所以0PA PB ⋅=，即2121220x x y y n pn +=-=，所以2n p =，即直线AB 的方程为2x my p =+，因此，过A 、B 两点的直线必过定点()2,0p ；(3)因为()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y 都是抛物线()220y px p =>上的点，且PA 与PB 的斜率存在，则10x x ≠，20x x ≠；由20021122y px y px ⎧=⎨=⎩可得22101022y y px px -=-，所以1010102PA y y p k x x y y -==-+； 由20022222y px y px ⎧=⎨=⎩可得22202022y y px px -=-，所以2020202PB y y p k x x y y -==-+； 又因为PA 与PB 的倾斜角互补，所以0PA PB k k +=，即1020220p py y y y +=++， 整理得1202y y y +=-，要求12+y y y 的值，显然00y ≠；所以1202y y y +=-， 要证明直线AB 的斜率是非零常数，显然直线AB 的斜率存在；由21122222y px y px ⎧=⎨=⎩可得22121222y y px px -=-， 所以12121200222AB y y p p pk x x y y y y -====--+-， 因为00y ≠，0p >，所以0AB pk y =-是非零常数，即直线AB 的斜率是非零常数.3．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线C ：x 2＝8y ，点F 是抛物线的焦点，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，﹣2)．(1)分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线，两切线的交点为M ，求直线l 的斜率； (2)若直线l 过抛物线的焦点F ，试判断是否存在定值λ，使得MF k λ＝11MA MBk k +【答案】(1)12；(2)存在λ＝2. 【解析】(1)1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，抛物线方程28x y =，求导可得4x y '=，过点A 的切线方程为111()4x y y x x -=-，过点B 的切线方程为222()4y y y x x -=-， 点(2,2)M -为两切线的交点，∴1112(2)4x y x --=-，2222(2)4xy x --=-， ∴过A ，B 的直线方程为22(2)24242x x x xy x y --=-=-=-，化简可得，220x y ，∴12k =． (2)由题意可知，(0,2)F ，过点F 的直线l 为2y kx =+， 设直线l 与抛物线C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线方程228y kx x y =+⎧⎨=⎩，28160x kx --=，由韦达定理可得，128x x k +=，1216x x =-，111111(2)24222MA y y kx k x x x --++===---，同理可得，2242MB kx k x +=-， ∴121221121221212121222(2)(4)(2)(4)2(42)()161144(4)(4)4()16MA MB x x x kx x kx kx x k x x k k kx kx kx kx k x x k x x ---++-++-+-+=+==+++++++ 222323216161163216k k k k k -+--==--++，2(2)202MF k --==--， ∴存在2λ=，使得11MFMA MBk k k λ=+． 4．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 在抛物线E 上，点P 的横坐标为2，且|PF |＝2，A ，B 是抛物线E 上异于O 的两点． (1)求抛物线E 的标准方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为﹣12，求证：直线AB 恒过定点． 【答案】(1)x 2＝4y ；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意得，F (0，2p )，设P (2，y 0)，022p y =-，由点P 是E 上一点，得4＝2p (2﹣2p)，∴p 2﹣4p +4＝0，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为x 2＝4y ； (2)设A (2111,4x x )，B (2221,4x x )，由题意可知，1212144162OA OB x x x x k k ⋅=⨯==-， 得x 1x 2＝﹣8，可知直线AB 的斜率存在． 设AB ：y ＝kx +m ，联立24y kx mx y =+⎧⎨=⎩，得x 2﹣4kx ﹣4m ＝0，可得x 1x 2＝﹣4m ＝﹣8，即m ＝2． ∴直线AB 恒过定点(0，2)．5．(2021·湖南长沙·长郡中学高二月考)已知拋物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，O 为坐标原点，E为拋物线上一点，4EF OF =且EFOS(1)求拋物线C 的方程；(2)设直线l ：240x y -+=交y 轴于点B ，直线1l 过点()2,1A 且与直线l 平行，动直线2l 过点()2,1A 与拋物线C 相交于P ，Q 两点，直线PB ，QB 分别交直线1l 于点M ，N ，证明：AM AN =． 【答案】(1)24y x =；(2)证明见解析.【解析】(1)拋物线C 的方程为()220y px p =>，设()00,E x y ，因为42EF OF p ==，由拋物线定义022p x p +=，即032x p =．所以0y =，又由EFO S △122p⨯=2p =(2p =-舍去)，所以抛物线C 的方程为24y x =．(2)证明：直线l ：240x y -+=，令0x =，得4y =，所以点()0,4B ．因为直线1l 平行于直线l ：240x y -+=且过点()2,1A ，所以直线1l ：230x y --=． 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，直线2l ：()21x t y -=-，联立()2214x t y y x⎧-=-⎨=⎩消去x 得24480y ty t -+-=，则()2Δ1620t t =-+>．由根与系数关系得124y y t +=，1248y y t ⋅=-，易得直线PB ：1144y y x x -=+，直线QB ：2244y y x x -=+． 联立1144,230,y y x x x y -⎧=+⎪⎨⎪--=⎩解得()()11111727242182M ty t x x x y t y t +-==-+-+-， 同理可得()()22722182N ty t x t y t+-=-+-，所以()()()()12127272 21822182M N ty t ty t x x t y t t y t+-+-+=+-+--+-()()()()()()()()()()()()1212221212221822122282721218282t t y y t t t t y y t t t y y t t y y t -⋅+-+--++--⎡⎤⎣⎦⨯-⋅+--++-=2244842t t t t -+==-+． 因为2A x =，所以2M N A x x x +=，即A 是MN 的中点，所以AM AN =．。
3.3.1抛物线及其标准方程课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
（2）若 B 3, 2 , 求 PB PF 的最小值.
1 答案为： 5 ；
2 答案为：4.
【解题感悟】抛物线上的点到焦点距离与到准线的距离通过定义可以
互相转化.
1
小结概括，内化知识
1.研究圆锥曲线的一般流程和方法：
定义
标பைடு நூலகம்方程
用代数方法研究几何性质
综合应用
2.学习内容：一种曲线，两项注意，三大思想，四类方程.
3.如右图，你能说出直线ME的特殊之处吗？
4.课后探究，请证明二次函数 = 2 + +
的图象是抛物线，找到其焦点和准线.
下课啦！谢谢同学们！
（1）焦点到准线的距离是2； （2）过点 2,3 .
解：
1由题意得p 2,抛物线的标准方程可能为
y 2 4 x,
y 2 4 x, x 2 4 y, x 2 4 y
1因为点 2,3 在第二象限，所以抛物线开口向上或者向左
可求得标准方程为：x 2
4
9
y 或者 y 2 x.
圆锥曲线统一定义：平面内到定点F的距离与到定值线l（F不
在l上）的距离的比是常数e的点的轨迹．
当0<e<1时轨迹为椭圆；当e=1时轨迹为抛物线；当e>1时轨迹
为双曲线，其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是焦点，定直
线l是准线．
你能从圆锥曲线统一定义说明抛物线不是双曲线的一支吗？
例题练习，巩固理解
例2 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
创设情景，激发动机
问题1：二次函数y=x2的图象是 抛物线 . 是真的吗？
问题2：抛物线一定是某个二次函数的图象吗？
问题探究，构建概念
3.3 抛物线(精讲)(解析版)人教版高中数学精讲精练选择性必修一
3.3抛物线（精讲）考点一抛物线的标准方程【例1-1】（2023春·江西吉安·高二校联考期末）若点(2,1)-A 在抛物线20y px +=上，则该抛物线的准线方程为（）A ．12y =B ．18y =C ．12x =D ．18x =【答案】A【解析】因为点(2,1)-A 在抛物线20y px +=上，所以120p -+=，得12p =，所以抛物线方程为22x y =-，所以抛物线的准线方程为12y =，故选：A 【例1-2】（2023·陕西榆林）以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点()1,P m 到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（）A ．28y x =B ．212y x =C ．28y x=D ．212y x=【答案】C【解析】根据题意，可设抛物线的方程为22(0)y px p =>，由抛物线的定义知132p+=，即4p =，所以抛物线方程为28y x =．故选：C ．【例1-3】（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，C 上一点()()000,0M x x x ≠满足||5MF =，则抛物线C 的方程为（）A ．22y x =B ．2y x =C ．28y x=D ．24y x=【答案】D【解析】依题意得2002x px =，因为00x ≠，所以02x p =.又0||52pMF x =+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.故选：D 【一隅三反】1．（2023秋·高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点()1,2-，则它的方程是（）A ．212x y =或24y x =-B ．24y x =-或22x y=C ．212=-x yD ．24y x=-【答案】A【解析】当抛物线的焦点在x 轴上时，设抛物线的方程为()220y px p =->．因为抛物线过点()1,2-，记为点P ，如图，所以()2221p =--，所以2p =、所以抛物线的方程为24y x =-；当抛物线的焦点在y 轴上时，设抛物线的方程为()220x py p =>．因为抛物线过点()1,2-，所以()2122p -=⋅，所以14p =，所以抛物线的方程为212x y =．故选：A..2．（2023·陕西汉中）已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点()0,2P x ，若点P 到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为．【答案】28x y=【解析】因为抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点()0,2P x ，所以可设抛物线：22x py =.由抛物线的定义可得：242p+=，解得：4p =.所以抛物线的方程为：28x y =.故答案为：28x y =.3．（2023春·云南保山·高二统考期末）过点()1,4-，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是.【答案】214x y=-【解析】设方程为2(0)x ny n =≠，则有21(4)n =-，解得14n =-，即有214x y =-.故答案为：214x y =-.考点二抛物线定义及应用【例2-1】（2023春·河南开封）已知抛物线2:4E x y =，圆()22:31C x y +-=，P 为E 上一点，Q 为C 上一点，则PQ 的最小值为（）A ．5B ．1C ．D ．3【答案】B【解析】由题意知(0,3)C ，1r =，设()00,P x y ，则204x y =，所以PC ===，故当01y =时，min PC =min min 1PQ PC r =-=.故选：B.【例2-2】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:2l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和2l 距离之和的最小值是（）A 1+B ．2C ．165D ．3【答案】D【解析】由题可知1x =-是抛物线24y x =的准线，设抛物线的焦点为F ，则()1,0F ，所以动点P 到2l 的距离等于P 到1x =-的距离加1，即动点P 到2l 的距离等于1PF +.所以动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为焦点F 到直线1:4360l x y -+=的距离加1，即其最小值是406135-++=.故选：D【例2-3】（2023·西藏日喀则）已知点P 为抛物线220y px p =>（）上一动点，点Q 为圆221)24):((C x y ++-=上一动点，点F 为抛物线的焦点，点P 到y 轴的距离为d ，若PQ d +的最小值为3，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】圆221)24):((C x y ++-=的圆心(2,4)C -，半径1r =，抛物线220y px p =>（）的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，则由抛的线的定义可知点P 到y 轴的距离为2p d PF =-，所以2P pQ F d PQ P =+-+，由图可知，当,,,C Q P F 共线，且,P Q 在线段CF 上时，PQ PF +最短，而22162p CF ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为322p pPQ PF CF r +-=--=，22161322p p ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，解得2p =，故选：B【一隅三反】1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知F 是抛物线C ：22y px =的焦点，点()2,P t 在C 上且4PF =，则F 的坐标为（）A ．()2,0B ．()2,0-C ．()4,0D ．()4,0-【答案】A【解析】因为F 是抛物线C ：22y px =的焦点，所以,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又4PF =，由抛物线的定义可知242pPF =+=，解得4p =，所以()2,0F .故选：A2．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点P 在C 上，若点()6,3Q ，则PQF △周长的最小值为（）．A ．13B ．12C ．10D ．8【答案】A【解析】224y x =⨯，故()2,0F ,记抛物线C 的准线为l ，则l ：2x =-，记点P 到l 的距离为d ，点()6,3Q 到l 的距离为d '，则()()22623058513PQ PF QF PQ d d ++=+-++=+'-=.故选：A.3．（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4,M 是抛物线C 上一点，若()2,3A ，则MF MA +的最小值为（）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】D【解析】由焦点F 到其准线的距离为4,得4p =；设,M A 在准线:2l x =-上的射影为11,M A 如图,则MA MF +112+2=4MA MM AA =+≥=，当且仅当1,,A M A 共线时取得等号．所以所求最小值是4．故选：D ．4．（2023·浙江·校联考二模）已知直线1:3460l x y --=和直线2:2l y =-，拋物线24x y =上一动点P 到直线1l 直线2l 的距离之和的最小值是（）A ．2B ．3C ．115D ．3716【答案】B【解析】由题意可得：拋物线24x y =的焦点()0,1F ，准线:1l y =-，设动点P 直线12,,l l l 的距离分别为12,,d d d ，点F 到直线1l 的距离分别为32d =，则211d d PF =+=+，可得1213113d d d PF d +=++≥+=，当且仅当点P 在点F 到直线1l 的垂线上且P 在F 与1l 之间时，等号成立，动点P 到直线1l 直线2l 的距离之和的最小值是3.故选：B.考点三直线与抛物线的位置关系【例3-1】（2023广东深圳）设直线:1l y kx =+，抛物线2:4C y x =，当k 为何值时，l 与C 相切？相交？相离？【答案】当1k =时，l 与C 相切；当1k <时，l 与C 相交；当1k >时，l 与C 相离.【解析】：联立方程，得21,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩消去y 并整理，得22(24)10k x k x +-+=.当0k ≠时，方程22(24)10k x k x +-+=为一元二次方程.所以22(24)416(1)k k k ∆=--=-.当Δ0=，即1k =时，l 与C 相切；当0∆>，即1k <且0k ≠时，l 与C 相交；当Δ0<，即1k >时，l 与C 相离.当0k =时，直线l 的方程为1y =，显然与抛物线C 交于点1,14⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，当1k =时，l 与C 相切；当1k <时，l 与C 相交；当1k >时，l 与C 相离.【例3-2】（2023秋·高二课时练习）（多选）设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率可以是（）A ．2-B ．-1C ．1D ．2【答案】BC【解析】 抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，∴准线为2x =-，Q 点的坐标()2,0-，又直线l 过点Q ，且斜率必存在，∴可设l ：()2y k x =+，联立()228y k x y x⎧=+⎨=⎩，可得()22224240k x k x k ++=-，当0k =时，得0x =，即交点为()0,0，当0k ≠时，由0∆≥得，即()224162160k k --≥，解得，10k -≤<或01k <≤，综上，k 的取值范围是[]1,1-．故选：BC.【一隅三反】1．（2023·内蒙古呼和浩特）过点()0,6与抛物线224y x =只有一个交点的直线有（）条.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可知点()0,6在抛物线224y x =外故过点()0,6且与抛物线224y x =只有一个公共点时只能是：①过点()0,6且与抛物线224y x =相切，此时有两条直线；②过点()0,6且平行对称轴x 轴，此时有一条直线；则过点()0,6与抛物线224y x =只有一个交点的直线有3条.故选：C ．2．（2022·全国·高二专题练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【解析】直线()12y k x =-+过定点()1,2，∵2142<⨯，∴()1,2在抛物线24x y =内部，∴直线()12y k x =-+与抛物线24x y =相交，故选：A ．3．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知过点()0,1P 的直线l 与抛物线24y x =相交于不同的两点，k 为直线斜率，则k 的取值范围为.【答案】()(),00,1-∞⋃【解析】直线l 的方程为：1y kx =+，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，化为()222410k x k x +-+=，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的两点，0Δ0k ≠⎧∴⎨>⎩，即016160k k ≠⎧⎨-+>⎩，解得1k <，且0k ≠．∴斜率k 的取值范围是()(),00,1-∞⋃．故答案为：()(),00,1-∞⋃．4．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）写出一条过点()1,2A 且与抛物线C ：24y x =仅有一个公共点的直线方程：.【答案】2y =（或10x y -+=，答案不唯一）【解析】当l 平行于x 轴时，l 与C 只有一个公共点，此时方程为2y =；当l 与抛物线相切时，l 与C 只有一个公共点，设直线l 方程为1(2)x m y -=-，联立方程得24840y my m -+-=，由()()2448401m m m ∆=---=⇒=，此时直线l 的方程为10x y -+=.故答案为：2y =（或10x y -+=，答案不唯一）.考点四弦长【例4-1】（2023·陕西延安）已知抛物线C ：()220y px p =>的准线方程为=1x -．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线l ：1y x =-交抛物线C 于A 、B 两点，求弦长AB ．【答案】(1)24y x =(2)8【解析】（1）由抛物线C ：()220y px p =>的准线方程为=1x -，得12p=，2p ∴=．∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ，得2610x x -+=，则126x x +=，121=x x ．又 直线l 过抛物线C 的焦点，1228AB x x ∴=++=．【例4-2】（2023春·黑龙江·高二校联考开学考试）已知直线l 过抛物线C ：24y x =的的焦点且与C 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标3，则AB =．【答案】8【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12236x x +=⨯=，抛物线24y x =中24,2p p ==，所以121262822A p px x x x p B +++=++=+==．故答案为：8．【例4-3】（2023·陕西渭南）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，若8AB =，则2212y y +=（）A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】D【解析】由抛物线2:4C y x =可知2p =，由抛物线的定义可得121228AB x x p x x =++=++=，即126x x +=，又()()1122,,,A x y B x y 在抛物线2:4C y x =上，2211224,4y x y x ∴==，()222112442x y x y ∴+=+=.故选：D.【一隅三反】1．（2023春·上海长宁·高二校考期中）已知抛物线24y x =与过焦点的一条直线相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点M 的横坐标为32，则弦AB 的长||AB =【答案】5【解析】由题意抛物线焦点(1,0)F ，且直线AB 斜率不为0，设:1AB x ty =+，联立抛物线得2440y ty --=，0∆>，故4A B y y t +=，4A B y y =-，所以3()2232A B A B x x t y y +=++=⨯=，即214t =，则||||52A B AB y y =-===.故答案为：52．（2023秋·山西大同·高二统考期末）（多选）经过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则下列说法中正确的是（）A ．当AB 与x 轴垂直时，AB 最小B ．112AF BF p+=C ．以弦AB 为直径的圆与直线2px =-相离D ．212y y p=-【答案】ABD【解析】如图，设直线AB 为2p x my =+，联立22y px =，得222p y p my ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即2220y pmy p --=，所以122y y pm +=，212y y p =-，故D 正确，()121212222p pAB x x p my my p m y y p =++=++++=++，将122y y pm +=代入得222AB m p p =+，故当0m =时，AB 取得最小值2p ，此时直线AB 与x 轴垂直，故A 正确，()()122212121212211111122m y y p p p AF BF my p my p m y y mp y y p x x +++=+=+=+++++++，代入122y y pm +=，212y y p =-，得222211222m p p AF BF m p p p++==+，故B 正确，设AB 的中点为M ，则以弦AB 为直径的圆的圆心为M ，半径为2AB 分别过,,A B M 作抛物线的垂线，垂足分别为,,P Q S ,由抛物线的定义知AP AF =，BF BS =，则()()111222MQ AP BS AF BF AB =+=+=,故以弦AB 为直径的圆与直线2px =-相切，C 错误，故选：ABD3．（2023春·四川·高二统考期末）已知直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点.(1)若直线l 过点()4,1Q ，且倾斜角为45 ，求AB 的值；(2)若直线l 过点()4,1Q ，且弦AB 恰被Q 平分，求AB 所在直线的方程.【答案】(1)(2)4150x y --=【解析】（1）因直线l 的倾斜角为45 ，所以直线l 的斜率tan 451k == ，又因直线l 过点()4,1Q ，所以直线l 的方程为：14y x -=-，即3y x =-，联立28y x =得21490x x -+=，设(),A A A x y ，(),B B B x y ，所以14A B x x +=，9A B x x =，所以8A B =（2）因A 、B 在抛物线2:8C y x =上，所以28A A y x =，28B B y x =，两式相减得：2288A B A B y y x x -=-，得888422A B A B A B Q y y x x y y y -====-+，故直线l 的斜率为4，所以直线l 的方程为：()144y x -=-，即4150x y --=考点五抛物线有关的轨迹【例5】（2023秋·福建宁德·）已知圆F ：2211216x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与定直线l ：14x =-，动圆P 与圆F 外切且与直线l 相切，记动圆P 的圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为.【答案】22y x=【解析】设(),P x y ，动圆P 与圆F 外切且与直线l 相切，则有1144x =+，化简得22y x =.故曲线C 的方程为22y x =.故答案为：22y x =【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）在平面坐标系中，动点P 和点(3,0)(3,0)M N -、满足||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为．【答案】212y x=-【解析】由题意(6,0),(3,),(3,)MN MP x y NP x y ==+=-，由||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=得6(3)0x +-=，化简得212y x =-．故答案为：212y x =-．2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O 为坐标原点，()2,0F ，点A 是直线2x =-上一个动点，连接AF 并作AF 的垂直平分线l ，过点A 作y 轴的垂线交l 于点P ，则点P 的轨迹方程为．【答案】28y x=【解析】如图，由垂直平分线的性质可得PA PF =，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为()2,0F ，故4,28p p ==，点P 的轨迹方程为28y x =.故答案为：28y x=3．（2022·全国·高三专题练习）已知点(2,0)A ，,B C 在y 轴上，且4BC =，则ABC 外心的轨迹S 的方程；【答案】24y x=【解析】设ABC 外心为G ，且()G x y ,，(0,)B a ，(0,4)C a +，由G 点在BC 的垂直平分线上知2y a =+由22GA GB =，得2222(2)()x y x y a -+=+-故2222(2)2x y x -+=+即点G 的轨迹S 为：24y x =，故答案为：24y x =.考点六抛物线的实际应用【例6】（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm ，碗盖口直径为8cm ，碗体口直径为10cm ，碗体深6.25cm ，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8.25cm【答案】C【解析】以碗体的最低点为原点，向上方向为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．设碗体的抛物线方程为22x py =（0p >），将点()5,6.25代入，得252 6.25p =⨯，解得2p =，则24x y =，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h ()cm ，则两抛物线在第一象限的交点为()4,3h -，代入到24x y =，解得()2443h =-，解得7h =．故选：C 【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A ．27cm 4B ．9cm2C ．27cm 8D ．23cm 6【答案】C【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得A 的坐标为9,32⎛⎫⎪⎝⎭．设抛物线的标准方程为()220x py p =>，则8164p =，解得278p =．故该抛物线的焦点到准线的距离为27cm 8．故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是80cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离为（）A ．20cmB ．10cmC ．30cmD ．40cm【答案】B【解析】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示，由题意可得()40,40A .设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，于是240240p =⋅，解得20p =.所以抛物线的焦点到顶点的距离为102p=，即光源到反射镜顶点的距离为10cm .故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线2y ax =的一部分，其焦点坐标为()0,2-．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（）A ．18米B ．21米C ．24米D ．27米【答案】C【解析】依题意知，抛物线2y ax =，即21x y a=，因为抛物线的焦点坐标为()0,2-，所以124a =-，所以18a =-，所以抛物线方程为218y x =-，令18.2y =-，则2145.6144x =≈，解得12x ≈±，所以校门位于地面宽度最大约为24米.故选：C.。
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版选择性必修第一册)
(2)若直线 l：y＝(a＋1)x－1 与曲线 C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共
点，试求实数 a 的取值集合．
[思路探究] (1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方程代
入抛物线方程，转化为 Δ＝0 求解；不存在时显然满足题意．
(2) 将直线方程与抛物线方程联立 → 消去y后化为关于x的方程
练一练
1 .设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.
错解:由 y=mx2(m≠0)可知其准线方程为 y=- 4 .
由题意知- =-2,解得 m=8,
4
故所求抛物线的标准方程为y=8x2.
错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线
标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
斜角等于 60 ，那么 PF 等于（ C ）
8
A. 2 3
B. 4 3
C.
3
D.3
5.一条光线从抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点 F 射出，经抛物线上一点 B 反射后，反射光线经过点
∴ 1 +2 =8, 1 2=4
∴ =
1 + 2 ∙
1 + 2
2
− 41 2
= 1 + 12 ∙ 82 − 4 × 4 = 4 6.
随堂检测
1.已知抛物线 x 2 2 py ( p 0) 的准线经过点 (1, 1) ，则抛物线的焦点坐标为（ D ）
高二数学新教材选择性必修第一册3.3 抛物线(精讲)(解析版)
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线 C
:
y2
x
的焦点为
F
，
A(x0 ,
y0 )
是C
上一点， |
AF
|
5 4
x0
，
则 x0 （ ）
A．4
B．2
C．1
D．8
【答案】C
【解析】点
A
到抛物线的准线：
x
1 4
的距离为： d
x0
1 4
，利用抛物线的定义可得：
x0
1 4
5 4
x0 ，
求解关于实数 x0 的方程可得： x0 1.本题选择 C 选项.
A．3 【答案】B
B．4
C．5
D．6
【解析】
如图所示，利用抛物线的定义知： MP MF
当 M , A, P 三点共线时， MA MF 的值最小，且最小值为 CP r CP 1
抛物线的准线方程： y 1， C 1, 4
CP 4 1 5
本题正确选项： B
MA MF 5 1 4 min 考点二 抛物线的标准方程
点0 2 ，故选 D.
3．（2020·全国高二课时练习）已知点 M 是抛物线 x2 4 y 上的一动点， F 为抛物线的焦点， A 是圆 C ：
13 / 13
(x 1)2 ( y 4)2 1 上一动点，则| MA | | MF | 的最小值为（ ）
设交点的横坐标分别为
xA,xB,则
xA+xB=
8 k2
-4,①xA·xB=4.
又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,
B． 25 m 6
抛物线的简单几何性质课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
则
p
8 5
，故抛物线的标准方程为
y2
16 5
x
.
x2 2 py ，由 p 5 ，则 p 10 ，
2
故抛物线的标准方程为 x2 20 y .
反馈训练
1、求适合下列条件的抛物线的标准方程
（3）准线在 y 轴的右侧，顶点到准线的距离是4； （4）焦点F在 y 轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线.
标准方程 图像
性质
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
y l
x OF
y
l x
FO
范围 对称轴
x0
yR
x轴
x0 yR
顶点
(0, 0)
x2 2 py ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
F
O
x
y0
l
xR
yHale Waihona Puke lxOF
y0 xR
y轴
离心率
e 1
2、这些性质通过什么方法得到的？ 直观猜想，方程验证
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y
x
F1 O
F2
范围、对称性、 顶点、离心率
y
x
F1 O
F2
范围、对称性、 顶点、离心率、
渐近线
直观猜想 方程验证
问题：你认为我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性 质？
标准方程
图象
性质
研究方法
y2 2 px ( p 0)
l OF
范围、对称性、 直观猜想 x 顶点、离心率 方程验证
代入 x2 2 py ， p 16 ，
故抛物线的标准方程为 x2 32 y .
高中数学选择性必修一精讲精炼 抛物线(精讲)(教师含解析)(2)
3.3 抛物线(精讲)考法一 抛物线的定义及应用【例1】(1)(2021·全国)若点P 为抛物线2:2C y x =上的动点，F 为抛物线C 的焦点，则PF 的最小值为( ) A ．1B ．12C ．14D ．18(2)(2021·全国高二课时练习)已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A B ．2 C ．115D ．3(3)(2021·全国)已知点P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是()8,7，则PA PQ +的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】(1)D(2)B(3)C【解析】(1)由22y x =，得212x y =，∴122p =，则128p =，所以焦点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得PF 的最小值为18.故选：D ．(2)由题可知2:1l x =-是抛物线24y x =的准线，设抛物线的焦点为F ，则()1,0F ，所以动点P 到2l 的距离等于PF ，所以动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为焦点F 到直线1:4360l x y -+=的距离，所以其最小值是40625-+=，故选：B.(3)易知抛物线的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-.连接PF ，延长PQ 交准线于点M ，如图所示.根据抛物线的定义，知1PF PM PQ ==+.所以1119PA PQ PA PF AF +=+-≥-==，当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，所以PA PQ +的最小值为9. 故选：C. 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)若抛物线22(0)y px p =>上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M 的横坐标和p 的值分别为( ) A ．9，2 B ．1，18C ．9，2或1，18D ．9，18或1，2【答案】C【解析】因为点M 到对称轴的距离为6， 所以不妨设()0,6M x ． 因为点M 到准线的距离为10，所以20062102px px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得092x p =⎧⎨=⎩或0118x p =⎧⎨=⎩，故选：C ．2．(2021·全国)已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，F是抛物线C 的焦点，过M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若120MFO ∠=︒(O 为坐标原点)，MNF 的周长为12，则||NF =( )A ．4BC ．D ．5【答案】A【解析】因为120MFO ∠=︒， 所以60FMN ∠=︒. 又M 是抛物线C 上一点，所以||||FM MN =，则FMN 是等边三角形. 又FMN 的周长为12， 所以12||43NF ==， 故选：A3．(2021·全国高二课时练习)过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若33AF BF ==，则p =( )A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】C【解析】方法一：如图，分别过点A ，B 作准线l 的垂线1AA ，1BB ，垂足分别为1A ，1B ，过点B 作1BD AA ⊥于点D ，BD 交x 轴于点E ．由已知条件及抛物线的定义，得11BB BF ==，13AA AF ==，所以312AD =-=．在Rt ADB 中，因为AB 4=，2AD =，所以30ABD ∠=︒，所以1122EF BF ==，所以焦点F 到准线的距离为13122+=，即32p =．方法二：依题意，直线AB 不与x 轴垂直，设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将其代入抛物线C 的方程22y px =，得()22222204k p k x p k x -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2124p x x =．因为33AF BF ==，所以123322p p x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即132p x =-，212p x =-，所以231224p p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =．故选：C.考法二 抛物线的标准方程【例2】(1)(2021·全国高二课时练习)以x 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是( ) A ．28y x =B ．28y x =-C ．28y x =或28y x =-D ．28x y =或28x y(2)(2021·全国高二课时练习)已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 的纵坐标为-，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为( ) A ．216y x = B ．28y x =或24y x = C ．28y x =-D ．216y x =或28y x =(3)(2021·全国高二课时练习)在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为侧面11ABB A 所在平面上的一个动点，且点M 到平面11ADD A 的距离与到直线BC 的距离相等，则动点M 的轨迹为( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【答案】(1)C(2)D(3)D【解析】(1)依题意设抛物线方程为()220y px p =±>．因为焦点与原点之间的距离为2，所以22p=，所以28p =，所以抛物线方程为28y x =或28y x =-．故选：C ．(2)抛物线的准线方程是2px =-，而点M 到准线的距离为6∴点M 的横坐标是62p -，于是6,2p M ⎛-- ⎝代入22y px =，得32262p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得8p =或4p =，故该抛物线的标准方程为216y x =或28y x =．故答案选：D (3)正方体1111ABCD A B C D -中BC ⊥平面11ABB A ，∴MB 等于点M 直线BC 的距离. ∵平面11ADD A ⊥平面11ABB A ，∴点M 到平面11ADD A 的距离等于点M 到直线1AA 的距离. ∵点M 到平面11ADD A 的距离与到直线BC 的距离相等，∴MB 等于点M 到直线1AA 的距离. 根据抛物线的定义，可知动点M 的轨迹为抛物线. 故选：D.【一隅三反】1．(2021·全国)设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2，则抛物线C 的方程为( ) A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x = D ．22y x =或216y x =【答案】C【解析】抛物线C ：()220y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()00,M x y ，由抛物线的定义，知052p MF x =+=，得052p x =-，则以MF 为直径的圆的圆心横坐标为52，而圆的半径为52，于是得该圆与y 轴相切于点()0,2，得圆心的纵坐标为2，则点M 的纵坐标为4，即(5,4)2pM -， 从而有242(5)2p p =-，整理得210160p p -+=，解得2p =或8p =，所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故选：C2．(2021·全国高二课前预习)已知动圆M 与直线y ＝3相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12yC ．y 2＝12xD ．y 2＝－12x【答案】A【解析】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等. 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .3(2021·江西景德镇一中高二期中(文))抛物线2:2(0)C y px p =>上一点()01,M y 到焦点F 的距离为3，则p 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由抛物线的定义可知，0||2p MF x =+， ||3MF =， 132p∴+=，所以4p =，4．(多选)(2021·全国高二课前预习)(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－8x D ．x 2＝－8y【答案】AD【解析】当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .故选：AD考法三 直线与抛物线的位置关系【例3】(1)(2021·全国)过点(0,1)作直线，使它与抛物线22y x =仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条(2)(2021·全国高二课时练习)已知抛物线y 2＝4x ，直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为2，则直线AB 的斜率为( )A ．2B C D ．1【答案】(1)C(2)D【解析】(1)当直线的斜率不存在时，直线0x =符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为1y kx =+，由212y kx y x=+⎧⎨=⎩，得22(22)10k x k x +-+=． 当0k =时，符合题意；当0k ≠时，由0∆=，可得12k =， 即当12k =时，符合题意．综上，满足条件的直线有3条． 故选：C(2)设直线l 的方程为x ＝my +n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线l 与抛物线方程24x my ny x =+⎧⎨=⎩，化简可得，y 2﹣4my ﹣4n ＝0，由韦达定理可得，y 1+y 2＝4m ， ∵1222y y +=， ∴4m ＝4，即m ＝1， ∴直线l 的方程为y ＝x ﹣n ，故选：D 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)已知直线y kx k =-及抛物线22(0)y px p =>，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点【答案】C【解析】直线(1)y kx k k x =-=-，∴直线过定点(1,0)．∴当0k =时，直线0y =与抛物线有一个公共点，即顶点；当0k ≠时，点(1,0)在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点， 综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点. 故选：C .2(2021·全国)若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝x 只有一个公共点，则实数k 的值为( ) A ．18B ．0C ．18或0D ．8或0【答案】C【解析】由22y kx y x =+⎧⎨=⎩得ky 2－y ＋2＝0，若k ＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y ＝2； 若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，所以k ＝18.综上可知k ＝0或18.故选：C ．考法四 弦长【例4】(1)．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(理))已知直线:2l y x =-与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，则||AB 的长为( )A ．12B ．16C ．7D ．8(2)(2021·合肥艺术中学 高二期中(理))已知抛物线2:2(0)C y px p =>，直线l 过其焦点且与x 轴垂直，交C 于,A B 两点，若||10,AB P =为C 的准线上一点，则ABP △的面积为( )A ．20B ．25C ．30D ．50【答案】(1)B(2)B【解析】由抛物线2:8C y x =，可得其焦点坐标为(2,0)F ，准线方程为2x =-， 又由直线:2l y x =-，可得直线AB 过抛物线的焦点F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，根据抛物线的定义可得122,2AF x BF x =+=+ 所以124AB AF BF x x =+=++，又由228y x y x =-⎧⎨=⎩，整理得21240x x -+=，则1212x x +=，所以12412416AB x x =++=+=． 故选：B ．(2)抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭直线l 过其焦点且与x 轴垂直，交C 于,A B 两点，则:2pl x = 由222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得y p =±，故2AB p = 由210,AB p == 即5p =所以抛物线2:10C y x =，其准线方程为：52x =-P 为C 的准线上一点，所以P 到直线5:2l x =-的距离为：5 则15252ABPSAB =⨯⨯=故选；B 【一隅三反】1．(2021·梁河县第一中学高二月考(文))已知抛物线()220y px p =>的准线方程为1x =-，直线:1l y x =-交抛物线于A 、B 两点，则弦长AB =______. 【答案】8【解析】因为抛物线()220y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p=，解得2p =， 所以抛物线方程为24y x =，所以抛物线的焦点坐标为()1,0F ，所以直线:1l y x =-过焦点，联立 214y x y x =-⎧⎨=⎩，消去y 得 2610x x -+=，则 126x x +=，所以12628AB x x p =++=+=，故答案为：82．(2021·南昌市新建区第一中学高二开学考试(理))过点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与抛物线22y x =交于AB 、两点，(2,0)C ，则△ABC 面积的最小值为_______________.【答案】32【解析】设直线l 的方程为：12x ty =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程2122x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得：2210y ty --=， 122y y t ∴+=，121y y =-，12113322244ABCSy y ⎛⎫∴=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭∴当0t =时，ABCS的值取到最小值，最小值为32，故答案为：32．考法五 综合运用【例5】(2021·全国)已知抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，点(,)()P m n m p >在抛物线T 上，且FOP △(O 为坐标原点)的外接圆圆心到准线的距离为34．(1)求抛物线T 的方程；(2)若直线PF 与抛物线T 交于另一点A ，证明：MP MA k k +为定值；(3)过点P 作圆22:(1)1G x y -+=的两条切线，与y 轴分别交于D ，E 两点，求PDE △面积取得最小值时对应的m 的值．【答案】(1)22y x =；(2)证明见解析 ；(3) 4m =． 【解析】(1)抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线:2pl x =-．由FOP △的外接圆圆心在OF 的垂直平分线上，得圆心的横坐标为4p ． 由FOP △的外接圆圆心到准线的距离为34，得3424p p +=，解得1p =．∴抛物线T 的方程为22y x =．(2)由(1)得1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设21,2A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线1:2PF x sy =+， 联立2212y x x sy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得2210y sy --=， 2n t s ∴+=，1nt =-． 又21,2P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2211112222MP MA n t k k n t +=+++． 上式通分后得分子为11()()022n t nt n t s s +++=-=， 故0MP MA k k +=，为定值．(3)如图，记两个切点分别为B ，C ．连接BG ，PG ，DG ，EG ．由题意，得21||2PB n ===． 由切线长定理，知||||PB PC =，||||EO EC =，||||DO DB =，2211||||224PDE n S DE n DE ∴=⨯=△， 又PDE DPG PEG DEG S S S S =++△△△△，111||1||1||1222DP EP DE =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， 1(||||||||||||)2DB BP EC CP DO OE =+++++， 1(2||2||2||)2DO EO PB =++||||DE PB =+21||2DE n =+， 解得222||4n DE n =-，()42221116148(248)824242PDE n S n n n ⎡⎤∴=⨯=-++≥⨯⨯+=⎢⎥--⎣⎦△， 当且仅当244n -=，即n =± 此时2142m n ==． 故当PDE △面积取得最小值时，4m =．【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线10x y +-=与抛物线交于A ，B两点，且AB =． (1)求抛物线的标准方程．(2)在x 轴上是否存在一点，使ABC 为正三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2411y x =；(2)不存在，理由见解析. 【解析】(1)由题意，设所求抛物线的标准方程为()220y px p =>．由2210y px x y ⎧=⎨+-=⎩，消去y ，得()22110x p x -++=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1221x x p +=+，121=x x ． 由AB =， 得2121242480p p +-=，解得211p =或2411p =-(舍去)， ∴抛物线的标准方程为2411y x =． (2)设AB 的中点为点D ，则132,1111D ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 假设在x 轴上存在满足条件的点()0,0C x ，连接CD ．∵ABC 为正三角形， ∴CD AB ⊥，即()020********x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⋅-=--， 解得01511x =，∴15,011C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴CD ==．又CD ==≠ ∴在x 轴上不存在一点C ，使ABC 为正三角形．2．(2021·全国高二课时练习)已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF=(O 为坐标原点)．(1)求C 的方程；(2)若,A B 是C 上的两个动点，且,A B 两点的横坐标之和为8．(ⅰ)设线段AB 的中垂线为l ，证明：l 恒过定点．(ⅱ)设(ⅰ)中定点为D ，当AB 取最大值时，且P ，D 位于直线AB 两侧时，求四边形PADB 的面积．【答案】(1)24y x =；(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ).【解析】(1)由抛物线的性质得0t >， 所以根据抛物线的定义得：22242p p t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩， 所以C 的标准方程为24y x =．(2)设()()1122,,,A x y B x y ，且128x x +=．(ⅰ)证明：设AB 中点为(),E m n ，则1242x x m +==，122y y n +=， 当12x x =时，0l y =：；当12x x ≠时，2121222121214()42AB y y y y k x x y y y y n --====--+， 则2l n k =-，:(4)2n l y n x -=--， 令0y =，得6x =，故直线过定点()6,0综上，l 恒过定点()6,0．(ⅱ)由(ⅰ)知直线2:(4)AB y n x n -=-，即()42n x y n =-+， 所以直线AB 与抛物线24y x =联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=，由0∆>，得21216,2n y y n +<=，212216y y n =-，2212416|||102n n AB y y ++--=，当且仅当26n =时等号成立，所以AB 的最大值为10，此时直线AB 的方程为:220AB x ±-=．对于直线220x -=，(2602)21(2)20⎡⎤⨯-⨯-->⎣⎦，所以点,P D 在同侧，不合题意，对于直线220x +-=，满足P ，D 位于直线AB 两侧，所以直线:220AB x -=，点P 到直线AB 的距离1d =，点D 到直线AB 的距离2d所以()1212PADB S AB d d =⋅+=3．(2021·全国高二专题练习)已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，Q 1(2在抛物线C 上，且|QF |=32. (1)求抛物线C 的方程及t 的值；(2)若过点M (0，t )的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且3AOB MON SS =，求直线l 的方程.【答案】(1)y 2=4x ，2；(2)2y x =-+或123=+y x .【解析】(1)因抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，则其准线为：2p x =-，又Q 1(2在抛物线C 上， 由抛物线定义知：13()222Q p F =--=，解得p =2，即抛物线C 的方程为y 2=4x ，将Q 1(2的坐标代入y 2=4x ，得t =2， 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ，t 的值是2；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，由(1)知M (0，2)，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：y =kx +2(k ≠0)，由242y x y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得k 2x 2-4(1-k )x +4=0，显然，k ≠0，2216(1)1616(12)0k k k ∆=--=->，解得12k <，且0k ≠，于是得1212224(1)4,k x x x x k k -+==，而3AOB MON S S =，且点A ，B ，M ，N 都在直线l 上，从而得||3||AB MN ，120|0|x x x --，又N 是AB 的中点，即x 0=122x x +，从而得1212|||x x x x -=+，即221212123()4()4x x x x x x +-=+，整理得21212()16x x x x +=， 因此有2224(1)64[]k k k -=，解得1k =-或13k =，均满足题意， 所以直线l 的方程为2y x =-+或123=+y x .。
高二数学人教A版选择性必修第一册教学课件：3.3.2抛物线的简单几何性质
5. 已知直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F ，且与抛物线相交于 A ，B 两点.
（1）若 | AF | 4 ，求点 A 的坐标；
（2）求线段 AB 长的最小值.
解析：（1）（1）由 y 2 4 x 得 p 2 ，其准线方程为 x 1 ，焦点 F (1,0) .
设 A x1 , y1 , B x2 , y2 .
p
解：由题意可知， p 2 ， 1 ，焦点 F 的坐标为 (1，
0) ，准线方程为 x 1 .
2
如图，设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 ) ，A ，B 两点到准线的距离分别为 d A ，d B .
由抛物线的定义，可知 | AF | d A x1 1，
| BF | d B x2 1 ，
所以可设它的标准方程为 y 2 2 px( p 0) .
因为点 M 在抛物线上，所以 (2 2) 2 2 p 2 ，解得 p 2 .
因此，所求抛物线的标准方程是 y 2 4 x .
例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦点 F，且与抛物线相交
于 A，B 两点，求线段 AB 的长.
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标：
1. 理解抛物线的简单几何性质；
2. 能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题.
教学重点：
抛物线的几何性质.
教学难点：
抛物线几何性质的应用.
类比椭圆、双曲线的几何性质，来研究抛物线 y 2 2 px( p 0) 的几何
于是 | AB | | AF | | BF | x1 x2 2 .
新教材人教a版选择性必修第一册332抛物线简单几何性质课件
【解析】设点 M
y2 2
,
y
，∵|MO|=
3
，∴
y2 2
2
0
y
02
3 ∴y2=2
或
y2=-6（舍去），∴x=
y2 2
=1
∴M
到抛物线
y2=2x
的准线
x=-
1 2
的距离
A.12
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
斜角等于 60，那么 PF 等于（ C ）
A. 2 3
B. 4 3
C. 8 3
D.3
5.一条光线从抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 射出，经抛物线上一点 B 反射后，反射光线经过点 A(5, 4) ，若| AB | | FB | 6 ，则抛物线的标准方程为__________.
探究新知 四种抛物线的几何性质的对比
图形
方程
焦点
准线
范围
顶点
对称轴
e
y2 = 2px （p>0）
F ( p ,0) 2
x p 2
y2 = -2px （p>0）
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x2 = 2py （p>0）
F (0, p ) 2
y p 2
y≥0 x∈R
(0,0)
探究新知
5.焦半径 连接焦点与抛物线上的点的线段叫做抛物线的焦半径.
y
P (x0, y0)
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质(第一课时)课件-
关于x轴对称
关于y轴对称
(0,0)
e=1
6 0
° 巩固练习
1.如图，M是抛物线y2=4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为 始边、FM为终边的角∠xFM=60°，求直线MF被抛物线所截得的 线段MN的长。
巩固练习
练习 12.【2020 年山东卷 13】斜率为 3 的直线过抛物线 C： y2 4x 的焦点，且 与 C 交于 A ， B 两点，则 AB =________．
3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第1课时）
研究抛物线的几何性质
类比椭圆、双曲线的研究思路，采用直观猜想、再用方程验证的方法，分别对 抛物线的范围、对称性、顶点以及离心率进行研究。
以焦点在x轴的正半轴的抛物线y2=2px(p>0)为例，进行研究：
研究抛物线的几何性质
3.顶点 定义：抛物线与它的轴的交点叫做
3.(2020年高考数学课标I卷理科)已知A为抛物线C：y2=2px (p>0)上一点，点A到C的
焦点距离为12，到y轴的距离为9，则 p =
作业布置
• 全优小本3.3.2 A级必做，B级选做
抛物线的顶点.
∴ y2 =2px(p>0)中，令y=0，则x=0.
即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点(0,0).
y
OF
x
l
抛
方程
物
线
的
图形
简
单Байду номын сангаас
几
何
范围
性 对称性 质
顶点
离心率
y2 = 2px
y
l OF x
y2 = -2px
y
l
FO
x
x2 = 2py
第05讲 抛物线-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版)
第05讲抛物线【考点目录】【知识梳理】知识点1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．知识点2抛物线的标准方程和几何性质焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2．p的几何意义：焦点F到准线l的距离．标准方程y 2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形顶点O(0,0)知识点3 直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km －p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．知识点4 弦长问题过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α (α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .考点一 抛物线的标准方程（一）求抛物线的标准方程1．（2022春·北京海淀·高二校考阶段练习）抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（ ） A ．26y x =B ．23y x =C ．26x y =D ．23x y =2．（2022春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线45100x y -+=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．210x y =或28y x =- B ．210x y =-或28y x = C ．210y x =或28x yD ．210y x =-或28x y =3．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =（二）抛物线的几何性质的应用【考点剖析】4．（2022·全国·高二假期作业）抛物线26y x =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．112y =-C ．y =-6D ．=3y -5．（2022春·山东临沂·高二临沂第四中学校考阶段练习）若抛物线22y px =的焦点与双曲线221x y -=的右焦点重合，则p =（ ）A ．2B ．4C ．D 6．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知圆22:(1)1C x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =（ ）A ．18B ．14C ．8D ．27．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线()2:0C x ay a =≠，则抛物线C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04a ⎛⎫± ⎪⎝⎭C ．()0,4aD ．()0,4a ±8．（2022春·江苏泰州·高二统考期中）若抛物线2y mx =上一点(),2t 到其焦点的距离等于4，则（ ） A ．14m =B ．18m =C ．4m =D ．8m =9．（2022秋·湖北咸宁·高二统考期末）已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2考点二 抛物线定义的应用（一）利用抛物线的定义求距离或点的坐标10．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末）抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（ ）A．B ．C D ．211．（2022·高二单元测试）已知曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离比点P 到直线3x =-的距离小1，M ，N 是曲线C 上不同的两点，若10MF NF +=，则线段MN 的中点Q 到y 轴的距离为（ ）12．（2022·高二课时练习）若()00,P x y 是抛物线232y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，则PF =（ ）． A ．08x +B ．08x -C ．08x -D ．016x +13．（2022·高二课时练习）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．514．（2022秋·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期中）已知A ()4,2-，F 为抛物线28y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．(1,-C ．()2,2-D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭15．（2022春·湖北武汉·高二华中师大一附中阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||3||3MA AB ==，则p =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．416．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期末）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，准线与对称轴交于点M ，若3BC BF=，且3AF =，则p 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（二）与抛物线定义有关的最大(小)值问题17．（2022·高二单元测试）已知圆C 经过点()1,0P ，且与直线=1x -相切，则其圆心到直线30x y -+=距离的最小值为（ ）18．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知抛物线C ：212y x =-的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，()4,2Q -，则PF PQ +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．819．（2022秋·江西赣州·高二校联考期中）已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1020．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）设点P 是抛物线1C :24x y =上的动点,点M 是圆2C :22(5)(4)4x y -++=上的动点,d 是点P 到直线=2y -的距离,则||d PM +的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．D ．121．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．3716B ．115C ．2D ．74考点三 抛物线的轨迹问题22．（2022·高二课时练习）已知点(2,2)M ，直线:10l x y --=，若动点P 到l 的距离等于PM ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．直线23．（2022春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知圆22:1O x y +=，点00(,0),(0)A x x ≥，动圆M 经过点A 且与圆O 相切，记动圆圆心M 的轨迹为E ，有下列几个命题：①00x =，则轨迹E 表示圆，②001x <<，则轨迹E 表示椭圆，③01x =，则轨迹E 表示抛物线，④01x >，则轨迹E 表示双曲线，其中，真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．424．（2022秋·福建福州·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（ ） A ．22y x = B ．24y x = C ．24y x =-D ．28y x =-25．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知点()1,0F ，过直线=1x -上一动点P 作与y 轴垂直的直线，与线段PF 的中垂线交于点Q ，则Q 点的轨迹方程为（ ） A ．221x y +=B ．221x y -=C ．22y x =D ．24y x =26．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋ 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．212x y =-B ．212x y =C ．212y x =D ．212y x =-27．（2022·高二课时练习）若动点(,)M x y 满足3412x y =-+，则点M 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线考点四 直线与抛物线的位置关系（一）直线与抛物线位置关系的判断及应用28．（2022春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）过定点()0,1P 且与抛物线28y x =有且仅有一个公共点的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条29．（2022·高二课时练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定30．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知直线l 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点，则直线l 的方程是（ ） A ．2y = B ．10x y -+= C ．1x =D ．2y =或10x y -+=31．（2022春·江苏南京·高二校联考阶段练习）过抛物线24x y =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，且点A 在第一象限，则当2AF FB =时，直线AB 的斜率为（ ）A B ．4±C ．D ．±32．（2022春·江苏连云港·高二校考期中）过抛物线2:C y x =上定点(P 作圆()22:21M x y -+=的两条切线，分别交抛物线C 于另外两点A 、B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．10x -+=B ．10x ++=C ．20x -+=D ．20x ++=33．（2022秋·安徽·高二校联考期末）已知抛物线2:12C x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为A ，点B 为抛物线上一动点，当AB FB取得最大值时，直线AB 的倾斜角为（ ）A ．4πB ．3π C ．6π或56π D ．4π或34π（二）弦长问题34．（2022春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB =（ ）．A ．8B ．C ．16D ．3235．（2022春·湖北·高二校联考阶段练习）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线22y x =，若从点()3,2Q 发射平行于x 轴的光射向抛物线的A 点，经A 点反射后交抛物线于B 点，则AB =（ ） A ．258B ．2516C ．259D ．251836．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆22154x y +=的右焦点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于A ，B （A 在x 轴上方）两点，则AF BF 的值为（ ）A ．3+B ．2+C ．3D ．437．（2022·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学学业考试）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（ ）A ．94B C ．98D 38．（2022春·河南·高二校联考期中）已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若||2||MN NF =，则MPF △的面积为（ ）A ．8B ．12C ．D ．39．（2022秋·河南许昌·高二统考期末）已知直线l 过点()2,0，且垂直于x 轴．若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为 ） A ．()1,0B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,140．（2022秋·河南·高二校联考开学考试）已知A ，B 为抛物线2:C y x =，上的两点，且2AB =，则AB 的中点横坐标的最小值为（ ）． A ．14B ．12C ．34D ．141．（2022秋·广东深圳·高二深圳市罗湖外语学校校考阶段练习）已知圆()2220x y r r +=>与抛物线23y x=相交于M ，N ，且MN =r =（ ）A B ．2 C ．D ．4（三）焦点弦问题42．（2022春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）设F 为抛物线2:2C y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上，满足//MN OF ，NF MN =，则MF =（ ）A ．12B C ．2 D 43．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若2MN NF =，则直线PF 的斜率为（ ） A．1B ．2C ．43D44．（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知直线l 过抛物线2:4E y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C 点，若2AB BC =，则||||AF BF 等于（ ） A ．2B ．3C ．12D ．1345．（2022春·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）设倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A 、B 两点，设A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若2AFBF=，则cos α的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D（四）中点弦问题46．（2022春·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）若抛物线24y x =的弦AB 中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB的斜率为（ ） A ．－4B ．4C ．－2D ．247．（2022春·江西·高二校联考期中）已知抛物线2:6C y x =，过点()1,1P 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点.若PA PB =，则直线l 的斜率是（ ） A ．3B ．3-C ．13D ．13-48．（2022·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，若A 、B 为抛物线上两点，且线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ．当8AF BF +=，6OM =时，抛物线的方程为（ ）．A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =49．（2022春·四川成都·高二校考阶段练习）已知抛物线()220x py p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．=3y - B ．32y =-C ．3x =-D ．32x =-考点五 抛物线中的参数范围及最值问题50．（2022春·安徽宿州·高二校联考期末）抛物线24y x =上一点P 到直线3yx 距离的最小值为（ ）AB C D 51．（2022·高二单元测试）已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆()221:3x C y -+=上，则PQ 的最小值为（ ）A 1B 2C D 52．（2022·高二单元测试）已知点（x ，y ）在抛物线y 2=4x 上，则22132z x y =++的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．053．（2022·高二单元测试）已知过点()2,0的直线与抛物线22y x =相交于P ，Q 两点，点()2,2A -，若直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k ⋅的取值范围是（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦考点六 抛物线的定值、定点问题54．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，点(),1N t 在抛物线C 上，且32NF =． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点()0,1M 且斜率存在的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ，设O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．55．（2022·全国·高二假期作业）已知点()0,2A x -在抛物线2:2(0)C y px p =>上，且A 到C 的焦点F 的距离与到x 轴的距离之差为12. (1)求C 的方程；(2)当2p <时，,M N 是C 上不同于点A 的两个动点，且直线,AM AN 的斜率之积为2,,AD MN D -⊥为垂足.证明：存在定点E ，使得DE 为定值.56．（2022春·黑龙江·高二黑龙江实验中学校考期中）已知抛物线E ：22(0)x py p =>上一点(),1M t 到焦点F 的距离为2，(1)求抛物线E 的方程；(2)若M 在第一象限，不过M 的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，且直线MA ，M B 的斜率之积为1，证明：直线l 过定点．57．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为1． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点(),1P t 是该抛物线上一定点，过点P 作圆222:(2)O x y r -+=（其中01r <<）的两条切线分别交抛物线C 于点,A B ，连接AB ．探究：直线AB 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．考点七 抛物线的综合问题58．【多选】（2022春·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知抛物线C:()220y px p =>的焦点()1,0F ，过()8,0G 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则以下说法正确．．的是（ ） A ．OA OB k k 为定值 B ．AB 中点的轨迹方程为2216y x =- C ．AF BF +最小值为16D ．O 在以AB 为直径的圆外59．【多选】（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，点P 在l 上的射影为1P ，则下列说法正确的是（ ） A ．若126x x +=，则8PQ = B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则12PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条60．【多选】（2022春·浙江·高二慈溪中学校联考阶段练习）已知O 为坐标原点，过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于,A B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．F 的坐标是()2,0B ．若点()5,3Q ，则AQF 周长的最小值是11C ．AOB ∠可能为锐角D ．4AF BF +的最小值是961．【多选】（2022春·山东菏泽·高二校考期末）过抛物线2:2C y px =上一点A (1，-4)作两条相互垂直的直线，与C 的另外两个交点分别为M ，N ，则（ ） A ．C 的准线方程是4x =- B ．过C 的焦点的最短弦长为8 C ．直线MN 过定点(0，4)D ．当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为2380x y +-=一、单选题1．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）()2,2M 是抛物线()220y px p =>上一点，F 是抛物线的焦点，则MF =（ ） A ．52B ．3C ．72D ．42．（2022秋·陕西安康·高二校联考期末）已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）【过关检测】A ．2B ．C ．4D ．3．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知抛物线C 的焦点是直线2360x y -+=与坐标轴的一个交点，则抛物线C 的标准方程是（ ） A ．22=1x yB ．2=12x y -C ．212y x =D ．212y x =-4．（2022春·安徽宿州·高二校联考期末）已知函数抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线C 上，直线PF 交x 轴于点Q ，若3PF FQ = ，则点P 到焦点F 的距离为（ ） A ．5B ．3C ．4D ．65．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该拋物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ +的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、多选题6．（2022春·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期末）直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，连接点A 和坐标原点O 的直线交抛物线准线于点D ，则（ ）． A ．F 坐标为()2,0 B ．AB 最小值为4C ．DB 一定平行于x 轴D ．AOB 可能为直角三角形7．（2022春·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知抛物线22y x =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12 D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58三、填空题8．（2022秋·上海闵行·高二校考期末）过抛物线24y x =的焦点且斜率为2的直线与抛物线交于,A B 两点，则线段AB 长为___．9．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学期末）抛物线2:12C y x =-的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点(5,2)A -，则PA PF +的最小值为___________.10．（2022春·安徽蚌埠·高二统考期末）抛物线2y ax =的准线方程是1y =，则实数=a ___________.11．（2022春·陕西渭南·高二期末）已知抛物线24x y =-的准线经过椭圆()222104x y b b+=>的焦点，则b =____________．四、解答题12．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点(2,1)P 在抛物线C 上.(1)求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，且线段AB 的中点为(2,3)M ，求直线l 的方程及||AB . 13．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在抛物线C 上，且M 到F 的距离是M 到y 轴距离的3倍. (1)求M 的坐标；(2)求直线MF 被抛物线C 所截线段的长度.14．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）设抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，过点F 的直线1l 交抛物线C 于,A B 两点，且8AB =，线段AB 的中点到y 轴的距离为3.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线2:l y kx m =+与圆221:2O x y +=和抛物线C 均相切，求实数m 的值.15．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期末）已知抛物线()2:20C y px p =>，点()2,4P 在抛物线C 上.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线:l y x m =+与抛物线交于不同两点,P Q ，若以线段PQ 为直径的圆过原点，求m 的值. 16．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(3,)P m 到焦点F 的距离为4.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ,O 为坐标原点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.。
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3.3 抛物线考点一 抛物线的定义【例1】（2020·天津河西.高二期末）已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A．B．C．D．【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．82．（2020·全国高二课时练习）若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．12B C ．1 D ．23．（2020·全国高二课时练习）已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6考点二 抛物线的标准方程【例2】（2020·全国高二课时练习）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x = 【一隅三反】1．（2020·内蒙古青山。
北重三中高二期中（理））抛物线2y ax =的焦点是直线x y 10+-=与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )A ．1x 4=-B ．x 1=-C ．1y 4=-D ．y 1=-2．（2020·四川射洪中学高二期中（文））位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2512m B ．256m C ．95m D ．185m 3．（2020·江西高二期末（理））抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，2AF p =,则p =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1考点三 直线与抛物线的位置关系【例3】（2020·安徽高二期末（文））已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=( )A ．13B．3C ．23D．3【一隅三反】1．（2019·四川阆中中学高二月考（文））已知直线1y kx =-与抛物线28x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率为（ ） ABCD2．（2019·辽宁鞍山.高二期中（理））若直线20x y c -+=是抛物线24x y =的一条切线，则c =__________．3．（2020·上海市东昌中学北校高二期末）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）条件． A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要D．既非充分又非必要考点四 弦长【例3】（1）（2019·伊美区第二中学高二期末（理））设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ） A．3B ．6C ．12 D．（2）（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A．4B．8C ．6332D ．94【一隅三反】1．（2020·四川双流.棠湖中学（文））已知直线280x my +-=经过抛物线24x y =的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）AB ．2C ．4D ．12．（2020·江西赣州.高二月考（理））抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线22221y x -=的一个焦点，过F 且倾斜角为60︒的直线l 交C 于,A B ，则||AB =（ ）A ．23+ B ．2 C ．163D ．163．（2019·陕西汉台。
高二期末（理））已知点A ，B 是抛物线C ：24y x =上的两点，且线段AB 过抛物线C 的焦点F ，若AB 的中点到y 轴的距离为2，则AB =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8考点五 定点定值【例5】（2019·临泽县第一中学高二期末（文））已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过其焦点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若不过原点O 且斜率存在的直线l 与抛物线C 相交于D 、E 两点，且OD OE ⊥.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 【一隅三反】1．（2020·广西崇左.高二期末（理））如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2．（2019·陕西新城.西安中学高二月考（文））已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F和椭圆22143x y +=的右焦点重合,直线过点F 交抛物线于A 、B 两点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线交y 轴于点M,且,MA mAF MB nBF ==,m 、n 是实数,对于直线,m+n 是否为定值? 若是,求出m+n 的值；否则,说明理由.3.2.2 双曲线【题组一 双曲线的离心率】1．（2020·全国）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：2x a =与C交于M ，N 两点.若22MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．22B ．12C ．2D【答案】A【解析】联立22221,2,x y a b x a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩解得y =，不妨设(2)M a ，(2,)N a ， 而2(,0)F c ，则220MF NF ⋅=， 即(2)(2)0c a c a -⋅-=， 即2224430c a ac b +--=，整理可得22470c c a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得22c e a ==. 故选：A.2．（2020·四川青羊.树德中学）设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．2【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的对称性可知四边形MF 2PF 1为平行四边形． ∴121,//MF PF MF PN =．设2||PF m =，则2||3MF m =，∴2122a MF MF m =-=，即12,3MF a MF a ==．∵21260,60MF N F MF ︒︒∠=∴∠=，又122F F c =，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，即2222747,4c c a a =∴=，∴双曲线的离心率e c a ==． 故选D ．3．（2019·甘肃省会宁县第二中学高二期末）已知双曲线2212x y a a -=-与椭圆2215x y +=的焦点相同，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．43C ．2D ．3【答案】A【解析】椭圆2215x y +=的焦点坐标为()2,0，()2,0-，所以42a a =+-，解得3a =，所以双曲线方程为2213x y -=，离心率e ==，故选：A. 4．（2020·赤峰二中）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两焦点分别为12,F F ，P 是双曲线右支上一点，且三角形2OPF 为正三角形(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率是（ ）A B 1C D ．2【答案】B【解析】依题意，三角形2OPF 为正三角形，则22OP OF PF c ===，连接1PF可得1=PF ，又122PF PF a -=2c a -=，所以1c e a === 故选：B5．（2020·北京高二期中）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y ＝2x ，那么该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由于双曲线的渐近线为2y x =，所以2ba=，所以c e a ====== 故选：D6．（2020·广西兴宁）设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，当过点F 且斜率为-3的直线l 与渐近线by x a=-平行时. 直线l 只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线by x a =-的斜率满足3b a -<-，即3b a>时， 直线l 与双曲线左、右支均相交，所以22223910b a b a c a e >⇒>⇒>⇒> 故选:C.8．（2020·东湖江西师大附中高三月考（理）22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．D ．)+∞【答案】B22221x y a b-=恒有两个公共点，所以b a >2c e a ==> 所以双曲线离心率的取值范围是(2,)+∞ 故选：B【题组二 直线与双曲线的位置关系】1．（2019·安徽黄山）已知双曲线221169x y -=的左焦点为1F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则l 斜率的取值范围为（ ）A ．44(,)33-B ．33(,)(,)44-∞-+∞ C ．33(,)44-D ．44(,)(,)33-∞-+∞【答案】B【解析】双曲线的渐近线为34y x ，当直线l 与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线l 斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率34k >；当直线l 斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率34k <-.故选B. 2．（2018·河北张家口.高二月考（文））已知双曲线2221y x b-=，直线2y kx =+与双曲线的左右两支各有一个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(1,1)-C ．(,(2,)-∞+∞D ．(【答案】B【解析】双曲线2221y x b-=1,ca a∴==可得 1c b ===, ∴双曲线221x y -=,直线2y kx =+与双曲线联立可得()221450k x kx ---=,直线2y kx =+与双曲线的左右两支各有一个交点,22100501k k ⎧⎪-≠⎪∴∆>⎨⎪⎪<-⎩,11k ∴-<<,即k 的取值范围是()1,1-，故选B.3．（2020·江西东湖.南昌十中高二月考）若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【解析】当直线斜率存在时，设直线L ：y=k （x -3），代入双曲线方程化简得（4-9k 2）x 2+54k 2x -81k 2-36=0 要使L 与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等， ∴4-9k 2=0，或△=0（不成立），解得k=±23当直线斜率不存在时，直线为x=3，此时与双曲线也只有一个公共点， 故这样的直线有3条， 故选C4．（2020·定远县民族学校高二月考（理））直线:l y kx =与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是（ ）A ．(0,1) B．(C ．(1,1)-D ．[1,1]-【答案】C 【解析】由双曲线22:2C x y -=与直线:l y kx =联立可()22120kx--= ，因为直线:l y kx =与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，所以()2210810k k ⎧-≠⎪⎨->⎪⎩ 可得11k -<< ，斜率k 的取值范围是()1,1-，故选C.【题组三 弦长】1．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为个焦点的坐标为(0). （1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线l 交双曲线C 交于,A B 两点，且4AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）；（2）21023y x =+或21023y x =-. 【解析】（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道，；（2）设直线方程，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式，求出直线方程.试题解析：（1）由2a =，得a =c =∴2222b c a =-=，∴双曲线C 的方程为22132x y -=.（2）设直线l 的方程为2y x m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由222{132y x mx y =+-=，得2210123(2)0x mx m +++=， ∴224(10)0m ∆=->，得m >∴弦长4AB ==，解得m =±， ∴直线l 的方程为21023y x =+或21023y x =-.2．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））过双曲线221x y -=的右焦点F 作倾斜角为60︒的直线l ，交双曲线于A 、B 两点， （1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求|AB |. 【答案】（1）e =y x =±（2）|AB |【解析】（1）因为双曲线方程为221x y -=,所以1a b ==,则c == 所以ce a==渐近线方程为y x =± （2）由（1）,右焦点为),则设直线l 为y x =,代入双曲线221x y -=中,化简可得2270x +-=,所以1232x x ,1272x x ⋅=-,所以21AB x =-==3．（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=0y -=，点是双曲线的一个顶点. （1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线的右焦点2F 作倾斜角为30°的直线l ，且与双曲线交于A ，B 两点求AB 的长.【答案】（1）22136x y -=（2【解析】（1）因为双曲线C 的一条渐近线方程为y=，所以ba=222b a =. 又点是双曲线的一个顶点，∴a =26b =，∴双曲线的方程为22136x y -=（2）由（1）知，双曲线22136x y -=的右焦点为2(3,0)F ，∴经过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为30°的直线l的方程为3)y x =-，联立直线与双曲线方程221363)x y y x -⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩，消y 得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-，所以||AB ==4．（2020·盘县红果镇育才学校高三月考（文））已知双曲线C)点，过双曲线C 的右焦点2F ，做倾斜角为3π的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，1F 为左焦点. （1）求双曲线的标准方程；（2）求AOB 的面积.【答案】（1）22136x y -=；（2）36AOB S =△. 【解析】（1）过点，所以a ===ce a3c =，又222+=a b c，所以b ， 所以双曲线的方程为22136x y -=.（2）结合题意可得直线AB的方程为3)y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y，联立方程223)136y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得218330x x -+=.∴1218x x +=，1233x x -=，∴12||AB x =-==直线AB0y --=. ∴原点O 到直线AB的距离为2d ==，∴11||3622AOB S AB d =⋅=⨯=△. 【题组四 点差法】1．（2019·新疆生产建设兵团第五师高级中学高二月考（文））已知双曲线中心在原点且一个焦点为)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，MN 中点横坐标为23-，则此双曲线的方程是______. 【答案】22125x y -=【解析】设点()11,M x y 、()22,N x y ， 由题意可得12223x x +=-，1243x x ∴+=-，()12121023y y x x +=+-=-，直线MN 的斜率为12121MN y y k x x -==-，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b ---=，所以()()()()22212121222212121252y y y y y y b a x x x x x x -+-===--+，由于双曲线的一个焦点为)F，则227a b +=，22a ∴=，25b =，因此，该双曲线的标准方程为22125x y -=.故答案为：22125x y -=.2．（2020·平罗中学高二月考（理））点()1,2P 是曲线C ：2214x y -=的弦AB 的中点.则直线AB 的方程为（ ）A ．8150x y -+=B ．8170x y +-=C ．36150x y +-=D ．36150x y -+=【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，点()1,2P 是曲线C ：2214x y -=的弦AB 的中点，12122,4x x y y ∴+=+=.把,A B 的坐标代入曲线C 的方程，可得221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得，()2222221104x y x y --=-， 即()()()()121212124x x x x y y y y +-=+-，()()12121212214,48x x y y y y x x --∴=-∴=-， 即直线AB 的斜率为18，所以直线AB 的方程为1218y x ，即8150x y -+=.故选：A .3．（2018·安徽定远二中高二月考（理））已知椭圆22154x y +=，倾斜角为4π的直线l 与椭圆分别相交于A .B两点，点P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OP 的斜率为（ ） A ．15- B ．45-C ．15D ．45【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则22112222154154x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②， ①-②整理得1212121211()()()()054x x x x y y y y +-++-=，又因为1212tan 14y y x x π-==-，则12120y y x x -=-≠，所以121211()()054x x y y +++=， 又因为点P 为线段AB 的中点， 则1201202,2x x x y y y +=+=， 所以0021052x y +=，即0045y x =-， 所以0045OP y k x ==-， 即直线OP 的斜率为45-， 故选：B.4．（2020·银川三沙源上游学校高三二模（理））已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．43B ．2CD【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,4P 是弦AB 的中点，根据中点坐标公式得121228x x y y +=⎧⎨+=⎩. 直线l :20x y -+=的斜率为1，故12121y y x x -=-. 因为,A B 两点在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减并化简得()()()()21212212128142y y y y b a x x x x +-==⨯=+-， 所以2b a =，所以e == 故选：D5．（2020·萍乡市湘东中学高二期中（文））直线220kx y k --+=恒过定点A ，若点A 是双曲线22128x y -=的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ） A ．4100x y +-= B ．220x y --= C ．4100x y +-= D ．460x y --=【答案】D【解析】∵220kx y k --+=，得(2)2y k x =-+， 所以定点A 为(2,2)，设这条弦与双曲线的两交点分别为()()1122,,,M x y N x y ，则有222211221,12828x y x y -=-=，两式相减得22221211028x x y y ---=，得()()()()12221212028x x x x y y y y -+-+-=，A (2,2)为弦的中点，所以弦的斜率存在，弦所在直线斜率121212121212222444228x x y y x x k y y x x y y +-+⨯===⋅=⋅=+-+⨯， 利用点斜式可得弦所在的直线方程为460x y --= A 在双曲线内部且斜率不等于2±（渐近线斜率）， ∴所求的直线与双曲线有两个交点.故选：D.6．（2020·甘肃兰州）过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( ) A． B．C．D．【答案】D【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点，所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10 |AB|=12x x -|==D ．。