平行线的性质定理和判定定理
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互逆命题
一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题
内错角相等,两直线平行. 逆定理
两直线平行,内错角相等.
你能说出下列命题的逆命题吗？它们的逆命题是真 命题还是假命题？
• （1） 两条平行线被第三条直线所截，同旁 内角互补。
• （2）对顶角相等。 • （3）两条平行线被第三条直线所截，内错
角相等。
•平行线的性质定理
性质定理1 性质定理2 性质定理3
•平行线的判定方法
基本事实 判定定理1 判定定理2 还有什么判定方法？
如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线平行。
基本事实
• 两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么两直线平行。（同位角相等， 两直线平行。）
平行线的性质定理1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角 相等。（两直线平行，同位角相等）
如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等. 如果两个三角形对应边相等,那么这两个三角形全等.
如果a,b互为相反数，那么a+b=0. 如果a+b=0，那么a,b互为相反数．
条件
结论
把一个命题的条件和结论交换后,就构成 了一个新的命题.如果把原来的命题叫做原命 题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题.
∠1+∠A=180°. 求证：AB//CD
A
B
2
C
3
D
1
E
制作单位：肥城市王庄镇初级中学 制作时间： 2017年3月
1、会证明平行线的性质定理2、 3和判定定 理1、 2。
2、会区分平行线的判定定理及性质定理， 体会二者的区别与联系。
3、了解互逆命题的概念，会识别两个互逆 的命题，知道原命题成立，逆命题不一定 成立;了解逆定理的概念。
4、进一步熟悉证明的格式，感受证明的逻 辑性。
在七年级下册我们曾探索了哪些平 行线的性质和判定方法？
4
E 3 B
2
C
1
D
平行线的性质定理3:
F
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
c
d
已知：如图，a∥b,c∥d, ∠1=73°
a 23
求∠2和∠3的度数．
解：∵a ∥b(已知)
1
∴∠2=∠1（两直线平行，
b
内错角相等）
∵∠1=73° （已知）
∴∠2=73°（等量代换）
∵a ∥b （已知）
∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角
EF所截,∠1和∠2是内错角.
E
求证: ∠1 =∠2.
A
3B
2
分析
C
1
D
证明:∵AB∥CD(已知), F
∴∠1 =∠3 (两直线平行, 同位角相等).
∵ ∠2 =∠3(对顶角相等), ∴ ∠1 =∠2(等量代换).
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线
EF所截,∠1和∠2是同旁内角. 求证: ∠1 +∠2 =180°. A
注：性质定理1，现阶段不用证明，直接作 为结论应用于各种证明问题中。
平行线的性质定理2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 （两直线平行，内错角相等）
1.指出定理的条件和结论，并画出图形， 结合图形写出已知、求证．
2. 说说你的证明思路,试着写出证明过程.
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线
注：先确定命题的条件和结论，然后再确 定逆命题。
课堂小结：
谈谈你这节 课的收获吧！
还有哪些困惑呢？ 我们一起解决。
达标检测
1、对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的 是( ) A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180° 2、如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．
E1
A
B
2
C
D
F
图2
3、如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则
c 1
3
d a
2
b
A D
图３
B
4、已知：如图，DE ∥BC， ∠ADE=55 °， ∠C=54 °，求∠B和∠DEC的度数
∥。
E C
5、如图，已知AB∥CD，AE∥CF， 求证：∠BAE=∠DCF．
6.如图：直线AB，CD都和AE相交，且
互补）
∴∠3=180°－∠ 2 （等式的性质）
∴∠3=180°－73 °=107 °（等量代换）
平行线判定定理1: 两条直线被第三条直 线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平 行.(简记为:内错角相等,两直线平行)
请说出这个定理的条件和结论
尝试画出图形,写出已知与求证.
已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被 a
数学语言☞ 平行线的判定?
公理:
a
同位角相等,两直线平行
.
b
判∵定∠定1理=∠1:2, ∴ a∥b.
a
内错角相等,两直线平行. b ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行. b ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
直线c截出的内错角,且∠1=∠2. b 求证:a∥b.
c
3 1
2
证明:∵ ∠1=∠2 (已知), ∠1=∠3 (对顶角相等).
∴∠2=∠3 (等量代换).
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
同学交流
你会证明“平行线的判定定理2：两 条直线被第三条直线所截，如果同 旁内角互补，那么两直线平行”吗？
条件
结论
平行 性质 定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理一 定理二
两直线平行 两直线平行
同位角相等 内错角相等
定理三 两直线平行 同旁内角互补
平行 判定 公理 定理
公理 定理一 定理二
同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行
如果两个角是直角, 那么这两个角相等.
如果两个角相等, 那么这两个角是直角.
同学交流
两条直线被第三条直线 所截，如果同旁内角互 A 补，那么两直线平行。
C
E 3 B
4 2
1
D
F
跟踪练习
如图 ，∠D =∠A，∠B =∠FCB， 求证：ED∥CF．
E
D
C
F
A
B
方法总结
证明一个命题的一般步骤： (1)弄清条件和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据条件和结论写出已知,求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.
一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题
内错角相等,两直线平行. 逆定理
两直线平行,内错角相等.
你能说出下列命题的逆命题吗？它们的逆命题是真 命题还是假命题？
• （1） 两条平行线被第三条直线所截，同旁 内角互补。
• （2）对顶角相等。 • （3）两条平行线被第三条直线所截，内错
角相等。
•平行线的性质定理
性质定理1 性质定理2 性质定理3
•平行线的判定方法
基本事实 判定定理1 判定定理2 还有什么判定方法？
如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线平行。
基本事实
• 两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么两直线平行。（同位角相等， 两直线平行。）
平行线的性质定理1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角 相等。（两直线平行，同位角相等）
如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等. 如果两个三角形对应边相等,那么这两个三角形全等.
如果a,b互为相反数，那么a+b=0. 如果a+b=0，那么a,b互为相反数．
条件
结论
把一个命题的条件和结论交换后,就构成 了一个新的命题.如果把原来的命题叫做原命 题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题.
∠1+∠A=180°. 求证：AB//CD
A
B
2
C
3
D
1
E
制作单位：肥城市王庄镇初级中学 制作时间： 2017年3月
1、会证明平行线的性质定理2、 3和判定定 理1、 2。
2、会区分平行线的判定定理及性质定理， 体会二者的区别与联系。
3、了解互逆命题的概念，会识别两个互逆 的命题，知道原命题成立，逆命题不一定 成立;了解逆定理的概念。
4、进一步熟悉证明的格式，感受证明的逻 辑性。
在七年级下册我们曾探索了哪些平 行线的性质和判定方法？
4
E 3 B
2
C
1
D
平行线的性质定理3:
F
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
c
d
已知：如图，a∥b,c∥d, ∠1=73°
a 23
求∠2和∠3的度数．
解：∵a ∥b(已知)
1
∴∠2=∠1（两直线平行，
b
内错角相等）
∵∠1=73° （已知）
∴∠2=73°（等量代换）
∵a ∥b （已知）
∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角
EF所截,∠1和∠2是内错角.
E
求证: ∠1 =∠2.
A
3B
2
分析
C
1
D
证明:∵AB∥CD(已知), F
∴∠1 =∠3 (两直线平行, 同位角相等).
∵ ∠2 =∠3(对顶角相等), ∴ ∠1 =∠2(等量代换).
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线
EF所截,∠1和∠2是同旁内角. 求证: ∠1 +∠2 =180°. A
注：性质定理1，现阶段不用证明，直接作 为结论应用于各种证明问题中。
平行线的性质定理2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 （两直线平行，内错角相等）
1.指出定理的条件和结论，并画出图形， 结合图形写出已知、求证．
2. 说说你的证明思路,试着写出证明过程.
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线
注：先确定命题的条件和结论，然后再确 定逆命题。
课堂小结：
谈谈你这节 课的收获吧！
还有哪些困惑呢？ 我们一起解决。
达标检测
1、对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的 是( ) A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180° 2、如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．
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A
B
2
C
D
F
图2
3、如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则
c 1
3
d a
2
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A D
图３
B
4、已知：如图，DE ∥BC， ∠ADE=55 °， ∠C=54 °，求∠B和∠DEC的度数
∥。
E C
5、如图，已知AB∥CD，AE∥CF， 求证：∠BAE=∠DCF．
6.如图：直线AB，CD都和AE相交，且
互补）
∴∠3=180°－∠ 2 （等式的性质）
∴∠3=180°－73 °=107 °（等量代换）
平行线判定定理1: 两条直线被第三条直 线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平 行.(简记为:内错角相等,两直线平行)
请说出这个定理的条件和结论
尝试画出图形,写出已知与求证.
已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被 a
数学语言☞ 平行线的判定?
公理:
a
同位角相等,两直线平行
.
b
判∵定∠定1理=∠1:2, ∴ a∥b.
a
内错角相等,两直线平行. b ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行. b ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
直线c截出的内错角,且∠1=∠2. b 求证:a∥b.
c
3 1
2
证明:∵ ∠1=∠2 (已知), ∠1=∠3 (对顶角相等).
∴∠2=∠3 (等量代换).
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
同学交流
你会证明“平行线的判定定理2：两 条直线被第三条直线所截，如果同 旁内角互补，那么两直线平行”吗？
条件
结论
平行 性质 定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理一 定理二
两直线平行 两直线平行
同位角相等 内错角相等
定理三 两直线平行 同旁内角互补
平行 判定 公理 定理
公理 定理一 定理二
同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行
如果两个角是直角, 那么这两个角相等.
如果两个角相等, 那么这两个角是直角.
同学交流
两条直线被第三条直线 所截，如果同旁内角互 A 补，那么两直线平行。
C
E 3 B
4 2
1
D
F
跟踪练习
如图 ，∠D =∠A，∠B =∠FCB， 求证：ED∥CF．
E
D
C
F
A
B
方法总结
证明一个命题的一般步骤： (1)弄清条件和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据条件和结论写出已知,求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.