1-3 古典概型与几何概型

(2) 有放回地摸球
问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率. 解 设 A {前2次摸到黑球, 第三次摸到红球 }
第3次摸到红球 4种
1次摸到黑球 6种 第2
基本事件总数为 10 10 10 103 第3 2 1次摸球 10种
5) 性别问题
等等.
(性别房，N=2)
解决与分房问题同类问题的关键是： 将谁视为“人”，将谁视为 “房”. 选作“房”的原则： 一“房”可以同时住多个“人”，
而一“人”不可能同时在多间“房” 中.
例3
随机取数模型
从0, 1, 2,· · · ,9共10个数字中任取 一个， 假定每个数字都以1/10的概率被取中，取 后还原，先后取出7个数字，试求下列各 事件的概率： (1) 7个数字全不同； (2) 不含4和7； (3) 9恰好出现2次；
m P ( ) 1 n
( 3) 对于古典概型随机试验 E，其全体
事件构成的集合是有限集(元素总数为： C 0 C1
C 2 C n 2n ).
2º 几何概率满足概率的公理化定义.
备用题
例5-1 (中彩问题) 从1,2,· · · ,33共33个数字中任取
一个，假定每个数字都以1/33的概率被 取中，取后不放回，先后取出7个数字， 求取中一组特定号码A的概率. （不考虑顺序） 解
1 7! 26! 1 P ( A) 7 4272048 C 33 33!
2.3407 107
例5-2 把10本书任意地放在书架上，求其中 指定的3本书放在一起的概率. 解 设 A=“指定的3本书放在一起”
1 3 m P8 P3 P77
A所含的 样本点数 ：
8 3! 7! 3! 8!
解 设 A=“第k次抽到1号赠券”
k n Pn 则样本空间样本点总数： k 1 1 m Pn P A所含的 样本点数 ： 1 1
P ( A)
( n 1)( n 2)[( n 1) ( k 1) 1] 1 . n n( n 1)( n k 1)
8
7 6
3! 8! 1 P ( A) 0.067 10! 15
5
4 3 2
1
例5-3 (抽签问题) 在编号为1, 2, 3, …, n 的n张赠券中，采用 无放回式抽签，试求在第 k次(1≤k≤n)抽到1号 赠券的概率.
1号赠券 分析：
其他赠券
白球 黑球
问题相当于：从装有1个白球和(n-1)个黑球的袋 中，依次无放回地取球，求第k次 摸到白球的概率.
n n! CN P ( B) Nn
(3) 设 C =“某指定房中恰有m (m ≤n) 人”. 分析 “某指定房中恰有m(m ≤n)人”,这 m个人可以从n个人中任意选出， m 共有 C n 种选法，而其他的n-m
个人可以任意地被分到余下的N-1 间房中去，共有 ( N 1) nm 种分法， 所以事件C所含的样本点数：
例1 滨江宾馆共有职工200人，其中女性有 160人. 现从所有职工任选一人，选得 男性的概率是多少？ 解 样本点总数：n = 200(人) 事件A =“选得男性” A所包含的样本点数(即男性职工数) 为：m = 200-160=40(人) m 40 1 P ( A) 0.2 n 200 5
3 , 解 (1)总的选法种数为 n C10 2 , 最小号码为5的选法种数为 m C5
故小号码为5的概率为
1 P 3 . C10 12
2 C5
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
2 (2)最大号码为5的选法种数为 C 4 ,
故最大号码为5的概率为
P
3 C10
2 C4
1 . 20
例6-1 球放入杯子问题 (1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
有 N×N ×· · ·×N=Nn 种分法，即
样本点总数： N n
2º (1) 设 A=“某指定n间房中各有一人”
则 A所含样本点数：
n Pn
n!
n! P ( A) n N
(2) 设 B=“恰有n间房，其中各有一人”
对于事件B，由于未指定哪n个房 分析 间，所以这n间房可以从N个房间 n 中任意选取，共有 C N 种分法.而 对于每一选定的n间房，其中各 有一人的分法有 n!种，所以事件 n n! B所含的样本点数： C N
k C7 97 k P ( D) 7 10 k 2 7
(方法2)
D D0 D1
1 P ( D0 ) P ( D1 )
1 C7 96 97 0.1497 1 7 7 10 10
P ( D) 1 P ( D )
二、几何概型
1. 几何概型定义
问题相当于：袋中有2只白球，18只黑球，采用 无放回抽取方式从中取出10个球， 求恰有1个白球的概率.
例5-5 (产品检验问题) 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取
n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
n CN 种,
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34 种,

4 种 2
2 种 2
2个
2个
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
4 2 4 2 p 3 . 27 2 2

3. 常见的三种古典概型基本模型
(1) 摸球模型； (2) 分房问题； (3) 随机取数问题.
例2
摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有M只白球和 N只黑球, 现从袋中 无放回地依次摸出m+n只球,求所取球恰好含m个 白球,n个黑球的概率? 解 设 A = {所取球恰好含m个白球,n个黑球}
m ( N 1)nm Cn
m ( N 1) n m Cn P (C ) Nn
同类型的问题还有： 1) 球在杯中的分配问题； (球人，杯房) 2) 生日问题； (日 房，N=365天) ( 或 月 房，N=12月)
3) 旅客下站问题； ( 站房 )
4) 印刷错误问题； (印刷错误人，页房)
若试验E具有下列特征： E的样本空间是某几何空间中 1)无限性： 的一个区域，其包含无穷多个 样本点，每个样本点由区域内 的点的随机位置所确定；
2)等可能性： 每个样本点的出现是等可能 的，即样本点落在内几何度 量相同的子区域是等可能的， 则称E所描述的概率模型为几何概型，并称
E为几何概型随机试验.
(4) 至少出现2次9.
解 样本空间所包含的样本点总数：107
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1) A=“7个数字全不同”
A所包含的样本点数：
7 10 9 8 7 6 5 4 P10
10! P ( A) 7 7 10 10 3!
7 P10
(2) B=“ 不含4和7”
87 P ( B) 7 0.2097 10
(1) 某指定n间房中各有一人；
(2) 恰有n间房，其中各有一人； (3) 某指定房中恰有m(m ≤n)人. 解 1º 先求样本空间所含的样本点总数.
分析
把n个人随机地分到N个房间中去，每一 种分法就对应着一个样本点(基本事件)， 由于每个人都可以住进N间房中的任一 间，所以每一个人有N种分法，n个人共
(3) C=“9恰好出现2次”
2 C7 95 P (C ) 107
(4) D=“至少出现2次9”.
Dk “9恰好出现 k次” ( k 7)
C 9 P( Dk ) 107
k 7
7k
(方法1) D D2 D3 D7 P ( D) P ( D2 ) P ( D3 ) P ( D7 )
注 此题不能直接用组合方法. 原因：题目强
k 1 1 Pn1 P1 k Pn
调了次序：“第k次抽到1号赠券”
例5-4 (分组问题) 将20个球队分成两组(每组10队)进行比赛， 求最强的两队分在不同组的概率. 分析： 强队 白球 黑球
9 1 C18 C2 10 C 20
P
其他队
10 . 19
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有
k n k CD CN D 种,
于是所求的概率为 p
k CD
n k CN D n CN
.
例5-6 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到 10号的纪念章,任选3个记录其纪念章的号码.
(1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10
同类型的问题还有：
1) 电话号码问题；
2) 骰子问题.
3) 英文单词、书、报等排列问题.
例3
分房模型
有n个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在N(n≤N)间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
AD上 任 取 两 点 B，C .在B，C处 例4 在 线 段 折断得三条线段，求“这三条线段能构 成三角形”的概率. l 解 依题意，有 x y
0 x l , 0 y l 0 l ( x y) l
0 x l, 0 y l 0 x y l
A
l
B
y
C
D
样本空间：

0
x+y=l
l
x
三线段能构成三角形
其中任一线段之长小于 其余两线段之和 .
0 x l x, 0 y l y
且 0 l ( x y) x y 设 A “三线段能构成三角形 ”l
l l 则 A: 0 x , 0 y , 2 2 l x yl 2
注. 几何空间 一维 二维
几何度量 长度 2. 几何概率 面积
三维 体积
… …
定义. 对于随机试验E，以m(A)表示的几何 度量，为样本空间. 若 0< m()<+, 则对于任一事件A，定义其概率为 m ( A) P ( A) m( )
注.
A的 长 度 一 维 ： P ( A) ; 的 长 度 A的 面 积 二 维 ： P ( A) ; 的 面 积 A的 体 积 三 维 ： P ( A) . 的 体 积
mn 基本事件总数为: C M N m n C C A 所包含基本事件的个数为 M N
故 P ( A)
m n CM CN mn CM N
.
同类型的问题还有： 1) 中彩问题； 2) 抽签问题； 3) 分组问题； 4) 产品检验问题；
5) 鞋子配对问题；
6) 扑克牌花色问题； 7) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题.
则称E所描述的概率模型为古典概型.
2. 古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则 事件 A 出现的概率记为:
m A 所包含样本点的个数 P ( A) . n 样本空间所含样本点的总数
称此为概率的古典定义.
y

0 l/2 l
x+y=l x
l/2 A
1 l 2 ( ) S ( A) 1 2 2 P ( A) S ( ) 1 2 4 l 2
x+y=l/2
注. 1º 古典概率满足概率的公理化定义；
验证：(1)
0 m n m 0 P ( A) 1 n ( 2) 对于， mn
第一章
第三节 古典概型与 几何概型
一、古典概型 二、几何概型
一、古典概型
1.古典概型定 义
古典概型随机试验
若随机试验 E 具有下列两个特征： 1) 有限性 1 , 2 ,, n 样本空间中，只有有限个样本点：
即 {1 , 2 ,, n }
2) 等可能性
1 ,2 ,,n发生的可能性相等 ,