4_12 离散傅里叶级数的性质

北京交通大学 信号处理课程组
离散周期序列DFS的性质
※ 线性特性
※ 位移特性
※ 对称特性
※ 周期卷积特性
离散周期序列DFS的性质
1.线性特性
DFS{a~ x1[k ] b~ x2 [k ]} aDFS{~ x1[k ]} bDFS{~ x2 [k ]}

[k ] {, 2,1,1,} 的频谱。 例：求周期为3的周期序列 x [m] 已知 x [k ] {,0,1,1,}的频谱为 X
解：
2

[k ] x
X [ m]
1 0 1 2 k
1 0 1 2 4 m
[m] X [m]e Y
[ m]
0 1 2
j
2 m 3
[ k ] 2 y
1 0 1 2 k
1
[ m] Y
m
3
0 1 2 m
3
离散周期序列DFS的性质
2.位移特性 (b) 频域位移特性
0 1 2
0 12
3 …
2
2 [ k ] x
1 … k
2 [1 n] x
2 …
3 1 … n
0 1 2
5 5 …
8
[ k ] y
…
2 [2 n] x
…
0 1 2
2 3 …
1
0 1 2
k
0 1 2
n
x [k ] x 1[k ] 2[k ]。 1[k ], x 2[k ] 如图所示，计算 y 例：周期为3的序列 x
[ m] X
2
4
[ m] X 1
+ 2×
1 2 m
1 0 1 2 m
=
0 -1
1
[m ] X 2
m
0 1 2
离散周期序列DFS的性质
2.位移特性
4 3 2 1
－4 －3 －2 －1
4 3
[k ] x
4 3 2
4 2
1
~ x [ k 2]
3
2 1 0 1 2 3 4 5
1
k
6
7
0
1
[ m] Y
4
[m 1] X
1 0 1 2 4 m
2
[ k ] y
1 2
[m 1] X
1
0
-0.5
k
0 1 2
m
离散周期序列DFS的性质
3.对称特性
周期序列的偶对称 ~[k ] x ~[ k ] x ~[ N k ] x
N=4 0 1 2 3 k
N=5 0 1 2 3 4 k
※ 周期卷积是两个等周期的周期序列的卷积运算。 ※ 周期卷积的结果仍为相同周期的周期序列。
x [k ] x 1[k ] 2[k ]。 1[k ], x 2[k ] 如图所示，计算 y 例：周期为3的序列 x
2
1[k ] x
… k
2 [0 n] x
…
3 1
2 … n
1 …
※ 频域周期卷积定理：
1 DFS x DFS{x1 [k ]} DFS{x2 [k ]} 1[ k ] x2 [ k ] N
时域的周期卷积对应频域的乘积； 时域的乘积对应频域的周期卷积。
离散周期序列DFS的性质
周期卷积定义：
N 1 n 0
x 1[k ] 2 [ k ] x 1[n]x 2 [ k n ] x
55 8 … 012 …
[ k ] y
k
解：
[k ] j2 k 3 -j2 k 3 x [ k ] y e e 2
1 [m 1] Y [m] X [m 1] X 2
离散周期序列DFS的性质
2 1 0 1 2 k
5/2 5/2 1 0 1 2 m
[k ] x
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[ m] X
1 0 1 2 m
2π j lk [m l ] [k ]e N X DFS x
序列在时域的相移，对应其频域的位移。
离散周期序列DFS的性质
[k ] {,2,1,1,} ，求 例：已知周期为3的序列 x

[ k ] x [k ]cos(2k 3) 的频谱。 y
2
3
k
周期序列的位移
周期序列位移后，仍为相同周期的周期序列，因此， 只需要观察位移后序列一个周期的情况。
离散周期序列DFS的性质
2.位移特性 (a) 时域位移特性
[m]e [k n] X DFSx
j
2π mn N
序列在时域的位移，对应其频域的相移。
离散周期序列DFS的性质
[k ] x [k 1] 例：已知周期为3的序列 x [k ] {, 2,1,1,} ，求 y 的频谱。 4
1
[m] 2 [k ] {,1,0,0,}的频谱为 X x 2
2

1
[m ] X 1
[m ] X 2
1
1 2 0 -1 m
0 1 2 m
离散周期序列DFS的性质
解： 将x 1[k ] 2 x 2 [k ] [k ] 表示为 x 得
[m] X [m] 2 X [m] X 1 2
[ m] X
2
2 2 2 2
…
0 1 2 3
…
m
~ x[k ] 为实序列，则其幅度谱
偶对称，相位谱奇对称。
3 4

[m ]
3
012
3 4
m
离散周期序列DFS的性质
4.周期卷积特性 ※ 时域周期卷积定理：
DFS{x2 DFS x [k ]} 1[ k ] x2 [ k ] DFS{x1[ k ]}
[k ]为实序列，则有 若x
% % X [m] X [m]
[ m] X [ m] X
[m] [-m]
% [m] X % [ m] X R R %[m] X %[m] X
I I
离散周期序列DFS的性质
10
[k ] x 4
3 2 1 0 1 2 3 k
离散周期序列DFS的性质
3.对称特性 周期序列的奇对称
~[k ] x ~[ k ] x ~[ N k ] x
N=4 3 0 1 2 k
N=5 3 4 0 1 2 k
离散周期序列DFS的性质
3.对称特性
~ ~ DFS{x [k ]} X [m] ~ ~ DFS{x [k ]} X [m]
1 … 0 1 2 2
1[k ] x
… k
周期卷积的矩阵表示：
x 1[k ] 2 [ k ] x 1[n]x 2 [ k n ] x
n 0
N 1
3 …
2
2 [ k ] x
1 … k
0 1 2
[0] x 2 [0] x 2 [ 1] x 2 [ 2] x 1[0] y y [1] x 2 [1] x 2 [0] x 2 [ 1] x 1[1] [2] 2 [2] x 2 [1] 2 [0] 1[2] x y x x 3 1 2 0 5 1 5 2 3 1 1 2 3 2 8