高考总复习4函数的单调性与最值s
函数的单调性和最值PPT精品课件
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
函数的单调性与最大(小)值-高考数学复习
f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件 都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结 单调递增
论 当函数 f(x)在它的定义域上单调 当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结 如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的单调性与最值
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)
函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)本文档将介绍函数的单调性以及如何求函数的极值点和最值。
这些概念是在研究高等数学中非常重要的一部分。
函数的单调性函数的单调性描述了函数图像在定义域内的变化趋势。
一个函数可以是递增的（单调递增），也可以是递减的（单调递减），或者在某个区间内既递增又递减。
判断函数的单调性需要观察函数的导数。
如果函数的导数恒大于零（导函数递增），则函数单调递增；如果导数恒小于零（导函数递减），则函数单调递减。
如果导数在某个区间内既大于零又小于零，则函数在该区间内既递增又递减。
下面是一些相关联系。
练题：1. 设函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的单调区间。
- 解答：- 首先求导数：$f'(x)=3x^2-6x$- 然后求解 $f'(x)=0$ 的解，即 $3x^2-6x=0$ ，解得 $x=0, 2$- 将 $x=0$ 和 $x=2$ 代入 $f'(x)$ 的导数符号表，得到如下结果：| $x$ | $(-\infty,0)$ | $(0,2)$ | $(2,+\infty)$ |- 由上表可以看出，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上递减，在区间 $(0,2)$ 上递增，而在区间 $(2,+\infty)$ 上递增，所以函数的单调区间分别为 $(-\infty, 0)$ 和 $(2,+\infty)$。
求函数的极值点和最值函数的极值点是函数某一段上的极大值或极小值点。
函数的最大值和最小值是函数在整个定义域上的最大值和最小值。
为了求函数的极值点和最值，我们需要找到函数的临界点和边界点。
- 临界点：函数定义域内导数为零或不存在的点。
- 边界点：函数定义域的端点。
对于一个函数，如果它有极值点，那么极值点一定在函数的临界点和边界点处。
下面是一些相关练。
练题：1. 设函数 $g(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求 $g(x)$ 的极值点和最值。
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。
2024年高考数学一轮复习专题05函数的单调性与最值含解析
专题05函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.基础学问融会贯穿1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意条件(1)对于随意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于随意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【学问拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]． (3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．重点难点突破【题型一】确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出详细解析式的函数的单调性 【典型例题】下列函数中，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝2x +1C ．y ＝x 3+1D ．y ＝（x ﹣1）|x |【解答】解：依据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意； 对于B ，y ＝2x +1，其值域为（0，+∞），不符合题意；对于C ，y ＝x 3+1，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于D ，y ＝（x ﹣1）|x |，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；故选：C ．【再练一题】已知函数f （x ）＝ln ，则（ ）A ．f （x ）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递增B ．f （x ）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递减C ．f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D ．f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减【解答】解：依据题意，函数f （x ）＝ln，其定义域为R ，有f（﹣x）＝ln ln f（x），则函数f（x）为偶函数，设t，y＝lnt，对于t，则导数t′，当x＞0时，t′＞0，即函数t在区间（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在区间（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）＝ln在0，+∞）上为增函数，故选：C．命题点2 解析式含参数的函数的单调性【典型例题】定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，必有x1，解可得k≥2，即k的取值范围为[2，+∞）；故选：B．【再练一题】已知函数f（x）（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，] D．（0，]【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满意0＜a＜1，依据二次函数开口向上，在（单调递减，可得，即，解得：．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[log a（x+1）+1]max故而得：3a≥1，解得：a．∴a的取值范围是[，]，故选：C．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．【题型二】函数的最值【典型例题】若函数f（x），则函数f（x）的值域是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，2）【解答】解：当x＜1时，0＜2x＜2，当x≥1时，f（x）＝﹣log2x≤﹣log21＝0，综上f（x）＜2，即函数的值域为（﹣∞，2），故选：A．【再练一题】函数f（x）＝e x﹣x在区间[﹣1，1]上的值域为（）A．[1，e﹣1] B．C．D．[0，e﹣1]【解答】解：函数的导数f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＞0得e x﹣1＞0，即e x＞1，得0＜x≤1，此时函数递增，由f′（x）＜0得e x﹣1＜0，即e x＜1，得﹣1≤x＜0，此时函数递减，即当x＝0时，函数取得微小值同时也是最小值f（0）＝1，∵f（1）＝e﹣1，f（﹣1）1＜e﹣1，∴函数的最大值为f（1）＝e﹣1，即函数的值域为[1，e﹣1]，故选：A．思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再视察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最终结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较困难的函数可通过换元转化为熟识的函数，再用相应的方法求最值．【题型三】函数单调性的应用命题点1 比较大小【典型例题】已知函数，若，则a、b、c之间的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：依据题意，函数，其定义域为R，则f（﹣x）＝|ln（x）|＝|ln|＝|﹣ln（x）|＝|ln（x）|＝f （x），即函数f（x）为偶函数，设g（x）＝ln（x）＝ln，有g（0）＝ln1＝0，设t，则y＝lnt，当x≥0时，t为减函数且t＞0，而y＝lnt在（0，+∞）为增函数，则g（x）＝ln（x）＝ln在[0，+∞）上为减函数，又由g（0）＝0，则在区间[0，+∞）上，g（x）≤0，又由f（x）＝|g（x）|，则f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，a＝f（）＝f（log94），b＝f（log52）＝f（log254），又由log254＜log94＜1＜1.80.2，则有b＜a＜c；故选：D．【再练一题】已知函数f（x）＝x•ln，a＝f（），b＝f（），c＝f（），则以下关系成立的是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【解答】解：，，；∵；∴；∴c＜a＜b．故选：A．命题点2 解函数不等式【典型例题】已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，则关于x的不等式f（x）+f（x2﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝e x﹣e﹣x，有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝e x+e﹣x＞0，则函数f（x）在R上为增函数，f（x）+f（x2﹣2）＜0⇒f（x）＜﹣f（x2﹣2）⇒f（x）＜f（2﹣x2）⇒x＜2﹣x2，即x2+x﹣2＜0，解可得﹣2＜x＜1，即其解集为（﹣2，1）；故选：A．【再练一题】设定义在R上的奇函数f（x）满意f（x）＝x3﹣8（x＞0），则{x|f（x﹣2）≥0}＝（）A．[﹣2，0）∪[2，+∞）B．（﹣∞﹣2]∪[2，+∞）C．[0，2）∪[4，+∞）D．[0，2]∪[4，+∞）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝x3﹣8；∴f（0）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，且f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）上都单调递增；∴①x＝2时，满意f（x﹣2）≥0；②x＞2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（2）；∴x﹣2≥2；∴x≥4；③x＜2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（﹣2）；∴x﹣2≥﹣2；∴x≥0；∴0≤x＜2；综上得，f（x﹣2）≥0的解集为[0，2]∪[4，+∞）．故选：D．命题点3 求参数范围【典型例题】若函数f（x）在R上是增函数，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1] B．（0，2）C．（0，1] D．[1，2）【解答】解：∵f（x）在R上是增函数；∴；解得0＜a≤1；∴a的取值范围为：（0，1]．故选：C．【再练一题】若（a≠1），在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当x＝0时，（a2﹣1）e ax≤ax2+1＝1，即a2﹣1≤1，解之得a∵x≥0时，y＝ax2+1是增函数，∴a＞0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是增函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：1＜a②函数的单调性是减函数时，可得当x＝0时，（a2﹣1）e ax≥ax2+1＝1，即a2﹣1≥1，解之得a或a．∵x≥0时，y＝ax2+1是减函数，∴a＜0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是减函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：a综上所述，得a∈故选：C．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为详细的不等式求解，应留意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需留意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的随意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除留意各段的单调性外，还要留意连接点的取值．基础学问训练1．若，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，对A选项，变形为log a x3＜log a y2，而函数y=是单调递减函数，x3＜y2，∴log a x3>log a y2，故A不正确；对B选项，,函数y=cosx是单调递减函数，∴，故B不正确；对C选项，y=是单调递减函数，∴, 故C不正确；而D选项，幂函数y=是单调递增函数，∴，故应选D.2．已知函数且满意，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以函数为定义在R上的偶函数；又时，单调递减，所以由偶函数的对称可得：时，单调递增，所以由可得，解得.故选C3．已知函数，则函数有（）A．最小值，无最大值 B．最大值，无最小值C．最小值1，无最大值 D．最大值1，无最小值【答案】D【解析】∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，]设t，则t，且x，∴f（x）＝g（t）t2+t（t﹣1）2+1，t，∴g（t）≤g（1）即g（t）≤1∴函数f（x）的最大值1，无最小值.故选D.4．若函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，则a=（）A．16 B．17 C．32 D．33【答案】B【解析】函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，可得y= x2-2x+a的最小值为16，由y=（x-1）2+a-1，可得a-1=16，即a=17，故选：B．5．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】．∴当时，；当时，；∴函数的值域是．故选A．6．已知函数的最小值为8，则A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的最小值为8，可得，明显的最小值不为8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，由题意可得，设递增，，可得，故选：B．7．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x），①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满意条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t．综上可得，t≤2，故选：A．8．奇函数单调递减，若，则满意的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]【答案】D【解析】因为奇函数单调递减，所以函数单调递减，且为奇函数，所以，因为，所以，所以，解得，即满意的取值范围是，故选D.9．假如对定义在R上的奇函数，对随意两个不相邻的实数，全部，则称函数为“H函数”，下列函数为H函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，对于全部的不相等实数，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．10．已知定义在上的函数，对随意，有，且时，有，设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为对随意，所以，因为时，有，所以函数在区间上是增函数，因为，所以，即，所以，故选A.11．已知定义在R上的函数f(x)＝－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【答案】B【解析】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故选：B．12．已知t为常数，函数在区间上的最大值为2，则t的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】令上的增函数.当，即时，，舍去.当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得..若，解得（舍去）.当时，符合题意.当，解得.当时，，不符合题意.当时，符合题意.故.所以选A.13．假如奇函数在区间上是减函数，值域为，那么______.【答案】12【解析】由f（x）在区间上是递减函数，且最大值为5，最小值为-2，得f（3）＝5，f（7）＝-2，∵f（x）是奇函数，∴．故答案为：12．14．已知函数，若上是减函数，则实数的取值范围为____.【答案】[，0）【解析】若在R上是减函数，因为y=上单调递减，故只需满意，解得：k∈[，0）故答案为：[，0）15．设函数f（x）=|x-1|在x∈[t，t+4]（t∈R）上的最大值为M（t），则M（t）的最小值为______．【答案】2【解析】作出函数f（x）=|x-1|的图象，如图所示，当t+4≤1即t≤-3时，f（x）在[t，t+4]递减，可得最大值M（t）=f（t）=|t-1|=1-t，由M（t）在t≤-3递减，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t≥1时，f（x）在[t，t+4]递增，可得最大值M（t）=f（t+4）=|t+3|=t+3，由M（t）在t≥1递增，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t＜1＜t+4，即-3＜t＜1时，f（x）在（t，1）递减，在（1，t+4）递增，可得f（x）的最小值为0；当t=-1时，f（t）=f（t+4）=2；当-1＜t＜1时，f（t）＜f（t+4），f（x）的最大值M（t）=f（t+4）=t+3，且M（t）∈（2，4）；当-3＜t＜-1时，f（t）＞f（t+4），f（x）的最大值M（t）=f（t）=1-t，且M（t）∈（2，4）；综上可得M（t）的最小值为2．故答案为：2．16．已知函数，若当时，都有，则a的取值范围为______．【答案】【解析】①当时，即②当时，若，即时，若，即时，③当时，综上所述，17．对于区间，若函数同时满意：上是单调函数；函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．求函数的全部“保值”区间．函数是否存在“保值”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是．【解析】因为函数的值域是，且的值域是，所以，所以，从而函数在区间上单调递增，故有，解得，又，所以，所以函数的“保值”区间为；若函数存在“保值”区间，若，由可得函数的“保值”区间为；若，此时函数在区间上单调递减，可得，消去m得，整理得，因为，所以，即，即有，因为，可得；若，此时函数在区间上单调递增，可得，消去m得，整理得．因为，所以，可得，可得．由，即有．综合得，函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是．18．已知函数常数．证明上是减函数，在上是增函数；时，求的单调区间；对于中的函数和函数，若对随意，总存在，使得成立，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】证明：：设，且，，，，当时，即，当时，即，时，，即，此时函数为减函数，当时，，即，此时函数为增函数，故上是减函数，在上是增函数；时，，，设，则，，由可知上是减函数，在上是增函数；，即，即上是减函数，在上是增函数；由于为减函数，故又由（2）得由题意，的值域为的值域的子集，从而有，解得．19．已知函数，其中．解关于x的不等式；求a的取值范围，使在区间上是单调减函数．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】的不等式，即为，即为，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；，由在区间上是单调减函数，可得，解得．即a的范围是．20．已知函数．判定并证明函数的单调性；是否存在实数m，使得不等式对一切都成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）【解析】函数上R上的单调递增函数．证明如下：设，，，且，，函数上R上的单调递增函数．函数，，是R上的奇函数，不等式对一切都成立，，对一切都成立，是R上的增函数，，对一切都成立，．存在实数，使得不等式对一切都成立．实力提升训练1．已知是自然对数的底数），，则的大小关系是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】记,可得x=e可知：上单调递增，又∴，即故选：A2．若函数，设，则的大小关系A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，函数，是二次函数，其对称轴为y轴，且在上为增函数，，则有，则；故选：D．3．已知函数，若的最小值为，则实数m的值为A． B． C．3 D．或3【答案】C【解析】函数，即，当时，不成立；当，即时，递减，可得取得最小值，且，解得成立；当，即时，递增，可得取得最小值，且，不成立；综上可得．故选：．4．若函数上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为( ).A．2 B．－2 C．2或－2 D．0【答案】C【解析】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2；③当a＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2．综上，得a=±2，故选C．5．已知直线分别与函数的图象交于两点，则两点间的最小距离为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据题意得到PQ两点间的距离即两点的纵坐标的差值，设t+1=u,t=u-1>0,原式等于依据均值不等式得到当且仅当u=1，t=0是取得最值.故答案为：D.6．已知函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，设，则，又由指数函数的性质，可知函数为单调递减函数，所以函数的值域为，故选C.7．已知函数的定义域为(1)试推断的单调性；(2)若，求的值域；(3)是否存在实数，使得有解，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）单调递增（2）（3）存在，且取值范围为【解析】解：（1）设单调递增.（2）令的值域为（3）由而当时，令，所以的取值范围为8．已知函数（1）设的两根，且，试求的取值范围（2）当时，的最大值为2，试求【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意可得的两根，且，解得故（2）当时，的最大值为2，由，可知抛物线开口向上，对称轴为①若，则当时取得最大值，即，解得②若，则当时取得最大值，即，解得故9．已知函数．(1)若，求a的值．(2)推断函数的奇偶性，并证明你的结论．(3)求不等式的解集．【答案】(1)；(2)奇函数；(3).【解析】，则，得，即，则．函数的定义域为R，，即函数是奇函数．由不等式，，在R上是增函数，不等式等价为，即，即，得．即不等式的解集为．10．已知函数.（Ⅰ）推断并证明的单调性；（Ⅱ）设，解关于的不等式.【答案】（Ⅰ）上单调递增；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，由是奇函数；任取，则，上单调递增；又由（Ⅰ）知，上的奇函数，上单调递增；上单调递增.（Ⅱ），由是奇函数；又由（Ⅰ）知上单调递增，上单调递增，等价于，可得：，解得：不等式的解集是.。
函数的单调性与最值(含例题详解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但 f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5l og y u =为()0,+∞上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时，()()12f x f x >，即函数在()0,k 上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性，故在(),k -∞-单调递增，在(),0k -上单调递减． 综上，函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增，在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----， 由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0， f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为 f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图 象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区 间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数． 答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0， 由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时， 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1， 即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
高考数学专题复习：函数的单调性和最值
高考数学专题复习：函数的单调性和最值一、单选题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是（ ）A ．2y x =B ．3y x =-C ．1y x = D ．24y x =-+2．设函数()f x 为单调函数，且()0,x ∈+∞时，均有2()1f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()1f =（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．03．若定义在R 的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()()210x f x ++≥的x 的取值范围是（ ）A ．[][)3,21,--⋃+∞B ．[][]5,32,1--⋃--C ．[][)3,21,--⋃-+∞D ．[][]3,21,1--⋃-4．函数()(2)3f x k x =-+在R 上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（-∞，0） B ．（-∞，6） C ．（1，+∞） D ．（2，+∞） 5．对于函数()y f x =，其定义域为D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件： ①()f x 在[],m n 上是单调函数；②当()f x 的定义域为[],m n 时，值域也是[],m n ，则称区间[],m n 是函数()f x 的“K 区间”．若函数()f x a =（0a >）存在“K 区间”，则a 的取值范围为（ ）A ．13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦6．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．﹣17．函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-8．已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则不等式()()324f x f x +<-的解集为（ ） A ．(),3-∞-B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),1-∞ 9．函数1()f x x a =+在[1,3]上单调，则实数a 的取值范围（ ） A ．(3,1)--B ．(1,3)C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃-+∞ 10．定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．()1,311．对,a b ∈R ，记{},,max ,,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数()max{1,3}()f x x x x R =+-∈的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 12．已知函数2k y x =-（0k >）在[]4,6上的最大值为1，则k 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．函数()f x =________.14．已知函数2()2f x x ax a =-++，a ∈R ，若()f x 在区间[1,1]-上的最大值是3，则a 的取值范围是________.15．已知函数()()()()()24312121x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+-+>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是______．16．函数y =________.三、解答题17．已知函数()()01ax f x bx a x =+≠- （1）若1a b ==，求()f x 在()1,x ∈+∞上的最小值；（2）若0b =，试讨论函数()f x 在()1,1-上的单调性．18．已知函数212()21f x x x =+-，求函数()f x 在区间[]3,1--上的最值.19．已知函数()1f x x x=+. (1) 证明函数()f x 在()1,+∞上是增函数；(2) 求()f x 在[]2,4上的最值.20．设0a >，当11x -时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求a ，b 的值.21．已知函数1()2f x x a =+，且1(2)5f =． （1）求a 的值；（2）试判断函数在(1,)+∞上的单调性，并给予证明；（3）求函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值．22．已知函数()12x f x x -=+，[]3,5x ∈. （1）判断函数()f x 的单调性，并证明；（2）求函数()f x 的值域.参考答案1．A【分析】由基本函数的性质逐个分析判断【详解】解：对于A ，2y x =是过原点，经过一、三象限的一条直线，在R 上为增函数，所以A 正确，对于B ，3y x =-是一次函数，且10-<，所以R 上为减函数，所以B 错误，对于C ，1y x =是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在(0,1)上是减函数，所以C 错误，对于D ，24y x =-+是二次函数，对称轴为y 轴，开口向下的抛物线，在(0,1)上是减函数，所以D 错误，故选：A2．D【分析】由函数()f x 为单调函数且2(())1f f x x+=，知2()f x x+为常数，然后利用待定系数法求出函数()f x 的解析式，再求f （1）的值． 【详解】 解：函数()f x 为单调函数，且2(())1f f x x+=， 2()f x x ∴+为常数，不妨设2()f x a x+=， 则2()f x a x =-，原式化为f （a ）1=， 即21a a-=，解得2a =或1a =-（舍去）， 故2()2f x x =-，f ∴（1）220=-=，故选：D ．3．D【分析】根据题意，做出草图，再分2x <-，2x >-，2x =-三种情况讨论求解即可.【详解】根据题意，画出函数示意图：当2x <-时，210x -≤+≤，即32x -≤<-；当2x >-时，012x ≤+≤，即11x -≤≤；当2x =-时，显然成立，综上[][]3,21,1x ∈--⋃-.故选：D4．D【分析】根据一次函数的图象与性质，得到20k ->，即可求解.【详解】由题意，函数()(2)3f x k x =-+在R 上是增函数，根据一次函数的图象与性质，可得20k ->，即2k >，所以实数k 的取值范围是(2,)+∞.故选：D.5．C【分析】由已知结合函数的单调性可求m ，n 的关系，然后把原问题转化为函数图像的交点问题，结合二次函数的性质可求．【详解】因为()f x 在[],m n 上是单调减函数，所以a na m==，n m =-=，1，故11a n a m ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 欲使得关于m ，n 的方程组在0m n <≤时有解，需使y a =与21y x x =-+（0x ≥）的图像有两个交点，21y x x =-+在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 当12x =时，函数取得最小值34，当0x =时，函数取得最大值1， 故a 的取值范围为3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：C ．6．A【分析】先求出函数()f x 的解析式，将2x =-代入计算即可.【详解】因为函数()f x 在定义域R 上单调，且(()2)1f f x x +=，所以()2f x x +为常数，不妨设()2f x x t +=，则()2f x t x =-由(()2)1f f x x +=得()21f t t t =-=，解得：1t =-，所以()21f x x =--，所以(2)2(2)13f -=---=.故选：A7．D【分析】 先求出抛物线的对称轴2(1)12m x m -=-=--，而抛物线的开口向下，且在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，从而可求出m 的取值范围【详解】解：函数2()2(1)3f x x m x =-+-+的图像的对称轴为2(1)12m x m -=-=--， 因为函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，解得3m ≤-，所以m 的取值范围为(],3-∞-，故选：D8．A【分析】根据()f x 在R 上单调递增可求解.【详解】易得函数()f x 在R 上单调递增，则由()()324f x f x +<-可得324x x +<-，解得3x <-，故不等式的解集为(),3-∞-.故选：A ．9．D【分析】 结合函数1()f x x a=+的单调性分类讨论即可. 【详解】 因为函数1()f x x a =+在(,)a -∞-和(,)a -+∞上单调递减，由题意，1()f x x a =+在[1,3]上单调，所以<1a -或3a ->，解得1a >-或3a <-，所以a 的取值范围为(,3)(1,)-∞-⋃-+∞. 故选：D10．D【分析】根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3，故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析函数的定义域和单调性，从而确定出a 所满足的不等关系，注意将本题与定义域为R 的分段函数单调性问题作区分.11．B【分析】根据已知定义，求出函数()f x 的解析式，根据一次函数的单调性分类讨论求解即可.【详解】{}1,1()max 1,33,1x x f x x x x x +≥⎧=+-=⎨-<⎩， 当1≥x 时，()1f x x =+，显然当1≥x 时，有()(1)2f x f =≥，当1x <时，()3f x x =-，显然当1x <时，有()(1)2f x f >=，因此函数()max{1,3}()f x x x x R =+-∈的最小值是2.故选：B12．B【分析】易得当0k >时，函数2k y x =-在[]4,6上单调递减，在4x =处取得最大值，从而列式计算可得结果.【详解】当0k >时，函数2k y x =-在[]4,6上单调递减， 所以函数2k y x =-（0k >）在4x =处取得最大值，最大值为142k =-， 解得2k =．故选：B .13．)+∞【分析】先求得函数的定义域和单调性，由此可求得函数的值域.【详解】 由已知得2206100x x x -≥⎧⎨-+≥⎩，解得2x ≤，所以()f x 的定义域为{}2x x ≤，且2x ≤时y =y =()f x 在(]2-∞，上是减函数，()()2f x f ≥()f x 的值域为)+∞.故答案为：)+∞.14．(,0]-∞【分析】先通过取x 的特殊值0，1，-1得到a ≤0，然后，利用分类讨论思想，分(]0,1x ∈和(]1,0x ∈-两个范围分别证明a ≤0时符合题意.【详解】由题易知(0)23f a =+≤，即1a ≤，所以()1333f a a a a =-+=-+=，又(1)|3|3f a a -=++≤，所以0a ≤.下证0a ≤时，()f x 在[1,1]-上最大值为3.当(0,1]x ∈时，22()22f x x ax a x ax a =-++=-++，max ()(1)3f x f ==; 当[1,0]x ∈-，若12a ≤-，即2a ≤-， 则{}max ()max (1),(0)f x f f =-，满足; 若102a -<≤，即20a -<≤， 此时222122(2)332444a a a f a a a ⎛⎫=-+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭， 而max ()max (1),,(0)2a f x f f f ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，满足;因此，0a ≤符合题意.【点睛】本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a ≤0，然后分类讨论证明a ≤0时符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握.15．[)1,1-【分析】保证在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果.【详解】要使()f x 在R 上是增函数，则431114352a a a a ->⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得11a -≤<.故答案为：[)1,1-.【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．16．(,1]-∞-(或(,1)-∞-都对)【分析】利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；【详解】令21t x =-，则y =21t x =-在(,1)-∞-单调递减，y (0,)+∞单调递增，根据复合函数的单调性可得：y =(,1)-∞-单调递减，故答案为：(,1)-∞-.17．（1）4；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a b ==时，将函数解析式变形为()()1121f x x x =-++-，利用基本不等式可求得()f x 在()1,x ∈+∞上的最小值；（2）任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，作差()()12f x f x -，通过通分、因式分解，然后分0a <、0a >两种情况讨论()()12f x f x -的符号，由此可得出结论.【详解】（1）当1a b ==时，且1x >时，10x ->，()()1111112241111x x f x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++≥=----， 当且仅当2x =时，等号成立，因此，当1a b ==时，函数()f x 在()1,x ∈+∞上的最小值为4；（2）当0b =时，()1ax f x x =-， 任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，即1211x x -<<<，则()()()()()()()()()122121121212121211111111ax x ax x a x x ax ax f x f x x x x x x x -----=-==------， ①当0a <时，因为1211x x -<<<，则210x x ->，110x -<，210x -<，所以，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，此时，函数()f x 在()1,1-上为增函数；②当0a >时，因为1211x x -<<<，则210x x ->，110x -<，210x -<，所以，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，此时，函数()f x 在()1,1-上为减函数.综上所述，当0a <时，函数()f x 在()1,1-上为增函数；当0a >时，函数()f x 在()1,1-上为减函数.18．()max 4f x =，()min 12f x =-． 【分析】利用定义法判断函数的单调性，再根据单调性求得最值．【详解】[]12,3,1x x ∀∈--，且1231x x -≤<≤-()()2212121212122121f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 12121212()()2(1)(1)x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥--⎣⎦， 又由1231x x -≤<≤-，得120x x -<，1262x x -<+<-，()()1241116x x <--<， 则有121212()02(1)(1)x x x x +-<--， 则有()()120f x f x ->，故函数()f x 在区间[]3,1--上单调递减，故()()max 34f x f =-=，()()min 112f x f =-=-． 19．(1) 证明见解析；(2) 最大值174，最小值52. 【分析】 (1) 用定义法证明函数在某区间上的单调性.(2) 利用函数在某区间上为增函数求最值.【详解】(1) 证明：任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1212121x x x x x x --=， 因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->，120x x >，所以()()120f x f x -<，()()12f x f x <.所以函数()f x 在()1,+∞上是增函数.(2) 由(1)知，()f x 在()1,+∞上是增函数，又[]()2,41,⊆+∞，所以()f x 在[]2,4上是增函数，()f x 的最大值为17(4)4f =，最小值为()522f =. 20．2a =，2b =-.【分析】根据对称轴和定义域的关系，分2a ≥和02a <<两种情况讨论函数的最值，即可计算参数.【详解】 函数的对称轴是02a x =-<， 当12a -≤-时，2a ≥，得()()1014f f ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，即110114a b a b -+++=⎧⎨--++=-⎩ 、，解得：2a =，2b =-； 当102a -<-<时，02a <<，得()0214a f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩，即2104110a b a b ⎧++=⎪⎨⎪--++=⎩，解得：2a b ==-，舍去；所以2a =，2b =-.21．（1）1a =，（2）减函数，证明见解析，（3）最大值17，最小值111【分析】（1）由1(2)5f =，可求出a 的值； （2）利用函数的单调性证明即可；（3）由函数的单调性求出函数的最值【详解】解：（1）因为1()2f x x a =+，且1(2)5f =， 所以1145a =+，解得1a =， （2）函数1()21f x x =+在(1,)+∞上为减函数，证明如下： 任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则121211()()2121f x f x x x -=-++ 21122()(21)(21)x x x x -=++ 因为12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，所以210x x ->，12210,210x x +>+>，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 所以函数1()21f x x =+在(1,)+∞上为减函数，（3）由（2）可知1()21f x x =+在[3,5]上为减函数， 所以当3x =时，函数取得最大值，即max 11()2317f x ==⨯+， 当5x =时，函数取得最小值，即min 11()25111f x ==⨯+ 22．（1）单调递增，证明见解析；（2）24,57⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明函数()f x 在区间[]3,5上的单调性； （2）根据函数()f x 在区间[]3,5上的单调性即可求其值域.【详解】（1）()12331222x x f x x x x -+-===-+++在区间[]3,5上单调递增， 证明如下：任取[]12,3,5x x ∈且12x x <，()()1212213333112222f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()12121212323232222x x x x x x x x +-+-==++++， 因为1235x x ≤<≤，所以120x x -<，120x +>，220x +>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间[]3,5上单调递增.（2）由（1）知：()f x 在区间[]3,5上单调递增，所以()()min 3123325f x f -===+，()()max 5145527f x f -===+， 所以函数()f x 的值域是24,57⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
函数的单调性与最值-2025高考数学复习
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高考一轮总复习 • 数学
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归纳拓展 1．复合函数的单调性 函 数 y＝ f(u) ， u ＝ φ(x) ， 在 函 数 y＝ f[φ(x)] 的 定 义 域 上 ， 如 果 y＝ f(u)，u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝ φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．
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(2)解法一：设 1<x1<x2，
x1
x2
ax2－x1
则 f(x1)－f(x2)＝x1－a－x2－a＝x1－ax2－a.
因为 a>0，x2－x1>0，所以要使 f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0 恒成立， 所以 a≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．
－a 解法二：f′(x)＝x－a2<0，
数 f(x)＝x2＋1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是 f(
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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题组三 走向高考 6．(2021·全国甲，4)下列函数中是增函数的为( D ) A．f(x)＝－x B．f(x)＝23x C．f(x)＝x2
f(x)＝－x2－2x＋3x<0， －x－12＋4x≥0，
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)因为 f(－3)<f(2)，则 f(x)在[－3,2]上是增函数．( × ) (2)函数 f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－ 2,3)．( × )
函数的单调性与最值课件
函数在某区间内的单调性可以通过其图像在该区间的走向来直观地表现，即函 数图像在该区间内只上升或只下降。
判断函数单调性的方法
导数法
图像法
通过求函数的导数，分析导数的符号 变化，判断函数的单调性。当导数大 于0时，函数单调递增；当导数小于0 时，函数单调递减。
通过观察函数的图像，分析图像的单 调性。
的极值。
判断函数的零点
利用函数的单调性可以判 断函数是否存在零点，以
及零点的个数和位置。
02
函数的最值
函数最值的定义
函数最值
函数在某个区间内的最大值或最小值。
单调性
函数在某个区间内单调递增或单调递减的 性质。
单调性与最值的关系
单调性有助于确定函数的最值。
函数最值的求法
代数法
通过代数运算和不等式性质求最 值。
02
函数$f(x) = frac{1}{x}$在区间$(infty, 0)$和$(0, +infty)$上都是 单调递减的。
最值实例分析
函数$f(x) = x^2$在$x = 0$处取得最小值$f(0) = 0$，在$x = pm 1$处取得最大值$f(pm 1) = 1$。
函数$f(x) = frac{1}{x}$在$x = pm 1$处取得最小值$f(pm 1) = -1$，在$x = pm infty$处取得最大值$f(pm infty) = 0$。
单调性与最值关联的实例分析
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间 $(-infty, 0)$上是单调递减的，并且 在$x = 0$处取得最小值。
对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区 间$(0, +infty)$上是单调递减的，并 且在$x = pm infty$处取得最大值。
函数的单调性与最值-高考数学复习
）
B. （0，1）
D. （1，＋∞）
解析： 令 t ＝ ，显然 t ＝ 在[0，＋∞）上为增函数.又 y ＝ t
1
1
2
2
－ t ＝－（ t － ） ＋ （ t ≥0）在
2
4
1
0，
2
上单调递增，由
1
得0≤ x ≤ ，所以 f （ x ）的单调递增区间是
4
1
0，
4
1
≤
2
（也可写为
1
（0， ））.故选A.
函数的单调性与最值
目录
1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2. 理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.
目录
1
C O N T E N T S
2
3
知识 逐点夯实
考点 分类突破
课时 跟踪检测
PART
1
知识 逐点夯实
课前自修
必备知识 系统梳理 基础重落实
目录
1. 函数的单调性
【例2】 函数 f （ x ）＝｜ x －2｜ x 的单调递增区间为
和（2，＋∞） .
（－∞，1）
2 − 2， ≥ 2，
解析： f （ x ）＝ቊ 2
作出 f （ x ）的大致
− + 2， < 2.
图象，如图所示，由图象知 f （ x ）的单调递增区间是
（－∞，1）和（2，＋∞）.
C. f （－2）＜ f （1）＜ f （3）
D. f （1）＜ f （－2）＜ f （3）
目录
解析： ∵对任意的 x 1， x 2∈[0，＋∞）且 x 1≠ x 2，有
高中 函数的单调性与最值知识点+例题+练习 含答案
教学内容函数的单调性与最值教学目标掌握求函数的单调性与最值的方法重点单调性与最值难点单调性与最值教学准备教学过程第2讲函数的单调性与最值知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．教学效果分析教学过程【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用教学效果分析课堂巩固一、填空题1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．3．(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是________．4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.6．函数f (x )＝2x －18－3x 的最大值是________．7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.8．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为______．。
高三数学函数的单调性及最值知识点总结
高三数学函数的单调性及最值知识点总结高三数学函数的单调性、最值知识点一单调性的定义：1、对于给定区间D上的函数fx，若对于任意x1，x2∈D，当x1fx2，则称fx是区间D上的减函数。
2、如果函数y=fx在区间上是增函数或减函数，就说函数y=fx在区间D上具有严格的单调性，区间D称为函数fx的单调区间。
如果函数y=fx在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数fx的单调增或减区间3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有fx≤M;②存在x0∈I，使得fx0=M;那么，称M是fx的最大值.最小值：一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有fx≥M;②存在x0∈I，使得fx0=M;那么，称M是fx的最小值判断函数fx在区间D上的单调性的方法：1定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1②作差fx1-fx2或作商，并变形;③判定fx1-fx2的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。
2复合法：利用基本函数的单调性的复合。
3图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
高三数学函数的单调性、最值知识点二函数的单词性函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.单调性的单词区间若函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有严格的单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。
注:在单调性中有如下性质↑增函数↓减函数↑增函数+↑增函数= ↑增函数↑增函数-↓减函数=↑增函数↓减函数+↓减函数=↓减函数↓减函数-↑增函数=↓减函数用定义证明函数的单词性步骤1取值即取x1，x2是该区间崆的任意两个值且x1<x22作差变形即求fx1-fx2，通过因式分解，配方、有理化等方法3定号即根据给定的区间和x2-x1的符号确定fx1-fx2的符号4判断根据单词性的定义得出结论判断函数fx在区间D上的单调性的方法1定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1②作差fx1-fx2或作商，并变形;③判定fx1-fx2的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解5---函数的单调性与最值
高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的单调性与最值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件(1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M (1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值常用结论1．∀x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0(<0)或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0(<0)⇔f (x )在区间D上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反． 4．复合函数的单调性：函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )在函数y ＝f (φ(x ))的定义域上，如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相同，那么y ＝f (φ(x ))单调递增；如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相反，那么y ＝f (φ(x ))单调递减． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若f (x )的定义域为R ，且f (－3)<f (2)，则f (x )为R 上的增函数．(×) (2)函数f (x )在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(×) (3)因为y ＝x 与y ＝e x 都是增函数，所以y ＝x e x 在定义域内为增函数．(×)(4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×) 教材改编题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是() A ．y ＝|x ＋1|B ．y ＝2－x C ．y ＝1x D ．y ＝x 2－x ＋1 答案A2．函数y ＝xx －1在区间[2,3]上的最大值是________．答案2解析函数y ＝x x －1＝1＋1x －1在[2,3]上单调递减，当x ＝2时，y ＝x x －1取得最大值22－1＝2.3．函数y ＝ax －1在(－∞，1)上为增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案(－∞，0)题型一 确定函数的单调性 命题点1求具体函数的单调区间例1下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是________．(填序号) ①y ＝e x －e －x ；②y ＝|x 2－2x |；③y ＝x ＋cos x ；④y ＝x 2＋x －2. 答案①③解析∵y ＝e x 与y ＝－e －x 为R 上的增函数，∴y ＝e x －e －x 为R 上的增函数，故①正确； 由y ＝|x 2－2x |的图象知，故②不正确； 对于③，y ′＝1－sin x ≥0，∴y ＝x ＋cos x 在R 上为增函数，故③正确；y ＝x 2＋x －2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故④不正确．命题点2判断或证明函数的单调性 例2试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解方法一设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．方法二f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 教师备选1．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是__________． 答案[0,1)解析由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．2．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax (x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．证明方法一(定义法)设x 1>x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 当x 1，x 2∈(0，a ]时，0<x 1x 2<a ， ∴x 1x 2－a <0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(0，a ]上单调递减， 当x 1，x 2∈[a ，＋∞)时，x 1x 2>a ， ∴x 1x 2－a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[a ，＋∞)上单调递增． 方法二(导数法)f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2(x >0)，令f ′(x )>0⇒x 2－a >0⇒x >a ， 令f ′(x )<0⇒x 2－a <0⇒0<x <a ，∴f (x )在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．跟踪训练1(1)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 答案D解析f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的定义域为4＋3x －x 2>0， 解得x ∈(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2，对称轴为x ＝32，故单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4，因为y ＝ln t 为增函数，所以f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.(2)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________． 答案[1,2]解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )的大致图象(如图所示)，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]． 题型二 函数单调性的应用 命题点1比较函数值的大小例3(2022·成都模拟)已知函数f (x )为R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，若a ＝f (ln 2)，b ＝f (133)，c ＝f (13e )，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．c <b <aB ．a <c <bC ．a <b <cD ．c <a <b 答案B解析∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)， 均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，∵f(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，又f(x)＝13x在x∈(0，＋∞)上单调递增，∴1<13e<133，又0<ln2<1，∴ln2<13e<133，∴13(3)f>13(e)f>f(ln2)，即a<c<b.命题点2求函数的最值例4(2022·深圳模拟)函数y＝x2＋5x2＋4的最小值为________．答案5 2解析令x2＋4＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝t2＋1t＝t＋1t，函数y＝t＋1t在[2，＋∞)上单调递增，∴当t ＝2时，y min ＝52. 命题点3解不等式例5已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x －1)<2，则实数x 的取值范围是________． 答案(1,2)解析f (x )在定义域(0，＋∞)上是增函数， 且f (1)＝2，∴原不等式可化为f (x －1)<f (1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1<1，x －1>0，解得1<x <2. 命题点4求参数的取值范围 例6函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1，且满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，则实数a 的取值范围是() A ．[4,8) B ．(4,8) C ．(1,8] D ．(1,8) 答案A解析函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以函数f (x )＝⎩⎨⎧ a x ，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1是R 上的增函数，则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a <8，所以实数a 的取值范围为[4,8)．教师备选 1．(2022·嘉峪关模拟)函数f (x )＝ln(x 2－ax －3)在(1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)答案A 解析函数f (x )＝ln(x 2－ax －3)为复合函数，令u (x )＝x 2－ax －3，y ＝ln u 为增函数，故只要u (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上单调递增即可，只要⎩⎨⎧ a 2≤1，u (1)≥0，解得a ≤－2.2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______．答案1解析方法一在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )的图象，依题意，h (x )的图象为如图所示的实线部分．易知点A (2,1)为图象的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.方法二依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 单调递增，当x >2时，h (x )＝3－x 单调递减，因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.思维升华 (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝e |x |，记a ＝f (log 23)，b ＝f (－2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a答案A解析函数f (x )＝e |x |，其定义域为R ，且f (－x )＝e |－x |＝e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )＝e x 为增函数，又b ＝f (－2)＝f (2)，且e>2>log 23，∴f (e)>f (2)>f (log 23)，即a <b <c .(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)答案D解析画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4的图象，如图，由图可知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)， ∵函数在(a ，a ＋1)上单调递增，∴a ＋1≤2或a ≥4，∴a ≤1或a ≥4.(3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则不等式f (2x －1)>f (x ＋1)的解集为________．答案(0,2)解析依题意f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，所以 f (2x －1)>f (x ＋1)⇔(2x －1)2<(x ＋1)2，即4x 2－4x ＋1<x 2＋2x ＋1，即x 2－2x ＝x (x －2)<0⇒x ∈(0,2)．课时精练1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x答案A解析当x∈(0，＋∞)时，y＝1x与y＝－x单调递减，∴y＝1x－x在(0，＋∞)上单调递减．2．函数f(x)＝x1－x在()A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数答案C解析函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝x1－x＝11－x－1，根据函数y＝－1x的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．3．(2022·安徽六安一中月考)若函数f(x)＝2x2＋31＋x2，则f(x)的值域为()A．(－∞，3] B．(2,3) C．(2,3] D．[3，＋∞) 答案C解析f(x)＝2x2＋31＋x2＝2＋1x2＋1，∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1， ∴f (x )∈(2,3]．4．(2022·贵阳模拟)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－2，则满足－2≤f (x －2)≤2的x 的取值范围是()A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[1,3]D ．[0,4]答案C解析因为f (x )为奇函数，若f (1)＝－2，则f (－1)＝2，所以不等式－2≤f (x －2)≤2可化为f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3.5．(2022·南通模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －e －x ，x >0，－x 2，x ≤0，若a ＝50.01，b ＝log 32，c ＝log 20.9，则有()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (a )>f (c )>f (b )D ．f (c )>f (a )>f (b )答案A解析y ＝e x 是增函数，y ＝e －x 是减函数，因此在(0，＋∞)上y ＝e x －e －x 单调递增，且此时f (x )>0.f (x )＝－x 2在x ≤0时单调递增，所以f (x )在R 上单调递增．c ＝log 20.9<0，b ＝log 32，所以0<b <1，a ＝50.01>1，即a >b >c ，所以f (a )>f (b )>f (c )．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ＋2x ，x >0，21－x，x ≤0，则下列结论正确的个数是()①f (x )在R 上为增函数；②f (e)>f (2)；③若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，则a ≤－1或a ≥0；④当x ∈[－1,1]时，f (x )的值域为[1,2]．A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析易知f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，①错误，②正确；若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，则a ≥0或a ＋1≤0，即a ≤－1或a ≥0，故③正确；当x ∈[－1,0]时，f (x )∈[1,2]，当x ∈(0,1]时，f (x )∈(－∞，2]，故x ∈[－1,1]时，f (x )∈(－∞，2]，故④不正确．7．函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________． 答案(－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数的图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．8．(2022·山东师大附中质检)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案(－∞，1]解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≥a ，e a －x ，x <a ， 当x ≥a 时，f (x )单调递增，当x <a 时，f (x )单调递减， 又f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以a ≤1.9．已知函数f (x )＝ax －1ax ＋2a (a >0)，且f (x )在(0,1]上的最大值为g (a )，求g (a )的最小值． 解f (x )＝ax －1ax ＋2a (a >0)，∴f (x )在(0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝a ＋1a， ∴g (a )＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a 即a ＝1时取等号，∴g (a )的最小值为2.10．已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的取值范围． 解(1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(2)f (x )在R 上单调递增．证明如下： ∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －1221x +－a ＋2221x + ＝12122(22)(12)(12)x x x x ⋅-++， ∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2， ∴0<12x <22x ，∴12x －22x <0,12x ＋1>0,22x ＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在R 上单调递增．(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1. ∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)，又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2. ∴x 的取值范围是(－∞，2)．11．定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ,2x －3,6－x }，则M 的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．6答案C解析画出函数M ＝max{2x ,2x －3,6－x }的图象(如图)，由图可知，函数M 在A (2,4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M 的最小值为4.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≤0，－x 3，x >0，当x ∈[m ，m ＋1]时，不等式f (2m －x )<f (x ＋m )恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，－4)B ．(－∞，－2)C ．(－2,2)D ．(－∞，0)答案B解析易知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≤0，－x 3，x >0在x ∈R 上单调递减，又f (2m －x )<f (x ＋m )在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2m－x>x＋m，即2x<m在x∈[m，m＋1]上恒成立，所以2(m＋1)<m，解得m<－2.13．如果几个函数的定义域相同，值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”，则函数y＝x＋x＋1的值域为________，与y是“同域函数”的一个解析式为________．答案[－1，＋∞)y＝x，x∈[－1，＋∞)(答案不唯一)解析y＝x＋x＋1的定义域为[－1，＋∞)，且在[－1，＋∞)上单调递增，∴当x＝－1时，y min＝－1，∴值域为[－1，＋∞)，∴与y是“同域函数”的解析式可为y＝x，x∈[－1，＋∞)．14．设函数f(x)＝ax＋1x＋2a在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么a的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析f(x)＝ax＋2a2－2a2＋1x＋2a＝a－2a2－1x＋2a，定义域为{x|x≠－2a}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，－2a ≤－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0，a ≥1，所以a ≥1.15．(2022·沧州模拟)设函数f (x )＝x 3－sin x ＋x ，则满足f (x )＋f (1－2x )<0的x 的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析f (x )＝x 3－sin x ＋x ，∵f (－x )＝(－x )3－sin(－x )＋(－x )＝－(x 3－sin x ＋x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝3x 2－cos x ＋1≥0，∴f (x )为R 上的增函数，∴f (x )＋f (1－2x )<0可化为f (x )<－f (1－2x )＝f (2x －1)，∴x <2x －1，即x >1，∴满足f (x )＋f (1－2x )<0的x 的取值范围是(1，＋∞)．16．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，且当x >0时，f (x )>－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4. 解(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，因为函数f(x)在R上是增函数，所以x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。
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第4讲函数的单调性与最值★知识梳理函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间(1)如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间(2 )如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数； 如果在某区间上，那么为区间上的减函数；1． 函数的最大（小）值设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。
★重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值重难点：1.对函数单调性的理解（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；)(x f y =A A I ⊆I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =I 0)(>'x f )(x f I I 0)(<'x f )(x f I )(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y =1x 2x )(2121x x x x <<（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间上（）仅是为区间上的增函数（减函数）的充分不必要条件。
（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。
但是要注意，不能用区间上的两个特殊值来代替。
而要证明在某区间上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，，若，有即可。
如果用导数证明在某区间上递增或递减，那么就证明在某区间上或。
（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和 （6）一些单调性的判断规则：①若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。
②复合函数的单调性规则是“异减同增”重难点：2．函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。
（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
I 0)(>'x f 0)(<'x f )(x f I )(x f y =I I )(x f y =I I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f ≥)(x f y =I I 0)(>'x f 0)(<'x f xy 1=)0,(-∞),0(+∞),0()0,(+∞-∞ xy 1=)0,(-∞),0(+∞)(x f )(x g )()(x g x f +★热点考点题型探析考点1 函数的单调性 题型1：讨论函数的单调性[例1] (2008广东)设,函数. 试讨论函数的单调性.题型2：研究抽象函数的单调性[例2] 定义在R 上的函数，，当x ＞0时，，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）. （1）求证：f （0）=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数； （4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.[新题导练]1．（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数的单调递减区间是（）A ．;B ．;C ．;D ．R k ∈⎪⎩⎪⎨⎧≥--<-=1,1,1,11)(x x x xx f R x kx x f x F ∈-=,)()()(x F )(x f y =0)0(≠f 1)(>x f ()()22log 4f x x x =-(0,4)(0,2)(2,4)(2,)+∞2．（东皖高级中学09届高三月考）函数的单调增区间为（ ）A ．；B ．；C ．；D ．3. (2008全国Ⅰ卷)已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．考点2 函数的值域（最值）的求法 题型1：求分式函数的最值[例3] （2000年上海）已知函数 当时，求函数的最小值；212log (56)y x x =-+52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(3)+∞，52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(2)-∞，32()1f x x ax x =+++a ∈R ()f x ()f x 2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，a xax x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 21=a )(x f题型2：利用函数的最值求参数的取值范围[例4] （2000年上海）已知函数 若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
题型3：求三次多项式函数的最值[例5]（09年高州中学）已知为实数，函数，若，求函数在上的最大值和最小值。
[新题导练]4.（09年广东南海）若函数的最大值与最小值分别为M,m ，则M+m =xax x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x [1,),()0x f x ∈+∞>a a ))(1()(2a x x x f ++=0)1('=-f )(x f y =3[,1]2-213ln()1x y x x +=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x5.（高州中学09届模拟）已知函数。
（Ⅰ）若为奇函数，求的值；（Ⅱ）若在上恒大于0，求的取值范围。
备选例题：（06年重庆）已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；)0(4)(2≠++=x xax x x f )(x f a )(x f ),3[+∞a R 12()2x x bf x a+-+=+,a b t R ∈22(2)(2)0f t t f t k -+-<k★抢分频道基础巩固训练：1．（华师附中09高三数学训练题）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是（）A.；B.；C.；D. 2．（普宁市城东中学09）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A ．；B ．；C ．；D ．3．（09汕头金中）下列四个函数中，在区间上为减函数的是（ ）A ．；B ．；C ．；D ．4．（09潮州金山中学）已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是（）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4 5．（06北京改编）已知 是上的减函数，那么的取值范围是6．（2008浙江理）已知t 为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则综合提高训练：7.（06陕西改编）已知函数若则与的大小关系为8．已知函数，求的值b a x x x f +-+=||)(2]0,(-∞a 0a ≤1a ≤0a ≥1a ≥32)(kx k x x h +-=),1(+∞k [2,)-+∞[2,)+∞(,2]-∞-(,2]-∞)41,0(xx y ⎪⎭⎫⎝⎛=21x y )21(-=x x y 2log =31x y =12)(2++=x x x f t []m x ,1∈x t x f ≤+)(m (31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩(,)-∞+∞a t x x y --=22=t 2()24(03),f x ax ax a =++<<01,2121=-++<a x x x x )(1x f )(2x f )21(1223)(≠--=x x x x f )20102009()20102()20101(f f f +++9．（09年汕头金中）对于函数成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值－1叫做， 的下确界为（）A ．；B ．2；C ．；D ．4 10．（08年湖南）设表示不超过的最大整数（如,）,对于给定的N *,定义,求当时，函数的值域M x f x x x f ≥+=)(,2)(2在使的下确界x x x f 2)(2+=且则对于R ∈b a ,,0,不全为b a 222)(b a b a ++2141][x x 2]2[=1]45[=n ∈[][](1)(1),(1)(1)xn n n n x C x x x x --+=--+ x ∈[)1,+∞x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭xC 8。