中考二次函数动点问题(含答案)

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二次函数的动点问题(含答案)

二次函数的动点问题(含答案)

72x =B(0,4)A(6,0)EFxyO 二次函数与四边形一.二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市) 如图,抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧),直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中C 点的横坐标为2.(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式; (2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值;(3)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由.练习1.(河南省实验区) 23.如图,对称轴为直线72x =的抛物线经过点 A (6,0)和 B (0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标;(2)设点E (x ,y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;①当平行四边形OEAF 的面积为24时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形?②是否存在点E ,使平行四边形OEAF 为正方形?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.练习 2.(四川省德阳市)25.如图,已知与x 轴交于点(10)A ,和(50)B ,的抛物线1l 的顶点为(34)C ,,抛物线2l 与1l 关于x 轴对称,顶点为C '.(1)求抛物线2l 的函数关系式;(2)已知原点O ,定点(04)D ,,2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称,则当点P 运动到何处时,以点D O P P ',,,为顶点的四边形是平行四边形?(3)在2l 上是否存在点M ,使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形?若存,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.A5-4- 3-2-1- 1 2 3 455 4 3 2 1 A EBC '1- O 2l 1lx y练习3.(山西卷)如图,已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -,,(20)B -,,(08)E ,. (1)求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式; (2)设抛物线1C 的顶点为M ,抛物线2C 与x 轴分别交于C D ,两点(点C 在点D 的左侧),顶点为N ,四边形MDNA 的面积为S .若点A ,点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点M ,点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点A 与点D 重合为止.求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式,并写出自变量t 的取值范围;(3)当t 为何值时,四边形MDNA 的面积S 有最大值,并求出此最大值;(4)在运动过程中,四边形MDNA 能否形成矩形?若能,求出此时t 的值;若不能,请说明理由.二.二次函数与四边形的面积例1.(资阳市)25.如图10,已知抛物线P :y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上),与y 轴交于点C ,矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上,顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上,抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:x … -3 -2 1 2 … y…-52-4-52…(1) 求A 、B 、C 三点的坐标;(2) 若点D 的坐标为(m ,0),矩形DEFG 的面积为S ,求S 与m 的函数关系,并指出m 的取值范围;(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时,连接DF 并延长至点M ,使FM=k ·DF ,若点M 不在抛物线P 上,求k 的取值范围.练习1.(辽宁省十二市第26题).如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ,点H 的坐标为(-8,0),点N 的坐标为(-6,-4).(1)画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ,并写出顶点A ,B ,C 的坐标(点M 的对应点为A , 点N 的对应点为B , 点H 的对应点为C );(2)求出过A ,B ,C 三点的抛物线的表达式;(3)截取CE =OF =AG =m ,且E ,F ,G 分别在线段CO ,OA ,AB 上,求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;面积S 是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;(4)在(3)的情况下,四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m 的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.图10练习3.(吉林课改卷)如图,正方形ABCD 的边长为2cm ,在对称中心O 处有一钉子.动点P ,Q 同时从点A 出发,点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动,到点C 停止,点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动,到点D 停止.P ,Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y .(1)当01x ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式; (2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求x 值;(3)当12x ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围;(4)当02x ≤≤时,请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象.练习4.(四川资阳卷)如图,已知抛物线l 1:y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点,B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合),抛物线l 2与l 1关于x 轴对称,以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .(1) 求l 2的解析式;(2) 求证:点D 一定在l 2上;(3) □ABCD 能否为矩形?如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由. 注:计算结果不取近似值.三.二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28. 如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC ,已知O (0,0),A (4,0),C (0,3),点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合).现将△PAB 沿PB 翻折,得到△PDB ;再在OC 边上选取适当的点E ,将△POE 沿PE 翻折,得到△PFE ,并使直线PD 、PF 重合.(1)设P (x ,0),E (0,y ),求y 关于x 的函数关系式,并求y 的最大值;(2)如图2,若翻折后点D 落在BC 边上,求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式;(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q ,使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q 的坐标.B CPO D QA BPCO DQ A y321 O1 2 x例2.已知抛物线y =ax2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,线段OB 、OC 的长(OB <OC )是方程x 2-10x +16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x =-2.(1)求A 、B 、C 三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式;(3)连接AC 、BC ,若点E 是线段AB 上的一个动点(与点A 、点B 不重合),过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ,连接CE ,设AE 的长为m ,△CEF 的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;(4)在(3)的基础上试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出S 的最大值,并求出此时点E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.例3..(湖南省郴州)如图,矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,将矩形ABCD 沿对角线A 平移,平移后的矩形为EFGH (A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上),当点E 与C 重时停止移动.平移中EF 与BC 交于点N ,GH 与BC 的延长线交于点M ,EH 与DC 交于点P ,FG 与DC 的延长线交于点Q .设S 表示矩形PCMH 的面积,S '表示矩形NFQC 的面积.(1) S 与S '相等吗?请说明理由.(2)设AE =x ,写出S 和x 之间的函数关系式,并求出x 取何值时S 有最大值,最大值是多少? (3)如图11,连结BE ,当AE 为何值时,ABE ∆是等腰三角形.练习1.如图12, 四边形OABC 为直角梯形,A (4,0),B (3,4),C (0,4). 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动;点N 从B 同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C 运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N 作NP 垂直x 轴于点P ,连结AC 交NP 于Q ,连结MQ .(1)点 (填M 或N )能到达终点;(2)求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式,并写出自 变量t 的取值范围,当t 为何值时,S 的值最大;(3)是否存在点M ,使得△AQM 为直角三角形?若存在,求出点M 的坐标,图2 OC A Bxy DPE F 图1 FE PD y xBA C OxN MQ PHGFEDCBA图11QPN M HGFED CBA图10图12yxP QBCNMOA若不存在,说明理由.练习2..(江西省) 25.实验与探究(1)在图1,2,3中,给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ,,的坐标(如图所示),写出图1,2,3中的顶点C 的坐标,它们分别是(52),, , ;(2)在图4中,给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ,,的坐标(如图所示),求出顶点C 的坐标(C 点坐标用含a b c d e f ,,,,,的代数式表示);归纳与发现(3)通过对图1,2,3,4的观察和顶点C 的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ,,,,,,,(如图4)时,则四个顶点的横坐标a c m e ,,,之间的等量关系为 ;纵坐标b d n f ,,,之间的等量关系为 (不必证明);运用与推广(4)在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,(20)H c ,(其中0c >).问当c 为何值时,该抛物线上存在点P ,使得以G S H P ,,,为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的P 点坐标.yC()A(40)D ,(12)B ,O x图1yC()A(0)D e ,()B c d ,O x图2yC()A a b , ()D e b ,()B c d ,Ox图3yC()A a b ,()D e f ,()B c d ,Ox图472x =B(0,4)A(6,0)EFxyO答案:一.二次函数与四边形的形状例1.解:(1)令y=0,解得11x =-或23x =∴A (-1,0)B (3,0);将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3,∴C (2,-3)∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 (2)设P 点的横坐标为x (-1≤x ≤2)则P 、E 的坐标分别为:P (x ,-x-1), E (2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方,PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时,PE 的最大值=94(3)存在4个这样的点F ,分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-, 练习 1.解:(1)由抛物线的对称轴是72x =,可设解析式为27()2y a x k =-+.把A 、B 两点坐标代入上式,得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之,得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--,顶点为725(,).26-(2)∵点(,)E x y 在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合22725()326y x =--,∴y<0,即 -y>0,-y 表示点E 到OA 的距离.∵OA 是OEAF 的对角线, ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+.因为抛物线与x 轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量x 的 取值范围是1<x <6. ①根据题意,当S = 24时,即274()25242x --+=.化简,得271().24x -=解之,得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个,分别为E 1(3,-4),E 2(4,-4). 点E 1(3,-4)满足OE = AE ,所以OEAF 是菱形; 点E 2(4,-4)不满足OE = AE ,所以OEAF 不是菱形. ② 当OA ⊥EF ,且OA = EF 时,OEAF 是正方形,此时点E 的 坐标只能是(3,-3).而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E , 使OEAF 为正方形.5-4- 3- 2- 1- 12 3 4 554321 A EBC '1- O 2l1lxy5-4-3-2-1-12 3D554 32 1 ACEM BC '1-O 2l 1l xy练习2.解:(1)由题意知点C '的坐标为(34)-,.设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--. 又点(10)A ,在抛物线2(3)4y a x =--上,2(13)40a ∴--=,解得1a =.∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--(或265y x x =-+).(2)P 与P '始终关于x 轴对称, PP '∴与y 轴平行.设点P 的横坐标为m ,则其纵坐标为265m m -+,4OD =,22654m m ∴-+=,即2652m m -+=±.当2652m m -+=时,解得36m =±.当2652m m -+=-时,解得32m =±.∴当点P 运动到(362)-,或(362)+,或(322)--,或(322)+-,时, P P OD ' ∥,以点D O P P ',,,为顶点的四边形是平行四边形.(3)满足条件的点M 不存在.理由如下:若存在满足条件的点M 在2l 上,则90AMB ∠=,30BAM ∠=(或30ABM ∠=),114222BM AB ∴==⨯=.过点M 作ME AB ⊥于点E ,可得30BME BAM ∠=∠=.112122EB BM ∴==⨯=,3EM =,4OE =. ∴点M 的坐标为(43)-,. 但是,当4x =时,246451624533y =-⨯+=-+=-≠-.∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形.练习3. [解] (1)点(40)A -,,点(20)B -,,点(08)E ,关于原点的对称点分别为(40)D ,,(20)C ,,(08)F -,. 设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠,则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩,,.解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩,,.所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-.(2)由(1)可计算得点(31)(31)M N --,,,. 过点N 作NH AD ⊥,垂足为H .当运动到时刻t 时,282AD OD t ==-,12NH t =+.根据中心对称的性质OA OD OM ON ==,,所以四边形MDNA 是平行四边形.所以2ADN S S =△.所以,四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++. 因为运动至点A 与点D 重合为止,据题意可知04t <≤.所以,所求关系式是24148S t t =-++,t 的取值范围是04t <≤. (3)781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,(04t <≤). 所以74t =时,S 有最大值814. 提示:也可用顶点坐标公式来求.(4)在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形. 由(2)知四边形MDNA 是平行四边形,对角线是AD MN ,,所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形.所以OD ON =.所以2222OD ON OH NH ==+.所以22420t t +-=.解之得126262t t =-=--,(舍). 所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形,此时62t =-.[点评]本题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,是一道较传统的压轴题,能力要求较高。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数;下面以a >0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

中考二次函数-动点专题内含答案

中考二次函数-动点专题内含答案

模式1:平行四边形 分类标准:讨论对角线例如:请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形,则可分成以下几种情况 (1)当边AB 是对角线时,那么有BC AP // (2)当边AC 是对角线时,那么有CP AB // (3)当边BC 是对角线时,那么有BP AC //例题1:(山东省阳谷县育才中学模拟10)本题满分14分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式;(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值;(3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y=-x 上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标.练习:图1,抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在B 的左侧),与y 轴相交于点C ,顶点为D . (1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连结BC ,与抛物线的对称轴交于点E ,点P 为线段BC 上的一个动点,过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ,设点P 的横坐标为m .①用含m 的代数式表示线段PF 的长,并求出当m 为何值时,四边形PEDF 为平行四边形? ②设△BCF 的面积为S ,求S 与m 的函数关系.模式2:梯形分类标准:讨论上下底例如:请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形,则可分成以下几种情况 (1)当边AB 是底时,那么有PC AB // (2)当边AC 是底时,那么有BP AC //(3)当边BC 是底时,那么有AP BC //例题2:已知,矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A 的坐标为(4,0),点C 的坐标为)20(-,,直线x y 32-=与边BC 相交于点D .(1)求点D 的坐标;(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ,求此抛物线的表达式;(3)在这个抛物线上是否存在点M ,使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.练习:已知二次函数的图象经过A (2,0)、C (0,12) 两点,且对称轴为直线x =4,设顶点为点P ,与x 轴的另一交点为点B .(1)求二次函数的解析式及顶点P 的坐标;(2)如图1,在直线 y =2x 上是否存在点D ,使四边形OPBD 为等腰梯形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,点M 是线段OP 上的一个动点(O 、P 两点除外),以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动,过点M 作直线MN //x 轴,交PB 于点N . 将△PMN 沿直线MN 对折,得到△P 1MN . 在动点M 的运动过程中,设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ,运动时间为t 秒,求S 关于t 的函数关系式.模式3:直角三角形分类标准:讨论直角的位置或者斜边的位置例如:请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成直角三角形,则可分成以下几种情况 (1)当A ∠为直角时,AB AC ⊥ (2)当B ∠为直角时,BA BC ⊥ (3)当C ∠为直角时,CB CA ⊥例题3:如图1,已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧),与y 轴交于点C (0,-3),对称轴是直线x =1,直线BC 与抛物线的对称轴交于点D . (1)求抛物线的函数表达式; (2)求直线BC 的函数表达式;(3)点E 为y 轴上一动点,CE 的垂直平分线交CE 于点F ,交抛物线于P 、Q 两点,且点P 在第三象限.①当线段34PQ AB =时,求tan ∠CED 的值;②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P 的坐标.练习:如图1,直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ,点A 的坐标是(-2,0). (1)试说明△ABC 是等腰三角形;(2)动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动,同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M 运动t 秒时,△MON 的面积为S . ① 求S 与t 的函数关系式;② 设点M 在线段OB 上运动时,是否存在S =4的情形?若存在,求出对应的t 值;若不存在请说明理由; ③在运动过程中,当△MON 为直角三角形时,求t 的值.模式4:等腰三角形分类标准:讨论顶角的位置或者底边的位置例如:请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成等腰三角形,则可分成以下几种情况 (1)当A ∠为顶角时,AB AC = (2)当B ∠为顶角时,BA BC = (3)当C ∠为顶角时,CB CA =例题4:已知:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =2,OC =3,过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ,连接DC ,过点D 作DE ⊥DC ,交OA 于点E . (1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式;(2)将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ,点M 的横坐标为56,那么EF =2GO 是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;AB COP QDyx(3)对于(2)中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在成立,请说明理由.练习:(2012江汉市中考模拟)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)经过点B (12,0)和C (0,-6),对称轴为x =2. (1)求该抛物线的解析式.(2)点D 在线段AB 上且AD =AC ,若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ 被直线CD 垂直平分?若存在,请求出此时的时间t (秒)和点Q 的运动速度;若存在,请说明理由.(3)在(2)的结论下,直线x =1上是否存在点M ,使△MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出所有点M 的坐标;若不存在,请说明理由.模式5:相似三角形突破口:寻找比例关系以及特殊角例题5:(据荆州资料第58页第2题改编)在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BA ⊥AC ,∠B = 450,AD = 2,BC = 6,以BC 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点A 在y 轴上。

二次函数动点专项练习30题(有答案)

二次函数动点专项练习30题(有答案)

二次函数动点专项练习30题(有答案)1.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A,B(点B在点A的左侧),与y 轴交于点C.过动点H(0,m)作平行于x轴的直线l,直线l与二次函数y=﹣x2+x+2的图象相交于点D,E.(1)写出点A,点B的坐标;(2)若m>0,以DE为直径作⊙Q,当⊙Q与x轴相切时,求m的值;(3)直线l上是否存在一点F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.2.如图,已知抛物线y=﹣+bx+c图象经过A(﹣1,0),B(4,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)若C(m,m﹣1)是抛物线上位于第一象限内的点,D是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过点D 分别作DE∥BC交AC于E,DF∥AC交BC于F.①求证:四边形DECF是矩形;②连接EF,线段EF的长是否存在最小值?若存在,求出EF的最小值;若不存在,请说明理由.3.如图,抛物线y=(x﹣3)2﹣1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD,求证:∠AEO=∠ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.4.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三点.(1)求这条抛物线的解析式;(2)E为抛物线上一动点,是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似?若存在,试求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若将直线BC平移,使其经过点A,且与抛物线相交于点D,连接BD,试求出∠BDA的度数.5.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点,其中点A 在y轴上,P为线段AB上一动点(除A,B两端点外),过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q设线段PQ 的长为l,点P的横坐标为x.(1)求二次函数的解析式;(2)求l与x之间的函数关系式,并求出l的取值范围;(3)线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C,直线y=﹣2x+7经过抛物线上一点B(5,m),且与直线x=2交于点E.(1)求m的值及该抛物线的函数关系式;(2)若点D是x轴上一动点,当△DCB∽△ECB时,求点D的坐标;(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PC?若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.7.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中OA=5,AB=2,抛物线y=﹣x 2+3x的图象与BC交于D、E两点.(1)求DE的长_________;(2)M是BC上的动点,若OM⊥AM,求点M的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣4,0)和B(1,0)两点,与y轴交于C(0,﹣2)点.(1)求此抛物线的解析式;(2)设G是线段BC上的动点,作GH∥AC交AB于H,连接CH,当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时,求H点的坐标;(3)若M为抛物线上A、C两点间的一个动点,过M作y轴的平行线,交AC于N,当M点运动到什么位置时,线段MN的值最大,并求此时M点的坐标.9.如图,抛物线y=ax 2+bx+3(a≠0)的图象经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C.(1)直接写出点C的坐标;(2)试求抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的函数关系式;(3)连接AC,点E为线段AC上的动点(不与A、C重合),经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F.当△OEF 的面积取得最小值时,请求出点E的坐标.10.抛物线y=a(x+6)2﹣3与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于C,D为抛物线的顶点,直线DE⊥x轴,垂足为E,AE2=3DE.(1)求这个抛物线的解析式;(2)P为直线DE上的一动点,以PC为斜边构造直角三角形,使直角顶点落在x轴上.若在x轴上的直角顶点只有一个时,求点P的坐标;(3)M为抛物线上的一动点,过M作直线MN⊥DM,交直线DE于N,当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时,是否存在使点E三等分线段DN的情况?若存在,请求出所有符合条件的M的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c经过点A(2,3),B(6,1),C(0,﹣2).(1)求此抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为顶点式;(2)点P是抛物线对称轴上的动点,当AP⊥CP时,求点P的坐标;(3)设直线BC与x轴交于点D,点H是抛物线与x轴的一个交点,点E(t,n)是抛物线上的动点,四边形OEDC 的面积为S.当S取何值时,满足条件的点E只有一个?当S取何值时,满足条件的点E有两个?12.如图,抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(﹣1,0)、(0,3)(1)求此抛物线对应的函数解析式;(2)若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点,求△ABP面积的最大值;(3)若过点A(﹣1,0)的直线AD与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形的面积为6,求此直线的解析式.13.已知抛物线y=ax 2+bx+c的对称轴为直线x=2,且与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,﹣3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A).①如图1.当△PBC面积与△ABC面积相等时.求点P的坐标;②如图2.当∠PCB=∠BCA时,求直线CP的解析式.14.如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点E.(1)求点E的坐标;(2)求抛物线的函数解析式;(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧),连接ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标;(4)连接AN,当△BON面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应)的点P的坐标.15.如图,抛物线y=ax2+bx+(a≠0)经过A(﹣3,0)、C(5,0)两点,点B为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求此抛物线的解析式;(2)动点P从点B出发,沿线段BD向终点D作匀速运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为ts,过点P作PM⊥BD交BC于点M,过点M作MN∥BD,交抛物线于点N.①当t为何值时,线段MN最长;②在点P运动的过程中,是否有某一时刻,使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形?若存在,求出此刻的t值;若不存在,请说明理由.参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是.16.如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(﹣4,0)和B.(1)求该抛物线的解析式;(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CEQ的面积最大时,求点Q 的坐标;(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(﹣2,0).问是否有直线l,使△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.17.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2++c与x轴交于点(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,4).(1)求抛物线的解析式;(2)若P是抛物线上一点,且△ABP的面积是,求P点的坐标;(3)若D是线段BC上的一个动点,过点D作DE⊥BC,交OC于E点.设CD的长为t,四边形DEOB的周长为l,求l与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.18.(2011?宝安区三模)如图,在直角坐标系中,点A(2,0),点B(0,4),AB的垂直平分线交AB于C,交x 轴于D,(1)求点C、D的坐标;(2)求过点B、C、D的抛物线的解析式;(3)点P为CD间的抛物线上一点,求当点P在何处时,以P,C,D,B为顶点的四边形的面积最大?19.(2010?菏泽)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c经过原点O,与x轴交于另一点N,直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点,与抛物线交于B(1,m)、C(2,2)两点.(1)求直线与抛物线的解析式;(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x,y),设∠PON=α,求当△PON的面积最大时tanα的值;(3)若动点P保持(2)中的运动路线,问是否存在点P,使得△POA的面积等于△PON面积的?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.20.已知抛物线y=ax 2+bx+c的顶点为A(3,﹣3),与x轴的一个交点为B(1,0).(1)求抛物线的解析式.(2)P是y轴上一个动点,求使P到A、B两点的距离之和最小的点P0的坐标.(3)设抛物线与x轴的另一个交点为C.在抛物线上是否存在点M,使得△MBC的面积等于以点A、P0、B、C 为顶点的四边形面积的三分之一?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.21.如图,已知抛物线y=+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,﹣1).(1)求抛物线的解析式;(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连接DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.22.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,﹣1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上的一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥y轴,交AC于点D.(1)求该抛物线的函数关系式;(2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标;(3)在题(2)的结论下,若点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.23.如图,在直角坐标系xOy中,正方形OCBA的顶点A,C分别在y轴,x轴上,点B坐标为(6,6),抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B两点,且3a﹣b=﹣1.(1)求a,b,c的值;(2)如果动点E,F同时分别从点A,点B出发,分别沿A→B,B→C运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E 到达终点B时,点E,F随之停止运动,设运动时间为t秒,△EBF的面积为S.①试求出S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E,B,R,F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由.24.如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,﹣2)三点.(1)求出抛物线的解析式;(2)P是(1)中抛物线AB段上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△ACO相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.25.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.26.如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B两点的坐标分别为(4,0)、(0,2),将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,抛物线y=ax2﹣2ax+4经过点A.(1)求抛物线的函数表达式,并判断点D是否在该抛物线上;(2)如图2,若点P是抛物线对称轴上的一个动点,求使|PC﹣PD|的值最大时点P的坐标;(3)设抛物线上是否存在点E,使△CDE是以CD为直角边的直角三角形?若存在,请求出所有点E的坐标;若不存在,请说明理由.27.已知抛物线y=x2+bx+1的顶点在x轴上,且与y轴交于A点.直线y=kx+m经过A、B两点,点B的坐标为(3,4).(1)求抛物线的解析式,并判断点B是否在抛物线上;(2)如果点B在抛物线上,P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长h,点P的横坐标为x,当x为何值时,h取得最大值,求出这时的h值.28.如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P;(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM﹣MC|的值最大,求出点M的坐标.29.阅读材料:如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ABC=ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题:如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;(3)是否存在抛物线上一点P,使S△PAB=S△CAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.30.如图,抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1,x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根.(1)求这条抛物线的解析式;(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标;(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.二次函数动点30题参考答案:1.解:(1)当y=0时,有,解得:x1=4,x2=﹣1,∴A、B两点的坐标分别为(4,0)和(﹣1,0).(2)∵⊙Q与x轴相切,且与交于D、E两点,∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处,∵抛物线的对称轴为,⊙Q的半径为H点的纵坐标m(m>0),∴D、E两点的坐标分别为:(﹣m,m),(+m,m)∵E点在二次函数的图象上,∴,解得或(不合题意,舍去).(3)存在.①如图1,当∠ACF=90°,AC=FC时,过点F作FG⊥y轴于G,∴∠AOC=∠CGF=90°,∵∠ACO+∠FCG=90°,∠GFC+∠FCG=90°,∴∠ACO=∠CFG,∴△ACO≌△CFG,∴CG=AO=4,∵CO=2,∴m=OG=2+4=6;反向延长FC,使得CF=CF′,此时△ACF′亦为等腰直角三角形,易得y C﹣y F′=CG=4,∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2.②如图2,当∠CAF=90°,AC=AF时,过点F作FP⊥x轴于P,∵∠AOC=∠APF=90°,∠ACO+∠OAC=90°,∠FAP+∠OAC=90°,∴∠ACO=∠FAP,∴△ACO≌△∠FAP,∴FP=AO=4,∴m=FP=4;反向延长FA,使得AF=AF′,此时△ACF’亦为等腰直角三角形,易得y A﹣y F′=FP=4,∴m=0﹣4=﹣4.③如图3,当∠AFC=90°,FA=FC时,则F点一定在AC的中垂线上,此时存在两个点分别记为F,F′,分别过F,F′两点作x轴、y轴的垂线,分别交于E,G,D,H.∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°,∴∠DFC=∠EFA,∵∠CDF=∠AEF,CF=AF,∴△CDF≌△AEF,∴CD=AE,DF=EF,∴四边形OEFD为正方形,∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD,∴4=2+2?CD,∴CD=1,∴m=OC+CD=2+1=3.∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A,∴∠HF′C=∠GF′A,∵∠HF′C=∠GF′A,CF′=AF′,∴△HF′C≌△GF′A,∴HF′=GF′,CH=AG,∴四边形OHF′G为正方形,∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2,∴OH=1,∴m=﹣1.∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+,∴y的最大值为.∵直线l与抛物线有两个交点,∴m<.∴m可取值为:﹣4、﹣2、﹣1或3.综上所述,直线l上存在一点F,使得△ACF是等腰直角三角形,m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3 2.(1)∵抛物线y=﹣+bx+c图象经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,∴根据题意,得,解得,所以抛物线的解析式为:;(2)①证明:∵把C(m,m﹣1)代入得∴,解得:m=3或m=﹣2,∵C(m,m﹣1)位于第一象限,∴,∴m>1,∴m=﹣2舍去,∴m=3,∴点C坐标为(3,2),过C点作CH⊥AB,垂足为H,则∠AHC=∠BHC=90°,由A(﹣1,0)、B(4,0)、C(3,2)得AH=4,CH=2,BH=1,AB=5∵,∠AHC=∠BHC=90°∴△AHC∽△CHB,∴∠ACH=∠CBH,∵∠CBH+∠BCH=90°∴∠ACH+∠BCH=90°∴∠ACB=90°,∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DECF是平行四边形,∴?DECF是矩形;②存在;连接CD∵四边形DECF是矩形,∴EF=CD,当CD⊥AB时,CD的值最小,∵C(3,2),∴DC的最小值是2,∴EF的最小值是2;3. (1)解:顶点D的坐标为(3,﹣1).令y=0,得(x﹣3)2﹣1=0,解得:x1=3+,x2=3﹣,∵点A在点B的左侧,∴A(3﹣,0),B(3+,0).(2)证明:如答图1,过顶点D作DG⊥y轴于点G,则G(0,﹣1),GD=3.令x=0,得y=,∴C(0,).∴CG=OC+OG=+1=,∴tan∠DCG=.设对称轴交x轴于点M,则OM=3,DM=1,AM=3﹣(3﹣)=.由OE⊥CD,易知∠EOM=∠DCG.∴tan∠EOM=tan∠DCG==,解得EM=2,∴DE=EM+DM=3.在Rt△AEM中,AM=,EM=2,由勾股定理得:AE=;在Rt△ADM中,AM=,DM=1,由勾股定理得:AD=.∵AE2+AD2=6+3=9=DE2,∴△ADE为直角三角形,∠EAD=90°.设AE交CD于点F,∵∠AEO+∠EFH=90°,∠ADC+AFD=90°,∠EFH=∠AFD(对顶角相等),∴∠AEO=∠ADC.(3)解:依题意画出图形,如答图2所示:由⊙E的半径为1,根据切线性质及勾股定理,得PQ2=EP2﹣1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.设点P坐标为(x,y),由勾股定理得:EP2=(x﹣3)2+(y﹣2)2.∵y=(x﹣3)2﹣1,∴(x﹣3)2=2y+2.∴EP2=2y+2+(y﹣2)2=(y﹣1)2+5当y=1时,EP2有最小值,最小值为5.将y=1代入y=(x﹣3)2﹣1,得(x﹣3)2﹣1=1,解得:x1=1,x2=5.又∵点P在对称轴右侧的抛物线上,∴x1=1舍去.∴P(5,1).此时点Q坐标为(3,1)或(,)4.解:(1)∵该抛物线过点C(0,2),∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.将A(﹣1,0),B(4,0)代入,得,解得,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2.(2)存在.由图象可知,以A、B为直角顶点的△ABE不存在,所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形.在Rt△BOC中,OC=2,OB=4,∴BC==.在Rt△BOC中,设BC边上的高为h,则×h=×2×4,∴h=.∵△BEA∽△COB,设E点坐标为(x,y),∴=,∴y=±2将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2,得x1=0,x2=3.当y=﹣2时,不合题意舍去.∴E点坐标为(0,2),(3,2).(3)如图2,连结AC,作DE⊥x轴于点E,作BF⊥AD于点F,∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°.设BC的解析式为y=kx+b,由图象,得,∴,y BC=﹣x+2.由BC∥AD,设AD的解析式为y=﹣x+n,由图象,得0=﹣×(﹣1)+n∴n=﹣,y AD=﹣x﹣.∴﹣x2+x+2=﹣x﹣,解得:x1=﹣1,x2=5∴D(﹣1,0)与A重合,舍去;∴D(5,﹣3).∵DE⊥x轴,∴DE=3,OE=5.由勾股定理,得BD=.∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2),∴OA=1,OB=4,OC=2.∴AB=5在Rt△AOC中,Rt△BOC中,由勾股定理,得AC=,BC=2,∴AC2=5,BC2=20,AB2=25,∴AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形,∴∠ACB=90°.∵BC∥AD,∴∠CAF+∠ACB=180°,∴∠CAF=90°.∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°,∴四边形ACBF是矩形,∴AC=BF=,在Rt△BFD中,由勾股定理,得DF=,∴DF=BF,∴∠ADB=45°5.解:(1)依题意,设二次函数的解析式为y=a(x﹣2)2,由于直线y=x+2与y轴交于(0,2),∴x=0,y=2满足y=a(x﹣2)2,于是求得a=,二次函数的解析式为y=(x﹣2)2;(2)∵PQ⊥x轴且横坐标为x,∴l=(x+2)﹣(x﹣2)2=﹣x2+3x,由得点B的坐标为B(6,8),∵点p在线段AB上运动,∴0<x<6.∵,∴当x=3时,.∴0<l<;(3)作MQ∥AP.过M作MD∥PQ,MD交AB于N,则四边形PQMD为平行四边形.∴MD=PQ,∵M(2,0),∴D(2,4),∴MD=4.∴.∴x2﹣6x+8=0,∴x1=2,x2=4.∵2<x<6,∴x=4.∴P(4,6),Q(4,2).即P点的坐标为:(4,6)6.:(1)∵点B(5,m)在直线y=﹣2x+7上,∴m=﹣5×2+7=﹣3,∴B(5,﹣3),∵抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=2,∴点A的坐标为(4,0)设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x﹣0)(x﹣4),将点B(5,﹣3)代入上式,得﹣3=a(5﹣0)(5﹣4),∴a=﹣,∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=﹣x(x﹣4),即y=﹣x2+x.(2)∵点A(4,0),B(5,﹣3),C(2,0),∴AC=4﹣2=2,BC==3,当点D在直线x=2的右侧时,当△DCB∽△ECB,∴=,即=,解得:CD=9,∴点D的坐标为:(11,0),当点D在直线x=2的左侧时,∵∠ACB=∠CDB+∠CBA,且∠ACB<∠DCB,∴在△DCB中不可能存在与∠DCB相等的角,即此时不存在点使三角形相似;综上所述,存在点D的坐标是(11,0),使三角形相似;(3)存在符合条件的点P使PB=PC,∵C(2,0),B(5,﹣3),∴∠ACB=45°,BC垂直平分线的解析式为:y=x﹣5,∴,∴解得:,,∴符合条件的点P的坐标为(,)或(,).7.解:(1)由图知:点D、E的纵坐标为2,依题意,有:﹣x2+3x=2,解得:x1=1、x2=2∴D(1,2)、E(2,2),DE=1.(2)如右图;矩形OABC中,∠OMA=90°,∴∠CMO=∠MAB=90°﹣∠AMB,又∠OCM=∠MBA=90°,∴△OCM∽△MBA,有:=设点M(m,2),则:CM=m,BM=5﹣m∴=,解得m1=1,m2=4∴点M的坐标为(1,2)或(4,2).(3)若以D、O、Q、M为顶点的四边形是平行四边形,那么点D、M不共点,所以点M取(4,2);①当DM为平行四边形的对角线时,点O、Q关于DM的中点对称,即点Q的纵坐标为4,由图知,点Q必不在抛物线图象上,不合题意;②当DM为平行四边形的边时,OM∥OQ,且OM=OQ;∵D(1,2)、M(4,2)∴OQ=DM=3,即Q(﹣3,0)或(3,0);经验证,点(﹣3,0)不在抛物线图象上;点(3,0)在抛物线图象上;综上,存在符合条件的点Q,且坐标为(3,0)8. 解:(1)设抛物线的解析式:y=a(x+4)(x﹣1),代入C(0,﹣2),得:﹣2=a(0+4)(0﹣1),解得:a=故抛物线的解析式:y=(x+4)(x﹣1)=x2+x﹣2.(2)∵当△BGH的面积是△CGH面积的3倍,∴BG:CG=3:1,即BG:BC=3:4;∵GH∥AC,∴==;易知:BA=OB+OA=5,则BH=AB=,∴OH=BH﹣OB=﹣1=,即H(﹣,0).(3)设直线AC:y=kx+b,代入A(﹣4,0)、C(0,﹣2),得:,解得故直线AC:y=﹣x﹣2;设M(x,x2+x﹣2),则N(x,﹣x﹣2),则:MN=(﹣x﹣2)﹣(x2+x﹣2)=﹣x2﹣2x=﹣(x+2)2+2因此当M运动到OA的中垂线上,即M(﹣2,﹣3)时,线段MN的长最大.9.(1)令x=0,可得y=3,故点C的坐标为(0,3);(2)将点A(3,0),B(4,1)代入可得:,解得:,故函数解析式为y=x2﹣x+3;(3)如图,∵点A(3,0),点B(4,1),∴直线AB的解析式为:y=x﹣3,∵A(3,0),C(0,3),∴OA=3,OC=3,∴tan∠OAC===1,∴∠OAC=45°,∴∠OAC=∠OAF=45°,∵∠OEF=∠OAF=45°,∠OFE=∠OAE=45°,∴OE=OF,∠EOF=180°﹣45°×2=90°,∴△OEF是等腰直角三角形,∴S△OEF=×OE×OF=OE2,当OE最小时,S△FEO最小,根据等腰直角三角形的性质,当OE⊥AC时,OE最小,此时点E为AC的中点,故点E的坐标为(,).10.解:(1)易知抛物线的顶点D(﹣6,﹣3),则DE=3,OE=6;∵AE2=3DE=9,∴AE=3,即A(﹣3,0);将A点坐标代入抛物线的解析式中,得:a(﹣3+6)2﹣3=0,即a=,即抛物线的解析式为:y=(x+6)2﹣3=x2+4x+9.(2)设点P(﹣6,t),易知C(0,9);则PC的中点Q(﹣3,);易知:PC=;若以PC为斜边构造直角三角形,在x轴上的直角顶点只有一个时,以PC为直径的圆与x轴相切,即:||=,解得t=1,故点P(﹣6,1),当点P与点E重合时,由抛物线的解析式可知,A(﹣3,0),B(﹣9,0).所以P(﹣6,0),故点P的坐标为(﹣6,1)或(﹣6,0),(3)设点M(a,b)(a<0,b>0),分两种情况讨论:①当NE=2DE时,NE=6,即N(﹣6,6),已知D(﹣6,﹣3),则有:直线MN的斜率:k1=,直线MD的斜率:k2=;由于MN⊥DM,则k1?k2==﹣1,整理得:a2+b2+12a﹣3b+18=0…(△),由抛物线的解析式得:a2+4a+9=b,整理得:a2+12a﹣3b+27=0…(□);(△)﹣(□)得:b2=9,即b=3(负值舍去),将b=3代入(□)得:a=﹣6+3,a=﹣6﹣3,故点M(﹣6+3,3)或(﹣6﹣3,3);②当2NE=DE时,NE=,即N(﹣6,),已知D(﹣6,﹣3),则有:直线MN的斜率:k1=,直线DM的斜率:k2=;由题意得:k1?k2==﹣1,整理得:a2+b2+b+12a+=0,而a2+12a﹣3b+27=0;两式相减,得:2b2+9b+9=0,解得b=﹣2,b=﹣,(均不符合题意,舍去);综上可知:存在符合条件的M点,且坐标为:M(﹣6+3,3)或(﹣6﹣3,3).11.(1)将A,B,C三点坐标代入y=ax2+bx+c中,得,解得,∴y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣)2+;(2)设点P(,m),分别过A、C两点作对称轴的垂线,垂足为A′,C′,∵AP⊥CP,∴△AA′P∽△PC′C,可得=,即=,解得m1=,m2=﹣,∴P(,)或(,﹣);(3)①由B(6,1),C(0,﹣2),得直线BC的解析式为y=x﹣2,∴D(4,0),当E点为抛物线顶点时,满足条件的点E只有一个,此时S=×4×2+×4×=,∵S△BOC=×2×6=6,∴当6≤S<时,满足条件的点E有两个.②当4<S<6时,﹣x2+x﹣2=0的△>0,方程有两个不相等的实数根,此时0<n<1,需满足的条件点E只能在点H与点B之间的抛物线上,故此时满足条件的点E只有一个.12. 解:(1)∵抛物线的对称轴是直线x=1,设抛物线的解析式是y=a(x﹣1)2+k,∴解得:,∴y=﹣(x﹣1)2+4即y=﹣x2+2x+3(2)∵y=﹣x2+2x+3,当y=0时,∴x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴B(3,0),A(﹣1,0)∴AB=4.设P(a,﹣a2+2a+3)∴S△ABP==﹣2(a﹣1)2+8,∴△ABP面积的最大值为8(3)设D的坐标为(1,b),∴=6,∴b=±6,∴D(1,6)或(1,﹣6),设AD的解析式为y=kx+b,得或解得:或∴直线AD的解析式为:y=3x+3或y=﹣3x﹣313. 解:(1)由题意,得,解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3;(2)①令﹣x2+4x﹣3=0,解得x1=1,x2=3,∴B(3,0),当点P在x轴上方时,如图1,过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P,易求直线BC的解析式为y=x﹣3,∴设直线AP的解析式为y=x+n,∵直线AP过点A(1,0),代入求得n=﹣1.∴直线AP的解析式为y=x﹣1解方程组,得,∴点P1(2,1)当点P在x轴下方时,如图1:设直线AP1交y轴于点E(0,﹣1),把直线BC向下平移2个单位,交抛物线于点P2,P3,得直线P2P3的解析式为y=x﹣5,解方程组,得,∴P2(,),P3(,),综上所述,点P的坐标为:P1(2,1),P2(,),P3(,),②∵B(3,0),C(0,﹣3)∴OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°设直线CP的解析式为y=kx﹣3如图2,延长CP交x轴于点Q,设∠OCA=α,则∠ACB=45°﹣α,∵∠PCB=∠BCA,∴∠PCB=45°﹣α,∴∠OQC=∠OBC﹣∠PCB=45°﹣(45°﹣α)=α,∴∠OCA=∠OQC又∵∠AOC=∠COQ=90°∴Rt△AOC∽Rt△COQ∴,∴,∴OQ=9,∴Q(9,0)∵直线CP过点Q(9,0),∴9k﹣3=0∴∴直线CP的解析式为.其它方法略.114.解:(1)设直线AB解析式为y=kx+b,将A(﹣2,2),B(6,6)代入,得,解得,∴y=x+3,令x=0,∴E(0,3);(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将A(﹣2,2),B(6,6),O(0,0)三点坐标代入,得,解得,∴y=x2﹣x(3)依题意,得直线OB的解析式为y=x,设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m,联立,得x2﹣6x﹣4m=0,当△=36+16m=0时,过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点,则点N到BO的距离最大,所以△BON面积最大,解得m=﹣,x=3,y=,即N(3,);此时△BON面积=×6×6﹣(+6)×3﹣××3=;(4)过点A作AS⊥GQ于S,∵A(﹣2,2),B(6,6),N(3,),∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°,OG=3,NG=,NS=,AS=5,在Rt△SAN和Rt△NOG中,∴tan∠SAN=tan∠NOG=,∴∠SAN=∠NOG,∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG,∴∠OAN=∠NOB,∴ON的延长线上存在一点P,使得△BOP∽△OAN,∵A(﹣2,2),N(3,),∵△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应),即△BOP∽△OAN,∴BO:OA=OP:AN=BP:ON又∵A(﹣2,2),N(3,),B(6,6),∴BO=6,OA=2,AN=,ON=,∴OP=,BP=,设P点坐标为(4x,x),∴16x2+x2=()2,解得x=,4x=15,∵P、P′关于直线y=x轴对称,∴P点坐标为(15,)或(,15).15.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A(﹣3,0),C(5,0)∴解得.∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+.(2)①延长NM 交AC 于E ,∵B 为抛物线y=﹣x 2+x+的顶点,∴B (1,8).(5分)∴BD=8,OD=1.∵C (5,0),∴CD=4.∵PM ⊥BD ,BD ⊥AC ,∴PM ∥AC .∴∠BPM=∠BDC=90°,∠BMP=∠BCD .∴△BPM ∽△BDC .∴=.根据题意可得BP=t ,∴=.∴PM=t .∵MN ∥BD ,PM ∥AC ,∠BDC=90°,∴四边形PMED 为矩形.∴DE=PM=t .∴OE=OD+DE=1+t .∴E (1+t ,0).∵点N 在抛物线上,横坐标为1+t ,∴点N 的纵坐标为﹣(1+t )2+(1+t )+.∴NE=﹣(1+t )2+(1+t )+=﹣t 2+8.∵PB=t ,PD=ME ,∴EM=8﹣t .∴MN=NE ﹣EM=﹣t 2+8﹣(8﹣t )=﹣(t ﹣4)2+2.当t=4时,MN 最大=2.②存在符合条件的t 值.连接OP ,如图(2).若四边形OPMC 是等腰梯形,只需OD=EC .∵OD=1,DE=PM=t ,∴EC=5﹣(t+1).∴5﹣(t+1)=1.解得t=6.∴当t=6时,四边形OPMC是等腰梯形16.(1)由题意,得:,解得:,∴所求抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣x+4.(2)设点Q的坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G.由﹣x2﹣x+4=0,得x1=2,x2=﹣4,∴点B的坐标为(2,0),∴AB=6,BQ=2﹣m,∵QE∥AC,∴△BQE∽△BAC,∴,即,∴EG=(2﹣m),∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=BQ?CO﹣BQ?EG=(2﹣m)[4﹣(2﹣m)]=﹣(m+1)2+3又∵﹣4≤m≤2,∴当m=﹣1时,S△CQE有最大值3,此时Q(﹣1,0).(3)存在.在△ODF中.(ⅰ)若DO=DF,∵A(﹣4,0),D(﹣2,0)∴AD=OD=DF=2,又在Rt△AOC中,OA=OC=4,∴∠OAC=45°,∴∠DFA=∠OAC=45°,∴∠ADF=90°.此时,点F的坐标为(﹣2,2)(ⅱ)若FO=FD,过点F作FM⊥x轴于点M由等腰三角形的性质得:OM=MD=1,∴AM=3,∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3,∴F(﹣1,3);(ⅲ)若OD=OF,∵OA=OC=4,且∠AOC=90°,∴AC=4,∴点O到AC的距离为2,而OF=OD=2<2,∴此时不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形,综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形,所求点F的坐标为:F(﹣2,2)或(﹣1,3).17.解:(1)∵抛物线y=ax2++c与x轴交于点(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,4).∴,解得:,∴y=﹣x2++4;(2)令y=0,可得x1=﹣1,x2=3,∴B点坐标为:(3,0),设P点坐标为(x,y),依据题意得出:×4×|y|=,∴|y|=,∵y=﹣x2++4;=﹣(x﹣1)2+,∴抛物线开口向下,顶点坐标为(1,),∴纵坐标最大值为:,∴y=﹣,∴﹣=﹣x2++4;解得:x1=﹣2,x2=4,∴P点的坐标为:(4,﹣),(﹣2,﹣);(3)如图所示:在△ABC中,OB=3,CO=4,∠BOC=90°,由勾股定理得BC=5,∵DE⊥BC,∴∠EDC=∠BOC=90°,∵∠DCE=∠OCB,∴△DCE∽△OCB,∴==,∵CD=t,∴==,∴CE=t,DE=t,∴四边形DEOB的周长为l=EO+BO+DB+DE=4﹣t+3+t+5﹣t=12﹣t,t的取值范围是:0<t<.18.:(1)过C作CD⊥x轴于G,∵点C为线段AB的中点,∴CG是△OAB的中位线,∴点C的坐标是(1,2),┅┅┅┅┅┅┅┅(1分)又∵OA=2,OB=4,∴AB=,AC=,显然△ABO∽△ADC,∴,即,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅(2分)∴AD=5OD=AD﹣OA=3,∴点D的坐标是(﹣3,0);┅┅┅┅┅┅┅┅┅(3分)(2)解:设过B(0,4),C(1,2),D(﹣3,0)的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,∴,┅┅┅┅┅┅(4分)解得:,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅(5分)∴抛物线的关系式为;┅┅┅┅┅┅┅┅┅(6分)(3)解:设点P的坐标为(x,y)连BD,过点P作PH⊥x轴于H,交BD于E,S四边形PBCD=S△BCD+S△PBD,∵S△BCD=S△ACD为定值,∴要使四边形PBCD的面积最大就是使△PBD的面积最大,①当P在BD间的抛物线上时,即﹣3<x<0,S△PBD=S△PBE+S△PED=PE×DH+PE×OH=PE×OD=PE,∵PE=PH﹣EH=y P﹣y E,┅┅┅┅┅┅┅┅(7分)直线BD的关系式为y=,∴PE=,=,当x=时,PE最大为,∴点P的坐标(,),┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅(8分)②当P在BC间的抛物线上时,即0<x<1,同理可求出四边形PBCD的面积,很显然,此时四边形PBCD的面积要小于点P在BD间的抛物线上时的四边形PBCD的面积,故P点的坐标是(,).┅┅┅┅┅┅┅┅┅(9分)19.解:(1)将点C(2,2)代入直线y=kx+4,可得k=﹣1所以直线的解析式为y=﹣x+4当x=1时,y=3,所以B点的坐标为(1,3)将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c,可得解得,所以所求的抛物线为y=﹣2x2+5x.(2)因为ON的长是一定值,所以当点P为抛物线的顶点时,△PON的面积最大,又该抛物线的顶点坐标为(),此时tan∠PON=.(3)存在;把x=0代入直线y=﹣x+4得y=4,所以点A(0,4)把y=0代入抛物线y=﹣2x2+5x得x=0或x=,所以点N(,0)设动点P坐标为(x,y),其中y=﹣2x2+5x (0<x<)则得:S△OAP=|OA|?x=2xS△ONP=|ON|?y=?(﹣2x2+5x)=(﹣2x2+5x)由S△OAP=S△ONP,即2x=?(﹣2x2+5x)解得x=0或x=1,舍去x=0得x=1,由此得y=3所以得点P存在,其坐标为(1,3)20.解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x﹣3)2﹣3,依题意有:a(1﹣3)2﹣3=0,a=,∴该抛物线的解析式为:y=(x﹣3)2﹣3=x2﹣x+.(2)设B点关于y轴的对称点为B′,则B′(﹣1,0);设直线AB′的解析式为y=kx+b,则有:,解得;∴y=﹣x﹣;故P0(0,﹣).(3)由(1)的抛物线知:y=x 2﹣x+=(x﹣1)(x﹣5),故C(5,0);∵S四边形AP0BC=S△AB′C﹣S△BB′P0=×6×3﹣×2×=;∴S△BCM=S四边形AP0BC=;易知BC=4,则|y M|=;当M的纵坐标为时,x2﹣x+=,解得x=3+,x=3﹣;当M的纵坐标为﹣时,x2﹣x+=﹣,解得x=3+,x=3﹣;故符合条件的M点有四个,它们的坐标分别是:M1(3+,),M2(3﹣,),M3(3+,﹣),M4(3﹣,﹣).21.:(1)由于抛物线经过A(2,0),C(0,﹣1),则有:,解得;∴抛物线的解析式为:y=﹣x﹣1.(2)∵A(2,0),C(0,﹣1),∴直线AC:y=x﹣1;设D(x,0),则E(x,x﹣1),故DE=0﹣(x﹣1)=1﹣x;∴△DCE的面积:S=DE×|x D|=×(1﹣x)×x=﹣x2+x=﹣(x﹣1)2+,因此当x=1,即D(1,0)时,△DCE的面积最大,且最大值为.(3)由(1)的抛物线解析式易知:B(﹣1,0),可求得直线BC的解析式为:y=﹣x﹣1;设P(x,﹣x﹣1),因为A(2,0),C(0,﹣1),则有:AP2=(x﹣2)2+(﹣x﹣1)2=2x2﹣2x+5,AC2=5,CP2=x2+(﹣x﹣1+1)2=2x2;①当AP=CP时,AP2=CP2,有:2x2﹣2x+5=2x2,解得x=2.5,∴P1(2.5,﹣3.5);②当AP=AC时,AP2=AC2,有:2x2﹣2x+5=5,解得x=0(舍去),x=1,∴P2(1,﹣2);③当CP=AC时,CP2=AC2,有:2x2=5,解得x=±,∴P3(,﹣﹣1),P4(﹣,﹣1);综上所述,存在符合条件的P点,且P点坐标为:P1(2.5,﹣3.5)、P2(1,﹣2)、P3(,﹣﹣1)、P4(﹣,﹣1).22.解:(1)∵抛物线的顶点为Q(2,﹣1),∴设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣1,将C(0,3)代入上式,得:3=a(0﹣2)2﹣1,a=1;∴y=(x﹣2)2﹣1,即y=x2﹣4x+3;(2)分两种情况:①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合;令y=0,得x2﹣4x+3=0,解得x1=1,x2=3;∵点A在点B的右边,∴B(1,0),A(3,0);∴P1(1,0);②当点A为△AP2D2的直角顶点时;∵OA=OC,∠AOC=90°,∴∠OAD2=45°;当∠D2AP2=90°时,∠OAP2=45°,∴AO平分∠D2AP2;又∵P2D2∥y轴,∴P2D2⊥AO,∴P2、D2关于x轴对称;设直线AC的函数关系式为y=kx+b(k≠0).将A(3,0),C(0,3)代入上式得:,解得;∴y=﹣x+3;设D2(x,﹣x+3),P2(x,x2﹣4x+3),则有:(﹣x+3)+(x2﹣4x+3)=0,即x2﹣5x+6=0;解得x1=2,x2=3(舍去);∴当x=2时,y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1;∴P2的坐标为P2(2,﹣1)(即为抛物线顶点).∴P点坐标为P1(1,0),P2(2,﹣1);(3)由(2)知,当P点的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形;当点P的坐标为P2(2,﹣1)(即顶点Q)时,平移直线AP交x轴于点E,交抛物线于F;∵P(2,﹣1),∴可设F(x,1);∴x2﹣4x+3=1,解得x1=2﹣,x2=2+;∴符合条件的F点有两个,即F1(2﹣,1),F2(2+,1).23.解:(1)由已知A(0,6),B(6,6)在抛物线上,得方程组,(1分)解得.(3分)(2)①运动开始t秒时,EB=6﹣t,BF=t,S=EB?BF=(6﹣t)t=﹣t2+3t,(4分)以为S=﹣t2+3t=﹣(t﹣3)2+,所以当t=3时,S有最大值.(5分)②当S取得最大值时,∵由①知t=3,∴BF=3,CF=3,EB=6﹣3=3,若存在某点R,使得以E,B,R,F为顶点的四边形是平行四边形,则FR1=EB且FR1∥EB,。

(二次函数的应用)30道中考动点压轴题和函数压轴题

(二次函数的应用)30道中考动点压轴题和函数压轴题

(二次函数)二次函数30道中考动点压轴题和函数压轴题1如图1,在直角坐标系中,已知△AOC的两个顶点坐标分别为A(2,0),C(0,2).(1)请你以AC的中点为对称中心,画出△AOC的中心对称图形△ABC,此图与原图组成的四边形OABC的形状是,请说明理由;(2)如图2,已知D(12-,0),过A,C,D的抛物线与(1)所得的四边形OABC的边BC交于点E,求抛物线的解析式及点E的坐标;(3)在问题(2)的图形中,一动点P由抛物线上的点A开始,沿四边形OABC的边从A ﹣B﹣C向终点C运动,连接OP交AC于N,若P运动所经过的路程为x,试问:当x为何值时,△AON为等腰三角形(只写出判断的条件与对应的结果)?2如图,在平面直角坐标系中,直线1y=x+12与抛物线2y=ax+bx3-交于A,B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3。

点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D(1)求a,b及sin ACP∠的值(2)设点P的横坐标为m①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m值,使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在,直接写出m值;若不存在,说明理由.3.已知直线y=kx+3(k<0)分别交x轴、y轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒.(1)当k=-1时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标;②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求t的值.(2)当k =-34时,设以C 为顶点的抛物线y =(x +m)2+n 与直线AB 的另一交点为D (如图2).① 求CD 的长;② 设△COD 的OC 边上的高为h ,当t 为何值时,h 的值最大?4.已知二次函数的图象经过A (2,0)、C (0,12)两点,与x 轴的另一交点为点B ,且对称轴为直线x =4,设顶点为点D .(1)求二次函数的解析式及顶点D 的坐标;(2)如图1,在直线y =2x 上是否存在点E ,使四边形ODBE 为等腰梯形?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,点P 是线段OD 上的一个动点(不与O 、D 重合),以每秒 2 个单位长度的速度由点D 向点O 运动,过点P 作直线PQ ∥x 轴,交BD 于点Q ,将△DPQ 沿直线PQ 对折,得到△D 1PQ .在点P 运动的过程中,设△D 1PQ 与梯形OPQB 的重叠部分的面积为S ,运动时间为t 秒,求S 关于t 的函数关系式.5.A 、C 上,抛物线y =-2 3). (1)求抛物线的表达式;(2)如果点P 由点A 出发,沿AB 边以2cm /s 的速度向点B 运动,同时点Q 由点B 出发,沿BC 边以1cm /s 的速度向点C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S =PQ2(cm 2).①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式,并写出t 的取值范围;②当S 取54时,在抛物线上是否存在点R ,使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行图1图2图2 图1四边形?如果存在,求出R 点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)在抛物线的对称轴上求点M ,使得M 到D 、A 的距离之差最大,求出点M 的坐标.6.在梯形OABC 中,CB ∥OA ,∠AOC =60°,∠OAB =90°,OC =2,BC =4,以O 点为原点,OA 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系,另有一边长为2的等边△DEF ,DE 在x 轴上(如图1),如果让△DEF 以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动,开始时点D 与点A 重合,当点D 到达坐标原点时运动停止.(1)设△DEF 运动时间为t ,△DEF 与梯形OABC 重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式;(2)探究:在△DEF 运动过程中,如果射线DF 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ,是否存在这样的时刻t ,使得△OAG 的面积与梯形OABC 的面积相等?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.7.已知二次函数y =ax2+bx -2的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为(4,0),且当x =-2和x =5时二次函数的函数值y 相等. (1)求实数a 、b 的值;(2)如图1,动点E 、F 同时从A 点出发,其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动,点F 以每秒 5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动.当点E 停止运动时,点F 随之停止运动.设运动时间为t 秒.连接EF ,将△AEF 沿EF 翻折,使点A 落在点D 处,得到△DEF .①当t 为何值时,线段DF 平分△ABC 的面积?②是否存在某一时刻t ,使得△DCF 为直角三角形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.③设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式;(3)如图2,点P 在二次函数图象上运动,点Q 在二次函数图象的对称轴上运动,四边形PQBC 能否成为以PQ 为底的等腰梯形?如果能,直接写出P 、Q 两点的坐标;如果不能,请说明理由.8.如图,直线y=-43x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数的图象经过A(-1,0)、B、C三点.(1)求二次函数的表达式;(2)设二次函数图象的顶点为D,求四边形OCDB的面积;(3)若动点E、F同时从O点出发,其中点E以每秒32个单位长度的速度沿折线OBC按O→B→C的路线运动,点F以每秒4个单位长度的速度沿折线OCB按O→C→B的路线运动,当E、F两点相遇时,整个运动随之结束.设运动时间为t(秒),△OEF的面积为S(平方单位).①在E、F两点运动过程中,是否存在EF∥OC?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;②求S关于t的函数关系式,并求S的最大值.9.已知抛物线y=4,0)点B作BC∥x轴交抛物线于点C.动点E、F分别从O、A两点同时出发,其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动,点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动.设动点运动的时间为t(秒).(1)求抛物线的解析式;(2)记△EF A的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求S的最大值,指出此时△EF A的形状;(3)是否存在这样的t值,使△EF A、F两点的坐标;若不存在,请说明理由.10.如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于C 点.(1)求抛物线的解析式;(2)T是抛物线对称轴上的一点,且△ATC是以AC为底的等腰三角形,求点T的坐标;(3)M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行,当点M 到达原点时,点Q 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动,当点M 到达抛物线的对称轴时,两点停止运动.过点M 的直线l ⊥x 轴交AC 或BC 于点P .求点M 的运动时间t 与△APQ 面积S 的函数关系式,并求出S 的最大值.11.如图,对称轴为直线x =-1的抛物线经过点A (-3,0)和点C (0,3),与x 轴的另一交点为B .点P 、Q 同时从B 点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t (秒). (1)求抛物线的解析式;(2)连接PQ ,将△BPQ 沿PQ 翻折,所得的△B ′PQ 与△ABC 重叠部分的面积记为S ,求S 与t 之间的函数关系式,并求S 的最大值; (3)若点D 的坐标为(-4,3),当点B ′ 恰好落在抛物线上时,在抛物线的对称轴时是否存在点M ,使四边形MADB ′的周长最小,若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.12.如图,抛物线y =ax2+bx +152(a ≠0)经过A (-3,0)、C (5,0)两点,点B 为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与x 轴交于点D . (1)求此抛物线的解析式;(2)动点P 从点B 出发,沿线段BD 向终点D 作匀速运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t s ,过点P 作PM ⊥BD 交BC 于点M ,过点M 作MN ∥BD ,交抛物线于点N . ①当t 为何值时,线段MN 最长;②在点P 运动的过程中,是否有某一时刻,使得以O 、P 、形?若存在,求出此刻的t 值;若不存在,请说明理由.13.如图,抛物线y =-x2-2x +3与x 轴相交于点A 、B (A 在B 的左侧),与y 轴交于点C . (1)求线段AC 所在直线的解析式;(2)点M 是第二象限内抛物线上的一点,且S △MAC=12S △MAB,求点M 的坐标; (3)点P 以每秒1个单位长度的速度,沿线段BA 由B 向A 运动,同时,点Q 以每秒2个单位长度的速度,从A 开始沿射线AC 运动,当P 到达A 时,整个运动随即结束.设运动的时间为t 秒.①求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式,并求当t 为何值时,△APQ 的面积最大,最大面积是多少?②在整个运动过程中,以PQ 为直径的圆能否与直线BC 相切?若能,请直接写出相应的t 值;若不能,请说明理由;③直接写出线段PQ 的中点在整个运动过程中所经过路径的长.14.如图,二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3,与x 轴交于A 、B 两点. ⑴求c 的值;⑵如图①,设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点,直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分,试证明线段BD 被直线AC 平分,并求此时直线AC 的函数解析式; ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P 、Q ,使△AQP ≌△ABP ?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用)15.(2010福建福州)如图,在△ABC 中,∠C =45°,BC =10,高AD =8,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . (1)求证:AH AD =EFBC;(2)设EF =x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;(3)当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动),设运动时间为t 秒,矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.16.(2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中,点B 在直线y =2x 上,过点B 作x 轴的垂线,垂足为A ,OA =5.若抛物线y =16x 2+bx +c 过O 、A 两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)若A 点关于直线y =2x 的对称点为C ,判断点C 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)如图2,在(2)的条件下,⊙O 1是以BC 为直径的圆.过原点O 作⊙O 1的切线OP ,P 为切点(点P 与点C 不重合).抛物线上是否存在点Q ,使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由17.(2010江苏无锡)如图,矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(-4,0)和(2,0),BC=设直线AC 与直线x =4交于点E .(1)求以直线x =4为对称轴,且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E ;(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ,M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点,求△CMN 面积的最大值.(第2题)(图1) (图2)18.(2010湖南邵阳)如图,抛物线y =2134x x -++与x 轴交于点A 、B ,与y 轴相交于点C ,顶点为点D ,对称轴l 与直线BC 相交于点E ,与x 轴交于点F 。

二次函数与四边形的动点问题(含答案)

二次函数与四边形的动点问题(含答案)

中考数学《二次函数与四边形》一.二次函数与四边形的形状1如图,抛物线223y x x=--与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式;(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由.二.二次函数与四边形的面积2如图10,已知抛物线P:y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A 在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:x …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标;(2) 若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围;(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时,连接DF并延长至点M,使FM=k·DF,若点M不在抛物线P上,求k的取值范围.三.二次函数与四边形的动态探究3如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合.(1)设P(x,0),E(0,y ),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.图2OCABxyDPE F图1FEPDyxBACOA图10答案: 1.解:(1)令y=0,解得11x =-或23x =∴A (-1,0)B (3,0);将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3,∴C (2,-3)∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1(2)设P 点的横坐标为x (-1≤x ≤2)则P 、E 的坐标分别为:P (x ,-x-1),E (2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方,PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++∴当12x =时,PE 的最大值=94(3)存在4个这样的点F ,分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-,所以2AD NS S =△.所以,四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t tt =-+=-++. 因为运动至点A 与点D 重合为止,据题意可知04t <≤.2. 解:(1)解法一:设)0(2≠++=a c bx axy ,任取x,y 的三组值代入,求出解析式2142y x x =+-,令y=0,求出124,2x x =-=;令x=0,得y=-4,∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4) .解法二:由抛物线P 过点(1,-52),(-3,52-)可知,抛物线P 的对称轴方程为x=-1,又∵ 抛物线P 过(2,0)、(-2,-4),则由抛物线的对称性可知,点A 、B 、C 的坐标分别为 A(2,0),B(-4,0),C(0,-4) .(2)由题意,A D D G A O O C =,而AO=2,OC=4,AD=2-m ,故DG=4-2m ,又 B E E FB O O C=,EF=DG ,得BE=4-2m ,∴ DE=3m ,∴D EFGs =DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m 2(0<m <2) .(3)∵SDEFG=12m-6m 2(0<m <2),∴m=1时,矩形的面积最大,且最大面积是6 .当矩形面积最大时,其顶点为D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0),设直线DF 的解析式为y=kx+b ,易知,k=23,b=-23,∴2233y x =-,又可求得抛物线P 的解析式为:2142y x x =+-,令2233x -=2142x x +-,可求出3611--=x . 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ,则N 的横坐标为1613--,过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ,有F N H E D FD E==161233----=5619-+,点M 不在抛物线P 上,即点M 不与N 重合时,此时k 的取值范围是 k≠5619-+且k >0. 3.解:(1)由已知PB 平分∠APD ,PE 平分∠OPF ,且PD 、PF 重合,则∠BPE =90°.∴∠OPE +∠APB =90°.又∠APB +∠ABP =90°,∴∠OPE =∠PBA ∴Rt △POE ∽Rt △BPA .∴PO BA OEAP=.即34x yx=-.∴y =2114(4)333x x x x -=-+(0<x <4).且当x =2时,y 有最大值13.(2)由已知,△PAB 、△POE 均为等腰三角形,可得P (1,0),E (0,1),B (4,3).设过此三点的抛物线为y =ax 2+bx +c ,则1,0,164 3.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴1,23,21.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩ y =213122x x -+.(3)由(2)知∠EPB =90°,即点Q 与点B 重合时满足条件.直线PB 为y =x -1,与y 轴交于点(0,-1).将PB 向上平移2个单位则过点E (0,1),∴该直线为y =x +1.由21,131,22y x y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得5,6.x y =⎧⎨=⎩∴Q(5,6). 故该抛物线上存在两点Q (4,3)、(5,6)满足条件.。

中考二次函数动点专题含答案

中考二次函数动点专题含答案

模式1:平行四边形分类标准:讨论对角线例如:请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成平行四边形,则可分成以下几种情况(1)当边AB是对角线时,那么有AP//BC(2)当边AC是对角线时,那么有AB//CP(3)当边BC是对角线时,那么有AC//BP例题1:(XX省阳谷县育才中学模拟10)本题满分14分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S 的最大值;(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.2x练习:图1,抛物线yx23与x轴相交于A、B两点(点A在B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF//DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系.1模式2:梯形分类标准:讨论上下底例如:请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成梯形,则可分成以下几种情况(1)当边AB是底时,那么有AB//PC(2)当边AC是底时,那么有AC//BP(3)当边BC是底时,那么有BC//AP例题2:已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,2),直线y 23x 与边BC相交于点D.(1)求点D的坐标;2(2)抛物线yaxbxc经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.练习:已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;2(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式.模式3:直角三角形分类标准:讨论直角的位置或者斜边的位置例如:请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成直角三角形,则可分成以下几种情况(1)当A为直角时,ACAB(2)当B为直角时,BCBA(3)当C为直角时,CACB例题3:如图1,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求直线BC的函数表达式;(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.①当线段3PQAB时,求tan∠CED的值;4②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.34练习:如图1,直线4yx和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0).3(1)试说明△ABC是等腰三角形;(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.①求S与t的函数关系式;②设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由;③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.模式4:等腰三角形分类标准:讨论顶角的位置或者底边的位置例如:请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成等腰三角形,则可分成以下几种情况(1)当A为顶角时,ACAB(2)当B为顶角时,BCBA(3)当C为顶角时,CACB例题4:已知:如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果4DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为65,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在成立,请说明理由.练习:(2012江汉市中考模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式.(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若存在,请说明理由.(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M,使△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.yPODAB xQC模式5:相似三角形突破口:寻找比例关系以及特殊角例题5:(据荆州资料第58页第2题改编)在梯形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AC,∠B=45 0,AD=2,BC=6,以BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点A在y轴上。

中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案

中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案

中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案一、单选题(共12题;共24分)1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∥B=90°,AB=AD=5,BC=4,M、N、E分别是AB、AD、CB上的点,AM=CE=1,AN=3,点P从点M出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动,同时点Q从点N出发,以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动,当其中一个点到达后,另一个点也停止运动.设∥APQ的面积为S,运动时间为t秒,则S与t函数关系的大致图象为()A.B.C.D.2.如图,在平面直角坐标系中,M、N、C三点的坐标分别为(12,1),(3,1),(3,0),点A为线段MN上的一个动点,连接AC,过点A作AB⊥AC交y轴于点B,当点A从M运动到N时,则点B随之运动,设点B的坐标为(0,b),则b的取值范围是()A.−14≤b≤1B.−54≤b≤1C.−94≤b≤12D.−94≤b≤13.如图所示,∥ABC为等腰直角三角形,∥ACB=90°,AC=BC=2,正方形DEFG边长也为2,且AC 与DE在同一直线上,∥ABC从C点与D点重合开始,沿直线DE向右平移,直到点A与点E重合为止,设CD的长为x,∥ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.4.二次函数y=﹣(x﹣1)2+2的顶点坐标是()A.(1,﹣2)B.(1,2)C.(﹣1,2)D.(﹣1,﹣2)5.如图,等腰Rt∥ABC(∥ACB=90°)的直角边与正方形DEFG的边长均为2,且AC与DE在同一直线上,开始时点C与点D重合,让∥ABC沿这条直线向右平移,直到点A与点E重合为止.设CD的长为x,∥ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.6.如图,矩形ABCD中,AB=4cm,AD=5cm,点E在AD上,且AE=3cm,点P、Q同时从点B出发,点P沿BE→ED→DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,它们的运动速度都是1cm/s,设P、Q出发t秒,∥BPQ的面积为y cm2.则y与t的函数关系图象大致是()A.B.C.D.7.如图,∥ABC是边长为4cm的等边三角形,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿A→C→B运动,到达B点即停止运动,过点P作PD∥AB于点D,设运动时间为x(s),∥ADP的面积为y (cm2),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是()A.B.C.D.8.如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心,线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为()A.B.C.D.9.如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∥B=∥C=60°,P、Q同时从B出发,以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣C和B﹣C﹣D方向运动至相遇时停止,设运动时间为t(秒),∥BPQ的面积为S (平方单位),S与t的函数图象如图2所示,则下列结论错误的个数()①当t=4秒时,则S=4 √3②AD=4③当4≤t≤8时,则S=2 √3t ④当t=9秒时,则BP平分四边形ABCD的面积.A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,直线l1:y=−x+4与x轴和y轴分别相交于A、B两点,平行于直线l1的直线l2从原点O出发,沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴和y轴分别相交于C、D两点,运动时间为t秒(0≤t≤4).以CD为斜边作等腰直角ΔCDE(E、O两点分别在CD两侧),若ΔCDE和ΔOAB的重合部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.11.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=2.动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿折线AD→DC运动到点C,同时动点Q也从点A出发,以每秒√3个单位的速度沿AC 运动到点C,当一个点停止运动时,则另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y,运动时间为x秒,则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是()A.B.C.D.12.点C是线段AB上的一点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是()A.当C是AB的中点时,则S最小B.当C是AB的中点时,则S最大C.当C为AB的三等分点时,则S最小D.当C是AB的三等分点时,则S最大二、填空题(共6题;共7分)13.如图,抛物线y = 13x2−23x−83的图象与坐标轴交于A、B、D,顶点为E,以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C,圆心为M,P是半圆上的一动点,连接EP,N是PE的中点,当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是.14.如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(﹣5,0)、(﹣2,0).点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上,设点P的横坐标为m.当0≤m≤3时,则∥PAB的面积S的取值范围是.15.如图,抛物线y=(x-1)2-1与直线y=x交于点O,点B为线段OA上的动点,过点B作BC∥y 轴,交交抛物线于点C,则线段BC长度的最大值为16.如图,在∥ABC中,∥B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发,那么经过秒,四边形APQC的面积最小.17.如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发,均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动,当点E到达点B时,则四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为s时,则四边形EFGH的面积最小,其最小值是cm2.18.如图,抛物线y=13x2+83x−3与x轴交于点A和点B两点,与y轴交于点C,D点为拋物线上第三象限内一动点,当∠ACD+2∠ABC=180∘时,则点D的坐标为.三、综合题(共6题;共73分)19.如图,抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A(−2,0),B(6,0)两点,与y 轴交于点C 直线l :y =12x +n 与抛物线交于A ,D 两点,与y 轴交于点E .(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方,连接PA ,PD ,求当△PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值;(3)y 轴上是否存在点Q ,使∠ADQ =45°,若存在请求点Q 的坐标;若不存在说明理由. 20.在平面直角坐标系中,已知抛物线y =ax 2+bx ﹣4经过A (﹣4,0),C (2,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,∥AMB 的面积为S .求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值.21.如图,抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ,A ,顶点为B ,动点E 在抛物线对称轴上,点F 在对称轴右侧抛物线上,点C 在x 轴正半轴上,且EF =//OC ,连接OE ,CF 得四边形OCFE .(1)求B点坐标;(2)当tan∥EOC= 43时,则显然满足条件的四边形有两个,求出相应的点F的坐标;(3)当0<tan∥EOC<3时,则对于每一个确定的tan∥EOC值,满足条件的四边形OCFE有两个,当这两个四边形的面积之比为1:2时,则求tan∥EOC.22.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动,同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动,且当其中一点到达终点时,则另一个点随之停止移动.设P,Q两点移动的时间为t秒,△PBQ的面积为Scm2.(1)BP=cm;(2)求S与t的函数关系式,并求出△PBQ面积的最大值.23.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(6,0),(6,8)、动点M、N分别从O、B同时出发,都以每秒1个单位的速度运动、其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动、过点N作NP∥BC,交AC于P,连结MP、已知动点运动了t秒、(1)P点的坐标为(,)(用含t的代数式表示);(2)试求∥MPA面积的最大值,并求此时t的值;(3)请你探索:当t为何值时,则∥MPA是一个等腰三角形?24.已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,连接BC.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线BC上方抛物线上取一点P,过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q,求PQ的最大值;(3)在直线BC上方抛物线上取一点D,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S△COF:S△CDF=3:2时,则求点D的坐标.参考答案1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】A12.【答案】A13.【答案】1.5π14.【答案】3≤S≤1515.【答案】9416.【答案】317.【答案】3;1818.【答案】(−7,−163) 19.【答案】(1)解:将A (-2,0)、B (6,0)代入y=ax 2+bx+3得:{4a −2b +3=036a +6b +3=0解得{a =−14b =1∴抛物线的解析式为y=-14x 2+x+3 (2)解:∵y =12x +n 过点于A(−2,0),所以n =1 ∴点D 的坐标为(4,3).如图1中,过点P 作PK ∥y 轴交AD 于点K .设P(m ,−14m 2+m +3),则K(m ,12m +1). ∵S △PAD =12⋅(x D −x A )⋅PK =3PK ∴PK 的值最大值时,则△PAD 的面积最大PK =−14m 2+m +3−12m −1=−14m 2+12m +2=−14(m −1)2+94∵−14<0∴m =1时,则PK 的值最大,最大值为94此时△PAD 的面积的最大值为274,P(1,154). (3)解:存在如图2中,将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AT ,则T(−5,6)设DT 交y 轴于点Q ,则∥∠ADQ =45°∵D(4,3)∴直线DT 的解析式为y =−13x +133∴Q(0,133) 作点T 关于AD 的对称点T ′(1,−6)则直线DT ′的解析式为y =3x −9设DQ ′交y 轴于点Q ′,则∠ADQ ′=45°∴Q ′(0,−9)综上所述,满足条件的点Q 的坐标为(0,133)或(0,−9). 20.【答案】(1)解:将A (﹣4,0),C (2,0)代入y =ax 2+bx ﹣4,得:{16a −4b −4=04a +2b −4=0 ,解得:{a =12b =1∴抛物线解析式为:y =12x 2+x −4 (2)解:如图,过点M 作MN∥AC 于点N∵抛物线y =12x 2+x −4与y 轴交于点B 当x =0 时,则y =−4∴B(0,−4) ,即OB=4∵点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m∴M(m ,12m 2+m −4) ∴ON =−m ,MN =−(12m 2+m −4)=−12m 2−m +4 ∴AN =m −(−4)=m +4∴S △ABM =S △ANM +S 梯形MNOB −S △AOB =12(4+m)(−12m 2−m +4)+12(−12m 2−m +4+4)(−m)−12×4 =−m 2−4m =−(m +2)2+4(−4<m <0)∴当m =−2 时,则S 有最大值,最大值为4∴S 关于m 的函数关系式为S =−m 2−4m , S 的最大值为4.21.【答案】(1)解:∵y=﹣x 2+6x=﹣(x ﹣3)2+9∴B (3,9)(2)解:抛物线的对称轴为直线x=3,直线x=3交x 轴于H ,如图∵tan∥EOC= 43 ,即tan∥EOH= 43∴EH OH = 43∴EH=4∴E 点坐标为(3,4)或(3,﹣4)当y=4时,则﹣(x ﹣3)2+9=4,解得x 1=3﹣ √5 (舍去),x 2=3+ √5当y=﹣4时,则﹣(x ﹣3)2+9=﹣4,解得x 1=3﹣ √13 (舍去),x 2=3+ √13∴F 点坐标为(3+ √5 )或(3+ √13 ,﹣4)(3)解:如图,∵平行四边形OEFC 和平行四边形OE′F′C′等高∴这两个四边形的面积之比为1:2时,则OC′=2OC 设OC=t,则OC′=2t∴F点的横坐标为3+t,F′点的横坐标为3+2t而点F和F′的纵坐标互为相反数∴﹣(3+t﹣3)2+9+[﹣(3+2t﹣3)2+9]=0,解得t1= 3√105,t2=﹣3√105(舍去)∴F点坐标为(3+ 3√105,275)∴E(3,27 5)∴tan∥EOC= 2753= 95.22.【答案】(1)(6-t)(2)解:经过t秒后∴S=12×PB×BQ=12×(6-t)×2t=-t2+6t=−(t−3)2+9∴在移动过程中,△PBQ的最大面积是9cm2.23.【答案】(1)解:6-t;43t(2)解:延长NP交x轴于Q,则有PQ∥QA.设∥MPA的面积为SS=12MA·PQ=12(6—t)43t=— 23t2+4t (0≤t≤6)∴当t =3时,则S的最大值为6(3)解:①若MP=PA ∵PQ∥MA ∴ MQ=QA=t ∴3t=6 即t=2②若MP=MA 则MQ=6—2t PQ=43t PM=MA=6—t在Rt∥PMQ 中∵PM2=MQ2+PQ2 ∴(6—t)2=(6—2t)2+(43t)2∴t =10843③若PA=AM ∵PA=t AM=6—t ∴t=6—t ∴t=94综上所述, t =2或t = 10843 或t = 9424.【答案】(1)解:∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(−1,0)、B(3,0)∴{a −b +3=09a +3b +3=0解得{a =−1b =2∴抛物线的解析式为:y =−x 2+2x +3(2)解:∵抛物线的解析式为:y =−x 2+2x +3 令x =0,则y =3∴C(0,3)∵B(3,0)设直线BC 的解析式为y =kx +b则{b =33k +b =0解得{k =−1b =3直线BC 的解析式为:y =−x +3过点P 作PQ∥x 轴交BC 于点Q ,设P 点坐标为(x ,−x 2+2x +3)则Q 点坐标为(x ,−x +3)则PQ =(−x 2+2x +3)−(−x +3)=−x 2+3x=−(x −32)2+94∴PQ 的最大值是94. (3)解:∵∆COF 与∆CDF 共高,面积比转化为底边比 OF :DF=S∥COF :S∥CDF =3:2过点D 作BC 的平行线交x 轴于G ,交y 轴于E根据平行线分线段成比例OF:FD=OC:CE=3:2∵OC=3∴OE=5∴E(0,5)∴直线EG解析式为:y= -x+5联立方程,得:−x2+2x+3=−x+5解得:x1=1则点D的坐标为(1,4)或(2,3);。

二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)

二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)

二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)二次函数的动态问题(动点)正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(0,10),(8,4),顶点C,D在第一象限。

点P从点A出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E(4,0)出发,沿x轴正方向以相同速度运动。

当点P到达点C时,P,Q两点同时停止运动,设运动的时间为t秒。

1) 求正方形ABCD的边长。

解:作BF⊥y轴于F。

则FB=8,FA=6,AB=10.2) 当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分。

求P,Q两点的运动速度。

解:由图可知,点P从点A运动到点B用了10秒。

又AB=10,故P,Q两点的运动速度均为每秒1个单位。

3) 求(2)中面积S(平方单位)与时间t(秒)的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标。

解:方法一:作PG⊥y轴于G,则PG∥BF。

由相似三角形可得:GA/AP=FA/AB,即6/10=t/AP,故GA=3/5t。

又OG=10-3/5t,OQ=4+t。

则S=1/2×OQ×OG=1/2×(t+4)×(10-3/5t)=-3/10t²+19/5t+20.对XXX求导得:S'=(-6/5)t+19/5,令其为0,解得t=19/3.此时S有最大值。

此时GP=76/15,OG=31/5,P的坐标为(76/15,31/5)。

方法二:当t=5时,OG=7,OQ=9,S=63/2.设所求函数关系式为S=at²+bt+20.抛物线过点(5,63/2),则a=-3/10,b=19/2.代入可得S=-3/10t²+19/2t+20.同样可得最大值时t=19/3,P的坐标为(76/15,31/5)。

4) 若点P,Q保持(2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,∠XXX的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠XXX的大小随着时间t的增大而减小。

中考二次函数动点专题含答案

中考二次函数动点专题含答案

中考二次函数动点专题含答案(总14页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--模式1:平行四边形 分类标准:讨论对角线例如:请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形,则可分成以下几种情况 (1)当边AB 是对角线时,那么有BC AP // (2)当边AC 是对角线时,那么有CP AB // (3)当边BC 是对角线时,那么有BP AC //例题1:(山东省阳谷县育才中学模拟10)本题满分14分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式;(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值;(3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y=-x 上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标.练习:图1,抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在B 的左侧),与y 轴相交于点C ,顶点为D . (1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连结BC ,与抛物线的对称轴交于点E ,点P 为线段BC 上的一个动点,过点P 作PFP C B A 、、、AB PC AB //AC BP AC //BC AP BC //)20(-,x y 32-=AB COP QDyxcbx ax y ++=22P B A 、、A ∠AB AC ⊥B ∠BA BC ⊥C ∠CB CA ⊥34PQ AB=434+-=x y P B A 、、A ∠AB AC =B ∠BA BC =C ∠CBCA =56x y DBCAO2012深圳模拟)(本题12分)已知二次函数c bx x y ++=2与x 轴交于A (-1,0)、B (1,0)两点.(1)求这个二次函数的关系式;(2)若有一半径为r 的⊙P ,且圆心P 在抛物线上运动,当⊙P 与两坐标轴都相切时,求半径r 的值. (3)半径为1的⊙P 在抛物线上,当点P 的纵坐标在什么范围内取值时,⊙P 与y 轴相离、相交2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),与y 轴交于C (0,-3)点,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.(1)分别求出图中直线和抛物线的函数表达式;(2)连结PO 、PC ,并把△POC 沿C O 翻折,得到四边形POP ′C , 那么是否存在点P ,使四边形POP ′C 为菱形?若存在,请求出此时点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:将B 、C 两点的坐标代y=kx+b, 0=3k-3, k=1,∴y=x-3…………1分将B 、C 两点的坐标代入得:⎩⎨⎧-==+303c c b ,解得:⎩⎨⎧-=-=32c b所以二次函数的表达式为:322--=x x y .…………………3分(2)存在点P ,使四边形POP /C 为菱形.设P 点坐标为(x ,322--x x ),PP /交CO 于E.若四边形POP /C 是菱形,则有PC =PO .…………………5分 连结PP /则PE ⊥CO 于E ,∴OE=EC =23∴y =23-.∴322--x x =23- .………………………………6分解得1x =2102+,2x =2102-(不合题意,舍去) ∴P 点的坐标为(2102+,23-).…………………………9分3.(2012江西模拟)已知抛物线234y x x =-++交y 轴于点A ,交x 轴于点B ,C (点B 在点C 的右侧).过点A 作垂直于y 轴的直线l. 在位于直线l 下方的抛物线上任取一点P ,过点P 作直线PQ 平行于y 轴交直线l 于点Q .连接AP . (1)写出A ,B ,C 三点的坐标; (2)若点P 位于抛物线的对称轴的右侧:①如果以A ,P ,Q 三点构成的三角形与△AOC 相似,求出点P 的坐标;②若将△APQ 沿AP 对折,点Q 的对应点为点M .是否存在点P ,使得点M 落在x 轴上.若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.4.(2012安庆模拟)在直角梯形ABCD 中,∠B =90°,AD =1,AB =3,BC =4,M 、N 分别是底边BC 和腰CD 上的两个动点,当点M 在BC 上运动时,始终保持AM ⊥MN 、NP ⊥BC . (1)证明:△CNP 为等腰直角三角形;(2)设NP =x ,当△ABM ≌△MPN 时,求x 的值;(3)设四边形ABPN 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式,并指出x 取何值时,四边形ABPN 的面积最大,最大面积是多少.解:(1)过D 作DQ ⊥BC 于Q ,则四边形ABQD 为平行四边形 DQ=AB=3,BQ=AD=1 ∴QC=DQ △DQC 中∠C=∠QDC =45°C DN∴Rt △NPC 为等腰Rt △ ………………(4分) (2)∵ABM ≌MPN MP=AB=3, BM=NP ∵△NPC 为等腰Rt △∴PC=NP= x ∴BM=BC -MP -PC=1-x ∴1- x= x ∴ x=21 ∴当ABM ≌MPN 时,x =21………………(8分) (3)ABPN S 四边形=21(AB+NP ) BP=21(3+ x )(4-x )=-212x +21 x+ 6=-21( x-21)+(11分) ∴当x 取21时,四边形ABPN 面积最大,最大面积为. ………………(14分) 5.(2012宝应模拟)在直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(2,2),点C 是线段OA 上的一个动点(不运动至O ,A 两点),过点C 作CD ⊥x 轴,垂足为D ,以CD 为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ,连接OF,设OD =t. ⑴ 求tan ∠FOB 的值;⑵用含t 的代数式表示△OAB 的面积S ;⑶是否存在点C, 使以B ,E ,F 为顶点的三角形与△OFE 相似,若存在,请求出所有满足要求的B 点的坐标;若不存在,请说明理由.(1)作AH ⊥x 轴于H ,交CF 于P ∵A(2,2) ∴AH=OH=2 ∴∠AOB=45° ∴CD=OD=DE=EF=t ∴1tan 22t FOB t ∠== ……………………3分 (2)∵CF ∥OB ∴△ACF ∽△AOB∴AP CF AH OB = 即22t tOB-= ∴22t OB t =- ∴12(02)22OAB tS OB AH t t∆=⋅=<<- ………………6分 (3)要使△BEF 与△OFE 相似,∵∠FEO=∠FEB=90° ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB= 即:2BE t =或12EB t =① 当2BE t =时, 4BO t =, ∴242t t t =- ∴0t =(舍去)或32t = ∴B(6,0) ……………………8分 ② 当12EB t =时, (ⅰ) 当B 在E 的右侧时,52OB OE EB t =+=, ∴2522t t t =- ∴0t =(舍去)或65t = ∴B(3,0) …………………10分 (ⅱ) 当B 在E 的左侧时,如图,32OB OE EB t =-=, ∴2322t t t =- ∴0t =(舍去)或23t = ∴B(1,0) ……………………12分 6.(2012广东预测)(本小题满分12分)如图,抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925,-,且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式;(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ,与x 轴相交于C 、D 两点(点C 在点D 的左边), 试求点B 、C 、D 的坐标;(3)设点P 是x 轴上的任意一点,分别连结AC 、BC . 试判断:PB PA +与BC AC +的大小关系,并说明理由.解:(1)(4分)设抛物线的解析式为89252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x a y ………………………1分∵抛物线经过)14,8(A ,∴89258142-⎪⎭⎫ ⎝⎛-a =,解得:21=a …………2分∴8925212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y (或225212+-=x x y ) …………………………1分(2)(4分)令0=x 得2=y ,∴)2,0(B ……………………………………1分 令0=y 得0225212=+-x x ,解得11=x 、42=x ………………………2分 ∴)0 , 1(C 、) 0, 4(D …………………………………………………………1分 (3)(4分)结论:BC AC PB PA +≥+ …………………………………1分理由是:①当点C P 与点重合时,有BC AC PB PA +=+ ………………………………1分②当时异于点点C P ,∵直线AC 经过点)14,8(A 、)0,1(C ,∴直线AC 的解析式为22-=x y ………3分 设直线AC 与y 轴相交于点E ,令0=x ,得2-=y , ∴)2,0(-E ,则)2,0()2,0(B E 与点-关于x 轴对称 ∴EC BC =,连结PE ,则PB PE =, ∴AE EC AC BC AC =+=+, ∵在APE ∆中,有AE PE PA >+∴BC AC AE PE PA PB PA +=>+=+…………………………………1分 综上所得BC AC BP AP +≥+………………………………………………1分 7..如图,已知二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过A (-2,-1),B (0,7)两点. (1)求该抛物线的解析式及对称轴;(第24题图)(2)当x 为何值时,y >0?(3)在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ,与抛物线交于C 、D 两点(点C 在对称轴的左侧),过点C 、D 作x 轴的垂线,垂足分别为F 、E .当矩形CDEF 为正方形时,求C 点的坐标.解:解:(1)把A (-2,-1),B (0,7)两点的坐标代入 y =-x 2+bx +c ,得⎩⎪⎨⎪⎧ -4-2b +c =-1c =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2c =7. 所以,该抛物线的解析式为y =-x 2+2x +7,又因为y =-x 2+2x +7=-(x -1)2+8,所以对称轴为直线x =1. (2)当函数值y =0时,-x 2+2x +7=0的解为x =1±2 2,结合图象,容易知道1-2 2<x <1+2 2时,y >0. (3)当矩形CDEF 为正方形时,设C 点的坐标为(m ,n ), 则n =-m 2+2m +7,即CF =-m 2+2m +7. 因为C 、D 两点的纵坐标相等, 所以C 、D 两点关于对称轴x =1对称, 设点D 的横坐标为p ,则1-m =p -1, 所以p =2-m ,所以CD =(2-m )-m =2-2m .因为CD =CF ,所以2-2m =-m 2+2m +7, 整理,得m 2-4m -5=0,解得m =-1或5. 因为点C 在对称轴的左侧,所以m 只能取-1. 当m =-1时,n =-m 2+2m +7=-(-1)2+2×(-1)+7=4. 于是,点C 的坐标为(-1,4).8.如图,在△ABC 中,已知AB =BC =CA =4cm ,AD ⊥BC 于D ,点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发,其中点P 沿BC 向终点C 运动,速度为1cm/s ;点Q 沿CA 、AB 向终点B 运动,速度为2cm/s ,设它们运动的时间为x(s)。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数;下面以a >0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

2020中考数学 二次函数中动点问题专题练习(含答案)

2020中考数学 二次函数中动点问题专题练习(含答案)

2020中考数学 二次函数中动点问题专题练习(含答案)1. 在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线24(2)9y x c =--+与x 轴交于A 、B 两点(点A在点B 的左侧),交y 轴的正半轴于点C ,其顶点为M ,MH x ⊥轴于点H ,MA 交y 轴于点N ,25sin 5MOH ∠=.(1)求此抛物线的函数表达式;(2)将(1)中的抛物线沿y 轴折叠,使点A 落在点D 处,连接MD ,Q 为(1)中的抛物线上的一动点,直线NQ 交x 轴于点G ,当Q 点在抛物线上运动时,是否存在点Q ,使以A 、N 、G 为顶点的三角形与ADM △相似?若存在,求出所有符合条件的直线QG 的解析式;若不存在,请说明理由.(1)∵M 为抛物线24(2)9y x c =--+的顶点,∴(2,)M c .∴2OH =,||MH c = . ∵0a <,且抛物线与x 轴有交点, ∴0c >,∴MH c =,∵25sin 5MOH ∠=,∴255MH OM =. ∴52OM c =,∵222OM OH MH =+,∴4MH c ==, ∴(2,4)M ,∴22441620(2)49999y x x x =--+=-++; (2)∵(1,0)A -,∴D (1, 0),∵M (2, 4),D (1, 0), ∴直线MD 解析式:44y x =-,∵ON//MH ,∴AON AHM △∽△, ∴13AN ON AO AM MH AH ===, ∴53AN =,43ON =,40,3N ⎛⎫⎪⎝⎭.如图,若ANG AMD △∽△,可得NG//MD ,∴直线QG 解析式:443y x =+,如图,若ANG ADM △∽△,可得AN AGAD AM=∴256AG =,∴19(,0)6G ,∴84:193QG y x =-+,综上所述,符合条件的所有直线QG 的解析式为:443y x =+或84193y x =-+. 2. 如图,已知点(2,4)A -和点(1,0)B 都在抛物线22y mx mx n =++上. (1)求m 、n ;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A 的对应点为A ',点B 的对应点为B ',若四边形AA B B ''为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB '的交点为C ,试在x 轴上找一个点D ,使得以点B '、C 、D 为顶点的三角形与ABC △相似.(1)因为点(2,4)A -和点(1,0)B 都在抛物线22y mx mx n =++上,所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-,4n =.(2)如图,由点(2,4)A -和点(1,0)B ,可得5AB =.因为四边形AA B B ''为菱形,所以5AA B B AB '='==.因为248433y x x =--+2416(1)33x =-++,所以原抛物线的对称轴1x =-向右平移5个单位后,对应的直线为4x =.因此平移后的抛物线的解析式为,2416(4)33y x =--+.(3)由点(2,4)A -和点(6,0)B ',可得AB '=.如图,由//AM CN ,可得B N B CB M B A''='',即28.解得B C 'AC =.又BAC CB D '∠=∠. ①如图,当AB B C AC B D '='=3B D '=.此时3OD =,点D 的坐标为(3,0). ②如图,当AB B D AC B C '='时,=,解得53B D '=.此时133OD =,点D 的坐标为13,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述,1(3,0)D ,213,03D ⎛⎫⎪⎝⎭满足条件.3. 如图,已知抛物线C 1:1(2)()(0)y x x m m m=-+->与x 轴相交于点B 、C ,与y 轴相交于点E ,且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C 1过点()2,2M ,求实数m 的值;(2)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H ,使BH EH +最小,并求出点H 的坐标;xyABO(3)在第四象限内,抛物线C 1上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与BCE △相似?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.(1)∵抛物线C 1过点()2,2M ,∴12(22)(2)m m=-+-,解得4m =. (2)由(1)可得1(2)(4)4y x x =-+-的对称轴为1x =.连接CE ,交对称轴于点H ,由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质,知此时BH EH +最小.设直线CE 的解析式为+y kx b =,则4+02k b b =⎧⎨=⎩,解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴直线CE 的解析式为1+22y x =-.当1x =时,32y =.∴31,2H ⎛⎫⎪⎝⎭.(3)存在.分两种情形讨论:①当BEC BCF △∽△时,如图所示. 则BE BC BC BF=,∴2BC BE BF =⋅.由(2)知(2,0)B -,(0,2)E ,即OB OE =, ∴45EBC ∠=︒,∴45CBF ∠=︒.作FT x ⊥轴于点F ,则.BT TF =∴令(,2)F x x --(x >0),又点F 在抛物线上,∴2x --=1(2)()x x m m-+-,∵20x +>(∵x >0),∴2x m =,2,22)F m m --(.此时22(22)(22)22(1)222BF m m m BE BC m =++--=+==+,, 又2BC BE BF =⋅,∴(m +2)2=2222(1)m ⋅+,解得222m =±.0m >Q ,222m ∴=+.②当BEC FCB △∽△时,如图所示.则BC ECBF BC=,2BC EC BF ∴=⋅.同①,=EBC CFB ∠∠Q ,BTF COE △∽△,2TF OE BT OC m∴==.∴令2,(2)F x x m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(0)x >,又点F 在抛物线上,21(2)|2|()x x x m m m∴-+=-+-.20(0)x x +>>Q ,2x m ∴=+.2(2,(4)F m m m∴+-+,EC =2BC m =+.又2BC EC BF =⋅,2(2)m ∴+=综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点F ,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形2m =.4. 如图,已知抛物线(2)(4)8ky x x =+-(k 为常数,且0k >)与x 轴从左至右依次交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,经过点B 的直线3y x b =-+与抛物线的另一交点为D .(1)若点D 的横坐标为5-,求抛物线的函数表达式; (2)若在第一象限的抛物线上有点P ,使得以A ,B ,P 为顶点的三角形与ABC △相似,求k 的值.(1)83k =;(2)452k =或.5.如图5-1,已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过(3,0A )、(4,4)B 两点.(1)求抛物线的解析式;(2)将直线OB 向下平移m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D ,求m 的值及点D 的坐标;(3)如图5-2,若点N 在抛物线上,且NBO ABO ∠=∠,则在(2)的条件下,求出所有满足POD NOB △∽△的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应).图5-2(1)∵抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(3,0)A 、(4,4)B . ∴,解得.∴抛物线的解析式是.(2)设直线OB 的解析式为1y k x =,由点(4,4)B , 得:,解得:.∴直线OB 的解析式是.∴直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为:. ∵点D 在抛物线上. ∴可设2(,3)D x x x -.又点D 在直线y x m =-上,∴,即. ∵抛物线与直线只有一个公共点, ∴,解得:. 此时,, ∴D 点坐标为(2,2)-.(3)∵直线OB 的解析式为y x =,且(3,0)A ,点A 关于直线OB 的对称点'A 的坐标是(0, 3).设直线'A B 的解析式为,过点(4,4)B ,∴,解得:.∴直线'A B 的解析式是.∵,∴点N 在直线上,∴设点,又点N 在抛物线上,图②图①9301644a b a b +=⎧⎨+=⎩13a b =⎧⎨=-⎩23y x x =-144k =11k =y x =y x m =-23y x x =-23x x x m -=-240x x m -+=1640m ∆=-=4m =122x x ==232y x x =-=-23y k x =+2434k +=214k =134y x =+NBO ABO ∠=∠A B '134N n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,23y x x =-∴, 解得:,(不合题意,舍去),∴点N 的坐标为.方法一:如图1,将沿x 轴翻折,得到, 则,,∴O 、D 、都在直线上. ∵, ∴, ∴, 点的坐标为. 将沿直线翻折,可得另一个满足条件的点. 综上所述,点P 的坐标是或.方法二:如图2,将绕原点顺时针旋转90︒,得到,则,, ∴O 、D 、B 2都在直线y x =-上.∵, ∴, ∴, ∴点的坐标为. 将沿直线翻折,可得另一个满足条件的点. 综上所述,点的坐标是或.21334n n n +=-134n =-24n =345416⎛⎫- ⎪⎝⎭,NOB △11N OB △1345416N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,()144B -,1B y x =-1POD NOB △∽△111POD N OB △∽△11112OP OD ON OB ==1P 345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭,1OPD △y x =-2453328P ⎛⎫⎪⎝⎭,345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭,453328⎛⎫ ⎪⎝⎭,NOB △22N OB △2453164N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()244B -,1POD NOB △∽△122POD N OB △∽△12212OP OD ON OB ==1P 453328⎛⎫⎪⎝⎭,1OPD △y x =-2345832P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,P 345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭,453328⎛⎫ ⎪⎝⎭,6. 如图,已知抛物线211(1)444by x b x =-++(b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴分别交于点A 、B (点A 位于点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C .(1)点B 的坐标为 ,点C 的坐标为 (用含b 的代数式表示); (2)请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且PBC △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得QCO △,QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.(1)令0y =,即211(1)0444by x b x =-++=,解得:1x =或b , ∵b 是实数且2b >,点A 位于点B 的左侧,∴点B 的坐标为(b , 0),令0x =,解得:4by =,∴点C 的坐标为0,4b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故答案为:(b , 0),0,4b ⎛⎫⎪⎝⎭;(2)存在,假设存在这样的点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且PBC △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形.设点P 的坐标为(x , y ),连接OP .则S 四边形112242PCO POB b PCOB S S x b y b =+=⋅⋅=⋅⋅=△△,∴416x y +=.过P 作PD x ⊥轴,PE y ⊥轴,垂足分别为D 、E , ∴90PEO EOD ODP ∠=∠=∠=︒.∴四边形PEOD 是矩形. ∴90EPD ∠=︒.∴EPC DPB ∠=∠. ∴PEC PDB △≌△, ∴PE PD =,即x y =.由416x y x y =⎧⎨+=⎩解得165165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由PEC PDB △≌△得EC DB =, 即1616545b b -=-, 解得128225b =>符合题意.∴P 的坐标为1616,55⎛⎫⎪⎝⎭;(3)假设存在这样的点Q ,使得QCO △,QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似.∵QAB AOQ AQO ∠=∠+∠,∴QAB AOQ ∠∠>,QAB AQO ∠∠>.∴要使QOA △与QAB △相似,只能90QAO BAQ ∠=∠=︒,即QA x ⊥轴. ∵2b >,∴AB OA >,∴QOA ABQ ∠∠>. ∴只能AOQ AQB ∠=∠.此时90OQB ∠=︒, 由QA x ⊥轴知QA ∥y 轴.∴COQ OQA ∠=∠.∴要使QOA △与OQC △相似,只能90QCO ∠=︒或90OQC ∠=︒. (I )当90OCQ ∠=︒时,CQO QOA △≌△.∴4bAQ CO ==.由2AQ OA AB =⋅得:214b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.解得:843b =±.∵2b >,∴843b =+. ∴点Q 的坐标是(1,23)+.(II )当90OQC ∠=︒时,OCQ QCA △∽△,∴OQ AQ CO QO =,即2OQ OC AQ =⋅.又2OQ OA OB =⋅,∴OC AQ OA OB ⋅=⋅.即14bAQ b ⋅=⨯.解得:AQ =4,此时b =17>2符合题意,∴点Q 的坐标是(1, 4). ∴综上可知,存在点(1,23)Q +或Q (1, 4),使得QCO △,QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似.7. 如图,已知ABC △中,90ACB ∠=︒,以AB 所在直线为x 轴,过C 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系.此时,A 点坐标为(1,0)-,B 点坐标为(4, 0). (1)试求点C 的坐标;(2)若抛物线2y ax bx c =++过ABC △的三个顶点,求抛物线的解析式;(3)点(1,)D m 在抛物线上,过点A 的直线1y x =--交(2)中的抛物线于点E ,那么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P ,使以P 、B 、D 为顶点的三角形与ABE △相似?若存在,求出P 点坐标;若不存在,说明理由.(1)在中,,,由射影定理,得:,即,∴(0,2)C ; (2)∵抛物线经过(1,0)A -,(4,0)B ,(0,2)C , 可设抛物线的解析式为(1)(4)(0)y a x x a =+-≠,则有:2(01)(04)a =+-,,∴2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=++(3)存在符合条件的点,且或.根据抛物线的解析式易知:(1,3)D ,联立直线和抛物线的解析式有:, 解得,,∴(6,7)E -,∴,即, ,即,∴,若以、、为顶点的三角形与相似,则有两种情况:①;②. 易知,,Rt ABC △90ACB ∠=︒OC AB ⊥24OC OA OB =⋅=2OC =12a =-P 1307P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2205⎛⎫- ⎪⎝⎭,AE 2132221y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=--⎩10x y =-⎧⎨=⎩67x y =⎧⎨=-⎩30tan 141DBO -∠==-45DBO ∠=︒()()07tan 161EAB --∠==--45EAB ∠=︒DBA EAB ∠=∠P B D ABE △PBD BAE △∽△PBD EAB △∽△BD =EA =5AB =由①得:,即, 即,,由②得:即,,∴或.PB BD AB AE =5PB =157PB =137OP OB PB =-=BP BD AE AB '==425P B '=225OP OB BP ''=-=-1307P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2205⎛⎫- ⎪⎝⎭,8. 已知抛物线(3)(1)(0)y a x x a =+-≠,与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,经过点A 的直线3y x b =-+与抛物线的另一个交点为D .(1)若点D 的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;(2)若在第三象限内的抛物线上有点P ,使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与ABC △相似,求点P 的坐标;(3)在(1)的条件下,设点E 是线段AD 上的一点(不含端点),连接BE .一动点Q 从点B 出发,沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ,再沿线段ED 以每秒23个单位的速度运动到点D 后停止,问当点E 的坐标是多少时,点Q 在整个运动过程中所用时间最少?(1)∵(3)(1)y a x x =+-,∴点A 的坐标为(3,0)-、点B 两的坐标为(1,0), ∵直线3y x b =-+经过点A ,∴33b =-, ∴333y x =--,当2x =时,53y =-,则点D 的坐标为(2,53)-, ∴(23)(21)53a +-=-,解得,3a =-, 则抛物线的解析式为23(3)(1)32333y x x x x =-+-=--+; (2)如图1中,作PH x ⊥轴于H ,设点P 坐标(,)m n ,当BPA ABC △∽△时,BAC PBA ∠=∠,∴tan tan BAC PBA ∠=∠,即OC PHOA HB=,∴331a nm --=-+,即(1)n a m =--, ∴(1)(3)(1)n a m n m m =--⎧⎨=+-⎩解得4m =-或1(舍弃),当4m =-时,5n a =, ∵BPA ABC △∽△,∴AC ABAB PB=, ∴2AB AC PB =⋅,∴2242992525a a =+⋅+,解得15a =或15-(舍弃),则155n a ==-,∴点P 坐标154,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 当PBA ABC △∽△时,CBA PBA ∠=∠,∴tan tan CBA PBA ∠=∠,即OC PHOB HB=,∴311a nm --=-+,∴3(1)n a m =--,∴3(1)(3)(1)n a m n a m m =--⎧⎨=+-⎩, 解得6m =-或1(舍弃),当6m =-时,21n a =,∵PBA ABC △∽△,∴BC ABBA PB=,即2AB BC PB =⋅, ∴2224242197(21)a a ==+⋅+-,解得7a =-或7(不合题意舍弃),则点P 坐标76,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,综上所述,符合条件的点P 的坐标154,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和76,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. (3)如图2中,作DM//x 轴交抛物线于M ,作DN x ⊥轴于N ,作EF DM ⊥于F ,则53tan 3DN DAN AN ∠===,∴60DAN ∠=︒,∴60EDF ∠=︒,∴23sin EF DE EF EDF ==∠,∴Q 的运动时间123BE t BE EF =+=+,∴当BE 和EF 共线时,t 最小, 则BE DM ⊥,此时点E 坐标(1,43)-.9. 如图,平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为(2,2)-,点B 的坐标为(6,6),抛物线经过A 、O 、B 三点,连结OA 、OB 、AB ,线段AB 交y 轴于点E . (1)求点E 的坐标;(2)求抛物线的函数解析式;(3)点F 为线段OB 上的一个动点(不与点O 、B 重合),直线EF 与抛物线交于M 、N 两点(点N 在y 轴右侧),连结ON 、BN ,当点F 在线段OB 上运动时,求BON △面积的最大值,并求出此时点N 的坐标;(4)连结AN ,当BON △面积最大时,在坐标平面内求使得BOP △与OAN △相似(点B 、O 、P 分别与点O 、A 、N 对应)的点P 的坐标.(1)设 将点(2,2)A -,(6,6)B 代入得 得,.∴ 当时,.∴ (2)设抛物线的函数解析式为, ∴,解得,.∴抛物线的解析式为.(3)过点作轴的垂线NG ,垂足为G ,交OB 于点Q ,过B 作轴于H ,设,则则∴当时,面积最大,最大值为,此时点的坐标为.(4)解:过点作于S∵(2,2)A -,(6,6)B ,∴,,,, 在和中,∴∴ ∴ ∴.∴的延长线上存在一点,使.∵,,在中, y mx n =+2266m n m n -+=⎧⎨+=⎩12m =3n =132y x =+0x =3y =(03)E ,2y ax bx =+4223666a b a b -=⎧⎨+=⎩14a =12b =-21142y x x =-N x BH x ⊥21142N x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,()Q x x ,BON QON BQN S S S ∆∆∆=+1122QN OG QN GH =⨯⨯+⨯⨯1()2QN OG GH =⨯⨯+12QN OH =⨯⨯21116242x x x ⎡⎤⎛⎫=--⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦23942x x =-+2327(3)44x =--+(06)x <<3x =BON △274N 334⎛⎫ ⎪⎝⎭,A AS GQ ⊥334N ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 45AOE OAS BOH ∠=∠=∠=︒3OG =34NG =54NS =5AS =Rt SAN △Rt NOG △1tan tan 4SAN NOG ∠=∠=SAN NOG ∠=∠OAS SAN BOG NOG ∠-∠=∠-∠OAN BON ∠=∠ON P BOP OAN △∽△()22A -,334N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,Rt ASN △22517AN AS SN =+=当时,得 过点P 作轴于点T ,∴. ∴,设P (4t , t ), ∴ ,(舍).∴点的坐标为.将沿直线OB 翻折,可得出另一个满足条件的点 由以上推理可知,当点P 的坐标为或时,与相BOP OAN △∽△OB OP OA AN ==OP =PT x ⊥OPT ONG △∽△14PT NG OT OG ==22(4)t t +=2⎝⎭1154t =2154t=-P 15154⎛⎫ ⎪⎝⎭,OPT △15154P ⎛⎫' ⎪⎝⎭,15154⎛⎫ ⎪⎝⎭,15154⎛⎫⎪⎝⎭,BOP △OAN △。

中考二次函数动点问题(含答案)

中考二次函数动点问题(含答案)

中考二次函数动点(Dian)问题(含答案)1.如(Ru)图(Tu)①,正(Zheng)方形的(De)顶点的坐标(Biao)分别为,顶(Ding)点在(Zai)第一象限.点从点出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点从点出发,沿轴正方向以相同速度运动.当点P到达点时,两点同时停止运动,设运动的时间为秒.(1)求正方形ABCD的边长.(2)当点P在边上运动时,的面积(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②所示),求P Q,两点的运动速度.(3)求(2)中面积S(平方单位)与时间t(秒)的函数关系式及面积S取最大值时点P 的坐标.(4)若点P Q,保持(2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,的大小随着时间t的增大而增大;沿着边运动时,OPQ∠的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时,使的点P有个.(抛物线的顶点坐标是.[解] (1)作轴于.,..(2)由图②可知,点P从点A运动到点用了10秒.又.两点的运动速度均为每秒1个单位.(3)方法一:作轴于,则.,即... ,.即(Ji).,且(Qie),当(Dang)时(Shi),S 有最(Zui)大值.此(Ci)时, ∴点(Dian)P 的坐(Zuo)标为.(8分)方法二:当时,.设所求函数关系式为.抛物线过点,.19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,且190103≤≤, ∴当193t =时,S 有最大值.此时,∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭,.(4).[点(Dian)评(Ping)]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识,是近年来较为流行的试(Shi)题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。

. 2. 如(Ru)图(Tu)①,中(Zhong),,.它的(De)顶点A 的坐(Zuo)标为,顶点B 的坐标为,,点P 从点A 出发,沿的方向匀速运动,同时点Q 从点出发,沿轴正方向以相同速度运动,当点P 到达点C 时,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒. (1)求的度数.(2)当点P 在AB 上运动时,OPQ △的面积S (平方单位)与时间t (秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),求点P 的运动速度.(3)求(2)中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标. (4)如果点P Q ,保持(2)中的速度不变,那么点P 沿AB 边运动时,的大小随着时间t 的增大而增大;沿着BC 边运动时,OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小,当点P 沿这两边运动时,使的点P 有几个?请说明理由.解: (1).(2)点P 的运动速度为2个单位/秒. (3)().∴当时,S 有最大值为,此时.(4)当点P 沿这两边运动时,90OPQ =∠的点P 有2个. ①当点P 与点A 重合时,, 当点P 运动到与点B 重合时,的长是12单位长度, 作交y 轴于点,作轴于点,由得:,所以,从而. 所以当点P 在AB 边上运动时,90OPQ =∠的点P 有1个. ②同理当点P 在BC 边上运动时,可算得.而构成直角时交y 轴于,,所以,从而90OPQ =∠的点P 也有1个.所以当(Dang)点P 沿这两边运动(Dong)时,90OPQ =∠的(De)点P 有(You)2个(Ge).3. (本(Ben)题满分(Fen)14分(Fen))如图,直线与轴交于点,与轴交于点,已知二次函数的图象经过点A 、C 和点.(1)求该二次函数的关系式;(2)设该二次函数的图象的顶点为,求四边形的面积;(3)有两动点、同时从点出发,其中点D 以每秒个单位长度的速度沿折线按O →A →C 的路线运动,点E 以每秒个单位长度的速度沿折线按O →C →A 的路线运动,当D 、E 两点相遇时,它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发秒时,的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中,是否存在∥,若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由;②请求出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围;③设是②中函数S 的最大值,那么0S = .解:(1)令,则; 令则.∴.∵二次函数的图象过点()04C ,, ∴可设二次函数的关系式为 又∵该函数图象过点.∴解之,得,.∴所求二次函数的关系式为(2)∵438342++-=x x y =∴顶(Ding)点M 的坐标(Biao)为过(Guo)点M 作(Zuo)MF轴(Zhou)于F ∴=∴四边(Bian)形AOCM 的面(Mian)积为(Wei)10 (3)①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ,则点D ,E 应分别在线段OA ,CA 上,此时,在中,. 设点E 的坐标为∴,∴ ∵,∴∴∵38=t >2,不满足12t <<.∴不存在DE OC ∥.②根据题意得D ,E 两点相遇的时间为(秒)现分情况讨论如下: ⅰ)当时,;ⅱ)当时,设点E 的坐标为∴,∴∴ⅲ)当2 <<时,设点E 的坐标为,类似ⅱ可得设点D 的坐标为∴,∴∴=③47.关(Guan)于x的(De)二次函数以(Yi)y轴为(Wei)对称轴,且与y 轴(Zhou)的交点在x轴(Zhou)上方.(1)求此抛物线的解析式(Shi),并在下面的直角坐标系中画出函数的草图;(2)设(She)A是y轴右侧抛物线上的一个动点,过点A作AB垂直于x轴于点B,再过点A作x轴的平行线交抛物线于点,过点D作垂直于x轴于点C,得到矩形ABCD.设矩形ABCD的周长为,点A的横坐标为x,试求l关于x的函数关系式;(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时,矩形ABCD能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由.参考资料:抛物线的顶点坐标是2424b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭,,对称轴是直线.解:(1)据题意得:,.当时,.当时,.又抛物线与y轴的交点在x轴上方,.∴抛物线的解析式为:.函数的草图如图所示.(只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可)(2)解:令,得.不时,,,.当时,, ..关于x 的函数关系是: 当02x <<时,;当2x >时,.(3)解法一:当02x <<时,令,得.解(Jie)得(舍(She)),或.将(Jiang)13x =-+代(Dai)入2244l x x =-++, 得(De).当(Dang)2x >时(Shi),令,得(De).解得(舍),或.将13x =+代入2244l x x =+-,得.综上,矩形ABCD 能成为正方形,且当时正方形的周长为;当时,正方形的周长为.解法二:当02x <<时,同“解法一”可得13x =-+. ∴正方形的周长. 当2x >时,同“解法一”可得13x =+.∴正方形的周长.综上,矩形ABCD 能成为正方形,且当31x =-时正方形的周长为838-;当31x =+时,正方形的周长为838+.解法三:点A 在y 轴右侧的抛物线上,,且点A 的坐标为.令,则.∴,①或②由①解得13x =--(舍),或13x =-+; 由②解得13x =-(舍),或13x =+. 又,∴当13x =-+838l =;当13x =838l =.综上,矩形ABCD 能成为正方形,且当31x =时正方形的周长为838;当31x =时,正方形的周长为838.5.已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,线段OB 、OC 的长(OB <OC )是方程x 2-10x +16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x =-2.(1)求A 、B 、C 三点的坐标;(2)求此抛物线的表达式;(3)连接AC 、BC ,若点E 是线段AB 上的一个动点(与点A 、点B 不重合),过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ,连接CE ,设AE 的长为m ,△CEF 的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;(4)在(3)的基础上试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出S 的最大值,并求出此时点E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.解:(1)解方程x 2-10x +16=0得x 1=2,x 2=8∵点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,且OB <OC ∴点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,8) 又∵抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =-2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为(-6,0)(2)∵点(Dian)C (0,8)在(Zai)抛物线y =ax 2+bx +c 的(De)图象上 ∴c =8,将(Jiang)A (-6,0)、B (2,0)代入(Ru)表达式,得⎩⎨⎧0=36a -6b +80=4a +2b +8解(Jie)得⎩⎪⎨⎪⎧a =-23b =-83∴所求抛物线的表达式(Shi)为y =-23x 2-83x +8(3)依(Yi)题意,AE =m ,则BE =8-m , ∵OA =6,OC =8,∴AC =10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC =BE AB 即EF 10=8-m8 ∴EF =40-5m 4过点F 作FG ⊥AB ,垂足为G ,则sin ∠FEG =sin ∠CAB =45∴FG EF =45 ∴FG =45·40-5m 4=8-m ∴S =S △BCE -S △BFE =12(8-m )×8-12(8-m )(8-m )=12(8-m )(8-8+m )=12(8-m )m =-12m 2+4m 自变量m 的取值范围是0<m <8(4)存在.理由:∵S =-12m 2+4m =-12(m -4)2+8 且-12<0,∴当m =4时,S 有最大值,S 最大值=8∵m =4,∴点E 的坐标为(-2,0) ∴△BCE 为等腰三角形.6.(14分)如图:抛物线经过A (-3,0)、B (0,4)、C (4,0)三点. (1) 求抛物线的解析式.(2)已知AD = AB (D 在线段AC 上),有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动,经过t 秒的移动,线段PQ 被BD 垂直平分,求t 的值;(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ+MC 的值最小?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由。

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习及答案

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习及答案

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习及答案一、单选题1.如图1,在△ABC中,△B=90°,△C=30°,动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动,两点同时到达点C,设△BPQ的面积为y(cm2).运动时间为x(s),y与x之间关系如图2所示,当点P恰好为AC的中点时,PQ的长为()A.2B.4C.2 √3D.4 √32.如图,在四边形DEFG中,△E=△F=90°,△DGF=45°,DE=1,FG=3,Rt△ABC的直角顶点C与点G重合,另一个顶点B(在点C左侧)在射线FG上,且BC=1,AC=2,将△ABC沿GF方向平移,点C与点F重合时停止.设CG的长为x,△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y,则下列图象能正确反映y与x函数关系的是()A.B.C.D.3.点C是线段AB上的一点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是()A.当C是AB的中点时,S最小B.当C是AB的中点时,S最大C.当C为AB的三等分点时,S最小D.当C是AB的三等分点时,S最大4.下列函数属于二次函数的是()A.y=5x+3B.y=1x2C.y=2x2+x+1D.y=√x2+15.在平面直角坐标系中,将抛物线y=3x2先向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是()A.y=3(x+1)2+2B.y=3(x+1)2﹣2C.y=3(x﹣1)2+2D.y=3(x﹣1)2﹣26.如图,直线l1:y=−x+4与x轴和y轴分别相交于A、B两点,平行于直线l1的直线l2从原点O出发,沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴和y轴分别相交于C、D两点,运动时间为t秒(0≤t≤4).以CD为斜边作等腰直角ΔCDE(E、O两点分别在CD两侧),若ΔCDE和ΔOAB的重合部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.7.如图,菱形ABCD的边长为2,△A=60°,点P和点Q分别从点B和点C出发,沿射线BC向右运动,且速度相同,过点Q作QH△BD,垂足为H,连接PH,设点P运动的距离为x(0<x≤2),△BPH的面积为S,则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为()A.B.C.D.8.把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为()A.y=﹣2(x+1)2+2B.y=﹣2(x+1)2﹣2C.y=﹣2(x﹣1)2+2D.y=﹣2(x﹣1)2﹣29.如图,AC=BC,点D是以线段AB为弦的圆弧的中点,AB=4,点E是线段CD上任意一点,点F 是线段AB上的动点,设AF=x,AE2﹣FE2=y,则能表示y与x的函数关系的图象是()A.B.C.D.10.如图,在△ABC中,△ACB=90°,AC=4,BC=2.P是AB边上一动点,PD△AC于点D,点E 在P的右侧,且PE=1,连结CE.P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动.在整个运动过程中,图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是()A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小11.将抛物线y=-2x2先向左平移1个单位,再向上平移3个单位,两次平移后得到的抛物线的解析式为()A.y=-2(x+1)2+3 B.y=-2(x+1)2-3C.y=-2(x-1)2+3 D.y=-2(x-1)2-312.如图,正△ABC的边长为4,点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合),且△APD=60°,PD交AB于点D.设BP=x,BD=y,则y关于x的函数图象大致是()A.B.C.D.二、填空题13.如图,在Rt△ABC中,△C=90°,BC=4,BA=5,点D在边AC上的一动点,过点D作DE△AB 交边BC于点E,过点B作BF△BC交DE的延长线于点F,分别以DE,EF为对角线画矩形CDGE 和矩形HEBF,则在D从A到C的运动过程中,当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时,则EF 的长度为.14.已知在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(3,4),M是抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)对称轴上的一个动点。

最新中考二次函数动点问题(含答案)

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二次函数的动点问题1.如图①,正方形ABCD 的顶点A B ,的坐标分别为()()01084,,,,顶点C D ,在第一象限.点P 从点A 出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点Q 从点()40E ,出发,沿x 轴正方向以相同速度运动.当点P 到达点C 时,P Q ,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒.(1)求正方形ABCD 的边长.(2)当点P 在AB 边上运动时,OPQ △的面积S (平方单位)与时间t (秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②所示),求P Q ,两点的运动速度.(3)求(2)中面积S (平方单位)与时间t (秒)的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标.(4)若点P Q ,保持(2)中的速度不变,则点P 沿着AB 边运动时,OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大;沿着BC 边运动时,OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小.当点P 沿着这两边运动时,使90OPQ =o∠的点P 有 个.(抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.[解] (1)作BF y ⊥轴于F .()()01084A B Q ,,,,86FB FA ∴==,. 10AB ∴=.(2)由图②可知,点P 从点A 运动到点B 用了10秒. 又1010101AB =÷=Q ,.P Q ∴,两点的运动速度均为每秒1个单位.(3)方法一:作PG y ⊥轴于G ,则PG BF ∥.GA AP FA AB ∴=,即610GA t=.35GA t ∴=.3105OG t ∴=-.4OQ t =+Q ,()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭.即231920105S t t =-++. 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭Q ,且190103≤≤, ∴当193t =时,S 有最大值. 此时4763311051555GP t OG t ===-=,, ∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭,.(8分)方法二:当5t =时,1637922OG OQ S OG OQ ====g ,,. 设所求函数关系式为220S at bt =++.Q 抛物线过点()63102852⎛⎫⎪⎝⎭,,,,1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩,31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩, 231920105S t t ∴=-++. 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭Q ,且190103≤≤,∴当193t =时,S 有最大值. 此时7631155GP OG ==,, ∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭,.(4)2.[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识,是近年来较为流行的试题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标。

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数;下面以a >0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:动点问题题型方法归纳总结动态几何特点-——-问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨.二、 抛物线上动点5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C .(1) 求抛物线的解析式;(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标—---①C为顶点时,以C为圆心CM 为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P.第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值);方法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。

江苏专版【中考压轴题突破系列02】二次函数中的动点问题

江苏专版【中考压轴题突破系列02】二次函数中的动点问题

【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题1.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B 在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2﹣10x+16=0的两个根,且A点坐标为(﹣6,0).(1)求此二次函数的表达式;(2)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC 于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;2.如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点坐标为M(1,﹣4).(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△P AB=S△MAB?若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由;(3)点C在x轴上一动点,以BC为边作正方形BCDE,正方形BCDE还有一个顶点(除点B外)在抛物线上,请写出满足条件的点E的坐标;(4)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线y=x+b与此图象至少有三个公共点时,请直接写出b的取值范围是.3.如图,二次函数图象的顶点为坐标系原点O,且经过点A(3,3),一次函数的图象经过点A和点B(6,0).(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)如果一次函数图象与y轴相交于点C,点D在线段AC上,与y轴平行的直线DE 与二次函数图象相交于点E,∠CDO=∠OED,求点D的坐标;(3)当点D在直线AC上的一个动点时,以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗?请说明理由.4.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴相交点C(0,).(1)求该二次函数解析式;(2)连接AC、BC,点M、N分别是线段AB、BC上的动点,且始终满足BM=BN,连接MN.①将△BMN沿MN翻折,B点能恰好落在AC边上的P处吗?若能,请判断四边形BMPN的形状并求出PN的长;若不能,请说明理由.②将△BMN沿MN翻折,B点能恰好落在此抛物线上吗?若能,请直接写出此时B点关于MN的对称点Q的坐标;若不能,请说明理由.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如图(1),点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点p作Y轴的平行线交X轴于点E.当△PBC面积的最大值时,点F为线段BC 一点(不与点BC重合),连接EF,动点G从点E出发,沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到点F,再沿FC以每秒个单位的速度运动到点C后停止,当点F的坐标是多少时,点G在整个运动过程中用时最少?(3)如图2,将△ACO沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移,记平移后的△ACO 为△A1C1O1连接AA1,直线AA1交抛物线与点M,设平移的时间为t秒,当△AMC1为等腰三角形时,求t的值.6.如图,二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)b=;点D的坐标:;(2)线段AO上是否存在点P(点P不与A、O重合),使得OE的长为1;(3)在x轴负半轴上是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题参考答案与试题解析一.解答题(共6小题)1.解:(1)由x2﹣10x+16=0得x1=2,x2=8,∴B(2,0),C(0,8)∵点A(﹣6,0),B(2,0),C(0,8)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,∴,得,∴所求二次函数的表达式为y=﹣x2﹣x+8;(2)∵AB=8,OC=8,依题意,AE=m,则BE=8﹣m,∵OA=6,OC=8,∴AC=10.∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴=,即=,∴EF=.过点F作FG⊥AB,垂足为G,则sin∠FEG=sin∠CAB=,∴=,∴FG=•=8﹣m,∴S=S△BCE﹣S△BFE==﹣(0<m<8).2.解:(1)∵M(1,﹣4)是二次函数y=(x+m)2+k的顶点坐标,∴y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3,当x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3.∴A、B两点的坐标分别为A(﹣1,0),B(3,0);(2)在二次函数的图象上存在点P,使设P(x,y),则,又,∴2|y|=×8,即y=±5,∵二次函数的最小值为﹣4,∴y=5.当y=5时,x=﹣2或x=4.∴P点坐标为(﹣2,5)或(4,5);(3)不妨设点E在抛物线y=x2﹣2x﹣3上,C点的坐标为(m,0).当BC为正方形BCDE的边时,则D点的坐标为(m,m2﹣2m﹣3).∵四边形BCDE是正方形,∴BC=DE,∴|m﹣3|=|m2﹣2m﹣3|,即m﹣3=m2﹣2m﹣3,或m﹣3=﹣(m2﹣2m﹣3),解得m1=0,m2=3,或m1=﹣2,m2=3,当m=3时,C点与B点重合,不合题意,舍去,∴C点的坐标为(0,0)或(﹣2,0),则E1(3,4),E2(3,﹣4),当点C与原点重合时也符合题意,此时点D(0,﹣3),可得E3(3,﹣3);当点C为(﹣2,0)时也符合题意,此时点D(﹣2,5),可得E4(3,5).综上所述,符合条件的点E的坐标是(3,4)或(3,﹣4)或(3,﹣3)或(3,5).(4)如图3,依题意知,当﹣1≤x≤3时,翻折后的抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3与直线y=x+b与新抛物线有1个交点时,﹣x2+2x+3=x+b,即x2﹣x﹣3﹣b=0,则△=(﹣1)2﹣4×(﹣3﹣b)=0,解得b=当直线y=x+b经过A(﹣1,0)时﹣1+b=0,可得b=1,由题意可知y=x+b在y=x+1的下方.由图可知符合题意的b的取值范围1≤b≤.故答案是:1≤b≤.3.解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2,把A(3,3)代入得a=,∴二次函数的解析式为y=x2;设一次函数的解析式为y=kx+b,把A(3,3),B(6,0)分别代入得,3k+b=3,6k+b=0,解得k=﹣1,b=6,∴一次函数的解析式为y=﹣x+6;(2)∵DE∥y轴,∠CDO=∠OED,∴△CDO∽△OED,∴,设D点的坐标为(m,﹣m+6),那么点E的坐标为(m,),∴OD2=,又∵由直线y=﹣x+6与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,6),CO=6,∴,解得m1=0(不合题意,舍去),m2=,∴点D的坐标为(,);(3)以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形.理由如下:若DE=OC,以点O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形,①当点D在点E上方,.x=0(舍去),x=﹣3,y=﹣(﹣3)+6=9②当点D在E下方,x2﹣(﹣x+6)=6,得x=.当x=,y=﹣+6=;当x=,y=﹣+6=.所以当D点坐标为:(﹣3,9)或(,)或(,).4.解:(1)将A、B、C三点坐标分别代入y=ax2+bx+c(a≠0)中得:,解得:∴该二次函数解析式为:y=﹣x2﹣x+.(2)①假设B点能恰好落在AC边上的P处,由题知:OA=3,OB=1,OC=,∴AC=2,BC=2,AB=4;∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,∠A=30°,∠B=60°.又由BM=BN=PN=PM知四边形BMPN为菱形.设PN=m,由PN∥AB可得:=,即=.∴m=,即PN的长为.②由①知:QN始终与x轴平行,若点Q在抛物线上,则点N也在抛物线上,且QN=CB=2;已知C(0,),则Q(﹣2,);当x=﹣2时,y=﹣x2﹣x+=﹣×4﹣×(﹣2)+=,∴Q(﹣2,)正好在抛物线的图象上;故答案:能,此时Q的坐标为(﹣2,).5.解:(1)结论:△ABC是直角三角形.理由:如图1中,连接AC.∵抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣),在Rt△AOC中,∵tan∠ACO==,∴∠ACO=30°,在Rt△OBC中,∵tan∠BCO==,∴∠BCO=60°,∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°,∴△ABC是直角三角形.(2)设P(m,m2﹣m﹣),作射线CN,使得∠BCN=60°,作FH⊥CN于H,FG⊥AE于G,则FH=CF•cos30°=CF.则S△PBC=S△POC+S△POB﹣S△BOC=××m+×3×(﹣m2+m+)﹣××3=﹣(m﹣)2+,∵﹣<0,∴m=时,△PBC的面积最大,此时P(,﹣),∵动点G的运动时间=+=EF+CF=EF+FH,根据垂线段最短可知,当EH⊥CN时,动点G的运动时间最小,∵∠EFB=∠EBF=30°,∴EF=EB=,在Rt△EFG中,FG=EF•cos30°=,EG=,OG=,∴此时F的坐标为(,﹣).(3)由题意直线BC的解析式为y=x﹣,直线AC的解析式为y=x+,由,解得或,∴M(4,),∵C1(t,t﹣),∴AM2=52+()2,C1A2=(t+1)2+(t﹣)2,MC1=(4﹣t)2+(﹣t+)2,①当AM=MC1时,52+()2=(4﹣t)2+(﹣t+)2,解得t=5+或5﹣,②当C1A=C1M时,(t+1)2+(t﹣)2=(4﹣t)2+(﹣t+)2,解得t=③当C1A=AM时,52+()2=(t+1)2+(t﹣)2,解得t=s或﹣(舍弃),综上所述,满足条件的t的值为(5+)s或(5﹣)s或s或s.6.解:(1)∵点A(﹣3,0)在二次函数y=x2+bx﹣的图象上,∴0=﹣3b﹣,解得b=1,∴二次函数解析式为y=x2+x﹣=(x+3)(x﹣1),∴点B(1,0),AB=1﹣(﹣3)=4,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB=4,∴点D(﹣3,4),故答案为:1;(﹣3,4).(2)直线PE交y轴于点E,如图1,假设存在点P,使得OE的长为1,设OP=a,则AP=3﹣a,∵DP⊥AE,∠APD+∠DPE+∠EPO=180°,∴∠EPO=90°﹣∠APD=∠ADP,tan∠ADP==,tan∠EPO==,∴=,即a2﹣3a+4=0,△=(﹣3)2﹣4×4=﹣7,无解故线段AO上不存在点P(点P不与A、O重合),使得OE的长为1.(3)假设存在这样的点P,DE交x轴于点M,如图2,∵△PED是等腰三角形,∴DP=PE,∵DP⊥PE,四边形ABCD为正方形∴∠EPO+∠APD=90°,∠DAP=90°,∠P AD+∠APD=90°,∴∠EPO=∠PDA,∠PEO=∠DP A,在△PEO和△DAP中,,∴△PEO≌△DAP,∴PO=DA=4,OE=AP=PO﹣AO=4﹣3=1,∴点P坐标为(﹣4,0).∵DA⊥x轴,∴DA∥EO,∴∠ADM=∠OEM(两直线平行,内错角相等),又∵∠AMD=∠OME(对顶角),∴△DAM∽EOM,∴==,∵OM+MA=OA=3,∴MA=×3=,△PED与正方形ABCD重叠部分△ADM面积为×AD×AM=×4×=.答:存在这样的点P,点P的坐标为(﹣4,1),此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为.。

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题(带答案)

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题(带答案)

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题(带答案)一、单选题1.如图,一段抛物线y=﹣x2+4(﹣2≤x≤2)为C1,与x轴交于A0,A1两点,顶点为D1;将C1绕点A1旋转180°得到C2,顶点为D2;C1与C2组成一个新的图象,垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),与线段D1D2交于点P3(x3,y3),设x1,x2,x3均为正数,t=x1+x2+x3,则t的取值范围是()A.6<t≤8B.6≤t≤8C.10<t≤12D.10≤t≤122.在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是()A.(﹣3,﹣6)B.(1,﹣4)C.(1,﹣6)D.(﹣3,﹣4)3.下列函数中是二次函数的为()A.y=3x﹣1B.y=3x2﹣1C.y=(x+1)2﹣x2D.y=x3+2x﹣34.如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点P在运动过程中速度大小不变,则以点A为圆心,线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为()A.B.C.D.5.如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为( )A.-3 B.1C.5D.86.抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是()A.x<2B.x>﹣3C.﹣3<x<1D.x<﹣3或x>17.如图,边长为2的正△ABC的边BC在直线l上,两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l,a 和b同时向右移动(a的起始位置在B点),速度均为每秒1个单位,运动时间为t(秒),直到b到达C点停止,在a和b向右移动的过程中,记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s,则s关于t 的函数图象大致为()A.B.C.D.8.两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A出发沿线段AB运动到点B,小兰从点C出发,以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C,两人的运动路线如图1所示,其中AC = DB.两人同时开始运动,直到都停止运动时游戏结束,其间他们与点C的距离y与时间x(单位:秒)的对应关系如图2所示.则下列说法正确的是()A.小红的运动路程比小兰的长B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C.当小红运动到点D的时候,小兰已经经过了点DD.在4.84秒时,两人的距离正好等于⊙O的半径9.如图,边长分别为1和2的两个等边三角形,开始它们在左边重合,大三角形固定不动,然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x,两个三角形重叠面积为y,则y关于x的函数图象是()A .B .C .D .10.如图,动点P 从点A 出发,沿线段AB 运动至点B 后,立即按原路返回,点P 在运动过程中速度不变,则以点B 为圆心,线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为( )A .B .C .D .11.如图,抛物线 y =−12x 2+32x +2 与x 轴交于A 、B 两点与y 轴交于点C .若点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点,当 △BCP 的面积取得最大值时,点P 的坐标是( )A .(2,3)B .(32,258)C .(1,3)D .(3,2)12.已知点A (0,2),B (2,0),点C 在y=x 2的图象上,若△ABC 的面积为2,则这样的C 点有( ) A .1 个B .2个C .3个D .4个二、填空题13.如图,抛物线与轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上在第一象限的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为.14.如图,已知直线y=﹣34 x+3分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线y=﹣12 x2+2x+5上的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34 x+3于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是.15.已知抛德物线y=14x2 +1有下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到轴的距离始终相等,如图,点M的坐标为(√2,3),P是抛物线y=14x2 +1上一个动点,则△PMF周长的最小值是.16.把抛物线y=2x2先向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线的解析式是。

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中考二次函数动点问题(含答案)1.如图①,正方形的顶点的坐标分别为,顶点在第一象限.点从点出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点从点出发,沿轴正方向以相同速度运动.当点到达点时,两点同时停止运动,设运动的时间为秒.(1)求正方形的边长.(2)当点在边上运动时,的面积(平方单位)与时间(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②所示),求两点的运动速度.(3)求(2)中面积(平方单位)与时间(秒)的函数关系式及面积取最大值时点的坐标.(4)若点ABCD保持(2)中的速度不变,则点ABCD沿着ABCD边运动时,ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大;沿着ABCD边运动时,ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小.当点ABCD沿着这两边运动时,使ABCD的点ABCD有个.(抛物线ABCD的顶点坐标是.[解] (1)作轴于.,..(2)由图②可知,点从点运动到点用了10秒.又.两点的运动速度均为每秒1个单位.(3)方法一:作ABCD轴于ABCD,则ABCD.ABCD ,即ABCD.ABCD.ABCD.ABCD,ABCD.即ABCD.ABCD ,且ABCD,ABCD当ABCD时,ABCD有最大值.此时ABCD,ABCD点ABCD的坐标为ABCD.(8分)方法二:当ABCD时,ABCD.设所求函数关系式为.抛物线过点,.,且,当时,有最大值.此时,点的坐标为.(4).[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识,是近年来较为流行的试题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。

.2. 如图①,中,,.它的顶点的坐标为,顶点的坐标为,,点从点出发,沿的方向匀速运动,同时点从点出发,沿轴正方向以相同速度运动,当点到达点时,两点同时停止运动,设运动的时间为秒.(1)求的度数.(2)当点在上运动时,的面积(平方单位)与时间(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),求点的运动速度.(3)求(2)中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标.(4)如果点ABCD保持(2)中的速度不变,那么点ABCD沿ABCD边运动时,ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大;沿着ABCD边运动时,ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小,当点ABCD沿这两边运动时,使ABCD的点ABCD有几个?请说明理由.解: (1)ABCD.(2)点 的运动速度为2个单位/秒. (3) ( ). 当 时, 有最大值为 ,此时.(4)当点ABCD 沿这两边运动时,ABCD 的点ABCD 有2个. ①当点ABCD 与点ABCD 重合时,ABCD ,当点ABCD 运动到与点ABCD 重合时,ABCD 的长是12单位长度, 作ABCD 交ABCD 轴于点ABCD ,作ABCD 轴于点ABCD , 由ABCD 得:ABCD,所以ABCD ,从而ABCD .所以当点ABCD 在ABCD 边上运动时,ABCD 的点ABCD 有1个. ②同理当点ABCD 在ABCD 边上运动时,可算得ABCD.而构成直角时交ABCD 轴于ABCD,ABCD ,所以ABCD ,从而ABCD 的点ABCD 也有1个.所以当点ABCD 沿这两边运动时,ABCD 的点ABCD 有2个.3. (本题满分14分)如图12,直线434+-=x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .(1)求该二次函数的关系式;(2)设该二次函数的图象的顶点为M ,求四边形AOCM 的面积;(3)有两动点D 、E 同时从点O 出发,其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C的路线运动,点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动,当D 、E 两点相遇时,它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时,ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中,是否存在DE ∥OC ,若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由;②请求出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; ③设0S 是②中函数S 的最大值,那么0S = .ECAyOB F x MD解:(1)令0=x ,则4=y ; 令0=y 则3=x .∴ABCD .ABCD∵二次函数的图象过点,∴可设二次函数的关系式为 42++=bx ax y又∵该函数图象过点 .∴ 解之,得34-=a ,38=b .∴所求二次函数的关系式为438342++-=x x y (2)∵438342++-=x x y=()3161342+--x ∴顶点M 的坐标为 过点M 作MF x ⊥轴于F ∴ABCD=()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯-⨯∴四边形AOCM 的面积为10 (3)①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ,则点D ,E 应分别在线段OA ,CA 上,此时ABCD ,在ABCD 中,ABCD . 设点E 的坐标为ABCD ∴54431-=t x ,∴512121-=t x ∵ABCD ,∴tt 2351212=- ∴38=t∵38=t >2,不满足ABCD .∴不存在ABCD .②根据题意得D ,E 两点相遇的时间为1124423543=+++(秒)现分情况讨论如下: ⅰ)当ABCD 时,ABCD;ⅱ)当ABCD 时,设点E 的坐标为ABCD∴()544542--=t y ,∴516362ty -=∴tt t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯= ⅲ)当2 <t <1124时,设点E 的坐标为,类似ⅱ可得516363ty -=设点D 的坐标为()44,y x∴532344-=t y , ∴51264-=t y ∴512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t ③802430=S47.关于 的二次函数 以 轴为对称轴,且与 轴的交点在 轴上方. (1)求此抛物线的解析式,并在下面的直角坐标系中画出函数的草图;(2)设 是 轴右侧抛物线上的一个动点,过点 作 垂直于 轴于点 ,再过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ,过点 作 垂直于 轴于点 ,得到矩形 .设矩形 的周长为 ,点 的横坐标为 ,试求 关于 的函数关系式;(3)当点 在 轴右侧的抛物线上运动时,矩形 能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由.参考资料:抛物线 的顶点坐标是 ,对称轴是直线 .解:(1)据题意得: ,.当时,.当时,.又抛物线与轴的交点在轴上方,ABCD.ABCD抛物线的解析式为:ABCD.函数的草图如图所示.(只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可)(2)解:令ABCD,得ABCD.不ABCD时,ABCD,ABCD,ABCD.当ABCD时,,..关于的函数关系是:当时,;当时,.(3)解法一:当时,令,得ABCD.解得ABCD(舍),或ABCD.将ABCD代入ABCD,得ABCD.当ABCD时,令ABCD,得ABCD.解得ABCD(舍),或ABCD.将ABCD代入ABCD,得ABCD.综上,矩形ABCD能成为正方形,且当ABCD时正方形的周长为ABCD;当ABCD时,正方形的周长为ABCD.解法二:当ABCD时,同“解法一”可得.正方形的周长.当时,同“解法一”可得.正方形的周长.综上,矩形能成为正方形,且当时正方形的周长为;当时,正方形的周长为.解法三:点在轴右侧的抛物线上,,且点的坐标为.令,则.,①或②由①解得(舍),或;由②解得(舍),或.又,当时;当时.综上,矩形能成为正方形,且当时正方形的周长为;当时,正方形的周长为.5.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2.(1)求A、B、C三点的坐标;(2)求此抛物线的表达式;(3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC 交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.解:(1)解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB<OC∴点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8)又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(-6,0)(2)∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上∴c=8,将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式,得解得∴所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8(3)依题意,AE=m,则BE=8-m,∵OA=6,OC=8,∴AC=10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴=即=∴EF=过点F作FG⊥AB,垂足为G,则sin∠FEG=sin∠CAB=∴=∴FG=·=8-m∴S=S△BCE-S△BFE=(8-m)×8-(8-m)(8-m)=(8-m)(8-8+m)=(8-m)m=-m2+4m自变量m的取值范围是0<m<8(4)存在.理由:∵S=-m2+4m=-(m-4)2+8 且-<0,∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8∵m=4,∴点E的坐标为(-2,0)∴△BCE为等腰三角形.6.(14分)如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)已知AD = AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t 秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值;(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。

(注:抛物线的对称轴为)(1)解法一:设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)因为B(0,4)在抛物线上,所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3所以抛物线解析式为ABCD解法二:设抛物线的解析式为ABCD,依题意得:c=4且ABCD解得ABCD所以所求的抛物线的解析式为ABCD(2)连接DQ,在Rt△AOB中,ABCD所以AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 – 5 = 2因为BD垂直平分PQ,所以PD=QD,PQ⊥BD,所以∠PDB=∠QDB因为AD=AB,所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA。

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