1.1 集合、区间、邻域

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【VIP专享】1-02-数集与确界原理

M2
同样，有下界数集S最大的一个下界称为数
集S的下确界(infimum)，记作 infS .
下界
m2 m1 m
下确界
确界的精确定义
定义 1 设 S 为 R 中的一个数集.若数满足： (1)对一切 x S ,有 x ,即是 S 的上界； (2)对任何，存在 x0 S ，使得x0 ，
命题 2 =infS 的充要条件为 1）是 S 的下界， 2）＞0, yS,使得 y< .
例2
1
S1
1
(1 n
)n
,
2 S2 y : y sin x, x (0, ) ,
3 S3 x : x (0,1) I Q .
问：sup S ?, inf S ?
max S ?,min S ?
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
5. 确界原理定理1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若S 有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S 必有下确界。
定理1刻划了实数集是完备的。
例3 证明实数具有阿基米德性: ba0,要证存在自然数n,使na>b.
证明假设结论不成立,即nZ+, 总有na≤b, 那么nZ+, 就有n≤b/a ,而b/a是一个有限的定值,但nZ+, n的取值可以永无止境,所以假设不成立. ba0,所以总存在自然数n,使na>b.

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U ( x0 , )
o
,
4. 海涅 (Heine) 归结原则： lim f ( x ) A 的充要条件是：对于任何满足
x x0
2 tan 1 tan 2 1 2 2 sin cos [sin( ) sin( )] cos 2 2cos 1 1 2sin 2 2 1 tan 1 cos 2 sin 2 cos sin [sin( ) sin( )] 1 tan 2 2 2tg ctg 2 1 1 ctg 2 cos cos [cos( ) cos( )] tg 2 2 1 tg 2ctg 2 sin 2 2sin cos
1 sin 3 3sin 4sin sin sin [cos( ) cos( )] 2 cos 3 4cos3 3cos
3
limxn x0 的数列{xn}，都有 lim f ( xn ) A 。
n n
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个收敛于该点的自变量 x 的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)} 却具有不同的极限。 1.4 无穷小与无穷大若 lim ( x) l ，当时，则称 x→x0 时称 α(x) 是 β(x) 的 l 0 x x0 ( x )
(3)对于
f ( x) f ( x0 ) lim g ( x), x x0 (1) f ( x)很复杂，按定义求,f ( x0 ) x x0 x x0 f ( x) , A,x x0 (2)否则，先求出f ( x)，再求 lim f ( x)

高等数学第一章

y
函数 y f ( x )
反函数 x ( y )
W
W
o
D
x
o
D
x
三、复合函数
1、复合函数
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x
2
定义设函数 y f ( u) 的定义域为 D f , 而函数
u ( x ) 的值域为 Z , 若 Z D , 则称函数 f y f [( x )] 为 x 的复合函数.
一、函数的有界性
f ( x) 2 x 1,
三、函数的周期性四、函数凹凸性
x0
.
1．函数的有界性 y
M y=f(x)
y
M
o
有界 -M
x X
o
-M
x0
X
无界
x
设函数 f ( x ) 在区域有界: X D, M 0, 则称
上有定义, x X 使得 f ( x ) M ;
第一章
函数
第一节函数的定义
一、基本概念二、函数概念
一、函数概念
1 函数定义定义：设 x和 y是两个变量, D 是一个给定的数集. 如果对于每个数 x D , 变量 y 按照一定法则,总有确定的数值与之对应, 则称 y 是 x 的函数, 记作 y f ( x ) . 数集D叫做这个函数的定义域. x叫做自变量, y 叫做因变量. f 叫做函数关系. 单值函数: 自变量在定义域内任取一个数值时, 对应的函数值总是只有一个的函数. 否则叫多值函数．
中心
a 的去心邻域:
a
a
a
半径
x
o
0 U (a ) { x 0 x a },

微积分复习

第一章1.1区间与邻域1.1.1区间开区间，闭区间，半开半闭区间，无穷区间，这四类统称为区间，还分为有限区间（a，b）[a,b]，无限区间(−∞，b)(a,+∞)（a,b成为区间的端点）。

全体实数的集合R也可表示为无限区间(−∞,+∞)1.1.2邻域定义，设δ为某个正数，称开区间(x0−σ,x0+σ)为点x0的δ的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x0,σ)即U(x0,σ)={x0|x0−σ<x0<x0+σ}={x||x−x0|}1.2函数的概念1.2.1函数的定义设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A 或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}其中x叫做自变量，y叫做x的函数，集合 A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域。

1.2.2函数的表示法函数的表示法通常有三种：表格法、图像法和解析法。

1.2.3函数关系的建立为了建立函数关系，需要明确问题中的因变量和自变量，得出函数关系，并根据实际背景确定函数的定义域。

1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义，x1及x2为区间I上任意两点，且x1<x2。

如果恒有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上是单调减少的。

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

1.3.2函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称。

如果在D上有f(x)= f(−x)，则称f(x)为偶函数；如果在D上有f(x)=−f(−x)，则称f(x)为奇函数。

1.3.3函数的周期性设函数y=f(x)的定义域为D。

如果存在一个非零数l，使得对于任一x∈D有(x±I)∈D,且f(x±I)=f(x)，则f(x)称为周期函数，l 称为f(x)的周期，如果在函数f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期。

高等数学函数的概念及性质

注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
19
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2, )
取整函数当
y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
y
1
o
x
1
2 1o 1 2 3 4 x
22
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x2 , 1 x 0
例2. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2 ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2 ( 0, 1] ,
ex ex

ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
13
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练习 1.1 题5. 51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
Q f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
20
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1.1.5. 初等函数

海南大学高等数学第一章

（二）、两个重要极限
1、（主要用于求含有三角函数或反三角函数的型极限）
（两边夹Th.证明）一般形式
例子：1） 2） 3） 4） 5）（注意理解：等）
2、（主要用于求幂指函数的型极限），（举例子）（或）（单调有界Th。证略）一般形式：（讲述：利用公式的要领）
例子： 6） 7） 8） 9） 10）例子11）
xn+1 xn-1 A- A A+ 对给出的允许误差>0，总可以找出一项xN，使得从xN项后所有项与A的误差小于，即：|xn+1-A| <,|xn+2-A|< 使得当n>N时，
恒成立则称A为时的极限，也称收敛于A，
记为否则，称的极限不存在或发散。
注意理解几点： 1) （任意性）是任意给定的正数，只有这样才能刻画的极限本质。 2) （不唯一性）只要对于给定的，能找到一个N便可。 3) （相关性）N与有关，不同的有不同的N，但不存在函数关系。一般地，若减少，则N增大。 4) 求N的方法与原则：直接法——出发。解一个关于n的不等式。一般可以得出的形式。则为所求。放大法——把放大后变为
（四）、等阶无穷小量的几个重要性质：
若，且存在，则常见的等阶无穷小：时，sinx~x, ln(1+x)~x, tgx~x 例子：
§1-5 极限运算法则
（The open rule of limit）
（1）、极限的四则运算法则：
若limf(x)=A,limg(x)=B（存在），则 1、
2、 3、 4、 5、（k为常数）例子：1） 2） 3） 4） 5）几个的例子
例子：① ② ③，则， 3 ④，则 -1
2．函数的表示法 ① 公式法（显函数：，隐函数：，参数函数）

邻域概念

o
o
x0 x0 x0
例1 点1的2邻域 { x | | x - 1| < 2} = (-1, 3). 点−( ½ )的 ½ 邻域记为 { x | | x + ½ | < ½ } = (-1, 0).
点 x0 的去心邻域. 即
0
U( x0 , δ) {x 0 x x0 δ} ( x0 δ, x0 ) U ( x0 , x0 δ)
§1.1 集合
一. 集合的概念二. 集合的运算三. 区间与邻域
一.集合的概念
所谓集合是指具有某种确定性质的对象的全体. 组成集合
的每一个对象称为该集合的元素.
设M是具有某种确定性质的元素 x 的全体所组成的集合,
记作
M={ x | x具有的某种性质}
集合分有限集和无限集. 如方程x2 - 1=0的解集就是有限集. 如全体自然数的集合为无限集.
a°
(, ) {x x }.
在微积分中常用到特殊的开区间——邻域.
设 x0, δ R, 其中δ > 0, 以 x0为中心, 以δ 为半径, 长为 2δ的开区间. 即
( x0 , x0 ) {x x x0 , 0}
称为点 x0 的δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
6 4 72 4 8
6 4 72 4 8
o
x0
°o
x0
x0
点 x0 的左邻域, 即 {x 0 x0 x } (x0 , x0 ) 点 x0 的右邻域, 即 {x 0 x x0 } (x0 , x0 )
可类似定义多元微积分中用到的平面上点的邻域.
平面上以点M0( x0, y0)为心, 以δ > 0 为半径的圆内的点的全体. 即集合

大学微积分1.1 区间与邻域

点 a 称为这邻域的中心，称为这邻域的半径，如下图
2
a
a
a
例1
点5的3邻域 { x | | x -5 | < 3} = (2, 8).
7
点 a 的去心邻域. 即
U (a， ) { x 0 x a } (a , a) (a, a )
5abxaxb???abxaxb????ab?baxxa???????aaxxa????????aabxaxb???ab??6axax????????aaxax???????a
第一章
函数
§1.1 区间与领域
§1.2 函数
§1.3 反函数与复合函数 §1.4 基本初等函数与初等函数 §1.5 经济学中常用的函数
2 ° a a
点 a的左邻域, 即

a
{ x 0 a x } (a , a )
{ x 0 x a } (a , a )
点 a 的右邻域, 即
8
1
函数是微积分的一个重要概念, 也是现代数学研究的一个
基本对象. 有关函数概念, 在中学数学中我们有了初步的了
解, 在这一章中, 将介绍函数、函数特性、基本初等函数、初
等函数等概念.
2
§1.1 区间与邻域
一. 区间
二. 邻域
3
一. 区间
设a, b都是实数, 且a < b, 数集{ x | a < x < b }称为开区间. 记作(a, b), 即
( a , b ) { x a x b}
其中 a 和 b 称为开区间的端点, 如下图
° a
° b
类似还有闭区间, 半开半闭区间以及无限区间. 其中数b−a 称为有限区间的长度.

高等数学11集合常量与变量

(x1, y0)
y=f(x)
y=y0 (x2, y)
作 x=j(y)。
O
x1
x2
x
D
什么样的函数存在单值的反函数？
y
y=f(x) y
y y=f(x)
y
-x
O
x
x
O
单调函数的反函数是单值函数
xx
反函数的单值分支： y=x2 的反函数是多值函数： x= y 。
把 x限制在区间 [0,)，则y=x2 的反函数是单值的，即x= y 。它称为函数 y=x2 的反函数的一个单值分支。
1 y=2 x
O1 2 3 x
三、函数的几种特性
1. 函数的有界性
设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数 f(x)在X上的一个上界。
图形特点：y=f(x)的图形在直线y=K1的下方。
y y=K1
y=f(x)
O
x
还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z，u， v，w，s，t 等。
常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数学的习惯。
变量 x 所取数值的全体组成的数集 M称为变量 x 的变域，此时 x 表示数集M中任何一个元素。
二、函数概念
1. 举例
圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)
Q(b,a)
y=f(x)
O
P(a,b)
x
任意两点x1及x2，当x1 < x2时，恒有 f(x1) < f(x2)，
则称函数f(x)在区间I上是单调增加的。

1.1函数概念函数的几种特性

函数概念函数的几种特性
1.1 函数一、集合
1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c， d表示集合中的元素一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
返回
常见的数集：N，Z，Q，R，N+
y
y f ( x)
y
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x 偶函数
f ( x)
-x x f ( x )
o 奇函数
x
x
f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为奇函数 ;
返回
（4）函数的周期性:
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的
（1）在分式中，分母不能为0。（2）在实数范围内，负数不能开偶次方。（3）在对数式中，真数要大于0。（4）在反三角函数中，要使反三角函数有意义，即存在。（5）如果函数表达式中同时含有分式、根式、对数式或反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
返回
例1 求下列函数的定义域：
1 (1) y ＋ x＋2 2 4－x x (2) y lg x－1 x 1 (3) y arcsin 3
返回
f : X Y
其中 y称为元素x的像，并记作:f(x)，即 y=f(x)
3、区间和邻域（1）有限区间开区间 (a,b)=｛x|a<x<b｝闭区间 [a,b]=｛x| 半开半闭区间 [a,b）=｛x|
a x b｝
a x b｝（a,b］=｛x| a x b｝
返回
x

1.1 集合绝对值区间

3. 表示所有在直线上的点的集合为：
二、子集、交集、并集和补集
※ 子集：如果集合A中的每一个元素都属于集合B，
则称A为B的子集，记为
或读作“A包含于B”或“B包含于A”。例如：R表示全体实数的集合，Q表示全体有理数的集合，显然Q中每个元素都属于R，所有集合Q是集
合R的子集。
※ 真子集：如果A是B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A。那么集合A叫做集合B的真子
集，记作
例如，所有有理数的集合Q是所有实数的集合R的真子集，即由定义可知，任何一个集合A是它自己的子集,即注：空集可认为是任何集合的子集。。
※ 集合相等：设两个集合A,B。如果，同时 ,
则称集合A与集合B相等。记作
※ 交集：既属于集合A又属于集合B的所有元素的集合叫做集合A与集合B的交集，记作
a a (b 0) b b
这两个公式是显然的。
四、区间
定义1 集合x | a x b 称为开区间，记作（a，b）。它在数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点 a及端点b（图1.4）；
定义2 集合x | a x b 称为闭区间，记作[a,b]。它在数轴上表示点a与点b之间的线段，包括其两个端点（图1.5）。
Q等等.
习惯上集合用大写字母如A，B，C…等表示，而元素用小写字母如a，b，c…表示。
含有有限个元素的集合称为有限集。含有无限个元
素的集合称为无限集。如果a是集合A的元素，则记
a A 作 a A , 读作“a属于A”。否则记作
“a不属于A”。不含任何元素的集合叫做空集，记作
,读作
例如，方程 x 2 y 2 1 的实数解是一个空集。
x | x为任何实数记作，称为无穷区间等。（，）

经济应用数学第1章函数

函数f 可表示为 f∶D → R ∀x ∈D →y ∈ R 简单地表示为y =f(x),x ∈D 。
其中x 称为自变量,y 称为因变量。 D 称为函数f 的定义域,记为Df 。称所有函数值的全体Rf ={y|y =f(x),x ∈D }为函数f 的值域。
决定函数的两要素是函数的定义域和对应法则,因此,两个函数有在定义域和对应法则都相同时,才以为是相同的。
设函数f(x)在区间I 上有定义,如果存在正数M ,使得∀x ∈I 都有 f(x) ≤M 则称函数f(x)在区间I 上有界,否则称函数f(x)在区间I 上无界。有界函数的图像介于两条直线y =±M 之间,如图1-8所示。
类似于例3和例4,若函数在不同的定义区间上有不同的解析式,则称该函数为分段函数。
1.1.4 反函数
定义3 设y=f(x)在区间I 上有定义,对应的函数值集合为W ={y|y=f(x),x ∈I},如果对于每个y ∈W ,只有唯一一个x ∈I,使得 f(x)=y
则可规定从W 到I 的一个对应法则f1(· ),使得,∀y ∈W 都有f-1(y)=x(若有f(x)=y)
第 1章函数
1.1 1.2 1.3
函数的概念与性态
初等函数常用经济学函数
1.1
函数的概念与性态
1.1.1 数集、区间和邻域
• • • • 本书中的常用数集及其符号如下: 实数集:R={全体实数}。整数集:Z={0,±1,±2,…,±n,…}。自然数集:N={0,1,2,…,n,…}。有理数集:
我们约定,在表示集合的字母上加上标 “+”表示在该集合中取正数,加上标“-” 表示在该集合中取负数。例如,R+={全体正实数};Z-={-1,-,„,n,„},即全体负整数。

大学微积分1.1区间与邻域

结合律、交换律、分配律等在区间运算中同样适用。
02
邻域的基本概念
定义及表示方法
定义
邻域是指一个点集，其中包含一个中心点和一个围绕该点的区域。
表示方法
邻域通常用圆括号或方括号表示，例如，点x的邻域可以表示为 (x-δ, x+δ)或[x-δ, x+δ]，其中δ是邻域的半径。
左邻域和右邻域的定义
大学微积分1.1 区间与邻域
• 区间的基本概念 • 邻域的基本概念 • 区间与邻域的关系 • 区间与邻域的应用
01
区间的基本概念
区间在数轴上的表示
区间是数轴上的一组有序数，通常用方括号或圆括号表示。
开区间不包括端点，而闭区间包括端点。例如，开区间(a, b)表示所有大于a且小于b的实数，闭区间[a, b]表示所有大于等于a且小
于等于b的实数。
半开半闭区间如(a, b]或[a, b)表示的是开区间和闭区间的组合。
区间的运算
并集
两个或多个区间的并集是包含所有这些区间中所有元素的集
合。
交集
两个或多个区间的交集是包含同时属于这些区间的所有元素的集合。
补集
对于一个集合A，A的补集是所有不属于A的元素组成的集合。
区间运算的义
半开半闭邻域是一个区间去掉一个端点或两个端点后得到的半开或半闭区间。
半开半闭邻域的性质
半开半闭邻域具有非空性和稠密性，即任意两个不相等的半开半闭邻域内的点都可以用一条连续的曲线连接，且半开半闭邻域内任意两点之间存在无数个点。同时，半开半闭邻域也是其所在区间的子集。
开邻域的性质
开邻域具有连续性和稠密性，即任意两个不相等的开邻域内的点都可以用一条连续的曲线连接，且开邻域内任意两点之间存在无数个点。

1.1-1.2集合与映射函数

1.6
以下内容（了解即可）：双曲函数、反双曲函数双曲正弦双曲正切
e x - e- x sh x = , 2 sh x th x = , ch x
e x + e- x , 双曲余弦 ch x = 2
悬链线
y ch x
y sh x
y 1 x e 2
1
1 y ex 2
O
y = th x
X (数集或点集 )
f
R
f 称为定义在 X 上的函数
1.2 函数
实质上，函数 y f ( x) 就是映射 f : A R
一个规则 f，使得 1. 函数的定义设A 为非空实数集。若存在 x A, 存在唯一的 y R，按照规则 f 与 x 对应，则称 f 为定义在 A 上的函数，记为 y f ( x)，x A。其中，A 称为函数 f 的定义域。
)
(2) 反双曲余弦函数
双曲余弦函数
y = chx 是 (, ) 到 [1, )
上的映射, 但不是一一对应。
由
e x + e- x 解得 y = chx = 2
x ln y y 2 1 ,

)
y [1, )。
这里有两支, 单独来看, 这两支分别都可作为双曲余弦的反函数。
注意：分段函数的定义域
几个特殊的分段Leabharlann 数(1) 符号函数（克朗涅哥函数）
1
y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
D( f ) (,), R( f ) {1,0,1}
o -1
x
x sgn x x
(2) 最大取整函数 y=[x] : [x]表示不超过x的最大整数

高等数学第一章预备知识

1.2 区间与邻域
(1) 实数集的构成
(2) 实数的点的表示
数轴：
b
a
X
O1
1.2 区间与邻域 (3) 区间是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b ∈R , 且 a ＜ b.
集合 {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
集合 {x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
函数，记作
y f (x), x X
数集X叫做这个函数的定义域，变量x称为自变量，变量 y 称为因变量。
当 x取数值 x0 X 时，与 x0对应的 y 的数值
称为函数 f 在点处的函数值,记作 f (x0 ).
由函数 f 的定义可知,函数实际上即我们中学数
学中所介绍的实数集到实数集的映射.
必修科目,同时也是许多非理工科学生的必修科目。
文科生开设高等数学的目的:
一方面使学生获得相应数学基础知识—基本理论和基本计算方法，提高学生的数学素质；
另一方面使学生学会一定的数学思维方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。对文科生来说，后者显得更为重要。
二、文科生开设高等数学的内容
本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个部分内容：
（1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。
解设产量为 x ，则
(1) C0 12000 ;
(2) C1 10 x;
(3) C 1200010x; (4) R 30x;
(5)L 30x (1200010x) 20x 12000.
解:∵ 一年的利息为p0r元, 则 x 年的单利为 p0rx元, ∴ 本利和为 P = p0 + p0rx = p0 (1+ rx) 元

《高等数学(上册)》第一章

图像向上、向下都可以无限延伸，不可能找到两条平行于 x 轴的直线，使这个图像介
于这两条直线之间，这时称 y x3 在区间 ( ， ) 内是无界函数．
1.1.4 反函数与复合函数
1．反函数定义 2 设函数 y f (x) 的值域是 M，若对于 M 中的每一个 y 值，存在唯一确定的 x 值（满足 y f (x) ）与之对应，则得到了一个定义在 M 上的以 y 为自变量 x 为因变量的新函数，记为 x f 1(y) ，称其为 y f (x) 的反函数．习惯上，用 x 表示自变量，用 y 表示因变量，通常将 y f (x) 的反函数改写为 y f 1(x) ． y f (x) 与其反函数
1.1.4 反函数与复合函数
例 3 指出下列复合函数由哪些简单函数复合而成：
（1） y sin(x3 4) ；
（2）
y
cot 1
5 x
．
解（1）设 u x3 4 ，则 y sin(x3 4) 由 y sin u ， u x3 4 复合而成．
（2）设 u
cot
1
，则
y
5u
；设 v
1.1.2 函数的概念
定义 1 设数集 D R，变量 x D ，若当变量 x 在非空数集 D 内任取一数值时，变量 y R 依照某一对应法则 f 总有唯一确定的数值与之对应，则称 f 为 D 到 R 的函数，通常记作 f : D R ，或 y f (x) ， x D ．
其中，x 称为自变量，y 称为因变量，自变量 x 的取值范围 D 称为函数的定义域，因变量 y 的取值集合称为函数的值域．
案例 3 某地气温 T 与时间 t 的关系如图所示．
以上列举的案例，虽然来自不同的领域，而且具有不同的表示形式（公式、表格、图形），但它们都有一个共性：在同一过程中有着两个相互依赖的变量，当其中一个量在某数集内取值时，按一定的规则，另一个量有唯一确定的值与之对应．变量之间的这种关系就是函数关系．

高等数学课件1.1集合区间邻域

(2) 全体奇数的集合, 可记为
M { x | x 2n 1,n Z }.
集合之间的关系
若 xA
x B, 则称 A 是 B 的子集,
记为 A B. 若 A B, 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等,
集合的概念
若 A B, 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等, 记为 A B. 例如, A {1,2}, M { x | x2 3x 2 0}
可记为
A {1,2}.
2. 描述法: M { x | x 所具有的特征}
(1) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合,
集合的概念
2. 描述法: M { x | x 所具有的特征}
(1) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合, 可记为 M { x | x2 3x 2 0}.
A B {( x, y) | x A且 y B}. 如 R R {( x, y) | x R, y R} 即为 xOy 面上全体点的集合, R R 常记作 R2 .
区间
定义介于某两个实数之间的全体实数称为区间, 这两个实数叫做区间的端点.
设 a,b R, 且 a b, 定义开区间 (a,b) { x | a x b}; 闭区间 [a,b] { x | a x b}; 半开区间 [a,b) { x | a x b},
或补集
A S A.
SA A
例如, 在实数集 R中, 集合 A { x | 0 x 1} 的余
集就是
A {x | x 0或 x 1}.
集合的基本运算规律
设 A, B,C 为任意三个集合, 则有下列法则成立: (1) 交换律 A U B B U A, A I B B I A; (2) 结合律 ( A U B) U C A U (B U C ),