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湖南四大名校内部资料雅礼中学2020高二下学期入学考试数学试卷

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湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)

湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)

雅礼教育集团2024年上期期中考试高二数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知{1,2,3,4,5,6},{2,4,5}U A ==，{1,3,5}B =，则()U A B = ð（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{2,4,6}D ．{2,4}2．复数z 满足(2i)3i z +=-，则||z 等于（ ）A ．1BC ．2D ．43．“01k <<”是“方程2212x y k-=表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数24(1)()log (1)x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则((1))f f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．45．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且满足244,22a S ==，则5S =（ ）A ．65B ．55C ．45D ．356．有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）A ．180种B ．150种C ．90种D ．60种7．关于函数3()31f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）①()f x 有两个极值点②()f x 的图象关于原点对称③()f x 有三个零点④()f x 在(1,1)-上单调递减A ．①④B ．②④C ．①③④D ．①②③8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为C 上一点，满足12PF PF ⊥，以C 的短轴为直径作圆O ，截直线1PF，则C 的离心率为（ ）ABC ．23D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．设m ，n 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m α∥且n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥且n α⊥，则m n ∥C ．若m α∥且m β∥，则αβ∥D ．若m α⊥且m β⊥，则αβ∥10．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期为πB ．将函数()y f x =的图象右移3π个单位后，得到一个奇函数C ．56x π=是函数()y f x =的一条对称轴D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心11．定义域为R 的函数()f x ，对任意,,()()2()()x y f x y f x y f x f y ∈++-=R ，且()f x 不恒为0，则下列说法正确的是（ ）A ．(0)0f =B ．()f x 为偶函数C ．若(1)0f =，则()f x 关于(1,0)中心对称D ．若(1)0f =，则02412()4048i f i ==∑三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知平面向量(2,1),(4,)a b x =-=- ，若b 与()a b +共线，则实数x =______．13．()2312(1)x x ++的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）14．若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则a 的取值范围是______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数()2cos 2f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，已知()1f A =，1b =，ABC △ABC △的周长．16．（15分）如图，已知多面体FABCDE 的底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥底面ABCD ，DE AF ∥，且22FA DE ==．（1）证明：CD ⊥平面ADEF ；（2）求四棱锥C ADEF -的体积；（3）求平面FCE 与平面FAB 所成角的余弦值．17．（15分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占45，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示。

湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题

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湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数421i z i+=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18 C ．115 D ．1303．函数3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,3) B ．(,3)-∞ C ．(0,)+∞ D ． 4．已知2:0- <<="" a="" b="" bdsfid="103" c="" d="" p="" x="" 的一个必要不充分条件是（="" ）="" ，那么命题p="" ．01x="" ．11x="" ．1223x="" ．122<="">x << 5．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( ) A ．512个B ．192个C ．240个D ．108个 6．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ?=，如果抛物线2 16y x =的准线经过双曲线M的一个焦点，那么12||||PF PF ?=（） A ．21 B ．14 C ．7 D ．08．有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（）号同学.A ．1B ．2C ．3D ．4，5，6号中的一个 9．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π610．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，且()03g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（） A ．()()3,03,-?+∞ B ．()()3,00,3- C ．()(),33,-∞-+∞ D ．()(),30,3-∞- 11．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系式为R(x)= 21400x ,0400,{?280000,400,x x x -≤≤>则总利润最大时，每年生产的产品是 ( )A ．100单位B ．150单位C ．200单位D ．300单位12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A ．1BCD ．2二、填空题13．双曲线221x y -=的离心率为14．如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=?，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______.15．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.16．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =________三、解答题17．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}n b 的前n 项和n S .18．已知函数()()22sin cos cos x x f x x x R x --∈=.（1）求23f π?? ???的值. （2）求()f x 的单调递增区间.19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ybx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式：()()()1 122211?n n i i i ii i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑，??a y bx =-. 参考数据：511415ii i x y ==∑.20．如图，在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ∠=，点,E F 分别是,CD CB 的中点，AC EF O ?=，沿EF 将CEF ?翻折到PEF ?，连接,,PA PB PD ，得到如图的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA （2）求二面角--B AP O 的余弦值.21．如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ?? ???到抛物线C ：()220y px p =>的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.（1）求曲线C 的方程及点M 的坐标；（2）记()d m =，求弦长AB （用m 表示）；并求d 的最大值.22．已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---，1()x g x xe -=，（,a R e ∈为自然对数的底数）.（1）若不等式()0f x >对于一切1(0,)2x ∈恒成立，求a 的最小值；（2）若对任意的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的i x (1,2)i =，使0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.参考答案1．D【分析】利用复数的除法运算化简出3322z i=-，即可得出对应点，便可得所在象限.【详解】解：∵41i=，∴复数()()()31213311122iz ii i i-+===-++-，即3322z i=-，则对应点坐标为33,22-，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．C【解析】试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP An=（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．3．D【解析】试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a ＞0时，3x 2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a ＜．a=0时，3x 2-3a=0两根相等，均为0，f （x ）在（0，1）内无极小值．a ＜0时，3x 2-3a=0无根，f （x ）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a ＜．考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法．4．B【详解】解: p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<="" bdsfid="270" p=""></x【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D ．考点：排列组合．6．A【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.【详解】()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．B【解析】试题分析：因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为730x y +=，所以，解得；因为点P 在双曲线M 上，且120PF PF ?=，所以，解得；故选B ．考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8．C【分析】因为只有一人猜对，而C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论.【详解】解：因为C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是：3号同学.故选：C.【点睛】本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题. 9．C【解析】分析：利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABC a b c S absinC +-== 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．10．A【分析】构造函数()()()g x F x f x =，根据已知条件，可判断出()F x 的奇偶性和单调性，且()()330F F =-=，将求不等式()()0f x g x <的解集，转化成求()0F x <的解集，即可得出答案.【详解】解：根据题意，设函数()()()g x F x f x =，由于当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，即：()()()()''0g x f x g x f x -<所以()()()()()()2'0'g x f x g x f F x f x x '=则()F x 在(),0-∞上为减函数，因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则()()()()()()g x g x F x F x f x f x -===---，所以()F x 在R 上为奇函数，则()F x 在()0,+∞上也为减函数，由于()03g =，所以()()()3303g F f ==，即()30F =，()30F -=，因为()()()()()()()22g x f x g x f x f x F x f x =?=?，要求不等式()()0f x g x <，即求()0F x <，解得：30x -<<或3x >，则不等式()()0f x g x <的解集为：()()3,03,-?+∞.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考查构造函数的思想及等价转化思想，属于中档题.11．D【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于x 的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.【详解】设总成本为C 元，总利润为P 元，则C=20000+100x ，P=R-C=2x 30020000,0400,{260000100,400,x x x x --≤≤->所以P′=300,0400,{100,400,x x x -≤≤-> 令P′=0，得x=300．当0<x0；当x>300时，P′<0．所以当x=300时，P 取得最大值，故选D ．</x【点睛】本题考查的是函数模型的应用．解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解． 12．B【解析】因为2c e a ==，所以2c a =，从而22224a b a c =-=，则椭圆方程为222241x y a a +=．依题意可得直线方程为()y k x =-，联立2222(){41y k x x y a a =+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，则2212122(31)14k a x x x x k-+==+ 因为3AF FB =，所以1122(,)3(,)22a x y x a y --=-，从而有123x x += ① 再由3AF FB =可得3AF FB =，根据椭圆第二定义可得12()3()2323a x a x -=?-，即2133x x a -= ② 由①②可得12,39x a x a ==，所以2221225(31)914k a x x a k -?==+，则22(31)5149k k -=+，解得k =0k >，所以k =B 13【解析】思路分析：由题可得，故离心率考点：此题考查双曲线离心率的计算.点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答.14【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，再利用向量法求异面直线的夹角公式求出结果.【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则()0,0,1E ，()1,2,0F ，()2,0,0B ，()0,2,0D . ()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，故cos ,66EF BDEF BD EF BD ?-====?..【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角，属于基础题.15．24【分析】利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.【详解】解：由题知，5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有22222324A A A =（种）不同的方法.故答案为：24.【点睛】本题考查排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题. 16．12【分析】令1t x =-，得到()f t 的解析式，判断出()f t 是偶函数，从而得到()f x 的图像关于1x =成轴对称，根据函数()f x 有唯一零点，得到()10f =，从而得到a 的方程，解出a 的值.【详解】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++ 设1t x =-，则()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ，()()()()21t t f t t a e e f t --=--++= 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称要使()f x 有唯一零点，则只能()10f =，即()2001210a e e -?++= 解得12a =，故答案为：12. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题.17．(1) 12n n a (2) n S 221n n =+-【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =, ∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -??=+++-++++?? ()12112212nn n ??+--??=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18．（1）223f π??=（2）2,63k k k Z ππππ??++∈ 【分析】（1）已知()f x 的解析式，代入23x π=，直接算出23f π?? ???的值；（2）利用二倍角公式和辅助角公式化简得()2sin 26f x x π??=-+ ，结合正弦函数的单调性，即可求出()f x 的单调递增区间.【详解】解：（1）由2sin 3π=21cos 32π=-， 22211232222f π=----= ? ? ? ????，即：223f π=. （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin 26x x f x x π??=-=-+ ??，由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k Z ππππ??++∈. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，还运用二倍角正弦和余弦公式、辅助角公式、特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题.19．（1）8.5125.5y x =-+，49人；（2）37. 【分析】(1)先求得3x =,100y =,再代入公式计算即可.(2)利用枚举法将基本事件全部列出再求概率即可.【详解】（1）由表中数据知,3x =,100y =, 122114151500?8.55545n i ii n i i x y nx y b xnx ==--===---∑∑,??125.5a y bx =-=, ∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+.令9x =,则8.591?25.549y=-?+=人. （2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员,设其编号分别为1a ,2a ,3a ,4a ,4月份应抽取3位驾驶员,设其编号分别为1b ,2b ,3b ,从这7人中任选2人包含以下基本事件,()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()23,a b ,()34,aa ,()31,ab ,()32,a b ,()33,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()43,a b ,()12,bb ,()13,b b ,()23,b b 共21个基本事件；设“抽到的两人恰好来自同一月份”为事件A ,则事件A 包含的基本事件是()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()23,a a ,()24,a a ,()34,a a ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,共有9个基本事件,()93217P A ==. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解与古典概型求解概率的方法.属于基础题.20．（1）见解析（2 【解析】试题分析：（1）先证明//,,BD EF BD AC EF AC ⊥⊥，从而,EF AO EF PO ⊥⊥，根据线面垂直的判定定理可证明BD ⊥平面POA ；（2）设AO BD H ?=，连接BO ，由（1）可得EF PO ⊥，根据勾股定理可得BO PO ⊥,根据线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面BFED ，以O 为原点，OF 在直线为x 轴，AO 所在直线y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，分别求出平面BAP 与平面APO 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）点分别是的中点菱形的对角线互相垂直（2）设，连接ABD ∴?为等边三角形，，在中，在中，，BO ? 平面BFED 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面PAB 的法向量为，由,n AP n AB ⊥⊥得令得3,z x =-=∴平面PAB 的一个法向量为()3,1,3n =--，由（1）知平面PAO 的一个法向量为，设求二面角B AP O --的平面角为θ，则2cos cos ,13||n BHn BH n BH θ?====? ∴二面角B AP O --的余弦值为3913，【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．（1）2y x =.()1,1M .（2）A B =d 的最大值为1. 【分析】（1）根据抛物线的定义，求出12p =，即可得出抛物线的方程，便得出点M 的坐标；（2）由点()1,1M ，得出(),Q m m ，利用点差法求出直线AB 的斜率，得出直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长AB ，通过基本不等式求得d 的最大值.【详解】解：（1）()220y px p =>的准线为2p x =-，∴5124p ?--= ，∴12p =，∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =.故()1,1M .（2）由（1）知，点()1,1M ，从而n m =，即点(),Q m m ，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，且()11,A x y ，()22,B x y ，由211222y x y x ?=?=?，得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ?=，所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=. 由22220x my m m y x-+-=?=?，消去x ，整理得22220y my m m -+-=，所以2440m m ?=->，122y y m +=，2122y y m m =-.。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期高考模拟试卷(二)数学(理)试题

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期高考模拟试卷(二)数学(理)试题

雅礼中学2020届高考模拟卷（一）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 若复数z 的共轭复数z 满足：31i z =+，则复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合(){}2|log 11x P x =-<，2|1Q x x ⎧<=⎫⎨⎬⎩⎭，则()P Q R等于（ ）A. (]1,2B. []0,2C. 1,2D. (]03,3. 某商家统计了去年P ，Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A 点表示P 产品2月份销售额约为20万元，B 点表示Q 产品9月份销售额约为25万元.根据图中信息，下面统计结论错误．．的是（ ） A. P 产品的销售额极差较大 B. P 产品销售额的中位数较大 C. Q 产品的销售额平均值较大D. Q 产品的销售额波动较小4. 《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32D. 丙付的税钱最少5. 函数2233x y x =-的图象大致是（ ）A.B.CD.6. 抛物线216x y =的焦点到圆22:680C x y x +-+=上点的距离的最大值为（ ）A. 6B. 2C.14+D.164+ 7. 要得到函数πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A 向右平移π6B. 向右平移π12C. 向左平移π6D. 向左平移π128. 若曲线e x y =关于直线()0y x m m =+≠的对称曲线是()ln y x a b =++，则ba的值为（ ） A. 2B. 1-C. 1D. 不确定9. 如果()3*1nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中存在正的常数项，则n 的最小值为（ ） A. 2B. 4C. 8D. 2810. 若实数x ，y 满足10300x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，且()232x y k x +-≥-恒成立，则k 的取值范围是（ ）A. (],1-∞-B. (],1-∞C. [)1,-+∞D. [)1,+∞11. 设22221111483444541004M ⎛⎫=++++⎪----⎝⎭，则与M 最接近的整数为（ ）A. 18B. 20C. 24D. 25..12. 如图，四边形ABCD的面积为90ABD BDC ∠=∠=︒，把BCD 绕BD 旋转，使点C 运动到P ，此时向量BA 与向量DP 的夹角为90°.则四面体ABDP 外接球表面积的最小值为（ ）A.π3B.C. 8πD. 10π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，如果()10.8413P X ≤=，则()10P X -<<= ________. 14. 数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项的和为n S ，若515S =且2a ，4a ，5a 成等比数列，则9S 的值为________.15. 已知向量,a b 的夹角为θ，π2π33θ≤≤，a b a b λ==+，则λ的取值范围是________. 16. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左，在焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线C 右支上一点，直线1F A 与双曲线C 的左支相交于B ，如果21:3:5B A F F =，且2ABF 的周长为14a ，则双曲线C 的离心率为________.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos A B C -=.. （1）求B 的值； （2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.18. 在四棱锥P ABCD -中，12AP PD DC CB BA ====，PB PC =,90APD DCB CBA ∠=∠=∠=︒. 的（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求直线PB 与平面PCD 夹角的正弦值.19. 在平面直角标系xOy中，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过椭圆M 的右顶点A 作椭圆M 的两条弦AB 、AC ，记直线AB 、AC ，BC 的斜率分别为1k 、2k 、k ，其中1k 、2k 的值可以变化，当1k =，求1212k k k k --的所有可能的值.20. 已知函数()()ln 1sin f x ax x x =-+-.（1）若直线y x =与函数()y f x =的图象相切于原点，试判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）若函数()f x 在区间()1,0-上有零点，求实数a 取值范围.21. 某校数学兴趣小组由水平相当n 位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n .辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为12，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第()1,2,3,,1i i n =-号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第i 轮挑战失败，由第1i 号同学继续挑战； ④若第()1,2,3,,1i i n =-号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第i 轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第i 轮挑战失败，由第1i号同学继续挑战；⑤若挑战进行到了第n 轮，则不管第n 号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战.的的令随机变量n X 表示n 名挑战者在第()1,2,3,,n n X X n =⋅⋅⋅轮结束. （1）求随机变量4X 的分布列；（2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答.令随机变量n Y 表示n 名挑战者在第()1,2,3,,n n Y Y n =⋅⋅⋅轮结束. （ⅰ）求随机变量()*,2n Y n N n ∈≥的分布列； （ⅱ）证明()()()()()23453n E Y E Y E Y E Y E Y <<<<<<<.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为33cos 1cos 62cos 1cos x y θθθθ-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：22π214θρ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，曲线1C 与曲线2C 相交于点A 、B ，与y 轴相交于点P .（1）写出曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值. 23. 已知关于x 的不等式121x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求实数m 的取值范围；（2）正数a 、b 、c 满足22a b c M ++=，求证：1349a b b c c a++≥+++.。

湖南省长沙市雅礼中学2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

湖南省长沙市雅礼中学2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

雅礼中学2020年上学期期末考试试卷高二理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 是的共轭复数. 若（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先设z=x+yi，（x,y∈R），由题得关于x,y的方程组，解方程组得x,y的值即得z的值. 详解：设z=x+yi，（x,y∈R），由题得故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数的共轭复数复数相等:.2. 设全集为R，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 设，则“”是的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：先化简两个不等式，再利用充要条件的定义来判断.详解：由得-1＜x-1＜1，所以0＜x＜2.由得x＜2，因为，所以“”是的充分不必要条件.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)本题利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：（1）若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；（2）若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；（3）若且，即时，则是的充要条件.4. 设是等差数列. 下列结论中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】试题分析：本题可使用举反例法排除错误选项．A项中，取，可见命题是错误的；B项中，取，可见命题是错误的；D项中，取，可见命题是错误的；而C项中，，因为，所以，可得，故本题的正确选项为C.考点：等差数列的运用.5. 下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．详解：首先根据函数y=lnx的图象，则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．故答案为：B．点睛：本题主要考查函数图像的变换和对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.6. 已知为正实数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由对数与指数的运算法则，知，，所以，故D正确，故选D．考点：指数与对数的运算．7. 已知点、、、，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，向量在方向上的投影为，故选A．8. 【2020天津，文2】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y 的最大值．详解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故答案为：C．点睛：（1）本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.9. 函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图象可知，，解得，，所以，令，解得<<，，故单调减区间为(，)，，故选D．【名师点睛】本题考查函数的图象与性质，先列出关于的方程，求出，或利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求出是解题的关键.10. 在中，，BC边上的高等于,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设,故选C.考点：解三角形.视频11. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较的大小关系得解.详解：由题得＜ln1=0,>. 所以ab<0..所以，所以.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算.12. 已知数列满足，且是递减数列，是递增数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得：，又是递减数列，是递增数列，所以，即，由不等式的性质可得：，又因为，即，所以，即，同理可得：；当数列的项数为偶数时，令，可得：，将这个式子相加得：，所以，则，所以选D．考点：1．裂项相消法求和；2．等比数列求和；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学(理)试卷附答案详析

湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学(理)试卷附答案详析

湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学（理）试卷一、单选题 1．已知集合{}220A x xx =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．82．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i -D ．21i 55+ 3．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．25C ．16D ．204．已知数列{}n a 满足211nn n aa a -+=（2n ≥），24804sin 2a a xdx π⋅=⎰，且40a >，则6tan 3a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭( )A ．33-B ．33C ．3-D ．35．将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A ．14x =- B ．12x=C ．34x = D ．54x =6．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A ．43斛B ．45斛C ．47斛D ．49斛7．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC++=u u u v u u u vu u u v v，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A ．123P P P ==B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为315，则a =( )A ．3B ．5C ．2D ．69．当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．610．对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A ．1695 B ．1696 C ．1697D ．169811．ABC ∆中，所有内角都不是钝角，有以下命题：①sin 2sin 2A B A B =⇔=；①sin 2sin 2A B A B >⇔<；①cos2cos2A B A B >⇔<；①sin cos A B ≥.其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A ．33B ．56C ．64D ．78二、填空题13．若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 14．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)()(]2sin ,2,0211,0,2xx f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.15．已知变量x 、y 满足约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，在实数x 、y 中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{}n a 的前9项，则1a x =、9a y =，则数列{}n a 的前13项和的最大值为______.16．若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线3y x ax =+上，则实数a =______.三、解答题17．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值.18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)我们称圆心在椭圆上运动，半径为222a b +的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O 作椭圆C 的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C 于A 、B 两点，若直线OA 、OB 的斜率为1k 、2k ，当12210k k +=时，求此时“卫星圆”的个数.19．已知首项为1a 的数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，n *∈N .(1)若数列{}n b 的通项n b 满足2n n b a =，且11a =，求数列{}n b 的前n 项和为nT；(2)若数列{}n c 的通项n c 满足()4nn nb c S =，前n 项和为n Q ，当数列{}n c 是等差数列时，对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n a Q a n cm -=成立，求满足条件的所有整数1a 构成的集合.20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-.（i ）求X 的分布列：（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？21．已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈.（1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 62sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21019sin ρθ=+.(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； (2)若M ，N 分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求MN 的最大值.23．已知函数()2725f x x x =-+-.(1)解不等式()6f x ≥；(2)设函数()f x 的最小值为m ，已知正实数a ，b ，且221max ,a b k a b a b ⎧⎫+=⎨⎬++⎩⎭，证明：21k m ≥.解析湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学（理）试卷一、单选题 1．已知集合{}220A x xx =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】可以求出集合{}0,1,2A =，由A B A ⋃=可得B A ⊆，从而求集合A 的子集个数即可. 解：{}{}2200,1,2A x xx =∈-++≥=N ，∵A B A ⋃=，∵B A ⊆，∵集合A 的子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查并集的运算及理解，是基础题. 2．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+ 【答案】B【解析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．25C ．16D ．20【答案】D【解析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC u u u r 的坐标，则2AC u u u r 可求.【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--u u u r u u u r ，(2,2)CA m =-u u u r， (4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-u u u r ，241620AC ∴=+=u u u r.故选：D.【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题. 4．已知数列{}n a 满足211nn n aa a -+=（2n ≥），24804sin 2a a xdx π⋅=⎰，且40a >，则6tan 3a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭( )A ．33-B ．33C ．3-D ．3【答案】C【解析】由211n n n a a a -+=（2n ≥），可知数列{}n a 是等比数列，利用微积分基本定理可求得20sin21xdx π=⎰，从而可求得24864a a a ⋅== ，而由40a >可知62a =，从而可求得答案.【详解】解：由211n n n a a a -+=（2n ≥），知数列{}n a 是等比数列，又20111sin 2cos 2122220xdx x ππ=-=+=⎰，所以24864a a a ⋅==，又40a >，所以60a >，所以62a =，所以则62tan tan 333a ππ⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查微积分基本定理及等比数列的性质，求得62a =是关键，考查运算求解能力，属于中档题. 5．将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A ．14x =- B ．12x =C ．34x = D ．54x =【答案】D【解析】根据三角函数平移关系求出()gx 的解析式，结合()()4f a g b -=成立的,a b 有min 34a b -=，求出,a b 的关系，结合最小值建立方程求出ϕ的值即可. 【详解】 解：将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，即()2sin ()1g x x πϕ=+-， 若()()4f a g b -=成立，即|2sin 2sin (+)|=4a b ππϕ-， 即|sin sin ()|2a b ππϕ-+=，则sin a π与sin ()b πϕ+一个取最大值1，一个取最小值−1， 不妨设sin 1,sin ()1a b ππϕ=+=-， 则2,,()2,22a k k Zb n n Z πππππϕπ=+∈+=-∈，得112,222a kb n ϕ=+=--， 则2()1a b k n ϕ-=-++，∵min34a b -=， ∵当0k n -=时，3||11,2a b ϕ⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭， 当1k n -=-时，1|||1|,12a b ϕ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，3|1|4ϕ∴-=，则314ϕ-=或314ϕ-=-，即14ϕ=或74ϕ=（舍），即1()2sin 12sin 144g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由,42x k k Z ππππ+=+∈，得1,4x k k Z =+∈， 当1k=时，对称轴方程为54x =.【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出,a b 的大小，结合最小值求出ϕ的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.6．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A ．43斛B ．45斛C ．47斛D ．49斛【答案】D【解析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可. 【详解】解：观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体， 其体积为：2221179262211333ππππ⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=（尺）， 则该粮仓存放的米约为793 1.62493⨯÷≈（斛）. 故选：D. 【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大.7．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=u u u v u u u vu u u v v，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ）A ．123P P P ==B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>【答案】C【解析】分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=u u u r u u u r u u u u r，得到点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，进而求得16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=，得出面积之间的关系，即可求解．由题意，分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=u u u r u u u r u u u u r， 所以点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==， 又16GABGA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=， 从而得到::GAB GAC GBC S S S ∆∆∆=111::4:3:26812=， 则123:P :4:3:2P P =，即123P P>>P .故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，以及几何概型思想的应用，其中解答中根据响亮的运算求得点G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为315，则a =( )A ．3B ．5C ．2D ．6【答案】A【解析】设点2,a A t c ⎛⎫-⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据点B 在双曲线上可得一个关于,,a b c 方程，根据面积又可得一个关于,,a b c 的方程，在加上222c a b -=，列方程求解即可. 【详解】 解：如图：设点2,a A t c ⎛⎫-⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 又OB AF ⊥，则221tta ac c c c⋅=--+--，化简得2222(1)a t b c=+，222,1a a B c b c c ⎛⎫∴-++ ⎪ ⎪⎝⎭2222222(1)1a a c b c c a b ∴-⎛⎫-+ +⎝⎭=⎪∵ ， 又221315122a cbc ⨯⨯+=∵， 222c a b -=∵，∵由∵∵∵得3,3,23a b c ===.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，考查学生计算能力，根据条件列方程是本题的关键，是中档题. 9．当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，又由()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤=-=--=+⎣⎦可得()g x 的周期，通过作图观察的方法可得结果. 【详解】解：由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()gx 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤∴=-=--=+⎣⎦，则()gx 为周期函数，且最小正周期为4. 对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =当[1,2)x ∈时，()1f x =；当[2,3)x ∈时，()2f x =； 当[3,4)x ∈时，()3f x =； 当[4,5)x ∈时，()4f x =； …；当[1,0)x ∈-时，()1f x =； 当[2,1)x ∈--时，()2f x =； 当[3,2)x ∈--时，()3f x =； 当[4,3)x ∈--时，()4f x =； 当[5,4)x ∈--时，()5f x =；…综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()y f x =与函数()y g x =共有6个交点，即方程()()f x g x =的根的个数为6.故选：D. 【点睛】此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，画出函数的图像很关键，是中档题. 10．对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A ．1695 B ．1696 C ．1697 D ．1698【答案】A【解析】由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列举出来算出个数即可. 【详解】解：由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列表如下： 其中第一列是d 取的数，第一行是b 取的数，中间是满足吉祥数的,a c 组合的数量， 如：0,0b d ==，,a c 组合有99⨯种可能，则吉祥数的个数为：9(987654321)8(887654321)⨯+++++++++⨯++++++++7(777654321)1(111111111)+⨯+++++++++⋯+⨯++++++++945844742639217191695=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查列表分类求数量，关键是要在列举中发现规律，进而方便计算出结果，是中档题. 11．ABC ∆中，所有内角都不是钝角，有以下命题：①sin 2sin 2A B A B =⇔=；①sin 2sin 2A B A B >⇔<；①cos2cos2A B A B >⇔<；①sin cos A B ≥.其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用三角公式变形和三角函数的性质逐一判断. 【详解】解：∵sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+＝，则A B =或A B π+＝２，故错误；∵()()()()sin 2sin 2sin sin A B A B A B A B A B =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦－－()()()2cos sin 0sin 00A B A B A B A B A B =+->⇔-<⇔-<⇔<，故正确；∵()()()()cos 2cos 2cos cos A B A B A B A B A B -=++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2sin sin 0sin 00A B A B A B A B A B =-+->⇔-<⇔-<⇔<，故正确；∵sin cos sin sin +222A B A B A B A B πππ⎛⎫≥⇔≥-⇔≥-⇔≥ ⎪⎝⎭，故正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角形中角的关系的判断，考查应用公式变形的熟练程度，是中档题.12．如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A ．33B ．56C ．64D ．78【答案】B【解析】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A L ，列从左至右依次记为1233,,B B B L ，行j c 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有jc 色方格时，(),1ijA c δ=，否则(),0ijA c δ=，类似的定义(),ijB c δ，计算得到()()()3311()i i j i j n A n B n c ==+=∑∑３，再证明()39(1,2,3)jn c j ≥=，再证明对任意133i ≤≤均有()()2,2i i nA nB ≥≥，最后求出分隔边条数的最小值.【详解】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =， 其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A L ，列从左至右依次记为1233,,B B B L ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有jc 色方格时，(),1ijA c δ=，否则(),0ijA c δ=，类似的定义(),ijB c δ，所以()()()()()()()3333331111,,iiiji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑，由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a 行和b 列的交叉方格中，从而363ab ≥， 所以()()223633839(1,2,3)j j nc a b ab n c j =+≥≥>⇒≥=∵，由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边， 类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边， 则()()()()()()()3333113311166iiiii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑∵()3166j j n c ==-∑∵下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=∵由∵∵∵得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色, 则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，从而，由式∵知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56. 故选：B. 【点睛】本题主要考查染色问题，考查计数原理，考查分析推理能力，是一道难度极大的题目. 二、填空题13．若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 【答案】23【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得320r n -=，从而得到rn的值. 【详解】解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为 .321(1)2n r r r r n n C x ⋅--⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，再根据它为常数项，可得320r n -=，求得23r n =，故答案为：23.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题. 14．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)()(]2sin ,2,0211,0,2xx f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.【答案】243ππ+【解析】阴影区域在(0,2]上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数()f x 在[2,0)-上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积.【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆， 底面积12SS =圆0022124sin cos |2222x x dx ππππππ---=+=+⎰，所以该柱体的 体积为424632ππππ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭. 故答案为：243ππ+.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.15．已知变量x 、y 满足约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，在实数x 、y 中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{}n a 的前9项，则1a x =、9a y =，则数列{}n a 的前13项和的最大值为______.【答案】2216【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形计算该等差数列{}n a 的公差d ，写出数列{}n a 的前13项和13S ，求出它的最大值.【详解】解：画出约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域，如图所示；解方程组280260x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得410,33A ⎛⎫⎪⎝⎭；记这个等差数列为{}n a ，其公差为d ，则1()918y x dy x -==--， 所以数列{}n a 的前13项和为()()1131371136()131313613(3)284a a y x S a a d x x y +-⎡⎤===+=+=+⎢⎥⎣⎦， 作出直线:30l x y +=，由图形可知，当直线l 过点A 时，3z x y =+取得最大值，所以13S 的最大值为134********⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：2216. 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域应用问题，也考查了等差数列应用问题，是中档题. 16．若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线3y x ax =+上，则实数a =______.【答案】22-【解析】设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为y kx =，则其斜率唯一确定，转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可. 【详解】解：设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为,0y kx k =≠， 则对角线BD 所在的直线方程为1=-y x k. 由3y kx y x ax=⎧⎨=+⎩，解得2x k a =-， 所以()()()22222211x y k k A x k a O =+=+=+-，同理，222211111k a a k kO k B k ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅--=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 又因为22AO BO =，所以3210a k k a k -++=，即22110k a k k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即21120k a k k k ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令1k t k-=得220t at -+=，因为正方形ABCD 唯一确定，则对角线AC 与BD 唯一确定，于是1k k-值唯一确定，所以关于t 的方程220t at -+=有且只有一个实数根，又1k t R k-=∈.所以280a ∆=-=，即22a =±， 因为20x k a =->，所以a k <；又10a k -->，所以1a k <-，故0a <. 因此22a =-；反过来22a =-时，12,2t k k=--=-，于是26126,22k k -+--=-=；或26126,22k k ---+=-=. 于是正方形ABCD 唯一确定. 故答案为：22-.【点睛】本小题主要考查函数的解析式的求法以及二次函数的性质，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.三、解答题17．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)64.【解析】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE ，由题意可得四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥，再由点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ，求得CD ，同理求得1DB ，得1DB CD =，可得1B C DE ⊥，由线面垂直的判定可得；（2）取BC 的中点O ，连接AO ，可得AO ∵BC ，由正棱柱的性质可得AO ∵平面11BCC B ，以O为坐标原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD 与平面1BC D 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1C BD C --的平面角的余弦值. 【详解】(1)设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE .∵多面体11ABC DB C -是正三棱柱沿平面11DB C 切除部分所得，12BC CC ==， ∵四边形11BB C C 是正方形，且ACAD ⊥.∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ， ∵225CD CA AD =+=.同理()22115DB BB AD AB =-+=，∵1DB CD =.∵E 为1B C 的中点，∵1B CDE ⊥.又∵11B C BC ⊥，1BC DE E =I ，∵1B C⊥平面1BC D ；(2)取BC 的中点O ，连接AO . ∵ABC V 为正三角形，AO BC ∴⊥.由正棱柱的性质可得，平面ABC ⊥平面11BCC B ， 且平面ABC I 平面11BCC B BC =， ∵AO ⊥平面11BCC B .以点O 为原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Oxyz . 则()1,0,0B ，()11,2,0B ，()1,0,0C -，()0,1,3D ，()1,1,3CD ∴=u u u r ，()1,1,3BD =-u u u r ，()12,2,0B C =--u u u r.设平面CBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则3030n BD x y z n CD x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ， 令1z =，得0x =，3y =-，即()0,3,1n =-r.由（1）可知，平面1BC D 的一个法向量为()12,2,0B C =--u u u r.()()()10232106cos ,41344n B C ⨯-+-⨯-+⨯∴==+⨯+r u u u r ，又∵二面角1C BD C --的平面角为锐角， ∵二面角1C BDC --的平面角的余弦值为64.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题.18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)我们称圆心在椭圆上运动，半径为222a b +的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O 作椭圆C 的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C 于A 、B 两点，若直线OA 、OB 的斜率为1k 、2k ，当12210k k +=时，求此时“卫星圆”的个数.【答案】(1)221126x y +=；(2)8个.【解析】(1)由条件可得212b cbc =⎧⎨=⎩，解出来即可；(2) 设“卫星圆”的圆心为()00,x y ，由定义可得“卫星圆”的标准方程为()()22009x x y y -+-=，求其圆心到直线OA ，直线OB 的距离，整理可转化为1k 、2k 是方程()22200009290x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，则00122029x y k k x +=-，再加上12210k k +=，22001126x y +=，解方程即可.【详解】(1)∵椭圆C 的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形， ∵由椭圆的定义和正方形的性质，可得212b cbc =⎧⎨=⎩，解得6b c ==.又22212a b c =+=∵椭圆C 的标准方程为221126x y +=.(2)设“卫星圆”的圆心为()00,x y .由“卫星圆”的定义，可得“卫星圆”的半径为2232a b+=.∵“卫星圆”的标准方程为()()22009x x y y -+-=.∵直线OA ：1y k x =与“卫星圆”相切，则由点到直线的距离公式可1002131k x y k-=+，化简得()222100109290xk x y k y --+-=.同理可得()222200209290xk x y k y --+-=.∵1k 、2k 是方程()2220009290xk x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∵2090x -≠，由>0∆，得22009x y +>，将22001126x y +=代入得206x >，00122029x y k k x +=-. 又∵“卫星圆”的圆心()00,x y 在椭圆C 上，∵代入椭圆方程221126x y +=中，可得22001126x y +=.解得22062x y =-，()()()()220022242000012222222000462424240999x x x y x x k k x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴+====---. 当2010x =时，201y =；当20547x =时，20157y =， ∵满足条件的点()00,x y 共8个，∵这样“卫星圆”存在8个. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，注意韦达定理的应用，考查计算能力与分析能力，是一道中档题. 19．已知首项为1a 的数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，n *∈N .(1)若数列{}n b 的通项n b 满足2n n b a =，且11a =，求数列{}n b 的前n 项和为nT；(2)若数列{}n c 的通项n c 满足()4nn nb c S =，前n 项和为n Q ，当数列{}n c 是等差数列时，对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n a Q a n cm -=成立，求满足条件的所有整数1a 构成的集合.【答案】(1)()31419n nn T -+=；(2)112,,,m m a a n m n n ***⎧⎫⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N . 【解析】(1)由条件可变形为121n n a a n n +=+，可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项，以2为公比的等比数列，进而可得112n n a a n -=，则214n n n b a n -==⋅，再利用错位相减法求和即可；(2)根据(1)求出2114a c S =，222216a c S =，233364a c S=，由数列{}n c 是等差数列，列方程可得1S =或3S =，分1S =和3S =讨论，通过条件对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n m a Q a n c -=成立，可得1a .【详解】 (1)∵数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，()22141n n n a na +∴+=，即121n n n a na ++=，即121n n a an n+=+. ∵数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项，以2为公比的等比数列， 112n na a n-∴=⋅， ∵数列{}n a 的通项公式为112n n a a n -=.∵11a =，∵214n n n b a n -==⋅，∵01211424344n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，12341424344n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，两式相减，得0121344444n nn T n --=++++-⋅L 14414n nn -=-⋅-1443n n n -=-⋅-，()31419n nn T -+∴=， ∵数列{}n b 的前n 项和()31419n nn T -+=； (2)∵数列{}n c 的通项()4nn nb c S =，∵由(1)得，()24nn na c S =，∵2114a c S =，222216a c S =，233364a c S=.又数列{}n c 是等差数列，∵22232123216464a a a S S S=+. 22211121648416a a a S S∴=+，即2430S S -+=. 解得1S =或3S =.又()21144n n nna c S -⋅=，∵当1S =时，214n na c =，{}n c 为等差数列，2211442n a na n Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()22118n a na +=对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n m a Q a n c -=成立，()2221124211181684n a na ma a a n +∴⋅-=⋅，214na m ∴=，12m a n∴=. 又1a 为正整数，∵满足条件的所有整数1a 的值构成的集合为112,,,m m a a n m n n ***⎧⎫⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N . 当3S =时，2143n n na c =⨯，()21111243n n n n a c c ++--=⨯Q 不是常数， ∵数列{}n c 不是等差数列，舍去.综上，满足条件的所有整数1a 的值构成的集合为112,,,m m a a n m n n ***⎧⎫⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N . 【点睛】本题考查由递推式求通项公式，考查错位相减法求和，考查数列中的存在性，任意性的问题，考查计算能力，是一道难度较大的题目.20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-.（i ）求X 的分布列：（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【答案】(1)332；(2)（i ）分布列见解析；（ii ）能盈利. 【解析】（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球掉入第7层第6个空隙处的概率； （2）X 的取值为1，2，3，4，5，6，7，由此能求出X 的分布列，进而可求出ξ的分布列和E ξ，从而能求出小明同学能盈利. 【详解】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则()5161132232P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)（i ）由已知X 的取值可为1，2，3，4，5，6，7.()()0606111722641P X P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎝⎭=⎪⎝⎭；()()1516116326226432P X P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()()24261115352264P X P X C ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()3336112054226416P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵X 的分布列为 X1234567P 116 332 1564 516 1564 332 116（ii ）205Xξ=-Qξ∴的可能取值为0，5，10，15，()()50416P P X ξ====， ()()()1553532P P X P X ξ===+==， ()()()3102616P P X P X ξ===+==， ()()()1151732P P X P X ξ===+==， ∵()515317505101581632163216E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=<. ∵小明同学能盈利. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用. 21．已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈.（1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()(1,0),0,-+∞，；无单调递减区间；（2）证明见解析.【解析】(1)求得3222121()21x x f x x x x++'=++=，分类讨论，即可求解()f x 的单调区间，得到答案；(2)根据12,x x 是函数()g x '的两个零点，设12,x x 是方程20ax x a -+=的两个实数解，再根据二次函数的性质函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值，进而得到1211x a x =+，代入得()()22112121112ln 12x g x g x x x ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭，令21x t =，则211t e <<，得到11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=-⎪+⎝⎭，设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=-⎪+⎝⎭，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】(1)由题意，当1a =时，21()f x x x x =+-，3222121()21x x f x x x x'++∴=++=， ∵当0x>时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； ∵当10x -<<时，记32()21x x x ϕ=++，则21()6263x x x x x ϕ'⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 所以当1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，∵()x ϕ单调递减，且()(0)1x ϕϕ>=；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，且(1)0ϕ-=，所以当(1,0)x ∈-时，()0x ϕ>，函数()f x 单调递增.综上所述，函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞；无单调递减区间. (2)由2()()ln ln (R,0)ag x f x x x ax x a x x=--=--∈>， 2221()a ax x ag x a x x x'-+∴=+-=， 12,x x Q 是函数()g x '的两个零点，12,x x ∴是方程20ax x a -+=的两个实数解，由0>∆，且21e a e >+，得2112e a e <<+，则有121x x =， 不妨设12x x <，1201x x ∴<<<。

雅礼中学 2023 年高二下学期入学检测数学试题及参考答案

雅礼中学 2023 年高二下学期入学检测数学试题及参考答案

一、单项选择雅礼中学2023年下学期入学检测试题高二数学 参考答案题7.【答案】A【解析】因为++-=f x y f x y f x f y )()()()(，令=x 1，=y 0， 可得，=f f f 2110)()()(， 所以=f 02)(，令=x 0，可得，+-=f y f y f y 2)()()(， 即=-f y f y )()(， 所以函数f x )(为偶函数，令=y 1得，++-==f x f x f x f f x 111)()()()()(， 即有++=+f x f x f x 21)()()(，从而可知+=--f x f x 21)()(，-=--f x f x 14)()(， 故+=-f x f x 24)()(， 即=+f x f x 6)()(，所以函数f x )(的一个周期为6.因为=-=-=-f f f 210121)()()(，=-=--=-f f f 321112)()()(，=-==-f f f 4221)()()(，=-==f f f 5111)()()(，==f f 602)()(，所以一个周期内的+++=f f f 1260)()()(.由于22除以6余4， 所以∑=+++=---=-=f k f f f f k 123411213122)()()()()(.故选：A.8.【答案】C【解析】作直线EF ，分别交DA ，DC 于M ，N 两点，连接1D M ，1D N 分别交1A A ，1C C 于H ，G 两点，如图所示，过点1D ，E ，F 的截面即为五边形1D HEFG ，设正方体的棱长为2a ，因为点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点. 所以1AE AM BE BF ==，1CN CFBE BF==， 即AM CN a ==，因为113AM AH MD DD ==，113CN CG DN DD ==， 所以23a AH CG ==. 则过点1D ，E ，F 的截面下方体积为：3111112253322323239a V a a a a a a =⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=， ∴另一部分体积为33322547899V a a a =-=， ∴1225:47V V =. 故选：C.二、多项选择题12.【答案】BC【解析】对于选项A ，以D 点为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，10,1,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,1D . 从而()10,0,1DD =，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以直线1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误； 对于选项B ，取11B C 的中点为M ，连接1A M ，GM ，则易知1//A M AE ， 又1A M ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， 故1//A M 平面AEF ，又//GM EF ，GM ⊂/平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以//GM 平面AEF ， 又1A MGM M =，1A M ，GM ⊂平面1A GM ，故平面1//A MG 平面AEF ，又1A G ⊂平面1A MG ，从而1//A G 平面AEF ， 选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，如图所示， ∵正方体中11////AD BC EF ， ∴A ，E ，F ，1D 四点共面，∴四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形，且截面四边形1AEFD 为梯形，又由勾股定理可得12D F AE ==，1AD =2EF =，∴梯形1AEFD=，∴11928AEFD S =⨯=⎭梯形， 选项C 正确；对于选项D ，由于1111224GEF S =⨯⨯=△，11112228ECF S =⨯⨯=△， 而13A GEFEFG V S AB -=⋅△，13A ECF BCF V S AB -=⋅△， ∴2A GEF A BCF V V --=，即2G AEFC AEF V V --=，点G 到平面AEF 的距离为点C 到平面AEF 的距离的2倍，选项D 错误. 故选：BC.三、填空题13.1015.()(),01,-∞+∞16.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.【答案】8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱SA ，SB ，SC 上取点1A ，1B ，1C ，则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角为θ，则11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC SB ASC V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC SB ASC θθ----⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠；现业解答本题：设PE x PB =，PF y PD =，184233P ABCD V -=⨯⨯=， 则43P AEF P ABD V x y V xy --=⋅⋅=，1223P MEF P BCD V x y V xy --=⋅⋅⋅=，223P AFM P ACD y V V y --=⋅=，223P AEM P ABC x V V x --=⋅=，∴()223P AEMF P AEF P MEF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+，则3x y xy +=， ∴31yx y =-， ∴010131x y y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨⎪=⎪-⎩， 则112y ≤≤， ∴()222233331331P AEMFy y V x y y y y -⎛⎫=+=+=⋅⎪--⎝⎭，令31t y =-，则()2211123199t yt y t t +⎛⎫==++ ⎪-⎝⎭， ∵1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当112t ≤<时，函数1y t t =+单调递减，当12t <≤时，函数1y t t=+单调递增， 故1y t t =+最小值为2，当12t =，2时，1y t t =+都取到最大值52，则()22111412,319992t y t y tt +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦(当且仅当1t =时，取最小值)， ∴282,1319P AEMFy V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，故答案为：8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、解答题17.【解析】(1)根据函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像，可得2A =，3254123πππω⋅=+， ∴2ω=.再根据五点法作图，52122ππϕ⨯+=， ∴3πϕ=-，故有()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据图像可得，,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的图像的一个对称中心， 故函数的对称中心为,03k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()cos 2g x x =-，令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈， 解得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，可得()g x 的减区间为,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 结合3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在3,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故当2,2x x ππ==时，()g x 取得最大值，即()max 1g x =； 当26x π=，12x π=时，()g x 取得最小值，即()min2g x =-.18.(1)【证明】如图，连接1A B ，1CD ，∵正方体1111ABCD A B C D - ∴四边形11ABB A 为正方形， ∴11AB B A ⊥，又∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥， 又11B CA B B =，∴1AB ⊥平面11A D CB ，又∵1D E ⊂平面11A D CB ， ∴11AB D E ⊥.(2)【证明】如图，连接DE ，1CD ，AD DC =，DF EC =，ADF DCE ∠=∠，∴ADF DCE ≌△△， ∴DAF CDE ∠=∠. ∵90CDE ADE ∠+∠=︒， ∴90DAF ADE ∠+∠=︒， 即DE AF ⊥.又∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， ∴1AF DD ⊥， ∵1DD DE D =，1,D D DE ⊂平面1D DE ，∴AF ⊥平面1D DE . 又∵1D E ⊂平面1D DE ， ∴1AF D E ⊥. 由(1)可知11AB D E ⊥ 又∵1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F ，∴1D E ⊥平面1AB F .又∵1MN C D ⊥，11//AB C D ， ∴1MN AB ⊥，， 又∵MN AF ⊥，1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F所以MN ⊥平面1B AF 所以1//MN D E .(3)【解析】存在.如图，当点P 为棱1CC 的中点时，平面1CD E ⊥平面AFP . 连接FP ，AP ，∵点P ，F 分别为棱1CC ，CD 的中点， ∴1//FP C D ，∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴11//AD B C ， ∴11AB C D∴11//C D AB ， ∴1//FP AB ，∴FP 与1AB 共面于平面1AB PF .由(2)知1D E ⊥平面1B AF ，即1D E ⊥平面AFP . 又因为1D E ⊂平面1CD E ， ∴平面1CD E ⊥平面AFP .19.【解析】(1)设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A ，未罚进点球的事件为A ；乙队球员罚进点球的事件为B ，未罚进点球的事件为B .设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C ，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，则()()()()()1212111112323632P C P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-⨯-+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为12. (2)因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分， 即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. ①比分为2:1的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121212121111111112323232318189⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-+-⨯-⨯-⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ②比分为2:2的概率为()()()()121211123239P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③比分为3:2的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121221223239⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭. 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为11249999++=. 20.(1)【证明】以点C 为坐标原点，向量CD 、CB 、DP 方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D ，()2,0,2P ，()0,0,0C，()B，()A ，()1,0,1E ，所以()2PB =--， 因为13PF PB =，设(),,F a b c ，则()2,,2PF a b c =--， 所以()()12,,223a b c --=--，解得4343a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得8233G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2233DG ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， 令DF xDE yDG =+，则()2422221,0,1333333x y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2233334233x y y x y ⎧-=-+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩， ∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴12DF DE DG =+，∴D 、E 、F 、G 四点共面.(2)【解析】由(1)可知()2,0,0D ，()1,0,1E，4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0240333x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，则x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 令2y =，则(3,2,n =-取平面PDE 的一个法向量为()CB =，则2cos ,510n CB n CB n CB⋅===，所以215sin ,1cos ,5n CB nCB =-=，∴二面角F DE P --. 21.【解析】(1)如图，在AEM △中，由余弦定理得，2222cos93AE MA ME MA ME π=+-⋅=，所以()2293932MA ME MA ME MA ME +⎛⎫+=+⋅≤+⨯ ⎪⎝⎭，所以6MA ME +≤，(当且仅当3MA ME ==时等号成立)， 故两机器人运动路程和的最大值为6.(2)(i)在AEM △中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍， 故2AM EM =，由正弦定理可得()sin sin AM EM πθα=-， 所以()sin 11sin sin sin 223EM AM πθπαθ-====， (ii)设EM x =，则22AM EM x ==，()1,3x ∈，由余弦定理可得()()222323cos 2322x x x x x πθ+--==-⨯⨯， 所以3cos 22x xθ=-， 所以sin x θ=== 由题意得sin AD x θ≥对任意()1,3x ∈恒成立，故()max sin 2AD x θ≥=，当且仅当x =.答：矩形区域ABCD 的宽AD 至少为2米，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲.22.【解析】(1)因为13πθ=，223πθ=，3θπ=， 所以()22200012sin sin sin 333ππμθθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()2222200000131131cos sin sin sin cos 322322θθθθθ⎛⎫=++=⨯+= ⎪⎝⎭， 所以“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值12. (2)因为14πθ=，2θα=，3θβ=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈， 所以()()2220001sin sin sin 34πμθαθβθ⎡⎤⎛⎫=-+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()0001cos 21cos 221cos 22123222πθαθβθ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥----⎝⎭⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()()00000sin 2cos2cos2sin 2sin 2cos2cos2sin 2sin 2126θαθαθβθβθ++++=-()()00sin 2sin 21sin 2cos 2cos 2cos 2126αβθαβθ++++=-， 因为实数1θ，2θ，3θ对0θ的“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值， 所以cos 2cos 20sin 2sin 21αβαβ+=⎧⎨+=-⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈， 所以()2,2αππ∈，()22,4βππ∈，由cos 2cos 20αβ+=，得225αβπ+=或22βαπ-=， 即52παβ+=或2πβα-=， 由()()22cos 2cos 2sin 2sin 21αβαβ+++=，得()1cos 222βα-=-， 又因为()220,3βαπ-∈， 所以2223πβα-=或4223πβα-=或8223πβα-=， 即3πβα-=或23πβα-=或43πβα-=， 当523παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得13121712παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验不符合题意； 当5223παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意； 当5243παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意. 综上可知：11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.。

湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题含答案

湖南省长沙市2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题含答案

湖南2023-2024学年度高二第二学期入学考试数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分得分：______一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,4,5A B = ，{}1,2A B = ，则B =（）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}1,2,5D ．{}2,3,52．已知复数z 满足()1i 2i z -=，则复数z 在复平面内对应的点Z 的坐标是（）A ．()1,1B ．()1,1-C ．()1,1--D ．()1,1-3．某中学高二1班共有50名同学，其中男生30名，女生20名，采用按比例分层随机抽样方法，从全班学生中抽取20人测量其身高（单位：cm ）．已知在抽取的样本中，男生的平均身高为cm a ，女生的平均身高为cm b ，由此估计该班全体学生的平均身高约为（）A ．cm 2a b+B ．32cm 2a b+C ．23cm 5a b+D ．32cm 5a b+4．92x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．84-B ．672-C ．84D ．6725．函数()()esin cos xf x x x =-的极值点是（）A ．()x k k π=∈Z B ．()2x k k ππ=+∈Z C ．()2k x k π=∈Z D ．()4x k k ππ=+∈Z 6．如图，在下列各正方体中，l 为正方体的一条对角线，M 、N 分别为所在棱的中点，则满足MN l ⊥的是（）A ．B ．C ．D ．7．直线()21210a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是（）A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭8．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：()11ϕ=；()32ϕ=（与3互素有1、2）；()96ϕ=（与9互素有1、2、4、5、7、8）．记n S 为数列(){}3nn ϕ⋅的前n 项和，则10S =（）A ．10191322⨯+B ．10211322⨯+C ．11193344⨯+D ．11211344⨯+二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（）A ．椭圆22143x y +=的焦点坐标是()1,0±B ．双曲线22145y x -=的顶点坐标是()2,0±C ．抛物线212y x =-的准线方程是3x =D ．直线3410x y -+=与圆()()22124x y ++-=相交10．已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则（）A ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 的值域是[]1,1-C ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．12f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数11．已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()()cos sin 0f x x f x x +<'，则下列判断中正确的是（）A ．624f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．263f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列结论正确的是（）A ．当1B P ∥平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CD B ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为4π，则点P 的轨迹长度为2πC ．当λμ=时，1DP A P + 的最小值为252D ．当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为62⎣⎦三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ，b 为单位向量，且1a b +=，则a b ⋅= ______．14．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种（用数字作答）．15．已知圆锥的底面半径为6，侧面积为60π，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为______．16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 是双曲线右支上一点，连接1MF 交双曲线C 左支于点N ，若2MNF △是以2F 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n S na +=，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11b =，22b =，22n n b b +=，*n ∈N ，按照如下规律构造新数列{}n c ：1a ，2b ，3a ，4b ，5a ，6b ，7a ，8b ，…，求数列{}n c 的前2n 项和．18．（本小题满分12分）2023年底，某商业集团总公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了年度考核评估，将各连锁店的评估分数按[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成4组，其频率分布直方图如图所示．总公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A 、B 、C 、D 四个等级，等级评定标准如表所示．评估分数[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100评定等级DCBA（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的第64百分位数；（2）从评估分数不小于80的连锁店中随机抽取2家介绍营销经验，求至少抽到1家A 等级的概率．19．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，M 为1CC 的中点，1120A MB ∠︒=．求：（1）1CC 的长；（2）二面角M AB C --的余弦值．20．（本小题满分12分）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；②锐角ABC △的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线W ：2416x y +=，()0,A t ，()4,0B ，()0,2C ，()4,0D -为曲线W 上不同的四点．（1）求实数t 的值及ABC △的最小覆盖圆的方程；（2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程；（3）求曲线W 的最小覆盖圆的方程．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与抛物线M ：24y x =有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点作一条斜率为()0k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点E ，P 为弦AB 的中点，过点E 作直线OP 的垂线交OP 于点Q ，问是否存在一定点H ，使得QH 的长度为定值？若存在，则求出点H ；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()()22ln 2f x x ax x a =+-∈R ．（1）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，()212x x x <是函数()f x 的两个极值点，证明：()()121221f x f x a x x ->--．湖南2023-2024学年度高二第二学期入学考试数学参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CBDBACCA1．C 【解析】由已知，1,2,5B ∈，且3,4B ∉，所以{}1,2,5B =．2．B 【解析】由已知，()()()()2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i z +===+=-+--+，则点Z 的坐标是()1,1-．3．D 【解析】因为抽样比例为25，则样本中男生有230125⨯=人，女生有22085⨯=人，所以样本的平均身高为12832205a b a b ++=，由此估计该班全体学生的平均身高约为32cm5a b+．4．B 【解析】92x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为()93921992C 2C rr rr rrr T x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令930r -=，得3r =，所以常数项为()3392C 672-=-．5．A 【解析】()()()esin cos e cos sin 2e sin xx x f x x x x x x =-++='，令()0f x '=，则sin 0x =，得()x k k π=∈Z ．6．C 【解析】如图，在正方体中，BC DE ⊥，BC EF ⊥，则BC ⊥平面DEF ，所以BC l ⊥．同理，AC l ⊥，所以l ⊥平面ABC．若MN l ⊥，则MN ∥平面ABC ．在A ，B ，D 中，MN 都与平面ABC 相交，在C 中，MN ∥平面ABC ．所以MN l ⊥．7．C 【解析】①当0a =时，斜率不存在，倾斜角为2π；②当0a >时，斜率21121222a a a k a ++===，倾斜角范围为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；③当0a <时，斜率21121222a a a k a ++==--=- ，倾斜角范围为3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦．综上，直线的倾斜角的取值范围为3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦．8．A 【解析】因为与3n互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11， (31)-，共有123n -⨯，所以()1323nn ϕ-=⨯，则()1323nn n n ϕ-⋅=⨯，于是012123436323n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①，123323436323n n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②，由①-②得0121132232323232322313n n nn n S n n ---=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯=⋅-⨯-，则211322n n n S -=⋅+，于是1010191322S =⨯+．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ACBCDCDBD9．AC 【解析】在椭圆22143x y +=中，因为24a =，23b =，则1c ==，且焦点在x 轴上，A 正确．双曲线22145y x -=的顶点在y 轴上，B 错误．抛物线212y x =-开口向左，6p =，准线为32px ==，C 正确．圆心()1,2-到直线3410x y -+=的距离38125d r --+===，则直线与圆相切，D 错误．10．BCD 【解析】由已知，()()21sin cos 2cos 12cos 2sin 22223f x x x x x x x π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 不单调；因为()max 1f x =，()min 1f x =-，则()f x 的值域是[]1,1-；因为06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；sin 2sin 2cos2121232f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数．11．CD 【解析】令()()cos f x g x x=，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，因为()()cos sin 0f x x f x x +<'，则()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x='+<'，故()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()00f =，则()0g x ，结合选项可知，64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭643222f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪>624f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误，因为ln 03π>，结合()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减可知，ln 03g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而有ln 30cos ln 3f ππ⎛⎫⎪⎝⎭<⎛⎫ ⎪⎝⎭，由cos ln 03π⎛⎫> ⎪⎝⎭可得ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 错误；63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而有631322f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭>，且03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即2633f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故C 正确；43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而有431222f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭>，即43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故D 正确．12．BD 【解析】A 选项：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，()11,0,1B ，所以()11,0,1CD =- ，()1111,1,1B P B C CP B C CD CC λμλμ=+=++=--，则()11,0,1BA =- ，()1,1,0BD =- ，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以10,0,BA n x z BD n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1y z ==，即平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =．若1B P ∥平面1A BD ，则10n B P ⋅= ，即λμ=，111B P CD λμ⋅=+-，令110B P CD ⋅= ，解得12λμ==．即P 为1CD 中点时，有1B P ∥平面1A BD ，且11B P CD ⊥，故A 错误；B 选项：因为11BC ⊥平面11CCD D ，连接1C P ，则11B PC ∠即为1B P 与平面11CC D D 所成角，若1B P 与平面11CC D D 所成角为4π，则11111tan 1B C B PC C P∠==，所以1111C P B C ==，即点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P 的轨迹长度为2π，故B 正确；C 选项：如图，将平面1CD D 与平面11BCD A 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1DP A P +的最小值，利用余弦定理可知222111111132cos24A D A D DD A D DD π=+-⋅⋅=+1A D =C 错误；D 选项：正方体经过点1A 、P 、C 的截面为平行四边形1A PCH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()0,1,P μ，所以()1,0,PC μ=- ，()11,1,1A C =- ，11PC A C μ⋅=+，PC =，1A C = ，所以点P 到直线1A C的距离为d =12μ=时，1PA C △的面积取最小值，此时截面面积为2；当0μ=或1时，1PA C △的面积取最大值，此时截面面积为，故D 正确．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．12-【解析】由已知，21a b += ，即2221a a b b +⋅+= ．因为1a b == ，则12a b ⋅=- ．14．64【解析】若选2门，则只能各选1门，有1144C C 16=种，若选3门，则分体育类选修课选2门，艺术类选修课选1门，或体育类选修课选1门，艺术类选修课选2门，则有12214444C C C C 242448+=+=，综上共有164864+=种不同的方案．15．36π【解析】作轴截面图如图．由已知，6AC =，660PA ππ⨯⨯=，则10PA =，10PB =，在Rt PCA △中，8PC ==．设内切球半径为R ，由等面积法，得1283101012AB PC R PA PB AB ⨯⨯===++++，所以内切球体积34363V R ππ==．16【解析】设2MF m =，因为2MNF △是以2F为直角顶点的等腰直角三角形，所以MN =，2NF m =，由双曲线的定义知，122MF MF a -=，212NF NF a -=，所以12MF a m =+，12NF m a =-，又11MN MF NF =-，所以()()224a m m a a =+--=，即m =，在12MF F △中，由余弦定理知，222121212122cos F F MF MF MF MF F MF ∠=+-⋅，所以()()()222224222cos4544222c a m m a m m a am m m a m =++-+⋅︒=++-+，即()()22244422222222c a a a aa a a =+⋅+⋅-+，整理得，223c a =，即3c a =，所以离心率3c e a==．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）当1n =时，有122S a =，得2122a a ==，当2n 时，由12n n S na +=，得()121n n S n a -=-，两式相减得，()121n n n a na n a +=--，整理得，()121n n a a n n n +=+ ，所以212n a a n ==，即()2n a n n = ，当1n =时，11a =，满足上式，所以n a n =，*n ∈N ．（2）因为22b =，()*22n n b n b +=∈N ，所以数列{}n b 的偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以数列{}n c 的前2n 项和：()()()()122132124221212122212nn n n n n nT a a a b b b n +--+-=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+--．18．【解析】（1）直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，则第二个小矩形的面积为10.280.160.080.48---=．因为0.280.480.760.64+=>，则第64百分位数位于区间[)70,80内．设第64百分位数为70x +，则0.640.280.75100.48x -==，得7.5x =．所以第64百分位数估计为77.5分．（2）由直方图知，A 等级的频数为250.082⨯=，B 等级的频数为250.164⨯=．从这6家连锁店中任选2家，共有2665C 152⨯==种选法，则()Ω15n =．设事件E =“至少抽到1家A 等级”，因为选1家A 等级和1家B 等级的选法有248⨯=种，选2家A 等级的选法只有1种，则()819n E =+=．所以()()()3Ω5n E P E n ==，即至少抽到1家A 等级的概率为35．19．【解析】（1）以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1CC n =，则()2,0,0A ，()12,0,A n ，10,0,2M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,0B ，则112,0,2MA n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，10,2,2MB n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以1111cos 2MA MB A MB MA MB∠⋅==-⋅ ，2142n -=-，解得4n =（负值舍去），故1CC 的长为4．（2）设平面ABM 的法向量为(),,m x y z = ，由题意知()2,2,0AB =- ，()2,0,2AM =- 则由220,220,m AB x y m AM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x =，可得1y z ==，所以平面ABM 的一个法向量为()1,1,1m = ，易得平面ABC 的一个法向量为()10,0,4CC = ，则11cos ,3C m C m C m C ⋅===⋅ ，所以二面角M AB C --的余弦值为33．20．【解析】（1）由题意，2t =-，由于ABC △为锐角三角形，外接圆就是ABC △的最小覆盖圆．设ABC △外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则420,1640,420,E F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得3,0,4.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以ABC △的最小覆盖圆的方程为22340x y x +--=．（2）因为DB 的最小覆盖圆就是以DB 为直径的圆，所以DB 的最小覆盖圆的方程为2216x y +=．又因为24OA OC ==<，所以点A ，C 都在圆内．所以四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程为2216x y +=．（3）由题意，曲线W 为中心对称图形．设()00,P x y ，则240016x y +=．所以22200OP x y =+，且022y - ．故2222422000001651624OP x y y y y ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以当2012y =时，max 2OP =，所以曲线W 的最小覆盖圆的方程为22654x y +=．21．【解析】（1）抛物线M ：24y x =的焦点为()1,0，可得221a b -=①，抛物线的准线1x =-被椭圆截得的弦长为3，由1x =-代入椭圆方程可得2b y a =±，即有223b a=②，解①②可得2a =，b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设直线AB ：()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程()221,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 可得()22223484120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，所以21224234x x k k +=+，21212224311223434y y x x k k k k k k⎛⎫++-⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以22243,3434k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，直线OP ：34y x k =-③，直线AB 的方程()1y k x =-中，令0x =可得y k =-，所以()0,E k -，因为直线EQ OP ⊥，所以直线QE 的方程为43k y x k =-④，将③④联立相乘得到2234y x x =-+，即2239864x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以点Q 的轨迹为以3,08⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，38为半径的圆（去掉与x 轴的两个交点），所以存在定点3,08H ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QH 的长为定值38．22．【解析】（1）由题意()2222222ax x f x ax x x-+=+-='，因为函数()f x 存在单调递减区间，所以()0f x '<在()0,+∞上有解，因为0x >，设()2222x ax x ϕ=-+，则()020ϕ=>，所以只需0a 或0,10,2Δ4160,a a a >⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩解得0a 或104a <<，所以实数a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．（2）证明：由（1）可知，()2222ax x f x x-+='，因为()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，所以1x ，2x 是22220ax x -+=的根，则12121,1,x x a x x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以()()()()222212111222ln 2ln 2f x f x x ax x x ax x -=+--+-()()221121222ln 2x a x x x x x =+---()22112122122ln 2x x x x x x x x -=+--+()11222ln x x x x =--，因为210x x >>，所以要证()()121221f x f x a x x ->--即证()()()()121221f x f x a x x -<--，即()()()1121222ln 21x x x a x x x --<--，即证()1122ln x a x x x <-，即证112212lnx x x x x x -<+，即证1121221ln 1x x x x x x -<+，令12(01)x t t x =<<，即证明1ln 1t t t -<+．令()1ln 1t h t t t -=-+，则()()22101t h t t t +=>+'，所以()h t 在()0,1上单调递增，则()()10h t h <=，即1ln 1t t t -<+，所以原不等式()()121221f x f x a x x ->--成立．。

长沙市雅礼中学招生考试试题

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长沙市雅礼中学理科实验班招生试题一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色•若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是 这一个正方体的展开图的是（）元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（）A a > bB a v bC 、a=bD 与a 和b 的大小无关4、若D 是厶ABC 的边AB 上的一点，/ ADCM BCA AC=6 DB=5,AABC 的面积是 5,则厶BCD 的面积是（）3、甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b 元，后来他又以每条6 cD__5、（2007?玉溪）如图，AEL AB 且AE=AB BCLCD 且BC=CD 请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图 形的面积S 是（ ）A 50B 、62C 、65D 686、如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为 a ,右图轮子上方的箭头指的数字为 b ,数对（a , b ）所有可能的个数为n ,其中a+b 恰为偶数的不同个数为m,则一等于（7、如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 勺顶点A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4倍，则它们第2000次相遇在边（）A&已知实数a 满足.\ I 二-.. ，…一.-」"7■•.,那么a - 20062的值是（A 2005B 2006C 、2007D 2008、填空题（共 8小题，每小题5分，满分40分）A 2x%B 1+2x%C 、(1+x% x%D (2+x% x%B9、 小明同学买了一包弹球，其中•.是绿色的，背是黄色的，余下的是蓝色的•如果有12个蓝色的弹球，那么，他总共买了 —_个弹球.10、 已知点A (1, 1)在平面直角坐标系中，在 x 轴上确定点P 使厶AOP 为等腰三角形.则符合条件的点 P 共有个.2 211、 不论 m 取任何实数，抛物线 y=x+2mx+m+m- 1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是 12、 将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球•已知：(1) 黄盒中的小球比黄球多； (2) 红盒中的小球与白球不一样多； (3) 白球比白盒中的球少.则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是_ _ .1313、 在梯形ABCD 中, AB// CD AC BD 相交于点O,若AC=5, BD=12,中位线长为于，△ AOB 的面积为$,△ COD 勺14、 已知矩形A 的边长分别为a 和b ,如果总有另一矩形 B ,使得矩形B 与矩形A 的周长之比与面积之比都等于k ,贝y k 的最小值为 __ .22432 23415、 已知 x 、y 均为实数，且满足 xy+x+y=17 , x y+xy =66，则 x +x y+x y +xy +y = _____________ . 16、 (2007?天水)如图，已知在OO 中，直径 MN=10正方形 ABCD 勺四个顶点分别在OO 及半径OM OP 上，并且三、解答题(共2小题，满分20分)17、甲、乙两班同时从学校 A 出发去距离学校75km 的军营B 军训，甲班学生步行速度为4km/h ，乙班学生步行速度为5km/h ，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h ，载人时的速度为 20km/h ，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？18、如图，已知矩形 ABCD AD=2, DC=4 BN=2AM=2MNP 在CD 上移动，AP 与DM 交于点 E , PN 交CM 于点F ,设四 边形MEPF 勺面积为S ,求S 的最大值.面积为S 2,则答案与评分标准一、选择题(共 8小题，每小题5分，满分40分)1、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色•若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是解答：解：选项C 中红色面和绿色面都是相邻的，故不可能是一个正方体两个相对面上的颜色都一样，故选 C.点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题.2、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%则第三季度的产值比第一季度的产值增长了()A 2x%B 1+2x%C 、(1+x% x%D (2+x% x%考点：一元二次方程的应用。

湖南高二下学期入学考试数学试题(解析版)

湖南高二下学期入学考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则=（ ）{}12A x x =-≤{}2|60B x x x =∈--≤N A B ⋂A ． B ． []1,3-{2,1,0,1,2,3}--C ． D ．{0,1,2,3}{1,2,3}【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合，根据交集运算求解. ,A B 【详解】解：因为， {}{}[]122121,3A x x x x =-≤=-≤-≤=-解得，且，所以，260x x --≤23x -≤≤x N ∈0,1,2,3x =所以，所以=. {}0,1,2,3B =A B ⋂{0,1,2,3}故选：C.2．已知复数满足（是虚数单位），则（ ） z ()1i sin i cos z αα+=+i z =A ．BCD ．112【答案】B【分析】利用复数的除法运算求得z ，再求模. 【详解】因为，()1i sin i cos z αα+=+所以，()()()()sin i cos 1i sin i cos sin cos sin cos i 1i 1i 1i 22z αααααααα+-++-+===+++-解得z ==故选：B3．“”是“方程表示双曲线”的（ ）m>222121x y m m -=--A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】方程表示双曲线等价于，求解判断即可22121x y m m -=--()()210m m --<【详解】方程表示双曲线等价于，即或，22121x y m m -=--()()210m m --<1m <m>2故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.m>222121x y m m -=--故选：A4．已知 ，直线 ，若l 与⊙O 相离，则（ ） 222:O x y r +=A 223l x y r +=：A ．点 在l 上 B ．点在上 (2,3)P (2,3)P O A C ．点在 内 D ．点在外(2,3)P O A (2,3)P O A 【答案】C【分析】根据l 与相离,，即可推出O A r >，即可得答案.||r OP >【详解】由已知l 与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，O A不妨设为， r 222:O x y r +=A r =>故，由于，所以, r >(2,3)P ||r OP >则点在内， (2,3)P O A 故选：C ．5．已知三角形中三边长为，，，若，，成等差数列，则直线与直线a b c lg a lg b lg c ax by a +=的位置关系为（ ）bx cy b +=A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．重合【答案】D【分析】根据等差中项的性质及对数的运算可得，再根据两直线的位置关系判断即可. 2ac b =【详解】解：因为，，成等差数列，所以，即， lg a lg b lg c lg lg 2lg a c b +=2ac b =对于直线与直线，满足， ax by a +=bx cy b +=a b a b c b==所以直线与直线重合. ax by a +=bx cy b +=故选：D6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个0R 感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传0R 染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个0 3.8R =初始感染者增加到1000人大约需要（ ）轮传染？(初始感染者传染个人为第一轮传染，这0R 0R 个人每人再传染个人为第二轮传染……) 0R A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用指数运算性质求解即可.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染, 则每轮新增感染人数为， 0nR 经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=- 即，解得，11 3.8=10001 3.8n +-- 4.94n ≈所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染， 故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．7．用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的α容积最大时，扇形的圆心角为（ ） αA ．BCD2π3【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，求出，表示出体积表达式r h V 222r h R +=（），利用导数求出函数的最大值，得到结果．223111333V r h R h h πππ==-0h R <<【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么r h V 222r h R +=因此，（）223111333V r h R h h πππ==-0h R<<2213V R h ππ'∴=-令得 0V '=hR =当时， 0h <<0V'>时， h R <<0V '<时，取得极大值，并且这个极大值是最大值． h ∴=V 把代入，得 h =222rh R +=r =由，得 2R r απ=α=即圆心角弧度时，漏斗容积最大 α故选：D.8．，，，则的大小关系为（ ）. 1sin 0.1a =+0.1e b =1716c =,,a b c A ． B ． b c a >>b a c >>C ． D ．a b c >>c b a >>【答案】B【分析】分别构造函数证明与，利用这两个不等式可判断；构造e 1,(0)x x x >+>sin ,(0)x x x >>b a >函数，可证得，即可判断，从而得出答案.()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭5sin 8x x >a c >【详解】令，则，()e 1),(0)(x f x x x +-=>e ()10x f x '=->则在上单调递增，故，则． ()f x (0,)+∞()(0)0f x f >=e 1,(0)x x x >+>令，则，()sin ,(0)g x x x x =->()1cos 0g x x '=-≥则在上单调递增，故，则． ()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=sin ,(0)x x x >>所以，即；0.1e 10.11sin 0.1>+>+b a >令，则，()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()5cos 8h x x '=-因为，则，故， π06x <<cos 1x <<5cos 8x >>()0h x '>所以在上单调递增，则，即，()h x π0,6⎛⎫⎪⎝⎭()()00h x h >=5sin 8x x >易知，所以，则，即；π0.10,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭51sin 0.10.1816>⨯=1171sin 0.111616+>+=a c >综上：. b a c >>故选：B.二、多选题9．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）()y f x =A ．在上是增函数()f x ()2,1--B ．在上是减函数 ()f x ()2,4C ．当时，取得极小值 =1x -()f xD ．当时，取得极大值 1x =()f x 【答案】BC【分析】根据导数与原函数关系解决.【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；()f x ()()2,1,2,4--在上为增函数，故A 错B 对，C 对D 错. ()f x ()()1,2,4,5-故选：BC10．已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，1111ABCD A B C D -a M 1CC 则（ ）A ．任意，0a >1A M BD ⊥B ．存在，直线与直线相交 0a >11A C BMC ．平面与底面 1A BM 1111D C B A D ．当时，三棱锥外接球表面积为 2a =11B A BM -3π【答案】AC【分析】对于A ，由题意可得平面，从而可得，即可判断； BD ⊥11ACC A 1BD A M ⊥对于B ，根据异面直线的定义可得；对于C ，根据题意找出交线，然后求出交线长即可；对于D ，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积. 【详解】解：对于A ，，，，，平面， BD AC ⊥1BD AA ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂11ACC A平面，平面，，故正确； BD ∴⊥11ACC A 1A M ⊂11ACC A 1BD A M ⊥对于B ，因为平面，平面，B ∈11A BC M ∉11A BC所以平面，BM ⊄11A BC 与异面，故不相交，故错误；BM ∴11A C 对于C ，延长，交于点，连接交于，为中点，BM 11B C N 1A N 11D C P M 1CC， 1()NC M BCM ASA ≅A A 所以, 1NC CB =所以, 1112,1NB A B ==所以，1NA =平面平面， 1A BM 11111A B C D A N =平面与底面交线为， 1A BM 1111D C B A 1A P其中为中点，所以 P 11C D 1A P =对于D ，，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆，2a =11A B B △1A B圆心设为，半径P '12=A B 取中点，则平面，， 1BB Q MQ ⊥11ABB A 12P Q '=所以，2222541(1)4P O R P O R⎧+=⎪⎪⎨''⎪-+=⎪⎩所以， 254R =，故错误.24π5π3πR =≠故选：．AC 11．已知数列的前项和为，且，则（ ） {}n a n n S 11a =12n n a a n ++=A ．B ．618S =,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数C ．数列为等差数列 D ．为奇数时，{}n a n ()212nn S n -=+【答案】ABD【分析】利用并项求和法可判断AD 选项；利用等差数列的定义可判断BC 选项. 【详解】对于A 选项，，A 对； ()()()()6123456213518S a a a a a a =+++++=⨯++=对于B 选项，因为，则，122a a +=2121a a =-=对任意的，由可得， N n *∈12n n a a n ++=()2121n n a a n +++=+上述两个等式作差可得，22n n a a +-=所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列， {}n a 12数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列，{}n a 12当为奇数时，设，则，n ()21N n k k *=-∈()2112121n k a a a k k n -==+-=-=当为偶数时，设，则，n ()2N n k k *=∈()221211n a a k k n =+-=-=-综上所述，，B 对；,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数对于C 选项，，故数列不是等差数列，C 错；32211a a a a -=≠-{}n a 对于D 选项，当为奇数时，设，则， n ()21N n k k *=-∈12n k +=则()()()2212342122n k k k k k S S a a a a a a a a -=-=++++++-()()()()221212132121212212k k k k k k k +-=+++---=--=-+⎡⎤⎣⎦ ，D 对. ()()2221112112222n n n n n -+⎛⎫=⨯-++=+=+ ⎪⎝⎭故选：ABD.12．设O 为坐标原点， F 为抛物线C ：的焦点，过焦点F 且倾斜角为的直线与22(0)x py p =>θl 抛物线C 交于M ，N 两点（点M 在第二象限），当时，，则下列说法正确的是30θ= ||2MF =（ ） A ．3p =B ．△MON 的面积的最小值为92C ．存在直线，使得l 90OMF ONF ∠∠> ＋D ．分别过点M ，N 且与抛物线相切的两条直线互相垂直 【答案】ABD【分析】根据抛物线定义结合三角函数可求，通过设直线的方程为，与抛物线联3p =l 32y kx =+立则得到韦达定理式，而面积表达式，韦达定理式代入上式即可求出面积最121322MON S x x =⨯-A 值，求出则可判断C ，利用导数的几何意义即可得到两切线斜率之积为，则0OM ON ⋅< 12119x x =-可判断D.【详解】作出如图所示图形：对A ，由抛物线定义及题意得，222sin 302M M p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即，解得，故A 正确；2212M M p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3p =对B ，，则，当直线的斜率不存在时，显然不合题意，3p =30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭l设()()1122,,,M x y N x y 设直线的方程为，联立抛物线得l 32y kx =+22x py =，则，2690x kx --=12126,9x x k x x +==-， 1139222MON S x =⨯≥A 当且仅当时等号成立，故B 正确；0k =对C ，121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()()221212393927191624244k x x k x x k k k =++++=-++⋅+=-故为钝角，则不存在直线，使得，故C 错误； MON ∠l 90OMF ONF ︒∠+∠>对D ，，即，故， 26x y =216y x =13y x '=故在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为,M 113x N 213x 故斜率之积为，故相切的两条直线互相垂直，故D 正确.12119x x =-故选：ABD.三、填空题13．已知，，若，则m 的值为______. ()1,5,2a =- (),2,2b m m =+ a b ⊥【答案】6【分析】根据向量垂直于向量数量积之间的关系解方程即可.【详解】解：∵，a b ⊥∴，即，0a b ⋅=()()1,5,2,2,20m m -⋅+=∴，解得. 10240m m +--=6m =故答案为：6.14．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，，则___________. 12103a a a =≠，105S S =【答案】4.【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 1a d 【详解】因，所以，即，213a a =113a d a +=12a d =所以． 105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．15．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B ，直22221x y a b+=x 1222+=1x y 线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________AB 【答案】22154x y +=【详解】∵点(1，)在圆外，过点(1，)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的1212右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB12上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是＋＝1． 25x 24y16．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，xOy ABCD AB AD ⊥CB CD ⊥，若点，分别为椭圆：（）的上､下顶点，点在椭圆20BA BC DA DC ⋅+⋅= AC E 22218x y b+=0b >B 上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________.E D E E【答案】4【分析】先由，判断出，，，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆AB AD ⊥CB CD ⊥A B C D 的方程，将代入椭圆及圆的方程，可求出，即可求得焦距. ()0,b 2b 【详解】由题意得，，设，.连接，()0,A b ()0,C b -()11,B x y ()22,D x y BD 由，，可知，，，在以为直径的圆上，且， AB AD ⊥CB CD ⊥A B C D BD M πABC ADC ∠+∠=又原点为圆的弦的中点，O M AC 所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又，AC x 120y y +=20BA BC DA DC ⋅+⋅=所以， cos 2cos 0BA BC ABC DA DC ADC ∠+∠=因为，所以，πABC ADC ∠+∠=cos cos 0ABC ADC ∠+∠=所以， ()2cos 0BA BC DA DC ADC -∠⋅= 当时，则0，cos 0ADC ∠≠2BA BC DA DC -=若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾， cos 0ADC ∠=ABCD D E D E 所以，所以，故圆的圆心坐标为， 2ABCADC S S =A A 122x x =-M 1,04x ⎛⎫⎪⎝⎭所以圆的方程为，将代入可得，又，M 22221119416x x y x y ⎛⎫-+=+⎪⎝⎭()0,b 2221112b x y =+2211218x y b +=所以，故椭圆的焦距为. 24b =E 4=故答案为：4.【点睛】关键点点睛：“，，”的化简､转化，由此得到，AB AD ⊥CB CD ⊥20BA BC DA DC ⋅+⋅=A ，，在以为直径的圆上以及该圆的方程.B C D BD M四、解答题17．已知数列的首项，且满足. {}n a 123a =121n n n a a a +=+(1)求证：数列为等比数列；11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若，求满足条件的最大整数. 121112023na a a +++< n 【答案】(1)证明见解析 (2)2022【分析】（1）先取倒数，然后通过构造法可证；（2）由（1）求数列的通项，然后可得的通项，最后分组求和可得.11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】（1）由题设可得， 111111222n n n na a a a ++==+⨯所以. 1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭又1111,2a -=所以是以首项，为公比的等比数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1212（2）由（1）可得，即， 111()2n n a -=1112n n a =+所以212111111112222n n n n n a a a ⎛⎫+++=++++=+- ⎪⎝⎭显然右边是递增数列， 112nn +-易知，当时，，2022n =202212022120232+-<时，不满足题意，2023n =202312023120232+->所以满足条件的最大整数是2022.18．已知曲线（，为常数）在处的切线方程为. 3y ax b =+a b 2x =440x y --=（1）求，的值；a b （2）求曲线过点的切线方程.()2,4P 【答案】（1），；（2）或.13a =43b =44y x =-2y x =+【分析】（1）求出导函数，由，解出，再由在切线上可求.22324x y a ==⨯='a ()2,4b （2）设切点，求出在切点处的导数值，根据切点既在切线上，也在曲线上，代入曲()00,x y ()00,x y 线方程与切线方程，联立求切点，代入切线方程即可求解. 【详解】（1），依题意可得，∴，23y ax '=22324x y a ==⨯='13a =当，代入直线方程得，将点代入曲线方程，求得； 2x =4y =()2,443b =（2）设切点，则，切线方程为，()00,x y 020x x k y x =='=()2042y x x -=-切点既在切线上，也在曲线上， ()00,x y 从而有，①()200042y x x -=-，② 3001433y x =+联立①②消去，整理可得，0y 3200340x x -+=，()()()()()23222000000000240222210x x x x x x x x x --+=⇒--+-=-+=解得或，切点为或，0024x y =⎧⎨=⎩0011x y =-⎧⎨=⎩()2,4()1,1-从而切线方程为或.44y x =-2y x =+19．在中，角、、所对的边分别为、、，. ABC A A B C a b c cos cos b C c B c -=(1)证明：.2B C =(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. ABC A 1c =a 【答案】(1)证明见解析； (2) ()1,2【分析】(1)由已知可得出，利用正弦定理化简得出，求出cos cos b C c B c -=()sin sin B C C -=的取值范围，讨论与的关系，可证得结论成立；B C -B C -C (2)由为锐角三角形求出的取值范围，利用正弦定理化简得出关于的函数关系式，结合ABC A C a C 余弦函数的基本性质可求得的取值范围.a 【详解】（1）因为，由正弦定理可得： cos cosb Cc B c -=，则.sin cos sin cos sin B C C B C -=()sin sin B C C -=因为，，所以，， 0πB <<0πC <<ππB C -<-<因为，则. ()sin sin 0B C C -=>0πB C <-<所以，或（舍去），即.B C C -=πB C C -+=2B C =（2）由为锐角三角形，可得，即， ABC A π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩解得，所以，，则， ππ64C <<ππ232C <<10cos 22C <<由正弦定理可得， sin sin a cA C=则 ()sin sin sin cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin B C A B C B C C C C Ca C C C C+++====.()222sin cos cos 2sin 2cos cos 22cos 211,2sin C C C C C C C C +==+=+∈故的取值范围是.a ()1,220．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，，D 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且4AC BC ==.将沿着DE 折起，形成四棱锥，其中点A 对应的点为点P ，如图2.DE AB ⊥ADE V -P BCDE(1)在图2中，在线段PB 上是否存在一点F ，使得∥平面PDE ？若存在，请求出的值，并说CF PFPB明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.3π-P BCDE 【答案】(1)当时，∥平面PDE ，理由见解析 13PF PB =CF (2) 289【分析】（1）利用线线平行即可证得平行.（2）利用向量法求得四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）当时，∥平面PDE . 13PF PB =CF理由如下：过点作，垂足为H ，C CH ED ⊥在PE 上取一点M ，使得，连接HM ，FM ，13PM PE =因为，，所以∥，且13PM PE =13PF PB =FM EB FM =13EB 因为D 是AC 的中点，且，所以∥，且 DE AB ⊥CH EB CH =13EB 所以∥且，CFMH 是平行四边形，即∥，CH FM CH =FM CF HM又因为平面PDE ，平面PDE ，所以∥平面PDE ； CF ⊄HM ⊂CF （2）易知，，且，DE PE ⊥DE BE⊥PE DE ==作平面，以向量为x ，y ，z 轴的正方向，EN ⊥EBCD ,,DE EB EN建立空间直角坐标系，设，PEB θ∠=则，，，()D()C-()P θθ则，，()DC =)DP θθ=设平面的法向量为， PCD (),,m x y z =则0,0,m DC m DP y z θθ⎧⋅==⎪⎨⋅=⋅+⋅=⎪⎩ 取，则，，sin x θ=sin y θ=cos 1z θ=--所以，()sin ,sin ,cos 1m θθθ=--易知平面的法向量，设平面PBE 与平面PCD 所成锐二面角为， PBE ()1,0,0n =rα由题意可知，， 1cos 2m n m n α⋅===⋅ 整理得，解得或（舍去）.23cos 2cos 10θθ+-=1cos 3θ=cos 1θ=-所以sin θ所以四棱锥的高， -P BCDE 43h θ==又四边形的面积，BCDE 22114722S =⨯-⨯=所以四棱锥的体积. -P BCDE 14287339V =⨯⨯=21．已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为2222:1x y C a b-=0a >0b >y =(1)求双曲线的方程；C(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB 的垂直平分线交AB 于，点的横坐标为A B C l M M 2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若P l P P 不存在，请说明理由.【答案】(1)；2213y x -=(2)存在，定圆： P 22(8)1x y -+=【分析】（1）设双曲线的右焦点，利用焦点到渐近线的距离求出，再根据渐近线方程及()2,0F c c ，求出，，即可得解；222c a b =+b a （2）先利用“点差法”写出直线的方程，再写出的中垂线的方程，求出所过的定点即为圆AB AB l l 的圆心，然后写出圆的方程即可.P 【详解】（1）设双曲线的右焦点，则点()2,0F c ()2,0F c 0y +=即，又渐近线方程为，即，d ==2c =y =b a =222c a b =+解得，，所以双曲线方程为.b 1a =2213y x -=（2）设，AB 的中点为，1122(,),(,)A x y B x y 00(,)M x y 由中点的横坐标为2可得，AB 120120222x x x y y y +⎧==⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩因为，是双曲线上不同的两点，所以 ， A B C 221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②得，①-②()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=当存在时，， AB k 12121212003()3462ABy y x x k x x y y y y -+⨯====-+因为AB 的中垂线为直线l ，所以，即，00(2)6y y y x -=--0:(8)6yl y x =--所以过定点，l (8,0)T 当不存在时，，关于轴对称，的中垂线为轴，此时也过， AB k A B x AB l x l (8,0)T 所以存在定圆：，使得被圆截得的弦长为定值.P 22(8)1x y -+=l P 2【点睛】方法点睛：点差法是解决弦的中点问题的常用方法，设而不求法是解决直线与椭圆相交时交点坐标相关问题的常用方法22．已知函数．()e -=x kf x x(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+k (2)若存在极小值，且极小值等于，求证：．()()ln g x f x k x =-()2ln k -ln 2e k k +>【答案】(1)； 1k ≥(2)证明见解析.【分析】（1）由条件可得在上恒成立，然后可得，然后()()2e e 0x x x kf x x --'=≥()0,∞+()e 1xk x ≥-利用导数求出的最大值即可；()()=e 1xx x ϕ-（2）求出，分、、、四种情况讨论的单调性，然后可得()g x '1k ≤1k e <<e =k e k >()g x ，令、，然后利用ln ln e e e tt t t t t ==()()ln 1x h x x x =>()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<()h x 、的单调性可证明.()G x 【详解】（1）因为在上单调递增，()e -=x kf x x ()0,∞+所以在上恒成立，且不恒等于，()()2e e 0x x x kf x x--'=≥()0,∞+()f x '0由可得，()()2e e 0x x x kf x x --'=≥()e 1xk x ≥-令，则，()()=e 1x x x ϕ-()()=e 1e =e 0x x xx x x ϕ'---<所以在上单调递减，()()=e 1xx x ϕ-()0,∞+所以；()01k ϕ≥=（2）因为，其定义域为，()()ln g x f x k x =-()0,∞+所以， ()()()()2e 1x k x k g xf x x x--''=-=①当时，，所以当时，单调递减，1k ≤e 0x k -≥()0,1x ∈()0g x '<()g x当时，单调递增，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，而，不合题意，()g x ()1e 0g k =->()2ln 0k -≤②当时，由可得或， 1k e <<()0g x '=ln x k =1x =当时，，单调递增， ()0,ln x k ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减， ()ln ,1x k ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，而，不合题意，()g x ()1e 0g k =->()20ln k -<③当时，，在上单调递增，不合题意， e =k ()0g x '≥()g x ()0,∞+④当时，由可得或， e k >()0g x '=ln x k =1x =当时，，单调递增， ()0,1x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减， ()1,ln x k ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增， ()ln ,x k ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，()g x ()()()2ln ln ln ln g k k k k =-=-令，则，()ln 1,t k =∈+∞2e ln t t t =所以，ln ln e e e tt t t t t ==令，则，，()()ln 1x h x x x=>()()e t h t h =()21ln xh x x -'=所以在上单调递增，在上单调递减，所以， ()h x ()1,e ()e,+∞1e e t t <<<令， ()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<则 ()()2e ln ln 2e 2e x xG x x x x x-'=-+--+-()()2222e 2e ln 2e ln e e ln e 202e 2e x x x x x x x x x x x--⎡⎤=--++=---+++>-+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦--所以在上单调递增，所以，()G x ()1,e ()()e 0G x G <=所以当时有， ()1,e x ∈()ln 2e ln 2e x x x x-<-因为，所以， 1e e tt <<<()ln 2e ln e ln e 2e t t t t t t -=<-又因为在上单调递减，所以， ()h x ()e,+∞e 2e t t >-所以，即.e 2e t t +>ln 2e k k +>。

湖南省长沙市雅礼中学(雅礼教育集团)2019-2020学年高二下数学期末模拟.docx

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湖南省长沙市雅礼中学（雅礼教育集团）2019-2020学年高二下数学期末模拟试卷一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）命题p:3x 0 G T?,X 02-X 0 + 1<。

的否定是（）D ・ BF A.AC某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动。

若甲，乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每个人只参加一个社团，则不同的报名方案数为2_—组 =1的公共点的个数为（）3. 直线y = -2x-3与曲线一 4②如果mLa , nllot,那么m±n ； ③如果a", mua ,那么m///?； ④如果平面Q 内有不共线的三点到平面”的距离相等，那么allp-其中正确的命题是（）A.已知命题P: Vx>0,总有（x + l ）e x >1,则一^为（ ）8. 已知椭圆。

：亳+ . = 1（。

〉力〉0）的离心率为季.双曲线x 2-y 2 =1的渐近线与椭圆C 有四个交点,1. A. Vx e 7?, x 2 - % +1 > 0B. Vx e 7?, x 2 - % +1 < 0C.2. A. 2160B. 1320C. 2400D. 4320V 2 A. 1 B. 2 D. 44.设”是两个不同的平面,m 、〃是两条不同的直线，有下列命题:①如果m-Lrif mLa , 〃///?,那么a _L /?；A. ①②B.②③C.②④D.②③④5. 下列值等于1的积分是（）A. ijxdxoC.ijWxD. ^—dx °26. 若集合 A = {x|0 < x < 1}, B =卜".22x<0 ,则下列结论中正确的是（）7. A. 3x 0<0 使得(x 0+l)^°<1 B. 3x 0 >0 使得(x 0+l)e %0 <1 C. vx>o 总有（尤+1）八1D. Vx<0,，点有(x + l)e* < 1以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为A. X 2 T+ 丁 —12 B.X 2 一 + 12 £6 =1C. %216 + ^ — 14D. %2 ---- F 20/ 5 二1 9. 已知函数f(x)=asina)x + cos cox(a > 0,&>>0)的最大值为”，周期为兀，给出以下结论:JT①f(x)的图象过点(0,1)； ②六X )在上单调递减； _ O O③f (X )的一个对称中心是g ，很｝④ E 的一条对称轴是X =一芸其中正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410. 设直线x + y —口 = 0与圆(x —2)2 + ^=4交于A, B 两点，圆心为C,若即C 为直角三角形，则。

2020年湖南省长沙市高二(下)开学数学试卷(文科)(2月份)

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高二（下）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z=，则=（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i2.已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则（）A. ￢p：∃x∈R，x2≥0B. ￢p：∃x∈R，x2＜0C. ￢p：∃x∈R，x2≤0D. ￢p：∀x∈R，x2＜03.下列说法正确的是（）A. 合情推理和演绎推理的结果都是正确的B. 若事件A，B是互斥事件，则A，B是对立事件C. 若事件A，B是对立事件，则A，B是互斥事件D. “复数z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数”是“a=0”的必要不充分条件4.为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A. 60%，60B. 60%，80C. 80%，80D. 80%，605.已知某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）所得的数据如表：经分析，y与x有较强的线性相关性，且=0.95x+，则等于（）C. 2.7D. 2.56.函数f（x）的定义域为区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）上极值点的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 47.椭圆（θ为参数）的长轴长为（）A. 4B. 5C. 8D. 108.过点作直线，使它与双曲线=1有且只有一个公共点，这样的直线有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9.函数，则（）A. x=e为函数f（x）的极大值点B. x=e为函数f（x）的极小值点C. 为函数f（x）的极大值点D. 为函数f（x）的极小值点10.已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师．若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A. 甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B. 甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C. 甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D. 甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师11.如图F1，F2分别是椭圆的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=e2x，g（x）=ln x+的图象分别与直线y=b交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A. 1B. eC.D. e-二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.观察下列等式13=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=100…照此规律，第6个等式可为______ ．14.设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为________．15.从边长为4的正方形ABCD内部任取一点P，则P到对角线AC的距离不大于的概率为______．16.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合．直线l过点P（-1，-1），倾斜角为45°，曲线C的极坐标方程为ρ=sin （θ+）．直线l与曲线C相交于M，N两点．（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求线段MN的长和点P到M，N两点的距离之积．18.由507名画师集体创作的999幅油画组合而成了世界名画《蒙娜丽莎》，某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表所示．（Ⅰ）求a，b的值；并补全频率分布直方图；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计这507名画师年龄的平均数；（Ⅲ）在抽出的[20，25）岁的5名画师中有3名男画师，2名女画师．在这5名画师中任选两人去参加某绘画比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少？19.已知命题p：f（x）=x2+（4m-2）x+5在区间（-∞，0）上是减函数，命题q：不等式x2-2x+1-m＞0的解集是R，若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数m 的取值范围．20.电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调査，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图（如图）．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．附：X2=（）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中仼意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．21.如图，已知抛物线x2=y，过直线l：y=-上任一点M作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（I）求证：MA⊥MB；（II）求△MAB面积的最小值．22.已知函数f（x）=ax lnx+b，g（x）=x2+kx+3，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，a，b，k∈R．（1）若函数f（x）在（b，m）上有最小值，求a，b的值及m的取值范围；（2）当x∈[]时，其中e=2.718…，e为自然对数的底数，若关于x的不等式2f （x）+g（x）≥0有解，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵复数z===i（1+i）=-1+i，∴=-1-i，故选：D．复数z=，利用两个复数代数形式的除法法则化简为a+bi，从而得到它的共轭复数．本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．【解答】解：命题是全称命题，则￢p：∃x∈R，x2＜0，故选B.3.【答案】C【解析】解：合情推理和演绎推理的结果不一定是正确的，所以A不正确；若事件A，B是互斥事件，则A，B是不一定是对立事件，所以B不正确；若事件A，B是对立事件，则A，B是互斥事件，满足对立事件的定义，所以C正确；“复数z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数”是“a=0”的充分不必要条件，所以D不正确；故选：C．利用推理判断A的正误，事件的互斥与对立判断B、C的正误，充要条件判断D的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图得，及格率为1-（0.005+0.015）×10=1-0.2=0.8=80%优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80故选C．利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数．本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率=纵坐标×组据；频数的公式：频数=频率×样本容量．5.【答案】A【解析】解：由题意可知：=，==4.5．因为回归直线经过样本中心，所以4.5=0.95×2+，解得=2.6．故选：A．求出样本中心坐标代入回归直线方程求解即可．本题考查回归直线方程的应用，基本知识的考查．【解析】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：A．根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．7.【答案】D【解析】解：椭圆（θ为参数）可得，可得长半轴a=5，椭圆的长轴长为10．故选：D．求出椭圆的标准方程，然后求解椭圆的长轴长．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．8.【答案】C【解析】解：∵点P点，x=5时，y=±，显然点在双曲线上，过点作直线，与双曲线=1有且只有一个公共点的直线有3条．第1条是双曲线的切线，第2、3条是与两条渐近线平行的直线，综上，符合条件的直线只有3条．故选：C．利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论．本题考查了直线与双曲线的交点的问题，解题时应灵活应用双曲线的渐近线，是基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于基础题．求导，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，令f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间，则当x=e时，函数有极大值．【解答】解：的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=，令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当x=e时，函数有极大值.故选A．【解析】解：“甲的年龄和英语老师不同”和“英语老师的年龄比乙小”可以推得丙是英语老师，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比语文老师大”，可知甲是语文老师，故乙是数学老师．故选：C．由“甲的年龄和英语老师不同”和“英语老师的年龄比乙小”推得丙是英语老师，从而丙的年龄比乙小，进而得到甲是语文老师，乙是数学老师．本题考查了推理与证明，认真分析条件中的逻辑关系，逐步推出结论，属于基础题．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．由题设条件知，把A代入椭圆，得，整理，得e4-8e2+4=0，由此能够求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意知，把A代入椭圆，得，∴（a2-c2）c2+3a2c2=4a2（a2-c2），整理，得e4-8e2+4=0，∴，∵0＜e＜1，∴．故选D．12.【答案】C【解析】解：由题意，A（ln b，b），B（，b），其中＞ln b，且b＞0，所以|AB|=-ln b，令h（x）=，（x＞0），则h′（x）==0时，解得x=，所以0＜x＜时，h′（x）＜0；x＞时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以当x=时，|AB|min=，故选：C．由题意，求出A，B两点的坐标，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值．本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.【答案】13+23+33+43+53+63=441【解析】解：13=1=12，13+23=9=32，13+23+33=36=62，13+23+33+43=100=102，13+23+33+43+53=152=225，13+23+33+43+53+63=212=441．故答案为：13+23+33+43+53+63=441．可以发现等式左边是连续整数的立方和，右边是1+2+3+…+n的平方．从而写出第六个等式．本题考查归纳推理及运用，注意总结等式的左右特点是解题的关键．14.【答案】e【解析】解：f（x）=x lnx∴f'（x）=ln x+1则f′（x0）=ln x0+1=2解得：x0=e故答案为：e先根据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可．本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之列．15.【答案】【解析】【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，解题的关键是得出概率的计算公式是对应面积的比值，是基础题目．根据题意，画出正方形ABCD，求出满足条件的点P所在的区域面积，由几何概型的概率公式，即可求出对应的概率．【解答】解：如图所示，E，F，G，H分别为AB，BC，AD和CD的中点，所以点P到对角线AC的距离不大于，点P落在阴影部分所在的区域，由几何概型的概率公式，得所求的概率为P=1-．故答案为：．16.【答案】6【解析】【分析】本题重点考查抛物线的简单性质，考查向量知识的运用，解题的关键是判断出F点为三角形的重心．根据，可判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案．【解答】解：抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=-1,设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）,∵=，∴点F是△ABC重心，∴x1+x2+x3=3，∵|FA|=x1-（-1）=x1+1，|FB|=x2-（-1）=x2+1，|FC|=x3-（-1）=x3+1,∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6.故答案为6.17.【答案】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（-1，-1），倾斜角为45°，∴直线l的参数方程为：．∵曲线C的极坐标方程为ρ=sin（θ+），∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程：x2+y2-x-y=0．（6分）（Ⅱ）把直线l的参数方程：代入到：x2+y2-x-y=0．得，∴|MN|=|t1-t2|==．（9分）|PM||PN|=|t1t2|=4．（12分）【解析】（Ⅰ）由直线l过点P（-1，-1），倾斜角为45°，能求出直线l的参数方程，由曲线C的极坐标方程为ρ2=ρsinθ+ρcosθ，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，由此能求出线段MN的长和点P到M，N两点的距离之积．本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查线段MN的长和点P到M，N两点的距离之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．18.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布表得：a=100×0.200=20，b==0.35，∴补全频率分布直方图如图所示：（Ⅱ）507名画师中年龄的平均数的估计值为：22.5×0.05+27.5×0.2+32.5×0.35+37.5×0.3+42.5×0.1=33.5（岁）．（Ⅲ）三名男画师记为a，b，c，两名女画师记为1，2，五人中任选两人的所有基本事件如下：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），共10个基本事件，其中一男一女的是（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），共6个基本事件，∴选出的恰好是一男一女的概率p==．【解析】（Ⅰ）由频率分布表能求出a，b，能补全频率分布直方图．（Ⅱ）利用频率分布直方图能求出507名画师中年龄的平均数的估计值．（Ⅲ）三名男画师记为a，b，c，两名女画师记为1，2，利用列举法能求出选出的恰好是一男一女的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．19.【答案】解：若命题p为真，即f（x）=x2+（4m-2）x+5在区间（-∞，0）上是减函数，只需对称轴x=1-2m≥0，即;若命题q为真，即不等式x2-2x+1-m＞0的解集是R，只需△=4-4（1-m）＜0，即m＜0;因为“p∨q”为真，命题“p∧q”为假,所以p，q一真一假，所以.【解析】利用已知条件判断命题的真假，列出不等式求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．20.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下；由表中数据，计算X2==≈3.030，因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图知“超级体育迷”有5人，其中有2名女性，记为A、B，3名男性，记为c、d、e；从这5人中仼意选取2人，所有的基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种，至少有1名女性观众的事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be共7种，故所求的概率为P=．【解析】（1）由题意填写列联表，计算观测值X2，对照临界值得出结论；（2）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列联表与独立性检验应用问题，是基础题．21.【答案】证明：（I）设，MA，MB的斜率分别为k1，k2过点M的切线方程为由，得所以k1k2=-1，所以MA⊥MB解：（II）由（I）得，k1k2=-1，k1+k2=4x0=所以=综上，当x0=0时，△MAB面积取最小值．【解析】（I）设，MA，MB的斜率分别为k1，k2，过点M的切线方程为，联立抛物线方程，根据以k1k2=-1，可得MA⊥MB；（II）由（I）得，求出MA，MB的长，代入三角形面积公式，结合二次函数的图象和性质，可得答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，直线垂直的证明，难度中档．22.【答案】解：（1）f′（x）=a（ln x+1），由题意得，解得：，故f′（x）=ln x+1，当f′（x）＞0，即x＞时，f（x）递增，当f′（x）＜0，即0＜x＜时，f（x）递减，∵f（x）在（0，m）上有最小值，∴m的范围是（，+∞）；（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0在x∈[，e]有解，等价于不等式k≥-在x∈[，e]上有解，设h（x）=-，x∈[，e]，h′（x）=-，当h′（x）＞0即＜x＜1时，h（x）递增，当h′（x）＜0，即1＜x＜e时，h（x）递减，又h（）=-，h（e）=-，∴h（）-h（e）＜0，故h（x）min=h（）=-，∴k≥-．【解析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，求出m的范围即可；（2）问题等价于不等式k≥-在x∈[，e]上有解，设h（x）=-，x∈[，e]，根据函数的单调性求出k的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．。

湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学(理)试卷附答案详析

湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考2020年2月高考数学(理)试卷附答案详析
“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( )
A．1695
B．1696
C．1697
D．1698
11． ABC 中，所有内角都不是钝角，有以下命题：① sin 2 A sin 2B A B ； ② sin 2 A sin 2B A B ；③ cos 2 A cos 2B A B ；④ sin A cos B .其中正确命
23．已知函数 f x 2x 7 2x 5 .
(1)解不等式 f x 6 ；
(2)设函数
f
x
的最小值为
m，已知正实数
a，b，且 k
max
a
1
b
,
a2 a
b2 b
，证明：k 2m
1.
5
解析
湖南长郡中学、雅礼中学等四校联考
2020 年 2 月高考数学（理）试卷
一、单选题
1．已知集合 A x N x2 x 2 0 ，则满足条件 A B A 的集合 B 的个数为( )
(2)若数列
cn
的通项 cn 满足 cn
bn 4S
n
，前 n 项和为 Qn ，当数列
cn
是等差数列时，对任
意的 n N ，均存在 m N ，使得 8a12Qn a14n2 16cm 成立，求满足条件的所有整数 a1 构
成的集合.
20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若
2
又
0
sin 2xdx
1 cos 2x 2
2 0
1 2
1 2
1，
所以 a4 a8 a62 4 ，又 a4 0 ，所以 a6 0 ，所以 a6 2 ，
所以则
tan

2020年湖南省湘西市雅丽中学高二数学理模拟试卷含解析

2020年湖南省湘西市雅丽中学高二数学理模拟试卷含解析

2020年湖南省湘西市雅丽中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列，由等比数列的求和公式可得首项，进而由通项公式可得．【解答】解：设该女第n天织布为a n尺，且数列为公比q=2的等比数列，则由题意可得=5，解得a1=，故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=，故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．2. 在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°，点Ｅ、F分别是A1B1、A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BＥ与AF所成的角的余弦值是( )参考答案：A3. 函数的定义域是( )参考答案：C4. 有一个回归直线方程为,则当变量增加一个单位时,下面结论正确的是( )A. 平均增加2个单位B. 平均减少2个单位C. 平均增加3个单位D. 平均减少3个单位参考答案：B5. 若实数x，y满足，则点P（x，y）不可能落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出如图所示的可行域，由图象可知，则点P（x，y）不可能落在第四象限【解答】解：实数x，y满足，作出如图所示的可行域，由图象可知，则点P（x，y）不可能落在第四象限，故选：D【点评】本题考查了线性规划中的可行域问题，属于基础题．6. 已知是R上的偶函数，若将的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若则A．1 B．0 C．D．参考答案：B略7. 定义域为R的偶函数满足对R，有，且当时，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B由恒成立可知图像以为对称轴，周期，作出的图像，的图像与的图像至少有三个交点，即有且，解得，故选B．8. 甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下,甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为( )A. B. C. D.参考答案：A【分析】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，则P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，求出P（C）＝P（A）+P（）+P（AB）＝0.7，由此利用条件概率计算公式能求出在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率．【详解】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，则P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，P（C）＝P（A）+P（）+P（AB）＝0.2+0.3+0.2＝0.7，∴在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率：P（AB|C）．故选：A【点睛】本题考查条件概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式的合理运用．9. 函数y=的图像恒过定点，若点在直线上，则的最小值为.A．9 B． C． D．参考答案：A略10. 已知集合，，则等于A ．B ．C ．D ．参考答案： D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将函数f （x ）=2cos （2x ﹣）的图象向左平移个单位得到g （x ）的图象，记函数g（x ）在区间内的最大值为M t ，最小值为m t ，记h t =M t ﹣m t ，若t∈[，]，则函数h （t ）的最小值为 ．参考答案：1【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，根据g （x ）的图象得出h （t ）取得最小值时对应的t 的值，从而计算出M t ，m t ，得出答案．【解答】解：g （x ）=2cos[2（x+）﹣]=2cos （2x+）， ∴g（x ）在（，）上单调递减，在（，）上单调递增，∴当≤t≤时，g （x ）在区间内先减后增，当时，g （x ）在区间内单调递增， ∴当t=时，h （t ）取得最小值，此时M t =g （）=﹣1，m t =g （）=﹣2，∴函数h （t ）的最小值为﹣1﹣（﹣2）=1． 故答案为1．12. 两个等差数列和,其前项和分别为, 且则= . 参考答案：略13. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 ．参考答案：6π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2，高为2． 【解答】解：∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形，∴圆柱底面圆的直径长为2，高为2． 则圆柱的表面积S=2?π?2+2?π?12=6π．故答案为6π．14. 直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 参考答案：15. 过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A 并且点A 也在双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为 ．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意画出图形，把A的坐标用p表示，代入双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，结合a2+b2=c2求得双曲线的离心率．【解答】解：如图，设A（x0，y0），则|AF|=2（x0﹣），又|AF|=x0+，∴2（x0﹣）=x0+解得x0=，y0=|AF|=p，∵点A在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，∴p=，解得：，由a2+b2=c2，得=，∴e=．故答案为．：16. 数列中，，则参考答案：略17. 已知等差数列满足：，．若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

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雅礼中学2020年高二上学期入学考试试卷
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题(本题共12小题，每题5分，共60分)
1.已知复数4
21i z i
+=+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,,M I N 中的一个字母，第二位是
1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.
815
B.
18
C.
115
D.
130
3.P22T3函数3
2y x ax a =-+在()01，内有极小值，则实数a 的取值范围为( )
A.()03，
B.()3-∞，
C.()0+∞，
D.302⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
4.P4T3已知2:0P x x -<，那么P 的一个必要不充分条件是( )
A.01x <<
B.11x -<<
C.
1223x <<
D.
1
22
x << 5.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有( )
A.512个
B.192个
C.240个
D.108个
6.已知函数()2
2cos f x x x =＋，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.P9T8已知双曲线M 的焦点1F ，2F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=.如果抛物线2
16y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12PF PF ⋅=( )
A.21
B.14
C.7
D.0
8.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，
D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测. A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特
等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是( )号同学.
A.1
B.2
C.3
D.4，5，6号中的一个
9.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为222
4
a b c +-，则C =( )
A.
2
π B.
3
π C.
4
π D.
6
π 10.P22T4设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()f x g x '-
()()0f x g x '>，且()30g =，则不等式()()0f x g x <的解集是( )
A.()()3,03,-⋃+∞
B.()()3,00,3-⋃
C.()(),33,-∞-⋃+∞
D.()(),30,3-∞-⋃
11.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R
与年产量x 的关系是()21400,0400,2
80000,400,
x x x R R x x ⎧-≤≤⎪
=⎨⎪>⎩则总利润最大时，年产量是( ) A.100
B.150
C.200
D.300
12.P7T6.已知椭圆()2222:10x y T a b a b
+=>>的离心率为3
2，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与T
相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则k =( )
A.1
B.2
C.3
D.2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.双曲线2
2
1x y -=的离心率为___________.
14.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，
则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为___________. 15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有___________种不同的站法.
16.已知函数()()
2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =___________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(本题满分10分)
已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若数列{}n b 满足(*)21n n b n a n -+∈N =，求{}n b 的前n 项和n S .
18.(本题满分12分)
已知函数(
)()2
2
sin cos cos f x x x x x x =--∈R .
(Ⅰ)求23
f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； (Ⅱ)求()f x 的单调递增区间.
19.(本小题满分12分)
《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：
(1)请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；
(2)若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式：()()()
1
12
2
2
1
1
n n
i
i
i i i i n n
i i
i i x x y y x y nxy b x nx
x x ====----=
=--∑∑∑
∑，a y bx =-.
参考数据：5
11415i
i i x y ==∑
20.(本小题满分12分)P15T10.
如图(1)，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=，点E ，F 分别是边CD ，
CB 的中点，AC EF O =，
沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接PA ，PB ，PD ，得到如图(2)的五棱锥P ABFED -，且
10PB =.
(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求二面角B AP O --的余弦值.
21.(本小题满分12分)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
到抛物线()2
:20C y px p >=的准线的距离为
5
4
.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上. (1)求曲线C 的方程及点M 的坐标； (2)记()2
14AB d m m
=
+，求弦长AB (用m 表示)；并求d 的最大值.
22.(本小题满分12分)
已知函数()()()212ln f x a x x =---，()1x
g x xe
-=(a R ∈，e 为自然对数的底数).
(Ⅰ)若不等式()0f x >对于一切10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立，求a 的最小值； (Ⅱ)若对任意的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的()1,2i x i =，使()()0i f x g x =成立，求a 的取值范围.。

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