中考专题复习—二次函数与三角形综合问题PPT课件
中考复习专题2二次函数与直角三角形问题(含解析)
专题2二次函数与直角三角形问题我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1图2图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3,0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341m m-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决.【例1】．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A 在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．【分析】（1）根据坐标轴上点的特点求出点A，C的坐标，即可求出答案；（2）设出点P的坐标，利用PA＝PC建立方程求解，即可求出答案；（3）分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．【解析】（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AC＝＝；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA＝＝，PC＝＝，∵PA＝PC，∴＝，∴p＝﹣1，∴P（1，﹣1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，设M（m，m2﹣2m﹣3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM＝90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，∴∠HMC＝45°＝∠HCM，∴CH＝MH，∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，∴﹣m2+2m＝m，∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，∴M（1，﹣4）；②当∠CBM＝90°时，过点M作M'H'⊥x轴，同①的方法得，M'（﹣2，5）；③当∠BMC＝90°时，如图2，Ⅰ、当点M在第四象限时，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM＝∠E＝90°，∴∠DCM+∠DMC＝90°，∵∠DMC+∠EMB＝90°，∴∠DCM＝∠EMB，∴△CDM∽△MEB，∴，∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，∴，∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，∴M（，﹣），Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．【例2】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【分析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，即可求解；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），由DH∥OC，可得＝＝，求出D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，证明△MDF≌△NOD（AAS），可得D点纵坐标为2，求出D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，证明△KDF≌△LFO（AAS），得到D点纵坐标为4，求得D（0，4）或（﹣3，4）．【解析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．【例3】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【分析】（1）把点B，C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；（2）存在．如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M （﹣1，﹣4），分三种情形：∠PAB＝90°，∠PBA＝90°，∠APB＝90°，分别求解可得结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．令y＝0，则x2+x﹣4＝0，解得x＝﹣4或2，∴A（﹣4，0），C（2，0），∵B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣∵S△ABD（t+2）2+4，∵﹣1＜0，∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．【例4】．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得b，c的值，令y ＝0即可得m的值；（2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK，根据全等三角形的性质得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线BN的解析式为y＝﹣x+，可得Q（0，），设P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、BQ2，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得．∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴m＝5；（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），∵DE∥x轴，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴CH∥x轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线BN的解析式为y＝﹣x+，∴Q（0，），设P（2，p），∴PQ2＝22+（p﹣）2＝p2﹣p+，BP2＝（5﹣2）2p2＝9+p2，BQ2＝52+（）2＝25+，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，∴9+p2＝p2﹣p++25+，解得p＝，∴点P的坐标为（2，）；②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，∴p2﹣p+＝9+p2+25+，解得p＝﹣9，∴点P′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）．1．（2022•公安县模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；的最大值以及此时E点的坐标；（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；（2）过点E作EF∥y轴交线段AB于点F，设点E（t，﹣t2+2t+3），则F（t，t+1），则可得到EF与x 的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABE的面积；（3）存在，设E（m，﹣m2+2m+3），分三种情况：分别以A，B，E为直角顶点，作出辅助线，构造相似列出方程，解方程即可．【解析】（1）∵点A（﹣1，0），C（2，0），∴AC＝3，OC＝2，∵AC＝BC＝3，∴B（2，3），把A（﹣1，0）和B（2，3）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（2，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b′，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，如图，过点E作EF∥y轴交线段AB于点F，∴设点E（t，﹣t2+2t+3），则F（t，t+1），∴EF＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），最大，S△ABE＝•EF•（x B−x A）＝××（2+1）＝．∴此时S△ABE（3）在问题（2）的条件下，存在点E使得△ABE为直角三角形；设E（m，﹣m2+2m+3），①当点A为直角顶点，过点A作AB的垂线，与AB之间的抛物线无交点，故不可能存在点E使得△ABE为以点A为直角顶点的直角三角形，②当点B为直角顶点，如下图，此时∠EBA＝90°，过点E作EG⊥CB，交CB延长线于点G，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°，∴∠EBG＝45°，∴△BEG是等腰直角三角形，EG＝BG，∵EG的长为点E与直线BC的距离，即2﹣m，且BG＝CG﹣BC＝﹣m2+2m+3﹣3＝﹣m2+2m，∴2﹣m＝＝﹣m2+2m，解得m＝1或m＝2（舍），∴E（1，4）；③如下图，此时∠AEB＝90°，作EM∥x轴，交CB的延长线于点M，过点A作AN⊥x轴交ME的延长线于点N，∴∠BEM+∠AEN＝90°，∵在Rt△AEN中，∠EAN+∠AEN＝90°，∴∠BEM＝∠EAN，∴△AEN∽△BEM，∴BM：EN＝EM：AN，∴（﹣m2+2m）：（m+1）＝（2﹣m）：（﹣m2+2m+3），即﹣m（2﹣m）（m+1）（m﹣3）＝（2﹣m）（m+1），∵2﹣m≠0，m+1≠0，∴m2﹣3m+1＝0，解得m＝或m＝（舍）．∴E（，）综上，根据问题（2）的条件，存在点E（1，4）或（，）使得△ABE为直角三角形．2．（2022•高邮市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x 轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若．（1）求点B的坐标；（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【分析】（1）根据A（﹣1，0），得到OA＝l，对于y＝ax2+bx﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，得到C（0，﹣3），OC＝3，根据BC∥x轴，得到△AOD∽△BCD，推出，得到BC＝2，即可得B（2，﹣3）；（2）把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，求得a＝1，b＝﹣2，得到抛物线解析式并配方为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到抛物线的对称轴是直线x＝1，设P（1，m），写出PA2＝m2+22＝m2+4．PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1．AC2＝12+32＝10．根据△PAC是以AC为直角边的直角三角形，当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2．得到m2+4+10＝（m+3）2+1，求得m＝；当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，得到（m+3）2+1+10＝m2+4，求出m＝﹣；即可得点P的坐标．【解析】∵A（﹣1，0），∴OA＝l，在y＝ax2+bx﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵BC∥x轴，∴△AOD∽△BCD，∴，∴BC＝2，∴B（2，﹣3）；（2）把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，设P（1，m），∴PA2＝m2+22＝m2+4．PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1．AC2＝12+32＝10．∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形，当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2．∴m2+4+10＝（m+3）2+1，解得m＝；当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，∴（m+3）2+1+10＝m2+4，解得m＝﹣（不符合题意，舍去）．∴P（1，）．3．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点．（1）求b，c的值；（2）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点，且点E在x轴上方，连接BE，以点E为直角顶点，BE为直角边，作等直角△BED，使得点D恰好落在直线y＝x上，求出满足条件的所有点E的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m），E（n，﹣n2+2n+8），分两种情况：当点E1在点D左侧，∠DE1B＝90°，BE1＝D1E1时，当点E2在点D2右侧，∠D2E2B＝90°，BE2＝D2E2时，利用等腰直角三角形性质，添加辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质建立方程求解即可得出答案．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，解得：，∴b＝2，c＝8；（2）∵点D在直线y＝x上，点E在抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8上，∴设D（m，m），E（n，﹣n2+2n+8），当点E1在点D左侧，∠DE1B＝90°，BE1＝D1E1时，如图，过点E1作E1G∥x轴，过点B作BF⊥EG 于点F，过点D1作D1G⊥E1G于点G，则∠BFE1＝∠E1GD1＝90°，BF＝﹣n2+2n+8，E1F＝4﹣n，E1G＝m﹣n，D1G＝m﹣（﹣n2+2n+8）＝n2﹣2n﹣8+m，∴∠E1BF+∠BE1F＝90°，∵∠D1E1G+∠BE1F＝90°，∴∠E1BF＝∠D1E1G，在△BE1F和△E1D1G中，，∴△BE1F≌△E1D1G（AAS），∴E1F＝D1G，BF＝E1G，∴，解得：，当n＝2时，﹣n2+2n+8＝﹣22+2×2+8＝8，∴E1（2，8）；当点E2在点D2右侧，∠D2E2B＝90°，BE2＝D2E2时，如图，过点E2作E2H⊥x轴于点H，过点D2作D2K⊥E2H于点K，则∠BHE2＝∠E2KD2＝90°，BH＝4﹣n，E2H＝﹣n2+2n+8，E2K＝﹣n2+2n+8﹣m，D2K＝n﹣m，同理可得△BE2H≌△E2D2K（AAS），∴E2H＝D2K，BH＝E2K，∴，解得：或，∴E（1+，2）或（1﹣，2）；综上所述，满足条件的所有点E的坐标为（2，8）或（1+，2）或（1﹣，2）．4．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，列方程组，于是得到答案；（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，求得OD＝1，作PH⊥OB，垂足为H，得到∠COA＝∠PHO＝90°，根据平行线的性质得到∠P＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，根据全等三角形的性质得到PF＝OD＝1，设P点横坐标为x，得到方程﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝1，求得x1＝2，x2＝﹣，当x＝2时，y＝3，当x＝﹣时，y＝，于是得到答案；（3）求得CD＝OC﹣OD＝2，设M（a，a+1），分两种情况①当∠CMD＝90°时，②当∠DCM＝90°时，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，∴OD＝1，如图，作PH⊥OB，垂足为H，交ED于F，则∠COA＝∠PHO＝90°，∴PH∥OC，∴∠OPF＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，又Q是OP中点，∴PQ＝OQ，∴△PFQ≌△ODQ（AAS），∴PF＝OD＝1设P点横坐标为x，则﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝1，解得：x1＝2，x2＝﹣，当x＝2时，y＝3，当x＝﹣时，y＝，∴点P的坐标是（2，3）或（﹣，）；（3）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴OC＝3，∴CD＝OC﹣OD＝2，设M（a，a+1），∴CM2＝a2+（3﹣a﹣1）2＝a2﹣2a+4，DM2＝a2+（a+1﹣1）2＝a2，①当∠CMD＝90°时，∴CD2＝CM2+DM2，∴22＝a2﹣2a+4+a2，解得：a1＝，a2＝0（舍去），当a＝时，a+1＝，∴M（，）；②当∠DCM＝90°时，∴CD2+CM2＝DM2，∴22+a2﹣2a+4＝a2，解得：a＝4，当a＝4时，a+1＝3，∴M（4，3）；解法二：∵∠DCM＝90°，∴CM∥x轴，∴a+1＝3，解得a＝4，∴M（4，3）；综上所述：点M的坐标为（，）或（4，3）．5．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A （﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设y＝（x﹣2）2+k，用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设P（m，m2﹣4m﹣5），根据∠PAB＝45°知AM＝PM，即|m2﹣4m﹣5|＝m+1，解得m的值，即可得P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）由y＝x2﹣4x﹣5求出B（5，0），C（0，﹣5），设Q（2，t），有BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，分三种情况：当BC为斜边时，9+t2+4+（t+5）2＝50，当BQ为斜边时，50+4+（t+5）2＝9+t2，当CQ为斜边时，50+9+t2＝4+（t+5）2，分别解得t的值，即可求出相应Q的坐标．【解析】（1）设y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图：设P（m，m2﹣4m﹣5），则PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），当m2﹣4m﹣5＝m+1时，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合题意，舍去），当m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合题意，舍去），∴P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，当BC为斜边时，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此时Q坐标为（2，﹣6）或（2，1）；当BQ为斜边时，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此时Q坐标为（2，﹣7）；当CQ为斜边时，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此时Q坐标为（2，3）；综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．6．（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC 下方的抛物线上运动，过点D y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分别建立方程求解即可．【解析】（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2+CF2＝AC2，∴n2+9+n2+16n+65＝80，解得：n1＝﹣4﹣，n2＝﹣4+，∴F（﹣1，﹣4﹣）或（﹣1，﹣4+）；②当∠CAF＝90°时，∵AF2+AC2＝CF2，∴n2+9+80＝n2+16n+65，解得：n＝，∴F（﹣1，）；③当∠ACF＝90°时，∵CF2+AC2＝AF2，∴n2+16n+65+80＝n2+9，解得：n＝﹣，∴F（﹣1，﹣）；综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4﹣）或（﹣1，﹣4+）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）．7．（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）令x＝0，y＝0，可分别求出A、B、C三点坐标，在求出函数的对称轴即可求D点坐标，利用待定系数法求直线解析式即可；（2）设E（t，﹣t+2），分三种情况讨论：①当∠CAE＝90°时，AC2+AE2＝CE2，②当∠ACE ＝90°时，AC2+CE2＝AE2，③当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，分别利用勾股定理求解即可．【解析】（1）令y＝0，则﹣＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），∵y＝﹣＝﹣（x﹣2）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2；（2）在点E，使△ACE为直角三角形，理由如下：设E（t，﹣t+2），∴AC2＝16，AE2＝4t2﹣8t+16，CE2＝4t2，①当∠CAE＝90°时，AC2+2CE2，∴16+4t2﹣8t+16＝4t2，∴t＝4，∴E（4，2）；②当∠ACE＝90°时，AC2+CE2＝AE2，∴16+4t2＝4t2﹣8t+16，∴t＝0（舍）；③当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，∴4t2﹣8t+16+4t2＝16，∴t＝0（舍）或t＝1，∴E（1，）；综上所述：E点坐标为（4，2）或（1，）．8．（2022•沈阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标．（3）如图2，若点E坐标为（2，0），EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）过点M作HG∥y轴，交H，过点N作NG⊥HG交于点G，证明△AMH≌△MNG（AAS），设M（t，t2﹣2t﹣3），由HM＝NG，可求t＝即可求M、N点的坐标；（3）设△BEF沿x轴方向平移t个单位长，则沿y轴方向平移t个单位长，则E'（2+t，t），分三种情况讨论：①当∠ACE'＝90°时，过点E'作E'H⊥y轴交于点H，可得△ACO∽△CE'H，利用相似比可求E'（﹣，﹣）；当N点与E'重合时，也符合题意；②当∠CAE'＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CN⊥MN交于N点，过点E'作E'M⊥MN交于M点，可得△AME'∽△CNA，利用相似比可求E'（，）；③当∠AE'C＝90°时，过点E'作ST⊥x轴交于S点，过点C作CT⊥ST交于T点，可得△ASE'∽△E'TC，利用相似比可求E'（1，﹣1）．【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）过点M作HG∥y轴，交x轴于点H，过点N作NG⊥HG交于点G，∴∠AMH+∠NMG＝90°，∵∠AMH+∠MAH＝90°，∴∠NMG＝∠MAH，∵AM＝MN，∴△AMH≌△MNG（AAS），∴AH＝MG，HM＝NG，设M（t，t2﹣2t﹣3），∴HM＝﹣t2+2t+3，NG＝t，∴﹣t2+2t+3＝t，∴t＝，∵点M是抛物线上B，C之间，∴0＜t＜3，∴t＝，∴M（，﹣），∴AH＝1+＝，∴HG＝+＝2+，∴N（0，﹣2﹣）；（3）存在使△ACE'为直角三角形，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，设△BEF沿x轴方向平移t个单位长，则沿y轴方向平移t个单位长，∵E（2，0），∴E'（2+t，t），①如图2，当∠ACE'＝90°时，过点E'作E'H⊥y轴交于点H，∴∠ACO+∠E'CH＝90°，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠E'CH＝∠CAO，∴△ACO∽△CE'H，∴＝，∵AO＝1，CO＝3，CH＝﹣3﹣t，E'H＝﹣2﹣t，∴＝，解得t＝﹣，∴E'（﹣，﹣）；②如图3，当∠CAE'＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CN⊥MN交于N点，过点E'作E'M⊥MN交于M点，∴∠MAE'+∠NAC＝90°，∵∠MAE'+∠ME'A＝90°，∴∠NAC＝∠ME'A，∴△AME'∽△CNA，∴＝，∵NC＝1，AN＝3，AM＝t，ME'＝3+t，∴＝，解得t＝，∴E'（，）；当E'点与N重合时，△ACE'为直角三角形，∴E'（﹣1，﹣3）；③如图3，当∠AE'C＝90°时，过点E'作ST⊥x轴交于S点，过点C作CT⊥ST交于T点，∴∠AE'S+∠CE'T＝90°，∵∠AE'S+∠E'AS＝90°，∴∠CE'T＝∠E'AS，∴△ASE'∽△E'TC，∴＝，∵AS＝3+t，SE'＝﹣t，CT＝2+t，E'T＝t+3，∴＝，解得t＝﹣1，∴E'（1，﹣1）；综上所述：E'的坐标为（﹣，﹣）或（，）或（1，﹣1）或（﹣1，﹣3）．9．（2022•东坡区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4的顶点C在x轴的正半轴上，直线y＝x+2与抛物线交于A，B两点，且点A在点B的左侧．（1）求m的值；（2）点P是抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标；（3）将直线AB向下平移k（k＞0）个单位长度，平移后的直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E 的左侧），当△DEC为直角三角形时，求k的值．【分析】（1）令y＝0得x2﹣（m+2）x+4＝0，由Δ＝0求得；（2）作CD∥AB交y轴于D，求得CD的函数表达式是y＝x﹣2，在DF的延长线上截取EF＝2DF＝8，过点E作EG∥AB，求得EG的函数表达式，与抛物线函数表达式联立求得；（3）当∠CDE＝90°时，可得直线CD的函数表达式是：y＝﹣x+2，求出它与抛物线的交点即可，当∠DCE＝90°时，设平移后的表达式是y＝x+b，与抛物线的表达式联立求得D和E的坐标，再求出DE中点坐标，根据DE＝2CI，进而求得b，根据平移的距离得出k值．【解析】（1）令y＝0，∴x2﹣（m+2）x+4＝0，∵Δ＝（m+2）2﹣4×1×4＝0，∴m＝2或m＝﹣6，又﹣，∴m＞﹣2，∴m＝2；（2）当m＝2时，y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，如图1，作CD∥AB交y轴于D，∴CD的函数表达式是y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵y＝x+＝2与y轴交点F（0，2），∴DF ＝4，在DF 的延长线上截取EF ＝2DF ＝8，过点E 作EG ∥AB ，∴EG 的函数表达式是：y ＝x +10，由x 2﹣4x +4＝x +10得，x ＝﹣1或x ＝6，当x ＝﹣1时，y ＝﹣1+10＝9，当x ＝6时，y ＝6+10＝16，∴P （﹣1，9）或P （6，16）；作CM ⊥AB 于M 交EG 于N ，∵CD ∥AB ∥EG ，∴＝＝，∴点P 到AB 的距离是点C 到AB 距离的2倍，∴△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍．（3）当∠CDE ＝90°时，∴直线CD 的函数表达式是：y ＝﹣x +2，由x 2﹣4x +4＝﹣x +2得，x ＝1或x ＝2（舍去），当x ＝1时，y ＝﹣1+2＝1，∴y ＝x +（2﹣k ）过（1，1），∴1+（2﹣k ）＝1，∴k ＝2，当∠DCE ＝90°时，设平移后的表达式是y ＝x +b ，由x 2﹣4x +4＝x +b 得，化简得，x 2﹣5x +（4﹣b ）＝0，∴x 1＝，x 2＝，∴x1+x2＝5，y1+y2＝5+2b，∴DE的中点I（，），∴x1﹣x2＝，∴y1﹣y2＝x1+b﹣（x2+b）＝x1﹣x2＝，∵DE2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝（）2+（）2＝2（9+4b），CI2＝（﹣2）2+（）2＝，由DE＝2CI得，2（9+4b）＝16+4b2+20b，∴b＝﹣1或b＝﹣2（舍去），∴k＝3，综上所述，k＝2或3．10．（2022•海沧区二模）抛物线y1＝ax2﹣2ax+c（a＜2且a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M（m，n）在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．（1）若m＝2，n＝﹣3，求a的值；（2）记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；（3）将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx+b（k≠0），与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入抛物线y1＝ax2﹣2ax+c中，可得c＝﹣3a，所以抛物线y1＝ax2﹣2ax ﹣3a．当m＝2，n＝﹣3时，M（2，﹣3），将点M的坐标代入函数解析式，求解即可；（2）过点M作x轴的垂线，交直线BP于点Q，根据题意可知，P（a，﹣4a），B（3，0），所以直线BP 的解析式为：y＝2ax﹣6a，设M（m，am2﹣2am﹣3a），则Q（m，2am﹣6a），根据三角形的面积公式可得出S和a的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可；（3）由平移可知，y2＝2ax+2a，点C（0，2a），联立可得E（5，12a）．根据题意当△ECD是直角三角形时，需要分三种情况讨论：①当∠ECD＝90°时，过点E作y轴的垂线交y轴于点F，②当∠CDE ＝90°时，过点E作x轴的垂线于点F，③当∠CED＝90°时，分别求解即可．【解答】（1）解：将点A（﹣1，0）代入抛物线y1＝ax2﹣2ax+c中，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴抛物线y1＝ax2﹣2ax﹣3a．当m＝2，n＝﹣3时，M（2，﹣3），∴4a﹣4a﹣3a＝﹣3，解得a＝1；（2）证明：过点M作x轴的垂线，交直线BP于点Q，∵点P为y1＝ax2﹣2ax﹣3a的最低点，∴P（a，﹣4a），令y1＝ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），∴直线BP的解析式为：y＝2ax﹣6a，设M（m，am2﹣2am﹣3a），∴Q（m，2am﹣6a），∴QM＝2am﹣6a﹣（am2﹣2am﹣3a）＝﹣am2+4am﹣3a，∴S＝|x B﹣x P|•QM＝﹣am2+4am﹣3a＝﹣a（m﹣2）2+a，∵﹣a＜0，开口向下，∴当m＝2时，S的最大值为a，∵a＜2，∴当1＜m＜3时，S＝a＜2．（3）解：∵当x＜﹣1时，总有y1＜y2，∴直线l必经过点A（﹣1，0），将点A代入直线l：y2＝kx+b，∴﹣k+b＝0，∵直线l：y2＝kx+b由直线PB：y＝2ax﹣6a向上平移t个单位长度得到，∴k＝b＝2a，b＝﹣6a+t＝2a，∴t＝8a，∴y2＝2ax+2a，点C（0，2a），令2ax+2a＝ax2﹣2ax﹣3a，解得x＝﹣1或x＝5，∴E（5，12a）．①当∠ECD＝90°时，过点E作y轴的垂线交y轴于点F，∴△FEC∽△OCD，∴EF：OC＝CF：OD，即5：2a＝10a：1，∴a＝或a＝﹣（舍）；∴t＝8a＝4≥4，符合题意；②当∠CDE＝90°时，过点E作x轴的垂线于点F，∴△OCD∽△FDE，∴EF：OD＝DF：OC，即12a：1＝4：2a，解得a＝或a＝﹣（舍），∴t＝8a＝＜＝4，不符合题意；③当∠CED＝90°时，显然不存在．综上，存在，且t的值为．11．（2021•葫芦岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B （﹣2，3），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．【分析】（1）求出A点坐标，将A、B点坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可求解；＝＝2（m+2），S△ABE＝m2+m，再由已知得到方程2（m+2）（2）设E（m，﹣m2﹣m+3），求得S△BDE＝4（m2+m），求出m的值即可求E点坐标；（3）先求出直线DE的解析式为y＝x+1，分三种情况讨论：①当P点与B点重合，此时△APQ为等腰直角三角形，则P（﹣2，3）；②过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M，证明△PAB∽△AQM，设P（﹣2，t），则Q（，），分别求出PB＝t﹣3，AB＝2，AM＝，QM＝﹣3＝，再由三角形相似可得＝，求出t即可求P点坐标；当PQ⊥AP时，AP∥DE，则直线AP的解析式为y＝x+3，即可求P点坐标．【解答】解：（1）∵B（﹣2，3），矩形OABC，∴A（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B，∴，∴，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）∵D（﹣2，﹣1），∴BD＝4，设E（m，﹣m2﹣m+3），＝×4×（m+2）＝2（m+2），∴S△BDE∵AB＝2，＝×2×（3+m2+m﹣3）＝m2+m，∴S△ABE＝4S△ABE，∵S△BDE∴2（m+2）＝4（m2+m），解得m＝﹣2或m＝，∵E点在y轴由侧，∴m＝，∴E（，）；（3）∵E（，），D（﹣2，﹣1），设直线DE的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+1，∴直线与y轴的交点为（0，1），如图1，当P点与B点重合，Q点为（0，1），此时△APQ为等腰直角三角形，∴P（﹣2，3）；如图2，过点Q作QM⊥AB交BA的延长线于点M，∵∠PAQ＝90°，∠PBA＝90°，∠QME＝90°，∴∠PAB＝∠AQM，∴△PAB∽△AQM，∴＝，设P（﹣2，t），∵直线DE的解析式为y＝x+1，PQ⊥DE，∴∠PDQ＝45°，∴Q（，），∴PB＝t﹣3，AB＝2，AM＝，QM＝﹣3＝，∴＝，∴t＝9，∴P（﹣2，9）；如图3，当PQ⊥AP时，∵∠PAQ+∠AQP＝90°，∠∠AQE＝90°，∴∠APQ＝∠AQE，∴AP∥DE，∴直线AP的解析式为y＝x+3，∴P（﹣2，1）；综上所述：P点的坐标为（﹣2，1）或（﹣2，3）或（﹣2，9）．12．（2021•和平区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，交x轴于B（﹣1，0），C（5，0）两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（3）过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到△GHR（点R，点G分别位于直线CD的两侧），GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．①请直接写出线段HK的长为；②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为﹣或﹣．【分析】（1）先根据抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，求出点A坐标，再运用待定系数法求直线AC的函数表达式即可；（2）将B（﹣1，0），C（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣求出a，b，即可得抛物线解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；（3）①根据△GHK为直角三角形，且点R，点G分别位于直线CD的两侧，可分三种情况：∠GHK＝90°或∠HGK＝90°或∠GKH＝90°，经分析仅有∠GKH＝90°符合题意，过点H作HL⊥DG于点L，则HL＝HK，先证明△GDK∽△CDF，再运用面积法即可求出答案；②由△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，可分两种情况：PQ＝DQ或PQ＝DP，分别求出点P的纵坐标即可．【解答】解：（1）设直线AC的函数表达式为：y＝kx+c，∵抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，∴A（0，﹣），将A（0，﹣），C（5，0）分别代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直线AC的函数表达式为：y＝x﹣，（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣经过B（﹣1，0），C（5，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点D的坐标为（2，﹣4）；（3）①如图1，∵△GHK为直角三角形，且点R，点G分别位于直线CD的两侧，∴∠GHK＝90°或∠HGK＝90°或∠GKH＝90°，当∠GHK＝90°时，∠GHD＝90°，点R落在直线DC上，不符合题意，当∠HGK＝90°时，∠DGH＝∠HGK＝90°，点R，点G位于直线CD的同侧，不符合题意，当∠GKH＝90°时，点R，点G分别位于直线CD的两侧，符合题意，∴∠GKH＝90°，∠DGH＝∠RGH，过点H作HL⊥DG于点L，则HL＝HK，∵D（2，﹣4），DG⊥x轴，∴G （2，﹣），F （2，0），∴DG ＝﹣﹣（﹣4）＝，CF ＝5﹣2＝3，DF ＝4，∴CD ＝＝＝5，∵∠DFC ＝∠GKH ＝90°，∠GDK ＝∠CDF ，∴△GDK ∽△CDF ，∴＝＝，即＝＝，∴GK ＝，DK ＝，∵S △GKH +S △GDH ＝S △GDK ，∴××HK +××HL ＝××，故答案为：；②∵△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，∴PQ ＝DQ 或PQ ＝DP ，当PQ ＝DQ 时，如图2，由旋转知：点H 到PQ 、DQ 的距离相等，∴QH ⊥DP ，DH ＝HP ，由①知HL ＝HK ＝，∵HL ∥CF ，∴＝，即＝，∴DL ＝，∴L 的纵坐标为﹣4＝﹣，即H 的纵坐标为﹣，∵H 为D 、P 的中点，∴P 的纵坐标为﹣，当PQ ＝DP 时，如图3，点P 为DQ 的垂直平分线与CD 的交点，∵H （，﹣），∴经过点H平行MN的直线为y＝﹣x+，∵点H到直线MN的距离为，∴直线MN的解析式为y＝﹣x﹣，∵直线CD的解析式为y＝x﹣，∴P（，﹣）；综上所述，点P的纵坐标为﹣或﹣．13．（2021•莱芜区三模）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t 的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x 轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M 的坐标．【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x+3），将C（0，﹣3）代（2）如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．利用待定系数法求出直线BE的解析式，根据抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T（0，t）旋转180°，可得四边形BEB′E′是平行四边形，运用平行四边形性质即可求得答案；（3）设P（x，﹣x2﹣4x﹣3），根据以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况分别讨论即可：①当∠BP1C＝90°时，③当∠P3BC＝90°时，③当∠P3BC＝90°时，④当∠BCP4＝90°时．【解答】解：（1）∵二次函数过点A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x+3），将C（0，﹣3）代入，得：3a＝3，解得：a＝﹣1，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．由（1）得y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，。
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
中考复习专题：二次函数与几何的综合题PPT课件
10
即y=∴∴13x–二23–次=a函83(0x数+–13的)．(0解–析9)，式解为4分得y=a=13(x3+1，)(x–9)，
（2０11资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c(a<0)过原点，与x 轴的另一个交点为B(4，0)，A为抛物线C的顶点．
(1) 如图14-1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；(3分)
2008年资阳24．（本小题满分12分）如图10，已知点A的坐标是（－1，0），
点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、 BC，过A、B、C三点作抛物线． （1）求抛物线的解析式；
解：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
3.联立函数表达式.
互转化的基础是：点坐标与线段长。 一般解题思路是：
解析式方程组的解是图像交点坐标
（1）已知点坐标 线段长，线段长 点
坐标；
（2）用待定系数法求函数解析式；
（3）解析式 点坐标 线段长 面积
及其它。
（压轴题07） 点P为抛物线 y x2 2mx m2 (m为常数， )上任m一点0，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90度后得到的 新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q 为点P旋转后的对应点.
(2) (3分) 求点D的坐标；
三垂直：横平竖直
F
O'D=O'A=2,DC=AC=4 ∆DO'F∽∆CDM,类似比1：2 设O'F=a，DF=b。 则DM=2a，CM=2b。 所以，2a+b=4.且2+a=2b。
DN=DF-FN=3/5
N
中考二次函数复习课件ppt(精选文档)
__________
1、已知抛物线经过三点(1,3)、 (-1,-1) 、 (2,-7)，设抛物线解析式为____________+c (a≠0)
（2）对称轴位置由 a和b 决定 ∵抛物线经过点B(4,0)
答：横向活动范围是6米。 ∴抛物线的顶点纵坐标y=2
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
6–
3–
-2 -1
12
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(-1，3)， (1，3) ， (2，6) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
2
y
所示，则a、b、c 、 的符号为（ C） 设抛物线解析式为y=a(x-h)+k
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 二次函数的图象及性质
的△纵坐标是3 。
又∵抛物A线、的顶a点>在直0线,yb=x=+1上0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0
∴a (3-1)2+2=-6 ∴a=-2
顶点式 y=a(x-h) +k (a≠0)
(4)与x轴的交点位置由 △ 决定 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
__________
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
抛物线
春中考数学《二次函数：全等三角形的存在性问题》课件
理解偏差
对于全等三角形的理解存 在偏差，导致在应用判定 定理时出现错误。
判定方法的实际应用
解题技巧
在解决二次函数问题时，利用全 等三角形的存在性判定可以简化
解题过程。
实际应用
全等三角形的存在性判定在实际生 活中也有广泛的应用，例如在几何 图形的设计和制作中。
拓展应用
通过全等三角形的存在性判定，还 可以进一步探究二次函数图像中的 其他几何性质和规律。
高难度练习题3
题目内容涉及二次函数的最值求解和全等三角形 的证明，以及数学思想的运用。
基础练习题答案
详细解答每个基础练习题的解题思路和步骤，帮助 学习者掌握基础知识。
中等难度练习题答案
详细解答每个中等难度练习题的解题思路和步骤 ，提高学习者的解题能力。
高难度练习题答案
详细解答每个高难度练习题的解题思路和步骤，激发学 习者的创新思维和数学素养。
总结词
基础题目是全等三角形存在性问题的入门级题目，主要考察学生对基础概念和 公式的掌握程度。
详细描述
基础题目通常包括简单的图形变换、基本的全等条件和简单的计算。通过这些 题目，学生可以熟悉全等三角形存在性问题的基本解题思路和方法，为解决更 复杂的问题打下基础。
中等难度题目解析
总结词
中等难度题目是在基础题目上的提升，需要学生具备一定的 推理和问题解决能力。
详细描述
这类题目通常涉及到更复杂的图形变换、多个全等条件的应 用以及一些计算技巧。学生需要通过仔细分析图形和条件， 逐步推导出结论，并能够运用所学知识解决实际问题。
高难度题目解析
总结词
高难度题目是全等三角形存在性问题的最高级别题目，对学生的推理、计算和问题解决能力有很高的要求。
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
专题七--二次函数全等三角形的存在性问题PPT课件
把A(2 3 ，0)，B(0，2)分别代入y＝－ 3 x2＋bx＋c中，得b＝ 3 ，c＝2，
∴抛物线的表达式为y＝－ 3
x2＋
3 3 x＋2；
3
(2)∵OA＝2 3 ，OB＝2，由勾股定理，得AB＝ OA2OB2 ＝4，
∴∠BAO＝30°.
运动t秒后，AQ＝t，BP＝2t.
由△APQ为等腰三角形，有QA＝QP，AP＝AQ，PA＝PQ三种情况，
例题图
解：如解图②，以AB为直径作⊙M，且由解图易知，存在两条过点E且与
⊙M相切的直线l1，l2，切点分别为P、Q，连接MP，MQ， ∵AB＝6，∴以AB为直径的⊙M的半径为3，即M(－1，0)，
设切点Q坐标为(m，n)，且m>0，∵MQ⊥EQ，ME＝5，MQ＝3，
由勾股定理得EQ＝ M E2M Q2 5232＝4，
2
4
∴P1′( ，5 7)，此时P2′与C点重合，∴P1′ (
24
， 5) ，7
24
P2′(2，0)．
综上所述，满足条件的P1，P2点的坐标分别为P1(－1，0)，
P2(1，－2)；P1′ (
，52
7
4)
，P2′(2，0)．
例题解图
针对演练 1. (2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ 3 x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，与
典例精讲 例 (2017铜仁25(1)(2))如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(0，
－2)，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M、B、C三
点不在同一直线上)． (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
【思维教练】将点A、B分别代入抛物线的表达 式，通过解方程组，可得到b，c的值．
中考数学复习---《二次函数与三角形全等、相似(位似)有关的问题》PPT典型例 题讲解
本课结束
中考数学复习---《二次函数与三角形全等、相似（位似） 有关的问题》PPT典型例 题讲解
1、如图 1，已知二次函数 y ax2 bx ca 0 的图像与 x 轴交于点 A1,0 、 B2,0 ，与
y 轴交于点 C，且 tanOAC 2 ．
(1)求二次函数的解析式； (2)如图 2，过点 C 作 CD∥x 轴交二次函数图像于点 D，P 是二次函数图像上异于点 D 的一
示出△PBC 的面积，根据 S△PBC=S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当 P 在第一象限，同
样的方法求得结果；
（3）作 PN⊥AB 于 N，交 BC 于 M，根据 P（t， t2 t 2 ），M（t， t 2 ），表示出 PM 的长，
根据 PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出 PQ PM ，从而得出 PQ 的函数表达式，进一
2
∵抛物线的对称轴为 y= 1 ，CD∥x 轴，C（0，-2）， 2
∴点 D（1，-2），
∴CD=1，
∴S△BCD= 1 CD·OC， 2
∴ 1 PE·OC= 1 CD·OC，
2
2
∴a2-2a=1，
解得 a1=1+ 2 （舍去），a2=1- 2 ；
当 x=1- 2 时，y= a2 a 2 =a-1=- 2 ，
当 a=1+ 2 时，y= a2 a 2 = 2 ， ∴P（1+ 2 ， 2 ），
综上所述，P 点坐标为（1+ 2，2 ）或（1- 2， 2 ）；
(3) 如图，作 PN⊥AB 于 N，交 BC 于 M，
由题意可知，P（t， t2 t 2 ），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（ t2 t 2 ）=- t2 2t ，
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
2024年九年级数学中考专题：二次函数相似三角形问题 课件
04
方法归纳
四、方法归纳
在平面直角坐标系中，二次函数背景下 当两个三角形相似，求点的坐标，一般 情况下，相似的两个三角形都是特殊的 三角形（常见直角三角形），且有一条 直角边在坐标轴上，或者垂直平行坐标 轴，结合相似三角形模型，对应边成比 例，求出点的坐标即可
05
学以致用
五、学以致用
如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点。 (1)求出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以 A，P，M为顶点的三角形与ΔOAC相似?若存在，请求出符合条件的点P的 坐标；若不存在，请说明理由
一、相似三角形
相似三角形判定：(1)两角对应分别相等的两个三角形相似。 (2)三边对应成比例的两个三角形相似。 (3)两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形 相似。
02
相似三角形模型
(1) A字型(反A型)
二、相似三角形模型
(2)8字型(反8型)
(3)一线三垂直
二
例题讲解
三、例题讲解
抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-3,0)，顶点D 的坐标为(-1,4) (1)求抛物线的表达式和B、C两点的坐标 (2)连接AD 、 AC 、 CD 、 BC，在y轴上是否存在点M，使得以M 、B 、 C 为顶点的三角形与ΔACD相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请 说明理由
中考专题： 二次函数三角形相似问题
目录
01
02
03
04 05
相
相
例
方
学
似
似
题
法
以
三
三
讲
归
中考复习讲义-二次函数与三角形综合讲义资料(Word版)
一、二次函数与三角形在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：1.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到． 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积． ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---.所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．()()()()()()111222ABC ADEB CFEB ADFC A B A B B C B c C A C A S S S S x x y y x x y y x x y y ∆=-++=-++-++-+4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与0x y ±=平行，则可以快速求解．12ABC S h BC ∆=⋅．中考要求知识点睛二次函数与三角形问题一、二次函数与三角形综合【例1】 已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点(36)A -，并且与x 轴相交于点(10)B -，和点C ，顶点为P（1）求二次函数的解析式；（2）设D 为线段OC 上一点，满足DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标【巩固】如图，已知平面直角坐标系中三点(20)(02)(0)A B P x ，，，，，(0)x <，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点(2)C y ， （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与的交点Q 的坐标。
人教九年级上册数学课件二次函数与三角形综合专题ppt文档
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE 的面积有最大值．
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，
交x轴于点D，
设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣xx+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB
1EF•OD1EF•BD1EF•OB
1
5
SCM N2
5
5 2
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当 以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时， 请直接写出此时△CMN的面积．
②以点M为直角顶点且M在x轴下方 时，如图3，作辅助线，构建如图所 示的两直角三角形：Rt△NEM和 Rt△MDC， 得Rt△NEM≌Rt△MDC， ∴EM=CD=5，MD=ME=2， 由勾股定理得：M C2252 29
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当 以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时， 请直接写出此时△CMN的面积．
（4）以点C、M、N为顶点的三角形为等 腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时， 如图2，CM=MN，∠CMN=90°， 则△CBM≌△MHN， ∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1， ∴M（1，2），N（2，0）， 由勾股定理得：M C2212 5
1
29
SCMN2
29
29 2
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当 以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时， 请直接写出此时△CMN的面积．
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时， 如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作 辅助线， 同理得：M C3252 34
初三二次函数ppt课件ppt课件ppt课件
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。
人教版中考数学一轮复习--二次函数与三角形的综合应用(精品课件)
若不存在，请说明理由．
(图1)
解：存在．∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，∴CCOP＝CCDB＝OPDB.
∵SS12＝CCDB，SS23＝CCOP，∴SS12＋SS23＝2CCOP.
(答图3)
如答图 3，过点 P 作 PH⊥x 轴，垂足为 H，PH 交 AB 于点
①若－1≤a≤－ 1 ，求线段MN长度的取值范围； 2
解：由(2)知ax2＋(a－2)x－2a＋2＝0， ∵a≠0，∴x2＋1－2ax－2＋2a＝0， ∴(x－1)x－2a－2＝0，解得 x＝1 或 x＝2a－2，
将 x＝2a－2 代入 y＝2x－2，得 y＝4a－6， ∴N 点的坐标为2a－2，4a－6. ∴MN2＝2a－2－12＋(4a－6)2＝2a02 －6a0＋45＝20(1a－32)2. ∵－1≤a≤－12，∴－2≤1a≤－1， ∴易知 MN2 随1a的增大而减小，
ax＋b有一个公共点M(1，0)，且a<b. (3)直线与抛物线的另一个交点记为N.
②求△QMN面积的最小值．
解：如答图
1，作抛物线的对称轴
x＝－12交直线
(答图1) y＝2x－2 于 E
点，将 x＝－12代入 y＝2x－2，得 y＝－3，∴E－12，－3.
设△QMN 的面积为 S，
∵M(1，0)，N2a－2，4a－6，a<0， ∴S＝S△QEN＋S△QEM＝12|(2a－2)－1|·|－94a－(－3)|＝247－3a－278a， ∴易得 27a2＋(8S－54)a＋24＝0， ∴Δ＝(8S－54)2－4×27×24≥0，即(8S－54)2≥(36 2)2. ∵a<0，∴S＝247－3a－278a>247，
中考复习 数学压轴题二次函数与三角形存在性问题破解策略课件)
16 3- 137
= ;
153 16
,
当 TA=AC 时,得 t2+16= 16 ,无解; 当 TA=TC 时,得 t2- t+ =t2+16, 解得 t3=- ;
8 77 16 25
153
综上可知,在抛物线y2的对称轴l上存在点T使△TAC是等腰三角形, 此时T点的坐标为
T1(1,
3+ 137 4
所以,抛物线 y1 的解析式为
因为抛物线 y1 平移后得到抛物线 y2,且顶点为 B(1,0), 1 所以抛物线 y2 的解析式为 y2=-4(x-1)2, 即
1 2 1 1 y2=- x + x- ; 4 2 4
(2)抛物线y2的对称轴l为x=1,
设 T(1,t),已知 A(-3,0),C(0, ),
QR=2-2m, 又因为以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等, 当PQ=GM且QR=AM时,m=0,
4 2 4
可求得 P(0, ),即点 P 与点 C 重合, 所以 R(2,- ). 设 PR 的解析式 y=kx+b, 则有 ������ = 4 ,
3 4 1 4
3
2������ + ������ = - 4 .
坐标,注意要根据题意舍去不合题意的点.
(1)求抛物线y2的解析式; (2)如图2,在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在 ,请求出所有点T的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点
Q,点Q关于直线l的对称点为R.若以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG
2
∴抛物线的表达式是
2 2 8 y= x +2x- . 3 3
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(老师版)
专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
要点补充：专项训练一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设三角形运动速度为1，分0≤t≤2时，2＜t≤2时，2＜时，时五种情况，可知等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，分别求出函数关系式，即可得出答案． 【详解】∵等腰直角三角形的直角边长为1， ∵当s ＝12×1×1+2×2﹣212t ⨯＝92﹣12t 2；s ＝22-12+2×12t)2=t 2﹣112；t≤2时，s ＝2122-×1×1＝72；当2＜时，s ＝22-2×12(t -2)2=t 2﹣4t+152；当2+2＜s ＝22+12-2×12t+2）2=92t+2）2，∵等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，且变小、变大时的图象为抛物线，不变时的图象为直线， ∵A 符合要求， 故选：A ． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712【答案】B 【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0＜d ＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物线与x 轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得d 的值 【详解】解： 直线l ：13y x b =+经过点M （0，14）则b=14，∵直线l ：1134y x =+由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∵该等腰三角形的高等于斜边的一半 ∵0＜d ＜1∵该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）∵当x=1时，11173412y =+=＜1；当x=2时，221113412y =+= ＜1； 当x=3时，315144y =+=＞1； ∵美丽抛物线的顶点只有12,B B ∵若1B 为顶点，由17(1,)12B ，则7511212d =-= ， ∵若2B 为顶点，由211(2,)12B ，则11111(2)11212d ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线． 故选B ． 【点睛】此题主要考查抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性．3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16B．15C．14D．13【答案】C【详解】根据在OB上的两个交点之间的距离为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，∵一共有7条抛物线．同理可得开口向上的抛物线也有7条．∵满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．4．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果∵ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）。
中考专题复习—二次函数与三角形综合问题PPT课件
C 出 b2 4ac吗？
A
D BX
4. 从上面的探索中我们看到解析式中 的△与∠ACB有关，那么如果△ACB是 等边三角形，则△是多少？
Y
A
BX
C
最后, ①思因果 ;
③思多解 ;
⑤思归类;
②思规律 ; ④思变通; ⑥思错误．
y
-1 AO
3 Bx
C M
解:设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3),
即y=ax2－2ax－3a,
y
∴C点与M点坐标分别是
(0,－3a)、 (1,－4a) S△ACB= 12×4×3a=6a ∴S△ACM=S△AOC+S梯形OCMD－S△ADM
-1 D
AO
C 2 ×1×3a+ 2 ×(3a+4a) ×1－ ×2 2×4a
设抛物线解析式为yax1x3即yax2ax3a梯形ocmd13a3a4aacbacmaxbx思维拓展学以致用学以致用设此抛物线的顶点为p对称轴与线段ac相交于点q轴上有一动点m当mqma取得最设ac与y轴交与d点e点坐标为01抛物线对称轴上找一点g使四边形afge的周长最短并求出当四边形周长最短时的点fg点坐标并求出四边形afge的周长
y
A
Q
D
．E
C
O
B
x
P
1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴 分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。 若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解 析式。
解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0） y
OB=1， ∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA·OB=4
2019年秋九年级数学复习课件：第五讲 第1课时 二次函数与三角形的综合
限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标
为 m，过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为点 M， PM 交 BC 于点 Q，过点 P 作 PE∥AC 交 x
图5－1－4
轴于点 E，交 BC 于点 F.
• (1)求A，B，C三点的坐标； • (2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样
的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等 腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的 坐标；若不存在，请说明理由； • (3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求 解：出(1m)当为y何＝0值，13时x2－Q13Fx有－最4＝大0，值解．得 x1＝－3，x2＝4，
解得 n＝0，即 P1－32，0；
当 AC＝CP 时，AC2＝CP2，94＋(2－n)2＝5，
解得 n1＝2＋ 211，n2＝2－ 211，
则 P2－32，2＋
211，P3－32，2－
11
2
.
综上所述，使得以 A，C，P 为顶点的三角形是等腰三角形的点
P 的坐标为－32，0，－32，2＋ 211或－32，2－ 211.
轴于A，B两点，
y＝－12x2－32x＋2
• 交y轴于点C，则平移后的函数表达式为
_______________；
• (2)判断△ABC的形状，并说明理由；
• (3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使
得以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
图5－1－3 解：(2)△ABC 是直角三角形．理由：
∵∠FGP＝∠AOC＝90°，∴△FGP∽△AOC，
∴FOGA＝CPGO，即F3G＝P4G，
∴PG＝43FG＝43·22FQ＝2 3 2FQ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
--------思考与探索
例1:已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于
A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与
y轴交于C点，顶点为P，
S = △ AOC ______________
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
S△ BOC=_______
2
1
(-1,0)
A O
y
A
Q
D
．E
C
O
B
x
P
1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴 分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。 若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解 析式。
解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0） y
OB=1， ∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA·OB=4
BO
Ax
∴OC=2，点C（0，-2） C
Y 2、已知：抛物线与x轴的交点坐标为A(-1,0) 和B（3，0）,顶点为C,若∠ACB=90度.
C
A(-1,0) o
问1：C点的坐标是多少？ 问2：在抛物线的解析式 中，b2 4ac
B(3,0)
X
Y
3. 若题设中的A、B两点的坐标未
知，而已知∠ACB=90度，你能求
y
-1 AO
3 Bx
C M
解:设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3),
即y=ax2－2ax－3a,
y
∴C点与M点坐标分别是
(0,－3a)、 (1,－4a) S△ACB= 12×4×3a=6a ∴S△ACM=S△AOC+S梯形OCMD－S△ADM
-1 D
AO
C M
1
1
1
= 2 ×1×3a+ 2 ×(3a+4a) ×1－ ×2 2×4a
y A
Q
C
O
B
X
P
（3）在X轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小 值时，求点M的坐标
y
Q
C
O
B
P
A(3，6） x
A’
(4)设AC与Y轴交与D点，E点坐标为(0,1)， 在X轴上找一点F，抛物线对称轴上找一 点G，使四边形AFGE的周长最短，并求 出当四边形周长最短时的点F、G点坐标， 并求出四边形AFGE的周长。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=a
∴ SACM a 1
SACB 6a 6
3 Bx
例2、如图，一元二次方程
x22x30的二根
x
，
1
x2
（ x1 x 2 ）是抛物线 yax2 bxc与x轴的两个交点
B,C的横坐标，且此抛物线过 A (3，6 ) 点．
（1）求此二次函数的解析式．
y
A
C
O
B
X
【思维拓展】
学以致用
2）设此抛物线的顶点为p，对称轴与线 段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标．
C 出 b2 4ac吗？
A
D BX
4. 从上面的探索中我们看到解析式中 的△与∠ACB有关，那么如果△ACB是 等边三角形，则△是多少？
Y
A
BX
C
最后, ①思因果 ;
③思多解 ;
⑤思归类;
②思规律 ; ④思变通; ⑥思错误．
B(3,0)
2
S△ COP=_______
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
2
S△ PAB=_______ (-1,0) 1
A
O
2
(3,0)
B
(1,4) D E4E P
S△ PCB=_______
(0,3) C 3
2
S△ ACP=_______ 1
(-1,0)
A
FF
O
2
(3,0)
B
例：在平面直角坐标系中，有两点A（-1， 0），B（3，0），如图，小敏发现所有过A，B 两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为 抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不 变，请你求出这个比值。