两角和与差公开课教案
角的和与差教案
角的和与差教案教案标题：角的和与差教学目标：1. 理解角的和与差的概念；2. 能够计算角的和与差；3. 运用角的和与差解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、白板、黑板笔、教学PPT、角度模型等；2. 学生准备：角度量具、练习册。
教学过程：Step 1: 引入新知1. 教师通过投影仪或黑板上的图形，向学生展示两个角度的示例，并引导学生观察和思考它们之间的关系。
2. 教师提问学生：两个角度的和与差分别是什么？学生回答。
3. 教师解释角的和与差的概念，并给出相应的定义。
Step 2: 角的和的计算1. 教师通过投影仪或黑板上的图形，向学生展示两个角度之和的示例，并引导学生观察和思考如何计算它们的和。
2. 教师讲解计算角的和的方法，并通过例题进行讲解和演示。
3. 学生在黑板上或练习册上完成相应的练习题，巩固角的和的计算方法。
Step 3: 角的差的计算1. 教师通过投影仪或黑板上的图形，向学生展示两个角度之差的示例，并引导学生观察和思考如何计算它们的差。
2. 教师讲解计算角的差的方法，并通过例题进行讲解和演示。
3. 学生在黑板上或练习册上完成相应的练习题，巩固角的差的计算方法。
Step 4: 实际问题应用1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用所学的角的和与差的知识来解决问题。
2. 学生在小组或个人中讨论解决方案，并向全班展示他们的解决思路和答案。
3. 教师对学生的解决方案进行评价和指导。
Step 5: 总结与拓展1. 教师与学生共同总结角的和与差的计算方法和应用技巧。
2. 教师提供一些拓展问题，要求学生进一步应用所学知识解决更复杂的问题。
3. 学生在小组或个人中完成拓展问题，并向全班展示他们的解决思路和答案。
Step 6: 作业布置1. 教师布置相应的作业，要求学生巩固和练习所学的知识。
2. 学生完成作业，并在下节课上提交。
评估与反馈：1. 教师通过课堂观察、学生的练习册和作业，对学生的学习情况进行评估。
两角和与差的三角函数教案
教与学过程设计第一课时两角和与差的余弦、正弦、正切（一）（一） 引入上次我们曾留了个问题，求75cos =？对于象750（可以看成300+450）这样的半特殊角，虽然能通过查表来求其三角函数值，但太麻烦，能不能不查表求值呢？这就牵涉到两角和的三角函数问题，今天我们就开始学《两角和与差的余弦、正弦》（板书）。
对于任意角βα,，βαβαcos cos )cos(+=+吗？显然：)3045cos(75cos+=≠30cos 45cos +>1，矛盾。
故βαβαcos cos )cos(+≠+。
那)cos(βα+应该等于什么呢？ （二） 新课一、平面内两点的距离公式在学这部分内容之前我们还需先掌握一个有力的工具——平面两点间的距离公式。
实例1：解决x 轴上两点的距离A ：已知点M 1（3，0）和M 2（7，0）。
问这两点的位置在那里？它们之间的距离是多少？如何计算？B ：已知点M 1（3，0）和M 2（-7，0）。
问这两点的位置在那里？它们之间的距离是多少？如何计算？C ：归纳：M 1M 2=|x 2-x 1|D ：学生理解、记忆片刻后问：如果两点在y 轴上呢？情况会如何？（目的：训练学生类比思维）实例2：解决y 轴上两点之间的距离A ：归纳：N 1N 2=|y 2-y 1|B ：已知点N 1（0，3）和N 2（0，-7）。
问这两点的位置在那里？它们之间的距离是多少？如何计算？实例3：解决坐标平面上任意两点之间的距离B ：已知点P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）为坐标平面上任意两点。
问它们之间的距离是多少？如何计算？C ：归纳：P 1P 2=212212)()(y y x x -+-（口诀：平面上两点之间的距离等于它们坐标差的平方和的算术根）D ：求P 1（-3，4）与P 2（2，-6）之间的距离。
（答案：55）二、两角和的余弦公式的推导1．在直角坐标系中，单位圆与x 轴的正半轴交于P 1（1，0）；以Ox 为始边作出角，角α的终边与单位圆交于P 2，其坐标为？（cos α,sin α）2．以OP 2为始边作角β，其终边与单位圆交于P 3，其坐标为？（cos(α+β),sin(α+β)），为什么？3．再作出角-β，其终边与单位圆交于P 4，其坐标为（cos(-β),sin(-β)）； 4.连接P 1P 3，P 2P 4，线段P 1P 3，P 2P 4之间有什么关系？由三角形全等知，P 1P 3=P 2P 4； 5．利用两点间的距离公式，我们可得到：[][][]2222sin )sin(cos )cos()(sin 1)cos(αβαββαβα--+--=++-+整理，得：)sin sin cos (cos 22)cos(22βαβαβα--=+- 所以注意：这个公式对任意的角βα,都成立。
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结=，(0,)=,(0,),［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+ktan( tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-)=来处理等=,sin(-),cos(+),tan(-=,=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C. D. 4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练3在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C七、课堂小结<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。
两角和与差的三角函数教案
两角和与差的三角函数教案教案名称：两角和与差的三角函数教学目标：1.理解两角和与差的概念，并能用两角和与差的公式求解相关问题；2.掌握两角和与差的正玄、余玄、正切函数的性质和计算方法；3.发展学生的逻辑思维和分析问题的能力。
教学重点：1.两角和与差的概念与两角和与差的公式；2.两角和与差的正玄、余玄、正切函数的性质。
教学难点：1.运用两角和与差的公式求解相关问题；2.灵活运用两角和与差的正玄、余玄、正切函数的性质。
教学准备：教材、教具、多媒体设备、黑板、白板、彩色粉笔、课件。
教学过程：一、导入（10分钟）1.通过投影或黑板写出两个角的三角函数表达式，让学生思考如何将这两个角进行运算。
2.提问引导学生回忆两角和与差的概念，了解两角和与差的意义及其应用。
二、讲授（25分钟）1.让学生通过观察角的图形和其三角函数的变化关系，探讨两角和与差的三角函数性质。
2.教师通过示例讲解两角和与差的正玄、余玄、正切函数的公式与计算方法，并结合应用题进行实际运算练习，帮助学生掌握。
三、练习与拓展（30分钟）1.出示一些运用两角和与差的公式进行计算的练习题，引导学生分析题目的关键信息，使用两角和与差的公式求解问题。
2.给出一些拓展题，要求学生灵活运用所学知识，解决具有一定难度的问题，培养学生的综合运用能力。
四、巩固与展示（25分钟）1.学生上台展示所做的一道练习题，并解答同学的提问，加强对知识点的理解。
2.教师对学生的展示进行点评，总结两角和与差的应用要点，强调解题方法与技巧。
五、课堂小结（10分钟）1.教师对本节课的重点、难点进行总结，强调两角和与差的重要性和应用场景。
2.布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够掌握两角和与差的公式，并能运用于实际问题的解答中。
教师通过引导学生观察和探究，培养了学生的自主学习能力和分析问题的能力。
同时，在练习与拓展环节的设计上，提高了学生的综合运用能力和解决复杂问题的能力。
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第一课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）》教学设计1．经历探索两角差余弦公式的过程，发展学生逻辑推理素养．2．掌握公式()C αβ-，初步体会公式()C αβ-的意义，发展学生逻辑推理、数学运算素养． 教学重点：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． 教学难点：发现差角余弦公式与圆的旋转对称性间的联系．Geogebra 软件、PPT 课件．资源引用：【知识点解析】认识两角差的余弦公式【知识点解析】运用公式给角求值问题的一般思路（一）整体感知 引导语：本节我们主要的研究内容是：三角恒等变换，即在不改变含有三角函数的式子的值的前提下，对式子变形．三角恒等变形在求值、化简、证明中有着十分广泛的应用．之前我们学习过的同角三角关系和诱导公式，都是三角恒等变换的重要工具．今天我们在此基础上学习新的恒等变换公式．问题1：我们之前学习过诱导公式，它们的共同点是，等号左侧都是一个终边落在坐标轴上的特殊角与一个任意角的和或差，现在，我们希望将它们一般化，得到新的公式．你认为新公式应具备怎样的特点？预设的师生活动：学生思考并回答，教师进行引导并排除不合理的回答． 预设答案：新公式应该含有两个任意角的和或差．设计意图：对诱导公式进行梳理归纳，引出任意两个角的和与差，为后续的学习和研究指明方向．同时，指明了诱导公式与即将研究的和角、差角公式之间是特殊与一般的关系． 问题2：之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式，你还记得当时我们证明诱导公式的思路和步骤吗？预设的师生活动：学生回顾并回答，教师可酌情引导学生复习回顾．预设答案：第一步，从“形”的角度出发，找到相互对称的两个角的终边关系；第二步，从“数”的角度考虑，写出单位圆上相互对称的的点的坐标；第三步，“数形”融合，将前两步的结果整合，得出结论．设计意图：回顾诱导公式的证明思路，可供随后探究差角余弦公式时参考借鉴．（二）新知探究问题3：先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式，下面我们继续借助单位圆，采用同样的思路研究含有两个任意角,αβ的三角恒等变形公式．首先，我们考虑两个任意角终边不重合时的情形．如果已知任意角,αβ的正弦、余弦，那么cos()αβ-与它们有什么关系呢？设计意图：这个问题直接指向本课时的核心内容，但学生暂时难以解答，故通过以下追问引导学生逐步接近答案．追问1：首先我们从“形”的角度出发，你认为该问题中涉及到的基本角有哪些？请你将它们连同单位圆一起画在坐标系中，将重要的点标注出来，并观察图形，你能发现哪些可能有用的等量关系．预设答案：基本角为,,αβαβ-，重要的点包括三个角的终边与单位圆的交点(依次记为11,,P A P )，始边与单位圆的交点A ．可能有用的等量关系是11PA PA =．师生活动：学生按照要求作图，并寻找等量关系，若寻找时遇到困难，教师演示动态几何图形，帮助并引导学生发现11PA PA =，或找多名同学展示他们作出的图形，让学生们根据多幅图形寻找共同规律．此外，学生可能在此环节得到其它“没用”的等量关系，教师亦可收集起来，与学生们探讨其是否“有用”，最终将其它“没用”的等量关系剔除掉．设计意图：引导学生发现导出公式()C αβ-的关键步骤：11PA PA =．追问2：你能证明这个等量关系吗？预设的师生活动：教师演示动态图形，验证猜想的正确性不会随着角,αβ终边位置的改变而改变．学生通过思考或交流，完成证明．如果必要的话，教师可以简单介绍圆的各种对称性(包括圆的旋转对称性在内)作为提示．预设答案：可以借助圆的旋转对称性证明11A P AP=，进而得到11A P AP =；可以借助圆的旋转对称性证明三角形OAP 与三角形11OA P 全等，进而得到11AP A P =；或者直接利用圆的旋转对称性证明线段11,A P 端点在旋转后分别与,A P 重合，从而11AP A P =．设计意图：引导学生借助圆的旋转对称性完成关键步骤11AP A P =的证明．追问3：接下来，我们从“数”的角度考虑，你能写出刚刚得到的几何等量关系式中出现过的点的坐标吗？预设的师生活动：学生按照要求写出坐标，教师演示动态图形，指出各点的坐标不会随着,αβ终边位置的变化而变化．预设答案：1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Aββ，(cos(),sin())P αβαβ--，(1,0)A ． 设计意图：参照先前发现并证明诱导公式的思路，按部就班地进行操作．同时也在为将来学习平面解析几何提供预备性体验．追问4：已知平面直角坐标系任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则点12,P P 之间的距离d =．请你借助以上“两点间的距离公式”，融合以上“形”与“数”的探究，你能得到什么结论？预设的师生活动：教师可运用勾股定理对距离公式进行简单的推导．学生综合各方面信息进行演算，教师可指派若干学生对其结果进行交流展示．预设答案：根据两点间距离公式，结合11PA PA =，有= 整理得cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ (*)．设计意图：通过一系列追问作为引导，彻底完成问题2的解答．问题4：如果两个任意角终边重合，上述结论成立吗？预设答案：当,αβ终边重合时，cos cos ,sin sin αβαβ==，此时等式(*)左侧cos 2π1k ==，右侧22sin cos 1αα=+=，两侧的值相等，因此上述结论仍然成立．设计意图：完成公式另一种情况的论证，在这个过程中，也体现了分类与整合的数学思想，有利于培养学生严谨的思维习惯．教师讲解：综合问题3与问题4的结果，可知cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+对任意角,αβ均成立．此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦与其差角αβ-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-．★资源名称：【知识点解析】认识两角差的余弦公式★使用说明：本资源展现“认识两角差的余弦公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．例1 证明：（1）cos(π)cos x x -=-； （2）πcos sin 2x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （3）cos()cos x x -=； （4）cos(π)cos x x +=-．预设的师生活动：可以叫四位同学上黑板做，然后教师点评．预设答案：证明：（1）将公式()C αβ-中的,αβ分别替换为π,x ，得cos(π)cos πcos sin πsin cos x x x x -=+=-；（2）将公式()C αβ-中的,αβ分别替换为π,2x ， 得πππcos cos cos sin sin sin 222x x x x ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭； （3）将公式()C αβ-中的,αβ分别替换为0,x ，得()cos 0cos0cos sin0sin cos x x x x -=+=；（4）将公式()C αβ-中的,αβ分别替换为π,x -，得cos(π+)cos[π()]cos πcos()sin πsin()cos x x x x x =--=-+-=-．设计意图：（1）（2）为公式()C αβ-的直接套用，可加强学生对公式的熟悉程度；（3）只需将x -看作0x -即可；（4）需将公式()C αβ-中的,αβ分别替换为π,x -，这为下一课时中公式()C αβ+的证明做好铺垫．以上诱导公式虽在之前已经证明，但在此由公式()C αβ-为出发点再次进行推证原因有二：一是新证法更加简捷明了，二是凸显出公式()C αβ-的重要意义．问题5：结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式(含有一个任意角和一个特殊角)相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式()C αβ-之间的关系吗？试一试．预设的师生活动：学生思考并交流后，交流展示，教师对学生们的回答进行梳理总结，最终形成比较完备的答案．预设答案：从区别与联系两个方面解读二者的关系：二者的区别是：第一，适用场合不同，二者涉及到的任意角的数量不同，因此适用的场合并不一样，诱导公式适用于关于一个特殊角与一个任意角代数和的恒等变换问题，差角余弦公式适用于关于两个任意角的差角的余弦值的恒等变换问题，第二，功能不同，诱导公式可以实现改变函数名称，将求任意角的三角函值转化为求锐角三角函数值的问题等功能，这些功能是()C αβ-不具备的，但公式()C αβ-具备求出两个任意角的差角的余弦值的功能，这是诱导公式不能完成的；二者的联系是：第一，差角余弦公式中含有两个任意角，将其中一个替换为特殊角，即可推导出部分诱导公式，因此()C αβ-是更上位的公式；第二，二者均为三角恒等变换的重要变形依据，它们均可以经由圆的对称性质推导得到．设计意图：对诱导公式和差角公式的关系进行梳理，帮助学生厘清关系，培养学生辩证分析问题的思维方式．例2 借助公式()C αβ-，解答以下题目：（1）计算cos15的值；（2）已知4sin 5α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cos 13β=-，β是第三象限角，求cos()αβ-的值． 追问：（1）中的角度并不是差的形式，你打算如何借助()C αβ-完成计算？（2）中cos ,sin αβ并没有直接给出，我们如何借助公式()C αβ-求得cos()αβ-的值？★资源名称：【知识点解析】运用公式给角求值问题的一般思路★使用说明：本资源展现“运用公式给角求值问题的一般思路”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：对于（1），我们可以把15化成我们熟悉的30,45,60等特殊角之中某两角的差的形式，再借助公式()C αβ-求解；对于（2），可以借助同角三角关系求出cos ,sin αβ，进而利用公式()C αβ-求解cos()αβ-．解：（1）(解法一)cos15=cos(4530)cos45cos30sin 45sin30-=+122224=+⋅=； (解法二)cos15=cos(6045)cos60cos45sin60sin 45-=+122224=⋅+=；（2）因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3cos 5α==-，因为β是第三象限角，故12sin 13β==-， 因此3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设计意图：通过两个比较简单的求值问题，促使学生进一步熟悉公式()C αβ-，能借助公式()C αβ-解决简单的三角恒等变换问题．（三）归纳小结问题6：请你回顾本节课的内容，思考以下问题：本课时出现过的哪些性质、公式、定理，它们之间具有怎样的推出关系？叙述公式()C αβ-，你在使用公式解决问题时有哪些心得体会？此外你还有哪些感悟？预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．预设答案：()C αβ-⎫⇒⇒⎬⇒⎭圆的旋转对称性诱导公式勾股定理两点间的距离公式． 使用()C αβ-时，由于,αβ均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、负角等等．cos()αβ-需要sin ,cos ,sin ,cos ααββ四个值齐备时方可算出，缺一不可，若有所缺，往往可以借助同角三角关系算出所缺的数值．公式()C αβ-中含有两个任意角，是诱导公式更上位的公式，可以推导出诱导公式；先从“形”的角度出发，再从“数”的角度考虑，最后融合“数”与“形”，似乎是一种探究数形关系的有效策略．设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络．（四）作业布置教科书习题5.5第1，2，3题．（五）目标检测设计1．已知15sin 17θ=，θ是第二象限角，求πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 2．已知π3ππ22αβ<<<<，且2sin 3α=，3cos 4β=-，求cos()αβ-的值．预设答案：1； 2设计意图：通过两个比较简单的求值问题，促使学生巩固同角三角关系及公式()C αβ-，提升数学运算素养．可对学生是否达到目标“能否运用公式()C αβ-解决简单的三角恒等变换问题”提供评测依据．。
《 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第二课时）》教学设计1．经历借助()C αβ-公式推导()C αβ+，()S αβ±，()T αβ±公式的过程，进一步体会公式()C αβ-的意义，发展学生逻辑推理素养．2．掌握()C αβ+，()S αβ±，()T αβ±等公式，发展学生逻辑推理、数学运算素养． 教学重点：经历从公式()C αβ-出发推导其它和角、差角公式的过程，进一步体会()C αβ-的意义．教学难点：和角与差角的正弦公式的推导；逆用公式进行恒等变换．PPT 课件． 资源引用：【知识点解析】认识两角和与差的余弦公式【知识点解析】认识两角和与差的正弦公式【知识点解析】认识两角和与差的正切公式（一）整体感知 引导语：前一节课我们根据三角函数的定义及圆的旋转对称性，借助两点间距离的坐标公式推导出了公式()C αβ-，今天我们将继续探究如何用任意角,αβ的三角函数表示cos(),sin(),tan()αβαβαβ+±±．（二）新知探究问题1：你能依据αβ+与αβ-之间的联系，利用公式()C αβ-，推导出两角和的余弦公式吗？★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的余弦公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的余弦公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生讲解其证明思路及具体证明过程，教师进行适当地点拨． 预设答案：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-(简记为()C αβ+)．设计意图：引导学生对解决目标与已学公式对比分析，寻找差异，获得新知．问题2：我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用已推出公式得到正弦公式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？请你试一试．★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的正弦公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的正弦公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明．教师巡视，对遇到困难的学生进行引导，收集学生们的不同证法，并找相应的学生展示其证法．预设答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下：ππsin()cos ()cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=--=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππcos cos sin sin 22sin cos cos sin αβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=-(简记为()S αβ-)．然后用β-替换上式中的β可得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+(简记为()S αβ+)．以上只是其中一种证法．设计意图：引导学生根据目前的公式与新目标之间的差异，制定方案，完成新公式的推导．问题3：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从()()S ,C αβαβ±±出发，推导出用任意角,αβ的正切表示tan(),tan()αβαβ+-的公式吗？★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的正切公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的正切公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明并展示．预设答案：证明顺序有两种，即先证和角正切公式，或先证差角正切公式；先证的公式直接由相应角的正弦与余弦相除即可，后证的公式除相除之外，还可以借助先证出的公式证明．如先证和角正切：sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++==--tan tan 1tan tan αβαβ+=-， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-(简记作()T αβ+)． 随后将β替换为β-，即可得到tan tan()tan tan tan()1tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβ+---==--+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ (简记作()T αβ-)． 公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+给出了任意角α，β的三角函数值与其和角αβ+的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-都叫做差角公式．设计意图：通过已推导出的公式获得更多的公式，在此过程中，学会用联系的思维方式，提升学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理素养．例1 已知sin α=−35，α是第四象限角，求sin (π4−α)，cos (π4+α)，tan (α−π4)的值． 追问1：题目中给出了几个条件？你能否由这些条件出发得到新的条件？为了得到题目要求出的三个数值，我们需要借助什么工具？需要哪些数据？这些数据是否已经出现在已知条件中或可由已知条件推出？预设答案：两个条件，即角α的正弦值与角α终边所在的象限．可以根据这些条件算出α的余弦值与正切值．为了求出所求数据，需借助和角公式与差角公式．需要的数据是α的正弦、余弦、正切值，以及π4的正弦、余弦正切值．这些数据均可从条件中轻易推出．解：由sin α=−35，α是第四象限角，得cos α=√1−sin 2α=√1−(−35)2=45， 所以tan α=sin αcos α=−3545=−34． 于是有sin (π4−α)=sin π4cos α-cos π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210； cos (π4+α)=cos π4cos α－sin π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210； tan (α−π4)=tan α−tan π41+tan αtan π4=tan α−11+tan α=−34−11+(−34)=－7．设计意图：本题目条件简单，问题明确，可加强学生对新学公式的认知程度．另外，本题目有利于培养学生分析问题和解决问题的良好思维习惯，即先认真分析条件，适度拓展条件，在明确任务，了解前进的方向，联想解决问题需要的工具(公式、定理等)、数据，再将这些所需的条件与已知条件及拓展条件相联系，逐步拉近已知条件与待求结论的距离．追问2：如果去掉“α是第四象限角”这个条件，则答案如何？预设答案：正确答案是，当α是第三象限角时，所求的三个三角函数值依次是17-；当α是第四象限角时，7．但有些学生可能会错误表达为sin (π4−α)的值为10-或10，cos (π4+α)的值为10-或10，tan (α−π4)的值为17-或7．这种错误的表述方式增加了搭配的可能性，解答的准确性大幅下降，教师若发现学生存在这样的表达方式，应及时指出．设计意图：对题目作简单的变式，一方面可以让学生巩固相关公式，对学生渗透分类与整合的数学思想，另一方面为培养学生表述问题的准确性提供了机会，同时也对追问3做了铺垫．追问3：观察追问2两种情况下的答案，你有什么发现？在本题条件下有sin (π4−α)=cos (π4+α)．那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？ 预设答案：等式对任意角α都成立．证明方法有多种，如等号左右两侧分别用()()S ,C αβαβ-+展开后比较；将π4α-或者π4α+换元，然后借助诱导公式即可证明． 设计意图：通过延伸，培养学生“观察现象——提出问题——解决问题”的科学思维品质，鼓励学生多观察，多思考，多提问．激发学生的发散性思维，一题多解．例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值：（1）sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；（2）cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；（3）sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；（4）1+tan 15°1−tan 15°．追问：以上4个问题有什么结构特征？你是否在某些公式中见到过这样的结构特征？ 预设答案：前3个问题都含有四个三角函数值，其中两个的乘积与另外两个的乘积作差，在正弦、余弦的和角与差角公式的等号右侧有过类似的结构特征；第4个问题仅含正切值，为分式形式，且分母中有常数1，与和角正切公式结构相似．设计意图：引导学生发现题目的结构特征，并联想相关公式，为解决问题提供了方向与线索．解：（1）由公式S (α-β)， sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°=sin(72°－42°) =sin 30°=12； （2）由公式C (α+β)，得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°=cos(20°+70°) =cos 90°=0；（3）(方法一) sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°= cos24° cos 36°－sin 36°sin 24°，由公式C (α+β)，原式=cos(36°+24°)=cos60°=12； (方法二) sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°= sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，由公式S (α-β)，原式=sin(66°-36°)=sin 30°=12；（4）由公式T (α+β)及tan 45°=1，得1+tan 15°1−tan 15°=tan 45°+tan 15°1−tan 45°tan 15°=tan(45°+15°) =tan 60°=√3． 设计意图：本题目主要考察公式的逆用，即从公式的右侧出发，变形到左侧的恒等变换方式．适度训练之后，学生对公式会有更全面，更深刻的理解．本题目中的（1）（2）是简单的公式反用，（3）的灵活度更上了一个台阶，学生需要借助诱导公式，变更函数名称，以凑成公式右侧的形式，再加以解决，解答（4）时，需要以退为进，逆向化归，将1代换成tan 45，这个变形技巧在例3中出现过，已经作过了铺垫．（三）归纳小结问题4：这两节课的内容中出现了很多性质和公式，它们之间具有怎样的推出关系？你能画一个结构图来反映这种关系吗？你在使用这些公式解决问题时有哪些心得体会？预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．预设答案：公式中的,αβ均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、甚至可以是两个任意角的和或差；公式()()S ,C αβαβ±±均需要sin ,cos ,sin ,cos ααββ四个值齐备时方可使用，缺一不可，必要时需要从公式的右侧变形化简成左侧的形式；公式()T αβ±中，若,αβ之中有一个是π4，则公式的结构会更简洁． 设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络．（四）作业布置教科书习题5.5第4，5，6，13题．（五）目标检测设计1．（1）已知cos θ=−35，θ∈(π2，π)，求sin (θ+π3)的值； （2）已知sin θ=−1213，θ是第三象限角，求cos (π6+θ)的值；（3）已知tan α=3，求tan (α+π4)的值． 2．求下列各式的值：（1）sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°； （2）cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°；（3）tan 12°+tan 33°1−tan 12°tan 33°； （4）cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°；（5）sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°； （6）sin 20°cos 110°+cos 160°sin 70°．3．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=35，β是第三象限角，求sin (β+5π4)的值． 预设答案：1．（1）4−3√310；（2）12−5√326；（3）－2． 2．（1）1；（2）12；（3）1；（4）−√32；（5）−12；（6）−1．3．7√2．10设计意图：通过若干题目，促使学生巩固和角公式与差角公式，并能从正用或者逆用两个方向着手运用公式解决问题，提升学生逻辑推理与数学运算素养．。
3.1.2两角和与差的正弦公式教学设计
3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦公式三维目标1.在学习两角和、差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.~教学过程复习巩固两角差的余弦公式______________________________________________ 两角和的余弦公式_______________________________________________ 练习：}·合作探究—①在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)= sin(α-β)=().cos )cos(),2,23(,43cos ),23,(,32sin .1的值、求已知βαβαππββππαα-+∈=∈-=()()()()25sin 110sin 335cos 70cos 215sin sin 15cos cos 1.2+---x x x x 求值：结论1、【S(α+β)、S(α-β).②公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何#我们把前面四个公式分类比较可得C(α+β)、S(α+β))叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)叫差角公式.归纳总结以上四个公式的推导过程，得出什么逻辑联系图~通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式精讲点拨!的值。
两角和与差的三角函数教案
两角和与差的三角函数教案教案标题：两角和与差的三角函数教案教案目标：1. 了解两角和与差的三角函数公式；2. 掌握两角和与差的三角函数的计算方法；3. 能够应用两角和与差的三角函数解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 引入两角和与差的概念，与学生一起回顾正弦、余弦、正切的定义；2. 引导学生思考如何计算两个角的和与差。
探究：1. 将两角和与差的三角函数公式列出，并解释每个公式的含义；2. 通过示例演示如何使用公式计算两角和与差的值；3. 让学生自主尝试计算其他两角和与差的值，并与同学分享解题思路。
拓展：1. 引导学生思考如何应用两角和与差的三角函数解决实际问题；2. 提供相关实际问题，让学生运用所学知识解决；3. 学生之间互相交流解题思路和答案。
巩固：1. 提供练习题，让学生巩固两角和与差的三角函数的计算方法；2. 检查学生的练习题答案并进行讲解。
总结：1. 总结两角和与差的三角函数的计算方法；2. 强调学生在实际问题中应用两角和与差的三角函数的能力。
教案评估：1. 在课堂上观察学生的参与度和理解程度；2. 检查学生在练习题中的答案；3. 收集学生的反馈和问题，以便调整教学方法。
教案扩展：1. 引入倍角与半角的概念，与学生一起探究其计算方法；2. 提供更复杂的实际问题，让学生进一步应用两角和与差的三角函数解决。
教案注意事项：1. 确保学生已经掌握正弦、余弦、正切的定义和计算方法；2. 通过图形或实物等形象化的方式辅助教学，提高学生的理解能力；3. 鼓励学生互相合作，共同解决问题，促进学生的交流与合作能力。
两角和与差的正切公开课教案
两⾓和与差的正切公开课教案课题：两⾓和与差的正切执教：XXX⼀.教学⽬的:1. 使学⽣掌握两⾓和与差的正切公式的推导。
2. 使学⽣理解公式成⽴的条件、记住公式的形式、了解公式的作⽤。
3. 使学⽣能正确运⽤公式进⾏计算4. 使学⽣能逆⽤和变形使⽤公式进⾏计算。
⼆.教学重点: 两⾓和与差的正切公式的推导。
三.教学难点：两⾓和与差的正切公式的逆⽤和变形使⽤。
四．教学过程教学内容设计意图⼀创设情境：提出问题:1如何求sin15°？Cos15？写出计算过程。
可以利⽤sin15°，cos15°求tan15°值吗？写出计算过程。
2.如何求sin75°？Cos75？写出计算过程。
可以利⽤sin75°，cos75°求tan75°值吗？写出计算过程。
3.如何利⽤由sin(βα+)，cos(βα+) 可以得到 ()tan αβ+=？写出推理过程。
（两学⽣展⽰预习成果）由 sin(βα-)，cos (βα-) 可以得到()tan αβ-= ？写出推理过程。
⼆．数学建模：(T α+β)以旧引新，注意创设问题的情境．通过设疑，引导学⽣开展积极的思维活动结合学⽣展⽰点评：可以看出，以上推导是把两⾓和(或差)的正切转化为两⾓和(或差)的正、余弦；把两⾓差的正切转化为两⾓和的正切，即都采⽤了“转化”的思想⽅法．这种思想⽅法是研究数学问题的基本思想⽅法．或问题1：在上⾯推导过程中，是否还有其他值得注意的地⽅？问题2：分⼦、分母同除以cos αcos β，有没有条件限制？在公式T α±β中，必须注意α、β的取值范围，必须在定义域范围内使⽤上述公式。
即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有⼀个不存在就不能使⽤这个公式，只能（也只需）⽤诱导公式来解。
2?注意公式的结构，尤其是符号。
问题3：⽤什么⽅法能记住公式呢？ (让学⽣议论．)三．数学应⽤：例1求下列各式的值：tan 17tan 128tan 17tan -+ 例2.求证：1tan151tan15+-3=。
初中数学初一数学上册《角的和差》教案、教学设计
（四）课堂练习
1.教师出示练习题，涵盖角的和差的计算、性质应用等方面，要求学生在规定时间内完成。
2.学生独立完成后，教师选取部分题目进行讲解，强调解题方法和技巧。
3.针对学生的错误，教师进行个别辅导，帮助学生巩固知识。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结角的和差的概念、性质、计算方法等。
3.讲解角的和差的性质，如交换律、结合律等，结合具体例子进行说明。
4.演示如何使用量角器测量和计算角的和差，并强调注意事项。
（三）学生小组讨论ห้องสมุดไป่ตู้
1.教师将学生分成小组，每组发放一个三角形模型、量角器等工具。
2.各小组讨论以下问题：
-两个角的和是多少度？如何计算？
-三个角的和是多少度？为什么？
-角的和差具有哪些性质？
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以丰富的教学手段和生动有趣的教学内容，激发学生对数学角的和差学习的兴趣。
2.培养自信：鼓励学生在自主探究、合作交流中发挥自己的优势，增强自信心。
3.合作精神：引导学生相互帮助、相互学习，培养学生的合作精神。
4.提高审美观念：通过观察和操作角的和差，培养学生的审美观念，感受数学图形的美。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：角的和差的概念及其度数表示；角的和差的性质；角的和差的计算方法。
2.难点：角的和差性质的推导和应用；解决实际问题中角的和差计算。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
-利用生活实例，如校园中的角雕塑、建筑物的角度等，引导学生观察并思考角的和差问题，激发学生的学习兴趣。
-设计具有挑战性的题目，让学生通过计算和绘图解决实际问题，提高应用能力。
两角和与差(恒等变换)教案
两角和与差的三角函数教学目标：1、掌握两角和与差的基本概念，基本定理；2、能够灵活地应用较多的变换，提高三角变换能力，及学会创设条件和一些常规变性技巧。
重点：两角和与差的正余弦，及正切公式。
难点：灵活地运用变形技巧简化运算(顺用，逆用，变形用）。
【知识要点】一、基础公式：1.两角差的余弦公式： 两角和的余弦公式：2.两角差的正弦公式： 两角和的正弦公式：3.两角差的正切公式： 两角和的正切公式：4.积化和差与和差化积公式：1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+-- 特别注意：公式的顺用、逆用、变用。
二、常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6α的二倍；απ22±是απ±4的二倍。
②2304560304515oooooo=-=-=；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=.等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+ sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
高一《两角和与差三角函数》教学设计
高一《两角和与差三角函数》教学设计高一《两角和与差三角函数》教学设计作为一名无私奉献的老师，往往需要进行教学设计编写工作，教学设计是实现教学目标的计划性和决策性活动。
优秀的教学设计都具备一些什么特点呢？以下是小编为大家收集的高一《两角和与差三角函数》教学设计，欢迎阅读与收藏。
【教材分析】本节是北师大版高中必修四第三章2.1和2.2两角和与差的正弦、余弦函数（书第116页-118页内容），本节是在学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量知识的基础上进一步研究两角和与差的三角函数与单角的三角函数关系，它既是三角函数和平面向量知识的延伸，又是后继内容两角和与差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，起着承上启下的作用，对于三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明等有着重要的支撑。
本课时主要讲授运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式以及两角和与差的正、余弦公式的运用。
【学情分析】学生在本节之前已经学习了三角函数和平面向量这两章知识内容，这为本节课的学习作了很多的知识铺垫，学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。
本节教学内容需要学生已经具有单位圆中的任意角的三角概念和平面向量的数量积的表示等方面的知识储备，这将有利于进一步促进学生思维能力的发展和数学思想的形成。
【课程资源】高中数学北师大版必修四教材；多媒体投影仪【教学目标】1、掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础；2、让学生经历两角差的余弦公式的探索、发现过程,培养学生的动手实践、探索、研究能力.3、激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.【教学重点和难点】教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用教学难点：向量法推导两角差的余弦公式及公式的灵活运用（设计依据：平面内两向量的数量积的两种形式的应用是本节课“两角和与差的余弦公式推导”的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。
两角和与差的余弦教案(优质教案)
两角和与差的余弦教案(优质教案)第三章：三角恒等变换第一节：两角和与差的余弦一、三维目的：1.知识与技能：学生需要理解两角和与差的余弦公式的推导过程，并掌握它的初步应用（公式的正用和逆用）。
此外，教师需要着重培养学生的代换、演绎、数形结合及逆向思维等数学思想方法。
2.过程与方法：教学过程中需要启发、讲练结合，合作交流，突破难点。
3.情感、态度与价值观：教师需要培养学生的探索与创新意识，激发学生研究兴趣，提高学生解题的灵活性。
教学重点：余弦的差角公式的推导和应用。
教学难点：余弦的差角公式的推导。
二、教学过程：一）问题情境问题一：我们已经知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，但如果不想查表，如何求诸如cos75°、cos15°的值？设问：cos75°=cos（45°+30°）与cos45°+cos30°是否相等？cosl5°=cos（45°-30°）与cos45°-cos30°是否相等？由于cos（45°±30°）≠cos45°±cos30°，所以我们需要研究这个问题。
问题二：一般地，cos(α-β)≠cosα-cosβ，那么cos(α-β)能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？如何表示？我们可以把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。
在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）和P2（cosβ，sinβ）。
则∠P1OP2=α-β。
设向量a=OP1=（cosα，sinα）。
b=OP2=（cosβ，sinβ）。
则a•b=a·b·cosθ=cos(α-β)。
另一方面，a•b=x1x2+y1y2.因此，我们可以得到两角差的余弦公式。
两角和与差的正弦公式教案
两角和、差正弦公式一、教学目标1.知识技能目标：理解两角和、差的正弦公式的推导过程，熟记两角和与差的正弦公式，运用两角和与差的正弦公式，解决相关数学问题。
2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦公式的灵活运用.三、教学过程（一）导入：回顾两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．推导：()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦特例：sin()cos 2αα∏±=（二）例题讲解例1、 利用和（差）公式求︒︒15sin 75sin 和的值。
232162sin 75**222244o o o o o o =+=+ｏ＝sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30232162sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30**222244o o o o o o o =-=-=-=-另：sin15sin(9075)cos 75o o o o =-= 例2、 已知)sin()sin(),,2(,43cos ),2,0(,32sin βαβαππββπαα-+∈-=∈=与求的值。
(完整版)两角和与差的余弦公式教案
两角和与差的余弦公式教案【教学三维目标】1。
知识目标: 理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式,运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题.2能力目标 ： 培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3。
情感目标: 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
【高考等级要求】 C 级【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。
【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。
【突破措施】 先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。
【教材分析】 这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。
教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式"在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线,推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时,补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。
【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识,对新知识充满探求的渴望。
他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识,掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
【学具准备】 小黑板 圆规【学法设计】 独立思考，生生交流探究，小组合作【知识链接】 诱导公式平面向量的数量积一、 产生对公式的需求 引入新课 （1分钟）首先让学生通过具体实例消除对“cos （α—β)=cos α-cos β”的误解，说明两角和(差）的三角函数不能按分配律展开.并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索.二、自主探究 引发思考 层层深入 得出结论 (8分钟） 独立思考以下问题： （1)向量的数量积__________b a =⋅),,a 11y x （=),b 22y x （= 则 __________b a =⋅ （2）单位圆上的点的坐标表示由图可知：==→a OP 1（ ） , ==→b 2OP （ )则=⋅b a_____________a =→ _____________b =→问题1 ： =︒-︒=∠)3045cos(P cos 21OP问题2 :由︒︒+︒︒=︒-︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？ 问题3 :两角和与差的余弦公式推导(一）两角差的余弦公式设),sin ,cos a αα（=),sin ,cos b ββ（= βαβαsin sin cos cos b a +=⋅θcos b a b a =⋅βαβαθsin sin cos cos cos +=∴如果],0[πβα∈-,那么βαθ-=故 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 实际上，当βα-为任意角时,由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。
中小幼两角和与差的正弦公式学案 公开课教案教学设计课件【一等奖】
通过推导，可以得到：
tan +
T +
tan -
两角和与差的正切公式可以有那些变形？
T -
公式 S + ，C + ，T + 给出了任意角α ，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之间的关系．为
方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．
类似地， S - ， C - ，T - 都叫做差角公式 ．
4. 和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α为某些特殊角，就能得到许多有用的公式．请从和（差）角公式 出发推导出诱导公式.
二.巩固练习
例 1. 已知s Ā
， 是第四象限角，求s Ā
,cos,tan来自例 2.利用和（ 差 ）角公式计算下列各式的值 ：
（ １ ）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ;
两角和与差的正弦公式
姓名：
学号：
零.前一课时思考：几何法证明两角差的余弦公式
一.参照上面图形与方法证明两角差的正弦公式
图0
于是得到了两角和的正弦公式 ， 简记作 S - ，
由公式 S - 出发 ，你能推导出两角和的正弦公式吗？
sin -
，sin +
二.利用诱导公式证明两角和与差的正弦公式、正切公式 1.我们知道，用诱导公式五（ 或六）可以实现正弦、余弦的互化，上一课时也已证明了两角和与差的余弦公式．你
CAB ,CAD , AD 1
的值 ．
（ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ;
（3）
Ā15° Ā15°
;
例 3.已知 sin x 1 , tan x sin y ，求 sin x+y sin x y 的值
角的和与差 教学设计
角的和与差【教学目标】（一）知识与技能：1．结合具体图形，了解两个角的和与差的意义，并会进行角的和、差运算。
2．了解角平分线，通过折纸活动，进一步理解角平分线的意义。
3．了解两角互余和互补的意义，通过探究了解余角、补角的定义及其性质，会求一个角的余角和补角。
4．体会简单推理。
（二）过程与方法：1．创设恰当的情景，认识一个角表示两个角的和或差，可以用等角表示角的和差关系，结合角的度量，进行角的和差运算。
2．通过折纸活动，进一步理解角平分线的意义。
通过演示和讨论，归纳总结出互余、互补的定义，通过求一个角的余角和补角的度数，巩固互余和互补的概念及角的运算。
3．通过探究同角（或等角）的余角（补角）之间的等量关系，发展合情推理和演绎推理的能力。
（三）情感态度价值观：通过实际情况认识角的运算的必要性，培养方向感，增强空间观念。
【教学重难点】1．重点：角的（加减）和差运算，角平分线的意义，互余、互补的概念与性质。
2．难点：角的度、分、秒经过换算后再进行运算。
【教学准备】多媒体，一副三角板，角的纸片数张。
【教学过程】一、引入新课（预先要求每人准备一副三角板。
含一个等腰三角形和一个30°的直角三角形）1．实践活动：（1）学生用自己准备的三角板拼出下列特殊角。
75°，105°，15°，120°，150°，180°，135°。
（2）提问：能拼出大于180°且小于360°的角吗？（如210°，270°，195°）（3）能做出50°＋20°吗？89°15′－32°10′吗？2．从特殊到一般提出问题。
从刚才大家的实践过程中可以看出：我们可以根据两副三角板中的特殊角，做出它们的和、差等，但对于任意角的和、差的运算就没有办法进行，这就是我们今天要学习的内容。
（板书课题）二、一起探究提问1：如图，这里有三个角：AOB COB AOC ∠∠∠,,它们之间有什么关系？答：AOC AOB COB COBAOB AOC COBAOC AOB ∠-∠=∠∠-∠=∠∠+∠=∠这就是用两个角的和或差来表示第三个角。
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
授课人：班级：高一（8）班日期：4月19日
一、教学目标
知识与技能目标
1.了解两角和的余弦，两角和与差的正弦（切）公式的推导，了解这些公式的内在
联系，经历由两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦（切）公式的探究过程。
2.掌握两角和与差正（余）弦，正切公式的特点与功能，能运用上述公式进行简单
的求值、化简、证明，解决比较简单的有关的应用问题能力目标。
通过两角和的余弦，两角和与差的正弦（切）公式的探究过程，进一步培养学生问
题转化思想和逻辑推理能力；培养学生利用旧知识推导、论证新知识的探索能力；
培养学生进行数学交流，获得数学知识的能力。
.情感、态度与价值观目标
通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化．培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力，充分体会数学中的对称美。
二、教学重、难点
1. 教学重点：应用两角和与差的三角函数公式求值
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过
程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
四、教学设想：
（一）复习与导入：
1.cos (α–β）=cosα cosβ+sinα sinβ
2困惑：.利用两角差的余弦公式固然能解决一些问题，但范围太窄，我们希望在此基础上获取一系列有应用价值的公式，实现资源利用和可持续发展战略.
期望：有了两角差的余弦公式，自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探究，让希望成为现实.
（二）公式的探究与特点分析1.cos()cos()
2.sin()sin()
3.tan()
ccss
αβαβ
αβαβ
αβ
-⇒+
⇒+⇒-
⇒±
由
特点与记忆方法：余弦：顺序两角，反号特点与记忆方法：正弦：顺序两角，sccs同号特点与记忆方法：正切：顺序两角，上同下反
注意使用条件及公式的变形：
()() tan tan tan1tan tan αβαβαβ
±=±
正切的和差化积。
（三）演排练习：求值1：cos75°2：sin105°3：sin15°技巧：所求角=用特殊角的和与差表示
（四）例题讲解：
分析角①=44π
π
αα--（） ②有序思考，有条理书写。
→先准备
例题再思考：
分析角① ② 所求角=用已知角与特殊角的和与差表示
13cos cos()0,cos 252
πααβαββ+<<已知=，=-，,求例2：、()sin sin 2βαβ+、。
①()=βαβα+-分析角 ② 所求角=用已知角与特殊角的和与差表示
例3.化简、求值与证明（公式的逆用）：
(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°.
分析：化四角为两角（消元）。
注意“顺序两角”的理解
(2) αβαβαβ ⑶ 0
01tan 751tan 75+-注意1的变化与公式的逆用。
（变式）①001tan151tan15+-②001tan 751tan 75-+ （五）小结
1、注意公式的结构特点与记忆方法
余弦：顺序两角，ccss,反号。
正弦：顺序两角，sccs,同号。
正切：顺序两角，上同下反。
2、应用技巧：
①养成先分析角的习惯：所求角=用已知角与特殊角的和与差表示②根据角与公式：有序思考、有条理书写→先准备吧 ③关于“顺序两角”的理解，公式的逆用
（六）作业：课堂练习：课本：P131 第2题 第5题（1）、（4）、（5）
检测练习： ⑶sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°.
思考与探究：
在斜△ABC 中，求证：
tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 并用简洁的语言概括与记忆。
3sin ,5
sin(),cos(),tan()444
a απππααα=--+-已知是第四象限的角，例求1：的值。
sin()cos 44ππαα-+在求出了后是否可以直接得到（）424πππαα+=--（）31.)sin().233πππααπαα⎛⎫∈-+
⎪⎝⎭3已知cos =，，2，求cos(、52.cos53cos 23sin 53sin 23︒︒︒︒+求值：（1）；cos80cos35cos10cos55.︒︒+︒︒（2）12.cos(),cos sin 3133ππαααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3已知为锐角，求
、0000tan 23tan 3723tan 37++()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±=±分析：正切的和差化积。
（公式变形）。